Момент сили простими словами. Як розрахувати крутний момент

Момент пари сил

Моментом сили щодо будь-якої точки (центру) називається вектор, чисельно рівний добутку модуля сили плече, тобто. на найкоротшу відстань від зазначеної точки до лінії дії сили, і спрямований перпендикулярно площині, що проходить через обрану точку і лінію дії сили в той бік, звідки "обертання", що здійснюється силою навколо точки, представляється тим, що відбувається проти ходу годинникової стрілки. Момент сили характеризує її обертальну дію.

Якщо Про- точка, щодо якої знаходиться момент сили F, то момент сили позначається символом М о (F). Покажемо, що якщо точка застосування сили Fвизначається радіус-вектором r, то справедливе співвідношення

М о (F)=r×F. (3.6)

Відповідно до цього співвідношення момент сили дорівнює векторному твору вектора r на вектор F.

Насправді модуль векторного твору дорівнює

М о ( F)=rF sin= Fh, (3.7)

де h– плече сили. Зауважимо також, що вектор М о (F)спрямований перпендикулярно до площини, що проходить через вектори. rі F, у той бік, звідки найкоротший поворот вектора rдо напрямку вектора Fє тим, що відбувається проти ходу годинникової стрілки. Таким чином, формула (3.6) повністю визначає модуль та напрямок моменту сили F.

Іноді формулу (3.7) корисно записувати як

М о ( F)=2S, (3.8)

де S- площа трикутника ОАВ.

Нехай x, y, z– координати точки докладання сили, а F x, F y, F z- Проекції сили на координатні осі. Тоді, якщо точка Прознаходиться на початку координат, момент сили виражається так:

Звідси випливає, що проекції моменту сили на координатні осі визначаються формулами:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Введемо тепер поняття проекції сили на площину.

Нехай дано силу Fта деяка площина. Опустимо з початку та кінця вектора сили перпендикуляри на цю площину.

Проекцією сили на площинуназивається вектор , початок і кінець якого збігаються з проекцією початку та проекцією кінця сили на цю площину.

Якщо в якості розглянутої площини прийняти площину хОу, то проекцією сили Fна цю площину буде вектор Fху.

Момент сили Fхущодо точки Про(точки перетину осі zз площиною хОу) може бути обчислений за формулою (3.9), якщо в ній прийняти z=0, F z=0. Отримаємо

MO(Fху)=(xF y -yF x)k.

Таким чином, момент спрямований вздовж осі z, а його проекція на вісь zточно збігається з проекцією на ту ж вісь моменту сили Fщодо точки Про. Іншими словами,

M Oz(F)=M Oz(Fху)= xF y -yF x. (3.11)

Очевидно, той самий результат можна отримати, якщо спроектувати силу Fна будь-яку іншу площину, паралельну хОу. При цьому точка перетину осі zз площиною буде вже інший (позначимо нову точку перетину через Про 1). Проте всі, хто входить до праву частинурівності (3.11) величини х, у, F х, F узалишаться незмінними, і, отже, можна записати

M Oz(F)=M O 1 z ( Fху).

Іншими словами, проекція моменту сили щодо точки на вісь, що проходить через цю точку, не залежить від вибору точки на осі . Тому надалі замість символу M Oz(F) будемо застосовувати символ M z(F). Ця проекція моменту називається моментом сили щодо осі z. Обчислення моменту сили щодо осі часто буває зручніше проводити за допомогою проектування сили Fна площину, перпендикулярну до осі, та обчислення величини M z(Fху).

Відповідно до формули (3.7) та враховуючи знак проекції, отримаємо:

M z(F)=M z(Fху)=± F ху · h *. (3.12)

Тут h*– плече сили Fхущодо точки Про. Якщо спостерігач бачить з боку позитивного спрямування осі z, що сила Fхупрагне повернути тіло навколо осі zпроти ходу годинникової стрілки, то береться знак "+", а інакше – знак "-".

Формула (3.12) дає можливість сформулювати наступне правилодля обчислення моменту сили щодо осі. Для цього потрібно:

· Вибрати на осі довільну точку і побудувати площину, перпендикулярну до осі;

· Спроектувати на цю площину силу;

· Визначити плече проекції сили h *.

