Формула знаходження площі трикутника з трьох сторін. Як знайти площу трикутника

Трикутник - найпростіша геометрична фігура, що складається з трьох сторін та трьох вершин. Завдяки своїй простоті трикутник з античних часів використовується для проведення різних вимірювань, а сьогодні фігура може стати в нагоді для вирішення практичних та побутових завдань.

Особливості трикутника

Фігура з давніх-давен використовується для обчислень, наприклад, землеміри і астрономи оперують властивостями трикутників для обчислення площ і відстаней. Через площу цієї фігури легко виразити площу будь-якого n-кутника, і ця властивість була використана античними вченими для виведення формул площ багатокутників. Постійна роботаз трикутниками, особливо з прямокутним трикутником, стала основною цілого розділу математики - тригонометрії.

Геометрія трикутника

Властивості геометричної фігури вивчалися з давніх-давен: сама рання інформаціяпро трикутник було знайдено в єгипетських папірусах 4000-річної давності. Потім фігуру вивчали в Стародавню Греціюі найбільший внесок у геометрію трикутника зробили Евклід, Піфагор та Герон. Вивчення трикутника ніколи не припинялося, і в 18-му столітті Леонард Ейлер ввів поняття ортоцентра фігури та кола Ейлера. На рубежі 19 і 20 століть, коли здавалося, що про трикутник відомо все, Френк Морлі сформулював теорему про трисектриси кута, а Вацлав Серпінський запропонував трикутник-фрактал.

Існує кілька видів плоских трикутників, знайомих нам зі шкільного курсу геометрії:

• гострокутний – всі кути фігури гострі;
• тупокутний - фігура має один тупий кут (більше 90 градусів);
• прямокутний - фігура містить один прямий кут, що дорівнює 90 градусів;
• рівнобедрений - трикутник із двома рівними сторонами;
• рівносторонній – трикутник з усіма рівними сторонами.
• У реального життязустрічаються всі види трикутників, і в деяких випадках нам може знадобитися обчислити площу геометричної фігури.

Площа трикутника

Площа – це оцінка того, яку частину площини обмежує постать. Площа трикутника можна знайти шістьма способами, оперуючи сторонами, висотою, величинами кутів, радіусом вписаного або описаного кола, а також використовуючи формулу Герона або обчислюючи подвійний інтеграл лініями, що обмежують площину. Сама проста формуладля обчислення площі трикутника виглядає як:

де a – сторона трикутника, h – його висота.

Однак на практиці нам не завжди зручно знаходити висоту геометричної фігури. Алгоритм нашого калькулятора дозволяє обчислювати площу, знаючи:

• три сторони;
• дві сторони та кут між ними;
• одну сторону та два кути.

Для визначення площі через три сторони ми використовуємо формулу Герона:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

де p – напівпериметр трикутника.

Обчислення площі з обох сторін і куту проводяться за класичною формулою:

S = a x b x sin (alfa),

де alfa - кут між сторонами a та b.

Для визначення площі через один бік та два кути ми використовуємо співвідношення, що:

a / sin (alfa) = b / sin (beta) = c / sin (gamma)

Використовуючи просту пропорцію, ми визначаємо довжину другої сторони, після чого розраховуємо площу за формулою S = a x b x sin (alfa). Даний алгоритм повністю автоматизований і вам необхідно лише внести задані змінні та отримати результат. Розглянемо кілька прикладів.

Приклади з життя

Тротуарна плитка

Допустимо, ви хочете замостити підлогу трикутною плиткою, і щоб визначити кількість необхідного матеріалу, вам слід дізнатися площу однієї плитки та площу підлоги. Нехай потрібно обробити 6 квадратних метрів поверхні, використовуючи плитку, розміри якої становлять a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см. Очевидно, що для обчислення площі трикутника калькулятор використовує формулу Герона і дасть результат:

Таким чином, площа одного елемента плитки становитиме 0,021 квадратний метр, і вам знадобиться 6/0,021 = 285 трикутників для благоустрою підлоги. Числа 20, 21 і 29 складають піфагорову трійку - числа, які задовольняють . І вірно, наш калькулятор також розрахував усі кути трикутника, і кут гама складає саме 90 градусів.

