एक समानांतर चतुर्भुज में वर्गों के निर्माण के लिए कार्य। कैसे एक तिरछा अनुभाग आकर्षित करने के लिए

परिभाषा

एक खंड एक सपाट आकृति है जो तब बनता है जब एक त्रि-आयामी आकृति एक विमान द्वारा प्रतिच्छेद की जाती है और जिसकी सीमा त्रि-आयामी आकृति की सतह पर होती है।

टिप्पणी

विभिन्न स्थानिक आंकड़ों के वर्गों का निर्माण करने के लिए, मूल परिभाषाओं और प्रमेयों को समानता और रेखाओं और विमानों की लंबवतता के साथ-साथ स्थानिक आंकड़ों के गुणों को याद रखना आवश्यक है। आइए हम मुख्य तथ्यों को याद करें।
अधिक जानकारी के लिए विस्तृत अध्ययन"स्टीरियोमेट्री का परिचय" विषयों को पढ़ने की सिफारिश की गई है। समानता" और "लंबवत। अंतरिक्ष में कोण और दूरी ”.

महत्वपूर्ण परिभाषाएँ

1. अंतरिक्ष में दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि वे एक ही तल में हों और प्रतिच्छेद न करें।

2. दो सीधी रेखाएँ अंतरिक्ष में प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनके माध्यम से कोई तल नहीं खींचा जा सकता है।

4. दो समतल समांतर होते हैं यदि उनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं।

5. अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं को लंबवत कहा जाता है यदि उनके बीच का कोण \(90^\circ\) है।

6. एक रेखा को एक तल के लंबवत कहा जाता है यदि यह इस तल में स्थित किसी भी रेखा के लंबवत हो।

7. दो तलों को लंबवत कहा जाता है यदि उनके बीच का कोण \(90^\circ\) है।

महत्वपूर्ण अभिगृहीत

1. तीन बिंदुओं के माध्यम से जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, एक विमान गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक।

2. एक विमान एक रेखा से होकर गुजरता है और एक बिंदु जो उस पर स्थित नहीं है, और इसके अलावा, केवल एक।

3. एक विमान दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक।

महत्वपूर्ण प्रमेय

1. यदि कोई रेखा \(a\) समतल \(\pi\) में नहीं पड़ी है, \(\pi\) समतल में स्थित किसी रेखा \(p\) के समानांतर है, तो यह दिए गए विमान के समानांतर है .

2. मान लीजिए कि रेखा \(p\) समतल \(\mu\) के समांतर है। यदि विमान \(\pi\) रेखा \(p\) से होकर गुजरता है और विमान \(\mu\) को काटता है, तो विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा \(\pi\) और \(\mu\) रेखा \(m\) है - रेखा \(p\) के समानांतर।

3. यदि एक तल से दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ दूसरे तल से प्रतिच्छेदी करने वाली दो रेखाओं के समांतर हों, तो ऐसे तल समांतर होंगे।

4. यदि दो समांतर तल \(\alpha\) और \(\beta\) तीसरे तल \(\gamma\) द्वारा प्रतिच्छेद किए जाते हैं, तो समतलों की प्रतिच्छेदन रेखाएँ भी समानांतर होती हैं:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

5. मान लीजिए कि रेखा \(l\) समतल \(\lambda\) में स्थित है। यदि रेखा \(s\) समतल \(\lambda\) को एक ऐसे बिंदु \(S\) पर काटती है जो रेखा \(l\) पर स्थित नहीं है, तो रेखाएँ \(l\) और \(s\) काटना।

6. यदि एक रेखा किसी दिए गए तल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत है, तो यह इस तल के लंबवत है।

7. तीन लंबवत प्रमेय।

चलो \(AH\) विमान \(\beta\) के लिए लंबवत हो। मान लीजिए \(AB, BH\) एक तिरछा है और इसका प्रक्षेपण समतल \(\beta\) पर है। फिर समतल \(\beta\) में रेखा \(x\) तिरछी रेखा के लंबवत होगी यदि और केवल यदि यह प्रक्षेपण के लंबवत है।

8. यदि कोई तल किसी अन्य तल के लम्बवत् सीधी रेखा से होकर गुजरता है, तो वह इस तल के लम्बवत् होता है।

टिप्पणी

एक और महत्वपूर्ण तथ्य जो अक्सर वर्गों के निर्माण के लिए प्रयोग किया जाता है:

एक रेखा और एक समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए, किसी दिए गए रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु और इस तल पर इसके प्रक्षेपण को खोजने के लिए पर्याप्त है।

ऐसा करने के लिए, रेखा \(a\) के दो मनमाने बिंदुओं \(A\) और \(B\) से हम समतल \(\mu\) - \(AA"\) और \(BB) पर लंब डालते हैं। "\) (बिंदु \ (A", B"\) को विमान पर बिंदु \(A, B\) के प्रक्षेपण कहा जाता है)। तब रेखा \(A"B"\) रेखा \(a\) का तल \(\mu\) पर प्रक्षेपण है। बिंदु \(M=a\cap A"B"\) रेखा \(a\) और समतल \(\mu\) का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

ध्यान दें कि सभी बिन्दु \(A, B, A", B", M\) एक ही तल में स्थित हैं।

उदाहरण 1

एक घन \(ABCDA"B"C"D"\) दिया है। \(A"P=\dfrac 14AA", \ KC=\dfrac15 CC"\). रेखा \(PK\) और समतल \(ABC\) का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान

1) क्योंकि घन किनारों \(AA", CC"\) \((ABC)\) के लंबवत हैं, फिर बिंदु \(A\) और \(C\) बिंदु \(P\) और \(K) के अनुमान हैं \) . तब रेखा \(AC\) विमान \(ABC\) पर रेखा \(PK\) का प्रक्षेपण है। हम खंडों \(PK\) और \(AC\) को बिंदुओं \(K\) और \(C\) से आगे बढ़ाते हैं, और रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु - बिंदु \(E\) प्राप्त करते हैं।

2) संबंध ज्ञात कीजिए \(AC:EC\) । \(\त्रिकोण पीएई\सिम \त्रिकोण केसीई\)दो कोने ( \(\angle A=\angle C=90^\circ, \angle E\)- सामान्य), यानी। \[\dfrac(PA)(KC)=\dfrac(EA)(EC)\]

यदि हम घन के किनारे को \(a\) द्वारा निरूपित करते हैं, तब \(PA=\dfrac34a, \ KC=\dfrac15a, \ AC=a\sqrt2\). फिर:

\[\dfrac(\frac34a)(\frac15a)=\dfrac(a\sqrt2+EC)(EC) \Rightarrow EC=\dfrac(4\sqrt2)(11)a \Rightarrow AC:EC=4:11\ ]

उदाहरण 2

दाना सही है त्रिकोणीय पिरामिड\(DABC\) जिसका आधार \(ABC\) है जिसकी ऊंचाई आधार की भुजा के बराबर है। मान लीजिए कि बिंदु \(M\) पिरामिड के पार्श्व किनारे को \(1:4\) के अनुपात में विभाजित करता है, पिरामिड के शीर्ष से गिनती करते हुए, और \(N\) पिरामिड की ऊंचाई \( के अनुपात में) 1:2\), पिरामिड के ऊपर से गिनती। रेखा \(MN\) और समतल \(ABC\) का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान

1) मान लीजिए \(DM:MA=1:4, \DN:NO=1:2\) (चित्र देखें)। इसलिये पिरामिड नियमित है, तो ऊंचाई आधार के माध्यकों के प्रतिच्छेदन बिंदु \(O\) तक गिरती है। रेखा \(MN\) का तल \(ABC\) पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए। इसलिये \(DO\perp (ABC)\) , तो \(NO\perp (ABC)\) है। इसलिए, \(O\) इस प्रक्षेपण से संबंधित एक बिंदु है। आइए दूसरा बिंदु खोजें। आइए बिंदु \(M\) से समतल \(ABC\) पर लंब \(MQ\) छोड़ते हैं। बिंदु \(Q\) माध्यिका \(AK\) पर स्थित होगा।
दरअसल, तब से \(MQ\) और \(NO\) \((ABC)\) के लंबवत हैं, तो वे समानांतर हैं (यानी, वे एक ही विमान में स्थित हैं)। इसलिए, चूंकि बिंदु \(M, N, O\) एक ही तल \(ADK\) में स्थित हैं, तो बिंदु \(Q\) भी इसी तल में स्थित होगा। लेकिन (निर्माण के द्वारा) बिंदु \(Q\) को \(ABC\) तल में स्थित होना चाहिए, इसलिए, यह इन विमानों के चौराहे की रेखा पर स्थित है, और यह \(AK\) है।

इसलिए, रेखा \(AK\) रेखा \(MN\) का तल \(ABC\) पर प्रक्षेपण है। \(L\) इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