Момент сили щодо осі дорівнює добутку модуля проекції сили на її плече, взятому з відповідним знаком (див. вищевикладене правило).

З формули (3.12) випливає, що момент сили щодо осі дорівнює нулю у двох випадках:

· коли проекція сили на площину, перпендикулярну до осі, дорівнює нулю, тобто. коли сила і вісь паралельні ;

· коли плече проекції h*одно нулю, тобто. коли лінія дії перетинає вісь .

Обидва ці випадки можна об'єднати в один: момент сили щодо осі дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли лінія дії сили та вісь знаходяться в одній площині .

Завдання 3.1.Обчислити щодо точки Промомент сили F, прикладеної до точки Ата спрямованої по діагоналі грані куба зі стороною а.

При вирішенні подібних завдань доцільно спочатку обчислити моменти сили Fщодо координатних осей x, y, z. Координати точки Адокладання сили Fбудуть

Проекції сили Fна координатні осі:

Підставляючи ці значення рівності (3.10), знайдемо

, , .

Ці ж висловлювання для моментів сили Fщодо координатних осей можна одержати, користуючись формулою (3.12). Для цього спроектуємо силу Fна площині, перпендикулярні до осі хі у. Очевидно, що . Застосовуючи викладене вище правило, отримаємо, як і слід очікувати, ті ж вирази:

, , .

Модуль моменту визначиться рівністю

.

Введемо тепер поняття моменту пари. Знайдемо спочатку, чому дорівнює сума моментів сил, що становлять пару, щодо довільної точки. Нехай Про- Довільна точка простору, а Fі F" –сили, що становлять пару.

Тоді М о (F)= ОА × F, М о (F")= ОВ × F",

Мо (F)+ Мо (F")= ОА × F+ ОВ × F",

але так як F=-F", то

Мо (F)+ Мо (F")= ОА × F- ОВ × F=(ОА-ОВ)× F.

Беручи до уваги рівність ОА-ОВ=ВА , остаточно знаходимо:

Мо (F)+ Мо (F")= ВА × F.

Отже, сума моментів сил, що становлять пару, не залежить від положення точки, щодо якої беруться моменти .

Векторний витвір ВА × Fі називається моментом пари . Позначається момент пари символом М(F, F"), причому

М(F, F")=ВА × F= АВ × F",

або, коротше,

М=ВА × F= АВ × F". (3.13)

Розглядаючи праву частину цієї рівності, зауважуємо, що момент пари являє собою вектор, перпендикулярний площині пари, рівний за модулем добутку модуля однієї сил пари на плече пари (тобто на найкоротшу відстань між лініями дії сил, що становлять пару) і спрямований в той бік, звідки "обертання" пари видно тим, що відбувається проти ходу годинникової стрілки . Якщо h- плече пари, то М(F, F")=h×F.

З самого визначення видно, що момент пари сил є вільним вектором, лінія дії якого не визначена (додаткове обґрунтування цього зауваження випливає з теорем 2 і 3 цього розділу).

Для того, щоб пара сил становила врівноважену систему (систему сил, еквівалентну нулю), необхідно і достатньо, щоб момент пари дорівнював нулю. Дійсно, якщо момент пари дорівнює нулю, М=h×F, те чи F=0, тобто. немає сил, або плече пари hодно нулю. Але в цьому випадку сили пари діятимуть по одній прямій; так як вони рівні за модулем і спрямовані в протилежні сторони, то на підставі аксіоми 1 вони складуть врівноважену систему. Назад, якщо дві сили F 1і F 2складові пари, врівноважені, то на підставі тієї ж аксіоми 1 вони діють по одній прямій. Але в цьому випадку плече пари hдорівнює нулю і, отже, М=h×F=0.

Теореми про пари

Доведемо три теореми, за допомогою яких стають можливими еквівалентні перетворення пар. При всіх розглядах слід пам'ятати, що вони відносяться до пар, які діють якесь одне тверде тіло.

Теорема 1. Дві пари, що лежать в одній площині, можна замінити однією парою, що лежить у тій же площині, з моментом, що дорівнює сумі моментів даних двох пар.

