Векторна та скалярна величина – чим вони відрізняються? Яка величина є векторною, а яка скалярною? Просто про складне.

Фізика та математика не обходяться без поняття «векторна величина». Її необхідно знати та впізнавати, а також вміти з нею оперувати. Цьому обов'язково варто навчитися, щоб не плутатися і не допускати дурних помилок.

Як відрізнити скалярну величину від векторної?

Перша завжди має лише одну характеристику. Це її числове значення. Більшість скалярних величин можуть приймати як позитивні, і негативні значення. Їх прикладами може бути електричний заряд, робота чи температура. Але є такі скаляри, які можуть бути негативними, наприклад, довжина і маса.

Векторна величина, крім числової величини, яка завжди береться за модулем, характеризується ще й напрямком. Тому вона може бути зображена графічно, тобто у вигляді стрілки, довжина якої дорівнює модулю величини, спрямованої у певну сторону.

Під час листа кожна векторна величина позначається знаком стрілки на літерою. Якщо йдеться про числове значення, то стрілка не пишеться або її беруть за модулем.

Які дії найчастіше виконуються із векторами?

Спочатку – порівняння. Вони можуть бути рівними чи ні. У першому випадку їх модулі однакові. Але це не єдина умова. У них мають бути ще однакові чи протилежні напрямки. У першому випадку їх слід називати рівними векторами. У другому вони виявляються протилежними. Якщо не виконується хоча б одна із зазначених умов, то вектори не рівні.

Потім іде додавання. Його можна зробити за двома правилами: трикутника чи паралелограма. Перше наказує відкладати спочатку один вектор, потім від кінця другого. Результатом додавання буде той, який потрібно провести від початку першого до кінця другого.

Правило паралелограма можна використати, коли потрібно скласти векторні величиниу фізиці. На відміну від першого правила, їх слід відкладати від однієї точки. Потім добудувати їх до паралелограма. Результатом дії слід вважати діагональ паралелограма, проведену з тієї ж точки.

Якщо векторна величина віднімається з іншого, вони знову відкладаються з однієї точки. Тільки результатом буде вектор, який збігається з тим, що відкладено від кінця другого до кінця першого.

Які вектори вивчають у фізиці?

Їх так само багато, як скалярів. Можна просто запам'ятати те, які векторні величини у фізиці існують. Або знати ознаки, якими їх можна обчислити. Тим, хто надає перевагу першому варіанту, стане в нагоді така таблиця. У ній наведено основні векторні

Тепер трохи докладніше про деякі з цих величин.

Перша величина – швидкість

З неї варто почати наводити приклади векторних величин. Це зумовлено тим, що її вивчають у числі перших.

Швидкість визначається як характеристика руху тіла у просторі. Нею задається числове значення та напрямок. Тому швидкість є векторною величиною. До того ж, її прийнято розділяти на види. Перший є лінійною швидкістю. Її вводять під час розгляду прямолінійного рівномірного руху. При цьому вона виявляється рівною відношенню шляху, пройденого тілом, на час руху.

Цю ж формулу можна використовувати при нерівномірному русі. Тільки тоді вона буде середньою. Причому інтервал часу, який необхідно обирати, обов'язково має бути якнайменше. При прагненні проміжку часу до нуля значення швидкості є миттєвим.

Якщо розглядається довільний рух, то завжди швидкість — векторна величина. Адже її доводиться розкладати на складові, спрямовані вздовж кожного вектора, що спрямовує координатні прямі. До того ж визначається як похідна радіус-вектора, взята за часом.

Друга величина - сила

Вона визначає міру інтенсивності впливу, що виявляється на тіло з боку інших тіл чи полів. Оскільки сила — векторна величина, вона обов'язково має значення по модулю і напрям. Оскільки вона діє тіло, то важливим є ще й точка, до якої докладена сила. Щоб отримати уявлення про вектори сил, можна звернутися до наступної таблиці.

Також векторною величиною є рівнодіюча сила. Вона визначається як сума всіх механічних сил, що діють на тіло. Для її визначення необхідно виконати додавання за принципом правила трикутника. Тільки відкладати вектори потрібно по черзі від кінця попереднього. Результатом виявиться той, який поєднує початок першого з кінцем останнього.

Третя величина – переміщення

Під час руху тіло описує певну лінію. Вона називається траєкторією. Ця лінія може бути зовсім різною. Найважливіше виявляється не її зовнішній вигляд, А точки початку та кінця руху. Вони поєднуються відрізком, який називається переміщенням. Це також векторна величина. Причому воно завжди спрямоване від початку переміщення до точки, де рух було припинено. Позначати його прийнято латинською літерою r.

Тут може постати таке запитання: «Шлях — векторна величина?». У загальному випадкуце твердження не є вірним. Шлях дорівнює довжині траєкторії та не має певного напрямку. Винятком вважається ситуація, коли у одному напрямі. Тоді модуль вектора переміщення збігається за значенням шляхом, і напрямок у них виявляється однаковим. Тому при розгляді руху вздовж прямої без зміни напряму переміщення шлях можна включити до прикладів векторних величин.

