Момент у тому випадку. Момент сили: правило та застосування

Момент пари сил

Моментом сили щодо будь-якої точки (центру) називається вектор, чисельно рівний добутку модуля сили плече, тобто. на найкоротшу відстань від зазначеної точки до лінії дії сили, і спрямований перпендикулярно площині, що проходить через обрану точку і лінію дії сили в той бік, звідки "обертання", що здійснюється силою навколо точки, представляється тим, що відбувається проти ходу годинникової стрілки. Момент сили характеризує її обертальну дію.

Якщо Про- точка, щодо якої знаходиться момент сили F, то момент сили позначається символом М о (F). Покажемо, що якщо точка застосування сили Fвизначається радіус-вектором r, то справедливе співвідношення

М о (F)=r×F. (3.6)

Відповідно до цього співвідношення момент сили дорівнює векторному твору вектора r на вектор F.

Насправді модуль векторного твору дорівнює

М о ( F)=rF sin= Fh, (3.7)

де h– плече сили. Зауважимо також, що вектор М о (F)спрямований перпендикулярно до площини, що проходить через вектори. rі F, у той бік, звідки найкоротший поворот вектора rдо напрямку вектора Fє тим, що відбувається проти ходу годинникової стрілки. Таким чином, формула (3.6) повністю визначає модуль та напрямок моменту сили F.

Іноді формулу (3.7) корисно записувати як

М о ( F)=2S, (3.8)

де S- площа трикутника ОАВ.

Нехай x, y, z– координати точки докладання сили, а F x, F y, F z- Проекції сили на координатні осі. Тоді, якщо точка Прознаходиться на початку координат, момент сили виражається так:

Звідси випливає, що проекції моменту сили на координатні осі визначаються формулами:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Введемо тепер поняття проекції сили на площину.

Нехай дано силу Fта деяка площина. Опустимо з початку та кінця вектора сили перпендикуляри на цю площину.

Проекцією сили на площинуназивається вектор , початок і кінець якого збігаються з проекцією початку та проекцією кінця сили на цю площину.

Якщо в якості розглянутої площини прийняти площину хОу, то проекцією сили Fна цю площину буде вектор Fху.

Момент сили Fхущодо точки Про(точки перетину осі zз площиною хОу) може бути обчислений за формулою (3.9), якщо в ній прийняти z=0, F z=0. Отримаємо

MO(Fху)=(xF y -yF x)k.

Таким чином, момент спрямований вздовж осі z, а його проекція на вісь zточно збігається з проекцією на ту ж вісь моменту сили Fщодо точки Про. Іншими словами,

M Oz(F)=M Oz(Fху)= xF y -yF x. (3.11)

Очевидно, той самий результат можна отримати, якщо спроектувати силу Fна будь-яку іншу площину, паралельну хОу. При цьому точка перетину осі zз площиною буде вже інший (позначимо нову точку перетину через Про 1). Проте всі, хто входить до праву частинурівності (3.11) величини х, у, F х, F узалишаться незмінними, і, отже, можна записати

M Oz(F)=M O 1 z ( Fху).

Іншими словами, проекція моменту сили щодо точки на вісь, що проходить через цю точку, не залежить від вибору точки на осі . Тому надалі замість символу M Oz(F) будемо застосовувати символ M z(F). Ця проекція моменту називається моментом сили щодо осі z. Обчислення моменту сили щодо осі часто буває зручніше проводити за допомогою проектування сили Fна площину, перпендикулярну до осі, та обчислення величини M z(Fху).

Відповідно до формули (3.7) та враховуючи знак проекції, отримаємо:

M z(F)=M z(Fху)=± F ху · h *. (3.12)

Тут h*– плече сили Fхущодо точки Про. Якщо спостерігач бачить з боку позитивного спрямування осі z, що сила Fхупрагне повернути тіло навколо осі zпроти ходу годинникової стрілки, то береться знак "+", а інакше – знак "-".

Формула (3.12) дає можливість сформулювати наступне правилодля обчислення моменту сили щодо осі. Для цього потрібно:

· Вибрати на осі довільну точку і побудувати площину, перпендикулярну до осі;

· Спроектувати на цю площину силу;

· Визначити плече проекції сили h *.

Момент сили щодо осі дорівнює добутку модуля проекції сили на її плече, взятому з відповідним знаком (див. вищевикладене правило).