Шкільне завдання

У шкільному завданніНеобхідно відшукати площу трикутника, знаючи, що сторона a = 5 см, а кути альфа та бета рани 30 і 50 градусів відповідно. Для вирішення цього завдання вручну ми спочатку знайшли б значення сторони b, використовуючи пропорцію співвідношення сторін і синусів кутів, що протилежать, після чого визначили площу з використанням простої формули S = ​​a × b × sin (alfa). Давайте заощадимо час, введемо дані у форму калькулятора та отримаємо миттєву відповідь

При використанні калькулятора важливо коректно вказати кути та сторони, інакше результат буде неправильним.

Висновок

Трикутник - унікальна постать, яка зустрічається як у реальному житті, так і в абстрактних розрахунках. Використовуйте наш онлайн-калькулятор для визначення площі трикутників будь-яких видів.

Трикутник - це така геометрична фігура, яка складається з трьох прямих, що з'єднуються в точках, що не лежать на одній прямій. Точки з'єднання прямих – це вершини трикутника, які позначаються латинськими літерами(наприклад, A, B, C). Прямі трикутники, що з'єднуються, називаються відрізками, які також прийнято позначати латинськими літерами. Розрізняють такі типи трикутників:

• Прямокутний.
• Тупокутний.
• Гострокутний.
• Різнобічний.
• Рівносторонній.
• Рівностегновий.

Загальні формули для обчислення площі трикутника

Формула площі трикутника по довжині та висоті

S = a * h / 2,
де а – це довжина сторони трикутника, площу якого потрібно знайти, h-довжина проведеної до основи висоти.

Формула Герону

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
де √-це квадратний корінь, p-напівпериметр трикутника, a, b, c – це довжина кожної сторони трикутника. Напівпериметр трикутника можна обчислити за формулою p=(a+b+c)/2.

Формула площі трикутника за величиною кута та довжиною відрізка

S = (a*b*sin(α))/2,
де b,c -цедовжина сторін трикутника, sin(α) - синус кута між двома сторонами.

Формула площі трикутника по радіусу вписаного кола та трьом сторонам

S=p*r,
де p-це напівпериметр трикутника, площу якого потрібно знайти, r-радіус вписаної в цей трикутник кола.

Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного навколо нього кола

S = (a * b * c) / 4 * R,
де a,b,c-це величина довжини кожної сторони трикутника, R-радіус описаної навколо трикутника кола.

Формула площі трикутника за декартовими координатами точок

Декартові координати точок - це координати в системі xOy, де x-це абсциса, y-ордината. Декартовою системою координат xOy на площині називають взаємно перпендикулярні числові осі Oх і Oy з загальним початкомвідліку в точці О. Якщо задані координати точок на цій площині у вигляді A(x1, y1), B(x2, y2) та C(x3, y3), то можна обчислити площу трикутника за такою формулою, яка отримана з векторного добутку двох векторів.
S = | (x1 - x3) (y2 - y3) - (x2 - x3) (y1 - y3) |
де || позначає модуль.

Як знайти площу прямокутного трикутника

Прямокутний трикутник – це трикутник, у якого один кут становить 90 градусів. Такий кут трикутника може бути лише один.

Формула площі прямокутного трикутника за двома катетами

S = a * b / 2,
де a, b – це довжина катетів. Катетами називаються сторони, що належать до прямого кута.

Формула площі прямокутного трикутника з гіпотенузи та гострого кута

S = a * b * sin (α) / 2,
де a, b – це катети трикутника, а sin(α) – це синус кута, в якому перетинаються прямі a, b.

Формула площі прямокутного трикутника по катету та протилежному куту

S = a*b/2*tg(β),
де a, b – це катети трикутника, tg(β) – це тангенс кута, де з'єднуються катети a, b.

Як обчислити площу рівнобедреного трикутника

Рівностегновим називається такий трикутник, який має дві рівні сторони. Ці сторони називаються бічними, а інша сторона є основою. Для обчислення площі рівнобедреного трикутникаможна використовувати одну з таких формул.