2) ध्यान दें कि आरेखण को सही ढंग से बनाने के लिए, बिंदु \(L\) की सटीक स्थिति का पता लगाना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, हमारे आरेखण में बिंदु \(L\) खंड \(OK\) के बाहर स्थित है। ), हालांकि यह झूठ बोल सकता है और इसके अंदर; लेकिन यह कैसे सही है?)।

इसलिये शर्त के अनुसार, आधार की भुजा पिरामिड की ऊंचाई के बराबर है, तो हम \(AB=DO=a\) को निरूपित करते हैं। तब माध्यिका \(AK=\dfrac(\sqrt3)2a\) है। माध्यम, \(ओके=\dfrac13AK=\dfrac 1(2\sqrt3)a\). आइए खंड की लंबाई ज्ञात करें \(OL\) (तब हम समझ सकते हैं कि बिंदु \(L\) खंड के अंदर है या बाहर \(OK\) : यदि \(OL>OK\) - तो बाहर, अन्यथा - अंदर)।

एक) \(\त्रिकोण AMQ\sim \त्रिकोण ADO\)दो कोने ( \(\कोण Q=\angle O=90^\circ, \ \angle A\)- सामान्य)। माध्यम,

\[\dfrac(MQ)(DO)=\dfrac(AQ)(AO)=\dfrac(MA)(DA)=\dfrac 45 \Rightarrow MQ=\dfrac 45a, \ AQ=\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a\]

माध्यम, \(QK=\dfrac(\sqrt3)2a-\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a=\dfrac7(10\sqrt3)a\).

बी) निरूपित \(KL=x\) ।
\(\त्रिकोण LMQ\sim \त्रिकोण LNO\)दो कोने ( \(\कोण Q=\angle O=90^\circ, \ \angle L\)- सामान्य)। माध्यम,

\[\dfrac(MQ)(NO)=\dfrac(QL)(OL) \Rightarrow \dfrac(\frac45 a)(\frac 23a) =\dfrac(\frac(7)(10\sqrt3)a+x )(\frac1(2\sqrt3)a+x) \Rightarrow x=\dfrac a(2\sqrt3) \Rightarrow OL=\dfrac a(\sqrt3)\]

इसलिए, \(OL>OK\) , जिसका अर्थ है कि बिंदु \(L\) वास्तव में खंड \(AK\) के बाहर स्थित है।

टिप्पणी

डरो मत अगर, इसी तरह की समस्या को हल करते समय, आप पाते हैं कि खंड की लंबाई नकारात्मक है। यदि पिछली समस्या की स्थितियों में हमें पता चला कि \(x\) ऋणात्मक है, तो इसका मतलब यह होगा कि हमने बिंदु \(L\) की स्थिति को गलत तरीके से चुना है (अर्थात, यह खंड \(AK) के अंदर है \) ).

उदाहरण 3

दाना सही है चतुर्भुज पिरामिड\(एसएबीसीडी\) . बिंदु \(\alpha\) बिंदु \(C\) और किनारे के मध्यबिंदु \(SA\) और समानांतर रेखा \(BD\) से गुजरने वाले समतल \(\alpha\) द्वारा पिरामिड का खंड ज्ञात करें।

समाधान

1) किनारे \(SA\) के मध्य बिंदु को \(M\) से निरूपित करें। इसलिये पिरामिड नियमित है, तो पिरामिड की ऊंचाई \(SH\) आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर गिरती है। समतल \(SAC\) पर विचार करें। खंड \(CM\) और \(SH\) इस तल में स्थित हैं, उन्हें बिंदु \(O\) पर प्रतिच्छेद करने दें।

विमान \(\alpha\) के लिए लाइन \(BD\) के समानांतर होने के लिए, इसमें \(BD\) के समानांतर कुछ रेखा होनी चाहिए। बिंदु \(O\) रेखा \(BD\) के साथ एक ही तल - तल \(BSD\) में स्थित है। इस तल में बिन्दु \(O\) से होकर एक रेखा \(KP\parallel BD\) (\(K\in SB, P\in SD\) ) खींचिए। फिर, बिंदुओं \(C, P, M, K\) को जोड़ने से, हम समतल \(\alpha\) द्वारा पिरामिड का एक भाग प्राप्त करते हैं।

2) उस संबंध को खोजें जिसमें बिंदु \(K\) और \(P\) किनारों को \(SB\) और \(SD\) विभाजित करते हैं। इस प्रकार, हम निर्मित खंड को पूरी तरह से परिभाषित करते हैं।

ध्यान दें कि चूंकि \(KP\parallel BD\) , तब थेल्स प्रमेय द्वारा \(\dfrac(SB)(SK)=\dfrac(SD)(SP)\). परंतु \(SB=SD\) , इसलिए भी \(SK=SP\) । इसलिए केवल \(SP:PD\) मिल सकते हैं।

\(\त्रिकोण ASC\) पर विचार करें। \(CM, SH\) इस त्रिकोण में माध्यिकाएँ हैं, इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु को संबंध \(2:1\) में विभाजित किया गया है, ऊपर से गिनती की जाती है, अर्थात \(SO:OH=2:1\) ।

अब थेल्स प्रमेय द्वारा \(\त्रिकोण बीएसडी\) से: \(\dfrac(SP)(PD)=\dfrac(SO)(OH)=\dfrac21\).

3) ध्यान दें कि, तीन लम्बवत प्रमेय के अनुसार, \(CO\perp BD\) एक तिरछे के रूप में (\(OH\) तल \(ABC\) के लिए लंबवत है, \(CH\perp BD\) प्रक्षेपण है)। तो \(CO\perp KP\) . इस प्रकार, एक खंड एक चतुर्भुज \(CPMK\) है जिसके विकर्ण परस्पर लंबवत हैं।

उदाहरण 4

समतल \(ABC\) के लंबवत किनारे \(DB\) वाला एक आयताकार पिरामिड \(DABC\) दिया गया है। आधार पर है सही त्रिकोण\(\angle B=90^\circ\) के साथ, \(AB=DB=CB\) के साथ। फलक \(DAC\) के लम्बवत् रेखा \(AB\) से होकर एक समतल बनाएँ, और इस तल द्वारा पिरामिड का खंड ज्ञात करें।

समाधान

1) समतल \(\alpha\) फलक \(DAC\) के लंबवत होगा यदि इसमें \(DAC\) के लंबवत रेखा है। बिंदु \(B\) से समतल \(DAC\) - \(BH\) , \(H\in DAC\) पर लंब खींचिए।

\(\त्रिकोण ABC\) में सहायक \(BK\) - माध्यिका और \(\त्रिकोण DAC\) में \(DK\) - माध्यिका बनाएँ।
इसलिये \(AB=BC\) , तो \(\त्रिकोण ABC\) समद्विबाहु है, इसलिए \(BK\) ऊंचाई है, यानी \(BK\perp AC\) ।
इसलिये \(AB=DB=CB\) और \(\angle ABD=\angle CBD=90^\circ\), फिर \(\त्रिकोण ABD=\त्रिकोण CBD\), इसलिए \(AD=CD\), इसलिए \(\त्रिकोण DAC\) भी समद्विबाहु है और \(DK\perp AC\) ।

आइए प्रमेय को तीन लंबवत पर लागू करें: \(BH\) \(DAC\) के लिए एक लंबवत है; तिरछा \(BK\perp AC\) , इसलिए प्रोजेक्शन \(HK\perp AC\) । लेकिन हम पहले ही निर्धारित कर चुके हैं कि \(DK\perp AC\) । इस प्रकार, बिंदु \(H\) खंड \(DK\) पर स्थित है।

बिंदुओं \(A\) और \(H\) को जोड़ने पर, हमें खंड \(AN\) मिलता है, जिसके साथ समतल \(\alpha\) फलक \(DAC\) को काटता है। तब \(\triangle ABN\) समतल \(\alpha\) द्वारा पिरामिड का वांछित खंड है।

2) किनारे \(DC\) पर बिंदु \(N\) की सटीक स्थिति निर्धारित करें।

\(AB=CB=DB=x\) को निरूपित करें। फिर \(BK\) , जैसा कि माध्य ऊपर से गिरा समकोण\(\त्रिकोण ABC\) में \(\frac12 AC\) है, इसलिए \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\) ।

\(\त्रिकोण बीकेडी\) पर विचार करें। सम्बन्ध ज्ञात कीजिए \(DH:HK\) ।

ध्यान दें कि जब से \(BH\perp (DAC)\), तब \(BH\) इस तल से किसी भी रेखा के लंबवत है, इसलिए \(BH\) \(\त्रिकोण DBK\) में ऊंचाई है। फिर \(\त्रिकोण DBH\sim \त्रिकोण DBK\), फलस्वरूप

\[\dfrac(DH)(DB)=\dfrac(DB)(DK) \Rightarrow DH=\dfrac(\sqrt6)3x \Rightarrow HK=\dfrac(\sqrt6)6x \Rightarrow DH:HK=2:1 \]