З формули (3.12) випливає, що момент сили щодо осі дорівнює нулю у двох випадках:

· коли проекція сили на площину, перпендикулярну до осі, дорівнює нулю, тобто. коли сила і вісь паралельні ;

· коли плече проекції h*одно нулю, тобто. коли лінія дії перетинає вісь .

Обидва ці випадки можна об'єднати в один: момент сили щодо осі дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли лінія дії сили та вісь знаходяться в одній площині .

Завдання 3.1.Обчислити щодо точки Промомент сили F, прикладеної до точки Ата спрямованої по діагоналі грані куба зі стороною а.

При вирішенні подібних завдань доцільно спочатку обчислити моменти сили Fщодо координатних осей x, y, z. Координати точки Адокладання сили Fбудуть

Проекції сили Fна координатні осі:

Підставляючи ці значення рівності (3.10), знайдемо

, , .

Ці ж висловлювання для моментів сили Fщодо координатних осей можна одержати, користуючись формулою (3.12). Для цього спроектуємо силу Fна площині, перпендикулярні до осі хі у. Очевидно, що . Застосовуючи викладене вище правило, отримаємо, як і слід очікувати, ті ж вирази:

, , .

Модуль моменту визначиться рівністю

.

Введемо тепер поняття моменту пари. Знайдемо спочатку, чому дорівнює сума моментів сил, що становлять пару, щодо довільної точки. Нехай Про- Довільна точка простору, а Fі F" –сили, що становлять пару.

Тоді М о (F)= ОА × F, М о (F")= ОВ × F",

Мо (F)+ Мо (F")= ОА × F+ ОВ × F",

але так як F=-F", то

Мо (F)+ Мо (F")= ОА × F- ОВ × F=(ОА-ОВ)× F.

Беручи до уваги рівність ОА-ОВ=ВА , остаточно знаходимо:

Мо (F)+ Мо (F")= ВА × F.

Отже, сума моментів сил, що становлять пару, не залежить від положення точки, щодо якої беруться моменти .

Векторний витвір ВА × Fі називається моментом пари . Позначається момент пари символом М(F, F"), причому

М(F, F")=ВА × F= АВ × F",

або, коротше,

М=ВА × F= АВ × F". (3.13)

Розглядаючи праву частину цієї рівності, зауважуємо, що момент пари являє собою вектор, перпендикулярний площині пари, рівний за модулем добутку модуля однієї сил пари на плече пари (тобто на найкоротшу відстань між лініями дії сил, що становлять пару) і спрямований в той бік, звідки "обертання" пари видно тим, що відбувається проти ходу годинникової стрілки . Якщо h- плече пари, то М(F, F")=h×F.

З самого визначення видно, що момент пари сил є вільним вектором, лінія дії якого не визначена (додаткове обґрунтування цього зауваження випливає з теорем 2 і 3 цього розділу).

Для того, щоб пара сил становила врівноважену систему (систему сил, еквівалентну нулю), необхідно і достатньо, щоб момент пари дорівнював нулю. Дійсно, якщо момент пари дорівнює нулю, М=h×F, те чи F=0, тобто. немає сил, або плече пари hодно нулю. Але в цьому випадку сили пари діятимуть по одній прямій; так як вони рівні за модулем і спрямовані в протилежні сторони, то на підставі аксіоми 1 вони складуть врівноважену систему. Назад, якщо дві сили F 1і F 2складові пари, врівноважені, то на підставі тієї ж аксіоми 1 вони діють по одній прямій. Але в цьому випадку плече пари hдорівнює нулю і, отже, М=h×F=0.

Теореми про пари

Доведемо три теореми, за допомогою яких стають можливими еквівалентні перетворення пар. При всіх розглядах слід пам'ятати, що вони відносяться до пар, які діють якесь одне тверде тіло.

Теорема 1. Дві пари, що лежать в одній площині, можна замінити однією парою, що лежить у тій же площині, з моментом, що дорівнює сумі моментів даних двох пар.

Для доказу цієї теореми розглянемо дві пари ( F 1,F" 1) та ( F 2,F" 2) і перенесемо точки докладання всіх сил вздовж ліній їхньої дії в точки Аі Увідповідно. Складаючи сили по аксіомі 3 отримаємо

R=F 1+F 2і R"=F" 1+F" 2,

але F 1=-F" 1і F 2=-F" 2.