Основна формула для обчислення площі рівнобедреного трикутника

S=h*c/2,
де с - це основа трикутника, h-це висота трикутника, опущеного до основи.

Формула рівнобедреного трикутника збоку та основи

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
де с - основа трикутника, a- величина однієї з бічних сторін рівнобедреного трикутника.

Як знайти площу рівностороннього трикутника

Рівносторонній трикутник – це трикутник, у якого всі сторони рівні. Для обчислення площі рівностороннього трикутникаможна використовувати таку формулу:
S = (√3 * a * a) / 4,
де a-це довжина сторони рівностороннього трикутника.

Наведені вище формули дозволять обчислити потрібну площу трикутника. Важливо пам'ятати, що для обчислення помилки трикутників потрібно враховувати тип трикутника та доступні дані, які можна використовувати для обчислення.

Трикутник – добре знайома всім постать. І це, незважаючи на багате розмаїття його форм. Прямокутний, рівносторонній, гострокутний, рівнобедрений, тупокутний. Кожен із них чимось відрізняється. Але для кожного потрібно дізнаватися площу трикутника.

Загальні для всіх трикутників формули, в яких використовуються довжини сторін або висот

Позначення, прийняті в них: сторони - а, в, с; висоти на відповідні сторони н а, н в, н с.

1. Площа трикутника обчислюється, як добуток, сторони і висоти, опущеної на неї. S = ½ * а * н а. Аналогічно слід записати формули для двох інших сторін.

2. Формула Герона, у якій фігурує напівпериметр (його прийнято позначати маленькою літерою р, на відміну повного периметра). Напівпериметр необхідно порахувати так: скласти всі сторони і розділити їх на 2. Формула напівпериметра: р = (а + в + с) / 2. Тоді рівність для площі фігури виглядає так: S = √ (р * (р - а) * ( р - в) * (р - с)).

3. Якщо не хочеться використовувати напівпериметр, то стане в нагоді така формула, в якій присутні тільки довжини сторін: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с - а) * (а + с - в) * (а + в – с)). Вона трохи довша за попередню, але виручить, якщо забулося, як знаходити напівпериметр.

Загальні формули, у яких фігурують кути трикутника

Позначення, які потрібні для прочитання формул: α, β, γ – кути. Вони лежать навпроти сторони, в, з, відповідно.

1. По ній половина добутку двох сторін та синуса кута між ними дорівнює площі трикутника. Тобто: S = ½ а * в * sin γ. Так само слід записати формули для двох інших випадків.

2. Площа трикутника можна обчислити по одній стороні та трьом відомим кутам. S = (а 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Існує ще формула з однією відомою стороною та двома прилеглими до неї кутами. Вона виглядає таким чином: S = з 2/(2 (ctg α + ctg β)).

Дві останні формули є не найпростішими. Запам'ятати їх досить складно.

Загальні формули для ситуації, коли відомі радіуси вписаних чи описаних кіл

Додаткові позначення: r, R – радіуси. Перший використовується для радіусу вписаного кола. Другий – для описаної.

1. Перша формула, за якою обчислюється площа трикутника, пов'язана із напівпериметром. S = р*r. Інакше її можна записати так: S = ½ r * (а + + с).

2. У другому випадку потрібно перемножити всі сторони трикутника і розділити їх на чотиризначний радіус описаного кола. У буквеному виразі це виглядає так: S = (а * в * с) / (4R).

3. Третя ситуація дозволяє обійтися без знання сторін, але знадобляться значення всіх трьох кутів. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Частковий випадок: прямокутний трикутник

Це найпростіша ситуація, оскільки потрібне знання лише довжини обох катетів. Вони позначаються латинськими літерами а і в. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині площі добудованого щодо нього прямокутника.

Математично це має такий вигляд: S = ½ а * в. Вона запам'ятовується найпростіше. Тому що виглядає як формула для площі прямокутника, тільки з'являється ще дріб, що означає половину.

