Розв'язання нерівностей, що містять модуль. Метод інтервалів – універсальний метод вирішення нерівностей із модулем

Модулем числаназивається саме це число, якщо воно не негативне, або це число з протилежним знаком, якщо воно негативне.

Наприклад, модулем числа 6 є 6, модулем числа -6 також 6.

Тобто, під модулем числа розуміється абсолютна величина, абсолютне значення цього числа без урахування його знака.

Позначається так: |6|, | х|, |а| і т.д.

(Докладніше - у розділі «Модуль числа»).

Рівняння із модулем.

Приклад 1 . Вирішити рівняння|10 х - 5| = 15.

Рішення.

Відповідно до правила, рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь:

10х - 5 = 15
10х - 5 = -15

Вирішуємо:

10х = 15 + 5 = 20
10х = -15 + 5 = -10

х = 20: 10
х = -10: 10

х = 2
х = -1

Відповідь: х 1 = 2, х 2 = -1.

Приклад 2 . Вирішити рівняння|2 х + 1| = х + 2.

Рішення.

Оскільки модуль – число невід'ємне, то х+ 2 ≥ 0. Відповідно:

х ≥ -2.

Складаємо два рівняння:

2х + 1 = х + 2
2х + 1 = -(х + 2)

Вирішуємо:

2х + 1 = х + 2
2х + 1 = -х - 2

2х - х = 2 - 1
2х + х = -2 - 1

х = 1
х = -1

Обидва числа більші за -2. Отже, обидва є корінням рівняння.

Відповідь: х 1 = -1, х 2 = 1.

Приклад 3 . Вирішити рівняння

|х + 3| - 1
————— = 4
х - 1

Рішення.

Рівняння має сенс, якщо знаменник не дорівнює нулю - отже, якщо х≠ 1. Врахуємо цю умову. Наша перша дія проста - не просто звільняємося від дробу, а перетворюємо її так, щоб отримати модуль у чистому вигляді:

|х+ 3 | - 1 = 4 · ( х - 1),

|х + 3| - 1 = 4х - 4,

|х + 3| = 4х - 4 + 1,

|х + 3| = 4х - 3.

Тепер у нас у лівій частині рівняння лише вираз під модулем. Йдемо далі.
Модуль числа є невід'ємним числом - тобто він повинен бути більше нуля або дорівнює нулю. Відповідно, вирішуємо нерівність:

4х - 3 ≥ 0

4х ≥ 3

х ≥ 3/4

Таким чином, у нас з'явилася друга умова: корінь рівняння має бути не меншим за 3/4.

Відповідно до правила, складаємо сукупність двох рівнянь та вирішуємо їх:

х + 3 = 4х - 3
х + 3 = -(4х - 3)

х + 3 = 4х - 3
х + 3 = -4х + 3

х - 4х = -3 - 3
х + 4х = 3 - 3

х = 2
х = 0

Ми отримали дві відповіді. Перевіримо, чи є вони корінням вихідного рівняння.

У нас було дві умови: корінь рівняння не може дорівнювати 1, і він повинен бути не менше 3/4. Тобто х ≠ 1, х≥ 3/4. Обом цим умовам відповідає лише одна з двох отриманих відповідей - число 2. Отже, тільки воно і є коренем вихідного рівняння.

Відповідь: х = 2.

Нерівності із модулем.

Приклад 1 . Розв'язати нерівність| х - 3| < 4

Рішення.

Правило модуля свідчить:

|а| = а, якщо а ≥ 0.

|а| = -а, якщо а < 0.

Модуль може мати і негативне, і негативне число. Отже, ми повинні розглянути обидва випадки: х- 3 ≥ 0 та х - 3 < 0.

1) При х- 3 ≥ 0 наша вихідна нерівність залишається як є, тільки без знаку модуля:
х - 3 < 4.

2) При х - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(х - 3) < 4.

Розкривши дужки, отримуємо:

-х + 3 < 4.

Таким чином, від цих двох умов ми дійшли об'єднання двох систем нерівностей:

х - 3 ≥ 0
х - 3 < 4

х - 3 < 0
-х + 3 < 4

Вирішимо їх:

х ≥ 3
х < 7

х < 3
х > -1

Отже, у нас у відповіді об'єднання двох множин:

3 ≤ х < 7 U -1 < х < 3.

Визначаємо найменше та найбільше значення. Це -1 та 7. При цьому хбільше -1 але менше 7.
Крім того, х≥ 3. Отже, розв'язанням нерівності є вся множина чисел від -1 до 7, виключаючи ці крайні числа.

Відповідь: -1 < х < 7.

Або: х ∈ (-1; 7).

Доповнення.