Отже, R=- R", тобто. сили Rі R"утворюють пару. Знайдемо момент цієї пари, скориставшись формулою (3.13):

М = М(R, R")=ВА× R= ВА× (F 1+F 2)=ВА× F 1+ВА× F 2. (3.14)

При перенесенні сил, що становлять пару, вздовж ліній їхньої дії ні плече, ні напрямок обертання пар не змінюються, отже, не змінюється і момент пари. Значить,

ВА×F 1 =М(F 1,F" 1)=М 1, ВА× F 2 = М(F 2,F" 2)=М 2

і формула (3.14) набуде вигляду

М = М 1 + М 2, (3.15)

як і доводить справедливість сформульованої вище теореми.

Зробимо два зауваження до цієї теореми.

1. Лінії дії сил, що становлять пари, можуть виявитися паралельними. Теорема залишається справедливою й у разі, але її докази слід скористатися правилом складання паралельних сил.

2. Після складання може вийти, що М(R, R") = 0; на підставі зробленого раніше зауваження з цього випливає, що сукупність двох пар ( F 1,F" 1, F 2,F" 2)=0.

Теорема 2. Дві пари, що мають геометрично рівні моменти, еквівалентні.

Нехай на тіло у площині Iдіє пара ( F 1,F" 1) з моментом М 1. Покажемо, що цю пару можна замінити іншою з парою ( F 2,F" 2), розташованої в площині IIякщо тільки її момент М 2дорівнює М 1(згідно з визначенням (див. 1.1) це і означатиме, що пари ( F 1,F" 1) та ( F 2,F" 2) Еквівалентні). Насамперед зауважимо, що площині Iі IIповинні бути паралельними, зокрема вони можуть збігатися. Справді, з паралельності моментів М 1і М 2(у нашому випадку М 1=М 2) Випливає, що площини дії пар, перпендикулярні моментам, також паралельні.

Введемо на розгляд нову пару ( F 3,F" 3) і прикладемо її разом з парою ( F 2,F" 2) до тіла, розташувавши обидві пари в площині II. Для цього, згідно з аксіомою 2, потрібно підібрати пару ( F 3,F" 3) з моментом М 3так, щоб прикладена система сил ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) була врівноважена. Це можна зробити, наприклад, так: покладемо F 3=-F" 1і F" 3 =-F 1і сумісний точки докладання цих сил з проекціями А 1 та У 1 точок Аі Уна площину II. Відповідно до побудови будемо мати: М 3 = -М 1або, враховуючи, що М 1 = М 2,

М 2 +М 3 = 0.

Зважаючи на друге зауваження до попередньої теореми, отримаємо ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) = 0. Таким чином, пари ( F 2,F" 2) та ( F 3,F" 3) взаємно врівноважені і приєднання їх до тіла не порушує його стану (аксіома 2), отже

(F 1,F" 1)= (F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3). (3.16)

З іншого боку, сили F 1і F 3, а також F" 1і F" 3можна скласти за правилом складання паралельних сил, спрямованих в один бік. За модулем усі ці сили рівні один одному, тому їх рівнодіючі Rі R"повинні бути додані в точці перетину діагоналей прямокутника АВВ 1 А 1; крім того, вони рівні за модулем і направлені в протилежні сторони. Це означає, що вони становлять систему, еквівалентну нулю. Отже,

(F 1,F" 1, F 3,F" 3)=(R, R")=0.

Тепер ми можемо записати

(F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3)=(F 3,F" 3). (3.17)

Порівнюючи співвідношення (3.16) і (3.17), отримаємо ( F 1,F" 1)=(F 2,F" 2), що і потрібно було довести.

З цієї теореми слід, що пару сил можна переміщати у площині її дії, переносити у паралельну площину; нарешті, у парі можна змінювати одночасно сили та плече, зберігаючи лише напрямок обертання пари та модуль її моменту ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

Надалі ми широко користуватимемося такими еквівалентними перетвореннями пари.

Теорема 3. Дві пари, що лежать у площинах, що перетинаються, еквівалентні одній парі, момент якої дорівнює сумімоментів двох даних пар.

