कला में सुनहरा अनुपात। सुनहरा अनुपात क्या है? स्वर्ण अनुपात परिभाषा

मिस्र के पिरामिड, लियोनार्डो दा विंची की मोना लिसा पेंटिंग और ट्विटर और पेप्सी लोगो में क्या समानता है?

आइए उत्तर में देरी न करें - वे सभी गोल्डन सेक्शन नियम का उपयोग करके बनाए गए हैं। सुनहरा अनुपात दो मात्राओं a और b का अनुपात है, जो एक दूसरे के बराबर नहीं हैं। यह अनुपात अक्सर प्रकृति में पाया जाता है, और स्वर्ण अनुपात का नियम भी सक्रिय रूप से ललित कला और डिजाइन में उपयोग किया जाता है - "दिव्य अनुपात" का उपयोग करके बनाई गई रचनाएं अच्छी तरह से संतुलित होती हैं और, जैसा कि वे कहते हैं, आंख को भाता है। लेकिन वास्तव में सुनहरा अनुपात क्या है और क्या इसका उपयोग आधुनिक विषयों में किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, वेब डिज़ाइन में? आइए इसका पता लगाते हैं।

थोड़ा गणित

मान लीजिए कि हमारे पास एक निश्चित खंड एबी है, जो बिंदु सी से दो में विभाजित है। खंडों की लंबाई का अनुपात: एसी / बीसी = बीसी / एबी। अर्थात्, खंड को असमान भागों में इस तरह विभाजित किया जाता है कि खंड का बड़ा हिस्सा पूरे, अविभाजित खंड में समान हिस्सा होता है, जो कि छोटा खंड बड़े खंड में होता है।

इस असमान विभाजन को स्वर्णिम अनुपात कहते हैं। सुनहरे अनुपात को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है। का मान 1.618 या 1.62 है। सामान्य तौर पर, काफी सरलता से बोलते हुए, यह 62% और 38% के संबंध में एक खंड या किसी अन्य मूल्य का विभाजन है।

"दिव्य अनुपात" प्राचीन काल से लोगों के लिए जाना जाता है, इस नियम का उपयोग मिस्र के पिरामिड और पार्थेनन के निर्माण में किया गया था, सुनहरा अनुपात सिस्टिन चैपल के चित्रों और वान गाग के चित्रों में पाया जा सकता है। आज सुनहरे अनुपात का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है - उदाहरण जो लगातार हमारी आंखों के सामने हैं, वे हैं ट्विटर और पेप्सी लोगो।

मानव मस्तिष्क को इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि वह सुंदर छवियों या वस्तुओं पर विचार करता है जिसमें भागों का असमान अनुपात पाया जा सकता है। जब हम किसी के बारे में कहते हैं कि "वह आनुपातिक रूप से जटिल है," हम इसे जाने बिना, सुनहरे अनुपात की बात कर रहे हैं।

सुनहरे अनुपात को विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों पर लागू किया जा सकता है। यदि हम एक वर्ग लें और उसकी एक भुजा को 1.618 से गुणा करें, तो हमें एक आयत प्राप्त होता है।

अब, यदि हम इस आयत पर एक वर्ग लगाते हैं, तो हम सुनहरी अनुपात रेखा देख सकते हैं:

यदि हम इस अनुपात का उपयोग करना जारी रखते हैं और आयत को छोटे भागों में तोड़ते हैं, तो हमें यह चित्र मिलता है:

यह अभी तक स्पष्ट नहीं है कि ज्यामितीय आकृतियों का यह विखंडन हमें कहाँ ले जाएगा। थोड़ा और सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा। यदि योजना के प्रत्येक वर्ग में हम एक वृत्त के एक चौथाई के बराबर एक चिकनी रेखा खींचते हैं, तो हमें गोल्डन स्पाइरल मिलेगा।

यह एक असामान्य सर्पिल है। इसे कभी-कभी फाइबोनैचि सर्पिल भी कहा जाता है, उस वैज्ञानिक के बाद जिसने अनुक्रम का अध्ययन किया जिसमें प्रत्येक संख्या पिछले दो के योग से पहले होती है। लब्बोलुआब यह है कि यह गणितीय संबंध, जिसे हमारे द्वारा एक सर्पिल के रूप में देखा जाता है, शाब्दिक रूप से हर जगह पाया जाता है - सूरजमुखी, समुद्र के गोले, सर्पिल आकाशगंगा और आंधी - हर जगह एक सुनहरा सर्पिल होता है।

आप डिजाइन में सुनहरे अनुपात का उपयोग कैसे कर सकते हैं?