1) Є більш простий та короткий спосіб розв'язання нашої нерівності – графічний. Для цього треба намалювати горизонтальну вісь (рис.1).

Вираз | х - 3| < 4 означает, что расстояние от точки хдо точки 3 менше чотирьох одиниць. Відзначаємо на осі число 3 і відраховуємо вліво та вправо від нього 4 поділу. Зліва ми прийдемо до точки -1, праворуч - до точки 7. Таким чином, точки хми просто побачили, не рахуючи їх.

При цьому, згідно з умовою нерівності, самі -1 ​​і 7 не включені до множини рішень. Таким чином, отримуємо відповідь:

1 < х < 7.

2) Але є ще одне рішення, яке простіше навіть графічного способу. Для цього нашу нерівність треба представити у такому вигляді:

4 < х - 3 < 4.

Адже так воно і є за правилом модуля. Невід'ємне число 4 та аналогічне від'ємне число -4 є межами розв'язання нерівності.

4 + 3 < х < 4 + 3

1 < х < 7.

Приклад 2 . Розв'язати нерівність| х - 2| ≥ 5

Рішення.

Цей приклад суттєво відрізняється від попереднього. Ліва частина більше 5 або дорівнює 5. геометричної точкизору, рішенням нерівності є всі числа, які від точки 2 відстоять з відривом 5 одиниць і більше (рис.2). За графіком видно, що це всі числа, які менші або рівні -3 і більше або рівні 7. Отже, ми вже отримали відповідь.

Відповідь: -3 ≥ х ≥ 7.

Принагідно вирішимо це нерівність способом перестановки вільного члена вліво і вправо з протилежним знаком:

5 ≥ х - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ х ≥ 5 + 2

Відповідь та сама: -3 ≥ х ≥ 7.

Або: х ∈ [-3; 7]

Приклад вирішено.

Приклад 3 . Розв'язати нерівність 6 х 2 - | х| - 2 ≤ 0

Рішення.

Число хможе бути і позитивним числом, і негативним, і банкрутом. Тому нам треба врахувати усі три обставини. Як ви знаєте, вони враховуються у двох нерівностях: х≥ 0 та х < 0. При х≥ 0 ми просто переписуємо нашу вихідну нерівність як є тільки без знака модуля:

6х 2 - х - 2 ≤ 0.

Тепер про другий випадок: якщо х < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6х 2 - (-х) - 2 ≤ 0.

Розкриваємо дужки:

6х 2 + х - 2 ≤ 0.

Таким чином, ми отримали дві системи рівнянь:

6х 2 - х - 2 ≤ 0
х ≥ 0

6х 2 + х - 2 ≤ 0
х < 0

Потрібно вирішити нерівності в системах - а це означає, треба знайти коріння двох квадратних рівнянь. Для цього прирівняємо ліві частини нерівностей до нуля.

Почнемо з першого:

6х 2 - х - 2 = 0.

Як вирішується квадратне рівняння – див. розділ «Квадратне рівняння». Ми ж одразу назвемо відповідь:

х 1 = -1/2, х 2 = 2/3.

З першої системи нерівностей ми отримуємо, що рішенням вихідної нерівності є безліч чисел від -1/2 до 2/3. Пишемо об'єднання рішень при х ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Тепер вирішимо друге квадратне рівняння:

6х 2 + х - 2 = 0.

Його коріння:

х 1 = -2/3, х 2 = 1/2.

Висновок: при х < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Об'єднаємо дві відповіді і отримаємо підсумкову відповідь: рішенням є безліч чисел від -2/3 до 2/3, включаючи і ці крайні числа.

Відповідь: -2/3 ≤ х ≤ 2/3.

Або: х ∈ [-2/3; 2/3].

МОУ «Хвастовичська Середня школа»

«Метод інтервалів для вирішення рівнянь та нерівностей із кількома модулями»

Дослідницька робота з математики

Виконала:

учениця 10 «б» класу

Голишева Євгенія

Керівник:

учитель математики

Шапенська О.М.

Введение…………………………………………………………………………… … ….3 Глава 1.Методи вирішення завдань з кількома модулями………………… …………….4 1.1.Визначення модуля. Рішення по определению.…………………….....................4 1.2 Розв'язання рівнянь із кількома модулями, використовуючи метод інтервалів…...5 1.3 . Завдання із кількома модулями. Методи решения……………………………....7 1.4. Метод інтервалів у завданнях з модулями………………………………………......9 Глава 2. Рівняння та нерівності, що містять модулі………………………….…. 11 2.1 Розв'язання рівнянь із кількома модулями, використовуючи метод інтервалу..….11 2.2 Розв'язання нерівностей із кількома модулями, використовуючи метод інтервалу.…13 Висновок……………………………………………………… ………………………...15 Література………………………………………………………………….……….….16

Вступ

Поняття абсолютної величини є однією з найважливіших характеристик числа як в області дійсних, так і в області комплексних чисел. Це поняття широко застосовується у різних розділах шкільного курсу математики, а й у курсах вищої математики, фізики і технічних наук, вивчених у вузах. Завдання, пов'язані з абсолютними величинами, часто зустрічаються на математичних олімпіадах, вступних іспитах до ВНЗ та на ЄДІ

Тема:«Метод інтервалів на вирішення рівнянь і нерівностей з кількома модулями методом інтервалу».