Нехай пари ( F 1,F" 1) та ( F 2,F" 2) розташовані в площинах, що перетинаються Iі IIвідповідно. Користуючись наслідком теореми 2, наведемо обидві пари до плеча АВ, розташованому на лінії перетину площин Iі II. Позначимо трансформовані пари через ( Q 1,Q" 1) та ( Q 2,Q" 2). При цьому повинні виконуватись рівність

М 1 = М(Q 1,Q" 1)=М(F 1,F" 1) та М 2 = М(Q 2,Q" 2)=М(F 2,F" 2).

Складемо по аксіомі 3 сили, прикладені в точках Аі Увідповідно. Тоді отримаємо R = Q 1 + Q 2і R"= Q" 1 +Q" 2. Враховуючи що Q" 1 =-Q 1і Q" 2 =-Q 2, отримаємо R=-R". Таким чином, ми довели, що система двох пар еквівалентна одній парі ( R,R").

Знайдемо момент Мцієї пари. На підставі формули (3.13) маємо

М(R,R")=ВА× (Q 1 +Q 2)=ВА× Q 1 + ВА× Q 2=

=М(Q 1,Q" 1)+М(Q 2,Q" 2)=М(F 1,F" 1)+М(F 2,F" 2)

М = М 1 + М 2,

тобто. теорему доведено.

Зауважимо, що отриманий результат справедливий і для пар, що лежать у паралельних площинах. По теоремі 2 такі пари можна призвести до однієї площини, а по теоремі 1 їх можна замінити однією парою, момент якої дорівнює сумі складових моментів пар.

Доведені вище теореми про пари дозволяють зробити важливий висновок: момент пари є вільним вектором та повністю визначає дію пари на абсолютно тверде тіло . Насправді ми вже довели, що якщо дві пари мають однакові моменти (отже, лежать в одній площині або в паралельних площинах), то вони один одному еквівалентні (теорема 2). З іншого боку, дві пари, що лежать у площинах, що перетинаються, не можуть бути еквівалентними, бо це означало б, що одна з них і пара, протилежна іншій, еквівалентні нулю, що неможливо, оскільки сума моментів таких пар відрізняється від нуля.

Таким чином, введене поняття моменту пари є надзвичайно корисним, оскільки воно повністю відображає механічну дію пари на тіло. У цьому сенсі можна сказати, що момент вичерпним чином є дією пари на тверде тіло.

Для тіл, що деформуються, викладена вище теорія пар не застосовна. Дві протилежні пари, що діють, наприклад, по торцях стрижня, з погляду статики твердого тіла еквівалентні нулю. Тим часом їхня дія на деформований стрижень викликає його кручення, і тим більше, чим більше модулі моментів.

Перейдемо до вирішення першої та другої задач статики, коли на тіло діють лише пари сил.

Момент сили (синоніми: обертаючий момент, обертальний момент, крутний момент, крутний момент) - Векторна фізична величина , що дорівнює векторному твору радіус-вектора , проведеного від осі обертання до точки докладання сили, на вектор цієї сили. Характеризує обертальну дію сили на тверде тіло.

Поняття «крутний» і «крутний» моменти загальному випадкуне тотожні, оскільки у техніці поняття «крутний» момент сприймається як зовнішнє зусилля, прикладуване до об'єкта, а «крутний» - внутрішнє зусилля, що у об'єкті під впливом прикладених навантажень (це поняттям оперують у опорі матеріалів).

Загальні відомості

Спеціальні випадки

Формула моменту важеля

Дуже цікавий особливий випадок, що подається як визначення моменту сили в полі:

$\backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash vec(M)\_1\backslash right|\; \backslash left|\backslash vec\; F\backslash right|$, де: $\backslash left|\backslash vec(M)\_1\backslash right|$- момент важеля, $\backslash left|\backslash vec\; F\backslash right|$- величина чинної сили.

Проблема такого уявлення у цьому, що він дає напрями моменту сили, лише його величину. Якщо сила перпендикулярна вектору $\backslash vec\; r$, момент важеля дорівнює відстані до центру і момент сили буде максимальним:

$\backslash left|\backslash vec(T)\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash vec\; r\backslash right|\; \backslash left|\backslash vec\; F\backslash right|$

Сила під кутом

Якщо сила $\backslash vec\; F$спрямована під кутом $\backslash theta$до важеля r, то $M\; =\; r\; F\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta$.

Статична рівновага

Щоб об'єкт перебував у рівновазі, повинна дорівнювати нулю як сума всіх сил, а й сума всіх моментів сили навколо будь-якої точки. Для двовимірного випадку з горизонтальними та вертикальними силами: сума сил у двох вимірах ΣH=0, ΣV=0 і момент сили у третьому вимірі ΣM=0.