तो, सैद्धांतिक हिस्सा खत्म हो गया है, चलिए अभ्यास पर चलते हैं। क्या डिजाइन में सुनहरे अनुपात का उपयोग किया जा सकता है? हाँ आप कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, वेब डिज़ाइन में। इस नियम को देखते हुए, आप लेआउट के रचनात्मक तत्वों का सही अनुपात प्राप्त कर सकते हैं। नतीजतन, डिजाइन के सभी हिस्सों, सबसे छोटे से नीचे, एक दूसरे के साथ सामंजस्यपूर्ण रूप से जोड़ दिए जाएंगे।

यदि हम 960 पिक्सेल की चौड़ाई वाला एक विशिष्ट लेआउट लेते हैं और उस पर गोल्डन सेक्शन नियम लागू करते हैं, तो हमें यह चित्र मिलता है। भागों के बीच का अनुपात पहले से ही 1:1.618 ज्ञात है। नतीजतन, हमारे पास दो-स्तंभ लेआउट है, जिसमें दो तत्वों का एक सामंजस्यपूर्ण संयोजन है।

दो कॉलम वाली साइटें बहुत आम हैं और यह आकस्मिक नहीं है। उदाहरण के लिए, नेशनल ज्योग्राफिक वेबसाइट को लें। दो कॉलम, गोल्डन सेक्शन नियम। अच्छा डिजाइन, व्यवस्थित, संतुलित और दृश्य पदानुक्रम का सम्मान।

एक और उदाहरण। डिज़ाइन स्टूडियो मूडली ने ब्रेगेंज़ परफॉर्मिंग आर्ट्स फेस्टिवल के लिए ब्रांड पहचान विकसित की। जब डिजाइनर घटना के पोस्टर पर काम कर रहे थे, तो उन्होंने निश्चित रूप से सभी तत्वों के आकार और स्थान को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए सुनहरे अनुपात नियम का उपयोग किया और परिणामस्वरूप, सही रचना प्राप्त की।

लेमन ग्राफिक, जिसने टेरकाया वेल्थ मैनेजमेंट के लिए दृश्य पहचान बनाई, ने भी 1: 1.618 अनुपात और एक सुनहरे सर्पिल का उपयोग किया। व्यवसाय कार्ड के तीन डिज़ाइन तत्व पूरी तरह से योजना में फिट होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप सभी टुकड़े बहुत अच्छी तरह से एक साथ आते हैं।

और यहाँ सुनहरे सर्पिल का एक और दिलचस्प उपयोग है। हमसे पहले फिर से नेशनल ज्योग्राफिक वेबसाइट है। यदि आप डिजाइन को करीब से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि पृष्ठ पर एक और एनजी लोगो है, जो केवल छोटा है, जो सर्पिल के केंद्र के करीब स्थित है।

बेशक, यह आकस्मिक नहीं है - डिजाइनरों को अच्छी तरह से पता था कि वे क्या कर रहे हैं। लोगो की नकल करने के लिए यह एक बेहतरीन जगह है क्योंकि साइट को देखते समय हमारी नज़र स्वाभाविक रूप से कंपोज़िशन के केंद्र की ओर बढ़ती है। इस प्रकार अवचेतन काम करता है और डिजाइन पर काम करते समय इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए।

स्वर्णिम चक्र

"दिव्य अनुपात" को मंडलियों सहित किसी भी ज्यामितीय आकार पर लागू किया जा सकता है। यदि आप एक वृत्त को वर्गों में अंकित करते हैं, जिसका अनुपात 1: 1.618 है, तो हमें सुनहरे वृत्त मिलते हैं।

यहाँ पेप्सी लोगो है। शब्दों के बिना सब कुछ स्पष्ट है। और अनुपात, और सफेद लोगो तत्व का चिकना चाप कैसे प्राप्त किया गया था।

ट्विटर लोगो के साथ, चीजें थोड़ी अधिक जटिल हैं, लेकिन यहां आप देख सकते हैं कि इसका डिज़ाइन गोल्डन सर्कल के उपयोग पर आधारित है। यह "दिव्य अनुपात" के नियम का थोड़ा पालन नहीं करता है, लेकिन अधिकांश भाग के लिए इसके सभी तत्व योजना में फिट होते हैं।

निष्कर्ष

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि स्वर्ण अनुपात का नियम प्राचीन काल से जाना जाता है, यह बिल्कुल भी पुराना नहीं हुआ है। इसलिए, इसे डिजाइन में इस्तेमाल किया जा सकता है। आपको किसी स्कीमा में फ़िट होने के लिए अपने रास्ते से बाहर जाने की ज़रूरत नहीं है - डिज़ाइन अनुशासन सटीक नहीं है। लेकिन अगर आपको तत्वों के सामंजस्यपूर्ण संयोजन को प्राप्त करने की आवश्यकता है, तो सुनहरे अनुपात के सिद्धांतों को लागू करने की कोशिश करने से कोई नुकसान नहीं होगा।

कला में सुनहरा अनुपात

नीचे " सुनहरा अनुपात " में वास्तुकलातथा कला आमतौर पर समझा जाता हैविषम रचनाओं , जरूरी नहीं युक्तसुनहरा अनुपातगणितीय रूप से।

कई लोग तर्क देते हैं कि जिन वस्तुओं में "सुनहरा अनुपात", लोगों द्वारा सबसे अधिक माना जाता हैसामंजस्यपूर्ण . आमतौर पर, ऐसे अध्ययन कठोर आलोचना का सामना नहीं करते हैं। किसी भी मामले में, इन सभी दावों का सावधानी से इलाज किया जाना चाहिए, क्योंकि कई मामलों में यह फिटिंग या संयोग का परिणाम हो सकता है। यह मानने का कारण है कि महत्वसुनहरा अनुभागमें कला अतिरंजित और गलत गणना के आधार पर। इनमें से कुछ कथन हैं:

• ले कॉर्बूसियर के अनुसार,राहत अबीदोस और में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर सेराहत फिरौन रामसेस का चित्रण,अनुपात आंकड़े मिलते हैंसुनहरा अनुपात. प्राचीन यूनानी मंदिर के अग्रभाग में भी शामिल हैसुनहरा अनुपात. प्राचीन रोमन शहर पोम्पेई (नेपल्स में संग्रहालय) से कंपास में भी रखा गया हैअनुपात गोल्डन डिवीजन, आदि।

• शोध का परिणामसुनहरा अनुभागसंगीत में पहली बार एमिल रोसेनोव (1903) की एक रिपोर्ट में निर्धारित किया गया था और बाद में उनके लेख में विकसित किया गया था"कविता और संगीत में सुनहरे खंड का कानून"(1925)। रोसेनोव ने इसका प्रभाव दिखायाअनुपात युग के संगीत रूपों मेंबरोक और कार्यों के उदाहरण पर क्लासिकवादबाख, मोजार्ट, बीथोवेन।

आयतों के इष्टतम पहलू अनुपात पर चर्चा करते समय (शीट आकारकागज़ और गुणज, फोटोग्राफिक प्लेट्स के आकार (6:9, 9:12) या फिल्म फ्रेम (अक्सर 2:3), सिनेमा और टेलीविजन स्क्रीन के आकार - उदाहरण के लिए, 3:4 या 9:16) विभिन्न प्रकार के विकल्प परीक्षण किया गया है। यह पता चला कि ज्यादातर लोग नहीं समझते हैंसुनहरा अनुपातइष्टतम के रूप में और इसके अनुपात पर विचार करता है "बहुत लम्बा».

इसके साथ शुरुआत लियोनार्डो दा विंसी , कई कलाकारों ने जानबूझकर इस्तेमाल कियाअनुपात « सुनहरा अनुभाग". रूसी वास्तुकार झोल्टोव्स्की ने भी इस्तेमाल किया सुनहरा अनुपातआपकी परियोजनाओं में।

यह ज्ञात है कि सर्गेई ईसेनस्टीन ने नियमों के अनुसार कृत्रिम रूप से फिल्म "बैटलशिप पोटेमकिन" का निर्माण किया थासुनहरा अनुपात।उसने टेप को पांच भागों में तोड़ दिया। पहले तीन में, जहाज पर कार्रवाई विकसित होती है। पिछले दो में - ओडेसा में, जहां विद्रोह सामने आ रहा है। शहर में यह संक्रमण ठीक उसी बिंदु पर होता हैसुनहरा अनुभाग. हाँ, और प्रत्येक भाग में एक ऐसा मोड़ आता है जो कानून के अनुसार होता हैसुनहरा अनुभाग. फ्रेम, दृश्य, एपिसोड में, विषय के विकास में एक निश्चित छलांग है:भूखंड , मनोदशा। ईसेनस्टीन का मानना ​​​​था कि, चूंकि ऐसा संक्रमण बिंदु के करीब हैसुनहरा अनुभाग, इसे सबसे प्राकृतिक और प्राकृतिक माना जाता है।

नियम का उपयोग करने का एक और उदाहरण " सुनहरा अनुभाग"सिनेमा कला में विशेष बिंदुओं पर फ्रेम के मुख्य घटकों का स्थान है -" दृश्य केंद्र "। विमान के संगत किनारों से 3/8 और 5/8 की दूरी पर स्थित अक्सर चार बिंदुओं का उपयोग किया जाता है।

मूर्तिकला में स्वर्ण अनुपात

मूर्तिकला इमारतों, स्मारकों को महत्वपूर्ण घटनाओं को बनाए रखने के लिए, वंशजों की स्मृति में प्रसिद्ध लोगों के नाम, उनके कारनामों और कार्यों को संरक्षित करने के लिए खड़ा किया जाता है।

ज्ञात हो कि प्राचीन काल मेंमूर्तियों सिद्धांत थाअनुपात . मानव शरीर के अंगों का संबंध सूत्र से जुड़ा थासुनहरा अनुभाग.

अनुपात "सुनहरा अनुभाग"प्रभाव डालोसमन्वय सुंदरता, इसलिएमूर्तिकारों उन्हें अपने काम में इस्तेमाल किया।

मूर्तिकारों दावा है कि कमर संपूर्ण मानव शरीर को किसके संबंध में विभाजित करती है?"सुनहरा अनुभाग". तो, उदाहरण के लिए, प्रसिद्धप्रतिमा अपोलो बेल्वेडियर में विभाजित भाग होते हैंसुनहरे रिश्ते. महान प्राचीन यूनानी मूर्तिकार फिदियास अक्सर इस्तेमाल करते थे"सुनहरा अनुभाग"उनके कार्यों में। उनमें से सबसे प्रसिद्ध थेप्रतिमा ओलिंप के ज़ीउस (जिसे दुनिया के आश्चर्यों में से एक माना जाता था) और एथेना पार्थेनोस।

वास्तुकला में सुनहरा अनुपात

किताबों में . के बारे में "सुनहरा अनुभाग"कोई यह टिप्पणी पा सकता है किवास्तुकला, जैसे की चित्र , यह सब पर्यवेक्षक की स्थिति पर निर्भर करता है, और क्या होगा यदि कुछअनुपात एक तरफ की इमारत में बनने लगते हैं"सुनहरा अनुभाग", तो अन्य दृष्टिकोणों से वे भिन्न दिखाई देंगे।"सुनहरा अनुपात"निश्चित लंबाई के आकार का सबसे आराम से अनुपात देता है।