Об'єктивна область:математики.

Об'єкт дослідження:розв'язання рівнянь та нерівностей з модулем.

Предмет дослідження:метод інтервалів для вирішення кількох модулів.

Мета дослідження:виявити ефективність розв'язання рівнянь та нерівностей із кількома модулями методом інтервалу.

Гіпотеза:якщо скористатися методом інтервалів на вирішення нерівностей і рівнянь з кількома модулями, можна значно полегшити своєї роботи.

Методи роботи:збір інформації та її аналіз.

Завдання:

Вивчити літературу на цю тему.

Розглянути розв'язання нерівностей та рівнянь із кількома модулями.

Виявити найбільш ефективний спосібрішення.

Практична спрямованість проекту:

Дану роботу можна використовувати як навчального посібникадля учнів та методичного посібникадля вчителя.

Глава 1.

1.1.Визначення модуля. Рішення щодо визначення.

За визначенням, модуль або абсолютна величина невід'ємного числа a збігається з самим числом, а модуль від'ємного числа дорівнює протилежному числу, тобто – a:

Модуль числа завжди негативний. Розглянемо приклади.

приклад 1.Розв'язати рівняння |-x| = -3.

Тут розбір випадків влаштовувати не потрібно, тому що абсолютна величина числа завжди невід'ємна, і це дане рівняння не має рішень.

Запишемо рішення цих найпростіших рівнянь у загальному вигляді:

приклад 2.Розв'язати рівняння | = 2 - x.

Рішення. За x 0 маємо рівняння x = 2 – x, тобто. x = 1. Оскільки 10, x = 1 – корінь вихідного рівняння. У другому випадку (x

Відповідь: x = 1.

приклад 3.Розв'язати рівняння 3 | x - 3 | + x = -1.

Рішення. Тут розбиття на випадки визначається знаком виразу x – 3. При x – 3 ³ 0 маємо 3x – 9 + x = –1 x = 2. Але 2 – 3 0.

Відповідь: рівняння коренів немає.

приклад 4.Вирішити рівняння | x - 1 | = 1 - x.

Рішення. Оскільки 1 – x = – (x – 1), безпосередньо з визначення модуля випливає, що рівнянню задовольняють ті й лише ті x, котрим x – 1 0. Це рівняння звелося до нерівності, і відповіддю є цілий проміжок (промінь).

Відповідь: х 1.

1.2. Розв'язання рівнянь із модулем за допомогою систем.

Розібрані раніше приклади дають змогу сформулювати правила звільнення від знака модуля в рівняннях. Для рівнянь виду | f (x) | = g(x) таких правил два:

1-е правило: |f(x)| = g(x) u (1)
2-ге правило: |f(x)| = g(x) u (2)

Пояснимо позначення, що використовуються тут. Фігурні дужки позначають системи, а квадратні – сукупності.

Рішення системи рівнянь – це значення змінної, які одночасно задовольняють усім рівнянням системи.

Розв'язаннями сукупності рівнянь є значення змінної, кожне з яких є корінь хоча б одного з рівнянь сукупності.

Два рівняння рівносильні, якщо будь-яке рішення кожного є і рішенням іншого, інакше кажучи, якщо безлічі їх рішень збігаються.

Якщо рівняння містить кілька модулів, то їх можна позбавлятися по черзі, користуючись наведеними правилами. Але зазвичай є короткі шляхи. Ми познайомимося з ними пізніше, а зараз розглянемо рішення найпростішого з таких рівнянь:

|f(x)| = | g (x) | ¢

Ця рівносильність випливає з того очевидного факту, що якщо дорівнюють модулі двох чисел, то самі числа або рівні, або протилежні.

Приклад 1. Вирішити рівняння | x 2 - 7x + 11 | = х + 1.
Рішення. Позбавимося модуля двома описаними вище способами:

1 спосіб: 2 спосіб:

Як бачимо, в обох випадках доводиться вирішувати ті самі два квадратні рівняння, але в першому випадку їх супроводжують квадратні нерівності, а у другому – лінійне. Тому другий спосіб для цього рівняння простіше. Вирішуючи квадратні рівняння, знаходимо коріння першого, обидва корені задовольняють нерівності. Дискримінант другого рівняння негативний, отже, рівняння коріння немає.

