Чому дорівнює периметр кола? Як обчислити діаметр кола: формула та пояснення

Нас оточує безліч предметів. І багато хто з них має круглу форму. Вона поставлена ​​їм для зручного використання. Взяти, наприклад, колесо. Якби воно було виготовлене у формі квадрата, то як би котилося дорогою?

Для того, щоб виготовити предмет круглої форми, потрібно знати, як виглядає формула довжини кола через діаметр. Для цього спочатку визначимо, що ж це поняття.

Коло та коло

Колом є безліч точок, які розміщені на рівній відстані від основної точки – центру. Ця відстань називається радіусом.

Відстань між двома точками на цій лінії називається хордою. Крім того, якщо хорда проходить через основну точку (центр), вона називається діаметром.

А тепер розглянемо, що таке коло. Сукупність усіх точок, що знаходяться всередині контуру, називається колом.

Що таке довжина кола?

Після того як ми розглянули всі визначення, ми можемо вираховувати діаметр кола. Формула буде розглянута трохи згодом.

Для початку ми спробуємо виміряти довжину контуру склянки. Для цього ми обмотаємо його ниткою, потім її виміряємо лінійкою і дізнаємося про приблизну довжину уявної лінії навколо склянки. Тому що розмір залежить від правильного виміру предмета, а цей спосіб не є надійним. Проте зробити точні вимірювання цілком можливо.

Для цього знову згадаємо про колесо. Неодноразово ми бачили, якщо збільшити спицю в колесі (радіус), то збільшиться і довжина обода колеса (кола). І так само при зменшенні радіуса кола зменшується і довжина обода.

Якщо уважно простежити за цими змінами, то побачимо, що довжина уявної круглої лінії пропорційна її радіусу. І це число є постійним. Далі розглянемо, як визначається діаметр кола: формула для цього застосовується у прикладі нижче. І розглянемо її, слідуючи крок за кроком.

Формула кола через діаметр

Оскільки довжина контуру пропорційна до радіусу, то і відповідно пропорційна діаметру. Тому її довжину ми умовно означимо літерою C, діаметр – d. Оскільки співвідношення довжини контуру та діаметра - постійне число, то його можна визначити.

Виконавши всі підрахунки, ми визначимо число, яке приблизно дорівнює 3,1415. π . Цей значок нам знадобиться для того, щоб було виведено формулу довжини кола через діаметр.

Проведемо уявну лінію через центральну точку та виміряємо відстань між двома крайніми. Це буде діаметр. Якщо будемо знати діаметр кола, формула для визначення довжини її самого виглядатиме так: C = d * π.

Якщо ми визначатимемо довжину різних обрисів, то якщо відомий їхній діаметр, формула буде застосована одна і та ж. Оскільки знак π - це приблизне числення, те й було вирішено множити діаметр на 3,14 (число, округлене до сотих).

Як визначити діаметр: формула

На цей раз спробуємо за допомогою цієї формули обчислити інші величини, крім довжини контуру. Щоб обчислити діаметр по довжині кола, формула використовується та сама. Тільки для цього її довжину ділимо на π . Це буде виглядати так d = C / π.

Розглянемо, як ця формула діє практично. Наприклад, нам відома довжина контуру колодязя, слід обчислити його діаметр. Виміряти його неможливо, оскільки через погодні умови немає доступу до нього. А завдання у нас – виготовити кришку. Що робитимемо в такому випадку?

Потрібно скористатися формулою. Візьмемо довжину контуру колодязя - наприклад, 600 див. У формулу ставимо конкретне число, саме З = 600 / 3,14. В результаті ми отримаємо приблизно 191 см. Округлимо результат до 200 см. Потім за допомогою циркулю малюємо круглу лінію з радіусом 100 см.

Оскільки обрис з великим діаметром потрібно креслити відповідним циркулем, такий інструмент можна виготовити самому. Для цього візьмемо рейку потрібної довжини та на кожному кінці вбиваємо по цвяху. Встановлюємо один цвях у заготівлю і злегка вбиваємо його, щоб він не зрушив з наміченого місця. А за допомогою другого креслимо лінію. Пристрій дуже простий і зручний.