अब \(\त्रिकोण ADC\) पर विचार करें। एक सटीक प्रतिच्छेदन त्रिभुज की माध्यिकाओं को \(2:1\) से विभाजित किया जाता है, शीर्ष से गिनती की जाती है। इसलिए, \(H\) माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है \(\त्रिकोण ADC\) (क्योंकि \(DK\) एक माध्यिका है)। अर्थात, \(AN\) भी एक माध्यिका है, इसलिए \(DN=NC\) ।

इस पाठ में, हम चतुष्फलक और उसके तत्वों (चतुष्फलक का किनारा, सतह, फलक, शीर्ष) को देखेंगे। और हम चतुष्फलक में वर्गों के निर्माण के लिए कई समस्याओं का समाधान करेंगे सामान्य विधिवर्गों का निर्माण करना।

विषय: रेखाओं और तलों की समानता

पाठ: चतुष्फलक। चतुष्फलक में वर्गों के निर्माण की समस्याएँ

टेट्राहेड्रॉन कैसे बनाया जाए? एक मनमाना त्रिकोण लें एबीसी. मनमाना बिंदु डीइस त्रिभुज के तल में नहीं पड़ा हुआ है। हमें 4 त्रिभुज मिलते हैं। इन 4 त्रिभुजों द्वारा बनाई गई सतह को चतुष्फलक (चित्र 1.) कहा जाता है। इस सतह से घिरे आंतरिक बिंदु भी चतुष्फलक का हिस्सा हैं।

चावल। 1. टेट्राहेड्रॉन एबीसीडी

टेट्राहेड्रॉन के तत्व
लेकिन,बी, सी, डी - एक चतुर्भुज के शिखर.
अब, एसी, विज्ञापन, ईसा पूर्व, बी.डी, सीडी - एक चतुर्भुज के किनारे.
एबीसी, अब्द, बीडीसी, एडीसी - टेट्राहेड्रॉन के चेहरे.

टिप्पणी:आप विमान ले सकते हैं एबीसीप्रति टेट्राहेड्रॉन बेस, और फिर बिंदु डीहै एक चतुष्फलक का शीर्ष. टेट्राहेड्रॉन का प्रत्येक किनारा दो विमानों का प्रतिच्छेदन है। उदाहरण के लिए, रिब अबविमानों का चौराहा है अबडीतथा एबीसी. चतुष्फलक का प्रत्येक शीर्ष तीन तलों का प्रतिच्छेदन है। शिखर लेकिनविमानों में पड़ा है एबीसी, अबडी, लेकिनडीसे. दूरसंचार विभाग लेकिनतीन चिह्नित विमानों का चौराहा है। यह तथ्य इस प्रकार लिखा गया है: लेकिन= एबीसी ∩ अबडी ∩ एसीडी.

टेट्राहेड्रॉन की परिभाषा

इसलिए, चतुर्पाश्वीयचार त्रिकोणों द्वारा गठित एक सतह है।

चतुष्फलक का किनारा- टेट्राहेड्रॉन के दो विमानों के चौराहे की रेखा।

6 माचिस की तीलियों से 4 बराबर त्रिभुज बनाइए। विमान पर समस्या का समाधान संभव नहीं है। और अंतरिक्ष में करना आसान है। चलो एक चतुष्फलक लेते हैं। 6 मैच इसके किनारे हैं, टेट्राहेड्रॉन के चार चेहरे और चार बराबर त्रिकोण होंगे। समस्या हल हो गई।

डैन टेट्राहेड्रॉन एबीसीडी. दूरसंचार विभाग एमटेट्राहेड्रॉन के किनारे के अंतर्गत आता है अब, डॉट एनटेट्राहेड्रॉन के किनारे के अंतर्गत आता है परडीऔर डॉट आरकिनारे का है डीसे(रेखा चित्र नम्बर 2।)। समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें एमएनपी.

चावल। 2. टास्क 2 के लिए आरेखण - समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करना

समाधान:
टेट्राहेड्रॉन के चेहरे पर विचार करें डीरवि. बिंदु के इस किनारे में एनतथा पीचेहरे हैं डीरवि, और इसलिए टेट्राहेड्रॉन। लेकिन बात की शर्त से एन, पीकटिंग प्लेन के हैं। माध्यम, एनपीदो तलों की प्रतिच्छेदन रेखा है: फलक तल डीरविऔर काटने वाला विमान। आइए मान लें कि रेखाएं एनपीतथा रविसमानांतर नहीं हैं। वे एक ही विमान में लेटे हैं डीरवि।रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए एनपीतथा रवि. आइए इसे निरूपित करें इ(चित्र 3.)।

चावल। 3. कार्य के लिए आरेखण 2. बिंदु ई ढूँढना

दूरसंचार विभाग इसेक्शन प्लेन के अंतर्गत आता है एमएनपी, क्योंकि यह लाइन पर है एनपी, और सीधी रेखा एनपीपूरी तरह से खंड के तल में स्थित है एमएनपी.

डॉट भी इविमान में पड़ा है एबीसीक्योंकि यह एक रेखा पर स्थित है रविहवाई जहाज से बाहर एबीसी.

हमें वह मिल गया खाना खा लो- विमानों के चौराहे की रेखा एबीसीतथा एमएनपी,क्योंकि अंक इतथा एमदो विमानों में एक साथ लेटें - एबीसीतथा एमएनपी।बिंदुओ को जोडो एमतथा इ, और लाइन जारी रखें खाना खा लोलाइन के साथ चौराहे पर एसी. रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु खाना खा लोतथा एसीनिरूपित क्यू.

तो इस मामले में एनपीक्यूएम- वांछित खंड।

चावल। 4. समस्या 2 के लिए आरेखण। समस्या 2 का समाधान

अब उस मामले पर विचार करें जब एनपीसमानांतर ईसा पूर्व. अगर सीधा एनपीकिसी रेखा के समानांतर, उदाहरण के लिए, एक रेखा रविहवाई जहाज से बाहर एबीसी, फिर सीधी रेखा एनपीपूरे विमान के समानांतर एबीसी.

खोज रहे हैं अनुभागीय विमानसीधी रेखा से जाता है एनपी, विमान के समानांतर एबीसी, और समतल को एक सीधी रेखा में काटता है एमक्यू. तो चौराहे की रेखा एमक्यूएक सीधी रेखा के समानांतर एनपी. हम पाते हैं एनपीक्यूएम- वांछित खंड।

दूरसंचार विभाग एमपक्ष में है लेकिनडीपरचतुर्पाश्वीय एबीसीडी. एक बिंदु से गुजरने वाले समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें एमआधार के समानांतर एबीसी.

चावल। 5. कार्य 3 के लिए आरेखण समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें

समाधान:
काटने का विमान φ विमान के समानांतर एबीसीशर्त से, फिर यह विमान φ सीधी रेखाओं के समानांतर अब, एसी, रवि.
हवाई जहाज में अबडीएक बिंदु के माध्यम से एमचलो एक सीधी रेखा खींचते हैं पी क्यूसमानांतर अब(चित्र 5)। सीधा पी क्यूविमान में पड़ा है अबडी. इसी तरह प्लेन में एसीडीएक बिंदु के माध्यम से आरचलो एक सीधी रेखा खींचते हैं जनसंपर्कसमानांतर एसी. एक बिंदु मिला आर. दो प्रतिच्छेदन रेखाएँ पी क्यूतथा जनसंपर्कविमान पीक्यूआरक्रमशः दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर हैं अबतथा एसीविमान एबीसी, इसलिए विमान एबीसीतथा पीक्यूआरसमानांतर हैं। पीक्यूआर- वांछित खंड। समस्या हल हो गई।

डैन टेट्राहेड्रॉन एबीसीडी. दूरसंचार विभाग एम- आन्तरिक बिन्दु, चतुष्फलक फलक का बिन्दु अबडी. एन- खंड का आंतरिक बिंदु डीसे(चित्र 6.)। एक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करें समुद्री मील दूरऔर विमान एबीसी.

चावल। 6. कार्य 4 के लिए आरेखण

समाधान:
हल करने के लिए, हम एक सहायक विमान का निर्माण करते हैं डीएम.एन.. लाइन करने दो डीएमरेखा AB को एक बिंदु पर काटती है प्रति(चित्र 7.)। फिर, अनुसूचित जातिडीविमान का एक भाग है डीएम.एन.और एक चतुष्फलक। हवाई जहाज में डीएम.एन.झूठ और सीधा समुद्री मील दूर, और परिणामी रेखा अनुसूचित जाति. तो अगर समुद्री मील दूरसमानांतर नहीं अनुसूचित जाति, फिर वे किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं आर. दूरसंचार विभाग आरऔर रेखा के प्रतिच्छेदन का वांछित बिंदु होगा समुद्री मील दूरऔर विमान एबीसी.