Частковий випадок: рівнобедрений трикутник

Оскільки в нього дві сторони рівні, деякі формули для його площі виглядають дещо спрощеними. Наприклад, формула Герона, за якою обчислюється площа рівнобедреного трикутника, набуває такого вигляду:

S = ½ в √((a + ½ в)*(a - ½ в)).

Якщо її перетворити, то вона стане коротшою. У такому разі формула Герона для рівнобедреного трикутника записується так:

S = ¼ в √ (4 * a 2 - b 2).

Дещо простіше, ніж для довільного трикутника, виглядає формула площі, якщо відомі бічні сторони та кут між ними. S = ½ a 2 * sin β.

Окремий випадок: рівносторонній трикутник

Зазвичай у завданнях про нього відома сторона або її можна дізнатися. Тоді формула, за якою знаходиться площа такого трикутника, виглядає так:

S = (а 2 √3)/4.

Завдання на знаходження площі, якщо трикутник зображений на папері.

Найпростішою є ситуація, коли прямокутний трикутник накреслено так, що його катети збігаються з лініями паперу. Тоді потрібно просто порахувати кількість клітин, що укладаються в катети. Потім перемножити їх і поділити на два.

Коли трикутник є гострокутним або тупокутним, його потрібно домалювати до прямокутника. Тоді в фігурі, що вийшла, буде 3 трикутники. Один - той, що дано в задачі. А два інші — допоміжні та прямокутні. Визначити площі двох останніх потрібно за описаним вище способом. Потім порахувати площу прямокутника і відняти від нього ті, що обчислені для допоміжних. Площу трикутника визначено.

Набагато складнішою є ситуація, в якій жодна зі сторін трикутника не збігається з лініями паперу. Тоді його потрібно вписати у прямокутник так, щоб вершини вихідної фігури лежали на його сторонах. В цьому випадку допоміжних прямокутних трикутників буде три.

Приклад завдання на формулу Герона

Умови. У деякого трикутника відомі сторони. Вони дорівнюють 3, 5 і 6 см. Необхідно дізнатися про його площу.

Тепер можна обчислювати площу трикутника за зазначеною вище формулою. Під квадратним коренем виявляється добуток чотирьох чисел: 7, 4, 2 і 1. Тобто площа дорівнює √(4 * 14) = 2 √(14).

Якщо не потрібна велика точність, то можна витягти квадратний корінь із 14. Він дорівнює 3,74. Тоді площа дорівнюватиме 7,48.

Відповідь. S = 2√14 см 2 або 7,48 см 2 .

Приклад задачі із прямокутним трикутником

Умови. Один катет прямокутного трикутника більший, ніж другий на 31 см. Потрібно дізнатися про їх довжину, якщо площа трикутника дорівнює 180 см 2 .
Рішення. Прийде вирішити систему з двох рівнянь. Перше пов'язане із площею. Друге — із ставленням катетів, яке дано у завданні.
180 = ½ а * в;

а = + 31.
Спочатку значення «а» слід підставити на перше рівняння. Вийде: 180 = ½ (в + 31) * ст. У ньому лише одна невідома величина, тому його легко вирішити. Після розкриття дужок виходить квадратне рівняння: в 2 + 31 в - 360 = 0. Воно дає два значення для "в": 9 і - 40. друге число не підходить як відповідь, так як довжина сторони трикутника не може бути негативною величиною.

Залишилося обчислити другий катет: додати до отриманого числа 31. Виходить 40. Це шукані завдання величини.

Відповідь. Катети трикутника дорівнюють 9 і 40 см.

Завдання на знаходження сторони через площу, бік та кут трикутника

Умови. Площа деякого трикутника 60 см2. Необхідно обчислити одну з сторін, якщо друга сторона дорівнює 15 см, а кут між ними дорівнює 30º.

Рішення. Виходячи з прийнятих позначень, шукана сторона «а», відома «в», заданий кут"γ". Тоді формулу площі можна переписати так:

60 = ½ а * 15 * sin 30 º. Тут синус 30 градусів дорівнює 0,5.