Момент сили як функція від часу

$\backslash vec\; M\; =\; \backslash frac(d\backslash vec\; L)(dt)$,

де $\backslash vec\; L$- Момент імпульсу.

Візьмемо тверде тіло. Рух твердого тіла можна як рух конкретної точки і обертання навколо неї.

Момент імпульсу щодо точки O твердого тіла може бути описаний через добуток моменту інерції та кутової швидкості щодо центру мас та лінійного руху центру мас.

$\backslash vec(L\_o)\; =\; I\_c\backslash ,\backslash vec\backslash omega\; +$

Розглянемо рухи, що обертаються, в системі координат Кеніга, так як описувати рух твердого тіла у світовій системі координат набагато складніше.

Продиференціюємо цей вираз за часом. І якщо $I$- Постійна величина в часі, то

$\backslash vec\; M\; =\; I\backslash frac(d\backslash vec\backslash omega)(dt)\; =\; I\backslash vec\backslash alpha$,

Відношення між моментом сили та роботою

$A\; =\; \backslash int\_(\backslash theta\_1)^(\backslash theta\_2)\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\; \backslash mathrm(d)\backslash theta$

У разі постійного моменту отримуємо:

$A\; =\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\backslash theta$

Зазвичай відома кутова швидкість $\backslash omega$у радіанах на секунду та час дії моменту $t$.

Тоді виконана моментом сили робота розраховується як:

$A\; =\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\backslash omega\; t$

Момент сили щодо точки

Якщо є матеріальна точка $O\_F$, до якої докладено силу $\backslash vec\; F$, то момент сили щодо точки $O$дорівнює векторному твору радіус-вектора $\backslash vec\; r$, що з'єднує точки $O$і $O\_F$, на вектор сили $\backslash vec\; F$:

$\backslash vec(M\_O)\; =\; \backslash left[\backslash vec\; r\; \backslash times\; \backslash vec\; F\backslash right]$.

Момент сили щодо осі

Момент сили щодо осі дорівнює алгебраїчному моменту проекції цієї сили на площину, перпендикулярну до цієї осі щодо точки перетину осі з площиною, тобто $M\_z(F)\; =\; M\_o(F")\; =\; F"h"$.

Одиниці виміру

Момент сили вимірюється в ньютон-метрах. 1 Н·м - це момент, який виробляє сила 1 Н на важіль довжиною 1 м, прикладена до кінця важеля і направлена ​​йому перпендикулярно.

Вимірювання моменту

На сьогоднішній день вимірювання моменту сили здійснюється за допомогою тензометричних, оптичних та індуктивних датчиків навантаження.

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Момент сили"