Для доказу цієї теореми розглянемо дві пари ( F 1,F" 1) та ( F 2,F" 2) і перенесемо точки докладання всіх сил вздовж ліній їхньої дії в точки Аі Увідповідно. Складаючи сили по аксіомі 3 отримаємо

R=F 1+F 2і R"=F" 1+F" 2,

але F 1=-F" 1і F 2=-F" 2.

Отже, R=- R", тобто. сили Rі R"утворюють пару. Знайдемо момент цієї пари, скориставшись формулою (3.13):

М = М(R, R")=ВА× R= ВА× (F 1+F 2)=ВА× F 1+ВА× F 2. (3.14)

При перенесенні сил, що становлять пару, вздовж ліній їхньої дії ні плече, ні напрямок обертання пар не змінюються, отже, не змінюється і момент пари. Значить,

ВА×F 1 =М(F 1,F" 1)=М 1, ВА× F 2 = М(F 2,F" 2)=М 2

і формула (3.14) набуде вигляду

М = М 1 + М 2, (3.15)

як і доводить справедливість сформульованої вище теореми.

Зробимо два зауваження до цієї теореми.

1. Лінії дії сил, що становлять пари, можуть виявитися паралельними. Теорема залишається справедливою й у разі, але її докази слід скористатися правилом складання паралельних сил.

2. Після складання може вийти, що М(R, R") = 0; на підставі зробленого раніше зауваження з цього випливає, що сукупність двох пар ( F 1,F" 1, F 2,F" 2)=0.

Теорема 2. Дві пари, що мають геометрично рівні моменти, еквівалентні.

Нехай на тіло у площині Iдіє пара ( F 1,F" 1) з моментом М 1. Покажемо, що цю пару можна замінити іншою з парою ( F 2,F" 2), розташованої в площині IIякщо тільки її момент М 2дорівнює М 1(згідно з визначенням (див. 1.1) це і означатиме, що пари ( F 1,F" 1) та ( F 2,F" 2) Еквівалентні). Насамперед зауважимо, що площині Iі IIповинні бути паралельними, зокрема вони можуть збігатися. Справді, з паралельності моментів М 1і М 2(у нашому випадку М 1=М 2) Випливає, що площини дії пар, перпендикулярні моментам, також паралельні.

Введемо на розгляд нову пару ( F 3,F" 3) і прикладемо її разом з парою ( F 2,F" 2) до тіла, розташувавши обидві пари в площині II. Для цього, згідно з аксіомою 2, потрібно підібрати пару ( F 3,F" 3) з моментом М 3так, щоб прикладена система сил ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) була врівноважена. Це можна зробити, наприклад, так: покладемо F 3=-F" 1і F" 3 =-F 1і сумісний точки докладання цих сил з проекціями А 1 та У 1 точок Аі Уна площину II. Відповідно до побудови будемо мати: М 3 = -М 1або, враховуючи, що М 1 = М 2,

М 2 +М 3 = 0.

Зважаючи на друге зауваження до попередньої теореми, отримаємо ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) = 0. Таким чином, пари ( F 2,F" 2) та ( F 3,F" 3) взаємно врівноважені і приєднання їх до тіла не порушує його стану (аксіома 2), отже

(F 1,F" 1)= (F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3). (3.16)

З іншого боку, сили F 1і F 3, а також F" 1і F" 3можна скласти за правилом складання паралельних сил, спрямованих в один бік. За модулем усі ці сили рівні один одному, тому їх рівнодіючі Rі R"повинні бути додані в точці перетину діагоналей прямокутника АВВ 1 А 1; крім того, вони рівні за модулем і направлені в протилежні сторони. Це означає, що вони становлять систему, еквівалентну нулю. Отже,

(F 1,F" 1, F 3,F" 3)=(R, R")=0.

Тепер ми можемо записати

(F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3)=(F 3,F" 3). (3.17)

Порівнюючи співвідношення (3.16) і (3.17), отримаємо ( F 1,F" 1)=(F 2,F" 2), що і потрібно було довести.