Після перетворень «а» виявляється рівним 60/(0,5*0,5*15). Тобто, 16.

Відповідь. Потрібна сторона дорівнює 16 см.

Завдання про квадрат, вписаний у прямокутний трикутник

Умови. Вершина квадрата зі стороною 24 см збігається із прямим кутом трикутника. Дві інші лежать на катетах. Третя належить гіпотенузі. Довжина одного з катетів дорівнює 42 см. Чому дорівнює площа прямокутного трикутника?

Рішення. Розглянемо два прямокутний трикутник. Перший - заданий у завданні. Другий – спирається на відомий катет вихідного трикутника. Вони подібні, тому що мають загальний кут та утворені паралельними прямими.

Тоді відносини їхніх катетів рівні. Катети меншого трикутника дорівнюють 24 см (сторона квадрата) і 18 см (заданий катет 42 см відняти сторону квадрата 24 см). Відповідні катети великого трикутника — 42 см та х см. Саме цей «х» потрібен для того, щоб обчислити площу трикутника.

18/42 = 24/х, тобто х = 24*42/18 = 56 (см).

Тоді площа дорівнює творам 56 і 42, поділеному на два, тобто 1176 см 2 .

Відповідь. Шукана площа дорівнює 1176 см 2 .

Часом у житті зустрічаються такі ситуації, коли доводиться копатися у пам'яті у пошуках давно забутих шкільних знань. Наприклад, потрібно визначити площу земельної ділянки трикутної форми або прийшла черга чергового ремонту в квартирі або приватному будинку, і потрібно порахувати, скільки піде матеріалу для поверхні з трикутною формою. Був час, коли ви могли вирішити таке завдання за пару хвилин, а тепер намагаєтеся пригадати, як же визначити площу трикутника?

Не варто через це переживати! Адже це цілком нормально, коли мозок людини вирішує перекласти знання, що давно не використовуються, кудись у віддалений куточок, з якого часом їх не так і легко витягти. Щоб вам не довелося мучитися з пошуком забутих шкільних знань для вирішення такого завдання, у цій статті зібрані різні методи, які дозволяють легко знайти потрібну площу трикутника.

Загальновідомо, що трикутником називають такий вид багатокутника, який обмежений мінімально можливою кількістю сторін. В принципі, будь-який багатокутник можна розділити на кілька трикутників, з'єднавши його вершини відрізками, які не перетинають його сторони. Тому, знаючи трикутника, можна порахувати площу практично будь-якої фігури.

Серед усіх можливих трикутників, які зустрічаються в житті, можна виділити такі окремі види: і прямокутний.

Найпростіше площа трикутника розраховується, коли один з його кутів прямий, тобто у випадку прямокутного трикутника. Неважко помітити, що він є половиною прямокутника. Тому його площа дорівнює половині добутку сторін, які утворюють між собою прямий кут.

Якщо нам відомі висота трикутника, опущена з однієї з його вершин на протилежний бік, і довжина цієї сторони, яку називають основою, площа розраховується як половина твору висоти на основу. Записується це за допомогою такої формули:

S = 1/2*b*h, у якій

S - потрібна площа трикутника;

b, h - відповідно, висота та основа трикутника.

Так легко розрахувати площу рівнобедреного трикутника, оскільки висота ділитиме протилежну сторону навпіл, і її легко можна буде виміряти. Якщо визначається площа то як висота зручно брати довжину однієї зі сторін, що утворюють прямий кут.

Все це звичайно добре, але як визначити, чи є один із кутів трикутника прямим чи ні? Якщо розмір нашої фігури невеликий, можна скористатися будівельним кутом, креслярським трикутником, листівкою або іншим предметом з прямокутною формою.

Але що робити, якщо маємо трикутну земельну ділянку? У цьому випадку надходять так: відраховують від вершини передбачуваного прямого кутапо одній із сторін відстань кратна 3 (30 см, 90 см, 3 м), а по іншій стороні відміряють у тій же пропорції відстань кратна 4 (40 см, 160 см, 4 м). Тепер потрібно виміряти відстань між кінцевими точками цих двох відрізків. Якщо вийшло значення кратне 5 (50 см, 250 см, 5 м), можна стверджувати, що кут прямий.