Четверта величина – прискорення

Воно є характеристикою швидкості зміни швидкості. Причому прискорення може мати як позитивне, і негативне значення. При прямолінійному русі воно спрямоване у бік більшої швидкості. Якщо переміщення відбувається по криволінійній траєкторії, вектор прискорення розкладається на дві складові, одна з яких спрямована до центру кривизни по радіусу.

Виділяють середнє та миттєве значення прискорення. Перше слід розраховувати як відношення зміни швидкості протягом певного проміжку часу до цього часу. При прагненні розглянутого інтервалу часу до нуля говорять про миттєве прискорення.

П'ята величина – імпульс

Інакше його ще називають кількістю руху. Імпульс векторною величиною є тому, що безпосередньо пов'язаний зі швидкістю і силою, прикладеною до тіла. Обидві мають напрям і задають його імпульсу.

За визначенням останній дорівнює добутку маси тіла на швидкість. Використовуючи поняття імпульсу тіла, можна інакше записати відомий закон Ньютона. Виходить, що зміна імпульсу дорівнює добутку сили на проміжок часу.

У фізиці важливу роль відіграє закон збереження імпульсу, який стверджує, що в замкнутій системі тіл її сумарний імпульс є постійним.

Ми дуже стисло перерахували, які величини (векторні) вивчаються в курсі фізики.

Завдання про непружний удар

Умови.На рейках стоїть нерухома платформа. До неї наближається вагон із швидкістю 4 м/с. та вагона - 10 та 40 тонн відповідно. Вагон ударяється об платформу, відбувається автозчеплення. Необхідно обчислити швидкість системи "вагон-платформа" після удару.

Рішення.Спочатку потрібно ввести позначення: швидкість вагона до удару - v1, вагона з платформою після зчіпки - v, маса вагона m1, платформи - m2. За умовою завдання необхідно дізнатись значення швидкості v.

Правила вирішення подібних завдань вимагають схематичного зображення системи до та після взаємодії. Ось OX розумно направити вздовж рейок у той бік, куди рухається вагон.

У цих умовах систему вагонів вважатимуться замкненою. Це визначається тим, що зовнішніми силами можна знехтувати. Сила тяжкості та врівноважені, а тертя про рейки не враховується.

Відповідно до закону збереження імпульсу, їх векторна сума до взаємодії вагона та платформи дорівнює загальному для зчеплення після удару. Спочатку платформа не рухалася, тому її імпульс дорівнював нулю. Переміщався тільки вагон, його імпульс — добуток m1 і v1.

Так як удар був непружний, тобто вагон зчепився з платформою, і далі він почали котитися разом у той самий бік, то імпульс системи не змінив напряму. Але його значення стало іншим. А саме добутком суми маси вагона з платформою та шуканою швидкістю.

Можна записати таку рівність: m 1 * v 1 = (m 1 + m 2) * v. Воно буде вірним для проекції векторів імпульсів на вибрану вісь. З нього легко вивести рівність, яка буде потрібна для обчислення шуканої швидкості: v = m 1 * v 1 / (m 1 + m 2).

За правилами слід перевести значення маси з тонн на кілограми. Тому за підстановці в формулу слід спочатку помножити відомі величини на тисячу. Прості розрахунки дають кількість 0,75 м/с.

Відповідь.Швидкість вагона із платформою дорівнює 0,75 м/с.

Завдання з поділом тіла на частини

Умова. Швидкість гранати, що летить, 20 м/с. Вона розривається на два уламки. Маса першого – 1,8 кг. Він продовжує рухатися у напрямку, у якому летіла граната, зі швидкістю 50 м/с. Другий уламок має масу 1,2 кг. Яка його швидкість?

Рішення.Нехай маси осколків позначені літерами m1 та m2. Їх швидкості відповідно будуть v1 і v2. Початкова швидкість гранати - v. У завданні слід обчислити значення v 2 .

Щоб більший уламок продовжував рухатися у тому напрямі, як і вся граната, другий має полетіти у зворотний бік. Якщо вибрати за напрямок осі те, що було у початкового імпульсу, то після розриву великий уламок летить по осі, а маленький проти осі.

У цьому вся задачі дозволено скористатися законом збереження імпульсу через те, що розрив гранати відбувається миттєво. Тому, незважаючи на те, що на гранату та її частини діє сила тяжіння, вона не встигає подіяти і змінити напрям вектора імпульсу з його значенням по модулю.

Сума векторних величин імпульсу після розриву гранати дорівнює тому, що був до нього. Якщо записати закон збереження в проекції на вісь OX, він виглядатиме так: (m 1 + m 2) * v = m 1 * v 1 — m 2 * v 2 . З нього просто висловити потрібну швидкість. Вона визначиться за формулою: v 2 = ((m 1 + m 2) * v - m 1 * v 1) / m 2 . Після підстановки числових значень та розрахунків виходить 25 м/с.

Відповідь.Швидкість маленького уламка дорівнює 25 м/с.

Завдання про постріл під кутом

Умови.На платформі масою M встановлено зброю. З нього робиться постріл снарядом масою m. Він вилітає під кутом α до горизонту зі швидкістю v (даної щодо землі). Потрібно дізнатися значення швидкості платформи після пострілу.

Рішення. У цьому вся задачі можна використовувати закон збереження імпульсу в проекції на вісь OX. Але тільки в тому випадку, коли проекція зовнішніх рівнодіючих сил дорівнює нулю.