सबसे खूबसूरत कृतियों में से एकप्राचीन यूनानी वास्तुकला पार्थेनन (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) है।

पार्थेनन में छोटी भुजाओं पर 8 स्तंभ हैं और लंबी भुजाओं पर 17 स्तंभ हैं। किनारे पूरी तरह से पेंटाइल संगमरमर के वर्गों से बने हैं। जिस सामग्री से मंदिर का निर्माण किया गया था, उसके बड़प्पन ने पारंपरिक के उपयोग को सीमित करना संभव बना दियायूनानी वास्तुकला रंग भरने वाले पृष्ठ, यह केवल विवरणों पर जोर देता है और एक रंगीन पृष्ठभूमि (नीला और लाल) बनाता हैमूर्तियां इमारत की ऊंचाई और इसकी लंबाई का अनुपात 0.618 है। यदि हम पार्थेनन को के अनुसार विभाजित करते हैं"सुनहरा अनुभाग", तो हमें मुखौटा के कुछ प्रोट्रूशियंस मिलते हैं।

से एक और उदाहरणवास्तुकला पुरातनता पंथियन है।

प्रसिद्ध रूसी वास्तुकार एम। काजाकोव ने अपने काम में व्यापक रूप से इस्तेमाल किया"सुनहरा अनुभाग". उनकी प्रतिभा बहुमुखी थी, लेकिन अधिक हद तक उन्होंने आवासीय भवनों और सम्पदाओं की कई पूर्ण परियोजनाओं में खुद को प्रकट किया। उदाहरण के लिए,"सुनहरा अनुभाग"में पाए जा सकते हैंवास्तुकला क्रेमलिन में सीनेट की इमारत। एम। काजाकोव की परियोजना के अनुसार, गोलित्सिन अस्पताल मास्को में बनाया गया था, जिसे वर्तमान में एन.आई. के नाम पर पहला नैदानिक ​​​​अस्पताल कहा जाता है। पिरोगोव (लेनिन्स्की प्रॉस्पेक्ट, 5)।

दूसरा वास्तु मास्टरपीस मास्को - पश्कोव का घर - सबसे उत्तम कार्यों में से एक हैवास्तुकलावी. बाझेनोव।

वी। बाझेनोव की अद्भुत रचना ने आधुनिक मॉस्को के केंद्र के पहनावे में मजबूती से प्रवेश किया, इसे समृद्ध किया। घर की बाहरी उपस्थिति आज तक लगभग अपरिवर्तित बनी हुई है, इस तथ्य के बावजूद कि इसे 1812 में बुरी तरह से जला दिया गया था।

बहाली के दौरान, इमारत ने और अधिक बड़े पैमाने पर अधिग्रहण कियाफार्म . इमारत के आंतरिक लेआउट को भी संरक्षित नहीं किया गया है, जिसका केवल निचली मंजिल का चित्र ही एक विचार देता है।

वास्तुकार के कई बयान आज ध्यान देने योग्य हैं। अपने प्रिय के बारे मेंकला वी। बाझेनोव ने कहा:

“ आर्किटेक्चर - तीन मुख्य चीजें हैं: सौंदर्य, शांति और भवन की ताकत ... इसे प्राप्त करने के लिए, ज्ञान एक मार्गदर्शक के रूप में कार्य करता हैअनुपात , परिप्रेक्ष्य , यांत्रिकी या भौतिकी सामान्य रूप से, और उन सभी में एक सामान्य नेता है कारण ”.

पेंटिंग में सुनहरा अनुपात

हर चित्रकार तय करता हैसंबंधों परिमाण और, आश्चर्यचकित न हों, उनमें से अंतर करते हैंरवैया "सुनहरा अनुभाग" . दृश्य धारणा की इस प्रकृति की पुष्टि दुनिया के कई देशों में अलग-अलग समय पर किए गए कई प्रयोगों से होती है।

1876 ​​​​में जर्मन मनोवैज्ञानिक गुस्ताव फेचनर ने कई प्रयोग किए, जिसमें पुरुषों और महिलाओं, लड़कों और लड़कियों के साथ-साथ बच्चों को भी दिखाया गया।कागज़ विभिन्न आयतों के आंकड़े, उनमें से केवल एक को चुनने की पेशकश करते हैं, लेकिन प्रत्येक विषय पर सबसे सुखद प्रभाव डालते हैं।सभी ने एक आयत चुना है जो दिखा रहा हैरवैया इसके दो पहलूअनुपात "सुनहरा अनुभाग" . हमारी सदी के 40 के दशक में अमेरिकी न्यूरोफिज़ियोलॉजिस्ट वॉरेन मैककुलोच द्वारा छात्रों के लिए एक अलग तरह के प्रयोगों का प्रदर्शन किया गया था, जब उन्होंने भविष्य के विशेषज्ञों में से कई स्वयंसेवकों से पसंदीदा वस्तु को एक आयताकार वस्तु लाने के लिए कहा था।प्रपत्र . छात्रों ने कुछ देर काम किया और फिर सामान प्रोफेसर को लौटा दिया। उनमें से लगभग सभी को इस क्षेत्र में बिल्कुल चिह्नित किया गया थासंबंधों « सुनहरा अनुभाग», हालांकि युवा इससे पूरी तरह अनजान थे"दिव्य अनुपात ". मैककुलोच ने इस घटना की पुष्टि करते हुए दो साल बिताए, क्योंकि वह व्यक्तिगत रूप से यह नहीं मानते थे कि सभी लोग इसे चुनते हैंअनुपात या इसे सभी प्रकार के शिल्प के निर्माण पर शौकिया काम में स्थापित करें।

एक दिलचस्प घटना तब देखी जाती है जब दर्शक संग्रहालयों और प्रदर्शनियों में जाते हैं।दृश्य कला . बहुत से लोग जिन्होंने खुद को अद्भुत सटीकता के साथ नहीं खींचा है, वे थोड़ी सी भी अशुद्धियों को पकड़ लेते हैंसिद्धांत।

“ कोई ऐसा व्यक्ति जो गणितज्ञ नहीं है मेरी रचनाओं को पढ़ने का साहस न करे।”.