Якщо відомо значення довжини кожної із трьох сторін нашої фігури, то площу трикутника можна визначити, використовуючи формулу Герона. Для того, щоб вона мала більш простий вигляд, застосовують нову величину, яка називається напівпериметром. Це сума всіх сторін нашого трикутника, розділена навпіл. Після того, як напівпериметр порахований, можна приступати до визначення площі за формулою:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), де

sqrt – квадратний корінь;

p - значення напівпериметра (p = (a + b + c) / 2);

а,b,с - ребра (сторони) трикутника.

Але що робити, якщо трикутник має неправильну форму? Тут можливі два способи. Перший полягає в тому, щоб спробувати розділити таку фігуру на два прямокутні трикутники, суму площ яких порахувати окремо, а потім скласти. Або ж, якщо відомий кут між двома сторонами та розмір цих сторін, то застосувати формулу:

S = 0.5 * ab * sinC, де

a, b - Сторони трикутника;

с – величина кута між цими сторонами.

Останній випадок на практиці зустрічається рідко, проте в житті все можливо, тому наведена вище формула не буде зайвою. Успіхів у розрахунках!

Концепція площі

Поняття площі будь-якої геометричної фігури, зокрема трикутника, пов'язуватимемо з такою фігурою, як квадрат. За одиницю площі будь-якої геометричної фігури прийматимемо площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці. Для повноти згадаємо дві основні властивості для поняття площ геометричних фігур.

Властивість 1:Якщо геометричні фігурирівні, значення їх площ також рівні.

Властивість 2:Будь-яка фігура може бути розбита на кілька фігур. Причому площа первісної фігури дорівнює сумі значень площ усіх складових її постатей.

Розглянемо приклад.

Приклад 1

Очевидно, що одна із сторін трикутника є діагоналлю прямокутника , у якого одна сторона має довжину $5$ (бо $5$ клітин), а друга $6$ (оскільки $6$ клітин). Отже, площа цього трикутника дорівнюватиме половині такого прямокутника. Площа прямокутника дорівнює

Тоді площа трикутника дорівнює

Відповідь: $15$.

Далі розглянемо кілька методів для знаходження площ трикутників, а саме за допомогою висоти та основи, за допомогою формули Герона та площа рівностороннього трикутника.

Як знайти площу трикутника через висоту та основу

Теорема 1

Площу трикутника можна знайти як половину добутку довжини сторони, на висоту, проведену до цієї сторони.

Математично це виглядає так

$S=\frac(1)(2)αh$

де $a$ – довжина сторони, $h$ – висота, проведена до неї.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$, де $AC=α$. До цієї сторони проведена висота $BH$, яка дорівнює $h$. Добудуємо його до квадрата $AXYC$ як малюнку 2.

Площа прямокутника $AXBH$ дорівнює $h\cdot AH$, а прямокутника $HBYC$ дорівнює $h\cdot HC$. Тоді

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Отже, потрібна площа трикутника, за якістю 2, дорівнює

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Теорему доведено.

Приклад 2

Знайти площу трикутника на малюнку нижче, якщо клітина має площу, рівну одиниці

Основа цього трикутника дорівнює $9$ (бо $9$ становить $9$ клітин). Висота також дорівнює $9$. Тоді, за теоремою 1, отримаємо

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Відповідь: $ 40,5 $.

Формула Герону

Теорема 2

Якщо нам дано три сторони трикутника $α$, $β$ і $γ$, то його площу можна знайти таким чином

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

тут $ρ$ означає півпериметр цього трикутника.

Доведення.

Розглянемо наступний малюнок:

За теоремою Піфагора з трикутника $ABH$ отримаємо

З трикутника $CBH$, за теоремою Піфагора, маємо

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

З цих двох співвідношень отримуємо рівність

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Оскільки $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, то $α+β+γ=2ρ$, отже

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

По теоремі 1, отримаємо

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$