За напрямок осі OX потрібно вибрати той бік, куди полетить снаряд, і паралельно горизонтальній лінії. У цьому випадку проекції сил тяжкості та реакції опори на OX дорівнюватимуть нулю.

Завдання буде вирішено у загальному виглядітому що немає конкретних даних для відомих величин. Відповіддю у ній є формула.

Імпульс системи до пострілу дорівнював нулю, оскільки платформа і снаряд були нерухомі. Нехай швидкість платформи, що шукається, буде позначена латинською літерою u. Тоді її імпульс після пострілу визначиться як добуток маси на проекцію швидкості. Оскільки платформа відкотиться назад (проти напрямку осі OX), то значення імпульсу буде зі знаком мінус.

Імпульс снаряда - добуток його маси на проекцію швидкості на вісь OX. Через те, що швидкість спрямована під кутом до горизонту, її проекція дорівнює швидкості, помноженої на косинус кута. У буквеній рівності це буде виглядати так: 0 = - Mu + mv * cos α. З неї шляхом нескладних перетворень виходить формула-відповідь: u = (mv * cos α)/M.

Відповідь.Швидкість платформи визначається за формулою u=(mv*cosα)/M.

Завдання про переправу через річку

Умови.Ширина річки по всій її довжині однакова і дорівнює l, її береги є паралельними. Відома швидкість течії води у річці v 1 і власна швидкість катера v 2 . 1). При переправі ніс катера спрямований до протилежного берега. На яку відстань його знесе вниз за течією? 2). Під яким кутом α потрібно направити ніс катера, щоб він досягнув протилежного берега строго перпендикулярно до точки відправлення? Скільки часу t потрібно таку переправу?

Рішення. 1). Повна швидкість катера є векторною сумою двох величин. Перша з них течія річки, яка спрямована вздовж берегів. Друга – власна швидкість катера, перпендикулярна берегам. На кресленні виходить два подібні трикутники. Перший утворений шириною річки та відстанню, на яку зносить катер. Другий – векторами швидкостей.

З них випливає такий запис: s/l = v1/v2. Після перетворення виходить формула для шуканої величини: s = l*(v1/v2).

2). У цьому варіанті завдання вектор повної швидкості перпендикулярний берегам. Він дорівнює векторній сумі v1 і v2. Синус кута, який повинен відхилятися вектор власної швидкості, дорівнює відношенню модулів v 1 і v 2 . Для розрахунку часу руху потрібно розділити ширину річки на повну швидкість. Значення останньої обчислюється за теоремою Піфагора.

v = √(v 2 2 - v 1 2), тоді t = l / (√(v 2 2 - v 1 2)).

Відповідь. 1). s = l * (v 1 / v 2), 2). sin α = v 1 / v 2 , t = l / (√ (v 2 2 - v 1 2)).

Налякані школяра два слова - вектор і скаляр - насправді не є страшними. Якщо підійти до теми з цікавістю, то можна зрозуміти. У статті розглянемо, яка величина є векторної, а яка скалярної. Точніше, наведемо приклади. Кожен учень, напевно, звертав увагу, що у фізиці деякі величини позначаються як символом, а й стрілкою зверху. Що вони означають? Про це сказано нижче. Намагатимемося розібратися, чим відрізняється від скалярної.

Векторні приклади. Як вони позначаються

Що мається на увазі під вектором? Те, що характеризує рух. Не важливо, у просторі чи на площині. Яка величина є взагалі векторною? Наприклад, летить літак із певною швидкістю на якійсь висоті, має конкретну масу, почав рух із аеропорту з потрібним прискоренням. Що стосується руху літака? Що змусило його летіти? Звісно, ​​прискорення, швидкість. Векторні величини курсу фізики є наочними прикладами. Говорячи прямо, векторна величина пов'язана з рухом, переміщенням.

Вода також рухається з певною швидкістю з висоти гори. Бачите? Рух здійснюється за рахунок не об'єму чи маси, а саме швидкості. Тенісист дає можливість м'ячику рухатися за допомогою ракетки. Він ставить прискорення. До речі, прикладена в цьому випадку сила також є векторною величиною. Тому що вона виходить внаслідок заданих швидкостей та прискорень. Сила здатна змінюватися, здійснювати конкретні дії. Вітер, який колише листя на деревах, теж можна вважати прикладом. Оскільки є швидкість.

Позитивні та негативні величини

Векторною величиною називається величина, яка має напрямок в навколишньому просторі та модуль. Знову з'явилося страшне слово, цього разу модуль. Уявіть, що необхідно вирішити завдання, де фіксуватиметься негативне значення прискорення. В природі негативних значеньздавалося б, не існує. Як швидкість може бути негативною?

Вектор має таке поняття. Це стосується, наприклад, сил, які додаються до тіла, але мають різні напрямки. Згадайте третій де дія дорівнює протидії. Діти перетягують канат. Одна команда у синіх футболках, друга – у жовтих. Другі виявляються сильнішими. Припустимо, що вектор їхньої сили спрямований позитивно. У той же час першим не виходить натягнути канат, але намагаються. Виникає протидіюча сила.

Векторна чи скалярна величина?