Відповідь: .
Приклад 2. Вирішити рівняння | x 2 - x - 6 | = | 2x 2 + x - 1 |.

Рішення. Ми вже знаємо, що розглядати (цілих 4) варіанти розподілу знаків виразів під модулями тут не потрібно: це рівняння рівносильне сукупності двох квадратних рівнянь без будь-яких додаткових нерівностей: Яка рівносильна: Перше рівняння сукупності рішень не має (його дискримінант негативний), друге рівняння має два корені.

1.3. Завдання із кількома модулями. Методи розв'язання.

Послідовне розкриття модулів.

Існують два основних підходи до розв'язання рівнянь і нерівностей, що містять кілька модулів. Можна назвати їх "послідовним" та "паралельним". Зараз познайомимось із першим із них.

Його ідея в тому, що спочатку один із модулів ізолюється в одній частині рівняння (або нерівності) і розкривається одним із описаних раніше методів. Потім те ж саме повторюється з кожним з рівнянь, що вийшли в результаті, з модулями і так триває, поки ми не позбудемося всіх модулів.

Приклад1.Розв'язати рівняння: +

Рішення. Усамітним другий модуль і розкриємо його, користуючись першим способом, тобто просто визначенням абсолютної величини:

До отриманих двох рівнянь застосовуємо другий спосіб звільнення від модуля:

Нарешті, вирішуємо чотири лінійних рівнянняі відбираємо те їхнє коріння, яке задовольняє відповідним нерівностям. У результаті залишаються лише два значення: x = -1 і .

Відповідь: -1; .

Паралельне розкриття модулів.

Можна зняти відразу всі модулі у рівнянні чи нерівності та виписати всі можливі поєднання знаків підмодульних виразів. Якщо в рівнянні n модулів, то варіантів буде 2 n, бо кожен з n виразів, що знаходяться під модулем, при знятті модуля може отримати один із двох знаків - плюс або мінус. В принципі, нам треба вирішити всі 2 n рівнянь (або нерівностей), звільнених від модулів. Але їх вирішення будуть і рішеннями вихідного завдання, тільки якщо вони лежать у областях, де відповідне рівняння (нерівність) збігається з вихідним. Ці області визначаються символами виразів під модулями. Наступну нерівність ми вже вирішували, тому ви можете порівняти різні підходи до вирішення.

Приклад 2.+
Рішення.

Розглянемо 4 можливі набори знаків виразів під модулями.

Лише перший і третій із цього коріння задовольняють відповідним нерівностям, отже, і вихідному рівнянню.

Відповідь: -1; .

Аналогічно можна вирішувати будь-які завдання з кількома модулями. Але, як кожен універсальний метод, цей спосіб вирішення далеко не завжди оптимальний. Нижче ми побачимо, як його можна вдосконалити.

1.4. Метод інтервалів у задачах із модулями

Придивившись уважніше до умов, що задають різні варіантирозподілу знаків підмодульних виразів у попередньому рішенні, ми побачимо, що одне з них, 1 – 3x

Уявіть, що ми вирішуємо рівняння, до якого входять три модулі від лінійних виразів; наприклад, | x – a | + | x - b | + | x - c | = m.

Перший модуль дорівнює x – a при x ³ a та a – x ​​при x b і x

Вони утворюють чотири проміжки. На кожному з них кожен із виразів під модулями зберігає знак, отже, і рівняння в цілому після розкриття модулів має на кожному проміжку один і той же вид. Отже, з 8 теоретично можливих варіантів розкриття модулів нам виявилося достатньо лише 4!

Також можна вирішувати будь-яке завдання з кількома модулями. Саме, числова вісь розбивається на проміжки знакостійності всіх виразів, що стоять під модулями, а потім на кожному з них вирішується те рівняння або нерівність, на яке перетворюється це завдання на цьому проміжку. Зокрема, якщо всі вирази під модулями раціональні, достатньо відзначити на осі їх коріння, а також точки, де вони не визначені, тобто коріння їх знаменників. Зазначені точки і задають шукані проміжки знакостійності. Так само ми діємо під час вирішення раціональних нерівностей методом інтервалів. І описаний нами метод вирішення завдань із модулями має ту саму назву.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння.

Рішення. Знайдемо нулі функції, звідки. Вирішуємо завдання на кожному інтервалі:

Отже, це рівняння немає рішень.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння.

Рішення. Знайдемо нулі функції. Вирішуємо завдання на кожному інтервалі:

1) (рішень немає);

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння.