З цієї теореми слід, що пару сил можна переміщати у площині її дії, переносити у паралельну площину; нарешті, у парі можна змінювати одночасно сили та плече, зберігаючи лише напрямок обертання пари та модуль її моменту ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

Надалі ми широко користуватимемося такими еквівалентними перетвореннями пари.

Теорема 3. Дві пари, що лежать у площинах, що перетинаються, еквівалентні одній парі, момент якої дорівнює сумімоментів двох даних пар.

Нехай пари ( F 1,F" 1) та ( F 2,F" 2) розташовані в площинах, що перетинаються Iі IIвідповідно. Користуючись наслідком теореми 2, наведемо обидві пари до плеча АВ, розташованому на лінії перетину площин Iі II. Позначимо трансформовані пари через ( Q 1,Q" 1) та ( Q 2,Q" 2). При цьому повинні виконуватись рівність

М 1 = М(Q 1,Q" 1)=М(F 1,F" 1) та М 2 = М(Q 2,Q" 2)=М(F 2,F" 2).

Складемо по аксіомі 3 сили, прикладені в точках Аі Увідповідно. Тоді отримаємо R = Q 1 + Q 2і R"= Q" 1 +Q" 2. Враховуючи що Q" 1 =-Q 1і Q" 2 =-Q 2, отримаємо R=-R". Таким чином, ми довели, що система двох пар еквівалентна одній парі ( R,R").

Знайдемо момент Мцієї пари. На підставі формули (3.13) маємо

М(R,R")=ВА× (Q 1 +Q 2)=ВА× Q 1 + ВА× Q 2=

=М(Q 1,Q" 1)+М(Q 2,Q" 2)=М(F 1,F" 1)+М(F 2,F" 2)

М = М 1 + М 2,

тобто. теорему доведено.

Зауважимо, що отриманий результат справедливий і для пар, що лежать у паралельних площинах. По теоремі 2 такі пари можна призвести до однієї площини, а по теоремі 1 їх можна замінити однією парою, момент якої дорівнює сумі складових моментів пар.

Доведені вище теореми про пари дозволяють зробити важливий висновок: момент пари є вільним вектором та повністю визначає дію пари на абсолютно тверде тіло . Насправді ми вже довели, що якщо дві пари мають однакові моменти (отже, лежать в одній площині або в паралельних площинах), то вони один одному еквівалентні (теорема 2). З іншого боку, дві пари, що лежать у площинах, що перетинаються, не можуть бути еквівалентними, бо це означало б, що одна з них і пара, протилежна іншій, еквівалентні нулю, що неможливо, оскільки сума моментів таких пар відрізняється від нуля.

Таким чином, введене поняття моменту пари є надзвичайно корисним, оскільки воно повністю відображає механічну дію пари на тіло. У цьому сенсі можна сказати, що момент вичерпним чином є дією пари на тверде тіло.

Для тіл, що деформуються, викладена вище теорія пар не застосовна. Дві протилежні пари, що діють, наприклад, по торцях стрижня, з погляду статики твердого тіла еквівалентні нулю. Тим часом їхня дія на деформований стрижень викликає його кручення, і тим більше, чим більше модулі моментів.

Перейдемо до вирішення першої та другої задач статики, коли на тіло діють лише пари сил.

Визначення 1

Моментом сили є крутний або обертальний момент, будучи при цьому векторною фізичною величиною.

Вона визначається як векторний добуток сили вектора, а також радіус-вектора, який проведений від осі обертання до точки застосування зазначеної сили.

Момент сили є характеристикою обертального впливу сили на тверде тіло. Поняття «крутний» і «крутний» моменти не будуть вважатися при цьому тотожними, оскільки в техніці поняття «крутний» момент розглядають як зовнішнє зусилля, що прикладається до об'єкта.

У той самий час, поняття «крутний» розглядається у форматі внутрішнього зусилля, що у об'єкті під впливом певних доданих навантажень (подібним поняттям оперують під час опору матеріалів).

Поняття моменту сили

Момент сили у фізиці може розглядатися у вигляді так званої «крутної сили». У СІ за одиницю виміру приймають ньютон-метр. Момент сили також може називатися "моментом пари сил", що зазначено у роботах Архімеда над важелями.