Поговоримо у тому, чим відрізняється векторна величина від скалярної. Який параметр не має жодного спрямування, але має своє значення? Перерахуємо деякі скалярні величини нижче:

Чи мають усі вони напрямок? Ні. Яка величина є векторною, а яка скалярною, можна показати лише наочними прикладами. У фізиці є такі поняття не тільки в розділі "Механіка, динаміка та кінематика", а також у параграфі "Електрика та магнетизм". Сила Лоренца, - це так само векторні величини.

Вектор та скаляр у формулах

У підручниках із фізики часто зустрічаються формули, в яких є стрілочка згори. Згадайте другий закон Ньютона. Сила ("F" зі стрілочкою зверху) дорівнює добутку маси ("m") та прискорення ("a" зі стрілочкою зверху). Як говорилося вище, сила і прискорення є векторними величинами, а ось маса - скалярною.

На жаль, не у всіх виданнях є позначення цих величин. Напевно, зроблено це для спрощення, щоб школярів не вводити в оману. Найкраще купувати ті книги та довідники, в яких позначені вектори у формулах.

Те, яка величина векторна, покаже ілюстрація. Рекомендується звертати увагу на картинки та схеми на уроках фізики. Векторні величини мають напрямок. Куди спрямована Звісно ж, вниз. Значить, стрілочка буде показана у тому напрямку.

У технічних вишах вивчають фізику поглиблено. В рамках багатьох дисциплін викладачі розповідають про те, які величини є скалярними та векторними. Такі знання потрібні у сферах: будівництво, транспорт, природничі науки.

У курсі фізики часто зустрічаються такі величини, для опису яких достатньо знати лише числові значення. Наприклад, маса, час, довжина.

Величини, які характеризуються лише числовим значенням, називаються скалярнимиабо скалярами.

Крім скалярних величин, використовуються величини, які мають і числове значення та напрямок. Наприклад, швидкість, прискорення, сила.

Величини, які характеризуються числовим значенням та напрямком, називаються векторнимиабо векторами.

Позначаються векторні величини відповідними літерами зі стрілкою вгорі або виділяються жирним шрифтом. Наприклад, вектор сили позначається \(\vec F\) або F . Числове значення векторної величини називається модулем чи довжиною вектора. Значення вектора сили позначають Fабо \(\left|\vec F \right|\).

Зображення вектора

Вектори зображують спрямованими відрізками. Початком вектора називають ту точку, звідки починається спрямований відрізок (точка Ана рис. 1), кінцем вектора – точку, у якій закінчується стрілка (точка Bна рис. 1).

Рис. 1.

Два вектори називаються рівнимиякщо вони мають однакову довжину і направлені в одну сторону. Такі вектори зображують спрямованими відрізками, що мають однакові довжини та напрямки. Наприклад, на рис. 2 зображені вектори \(\vec F_1 = \vec F_2\).

При зображенні одному малюнку двох і більше векторів, відрізки будують в заздалегідь обраному масштабі. Наприклад, на рис. 3 зображено вектори, довжини яких \(\upsilon_1\) = 2 м/c, \(\upsilon_2\) = 3 м/c.

Спосіб завдання вектора

На площині вектор можна задавати кількома способами:

1. Вказати координати початку та кінця вектора. Наприклад, вектор \(\Delta\vec r\) на рис. 4 задані координатами початку вектора – (2, 4) (м), кінця – (6, 8) (м).

2. Вказати модуль вектора (його значення) та кут між напрямком вектора та деяким заздалегідь обраним напрямком на площині. Часто за такий напрямок позитивний бікосі 0 Х. Кути, виміряні від цього напрямку проти годинникової стрілки, вважаються позитивними. На рис. 5 вектор \(\Delta\vec r\) заданий двома числами bі \(\alpha\) , що вказують довжину та напрямок вектора.

Величинам (строго кажучи – тензорам рангу 2 і більше). Також може протиставлятися тим чи іншим об'єктам зовсім іншої математичної природи.

У більшості випадків термін вектор вживається у фізиці для позначення вектора в так званому «фізичному просторі», тобто у звичайному тривимірному просторі класичної фізики або в чотиривимірному просторі-часі в сучасній фізиці (в останньому випадку поняття вектора та векторної величини збігаються з поняттям 4- вектора та 4-векторної величини).

Вживання словосполучення "векторна величина" практично вичерпується цим. Що ж до вживання терміна «вектор», то воно, незважаючи на тяжіння за умовчанням до цього ж поля застосовності, у великій кількості випадків все ж таки дуже далеко виходить за такі рамки. Про це див. нижче.

Енциклопедичний YouTube

1 / 3

8. Векторні величини. Події над векторами.

ВЕКТОР - що це таке і навіщо він потрібний, пояснення

ВИМІР ФІЗИЧНИХ ВЕЛИЧИН 7 клас | Романов

Субтитри

Вживання термінів векторі Векторна величинау фізиці

Загалом у фізиці поняття вектора практично повністю збігається з таким у математиці. Однак є термінологічна специфіка, пов'язана з тим, що в сучасній математиці це поняття дещо зайве абстрактне (стосовно потреб фізики).