Рішення. Вирази, що стоять під знаком абсолютної величини, звертаються в нуль при . Відповідно нам потрібно розглянути три випадки:

2) - корінь рівняння;

3) - корінь цього рівняння.

Глава 2. Рівняння та нерівності, що містять модулі.

2.1 Розв'язання рівнянь із кількома модулями, використовуючи метод інтервалів.

приклад 1.

Розв'яжіть рівняння:

|х+2| = | х-1 | + х-3

-(х+2) = -(х-1) + х-3

Х-2=-х+1+х-3

х=2 – не задовольняє

умові х

рішень немає

2. Якщо -2≤х

х+2 = -(х-1)+х-3

задовольняє

умові -2

3. Якщо х≥1, то

Відповідь: х = 6

приклад 2.

Розв'яжіть рівняння:

1) Знаходимо нулі підмодульних виразів

Нулі підмодульних виразів розбивають числову вісь кілька інтервалів. Розставляємо знаки підмодульних виразів цих інтервалах.

На кожному інтервалі розкриваємо модулі та вирішуємо отримане рівняння. Після знаходження кореня перевіряємо, щоб він належав інтервалу, на якому ми зараз працюємо.

1. :

– підходить.

2. :

- не підходить.

3. :

– підходить.

4. :

- не підходить. Відповідь:

2.2 Розв'язання нерівностей із кількома модулями, використовуючи метод інтервалів.

приклад 1.

Розв'яжіть нерівність:

|х-1| + | х-3 | 4

-(х-1) - (х-3) 4

2. Якщо 1≤х

х-1-(х-3) 4

24 - не вірно

рішень немає

3. Якщо х≥3, то

Відповідь: хЄ (-∞;0) U (4;+∞)

приклад 2.

Вирішимо нерівність

Рішення. Крапки і (коріння виразів, що стоять під модулем) розбивають усю числову вісь на три інтервали, на кожному з яких слід розкрити модулі.

1) При виконується , і нерівність має вигляд , тобто . І тут відповідь .

2) При виконується , нерівність має вигляд , тобто . Це нерівність вірно за будь-яких значеннях змінної , і, з урахуванням того, що ми вирішуємо його на безлічі , отримуємо відповідь у другому випадку .

3) При виконується , нерівність перетворюється на , і рішення у разі . Спільне рішеннянерівності --- об'єднаннятрьох отриманих відповідей.

Таким чином, для вирішення рівнянь та нерівностей, що містять кілька модулів, зручно використовувати метод інтервалів. Для цього треба знайти нулі віх підмодульних функцій, позначити їх на ОДЗ рівняння та нерівностей.

Висновок

У Останнім часому математиці широко використовуються методи спрощення розв'язання завдань, зокрема метод інтервалу, що дозволяє значно прискорити розрахунки. Тому дослідження методу інтервалу на вирішення рівнянь і нерівностей з кількома модулями актуально.

У процесі роботи над темою «Рішення рівнянь і нерівностей, що містять невідому під знаком модуля методом інтервалу» я: вивчила літературу з цього питання, познайомилася з алгебраїчним та графічним підходом до розв'язання рівнянь та нерівностей, що містять невідому під знаком модуля, і дійшла висновку:

У ряді випадків при вирішенні рівнянь з модулем можливо вирішувати рівняння за правилами, а іноді зручніше скористатися методом інтервалу.

При розв'язанні рівнянь і нерівностей, що містять модуль, метод інтервалів є наочнішим і порівняно простішим.

Під час написання дослідницької роботимною було розкрито багато завдань, які можна вирішити, використовуючи метод інтервалу. Найважливішим завданням є вирішення рівнянь та нерівностей із кількома модулями.

У ході проведеної мною роботи з розв'язання нерівностей та рівнянь з кількома модулями, використовуючи метод інтервалу, я виявила, що швидкість розв'язання задач збільшилася вдвічі. Це дозволяє значно прискорити хід робочого процесу та знизити тимчасові витрати. Таким чином, моя гіпотеза «якщо користуватися методом інтервалів для розв'язання нерівностей та рівнянь із кількома модулями, то можна значно полегшити свою роботу» підтвердилася. У процесі роботи над дослідженням я набула досвіду при вирішенні рівнянь і нерівностей з кількома модулями. Думаю, що отримані мною знання дозволять мені уникнути помилок під час вирішення.

Література

http://padabum.com

1. http://yukhym.com

   http://www.tutoronline.ru

   http://fizmat.by

   http://diffur.kemsu.ru

   http://solverbook.com

   Зеленський А.С., Панфілов. Розв'язання рівнянь та нерівностей із модулем І.І. М.: Вид-во Факторіал, 2009. - 112 с.

   Олехнік С.М. Потапов М.К.Рівняння та нерівності. Нестандартні методи розв'язання. М.: Изд-во Факторіал, 1997. – 219с.