Зауваження 1

У простих прикладах, При додатку сили до важеля в перпендикулярному відношенні до нього, момент сили визначатиметься у вигляді добутку величини зазначеної сили та відстані до осі обертання важеля.

Наприклад, сила в три ньютона, прикладена на двометровій відстані від осі обертання важеля, створює момент, рівнозначний силі в один ньютон, прикладеної на 6-метровій відстані до важеля. Більш точно, момент сили частки визначають у форматі векторного твору:

$\vec(M)=\vec(r)\vec(F)$, де:

• $\vec (F)$ являє силу, що впливає на частинку,
• $\vec(r)$ є радіусом вектора частки.

У фізиці слід розуміти енергію як скалярну величину, в той час як момент сили вважатиметься величиною (псевдо) векторною. Збіг розмірностей подібних величин не буде випадковим: момент сили в 1 Н м, який прикладено через цілий оборот, здійснюючи механічну роботу, повідомляє енергію в 2 джоулів. Математично це виглядає так:

$ E = M \ theta $, де:

• $E$ представляє енергію;
• $M$ вважається моментом, що обертається;
• $\theta$ буде кутом у радіанах.

Сьогодні вимірювання моменту сили здійснюють за допомогою спеціальних датчиків навантаження тензометричного, оптичного та індуктивного типу.

Формули розрахунку моменту сили

Цікавим у фізиці є обчислення моменту сили в полі, яке виробляється за формулою:

$\vec(M) = \vec(M_1)\vec(F)$, де:

• $\vec(M_1)$ вважається моментом важеля;
• $\vec(F)$ представляє величину чинної сили.

Недоліком такого уявлення буде вважатися той факт, що воно не визначає напрямок моменту сили, а лише його величину. При перпендикулярності сили вектору вектору $\vec(r)$ момент важеля дорівнює відстані від центру до точки прикладеної сили. При цьому момент сили виявиться максимальним:

$\vec(T)=\vec(r)\vec(F)$

При скоєнні силою певного на якійсь відстані, вона зробить механічну роботу. Так само і момент сили (при виконанні дії через кутову відстань) здійснить роботу.

$P = \vec(M)\omega $

У існуючій міжнародній системі вимірювань потужність $P$ буде вимірюватися у Ваттах, а безпосередньо момент сили-в ньютон-метрах. При цьому кутова швидкість визначається в радіанах за секунду.

Момент кількох сил

Примітка 2

При вплив на тіло двох рівних, а також протилежно спрямованих сил, що не лежать при цьому на одній і тій самій прямій, спостерігається відсутність перебування цього тіла в стані рівноваги. Це пояснюється тим, що результуючий момент зазначених сил щодо будь-якої осі не має нульового значення, оскільки обидві представлені сили мають спрямовані в один бік моменти (пара сил).

У ситуації, коли тіло закріплюється на осі, відбудеться його обертання під впливом кількох сил. Якщо пара сил буде прикладена щодо вільного тіла, воно в такому випадку буде обертатися навколо осі, що проходить крізь центр тяжіння тіла.

Момент пари сил вважається однаковим щодо будь-якої осі, яка перпендикулярна до площини пари. При цьому сумарний момент $М$ пари завжди дорівнюватиме добутку однієї з сил $F$ на відстань $l$ між силами (плечо пари) незалежно від типів відрізків, на які воно поділяє положення осі.

$M=(FL_1+FL-2) = F(L_1+L_2)=FL$

У ситуації, коли рівнодіюча моменту кількох сил рівнозначна нулю, він вважатиметься однаковим щодо всіх паралельних один одному осей. Тому вплив на тіло всіх цих сил можна замінити дією лише однієї пари сил з таким же моментом.

Момент сили щодо осі або просто момент сили називається проекція сили на пряму, яка перпендикулярна до радіусу і проведена в точці докладання сили помножена на відстань від цієї точки до осі. Або добуток сили на плече її застосування. Плечо у разі це відстань від осі до точки докладання сили. Момент сили характеризує обертальний вплив сили на тіло. Ось у цьому випадку це місце кріплення тіла, щодо якого воно може здійснювати обертання. Якщо тіло не закріплено, то віссю обертання вважатимуться центр мас.