Сучасні технології дозволяють для обчислення довжини контуру використовувати онлайн-калькулятор. Для цього потрібно лише ввести діаметр кола. Формула буде застосована автоматично. Також можна обчислювати довжину кола з допомогою радіусу. Крім того, якщо ви знаєте довжину кола, онлайн-калькулятор обчислює радіус та діаметр за допомогою даної формули.

Окружність - замкнута крива, всі точки якої знаходяться на однаковій відстані від центру. Ця фігура є плоскою. Тому вирішення завдання, питання якого полягає в тому, як знайти довжину кола, є досить простим. Усі наявні методи, ми розглянемо у сьогоднішній статті.

Опис фігури

Крім досить простого описового визначення існують ще три математичні характеристики кола, які вже самі по собі містять відповідь на питання, як знайти довжину кола:

• Складається з точок A та B та всіх інших, з яких AB можна побачити під прямим кутом. Діаметр даної фігури дорівнює довжині відрізка, що розглядається.
• Включає виключно такі точки X, що відношення AX/BX незмінне і не дорівнює одиниці. Якщо ця умова не дотримується, то це не коло.
• Складається з точок, кожної з яких виконується така рівність: сума квадратів відстаней до двох інших - це задана величина, яка завжди більше половини довжини відрізка між ними.

Термінологія

Не у всіх у школі був хороший вчительматематики. Тому відповідь на питання, як знайти довжину кола, ускладнюється ще й тим, що не всі знають основні геометричні поняття. Радіус – відрізок, який з'єднує центр фігури з точкою на кривій. Особливим випадком у тригонометрії є одиничне коло. Хорда – відрізок, який з'єднує дві точки кривої. Наприклад, під цю ухвалу підпадає вже розглянутий AB. Діаметр – це хорда, що проходить через центр. Число π дорівнює довжині одиничного півкола.

Основні формули

З визначень безпосередньо випливають геометричні формули, які дозволяють розрахувати основні характеристики кола:

1. Довжина дорівнює добутку числа і діаметра. Формулу зазвичай записують так: C = π*D.
2. Радіус дорівнює половині діаметра. Його також можна розрахувати, обчисливши приватне від розподілу довжини кола на подвоєне число π. Формула має такий вигляд: R = C/(2* π) = D/2.
3. Діаметр дорівнює частці від розподілу довжини кола на π або подвоєному радіусу. Формула досить проста і виглядає так: D = C/π = 2*R.
4. Площа кола дорівнює добутку числа π і квадрата радіусу. Аналогічно у цій формулі можна використовувати діаметр. У цьому випадку площа дорівнюватиме приватному від ділення добутку числа π і квадрата діаметра на чотири. Формулу можна записати так: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Як знайти довжину кола по діаметру

Для простоти пояснення позначимо літерами, необхідні для розрахунку характеристики фігури. Нехай C - це довжина, що шукається, D - її діаметр, а число π приблизно дорівнює 3,14. Якщо у нас є лише одна відома величина, то завдання можна вважати вирішеним. Навіщо це потрібно у житті? Припустимо, ми вирішили обнести круглий басейн парканом. Як вирахувати необхідна кількістьстовпчиків? І тут на допомогу приходить уміння, як обчислити довжину кола. Формула виглядає так: C = π D. У нашому прикладі діаметр визначається на основі радіуса басейну і необхідної відстані до забору. Наприклад, припустимо, що наша домашня штучна водойма становить 20 метрів завширшки, а стовпчики ми збираємося ставити на десятиметровій відстані від неї. Діаметр окружності, що вийшла, дорівнює 20 + 10 * 2 = 40 м. Довжина - 3,14 * 40 = 125,6 метрів. Нам знадобляться 25 стовпчиків, якщо проміжок між ними буде близько 5 м.