   Севрюков П.Ф., Смоляков О.М. Рівняння та нерівності з модулями та методика їх вирішення. М.: Вид-во Просвітництво 2005. – 112 с.

   Садівницький Ю.В. ЄДІ. Практикум з математики. Розв'язання рівнянь та нерівностей. Перетворення виразів алгебри. М.: Вид-во Легіон 2015 – 128 с.

   Шевкін А.В.Квадратні нерівності. Метод інтервалів. М.: ТОВ « Російське слово- Навчальна книга », 2003. - 32 с.

Існує кілька способів розв'язання нерівностей, що містять модуль. Розглянемо деякі з них.

1) Вирішення нерівності за допомогою геометричної властивості модуля.

Нагадаю, що таке геометрична властивістьмодуль: модуль числа x – це відстань від початку координат до точки з координатою x.

У ході розв'язання нерівностей цим способом може виникнути 2 випадки:

1. |x| ≤ b,

І нерівність із модулем очевидно зводиться до системи двох нерівностей. Тут знак може бути і суворим, у цьому випадку крапки на картинці будуть «виколоти».

2. |x| ≥ b,тоді картинка рішення виглядає так:

І нерівність із модулем очевидно зводиться до сукупності двох нерівностей. Тут знак може бути і суворим, у цьому випадку крапки на картинці будуть «виколоти».

приклад 1.

Розв'язати нерівність |4 – |x|| ≥ 3.

Рішення.

Ця нерівність дорівнює наступній сукупності:

U [-1;1] U

приклад 2.

Розв'язати нерівність ||x+2| - 3 | ≤ 2.

Рішення.

Ця нерівність дорівнює наступній системі.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5).

Вирішимо окремо першу нерівність системи. Воно еквівалентне наступній сукупності:

U [-1; 3].

2) Розв'язання нерівностей, використовуючи визначення модуля.

Нагадаю для початку визначення модуля.

|a| = a, якщо a ≥ 0 та |a| = -a, якщо a< 0.

Наприклад, |34| = 34, |-21 | = -(-21) = 21.

приклад 1.

Вирішити нерівність 3 | x - 1 | ≤ x+3.

Рішення.

Використовуючи визначення модуля, отримаємо дві системи:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3).

Вирішуючи першу другу системи окремо, отримаємо:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x≥0.

Рішенням вихідної нерівності будуть всі рішення першої системи та всі рішення другої системи.

Відповідь: x €.

3) Розв'язання нерівностей шляхом спорудження квадрат.

приклад 1.

Вирішити нерівність | x 2 – 1 |< | x 2 – x + 1|.

Рішення.

Зведемо обидві частини нерівності у квадрат. Зауважу, що зводити обидві частини нерівності у квадрат можна лише у тому випадку, коли вони обидві позитивні. В даному випадку у нас і ліворуч і праворуч стоять модулі, тому ми можемо це зробити.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Тепер скористаємося такою властивістю модуля: (|x|)2 = x2.

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

Вирішуємо методом інтервалів.

Відповідь: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Розв'язання нерівностей шляхом заміни змінних.

приклад.

Вирішити нерівність (2x + 3) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Рішення.

Зауважимо, що (2x + 3) 2 = (| 2x + 3|) 2 . Тоді отримаємо нерівність

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Зробимо заміну y = | 2x + 3 |

Перепишемо нашу нерівність з урахуванням заміни.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Розкладемо квадратний тричлен, що стоїть ліворуч, на множники.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 - 11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

Вирішимо методом інтервалів та отримаємо:

Повернемося до заміни:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Ця подвійна нерівність дорівнює системі нерівностей:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3|≥-5.

Вирішимо кожну з нерівностей окремо.

Перше рівносильне системі

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6).

Вирішимо її.

(x ≤ 1.5
(x≥-4.5.

Друга нерівність очевидно виконується всім x, оскільки модуль за визначенням число позитивне. Так як рішення системи – це всі x, які задовольняють одночасно і першій і другій нерівності системи, то рішенням вихідної системи буде вирішення її першої подвійної нерівності (адже друге правильне для всіх x).

Відповідь: x € [-4,5; 1,5].

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Методи (правила) розкриття нерівностей з модулями полягають у послідовному розкритті модулів, при цьому використовують інтервали знаковості підмодульних функцій. У кінцевому варіанті отримують кілька нерівностей з яких знаходять інтервали або проміжки, які задовольняють умові завдання.

Перейдемо до вирішення поширених практично прикладів.

Лінійні нерівності з модулями

Під лінійними розуміємо рівняння, у яких змінна входить у рівняння лінійно.