चावल। 7. समस्या के लिए आरेखण 4. समस्या का समाधान 4

डैन टेट्राहेड्रॉन एबीसीडी. एम- चेहरे का आंतरिक बिंदु अबडी. आर- चेहरे का आंतरिक बिंदु एबीसी. एन- किनारे का आंतरिक बिंदु डीसे(चित्र 8.)। बिंदुओं से गुजरने वाले समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें एम, एनतथा आर.

चावल। 8. कार्य 5 के लिए आरेखण समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें

समाधान:
पहले मामले पर विचार करें, जब रेखा एम.एन.विमान के समानांतर नहीं एबीसी. पिछली समस्या में, हमने रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात किया था एम.एन.और विमान एबीसी. यही वह बिंदु है प्रति, यह सहायक विमान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है डीएम.एन., अर्थात। हम क्या डीएमऔर एक बिंदु प्राप्त करें एफ. हम खर्च करते हैं सीएफ़और चौराहे पर एम.एन.कोई बात समझना प्रति.

चावल। 9. कार्य के लिए आरेखण 5. बिंदु K ढूँढना

चलो एक सीधी रेखा खींचते हैं के.आर. सीधा के.आरसेक्शन के प्लेन और प्लेन दोनों में स्थित है एबीसी. अंक प्राप्त करना आर 1तथा आर 2. कनेक्ट आर 1तथा एमऔर निरंतरता पर हमें एक बिंदु मिलता है एम 1. बिंदी को जोड़ना आर 2तथा एन. नतीजतन, हम वांछित क्रॉस सेक्शन प्राप्त करते हैं आर 1 आर 2 एनएम 1. पहले मामले में समस्या हल हो गई है।
दूसरे मामले पर विचार करें, जब रेखा एम.एन.विमान के समानांतर एबीसी. विमान एमएनपीसीधी रेखा से जाता है एम.एन.विमान के समानांतर एबीसीऔर विमान को पार करता है एबीसीकिसी लाइन के साथ आर 1 आर 2, फिर सीधी रेखा आर 1 आर 2इस रेखा के समानांतर एम.एन.(चित्र 10.)।

चावल। 10. समस्या के लिए आरेखण 5. वांछित खंड

अब एक रेखा खींचते हैं आर 1 एमऔर एक बिंदु प्राप्त करें एम 1.आर 1 आर 2 एनएम 1- वांछित खंड।

इसलिए, हमने चतुष्फलक पर विचार किया है, चतुष्फलक पर कुछ विशिष्ट कार्यों को हल किया है। अगले पाठ में, हम बॉक्स को देखेंगे।

1. आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। - 5 वां संस्करण, सही और पूरक - एम।: मेनमोसाइन, 2008। - 288 पी। : बीमार। ज्यामिति। ग्रेड 10-11: शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक (मूल और प्रोफ़ाइल स्तर)

2. शार्गिन I. F. - M .: बस्टर्ड, 1999. - 208 p .: बीमार। ज्यामिति। ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

3. ई.वी. पोटोस्क्यूएव, एल.आई. ज़वालिच। - छठा संस्करण, स्टीरियोटाइप। - एम। : बस्टर्ड, 008. - 233 पी। :बीमार। ज्यामिति। ग्रेड 10: गणित के गहन और प्रोफाइल अध्ययन के साथ सामान्य शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

अतिरिक्त वेब संसाधन

2. चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण कैसे करें। गणित ()।

3. शैक्षणिक विचारों का त्योहार ()।

"टेट्राहेड्रॉन" विषय पर होमवर्क कार्य करें, टेट्राहेड्रॉन के किनारे, टेट्राहेड्रॉन के चेहरे, कोने और टेट्राहेड्रॉन की सतह को कैसे ढूंढें

1. ज्यामिति। ग्रेड 10-11: शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक (मूल और प्रोफ़ाइल स्तर) आई। एम। स्मिर्नोवा, वी। ए। स्मिरनोव। - 5वां संस्करण, सुधारा और पूरक - एम.: मेनमोज़िना, 2008. - 288 पी.: बीमार। टास्क 18, 19, 20 पेज 50

2. बिंदु इमध्य शिरा एमएचतुर्पाश्वीय IAWS. बिंदुओं से गुजरने वाले समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें बी, सीतथा इ.

3. MAVS चतुष्फलक में, बिंदु M AMB फलक से संबंधित है, P बिंदु BMC फलक से और K बिंदु AC किनारे से संबंधित है। बिंदुओं से गुजरने वाले समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें एम, आर, के.

4. समतल द्वारा चतुष्फलक के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप कौन से आंकड़े प्राप्त किए जा सकते हैं?

उद्देश्य:
स्थानिक अभ्यावेदन का विकास।
कार्य:
1. वर्गों के निर्माण के नियमों का परिचय दें।
2. वर्गों के निर्माण के लिए कौशल विकसित करें
चतुष्फलक और समानांतर चतुर्भुज अलग-अलग
कटिंग प्लेन सेट करने के मामले।
3. नियमों को लागू करने की क्षमता तैयार करें
समस्याओं को हल करते समय वर्गों का निर्माण
विषय "पॉलीहेड्रा"।

बहुतों को हल करना
ज्यामितिक
आवश्यक कार्य
वर्गों का निर्माण
बहुकोणीय आकृति
विभिन्न
विमानों।

एक काटने वाले विमान की अवधारणा

काटनेवाला
विमान
समानांतर खात
(चतुष्फलक)
कोई भी कहा जाता है
विमान, दोनों
किनारों का
जो है
इसके बिंदु
समानांतर खात
(चतुष्फलक)।

पॉलीहेड्रॉन के एक खंड की अवधारणा

काटने का विमान
किनारों को पार करता है
चतुर्पाश्वीय
(समानांतर) द्वारा
खंड।
बहुभुज, भुजाएँ
जिनके आंकड़े हैं
खंड, कहा जाता है
एक चतुर्भुज का खंड
(समानांतर)।

ड्राइंग का काम

कितने विमान खींचे जा सकते हैं
चयनित तत्वों के माध्यम से?
आपने कौन से स्वयंसिद्ध और प्रमेय लागू किए?

खंड बनाने के लिए
डॉट्स बनाने की जरूरत है।
छेदक चौराहा
पसलियों के साथ विमान और
उन्हें वर्गों में कनेक्ट करें।

वर्गों के निर्माण के नियम

1. आप केवल दो को जोड़ सकते हैं
बिंदु जो एक ही तल में होते हैं
किनारों।
2. काटने वाला विमान प्रतिच्छेद करता है
साथ समानांतर चेहरे
समानांतर खंड।

वर्गों के निर्माण के नियम

3. यदि चेहरे के तल को चिह्नित किया गया है
केवल एक बिंदु का है
सेक्शन प्लेन, फिर
एक अतिरिक्त बिंदु बनाएँ।
ऐसा करने के लिए, आपको अंक खोजने की आवश्यकता है
पहले से बने चौराहे
अन्य सीधी रेखाओं के साथ सीधी रेखाएँ,
एक ही सीमा पर झूठ बोलना।

10. चतुष्फलक के वर्गों का निर्माण

11.

एक चतुष्फलक के 4 फलक होते हैं
वर्गों में, आप प्राप्त कर सकते हैं
त्रिभुज
चतुर्भुजों

12.

टेट्राहेड्रॉन के एक खंड का निर्माण करें
डीएबीसी विमान गुजर रहा है
बिंदुओं M,N,K से होते हुए
1. एक रेखा खींचिए
बिंदु M और K, क्योंकि वे झूठ बोलते हैं
एक चेहरे में (एडीसी)।
डी
एम
आ
एन
क
बी बी
सीसी
2. एक रेखा खींचिए
बिंदु K और N, क्योंकि वे
एक ही तरफ लेट जाओ
(सीडीबी)।
3. इसी तरह बहस करना,
एक सीधी रेखा एमएन खींचें।
4. त्रिभुज एमएनके -
वांछित खंड।

13. एबीसी के समानांतर बिंदु एम से गुजरना।

डी
1. बिंदु M से रेखा खींचिए
सीधे समानांतर
धार एबी
2.
एम
आर
लेकिन
प्रति
से
पर
बिंदु M से ड्रा करें
सीधे समानांतर
धार एसी
3. एक रेखा खींचिए
बिंदु K और P, क्योंकि वे अंदर पड़े हैं
सिंगल एज (डीबीसी)
4. त्रिभुज एमपीके -
वांछित खंड।

14.

समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें,
बिंदुओं E, F, K से होकर गुजरना।
डी
1. केएफ चलाएं।
2. हम एफई करते हैं।
3. जारी रखें
ईएफ, चलो एसी जारी रखें।
एफ
4. ईएफ एसी = एम
5. हम आचरण करते हैं
एमके।
इ
एम
एबी = एल
6.
एमके
सी
ए
7. ईएल का संचालन करें
एल
ईएफकेएल - वांछित खंड
क
बी

15.

समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें,
बिंदुओं E, F, K से होकर गुजरना
क्या
जो प्रत्यक्ष
डॉट,
में लेटा हुआ
कर सकते हैं
जुडिये
जिसके परिणामस्वरूप
किस प्रकार
अंक
कर सकते हैं
तुरंत
खिलौने
वही
पहलुओं
कर सकते हैं
आगे बढ़ना,
प्रति
प्राप्त
अंक,
लेटा हुआ
में
एक
जुडिये?
जुडिये
प्राप्त किया
अतिरिक्त
बिंदु?
कगार,
नाम
खंड।
अतिरिक्त बिंदु?
डी
एसी
योगिनी
एफसेक
नस
के, और ई
और एफके
एफ
एल
सी
एम
ए
इ
क
बी

16.

निर्माण खंड
टेट्राहेड्रॉन विमान,
बिंदुओं से गुजरना
ई, एफ, के.
डी
एफ
एल
सी
ए
इ
क
बी
हे

17.

निष्कर्ष: कोई फर्क नहीं पड़ता
खंड निर्माण समान हैं

18. एक समानांतर चतुर्भुज के वर्गों का निर्माण

19.

एक चतुष्फलक के 6 फलक होते हैं
त्रिभुज
पेंटागन
इसके अनुभागों में, आप प्राप्त कर सकते हैं
चतुर्भुजों
हेक्सागोन्स

20. समतल (OSV) के समांतर बिंदु X से गुजरने वाले समतल द्वारा समानांतर चतुर्भुज के एक खंड का निर्माण करें

पहले में
ए 1
वाई
एक्स
डी1
एस
पर
लेकिन
डी
जेड
1. गुजरना
सी 1
बिंदु एक्स रेखा
किनारे के समानांतर
डी1सी1
2. बिंदु X के माध्यम से
प्रत्यक्ष
किनारे के समानांतर
D1D
3. बिंदु Z सीधी रेखा से होकर
किनारे के समानांतर
से
डीसी
4. एक रेखा खींचिए
बिंदु S और Y, क्योंकि वे अंदर पड़े हैं
एक चेहरा (BB1C1)
XYSZ - वांछित खंड

21.

समानांतर चतुर्भुज के एक खंड का निर्माण करें
विमान बिंदुओं से गुजर रहा है
पागल
पहले में
डी1
इ
ए 1
सी 1
पर
लेकिन
1 ईस्वी
2. एमडी
3. एमई // एडी, क्योंकि (एबीसी)//(ए1बी1सी1)
4.एई
5. एईएमडी - वांछित खंड
एम
डी
से

22. बिंदुओं M, K, T से गुजरने वाले समतल द्वारा समानांतर चतुर्भुज के एक खंड का निर्माण करें

एन
एम
प्रति
आर
एस
एक्स
टी

23. कार्यों को अपने दम पर पूरा करें

एम
टी
प्रति
एम
डी
प्रति
टी
एक खंड बनाएँ: ए) एक समानांतर चतुर्भुज;
बी) टेट्राहेड्रॉन
बिंदु M, T, K से गुजरने वाला एक विमान।

24. प्रयुक्त संसाधन

सोबोलेवा एल। आई। वर्गों का निर्माण
तकचेवा वी। वी। वर्गों का निर्माण
टेट्राहेड्रॉन और समांतर चतुर्भुज
Gobozova L. V. निर्माण के लिए कार्य
धारा
डीवीडी। सिरिल के ज्यामिति पाठ और
मेथोडियस। 10वीं कक्षा, 2005
प्रशिक्षण और परीक्षण कार्य।
ज्यामिति। ग्रेड 10 (नोटबुक) / अलेशिना
टी.एन. - एम .: इंटेलेक्ट-सेंटर, 1998

ड्रॉइंग पर सेक्शन और सेक्शन का निर्माण

भाग की ड्राइंग क्रमिक रूप से आवश्यक अनुमानों, कटों और वर्गों को जोड़कर बनाई जाती है। प्रारंभ में, उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट मॉडल के साथ एक कस्टम दृश्य बनाया जाता है, और मॉडल अभिविन्यास मुख्य दृश्य के लिए सबसे उपयुक्त होता है। इसके अलावा, इसके लिए और निम्न प्रकारों के लिए आवश्यक कटौती और अनुभाग बनाए जाते हैं।

मुख्य दृश्य (सामने का दृश्य) इस तरह से चुना जाता है कि यह भाग के आकार और आयामों का सबसे संपूर्ण विचार देता है।

रेखाचित्रों में अनुभाग

काटने वाले विमान की स्थिति के आधार पर, निम्न प्रकार के कटौती प्रतिष्ठित हैं:

ए) क्षैतिज, यदि काटने वाला विमान क्षैतिज प्रक्षेपण विमान के समानांतर है;

बी) लंबवत, यदि काटने वाला विमान क्षैतिज प्रक्षेपण विमान के लंबवत है;

सी) झुका हुआ - काटने वाला विमान प्रक्षेपण विमानों के लिए झुका हुआ है।

ऊर्ध्वाधर वर्गों में विभाजित हैं:

· ललाट - काटने का तल ललाट प्रक्षेपण तल के समानांतर है;

· प्रोफाइल - कटिंग प्लेन प्रोफाइल प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर है।
काटने वाले विमानों की संख्या के आधार पर, कटौती निम्न हैं:

· सरल - एक काटने वाले विमान के साथ (चित्र। 107);

· जटिल - दो या दो से अधिक काटने वाले विमानों के साथ (चित्र। 108)
मानक निम्न प्रकार के जटिल कटौती के लिए प्रदान करता है:

· चरणबद्ध, जब छेदक तल समानांतर होते हैं (चित्र 108 क) और टूटी हुई रेखाएँ - छेदक तल प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 108 ख)

Fig.107 सिंपल कट

ए) बी)

Fig.108 जटिल कटौती

कटौती का पदनाम

मामले में जब एक साधारण खंड में छेदक विमान वस्तु के समरूपता के विमान के साथ मेल खाता है, तो अनुभाग इंगित नहीं किया गया है (चित्र। 107)। अन्य सभी मामलों में कटौती का संकेत दिया गया है बड़े अक्षररूसी वर्णमाला, अक्षर A से शुरू होती है, उदाहरण के लिए A-A।

ड्राइंग में कटिंग प्लेन की स्थिति को सेक्शन लाइन - एक मोटी खुली लाइन द्वारा दर्शाया गया है। एक जटिल कट के साथ, सेक्शन लाइन के विभक्तियों पर स्ट्रोक भी किए जाते हैं। देखने की दिशा को इंगित करने वाले तीरों को प्रारंभिक और अंतिम स्ट्रोक पर रखा जाना चाहिए, तीर स्ट्रोक के बाहरी छोर से 2-3 मिमी की दूरी पर होना चाहिए। देखने की दिशा को दर्शाने वाले प्रत्येक तीर के बाहर, वही कैपिटल लेटर लगाया जाता है।

KOMPAS प्रणाली में कटौती और अनुभागों को नामित करने के लिए एक ही बटन का उपयोग किया जाता है लेजेंड पेज पर सेक्शन लाइन स्थित है (चित्र 109)।

Fig.109 सेक्शन लाइन बटन

हाफ व्यू को हाफ सेक्शन से कनेक्ट करना

यदि दृश्य और खंड सममित आंकड़े हैं (चित्र। 110), तो आप आधे दृश्य और आधे खंड को जोड़ सकते हैं, उन्हें डैश-बिंदीदार पतली रेखा से अलग कर सकते हैं, जो समरूपता की धुरी है। अनुभाग का हिस्सा आमतौर पर समरूपता के अक्ष के दाईं ओर रखा जाता है, जो दृश्य के भाग को अनुभाग के भाग से अलग करता है, या समरूपता के अक्ष के नीचे होता है। दृश्य और अनुभाग के जुड़े भागों पर छिपी समोच्च रेखाएँ आमतौर पर नहीं दिखाई जाती हैं। यदि दृश्य और खंड को अलग करने वाली अक्षीय रेखा किसी रेखा के प्रक्षेपण के साथ मेल खाती है, उदाहरण के लिए, एक मुखरित आकृति का किनारा, तो दृश्य और खंड समरूपता के अक्ष के बाईं ओर खींची गई एक ठोस लहराती रेखा द्वारा अलग किए जाते हैं। , अगर किनारे पर है भीतरी सतह, या दाईं ओर यदि किनारा बाहरी है।

चावल। 110 एक दृश्य और एक खंड का कनेक्टिंग भाग

भवन में कटौती

हम KOMPAS प्रणाली में वर्गों के निर्माण का अध्ययन एक प्रिज्म की ड्राइंग के निर्माण के उदाहरण का उपयोग करके करेंगे, जिसके लिए कार्य चित्र 111 में दिखाया गया है।