उन्होंने एक नायाब कलाकार, एक महान वैज्ञानिक, एक प्रतिभाशाली व्यक्ति के रूप में ख्याति प्राप्त की, जिन्होंने कई आविष्कारों का अनुमान लगाया था जो 20 वीं शताब्दी तक लागू नहीं हुए थे।
इसमें कोई शक नहीं किलियोनार्डो दा विंसी एक महान कलाकार थे, उनके समकालीनों ने पहले ही इसे पहचान लिया था, लेकिन उनका व्यक्तित्व और गतिविधियाँ रहस्य में डूबी रहेंगी, क्योंकि उन्होंने अपने विचारों की एक सुसंगत प्रस्तुति नहीं, बल्कि केवल कई हस्तलिखित रेखाचित्रों को छोड़ दिया, जो कहते हैं कि "दुनिया में हर चीज के बारे में" ।"
उन्होंने दाएं से बाएं ओर से अपठनीय लिखावट में और बाएं हाथ से लिखा। यह अस्तित्व में दर्पण लेखन का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है।
चित्र मोना लिसा (जियोकोंडा) ने कई वर्षों से शोधकर्ताओं का ध्यान आकर्षित किया है, जिन्होंने पाया किसंयोजन पर आधारित ड्राइंगस्वर्ण त्रिभुज, जो एक नियमित तारकीय पंचभुज के भाग हैं।इसके इतिहास के बारे में कई संस्करण हैंचित्र . उनमें से एक यहां पर है।

एक बार एक गरीब आदमी था, उसके चार बेटे थे: तीन स्मार्ट, और उनमें से एक इस तरह और वह। और फिर पिता के लिए मौत आ गई। अपने जीवन से अलग होने से पहले, उसने अपने बच्चों को अपने पास बुलाया और कहा: “हे मेरे पुत्रों, मैं शीघ्र ही मर जाऊँगा। जैसे ही तुम मुझे दफनाओ, झोंपड़ी को बंद कर दो और दुनिया के छोर पर जाकर अपना भाग्य बनाओ। तुम में से हरेक को कुछ सीखने दो ताकि तुम अपना पेट भर सको।” पिता की मृत्यु हो गई, और बेटे दुनिया भर में तितर-बितर हो गए, तीन साल बाद अपने मूल ग्रोव के ग्लेड में लौटने के लिए सहमत हुए। पहला भाई आया, जिसने बढ़ईगीरी सीखी, एक पेड़ को काटा और उसे काटा, उसमें से एक महिला बनाई, थोड़ा चला और इंतजार किया। दूसरा भाई लौटा, एक लकड़ी की महिला को देखा और, चूंकि वह एक दर्जी था, एक मिनट में उसे कपड़े पहनाए: एक कुशल कारीगर की तरह, उसने उसके लिए सुंदर रेशमी कपड़े सिल दिए। तीसरे बेटे ने महिला को सोने और कीमती पत्थरों से सजाया - आखिरकार, वह एक जौहरी था। अंत में चौथा भाई आ ही गया। वह बढ़ईगीरी और सिलाई करना नहीं जानता था, वह केवल यह जानता था कि पृथ्वी, पेड़, जड़ी-बूटियाँ, जानवर और पक्षी क्या कह रहे हैं, वह स्वर्गीय शरीरों के पाठ्यक्रम को जानता था और यह भी जानता था कि अद्भुत गीत कैसे गाए जाते हैं। उन्होंने ऐसा गाना गाया जिससे झाड़ियों के पीछे छिपे भाई रो पड़े। इस गीत के साथ, उन्होंने महिला को पुनर्जीवित किया, वह मुस्कुराई और आह भरी। भाई उसके पास दौड़े और एक ही चिल्लाया: "तुम मेरी पत्नी हो।" लेकिन महिला ने उत्तर दिया: "तुमने मुझे बनाया - मेरे पिता बनो। तुमने मुझे कपड़े पहनाए, और तुमने मुझे सजाया - मेरे भाई बनो।

और तुम, जिसने मेरी आत्मा को मुझमें झोंक दिया और मुझे जीवन का आनंद लेना सिखाया, मुझे जीवन के लिए अकेले तुम्हारी जरूरत है।