Приклад 1. Знайти розв'язання нерівності

Рішення:
З умови завдання випливає, що модулі перетворюються на нуль при x=-1 та x=-2. Ці точки розбивають числову вісь на інтервали

У кожному з цих інтервалів розв'яжемо задану нерівність. Для цього насамперед складаємо графічні малюнки областей знаковості підмодульних функцій. Їх зображують у вигляді областей зі знаками кожної з функцій

або інтервали зі знаками всіх функцій.

На першому інтервалі розкриваємо модулі

Множимо обидві частини на мінус одиницю, при цьому знак у нерівності зміниться на протилежний. Якщо Вам до цього правила важко звикнути, то можете перенести кожну частину за знак, щоб позбутися мінуса. В кінцевому варіанті Ви отримаєте

Перетином множини x>-3 з областю, на якій вирішували рівняння, буде інтервал (-3;-2) . Для тих, кому легше шукати рішення, графічно можете малювати перетин цих областей.

Загальні перетин областей і буде вирішено. При строгому нерівності краю не включають. При суворому перевіряють підстановкою.

На другому інтервалі отримаємо

Перерізом буде інтервал (-2; -5/3). Графічно рішення матиме вигляд

На третьому інтервалі отримаємо

Ця умова не дає рішень на потрібній області.

Оскільки два знайдені рішення (-3;-2) та (-2;-5/3) межують точкою x=-2, то перевіряємо і її.

Таким чином, точка x=-2 є рішенням. Загальне рішення з урахуванням цього буде (-3;5/3).

Приклад 2. Знайти розв'язання нерівності
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Рішення:
Нулями підмодульних функцій будуть точки x=2, x=3, x=4. При значеннях аргументів менше цих точок підмодульні функції негативні, а за великих – позитивні.

Крапки розбивають дійсну вісь на чотири інтервали. Розкриваємо модулі відповідно до інтервалів знаковості і вирішуємо нерівності.

1) На першому інтервалі всі підмодульні функції є негативними, тому при розкритті модулів змінюємо знак на протилежний.

Перетином знайдених значень x з інтервалом, що розглядається, буде безліч точок

2) На проміжку між точками x=2 та x=3 перша підмодульна функція позитивна, друга та третя – негативні. Розкриваючи модулі, отримаємо

нерівність, що у перетині з інтервалом, у якому вирішуємо, дає одне рішення – x=3.

3) На проміжку між точками x=3 та x=4 перша та друга підмодульні функції позитивні, а третя – негативна. На основі цього отримаємо

Ця умова показує, що цілий проміжок задовольнятиме нерівність із модулями.

4) При значеннях x>4 всі функції позитивні. При розкритті модулів їхній знак не змінюємо.

Знайдена умова у перетині з інтервалом дає таку безліч рішень

Оскільки нерівність вирішена усім інтервалах, залишається знайти загальне всіх знайдених значень x. Рішенням будуть два інтервали

У цьому приклад вирішено.

Приклад 3. Знайти розв'язання нерівності
||x-1|-5|>3-2x

Рішення:
Маємо нерівність із модулем від модуля. Такі нерівності розкривають у міру вкладеності модулів, починаючи з тих, що розміщені глибше.

Підмодульна функція x-1 перетворюється на нуль у точці x=1 . При менших значеннях за 1 вона негативна і позитивна x>1 . На основі цього розкриваємо внутрішній модуль та розглядаємо нерівність на кожному з інтервалів.

Спочатку розглянемо інтервал від мінус нескінченності до одиниці

Підмодульна функція дорівнює нулю в точці x = -4. За менших значень вона знакопозитивна, за більших – негативна. Розкриємо модуль для x<-4:

У перетині з областю, на якій розглядаємо, отримаємо безліч рішень

Наступним кроком розкриваємо модуль на інтервалі (-4;1)

З урахуванням галузі розкриття модуля отримаємо інтервал рішень

ЗАПОМ'ЯТАЙТЕ: якщо Ви отримали в подібних нерівностях з модулями два інтервали, що межують загальною точкою, то, як правило, вона також є рішенням.

Для цього варто лише провести перевірку.

У разі підставляємо точку x=-4.

Отже, x=-4 є рішенням.
Розкриємо внутрішній модуль для x>1

Підмодульна функція негативна для x<6.
Розкриваючи модуль отримаємо

Ця умова в перерізі з інтервалом (1; 6) дає порожню множину рішень.

Для x>6 отримаємо нерівність

Також вирішуючи отримали порожню множину.
Враховуючи все вище викладене, єдиним рішеннямнерівності з модулями буде наступний інтервал.