Формула 1 – Момент сили.

F - Сила, що діє на тіло.

r – Плечо сили.

Малюнок 1 – Момент сили.

Як видно з малюнка, плече сили - це відстань від осі до точки докладання сили. Але це якщо кут між ними дорівнює 90 градусів. Якщо це не так, то необхідно вздовж дії сили провести лінію та з осі опустити на неї перпендикуляр. Довжина цього перпендикуляра і дорівнюватиме плечу сили. А переміщення точки застосування сили вздовж напрямку сили не змінює її моменту.

Прийнято вважати позитивним такий момент сили, що викликає поворот тіла за годинниковою стрілкою щодо точки спостереження. А негативним відповідно викликає обертання проти неї. Вимірюється момент сили у Ньютонах на метр. Один Ньютонометр це сила в 1 Ньютон, що діє на плече в 1 метр.

Якщо сила, що діє на тіло, проходить вздовж лінії, що йде через вісь обертання тіла, або центр мас, якщо тіло не має осі обертання. То момент сили в цьому випадку дорівнюватиме нулю. Так як ця сила не буде викликати обертання тіла, а просто переміщатиме його поступально вздовж лінії додатка.

Малюнок 2 - Момент сили дорівнює нулю.

Якщо на тіло діє кілька сил, то момент сили визначатиме їх рівнодіюча. Наприклад, на тіло можуть діяти дві сили, що рівні за модулем і спрямовані протилежно. При цьому сумарний момент сили дорівнюватиме нулю. Бо ці сили компенсуватимуть одна одну. Якщо просто, то уявіть собі дитячу карусель. Якщо один хлопчик її штовхає за годинниковою стрілкою, а інший з тією самою силою проти, то карусель залишиться нерухомою.

Яка дорівнює добутку сили на її плече.

Момент сили обчислюють за допомогою формули:

де F- Сила, l- плече сили.

Плечо сили- це найкоротша відстань від лінії дії сили до осі обертання тіла. На малюнку нижче зображено тверде тіло, яке може обертатися довкола осі. Вісь обертання цього тіла є перпендикулярною до площини малюнка і проходить через точку, яка позначена як літера О. Пліч сили F tтут виявляється відстань lвід осі обертання до лінії дії сили. Визначають його в такий спосіб. Першим кроком проводять лінію дії сили, далі з т. Про яку проходить вісь обертання тіла, опускають на лінію дії сили перпендикуляр. Довжина цього перпендикуляра виявляється плечем цієї сили.

Момент сили характеризує обертову дію сили. Ця дія залежить як від сили, так і від плеча. Чим більше плече, тим меншу силу необхідно докласти, щоб отримати бажаний результат, тобто той самий момент сили (див. рис. вище). Саме тому відчинити двері, штовхаючи її біля петель, набагато складніше, ніж беручись за ручку, а гайку відвернути набагато легше довгим, ніж коротким гайковим ключем.

За одиницю моменту сили в СІ приймається момент сили в 1 Н, плече якої дорівнює 1м - ньютон-метр (Н · м).

Правило моментів.

Тверде тіло, яке може обертатися навколо нерухомої осі, знаходиться в рівновазі, якщо момент сили М 1обертає його за годинниковою стрілкою, що дорівнює моменту сили М 2 яка обертає його проти годинникової стрілки:

Правило моментів є наслідком однієї з теорем механіки, яка була сформульована французьким ученим П. Варіньйоном в 1687 р.

Пара сил.

Якщо на тіло діють 2 рівні та протилежно спрямовані сили, які не лежать на одній прямій, то таке тіло не знаходиться в рівновазі, тому що результуючий момент цих сил щодо будь-якої осі не дорівнює нулю, тому що обидві сили мають моменти, спрямовані в один бік . Дві такі сили, які одночасно діють на тіло, називають парою сил. Якщо тіло закріплено на осі, то під дією пари сил воно обертатиметься. Якщо пара сил прикладена «вільному тілу, воно буде обертатися навколо осі. проходить через центр тяжкості тіла, малюнку б.