कहानी समाप्त करने के बाद, लियोनार्डो ने मोना लिसा को देखा, उसका चेहरा रोशनी से चमक उठा, उसकी आँखें चमक उठीं। फिर, जैसे कि एक सपने से जागते हुए, उसने आह भरी, अपने चेहरे पर अपना हाथ रखा, और बिना एक शब्द के अपने स्थान पर चली गई, अपने हाथों को जोड़ दिया और अपनी सामान्य मुद्रा ग्रहण की। पर किया काम-कलाकार ने जगाई उदासीनतामूर्ति ; आनंद की मुस्कान, धीरे-धीरे उसके चेहरे से गायब हो गई, उसके मुंह के कोनों में रह गई और कांप गई, उसके चेहरे को एक अद्भुत, रहस्यमय और थोड़ी धूर्त अभिव्यक्ति दी, जैसे कि एक व्यक्ति ने एक रहस्य सीखा है और इसे ध्यान से रखते हुए, नहीं कर सकता उसकी जीत को रोकें। लियोनार्डो ने चुपचाप काम किया, इस पल को याद करने से डरते हुए, धूप की यह किरण जिसने उनके उबाऊ मॉडल को रोशन किया ...चित्र . उन्होंने अभिव्यक्ति की स्वाभाविकता, मुद्रा की सादगी, हाथों की सुंदरता के बारे में बात की। कलाकार ने कुछ अभूतपूर्व किया है: चित्र में हवा को दर्शाया गया है, यह एक पारदर्शी धुंध के साथ आकृति को ढँक देता है। सफलता के बावजूद, लियोनार्डो उदास था, फ्लोरेंस की स्थिति कलाकार को दर्दनाक लग रही थी, वह जाने के लिए तैयार हो गया। बाढ़ के आदेशों के अनुस्मारक ने उनकी मदद नहीं की।

यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्वर्ण विभाजन की अवधारणा को एक प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) पाइथागोरस द्वारा वैज्ञानिक उपयोग में लाया गया था। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने मिस्र और बेबीलोनियों से स्वर्ण विभाजन का अपना ज्ञान उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिरों, बेस-रिलीफ, घरेलू सामान और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय गोल्डन डिवीजन के अनुपात का इस्तेमाल किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियर ने पाया कि अबीडोस में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर से राहत में और फिरौन रामसेस को चित्रित करने वाली राहत में, आंकड़ों के अनुपात सुनहरे विभाजन के मूल्यों के अनुरूप हैं। अपने नाम के मकबरे से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित वास्तुकार हेसिरा, अपने हाथों में मापने के उपकरण रखता है, जिसमें स्वर्ण विभाजन के अनुपात तय होते हैं। यूनानी कुशल भू-मीटर थे। यहां तक ​​कि ज्यामितीय आकृतियों की मदद से उनके बच्चों को अंकगणित भी पढ़ाया जाता था। पाइथागोरस का वर्ग और इस वर्ग का विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार था। प्लेटो (427...347 ईसा पूर्व) भी स्वर्ण विभाजन के बारे में जानता था। उनका संवाद "तिमाईस" पाइथागोरस के स्कूल के गणितीय और सौंदर्यवादी विचारों और विशेष रूप से, स्वर्ण विभाजन के मुद्दों के लिए समर्पित है। पार्थेनन के प्राचीन ग्रीक मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। अपनी खुदाई के दौरान कम्पास की खोज की गई थी, जिसका उपयोग प्राचीन दुनिया के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पियन कंपास (नेपल्स में संग्रहालय) में स्वर्ण विभाजन के अनुपात भी शामिल हैं। प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, यूक्लिड के "बिगिनिंग्स" में सबसे पहले स्वर्ण विभाजन का उल्लेख किया गया है। "बिगिनिंग्स" की दूसरी पुस्तक में गोल्डन डिवीजन का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइप्सिकल्स (द्वितीय शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पुस (तृतीय शताब्दी ईस्वी) और अन्य स्वर्ण विभाजन के अध्ययन में लगे हुए थे। मध्ययुगीन यूरोप में स्वर्णिम विभाजन के साथ हम यूक्लिड के तत्वों के अरबी अनुवादों के माध्यम से मिले। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। गोल्डन डिवीजन के रहस्यों को सख्त गोपनीयता में रखा गया था, ईर्ष्या से पहरा दिया गया था। वे केवल दीक्षा के लिए जाने जाते थे।

पुनर्जागरण के दौरान, ज्यामिति और कला दोनों में इसके उपयोग के संबंध में वैज्ञानिकों और कलाकारों के बीच स्वर्ण विभाजन में रुचि बढ़ी, विशेष रूप से वास्तुकला में एक कलाकार और वैज्ञानिक लियोनार्डो दा विंची ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास महान अनुभवजन्य अनुभव था, लेकिन थोड़ा ज्ञान था . उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन उस समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक पुस्तक दिखाई दी, और लियोनार्डो ने अपने विचार को त्याग दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशक थे, जो इटली में फिबोनाची और गैलीलियो के बीच सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का का छात्र था, जिसने दो किताबें लिखी थीं, जिनमें से एक को पेंटिंग में ऑन पर्सपेक्टिव कहा जाता था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थे। 1496 में, ड्यूक ऑफ मोरो के निमंत्रण पर, वे मिलान आए, जहां उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान के मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पसिओली की पुस्तक डिवाइन प्रोपोर्शन को वेनिस में प्रकाशित किया गया था, जिसमें शानदार ढंग से निष्पादित चित्र थे, यही कारण है कि उन्हें लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाया गया माना जाता है। पुस्तक स्वर्ण अनुपात के लिए एक उत्साही भजन थी। सुनहरे अनुपात के कई लाभों में, भिक्षु लुका पैसीओली ने अपने "दिव्य सार" को ईश्वर पुत्र, ईश्वर पिता और ईश्वर पवित्र आत्मा की दिव्य त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति के रूप में नाम देने में विफल नहीं किया (यह समझा गया था कि छोटा खंड ईश्वर पुत्र का अवतार है, बड़ा खंड ईश्वर पिता का अवतार है, और संपूर्ण खंड - पवित्र आत्मा का देवता)।