В математиці, вимовляючи «вектор» розуміють швидше вектор взагалі, тобто будь-який вектор будь-якого скільки завгодно абстрактного лінійного простору будь-якої розмірності та природи, що, якщо не докладати спеціальних зусиль, може призводити навіть до плутанини (не стільки, звичайно, по суті, скільки за зручністю слововживання). Якщо ж необхідно конкретизувати, в математичному стилі доводиться або говорити досить довго («вектор такого і такого простору»), або мати на увазі явно описаним контекстом.

У фізиці ж практично завжди мова йдене про математичні об'єкти (що мають ті чи інші формальні властивості) взагалі, а про певну їх конкретну («фізичну») прив'язку. Враховуючи ці міркування конкретності з міркуваннями стислості та зручності, можна зрозуміти, що термінологічна практика у фізиці помітно відрізняється від математичної. Однак вона не входить з останньої у явну суперечність. Цього вдається досягти кількома простими прийомами. Насамперед до них належить угода про вживання терміна за умовчанням (коли контекст особливо не обговорюється). Так, у фізиці, на відміну від математики, під словом вектор без додаткових уточнень зазвичай розуміється не «якийсь вектор будь-якого лінійного простору взагалі», а насамперед вектор, пов'язаний із «звичайним фізичним простором» (тривимірним простором класичної фізики або чотиривимірним простором -Часом фізики релятивістської). Для векторів просторів, не пов'язаних прямо і безпосередньо з «фізичним простором» або «простором-часом», якраз застосовують спеціальні назви (іноді включають слово «вектор», але з уточненням). Якщо вектор деякого простору, не пов'язаного прямо і безпосередньо з «фізичним простором» або «простором-часом» (і який важко відразу якось виразно охарактеризувати), вводиться в теорії, він часто спеціально описується як «абстрактний вектор».

Усе сказане ще більшою мірою, ніж терміну «вектор», відноситься до терміну «векторна величина». Умовчання в цьому випадку ще жорсткіше має на увазі прив'язку до «звичайного простору» або простору-часу, а вживання по відношенню до елементів абстрактних векторних просторів швидше практично не зустрічається. Крайній мірі, Таке застосування бачиться рідкісним винятком (якщо взагалі не застереженням).

У фізиці векторами найчастіше, а векторними величинами - практично завжди називають вектори двох подібних між собою класів:

Приклади векторних фізичних величин: швидкість, сила, потік тепла.

Генезис векторних величин

Яким чином фізичні «векторні величини» прив'язані до простору? Насамперед, впадає у вічі те, що розмірність векторних величин (у тому звичайному сенсі вживання цього терміна, який роз'яснений вище) збігається з розмірністю одного й того ж «фізичного» (і «геометричного») простору, наприклад, простір тривимірно і вектор електричного поля тривимірний. Інтуїтивно можна помітити також, що будь-яка векторна фізична величина, який би туманний зв'язок вона не мала з звичайною просторовою протяжністю, проте має певний напрямок саме в цьому звичайному просторі.

Однак виявляється, що можна досягти і набагато більшого, прямо «звівши» весь набір векторних величин фізики до найпростіших «геометричних» векторів, вірніше навіть – до одного вектора – вектора елементарного переміщення, а правильніше було б сказати – зробивши їх усіх від нього.

Ця процедура має дві різні (хоча по суті, що детально повторюють один одного) реалізації для тривимірного випадку класичної фізики і для чотиривимірної просторово-часової формулювання, звичайної для сучасної фізики.

Класичний тривимірний випадок

Виходитимемо зі звичайного тривимірного «геометричного» простору, в якому ми живемо і можемо переміщатися.

Як вихідний і зразковий вектор візьмемо вектор нескінченно малого переміщення. Очевидно, що це звичайний «геометричний» вектор (як і вектор кінцевого переміщення).

Зауважимо тепер відразу, що множення вектора на скаляр завжди дає новий вектор. Те саме можна сказати про суму і різницю векторів. У цьому розділі ми робитимемо різниці між полярними і аксіальними векторами , тому зауважимо, як і векторний добуток двох векторів дає новий вектор.

Також новий вектор дає диференціювання вектора за скаляром (оскільки така похідна є межа відношення різниці векторів до скаляра). Це можна сказати далі і про похідні всіх вищих порядків. Те ж саме по відношенню до інтегрування по скалярах (часу, обсягу).

Тепер зауважимо, що виходячи з радіус-вектора rабо з елементарного переміщення d r, ми легко розуміємо, що векторами є (оскільки час - скаляр) такі кінематичні величини, як

Зі швидкості та прискорення, множенням на скаляр (масу), з'являються

Оскільки нас зараз цікавлять і псевдовектори, зауважимо, що

• за допомогою формули сили Лоренця напруженість електричного поля та вектор магнітної індукції прив'язані до векторів сили та швидкості.

Продовжуючи цю процедуру, ми виявляємо, що всі відомі нам векторні величини тепер не тільки інтуїтивно, а й формально, прив'язані до вихідного простору. А саме всі вони в певному сенсі є його елементами, тому що виражаються по суті як лінійні комбінації інших векторів (зі скалярними множниками, можливо, розмірними, але скалярними, а тому формально цілком законними).

Сучасний чотиривимірний випадок

Ту ж процедуру можна виконати виходячи з чотиривимірного переміщення. Виявляється, що всі 4-векторні величини «походять» від 4-переміщення, тому в певному сенсі такими ж векторами простору-часу, як і саме 4-переміщення.