Уривок, що характеризує Момент сили

Але хоч уже до кінця бою люди відчували весь жах свого вчинку, хоча вони й раді були б перестати, якась незрозуміла, таємнича сила ще продовжувала керувати ними, і, запітнілі, в пороху й крові, що залишилися по одному на три, артилеристи, хоч і спотикаючись і задихаючись від утоми, приносили заряди, заряджали, наводили, прикладали ґноти; і ядра так само швидко і жорстоко перелітали з обох боків і розплюскували людське тіло, і продовжувало відбуватися ту страшну справу, яка відбувається не з волі людей, а з волі того, хто керує людьми і світами.
Той, хто подивився б на засмучені зади російської армії, сказав би, що французам варто зробити ще одне маленьке зусилля, і російська армія зникне; і той, хто подивився б на зади французів, сказав би, що росіянам варто зробити ще одне маленьке зусилля, і французи загинуть. Але ні французи, ні росіяни не робили цього зусилля, і полум'я бою поволі догоряло.
Росіяни не робили цього зусилля, оскільки вони атакували французів. На початку бою вони тільки стояли дорогою до Москви, загороджуючи її, і так само вони продовжували стояти наприкінці битви, як вони стояли на початку його. Але якби навіть мета росіян полягала в тому, щоб збити французів, вони не могли зробити це останнє зусилля, тому що всі війська росіян були розбиті, не було жодної частини військ, що не постраждала в битві, і росіяни, залишаючись на своїх місцях , втратили половину свого війська
Французам, зі спогадом усіх колишніх п'ятнадцятирічних перемог, з упевненістю в непереможності Наполеона, з усвідомленням того, що вони заволоділи частиною поля битви, що вони втратили лише одну чверть людей і що вони ще мають двадцятитисячну незайману гвардію, легко було зробити це зусилля. Французам, які атакували російську армію з метою збити її з позиції, мало зробити це зусилля, тому що доки росіяни, так само як і до битви, загороджували дорогу до Москви, мета французів не була досягнута і всі їх зусилля і втрати зникли задарма. Але французи не зробили цього зусилля. Деякі історики кажуть, що Наполеону варто було дати свою незайману стару гвардію для того, щоб битва була виграна. Говорити про те, що було б, якби Наполеон дав свою гвардію, все одно що говорити про те, що було б, якби восени стала весна. Цього не могло бути. Не Наполеон не дав своєї гвардії, бо не захотів цього, але цього не можна було зробити. Всі генерали, офіцери, солдати французької армії знали, що цього не можна було зробити, бо дух війська, що впав, не дозволяв цього.
Не один Наполеон відчував те схоже на сновидіння почуття, що страшний розмах руки падає безсило, але всі генерали, всі солдати французької армії, що брали участь і не брали участь, після всіх дослідів колишніх битв (де після вдесятеро менших зусиль ворог втік), відчували однакове почуття тим ворогом, який, втративши половину війська, стояв так само грізно наприкінці, як і на початку бою. Моральна сила французької атакуючої армії була виснажена. Не та перемога, яка визначається підхопленими шматками матерії на ціпках, званих прапорами, і тим простором, на якому стояли і стоять війська, - а перемога моральна, та, яка переконує противника в моральній зверхності свого ворога і у своєму безсиллі, була здобута росіянами під Бородіним. Французьке нашестя, як розлючений звір, який отримав у своєму розбігу смертельну рану, відчувало свою смерть; але воно не могло зупинитися, так само як і не могло не відхилитися вдвічі найслабше російське військо. Після цього поштовху французьке військо ще могло докотитися до Москви; але там, без нових зусиль з боку російського війська, воно мало загинути, стікаючи кров'ю від смертельної, нанесеної при Бородіні, рани. Прямим наслідком Бородінської битви була безпричинна втеча Наполеона з Москви, повернення старою Смоленською дорогою, смерть п'ятисоттисячної навали і смерть наполеонівської Франції, яку вперше під Бородиним було накладено рука сильного духом противника.