लियोनार्डो दा विंसी गोल्डन डिवीजन के अध्ययन पर भी बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पेंटागन द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक बॉडी के सेक्शन बनाए, और हर बार उन्होंने गोल्डन डिवीजन में पहलू अनुपात के साथ आयतें प्राप्त कीं। इसलिए उन्होंने इस विभाग को स्वर्ण खंड का नाम दिया। तो यह अभी भी सबसे लोकप्रिय है।

उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहे थे। वह अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय देता है। ड्यूरर लिखते हैं। "यह आवश्यक है कि जो कुछ जानता है वह इसे दूसरों को सिखाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैंने यही करने का निश्चय किया है।"

ड्यूरर के पत्रों में से एक को देखते हुए, वह इटली में रहने के दौरान लुका पसिओली से मिले। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित किया है। ड्यूरर ने अनुपात की अपनी प्रणाली में स्वर्ण खंड को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट लाइन द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है, साथ ही निचले हाथों की मध्यमा उंगलियों की युक्तियों के माध्यम से खींची गई रेखा, चेहरे के निचले हिस्से - मुंह से, आदि। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर।

16वीं सदी के महान खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर ने स्वर्ण अनुपात को ज्यामिति के खजाने में से एक कहा। उन्होंने वनस्पति विज्ञान (पौधे की वृद्धि और संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व पर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं।

केप्लर ने स्वर्णिम अनुपात को जारी रखना कहा, "यह इस तरह से व्यवस्थित है," उन्होंने लिखा, "कि इस अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पद तीसरे पद में जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम शब्द, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो अगला दें अवधि, और वही अनुपात अनंत तक बना रहता है।"

स्वर्ण अनुपात के खंडों की एक श्रृंखला का निर्माण वृद्धि (बढ़ती श्रृंखला) और घटती (अवरोही श्रृंखला) की दिशा में दोनों दिशा में किया जा सकता है।

यदि मनमानी लंबाई की सीधी रेखा पर, खंड m को अलग रखें, तो हम खंड M को स्थगित कर देते हैं।

बाद की शताब्दियों में, स्वर्ण अनुपात का नियम एक अकादमिक सिद्धांत में बदल गया, और जब, समय के साथ, संघर्ष की गर्मी में, अकादमिक दिनचर्या के साथ कला में संघर्ष शुरू हुआ, "उन्होंने बच्चे को पानी के साथ बाहर फेंक दिया। " 19वीं शताब्दी के मध्य में स्वर्ण खंड को फिर से "खोजा" गया था। 1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता प्रोफेसर ज़ीसिंग ने अपना काम एस्थेटिक रिसर्च प्रकाशित किया। Zeising के साथ, वास्तव में जो हुआ वह शोधकर्ता के साथ होना तय था जो अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना घटना को ऐसा मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए स्वर्ण खंड के अनुपात को पूर्ण किया। ज़ीसिंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के अपने सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया।

ज़ीसिंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपात को सबसे अधिक विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाएं, पौधे, जानवर, पक्षी के अंडे, संगीतमय स्वर, काव्य मीटर अनुसंधान के अधीन थे। ज़ीजिंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि इसे रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई को व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त किए गए, तो ज़ीसिंग ने देखा कि वे एक फिबोनाची श्रृंखला का गठन करते हैं, जिसे अनिश्चित काल तक एक दिशा और दूसरी दिशा में जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक का शीर्षक था "प्रकृति और कला में मूल रूपात्मक नियम के रूप में स्वर्ण विभाजन।" 1876 ​​​​में, एक छोटी किताब, लगभग एक पुस्तिका, रूस में प्रकाशित हुई थी, जिसमें ज़ीसिंग के काम की रूपरेखा थी। लेखक ने आद्याक्षर यू.एफ.वी. इस संस्करण में एक भी पेंटिंग का उल्लेख नहीं है।
XIX के अंत में - XX सदियों की शुरुआत। कला और वास्तुकला के कार्यों में सुनहरे खंड के उपयोग के बारे में बहुत सारे औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिजाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, स्वर्ण अनुपात के नियम का विस्तार कारों, फर्नीचर आदि के डिजाइन तक हो गया।

फाइबोनैचि श्रृंखला
पीसा से इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फिबोनाची (बोनैकी का पुत्र) के नाम से जाना जाता है, परोक्ष रूप से स्वर्ण खंड के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को भारतीय (अरबी) अंकों से परिचित कराया। 1202 में उनका गणितीय कार्य "द बुक ऑफ द अबेकस" (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याओं को एकत्र किया गया था। कार्यों में से एक पढ़ा "एक जोड़ी से एक वर्ष में खरगोशों के कितने जोड़े पैदा होंगे।" इस विषय पर विचार करते हुए, फाइबोनैचि ने संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखलाएँ बनाईं:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, आदि।