Види векторів стосовно фізики

• Полярний, або справжній вектор - звичайний вектор.
• Аксіальний вектор (псевдовектор) - насправді не є справжнім вектором, проте формально майже не відрізняється від останнього, за винятком того, що змінює напрямок на протилежний при зміні орієнтації системи координат (наприклад, при дзеркальне відображеннясистеми координат). Приклади псевдовекторів: усі величини, які визначаються через векторний добуток двох полярних векторів.
• Для сил виділяється кілька різних

 Вектор− суто математичне поняття, яке лише застосовується у фізиці чи інших прикладних науках і яке дозволяє спростити вирішення деяких складних завдань.
 Вектор− спрямований відрізок прямий.
У курсі елементарної фізики доводиться оперувати двома категоріями величин – скалярними та векторними.
 Скалярнимивеличинами (скалярами) називають величини, що характеризуються числовим значенням та знаком. Скалярами є довжина - l, маса − m, шлях − s, час - t, температура - T, електричний заряд - q, енергія - W, Координати і т.д.
До скалярних величин застосовуються всі алгебраїчні дії(додавання, віднімання, множення і т.д.).

 Приклад 1.
Визначити повний заряд системи, що складається із зарядів, що входять до неї, якщо q 1 = 2 нКл, q 2 = −7 нКл, q 3 = 3 нКл.
Повний заряд системи
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) нКл = −2 нКл = −2 × 10 −9 Кл.

 Приклад 2.
Для квадратного рівняннявиду
ax 2 + bx + с = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

 векторнівеличинами (векторами) називають величини, визначення яких необхідно вказати крім чисельного значення як і напрям. Вектори – швидкість v, сила F, імпульс p, напруженість електричного поля E, магнітна індукція Bта ін.
Чисельне значення вектора (модуль) позначають буквою без символу вектора або укладають вектор між вертикальними рисками r = | r |.
Графічно вектор зображують стрілкою (рис. 1),

Довжина якої в заданому масштабі дорівнює його модулю, а напрямок збігається з вектором.
Два вектори рівні, якщо збігаються їхні модулі та напрямки.
Векторні величини складаються геометрично (за правилом векторної алгебри).
Знаходження векторної суми за даними складових векторів називається додаванням векторів.
Додавання двох векторів виробляють за правилом паралелограма або трикутника. Сумарний вектор
с = a + b
дорівнює діагоналі паралелограма, побудованого на векторах aі b. Модуль його
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (рис. 2).


При α = 90°, з = √(a 2 + b 2 ) – теорема Піфагора.

Той самий вектор c можна отримати за правилом трикутника, якщо з кінця вектора aвідкласти вектор b. Замикаючий вектор c (з'єднує початок вектора aта кінець вектора b) є векторною сумою доданків (складових векторів aі b).
Результуючий вектор знаходять як замикає тієї ламаної лінії, ланками якої є вектори (рис. 3).


 Приклад 3.
Скласти дві сили F 1 = 3 Н та F 2 = 4 Н, вектори F 1і F 2складають з горизонтом кути α 1 = 10° та α 2 = 40°, відповідно
 F = F 1 + F 2(Рис. 4).

Результатом складання цих двох сил є сила, яка називається рівнодією. Вектор Fспрямований по діагоналі паралелограма, побудованого на векторах F 1і F 2, як сторони, так і за модулем дорівнює її довжині.
Модуль вектор Fзнаходимо за теоремою косінусів
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Якщо
(α 2 − α 1) = 90°, то F = √(F 1 2 + F 2 2 ).

Кут, який вектор Fскладає з віссю Ox, знаходимо за формулою
α = arctg((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctg((3.0,17 + 4.0,64)/(3.0,98 + 4.0,77)) = arctg0,51, α ≈ 0,47 рад.

Проекція вектора a на вісь Ox (Oy) − скалярна величина, що залежить від кута між напрямком вектора aта осі Ox (Oy). (рис. 5)


Вектор проекції aна осі Ox та Oy прямокутної системи координат. (Рис. 6)


Щоб уникнути помилок щодо знака проекції вектора на вісь, корисно запам'ятати наступне правило: якщо напрямок складової збігається з напрямком осі, то проекція вектора на цю вісь позитивна, якщо напрям складової протилежно напрямку осі, то проекція вектора негативна. (Мал. 7)


Віднімання векторів - це додавання, при якому до першого вектора додається вектор, чисельно рівний другому, протилежно спрямований
a − b = a + (−b) = d(Рис. 8).

Нехай треба із вектора aвідняти вектор b, їхня різниця − d. Щоб знайти різницю двох векторів, треба до вектора aдодати вектор ( −b), тобто вектором d = a − bбуде вектор, спрямований від початку вектора aдо кінця вектора ( −b) (рис. 9).

У паралелограмі, побудованому на векторах aі bяк сторонах, одна діагональ cмає сенс суми, а інша d− різниці векторів aі b(Рис. 9).
Твір вектора aна скаляр k дорівнює вектору b= k aмодуль якого в k разів більше модуля вектора a, а напрямок збігається з напрямком aпри позитивному k та протилежно йому при негативному k.