Нерівності з модулями, що містять квадратні рівняння

Приклад 4. Знайти розв'язання нерівності
|x^2+3x|>=2-x^2

Рішення:
Підмодульна функція перетворюється на нуль у точках x=0, x=-3. Простий підстановкою мінус одиниці

встановлюємо, що вона менша за нуль на інтервалі (-3;0) і позитивна за його межами.
Розкриємо модуль в областях, де підмодульна функція позитивна

Залишилось визначити області, де квадратна функціяпозитивна. Для цього визначаємо коріння квадратного рівняння

Для зручності підставляємо точку x = 0, що належить інтервалу (-2; 1/2). Функція негативна в цьому інтервалі, значить рішенням будуть наступні множини

Тут дужками позначені краї областей із рішеннями, це зроблено свідомо, враховуючи таке правило.

ЗАПАМ'ЯТАЙТЕ: Якщо нерівність з модулями, або проста нерівність є суворою, краї знайдених областей не є рішеннями, якщо ж нерівності несуворі () то краї є рішеннями (позначають квадратними дужками).

Це правило використовує багато викладачів: якщо задана сувора нерівність, а Ви при обчисленнях запишете у вирішенні квадратну дужку ([,]) – вони автоматично вважатимуть це за неправильну відповідь. Також при тестуванні, якщо задана несувора нерівність із модулями, то серед рішень шукайте області із квадратними дужками.

На інтервалі (-3;0) розкриваючи модуль змінюємо знак функції на протилежний

Враховуючи область розкриття нерівності, рішення матиме вигляд

Разом із попередньою областю це дасть два напівінтервали

Приклад 5. Знайти розв'язання нерівності
9x^2-|x-3|>=9x-2

Рішення:
Задана нестрога нерівність, підмодульна функція якої дорівнює нулю в точці x = 3. При менших значеннях вона негативна, за більших – позитивна. Розкриваємо модуль на інтервалі x<3.

Знаходимо дискримінант рівняння

і коріння

Підставляючи точку нуль, з'ясовуємо, що у проміжку [-1/9;1] квадратична функція негативна, отже проміжок є рішенням. Далі розкриваємо модуль при x>3

Чим більше людейрозуміє, тим сильніше в ньому бажання розуміти

Хома Аквінський

Метод інтервалів дозволяє вирішувати будь-які рівняння, що містять модуль. Суть цього в тому, щоб розбити числову вісь на кілька ділянок (інтервалів), причому розбити вісь потрібно саме нулями виразів, які у модулях. Потім на кожному з ділянок, що вийшли, всяке підмодульне вираз або позитивно, або негативно. Тому кожен із модулів може бути розкритий або зі знаком мінус, або зі знаком плюс. Після цих дій залишається лише вирішити кожну з отриманих простих рівняньна розглянутому інтервалі та об'єднати отримані відповіді.

Розглянемо даний методна конкретному прикладі.

|х + 1| + | 2x - 4 | - | X + 3 | = 2x - 6.

1) Знайдемо нулі виразів, що стоять у модулях. Для цього потрібно прирівняти їх до нуля, і вирішити отримані рівняння.

x + 1 = 0 2x - 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Розставимо точки, що вийшли, в потрібному порядку на координатній прямій. Вони розіб'ють усю вісь на чотири ділянки.

3) Визначимо на кожному з ділянок, що вийшли, знаки виразів, що стоять у модулях. Для цього підставляємо в них будь-які числа з інтервалів, що нас цікавлять. Якщо результат обчислень – число позитивне, то таблиці ставимо «+», і якщо число негативне, то ставимо «–». Це можна зобразити так:

4) Тепер вирішуватимемо рівняння на кожному з чотирьох інтервалів, розкриваючи модулі з тими знаками, які проставлені в таблиці. Отже, розглянемо перший інтервал:

I інтервал (-∞; -3). На ньому всі модулі розкриваються зі знаком "-". Отримаємо наступне рівняння:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Наведемо подібні доданки, розкривши попередньо дужки в отриманому рівнянні:

X - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6

Отримана відповідь не входить у інтервал, що розглядається, тому в остаточну відповідь писати його не треба.

II інтервал [-3; -1). У цьому інтервалі у таблиці стоять знаки «–», «–», «+». Саме так і розкриваємо модулі вихідного рівняння:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Спростимо, розкривши при цьому дужки:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Наведемо в отриманому рівнянні такі:

x = 6/5. Отримане число не належить інтервалу, що розглядається, тому воно не є коренем вихідного рівняння.

III інтервал [-1; 2). Розкриваємо модулі вихідного рівняння з тими знаками, що стоять малюнку в третій колонці. Отримуємо:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Позбавимося дужок, перенесемо доданки, що містять змінну x у ліву частину рівняння, а не містять x у праву. Матимемо:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

У аналізований інтервал число 2 не входить.

IV інтервал)