Довжина через радіус

Як завжди, почнемо з присвоєння характеристик кола букв. Насправді вони є універсальними, тому математикам з різних країнзовсім не обов'язково знати мову один одного. Припустимо, що C - це довжина окружності, r - її радіус, а приблизно дорівнює 3,14. Формула виглядає у разі наступним чином: C = 2*π*r. Очевидно, що це абсолютно правильна рівність. Як ми вже розібралися діаметр кола дорівнює її подвоєному радіусу, тому ця формула так і виглядає. У житті цей спосіб теж може часто стати в нагоді. Наприклад, ми печемо торт у спеціальній розсувній формі. Щоб він не забруднився, нам потрібна декоративна обгортка. Але як вирізати коло необхідного розміру. Тут на допомогу приходить математика. Ті, хто знає, як дізнатися довжину кола, відразу скажуть, що потрібно помножити число π на подвоєний радіус форми. Якщо її радіус дорівнює 25 см, то довжина становитиме 157 сантиметрів.

Приклади завдань

Ми вже розглянули кілька практичних випадків отриманих знань про те, як дізнатися про довжину кола. Але часто нас турбують не вони, а реальні математичні задачі, що містяться у підручнику. Адже за них учитель виставляє бали! Тому розглянемо завдання підвищеної складності. Припустимо, що довжина кола становить 26 см. Як знайти радіус такої фігури?

Рішення прикладу

Спочатку запишемо, що нам дано: C = 26 см, π = 3,14. Також згадаємо формулу: C = 2 * π * R. З неї можна витягти радіус кола. Таким чином, R = C/2/π. Тепер приступимо до безпосереднього розрахунку. Спочатку ділимо довжину на дві. Отримуємо 13. Тепер потрібно розділити на значення числа π: 13/3,14 = 4,14 см. Важливо не забути записати відповідь правильно, тобто з одиницями виміру, інакше втрачається весь практичний зміст таких завдань. До того ж, за подібну неуважність можна отримати оцінку на один бал нижче. І як би прикро, доведеться миритися з таким станом речей.

Не такий страшний звір, як його малюють

Ось ми й розібралися з таким непростим на перший погляд завданням. Як виявилося, потрібно просто розуміти значення термінів та запам'ятати кілька легких формул. Математика – це не так страшно, потрібно лише докласти небагато зусиль. Так що геометрія чекає на вас!

• 16.11.2014

  На малюнку показано схему простого підсилювача потужності класу А на транзисторах. Підсилювач має вихідну потужність близько 20Вт на 8 Ом навантаженні. Напруга живлення може бути в межах від 22 до 28В (4А). Джерело - http://www.eleccircuit.com/class-a-amplifier-by-transistor/

• 29.09.2014

  Цей підсилювач призначений для посилення потужності передавача кишенькової радіостанції в діапазоні 144 МГц. При подачі з його вхід сигналу потужністю 0,05Вт і живленні 24В підсилювач видає потужність 5-6Вт, а живленні його напругою 12В він видає 3-4Вт. Вхідний та вихідний опори дорівнюють 50 Ом. Опис: перший каскад працює в класі.

• 04.10.2014

  У промислових апаратах використовують різні способирегулювання струму: шунтування за допомогою дроселів різних типів, зміна магнітного потоку за рахунок рухливості обмоток або магнітного шунтування, застосування магазинів активних баластових опорів та реостатів. До недоліків такого регулювання треба віднести складність конструкції, громіздкість опорів, їх сильне нагрівання при роботі, незручність при перемиканні. Найбільш …

• 03.10.2014

  На малюнку показано схему простого перетворювача напруги на TL496. Перетворювач перетворює постійну напругу 3В на постійну напругу 9В. Перетворювач напруги дуже простий, він складається з мікросхеми TL496 і конденсатора та дроселя на 50мкГн. Вихідний струм перетворювача може досягати 400мА (не гарантована вихідна напруга 9В). Струм споживання перетворювача без навантаження 125мкА.

Спочатку розберемося на відміну між колом і окружністю. Щоб побачити цю різницю, достатньо розглянути, чим є обидві фігури. Це незліченну кількість точок площини, що знаходяться на рівній відстані від єдиної центральної точки. Але, якщо коло складається і з внутрішнього простору, то коло воно не належить. Виходить, що коло це і коло, що обмежує його (о-кружність), і незліченну кількість точок, що всередині кола.

Для будь-якої точки L, що лежить на колі, діє рівність OL=R. (Довжина відрізка OL дорівнює радіусу кола).

Відрізок, який з'єднує дві точки кола, є її хордий.