Для людського розуму незрозуміла абсолютна безперервність руху. Людині стають зрозумілі закони будь-якого руху лише тоді, коли він розглядає довільно взяті одиниці цього руху. Але разом з тим з цього довільного поділу безперервного руху на перервні одиниці виникає більша частина людських помилок.
Відомий так званий софізм древніх, що полягає в тому, що Ахіллес ніколи не наздожене попереду черепаху, незважаючи на те, що Ахіллес йде в десять разів швидше черепахи: як тільки Ахіллес пройде простір, що відокремлює його від черепахи, черепаха пройде попереду його одну десяту цього простору; Ахілес пройде цю десяту, черепаха пройде одну соту і т. д. до нескінченності. Завдання це видавалося давнім нерозв'язним. Безглуздість рішення (що Ахіллес ніколи не наздожене черепаху) випливала з того, що довільно були допущені перервні одиниці руху, тоді як рух і Ахіллеса і черепахи відбувалося безперервно.
Приймаючи дедалі більше дрібні одиниці руху, ми лише наближаємося до вирішення питання, але не досягаємо його. Тільки допустивши нескінченно малу величину і висхідну від неї прогресію до однієї десятої і взявши цю суму геометричній прогресії, ми досягаємо вирішення питання. Нова галузь математики, досягнувши мистецтва поводитися з нескінченно малими величинами, і в інших більш складних питанняхруху дає тепер відповіді питання, які здавалися неразрешимыми.
Ця нова, невідома давнім, галузь математики, при розгляді питань руху, допускаючи нескінченно малі величини, тобто такі, за яких відновлюється головна умова руху (абсолютна безперервність), тим самим виправляє ту неминучу помилку, яку розум людський не може не робити, розглядаючи замість безперервного руху окремі одиниці руху.
У відшуканні законів історичного руху відбувається те саме.
Рух людства, випливаючи з незліченної кількості людських свавілля, відбувається безперервно.
Розуміння законів цього руху є мета історії. Але для того, щоб осягнути закони безперервного руху суми всіх свавілля людей, розум людський допускає довільні, перервні одиниці. Перший прийом історії полягає в тому, щоб, взявши довільний ряд безперервних подій, розглядати його окремо від інших, тоді як немає і не може бути початку жодної події, а завжди одна подія безперервно випливає з іншої. Другий прийом полягає в тому, щоб розглядати дію однієї людини, царя, полководця, як суму свавілля людей, тоді як сума свавілля людського ніколи не виражається в діяльності одного історичної особи.
Історична наука в своєму русі постійно приймає все менші і менші одиниці для розгляду і цим шляхом прагне наблизитися до істини. Але як не дрібні одиниці, які приймає історія, ми відчуваємо, що припущення одиниці, відокремленої від іншої, припущення початку якогось явища і припущення того, що свавілля всіх людей виражаються в діях однієї історичної особи, помилкові самі в собі.
Будь-який висновок історії, без найменшого зусилля з боку критики, розпадається, як порох, нічого не залишаючи за собою, тільки внаслідок того, що критика обирає за предмет спостереження більшу чи меншу перервну одиницю; потім вона завжди має право, оскільки взята історична одиниця завжди довільна.
Тільки допустивши нескінченно малу одиницю для спостереження – диференціал історії, тобто однорідні потяги людей, і досягнувши мистецтва інтегрувати (брати суми цих нескінченно малих), ми можемо сподіватися осягнення законів історії.
Перші п'ятнадцять років XIX століттяу Європі є незвичайний рух мільйонів людей. Люди залишають свої звичайні заняття, прагнуть з одного боку Європи в іншу, грабують, вбивають один одного, тріумфують і впадають у відчай, і весь хід життя на кілька років змінюється і представляє посилений рух, який спочатку йде зростаючи, потім слабшаючи. Яка причина цього руху чи за якими законами відбувався він? - Запитує розум людський.
Історики, відповідаючи на це питання, викладають нам дії та промови кількох десятків людей в одному з будівель міста Парижа, називаючи ці діяння та промови словом революція; потім дають детальну біографіюНаполеона та деяких співчутливих і ворожих йому осіб розповідають про вплив одних із цих осіб на інші й кажуть: ось чому стався цей рух, і ось закони його.
Але людський розум не тільки відмовляється вірити в це пояснення, але прямо говорить, що прийом пояснення не вірний, тому що при цьому поясненні найслабше явище приймається за причину найсильнішого. Сума людських сваволі зробила і революцію і Наполеона, і лише сума цих сваволі терпіла їх і знищила.

Момент сили щодо осі або просто момент сили називається проекція сили на пряму, яка перпендикулярна до радіусу і проведена в точці докладання сили помножена на відстань від цієї точки до осі. Або добуток сили на плече її застосування. Плечо у разі це відстань від осі до точки докладання сили. Момент сили характеризує обертальний вплив сили на тіло. Ось у цьому випадку це місце кріплення тіла, щодо якого воно може здійснювати обертання. Якщо тіло не закріплено, то віссю обертання вважатимуться центр мас.

Формула 1 – Момент сили.

F - Сила, що діє на тіло.

r – Плечо сили.

Малюнок 1 – Момент сили.

Як видно з малюнка, плече сили - це відстань від осі до точки докладання сили. Але це якщо кут між ними дорівнює 90 градусів. Якщо це не так, то необхідно вздовж дії сили провести лінію та з осі опустити на неї перпендикуляр. Довжина цього перпендикуляра і дорівнюватиме плечу сили. А переміщення точки застосування сили вздовж напрямку сили не змінює її моменту.

Прийнято вважати позитивним такий момент сили, що викликає поворот тіла за годинниковою стрілкою щодо точки спостереження. А негативним відповідно викликає обертання проти неї. Вимірюється момент сили у Ньютонах на метр. Один Ньютонометр це сила в 1 Ньютон, що діє на плече в 1 метр.

Якщо сила, що діє на тіло, проходить вздовж лінії, що йде через вісь обертання тіла, або центр мас, якщо тіло не має осі обертання. То момент сили в цьому випадку дорівнюватиме нулю. Так як ця сила не буде викликати обертання тіла, а просто переміщатиме його поступально вздовж лінії додатка.

Малюнок 2 - Момент сили дорівнює нулю.