Момент пари сил однаковий щодо будь-якої осі, перпендикулярної до площини пари. Сумарний момент Мпари завжди дорівнює добутку однієї з сил Fна відстань lміж силами, що називається плечем паринезалежно від того, на які відрізки l, і поділяє положення осі плече пари:

Момент кількох сил, рівнодіюча яких дорівнює нулю, буде однаковим щодо всіх осей, паралельних один одному, тому дію всіх цих сил на тіло можна замінити дією однієї пари сил з тим же моментом.

Найкраще визначення обертального моменту – це тенденція сили обертати предмет навколо осі, точки опори чи точки обертання. Обертальний момент можна розрахувати за допомогою сили та плеча моменту (перпендикулярна відстань від осі до лінії дії сили), або використовуючи момент інерції та кутове прискорення.

Кроки

Використання сили та плеча моменту

1. Визначте сили, що діють на тіло та відповідні моменти.Якщо сила не перпендикулярна даному плечу моменту (тобто вона діє під кутом), то вам може знадобитися знайти її складові з використанням тригонометричних функцій, таких як синус або косинус.

   • Розглянута складова сили залежатиме від еквівалента перпендикулярної сили.
   • Уявіть горизонтальний стрижень, до якого потрібно докласти силу 10 Н під кутом 30° над горизонтальною площиною, щоб обертати його навколо центру.
   • Оскільки вам потрібно використовувати силу, не перпендикулярну до плеча моменту, то для обертання стрижня вам необхідна вертикальна складова сили.
   • Отже, потрібно розглядати y-складову або використовувати F = 10sin30° Н.

2. Скористайтеся рівнянням моменту τ = Fr і просто замініть змінні заданими або отриманими даними.

   • Простий приклад: Уявіть собі дитину масою 30 кг, що сидить на одному кінці гойдалки-дошки. Довжина однієї сторони гойдалки становить 1,5 м-коду.
   • Оскільки вісь обертання гойдалки знаходиться у центрі, вам не потрібно множити довжину.
   • Вам необхідно визначити силу, що додається дитиною, за допомогою маси та прискорення.
   • Оскільки дана маса, вам потрібно помножити її на прискорення вільного падіння, що дорівнює 9,81 м/с 2 . Отже:
   • Тепер у вас є всі необхідні дані для використання рівняння моменту:

3. Скористайтеся знаками (плюс або мінус), щоб показати напрямок моменту.Якщо сила обертає тіло за годинниковою стрілкою, момент негативний. Якщо сила обертає тіло проти годинникової стрілки, то момент позитивний.

   • У випадку кількох прикладених сил просто складіть всі моменти в тілі.
   • Оскільки кожна сила прагне викликати різні напрямки обертання, важливо використовувати знак повороту для того, щоб стежити за напрямом дії кожної сили.
   • Наприклад, до обода колеса, що має діаметр 0,050 м, були прикладені дві сили, F 1 = 10,0 Н, спрямована за годинниковою стрілкою, і F 2 = 9,0 Н, спрямована проти годинникової стрілки.
   • Оскільки це тіло – коло, фіксована вісь є його центром. Вам потрібно розділити діаметр та отримати радіус. Розмір радіуса служитиме плечем моменту. Отже, радіус дорівнює 0,025 м-коду.
   • Для ясності ми можемо вирішити окремі рівняння кожного з моментів, що виникають від відповідної сили.
   • Для сили 1 дія спрямована за годинниковою стрілкою, отже, момент, що створюється нею, негативний:
   • Для сили 2 дія спрямована проти годинникової стрілки, отже, позитивний момент, що створюється нею:
   • Тепер ми можемо скласти всі моменти, щоб отримати результуючий обертальний момент:

   Використання моменту інерції та кутового прискорення

   1. Щоб почати розв'язувати завдання, розберіться, як діє момент інерції тіла.Момент інерції тіла – це опір тіла обертальному руху. Момент інерції залежить від маси, і від характеру її розподілу.