Хорда, що проходить прямо через центр кола, є діаметромцього кола (D) . Діаметр можна обчислити за такою формулою: D=2R

Довжина окружностіобчислюється за формулою: C=2\pi R

Площа кола: S=\pi R^(2)

Дугого коланазивається та її частина, яка розташовується між двома її точками. Ці дві точки визначають дві дуги кола. Хорда CD стягує дві дуги: CMD та CLD. Однакові хорди стягують однакові дуги.

Центральним кутомназивається такий кут, що знаходиться між двома радіусами.

Довжину дугиможна знайти за формулою:

1. Використовуючи градусний захід: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Використовуючи радіальний захід: CD = \alpha R

Діаметр, що перпендикулярний хорді, ділить хорду і стягнуті нею дуги навпіл.

Якщо хорди AB і CD кола мають перетин у точці N , то твори відрізків хорд, розділені точкою N , рівні між собою.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Стосовно кола

Стосовно колаприйнято називати пряму, у якої є одна загальна точка з коло.

Якщо ж у прямої є дві спільні точки, її називають січучої.

Якщо провести радіус у точку торкання, він буде перпендикулярний дотичній до кола.

Проведемо дві дотичні з цієї точки до нашого кола. Вийде, що відрізки дотичних зрівняються один з одним, а центр кола розташується на бісектрисі кута з вершиною в цій точці.

AC = CB

Тепер до кола з нашої точки проведемо дотичну та січну. Отримаємо, що квадрат довжини відрізка дотичної дорівнюватиме добутку всього відрізка січної на його зовнішню частину.

AC^(2) = CD \cdot BC

Можна зробити висновок: добуток цілого відрізка першої січної на його зовнішню частину дорівнює добутку цілого відрізка другої сікної на його зовнішню частину.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Кути в колі

Градусні заходи центрального кута і дуги, яку той спирається, рівні.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Вписаний кут- Це кут, вершина якого знаходиться на колі, а сторони містять хорди.

Обчислити його можна, дізнавшись величину дуги, оскільки він дорівнює половині цієї дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Який спирається на діаметр, вписаний кут, прямий.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Вписані кути, що спираються на одну дугу, тотожні.

Опирающиеся однією хорду вписані кути тотожні чи його сума дорівнює 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180 ^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одному колі знаходяться вершини трикутників з тотожними кутами та заданою основою.

Кут з вершиною всередині кола і розташований між двома хордами тотожний половині суми кутових величин дуг кола, які полягають усередині даного та вертикального кутів.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Кут з вершиною поза коло і розташований між двома січними тотожний половині різниці кутових величин дуг кола, які полягають усередині кута.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписане коло

Вписане коло- Це коло, що стосується сторін багатокутника.

У точці, де перетинаються бісектриси кутів багатокутника, розташовується її центр.

Коло може бути вписане не в кожен багатокутник.

Площа багатокутника з вписаним колом знаходиться за формулою:

S = pr,

p - напівпериметр багатокутника,

r - радіус вписаного кола.

Звідси випливає, що радіус вписаного кола дорівнює:

r = \frac(S)(p)

Суми довжин протилежних сторін будуть тотожні, якщо коло вписано у опуклий чотирикутник. І навпаки: у опуклий чотирикутник вписується коло, якщо у ньому суми довжин протилежних сторін тотожні.

AB + DC = AD + BC

У будь-який з трикутників можна вписати коло. Лише одну єдину. У точці, де перетинаються бісектриси внутрішніх кутів фігури, лежатиме центр цього вписаного кола.

Радіус вписаного кола обчислюється за такою формулою:

r = \frac(S)(p) ,

де p = \frac(a + b + c)(2)

Описане коло

Якщо коло проходить через кожну вершину багатокутника, то таке коло прийнято називати описаної біля багатокутника.

У точці перетину серединних перпендикулярів сторін цієї фігури буде центр описаного кола.

Радіус можна знайти, обчисливши його як радіус кола, яка описана біля трикутника, визначеного будь-якими трьома вершинами багатокутника.

Є така умова: коло можна описати близько чотирикутника лише, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180^(\circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180 (\circ)

Біля будь-якого трикутника можна описати коло, причому одну-єдину. Центр такого кола буде розташований у точці, де перетинаються серединні перпендикуляристорін трикутника.