 Приклад 4.
Визначити імпульс тіла масою 2 кг, що рухається зі швидкістю 5 м/с. (рис. 10)

Імпульс тіла p= m v; p = 2 кг.м/с = 10 кг.м/с і спрямований у бік швидкості v.

 Приклад 5.
Заряд q = -7,5 нКл поміщений в електричне поле з напруженістю E = 400 В/м. Знайти модуль та напрямок сили, що діє на заряд.

Сила дорівнює F= q E. Так як заряд негативний, то вектор сили спрямований у бік, протилежний вектору E. (рис. 11)


 Поділвектора aна скаляр k рівнозначно множенню aна 1/к.
 Скалярним творомвекторів aі bназивають скаляр «c», рівний добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними
(a.b) = (b.a) = c,
з = ab.cosα (рис. 12)


 Приклад 6.
Знайти роботу постійної сили F = 20 Н, якщо переміщення S = 7,5 м, а кут α між силою та переміщенням α = 120°.

Робота сили дорівнює визначенню скалярному творусили та переміщення
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 м × cos120 ° = -150 × 1/2 = -75 Дж.

 Векторним творомвекторів aі bназивають вектор c, чисельно рівний добутку модулів векторів a і b, помножених на синус кута між ними:
с = a × b = ,
с = ab × sinα.
Вектор cперпендикулярний площині, в якій лежать вектори aі b, причому його напрямок пов'язаний із напрямком векторів aі bправилом правого гвинта (рис. 13).


 Приклад 7.
Визначити силу, що діє на провідник довжиною 0,2 м, поміщений у магнітному полі, індукція якого 5 Тл, якщо сила струму у провіднику 10 А і він утворює кут α = 30 ° з напрямком поля.

Сила Ампера
dF = I = Idl × B або F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 Тл × 10 А × 0,2 м × 1/2 = 5 Н.

 Розгляньте розв'язання задач.
1. Як спрямовані два вектори, модулі яких однакові та рівні a, якщо модуль їх суми дорівнює: а) 0; б) 2а; в) а; г) a√(2); д) a√(3)?

 Рішення.
а) Два вектори спрямовані вздовж однієї прямої у протилежні сторони. Сума цих векторів дорівнює нулю.

б) Два вектори спрямовані вздовж однієї прямої в одному напрямку. Сума цих векторів дорівнює 2a.

в) Два вектори спрямовані під кутом 120 ° один до одного. Сума векторів дорівнює a. Результуючий вектор знаходимо за теоремою косінусів:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2
cosα = −1/2 та α = 120°.
г) Два вектори спрямовані під кутом 90° один до одного. Модуль суми дорівнює
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 та α = 90°.

д) Два вектори направлені під кутом 60° один до одного. Модуль суми дорівнює
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 та α = 60°.
 Відповідь: Кут між векторами дорівнює: а) 180°; б) 0; в) 120 °; г) 90 °; д) 60 °.

2. Якщо a = a 1 + a 2орієнтації векторів, те, що можна сказати про взаємну орієнтацію векторів a 1і a 2, якщо: а) a = a 1 + a 2; б) a 2 = a 1 2 + a 2 2; в) a 1 + a 2 = a 1 − a 2 ?

 Рішення.
а) Якщо сума векторів перебуває як сума модулів цих векторів, то вектори спрямовані вздовж однієї прямої, паралельно один до одного a 1 ||a 2.
б) Якщо вектори спрямовані під кутом один до одного, то їх сума знаходиться за теоремою косінусів для паралелограма
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 та α = 90°.
вектор перпендикулярний один одному a 1 ⊥ a 2.
в) Умова a 1 + a 2 = a 1 − a 2може виконатися, якщо a 2− нульовий вектор, тоді a 1 + a 2 = a 1 .
 Відповіді. а) a 1 ||a 2; б) a 1 ⊥ a 2; в) a 2− нульовий вектор.

3. Дві сили по 1,42 H кожна прикладена до однієї точки тіла під кутом 60° одна до одної. Під яким кутом треба прикласти до тієї ж точки тіла дві сили по 1,75 H кожна, щоб їхня дія врівноважувала дію перших двох сил?

Рішення.
За умовою задачі дві сили по 1,75 Н врівноважують дві сили по 1,42 Н. Це можливо, якщо дорівнюють модулі результуючих векторів пар сил. Результуючий вектор визначимо теорему косінусів для паралелограма. Для першої пари сил:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
для другої пари сил, відповідно
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Прирівнявши ліві частини рівнянь
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Знайдемо шуканий кут між векторами
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Після обчислень,
cosβ = (2.1,422 + 2.1,422.cos60° − 2.1,752)/(2.1,752) = −0,0124,
β ≈ 90,7°.

 Другий спосіб вирішення.
Розглянемо проекцію векторів на вісь координат ОХ (рис.).

Скориставшись співвідношенням між сторонами прямокутному трикутнику, отримаємо
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
звідки
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) та β ≈ 90,7°.

4. Вектор a = 3i − 4j. Яка має бути скалярна величина c, щоб |c a| = 7,5?
 Рішення.
c a= c ( 3i − 4j) = 7,5
Модуль вектор aдорівнюватиме
a 2 = 3 2 + 4 2 і a = ±5,
тоді з
c.(±5) = 7,5,
знайдемо, що
c = ±1,5.