ड्राइंग का क्रम इस प्रकार है:

1. दी गई विमाओं के आधार पर हम एक प्रिज्म का ठोस मॉडल बनाएंगे (चित्र 109 ख)। आइए "प्रिज्म" नामक फ़ाइल में मॉडल को कंप्यूटर की मेमोरी में सेव करें।

Fig.112 लाइन्स पैनल

3. प्रोफाइल सेक्शन बनाने के लिए (चित्र 113) एक रेखा खींचें खंड ए-एबटन का उपयोग करके मुख्य दृश्य परकट रेखा।

Fig.113 एक प्रोफ़ाइल अनुभाग का निर्माण

देखने की दिशा और पदनाम के पाठ को नियंत्रण कक्ष पर स्क्रीन के नीचे कमांड के साथ चुना जा सकता है (चित्र। 114)। क्रिएट ऑब्जेक्ट बटन को दबाकर सेक्शन लाइन का निर्माण पूरा किया जाता है।

Fig.114 कट्स और सेक्शन बनाने के लिए कमांड के लिए कंट्रोल पैनल

4. एसोसिएटिव व्यूज पैनल (चित्र 115) पर, कट लाइन बटन का चयन करें, फिर स्क्रीन पर दिखाई देने वाले ट्रैप के साथ कट लाइन निर्दिष्ट करें। यदि सब कुछ सही ढंग से किया जाता है (कट लाइन को सक्रिय दृश्य में खींचा जाना चाहिए), तो कट लाइन लाल हो जाएगी। कट लाइन ए-ए निर्दिष्ट करने के बाद, एक समग्र आयत के रूप में स्क्रीन पर एक छवि प्रेत दिखाई देगी।

Fig.115 सहयोगी विचार पैनल

प्रॉपर्टी बार पर कट/सेक्शन स्विच की मदद से, छवि प्रकार का चयन किया जाता है - कट (चित्र 116) और प्रदर्शित कट का पैमाना।

Fig.116 कट्स और सेक्शन बनाने के लिए कमांड के लिए कंट्रोल पैनल

प्रोजेक्शन कनेक्शन में और एक मानक अंकन के साथ प्रोफ़ाइल अनुभाग स्वचालित रूप से बनाया जाएगा। यदि आवश्यक हो, प्रोजेक्शन कनेक्शन को स्विच द्वारा बंद किया जा सकता है प्रोजेक्शन कनेक्शन (चित्र। 116)।बनाए गए अनुभाग (अनुभाग) में उपयोग किए जाने वाले हैचिंग पैरामीटर सेट करने के लिए, हैचिंग टैब पर नियंत्रणों का उपयोग करें।

Fig.117 एक क्षैतिज खंड B-B और अनुभाग C-C का निर्माण

यदि कट का निर्माण करते समय चयनित कटिंग प्लेन भाग के समरूपता के प्लेन के साथ मेल खाता है, तो मानक के अनुसार, इस तरह के कट का संकेत नहीं दिया जाता है। लेकिन यदि आप केवल अनुभाग पदनाम को मिटा देते हैं, तो इस तथ्य के कारण कि कंप्यूटर की मेमोरी में दृश्य और अनुभाग आपस में जुड़े हुए हैं, संपूर्ण खंड मिट जाएगा। इसलिए, पदनाम को हटाने के लिए, आपको पहले दृश्य और अनुभाग के बीच के संबंध को नष्ट करना होगा। ऐसा करने के लिए, अनुभाग का चयन करने के लिए बाईं माउस बटन पर क्लिक करें, और फिर संदर्भ मेनू खोलने के लिए दाएं माउस बटन पर क्लिक करें, जिसमें से नष्ट दृश्य आइटम का चयन किया गया है (चित्र 97)। अनुभाग प्रतीक अब हटाया जा सकता है।

5. एक क्षैतिज खंड का निर्माण करने के लिए, सामने के दृश्य में छेद के निचले तल के माध्यम से एक B-B अनुभाग रेखा खींचें। सामने के दृश्य को पहले बाईं माउस बटन के दो क्लिक से चालू किया जाना चाहिए। फिर एक क्षैतिज खंड बनाया गया है (चित्र 117)।

6. ललाट खंड का निर्माण करते समय, दृश्य का एक भाग और खंड का एक भाग संगत होता है, क्योंकि वे सममित आंकड़े हैं। प्रिज्म के बाहरी किनारे को दृश्य और कट को अलग करने वाली रेखा पर प्रक्षेपित किया जाता है, इसलिए हम परिसीमन करते हैं समरूपता के अक्ष के दाईं ओर खींची गई एक ठोस पतली लहरदार रेखा का दृश्य और खंड, क्योंकि बाहरी पसली। निर्माण के लिए लहरदार रेखाबटन का प्रयोग किया जाता हैफ़ोर क्लिपिंग लाइन शैली (चित्र 118) के साथ खींचे गए ज्यामिति पैनल पर स्थित बेज़ियर वक्र। क्रमिक रूप से उन बिंदुओं को निर्दिष्ट करें जिनसे बेज़ियर वक्र को गुजरना चाहिए। कमांड निष्पादन समाप्त करने के लिए, ऑब्जेक्ट बनाएं बटन पर क्लिक करें।

Fig.118 एक ब्रेक के लिए एक लाइन शैली का चयन

सेक्शनिंग

एक खंड एक वस्तु की एक छवि है जो एक वस्तु को एक विमान के साथ मानसिक रूप से विच्छेदित करके प्राप्त की जाती है। अनुभाग केवल वही दिखाता है जो कटिंग प्लेन में स्थित है।

कटिंग प्लेन की स्थिति, जिसके साथ सेक्शन बनता है, ड्राइंग में सेक्शन लाइन द्वारा इंगित किया जाता है, जैसे कि सेक्शन के लिए।

आरेखण में उनके स्थान के आधार पर अनुभागों को विस्तारित और आरोपित में विभाजित किया गया है। हटाए गए खंड अक्सर ड्राइंग के मुक्त क्षेत्र में स्थित होते हैं और मुख्य रेखा द्वारा रेखांकित किए जाते हैं। आरोपित अनुभागों को सीधे वस्तु की छवि पर रखा जाता है और पतली रेखाओं के साथ रेखांकित किया जाता है (चित्र 119)।

Fig.119 वर्गों का निर्माण

विस्तारित तिरछे प्रिज्म के आरेखण के निर्माण के क्रम पर विचार करें खंड बी-बी(चित्र। 117)।

1. दृश्य पर बाईं माउस बटन को डबल-क्लिक करके सामने के दृश्य को सक्रिय बनाएं और बटन का उपयोग करके एक अनुभाग रेखा बनाएं प्रतिच्छेदन रेखा . शिलालेख В-В के पाठ का चयन करें।

2. सहयोगी दृश्य पैनल (चित्र 115) पर स्थित कट लाइन बटन का उपयोग करना, जो एक जाल के रूप में दिखाई देता है, छेदक रेखा को इंगित करता है विमान बी-बी. प्रॉपर्टी बार पर कट/सेक्शन स्विच का उपयोग करके, इमेज टाइप - सेक्शन (चित्र 116) का चयन करें, स्केल विंडो से प्रदर्शित सेक्शन के स्केल का चयन किया जाता है।

निर्मित खंड प्रक्षेपण संबंध में स्थित है, जो ड्राइंग में इसके आंदोलन को सीमित करता है, लेकिन बटन का उपयोग करके प्रक्षेपण संबंध को बंद किया जा सकता है प्रक्षेपण कनेक्शन।

तैयार ड्राइंग पर, केंद्र रेखाएँ खींचें, यदि आवश्यक हो, तो आयाम नीचे रखें।

स्टिरियोमेट्री में पॉलीहेड्रा के अनुभागों की विधि का उपयोग निर्माण समस्याओं में किया जाता है। यह बहुफलक के एक खंड का निर्माण करने और खंड के प्रकार का निर्धारण करने की क्षमता पर आधारित है।

यह सामग्री निम्नलिखित विशेषताओं की विशेषता है:

अनुभाग विधि का उपयोग केवल पॉलीहेड्रा के लिए किया जाता है, क्योंकि क्रांति के निकायों के विभिन्न जटिल (झुकाव) प्रकार के वर्गों को माध्यमिक विद्यालय के पाठ्यक्रम में शामिल नहीं किया जाता है।
कार्य मुख्य रूप से सबसे सरल पॉलीहेड्रा का उपयोग करते हैं।
कार्यों को अधिकतर संख्यात्मक डेटा के बिना प्रस्तुत किया जाता है ताकि उनके एकाधिक उपयोग की संभावना पैदा हो सके।

बहुफलक के एक खंड के निर्माण की समस्या को हल करने के लिए, छात्र को पता होना चाहिए:

किसी समतल द्वारा बहुफलक के एक भाग के निर्माण का क्या अर्थ है;
एक पॉलीहेड्रॉन और एक विमान एक दूसरे के सापेक्ष कैसे स्थित हो सकते हैं;
विमान कैसे सेट है;
जब एक समतल द्वारा बहुफलक के एक खंड के निर्माण की समस्या को हल माना जाता है।

चूंकि विमान परिभाषित है:

तीन बिंदु;
सीधी रेखा और बिंदी;
दो समानांतर रेखाएँ;
दो अन्तर्विभाजक रेखाएँ

इस विमान के असाइनमेंट के आधार पर सेक्शन प्लेन का निर्माण होता है। इसलिए, पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण की सभी विधियों को विधियों में विभाजित किया जा सकता है।

मौजूद तीन मुख्य तरीकेपॉलीहेड्रा के निर्माण खंड:

ट्रेस विधि।

सहायक वर्गों की विधि।

संयुक्त विधि।

पहली दो विधियाँ किस्में हैं स्वयंसिद्ध विधिवर्गों का निर्माण।

हम पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण के लिए निम्नलिखित विधियों में भी अंतर कर सकते हैं:

किसी दिए गए विमान के समानांतर दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान द्वारा पॉलीहेड्रॉन के एक खंड का निर्माण;
किसी दिए गए रेखा के समानांतर किसी अन्य रेखा के माध्यम से गुजरने वाले खंड का निर्माण;
दो दी गई तिरछी रेखाओं के समानांतर दिए गए बिंदु से गुजरने वाले खंड का निर्माण;
किसी दिए गए विमान के लंबवत रेखा से गुजरने वाले विमान द्वारा पॉलीहेड्रॉन के एक खंड का निर्माण;
एक दी गई सीधी रेखा के लम्बवत दिए गए बिंदु से होकर गुजरने वाले तल द्वारा बहुफलक के एक खंड का निर्माण।

ग्रेड 10-11 के लिए ज्यामिति पाठ्यपुस्तकों की संघीय सूची में लेखकों द्वारा पाठ्यपुस्तकें शामिल हैं:

अटानास्यान एलएस, बुटुज़ोवा वी.एफ., कदोमत्सेवा एस.बी. और अन्य (ज्यामिति, 10-11);
पोगोरेलोवा ए.वी. (ज्यामिति, 7-11);
अलेक्जेंड्रोवा ए.डी., वर्नेरा ए.एल., रेज़िक वी.आई. (ज्यामिति, 10-11);
स्मिर्नोवा आई.एम. (ज्यामिति, 10-11);
शारगीना आई.एफ. (ज्यामिति, 10-11)।

आइए अधिक विस्तार से एल.एस., अतानास्यान और पोगोरेलोव ए.वी. की पाठ्यपुस्तकों पर विचार करें।

पाठ्यपुस्तक में एल.एस. Atanasyan "पॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण" विषय पर दो घंटे आवंटित किए जाते हैं। ग्रेड 10 में, "रेखाओं और विमानों के समानांतरवाद" विषय में, टेट्राहेड्रॉन और समानांतर चतुर्भुज का अध्ययन करने के बाद, "खंडों के निर्माण के लिए समस्याएं" पैराग्राफ की प्रस्तुति के लिए एक घंटा आवंटित किया जाता है। चतुष्फलक और समांतर चतुर्भुज के खंड माने जाते हैं। और विषय "रेखाओं और विमानों की समानता" एक या दो घंटे के लिए समस्याओं को हल करने के साथ समाप्त होता है (पाठ्यपुस्तक में वर्गों के निर्माण के लिए आठ समस्याएं हैं)।

पाठ्यपुस्तक में पोगोरेलोव ए.वी. अध्याय "पॉलीहेड्रा" में वर्गों के निर्माण के लिए लगभग तीन घंटे आवंटित किए गए हैं: एक - "एक प्रिज्म की छवि और इसके वर्गों का निर्माण" विषय का अध्ययन करने के लिए, दूसरा - "पिरामिड और उसके समतल वर्गों का निर्माण" विषय का अध्ययन करने के लिए और तीसरा - समस्याओं को हल करने के लिए। विषय के बाद दिए गए कार्यों की सूची में प्रति अनुभाग केवल लगभग दस कार्य हैं।

हम पोगोरेलोव ए.वी. द्वारा पाठ्यपुस्तक के लिए "पॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण" विषय पर पाठों की एक प्रणाली प्रदान करते हैं।

सामग्री को उस क्रम में व्यवस्थित करने का प्रस्ताव है जिसमें इसका उपयोग छात्रों को पढ़ाने के लिए किया जा सके। "पॉलीहेड्रा" विषय की प्रस्तुति से, निम्नलिखित पैराग्राफ को बाहर करने का प्रस्ताव है: "एक प्रिज्म के वर्गों का निर्माण" और "पिरामिड के वर्गों का निर्माण" इस विषय के अंत में इस सामग्री को व्यवस्थित करने के लिए "पॉलीहेड्रा" ”। इसे "सरल से जटिल" सिद्धांत के अनुमानित पालन के साथ कार्यों के विषय के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

पॉलीहेड्रा के खंड की परिभाषा।
ट्रेस विधि द्वारा एक प्रिज्म, समानांतर चतुर्भुज, पिरामिड के वर्गों का निर्माण। (एक नियम के रूप में, ठोस ज्यामिति के स्कूल पाठ्यक्रम में, पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण के लिए समस्याओं का उपयोग किया जाता है, जिन्हें मुख्य विधियों द्वारा हल किया जाता है। शेष विधियाँ, उनके अधिक होने के कारण उच्च स्तरजटिलता, शिक्षक वैकल्पिक कक्षाओं में या स्वतंत्र अध्ययन के लिए विचार के लिए जा सकते हैं। निर्माण कार्यों में, मुख्य विधियों को तीन बिंदुओं से गुजरने वाले एक सेक्शन प्लेन के निर्माण की आवश्यकता होती है)।
पॉलीहेड्रा में वर्गों का क्षेत्रफल ज्ञात करना (बहुभुज के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय का उपयोग किए बिना)।
पॉलीहेड्रा में वर्गों का क्षेत्रफल ज्ञात करना (बहुभुज के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय का उपयोग करना)।

पॉलीहेड्रॉन के वर्गों के निर्माण और 10-11 ग्रेड में पाठों में उनके उपयोग की विधि पर स्टीरियोमेट्रिक कार्य।

("पॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण" विषय पर पाठों और वैकल्पिक कक्षाओं की एक प्रणाली)

पाठ 1।
पाठ विषय: "पॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण"।

पाठ का उद्देश्य: पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण के तरीकों से परिचित होना।

पाठ कदम:

बुनियादी ज्ञान का अद्यतन।
समस्या का निरूपण।
नई सामग्री सीखना:

ए) अनुभाग की परिभाषा।

बी) वर्गों के निर्माण के तरीके:

ए) निशान की विधि;

बी) सहायक वर्गों की विधि;

ग) संयुक्त विधि।

सामग्री को ठीक करना।

ट्रेस विधि द्वारा अनुभागों के निर्माण के उदाहरण।

पाठ का सारांश।

कक्षाओं के दौरान।

बुनियादी ज्ञान का अद्यतन।

चलो याद करते हैं:
- एक विमान के साथ एक सीधी रेखा का चौराहा;
- विमानों का चौराहा;
- समानांतर विमानों के गुण।

समस्या का निरूपण।

कक्षा के लिए प्रश्न:
- प्लेन द्वारा पॉलीहेड्रॉन के एक सेक्शन का निर्माण करने का क्या मतलब है?
- एक पॉलीहेड्रॉन और एक विमान एक दूसरे के सापेक्ष कैसे स्थित हो सकते हैं?
- विमान कैसे परिभाषित किया जाता है?
- प्लेन द्वारा पॉलीहेड्रॉन के एक सेक्शन के निर्माण की समस्या को कब हल माना जाता है?

नई सामग्री सीखना।

ए) तो, कार्य दो आंकड़ों के प्रतिच्छेदन का निर्माण करना है: एक पॉलीहेड्रॉन और एक विमान (चित्र 1)। ये हो सकते हैं: एक खाली आकृति (ए), एक बिंदु (बी), एक खंड (सी), एक बहुभुज (डी)। यदि एक बहुफलक और एक समतल का प्रतिच्छेदन एक बहुभुज है, तो यह बहुभुज कहलाता है एक विमान द्वारा एक बहुफलक का खंड।

हम केवल उस मामले पर विचार करेंगे जब विमान पॉलीहेड्रॉन को उसके इंटीरियर के साथ काटता है। इस मामले में, पॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक चेहरे के साथ इस विमान का प्रतिच्छेदन एक निश्चित खंड होगा। इस प्रकार, समस्या को हल माना जाता है यदि वे सभी खंड जिनके साथ विमान पॉलीहेड्रॉन के चेहरों को काटता है, पाए जाते हैं।

घन के अनुभागों की जाँच करें (चित्र 2) और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दें:

एक समतल द्वारा एक घन के परिच्छेद में कौन-से बहुभुज प्राप्त होते हैं? (बहुभुज की भुजाओं की संख्या महत्वपूर्ण है);

[सुझाए गए उत्तर: त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचकोण, षट्भुज।]

क्या घन का समतल अनुप्रस्थ काट एक सप्तभुज बना सकता है? और अष्टकोना, आदि? क्यों?