      • Щоб чітко розуміти це, уявіть собі два циліндри однакового діаметра, але різної маси.
      • Уявіть собі, що вам потрібно повернути обидва циліндри навколо їх центральної осі.
      • Очевидно, що циліндр з більшою масою буде складніше повернути, ніж інший циліндр, оскільки він "важчий".
      • А тепер уявіть собі два циліндри різних діаметрів, але однакової маси. Щоб виглядати циліндричними і мати різну масу, але в той же час мати різні діаметри, форма або розподіл маси обох циліндрів повинна відрізнятися.
      • Циліндр з великим діаметром виглядатиме як плоска закруглена пластина, тоді як менший циліндр виглядатиме як цільна трубка з тканини.
      • Циліндр з великим діаметром буде складніше обертати, оскільки вам потрібно докласти більшої сили, щоб подолати довше плече моменту.

   2. Виберіть рівняння, яке ви використовуватимете для розрахунку моменту інерції.Існує кілька рівнянь, які можна використовувати для цього.

      • Перше рівняння – найпростіше: підсумовування мас та плечей моментів усіх частинок.
      • Це рівняння використовується для матеріальних точок або частинок. Ідеальна частка - це тіло, що має масу, але не займає простору.
      • Іншими словами, єдиною важливою характеристикою цього тіла є маса; вам не потрібно знати його розмір, форму чи будову.
      • Ідея матеріальної частки широко використовується у фізиці з метою спрощення розрахунків та використання ідеальних та теоретичних схем.
      • Тепер уявіть собі об'єкт на зразок порожнього циліндра або суцільної рівномірної сфери. Ці предмети мають чітку та певну форму, Розмір та будова.
      • Отже, ви не можете розглядати їх як матеріальну точку.
      • На щастя, можна використовувати формули, які застосовуються до деяких поширених об'єктів:

   3. Знайдіть момент інерції.Щоб почати розраховувати крутний момент, потрібно знайти момент інерції. Скористайтеся таким прикладом як керівництво:

      • Два невеликі "вантажі" масою 5,0 кг і 7,0 кг встановлені на відстані 4,0 м один від одного на легкому стрижні (масою якого можна знехтувати). Вісь обертання знаходиться у середині стрижня. Стрижень розкручується із стану спокою до кутової швидкості 30,0 рад/с за 3,00 с. Розрахуйте обертальний момент.
      • Оскільки вісь обертання перебуває у середині стрижня, то плече моменту обох вантажів дорівнює половині його довжини, тобто. 2,0м.
      • Оскільки форма, розмір та будова “вантажів” не обумовлюється, ми можемо припустити, що вантаж є матеріальними частинками.
      • Момент інерції можна обчислити так:

   4. Знайдіть кутове прискорення, α.Для розрахунку кутового прискорення можна скористатися формулою = at/r.

      • Перша формула, = at/r, може використовуватися в тому випадку, якщо дано тангенціальне прискорення і радіус.
      • Тангенціальне прискорення – це прискорення, спрямоване щодо до напрямку руху.
      • Уявіть собі об'єкт, що рухається криволінійним шляхом. Тангенціальне прискорення - це його лінійне прискорення на будь-якій з точок всього шляху.
      • У разі другої формули, найлегше проілюструвати її, пов'язавши з поняттями з кінематики: зміщенням, лінійною швидкістю та лінійним прискоренням.
      • Зміщення – це відстань, пройдена об'єктом (одиниця СІ – метри, м); лінійна швидкість – це показник зміни усунення за одиницю часу (одиниця СІ – м/с); лінійне прискорення – показник зміни лінійної швидкості за одиницю часу (одиниця СІ – м/с 2).
      • Тепер розглянемо аналоги цих величин при обертальному русі: кутове зміщення, θ – кут повороту певної точки чи відрізка (одиниця СІ – радий); кутова швидкість, ω – зміна кутового зміщення за одиницю часу (одиниця СІ – рад/с); та кутове прискорення, α – зміна кутової швидкості за одиницю часу (одиниця СІ – рад/с 2).
      • Повертаючись до нашого прикладу – нам були дані для кутового моменту та час. Оскільки обертання починалося зі стану спокою, то початкова кутова швидкість дорівнює 0. Ми можемо скористатися рівнянням, щоб знайти:
   5. Якщо вам складно уявити, як відбувається обертання, візьміть ручку і спробуйте відтворити завдання. Для більш точного відтворення не забудьте скопіювати положення осі обертання та напрямок прикладеної сили.