5. Вектори a 1і a 2виходять із початку координат і мають декартові координати кінців (6, 0) та (1, 4), відповідно. Знайдіть вектор a 3такий, що: а) a 1 + a 2 + a 3= 0; б) a 1 − a 2 + a 3 = 0.

 Рішення.
Зобразимо вектори в системі декартової координат (рис.)

а) Результуючий вектор уздовж осі Ox дорівнює
a x = 6 + 1 = 7.
Результуючий вектор уздовж осі Oy дорівнює
a y = 4 + 0 = 4.
Щоб сума векторів дорівнювала нулю, необхідно, щоб виконувалася умова
a 1 + a 2 = −a 3.
Вектор a 3по модулю дорівнюватиме сумарному вектору a 1 + a 2, Але спрямований у протилежний йому бік. Координата кінця вектора a 3дорівнює (−7, −4), а модуль
a 3 = √ (7 2 + 4 2) = 8,1.

Б) Результуючий вектор уздовж осі Ox дорівнює
a x = 6 − 1 = 5,
а результуючий вектор уздовж осі Oy
a y = 4 − 0 = 4.
При виконанні умови
a 1 − a 2 = −a 3,
вектор a 3матиме координати кінця вектора a x = –5 та a y = −4, а модуль його дорівнює
a 3 = √ (5 2 + 4 2) = 6,4.

6. Посильний проходить 30 м на північ, 25 м на схід, 12 м на південь, а потім у будівлі піднімається на ліфті на висоту 36 м. Чому рівні пройдений ним шлях L і переміщення S?

 Рішення.
Зобразимо ситуацію, описану задачі на площині у довільному масштабі (рис.).

Кінець вектора OAмає координати 25 м на схід, 18 м на північ і 36 нагору (25; 18; 36). Шлях, пройдений людиною дорівнює
L=30 м+25 м+12 м+36 м=103 м.
Модуль вектора переміщення знайдемо за формулою
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
де x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √ (25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (м).
 Відповідь: L = 103 м, S = 47,4 м.

7. Кут α між двома векторами aі bдорівнює 60 °. Визначте довжину вектора с = a + bта кут β між векторами aі c. Величини векторів дорівнюють a = 3,0 та b = 2,0.

 Рішення.
Довжина вектора, рівного сумівекторів aі bвизначимо скориставшись теоремою косінусів для паралелограма (рис.).

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Після підстановки
с = √ (3 2 + 2 2 + 2.3.2. cos60 °) = 4,4.
Для визначення кута β скористаємося теоремою синусів для трикутника ABC:
b/sinβ = a/sin(α−β).
При цьому слід знати, що
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ.
Вирішуючи просте тригонометричне рівняння, приходимо до виразу
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
отже,
β = arctg(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctg(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Зробимо перевірку, скориставшись теоремою косінусів для трикутника:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
звідки
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
і
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4,4 2 − 2 2)/(2.3.4,4)) = 23°.
 Відповідь: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.

 Розв'яжіть завдання.
8. Для векторів aі b, визначених у прикладі 7, знайдіть довжину вектора d = a − bкут γ між aі d.

9. Знайдіть векторну проекцію a = 4,0i + 7,0jна пряму, напрямок якої становить кут = 30° з віссю Ox. Вектор aі пряма лежить у площині xOy.

10. Вектор aстановить кут α = 30° із прямою АВ, a = 3,0. Під яким кутом β до прямої АВ потрібно направити вектор b(b = √(3)), щоб вектор с = a + bбув паралельний АВ? Знайдіть довжину вектора c.

11. Задано три вектори: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; з = i + 3j. Знайдіть а) a + b; б) a + c; в) (a, b); г) (a, c)b − (a, b)c.

12. Кут між векторами aі bдорівнює α = 60 °, a = 2,0, b = 1,0. Знайдіть довжини векторів з = (a, b)a + bі d = 2b − a/2.

13. Доведіть, що вектори aі bперпендикулярні, якщо a = (2, 1, −5) та b = (5, −5, 1).

14. Знайдіть кут α між векторами aі bякщо a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. Вектор aстановить із віссю Ox кут α = 30°, проекція цього вектора на вісь Oy дорівнює a y = 2,0. Вектор bперпендикулярний вектор aта b = 3,0 (див. рис.).

Вектор с = a + b. Знайдіть: a) проекції вектора bна осі Ox та Oy; б) величину c та кут β між вектором cта віссю Ox; в) (a, b); г) (a, c).

 Відповіді:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300 °; c = 3,5.
11. а) 5i + j; б) i + 3j - 2k; в) 15i – 18j + 9 k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4 °.
15. а) b x = −1,5; b y = 2,6; б) з = 5; β ≈ 67°; в) 0; г) 16,0.
Вивчаючи фізику, Ви маєте великі можливості продовжити свою освіту у технічному ВНЗ. Для цього знадобиться паралельне поглиблення знань з математики, хімії, мови, рідше за інші предмети. Переможець республіканської олімпіади, Савич Єгор, закінчує один із факультетів МФТІ, на якому великі вимоги пред'являються до знань з хімії. Якщо потрібна допомога в ГІА з хімії, то звертайтеся до професіоналів, які Вам точно нададуть кваліфіковану та своєчасну допомогу.