आइए एक विमान (मॉडल पर) द्वारा एक प्रिज्म और उसके संभावित वर्गों को देखें। किस प्रकार के बहुभुज प्राप्त होते हैं?

क्या निष्कर्ष हो सकता है? एक बहुफलक को एक तल से काटकर प्राप्त बहुभुज की भुजाओं की सबसे बड़ी संख्या क्या है?

[ सबसे बड़ी संख्यासमतल द्वारा बहुफलक के खंड में प्राप्त बहुभुज की भुजाएँ बहुफलक के फलकों की संख्या के बराबर होती हैं।]

बी ० ए) ट्रेस विधिपॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक चेहरे के विमान पर छेदक विमान के निशान का निर्माण होता है। ट्रेस विधि द्वारा पॉलीहेड्रॉन के एक खंड का निर्माण आमतौर पर सेकेंट प्लेन के तथाकथित मुख्य ट्रेस के निर्माण से शुरू होता है, अर्थात। पॉलीहेड्रॉन के बेस प्लेन पर कटिंग प्लेन का निशान।

बी) सहायक खंड विधिपॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण पर्याप्त रूप से सार्वभौमिक है। ऐसे मामलों में जहां कटिंग प्लेन का वांछित ट्रेस (या निशान) ड्राइंग के बाहर है, इस पद्धति के कुछ फायदे भी हैं। साथ ही, यह ध्यान में रखना चाहिए कि इस पद्धति का उपयोग करके किए गए निर्माण अक्सर "भीड़" हो जाते हैं। फिर भी, कुछ मामलों में सहायक अनुभागों की विधि सबसे तर्कसंगत निकली।

अंशों की विधि और सहायक वर्गों की विधि किस्में हैं स्वयंसिद्ध विधिएक विमान द्वारा पॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण।

ग) सार संयुक्त विधिपॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण में स्वयंसिद्ध विधि के संयोजन में अंतरिक्ष में रेखाओं और विमानों की समानता पर प्रमेयों को लागू करना शामिल है।

आइए अब समस्या समाधान का एक उदाहरण देखें ट्रेस विधि।

4. सामग्री को ठीक करना।

कार्य 1।

प्रिज्म ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 के एक खंड का निर्माण एक विमान द्वारा P, Q, R (चित्र 3) पर इंगित किया गया है।

समाधान।

चावल। 3

प्लेन पर कटिंग प्लेन के ट्रेस का निर्माण करें निचला आधारप्रिज्म। फलक AA 1 B 1 B पर विचार कीजिए। कटे हुए बिंदु P और Q इस फलक पर स्थित हैं। एक रेखा PQ खींचिए।
हम रेखा PQ को जारी रखते हैं, जो खंड से संबंधित है, रेखा AB के साथ चौराहे तक। आइए ट्रेस से संबंधित बिंदु S 1 प्राप्त करें।
इसी प्रकार, हम क्यूआर और बीसी लाइनों के चौराहे से बिंदु एस 2 प्राप्त करते हैं।
सीधी रेखा S 1 S 2 प्रिज्म के निचले आधार के तल पर छेदक तल का निशान है।
रेखा S 1 S 2 भुजा AD को बिंदु U पर, भुजा CD को बिंदु T पर प्रतिच्छेद करती है। बिंदु P और U को जोड़ते हैं, क्योंकि वे फलक AA 1 D 1 D के एक ही तल में स्थित हैं। इसी प्रकार, हम टीयू और आरटी प्राप्त करें।
PQRTU आवश्यक अनुभाग है।

बिंदु M, N, P से गुजरने वाले एक विमान द्वारा समानांतर चतुर्भुज ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 के एक खंड का निर्माण करें (अंक चित्र (चित्र 4) पर इंगित किए गए हैं)।

समाधान।

बिंदु N और P खंड के तल में और समानांतर चतुर्भुज के निचले आधार के तल में स्थित हैं। आइए इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का निर्माण करें। यह रेखा समांतर चतुर्भुज के आधार के तल पर छेदक तल का निशान है।
आइए हम उस रेखा को जारी रखें जिस पर समांतर चतुर्भुज की भुजा AB स्थित है। रेखाएँ AB और NP किसी बिंदु S पर प्रतिच्छेद करती हैं। यह बिंदु खंड तल से संबंधित है।
चूँकि बिंदु M भी खंड तल से संबंधित है और रेखा AA 1 को किसी बिंदु X पर प्रतिच्छेद करता है।
बिंदु X और N चेहरे के एक ही तल AA 1 D 1 D में स्थित हैं, उन्हें मिलाएं और रेखा XN प्राप्त करें।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के चेहरों के विमान समानांतर हैं, इसलिए बिंदु एम के माध्यम से चेहरे ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 में लाइन एनपी के समानांतर एक रेखा खींचना संभव है। यह रेखा भुजा B 1 C 1 को बिंदु Y पर प्रतिच्छेद करेगी।
इसी प्रकार, हम रेखा XN के समांतर रेखा YZ खींचते हैं। हम Z को P से जोड़ते हैं और वांछित खंड प्राप्त करते हैं - MYZPNX।

टास्क 3 (स्वतंत्र समाधान के लिए)।

बिंदु M, N, P से गुजरने वाले एक विमान द्वारा DACB टेट्राहेड्रॉन के एक खंड का निर्माण करें (अंक चित्र (चित्र 5) पर इंगित किए गए हैं)।

5. पाठ का सारांश।

प्रश्न का उत्तर दें: क्या भरे हुए आंकड़े समतल PQR द्वारा दर्शाए गए पॉलीहेड्रा के खंड हैं? और सही निर्माण करें (चित्र 6)।

विकल्प 1।

विकल्प 2।

पाठ का विषय: अनुभाग क्षेत्र ढूँढना।

पाठ का उद्देश्य: एक पॉलीहेड्रॉन के क्रॉस-आंशिक क्षेत्र को खोजने के तरीकों से परिचित होना।

पाठ कदम:

बुनियादी ज्ञान का अद्यतन।

बहुभुज के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय को याद करें।

क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र खोजने पर समस्याओं का समाधान:

बहुभुज ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण क्षेत्र प्रमेय का उपयोग किए बिना;

बहुभुज ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण क्षेत्र प्रमेय का उपयोग करना।

3. पाठ का सारांश।

कक्षाओं के दौरान।

बुनियादी ज्ञान का अद्यतन।

चलो याद करते हैं बहुभुज के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय:एक विमान पर एक बहुभुज के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्र उसके क्षेत्र के उत्पाद और बहुभुज के विमान और प्रक्षेपण विमान के बीच के कोण के कोसाइन के बराबर है।

समस्या को सुलझाना।

ABCD एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड है जिसका आधार भुजा AB बराबर है एकऔर ऊंचाई डीएच के बराबर एच. बिंदु D, C और M से गुजरने वाले समतल द्वारा पिरामिड के एक खंड का निर्माण करें, जहाँ M भुजा AB का मध्य बिंदु है, और इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें (चित्र 7)।

पिरामिड का अनुप्रस्थ काट त्रिभुज MCD है। आइए इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।

एस = 1/2 डीएच सीएम = 1/2 =

किनारे वाले घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 का अनुभागीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एकशीर्ष डी से गुजरने वाला विमान और किनारों पर बिंदु ई और एफ क्रमशः ए 1 डी 1 और सी 1 डी 1, यदि ए 1 ई = के डी 1 ई और सी 1 एफ = के डी 1 एफ।

खंड निर्माण:

चूँकि बिंदु E और F खंड के समतल और चेहरे के तल A 1 B 1 C 1 D 1 से संबंधित हैं, और दो समतल एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं, सीधी रेखा EF छेदक तल का निशान होगी चेहरे के तल पर ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 (चित्र 8)।
इसी प्रकार सीधी रेखाएँ ED और FD प्राप्त होती हैं।
ईडीएफ आवश्यक खंड है।

टास्क 3 (स्वतंत्र समाधान के लिए)।

भुजा वाले घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 का एक भाग बनाएँ एकबिंदु बी, एम और एन के माध्यम से गुजरने वाला विमान, जहां बी किनारे एए 1 का मध्य बिंदु है और एन किनारे सीसी 1 का मध्य बिंदु है।

अनुभाग का निर्माण ट्रेस विधि द्वारा किया जाता है।

बहुभुज के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय का उपयोग करके अनुभाग का क्षेत्र पाया जाता है। उत्तर: एस = 1/2 एक 2.