Радіус описаного кола можна обчислити за формулами:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = frac(abc)(4 S)

a, b, c - Довжини сторін трикутника,

S – площа трикутника.

Теорема Птолемея

Насамкінець, розглянемо теорему Птолемея.

Теорема Птолемея свідчить, що добуток діагоналей тотожний сумі творів протилежних сторін вписаного чотирикутника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Таким чином, довжину кола ( C) можна обчислити, помноживши константу π на діаметр ( D), або помноживши π на подвоєний радіус, оскільки діаметр дорівнює двом радіусам. Отже, формула довжини колавиглядатиме так:

C = πD = 2πR

де C- довжина окружності, π - Константа, D- Діаметр кола , R- Радіус кола.

Оскільки коло є межею кола , то довжину кола можна назвати довжиною кола чи периметром кола.

Завдання на довжину кола

Завдання 1.Знайти довжину кола, якщо його діаметр дорівнює 5 см.

Оскільки довжина кола дорівнює π помножене на діаметр, то довжина кола з діаметром 5 см дорівнюватиме:

C≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см)

Завдання 2.Знайти довжину кола, радіус якого дорівнює 3,5 м.

Спочатку знайдемо діаметр кола, помноживши довжину радіуса на 2:

D= 3,5 · 2 = 7 (м)

тепер знайдемо довжину кола, помноживши π на діаметр:

C≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м)

Завдання 3.Знайти радіус кола, довжина якого дорівнює 7,85 м.

Щоб знайти радіус кола по її довжині, треба довжину кола розділити на 2 π

Площа кола

Площа кола дорівнює добутку числа π на квадрат радіусу. Формула знаходження площі кола:

S = πr 2

де S- площа кола, а r- Радіус кола.

Так як діаметр кола дорівнює подвоєному радіусу, то радіус дорівнює діаметру, Поділеному на 2:

Завдання на площу кола

Завдання 1.Знайти площу кола, якщо його радіус дорівнює 2 см.

Оскільки площа кола дорівнює π помножене на радіус у квадраті, то площа кола з радіусом 2 см дорівнюватиме:

S≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2)

Завдання 2.Знайти площу кола, якщо його діаметр дорівнює 7 см.

Спочатку знайдемо радіус кола, розділивши його діаметр на 2:

7: 2 = 3,5 (см)

тепер обчислимо площу кола за формулою:

S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2)

Це завдання можна вирішити й іншим способом. Замість того, щоб спочатку знаходити радіус, можна скористатися формулою знаходження площі кола через діаметр:

Завдання 3.Знайти радіус кола, якщо площа дорівнює 12,56 м 2 .

Щоб знайти радіус кола на його площі, треба площу кола розділити π , а потім з отриманого результату витягти квадратний корінь:

r = √S : π

отже радіус дорівнюватиме:

r≈ √12,56: 3,14 = √4 = 2 (м)

Число π

Довжину кола предметів, що оточують нас, можна виміряти за допомогою сантиметрової стрічки або мотузки (нитки), довжину якої можна потім поміряти окремо. Але в деяких випадках помірити довжину кола важко або практично неможливо, наприклад, внутрішнє коло пляшки або просто довжину кола накресленого на папері. У разі можна обчислити довжину кола, якщо відома довжина її діаметра чи радіуса.

Щоб зрозуміти, як це можна зробити, візьмемо кілька круглих предметів, у яких можна виміряти і довжину кола та діаметр. Обчислимо відношення довжини до діаметра, в результаті отримаємо наступний ряд чисел:

З цього можна дійти невтішного висновку, що ставлення довжини кола до її діаметру це постійна величина кожної окремої кола й усім кіл у цілому. Це ставлення і позначається буквою π .

Використовуючи ці знання, можна за радіусом або діаметром кола знаходити його довжину. Наприклад, для обчислення довжини кола з радіусом 3 см потрібно помножити радіус на 2 (так ми отримаємо діаметр), а отриманий діаметр помножити на π . У результаті за допомогою числа π ми довідалися, що довжина кола з радіусом 3 див дорівнює 18,84 див.