Якщо на тіло діє кілька сил, то момент сили визначатиме їх рівнодіюча. Наприклад, на тіло можуть діяти дві сили, що рівні за модулем і спрямовані протилежно. При цьому сумарний момент сили дорівнюватиме нулю. Бо ці сили компенсуватимуть одна одну. Якщо просто, то уявіть собі дитячу карусель. Якщо один хлопчик її штовхає за годинниковою стрілкою, а інший з тією самою силою проти, то карусель залишиться нерухомою.

Часто ми чуємо вирази: він інертний, рухатися по інерції, момент інерції. У переносному значенніслово «інерція» може трактуватися як відсутність ініціативи та дій. Нас цікавить пряме значення.

Що таке інерція

Відповідно до визначення інерціяу фізиці – це здатність тіл зберігати стан спокою чи руху за відсутності дії зовнішніх сил.

Якщо із самим поняттям інерції все зрозуміло на інтуїтивному рівні, то момент інерції- Окреме питання. Погодьтеся, складно уявити, що це таке. У цій статті Ви навчитеся вирішувати базові завдання на тему "Момент інерції".

Визначення моменту інерції

Зі шкільного курсу відомо, що маса – міра інертності тіла. Якщо ми штовхнемо два візки різної маси, то зупинити складніше буде той, який важчий. Тобто чим більша маса, тим більша зовнішня дія необхідна, щоб змінити рух тіла. Розглянуте відноситься до поступального руху, коли візок з прикладу рухається прямою.

За аналогією з масою та поступальним рухом момент інерції – це міра інертності тіла при обертальному русі навколо осі.

Момент інерції- скалярна фізична величина, міра інертності тіла при обертанні навколо осі Позначається буквою J та в системі СІ вимірюється у кілограмах, помножених на квадратний метр.

Як порахувати момент інерції? Є загальна формула, за якою у фізиці обчислюється момент інерції будь-якого тіла. Якщо тіло розбити на нескінченно малі шматочки масою dm , то момент інерції дорівнюватиме сумі творів цих елементарних мас на квадрат відстані до осі обертання.

Це загальна формула для моменту інерції у фізиці. Для матеріальної точки маси m , що обертається навколо осі на відстані r від неї, дана формула набуває вигляду:

Теорема Штейнера

Від чого залежить момент інерції? Від маси, положення осі обертання, форми та розмірів тіла.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – дуже важлива теорема, яку часто використовують під час вирішення завдань.

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Теорема Гюйгенса-Штейнера каже:

Момент інерції тіла щодо довільної осі дорівнює сумі моменту інерції тіла щодо осі, що проходить через центр мас паралельно довільної осі та добутку маси тіла на квадрат відстані між осями.

Для тих, хто не хоче постійно інтегрувати при розв'язанні задач на знаходження моменту інерції, наведемо малюнок із зазначенням моментів інерції деяких однорідних тіл, які часто зустрічаються у задачах:

Приклад розв'язання задачі знаходження моменту інерції

Розглянемо два приклади. Перше завдання – знайти момент інерції. Друге завдання – використання теореми Гюйгенса-Штейнера.

Завдання 1. Знайти момент інерції однорідного диска маси m і радіусу R. Вісь обертання проходить через центр диска.

Рішення:

Розіб'ємо диск на нескінченно тонкі кільця, радіус яких змінюється від 0 до Rі розглянемо одне таке кільце. Нехай його радіус – r, а маса - dm. Тоді момент інерції кільця:

Масу кільця можна представити у вигляді:

Тут dz- Висота кільця. Підставимо масу у формулу для моменту інерції та проінтегруємо:

У результаті вийшла формула моменту інерції абсолютного тонкого диска чи циліндра.

Завдання 2. Нехай знову є диск маси m і радіуса R. Тепер потрібно знайти момент інерції диска щодо осі, що проходить через середину одного з його радіусів.

Рішення:

Момент інерції диска щодо осі, що проходить через центр мас, відомий із попереднього завдання. Застосуємо теорему Штейнера і знайдемо:

До речі, у нашому блозі Ви можете знайти й інші корисні матеріали з фізики.

Сподіваємося, що Ви знайдете у статті щось корисне для себе. Якщо в процесі розрахунку тензора інерції виникають труднощі, не забувайте про студентський сервіс. Наші фахівці проконсультують з будь-якого питання та допоможуть вирішити завдання за лічені хвилини.