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि संख्याओं की एक श्रृंखला। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो 2 + 3 = 5 के योग के बराबर है; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, आदि, और श्रृंखला की आसन्न संख्याओं का अनुपात स्वर्ण विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है। तो, 21: 34 \u003d 0.617, और 34: 55 \u003d 0.618। इस अनुपात को प्रतीक एफ द्वारा दर्शाया जाता है। केवल यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का निरंतर विभाजन देता है, इसे बढ़ाता है या इसे अनंत तक घटाता है, जब छोटा खंड बड़े से संबंधित होता है बड़ा सब कुछ के लिए है।

फाइबोनैचि ने व्यापार की व्यावहारिक जरूरतों से भी निपटा: किसी वस्तु को तौलने के लिए इस्तेमाल किए जा सकने वाले वजन की सबसे छोटी संख्या क्या है? फाइबोनैचि साबित करता है कि वजन की निम्नलिखित प्रणाली इष्टतम है: 1, 2, 4, 8, 16...
शुरुआत के लिए

सामान्यीकृत स्वर्ण अनुपात
फाइबोनैचि श्रृंखला केवल एक गणितीय घटना रह सकती थी यदि यह इस तथ्य के लिए नहीं थी कि पौधे और जानवरों की दुनिया में स्वर्ण विभाजन के सभी शोधकर्ता, कला का उल्लेख नहीं करने के लिए, हमेशा इस श्रृंखला में स्वर्ण विभाजन कानून की अंकगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में आए थे। . वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के सिद्धांत को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। यू। मतियासेविच फिबोनाची संख्याओं का उपयोग करके हिल्बर्ट की 10वीं समस्या को हल करता है। फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे खंड का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, खेल, प्रोग्रामिंग) को हल करने के लिए सुरुचिपूर्ण तरीके हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है। इस क्षेत्र की उपलब्धियों में से एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि संख्याओं और सामान्यीकृत सुनहरे अनुपातों की खोज है।

फाइबोनैचि श्रृंखला (1, 1, 2, 3, 5, 8) और उनके द्वारा खोजे गए वजन 1, 2, 4, 8, 16 की "बाइनरी" श्रृंखला ... पहली नज़र में पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन उन्हें बनाने के लिए एल्गोरिदम एक दूसरे के समान हैं: पहले मामले में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या का योग है 2 = 1 + 1; 4= 2 + 2..., दूसरे में - यह पिछली दो संख्याओं का योग है 2= 1 + 1, 3= 2 + 1, 5= 3 + 2.... क्या एक सामान्य ज्ञात करना संभव है गणितीय सूत्र किससे और "बाइनरी" श्रृंखला, और फिबोनाची श्रृंखला से? या शायद यह सूत्र हमें कुछ नए अद्वितीय गुणों के साथ नए संख्यात्मक सेट देगा?

वास्तव में, आइए एक संख्यात्मक पैरामीटर S सेट करें, जो कोई भी मान ले सकता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5... पिछले एक से S चरणों द्वारा अलग किया गया। यदि हम इस श्रृंखला के nवें सदस्य को? S (n) द्वारा निरूपित करते हैं, तो हमें सामान्य सूत्र मिलता है? S (n) \u003d? S (n - 1) +? S (n - S - 1)।

जाहिर है, एस = 0 के साथ, इस सूत्र से हमें एक "बाइनरी" श्रृंखला मिलेगी, एस = 1 के साथ - एक फाइबोनैचि श्रृंखला, एस = 2, 3, 4 के साथ। संख्याओं की नई श्रृंखला, जिसे एस-फाइबोनैचि संख्या कहा जाता है।

सामान्य तौर पर, सुनहरा एस-अनुपात सुनहरा एस-सेक्शन समीकरण xS+1 - xS - 1 = 0 की सकारात्मक जड़ है।

यह दिखाना आसान है कि S = 0 पर, खंड का आधा भाग प्राप्त होता है, और S = 1 पर, परिचित शास्त्रीय स्वर्ण खंड।

पूर्ण गणितीय सटीकता के साथ पड़ोसी फाइबोनैचि एस-संख्याओं के अनुपात सुनहरे एस-अनुपात के साथ सीमा में मेल खाते हैं! ऐसे मामलों में गणितज्ञ कहते हैं कि गोल्डन एस-सेक्शन फाइबोनैचि एस-नंबरों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं।

प्रकृति में सुनहरे एस-सेक्शन के अस्तित्व की पुष्टि करने वाले तथ्य बेलारूसी वैज्ञानिक ई.एम. स्ट्रक्चरल हार्मनी ऑफ सिस्टम्स (मिन्स्क, साइंस एंड टेक्नोलॉजी, 1984) पुस्तक में सोरोको। उदाहरण के लिए, यह पता चला है कि अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र धातुओं में विशेष, स्पष्ट कार्यात्मक गुण होते हैं (थर्मली स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण प्रतिरोधी, आदि) केवल तभी जब प्रारंभिक घटकों के विशिष्ट वजन एक दूसरे से संबंधित होते हैं। गोल्डन एस-अनुपातों में से एक द्वारा। इसने लेखक को एक परिकल्पना को सामने रखने की अनुमति दी कि गोल्डन एस-सेक्शन स्व-आयोजन प्रणालियों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि होने के कारण, यह परिकल्पना सहक्रिया विज्ञान के विकास के लिए मौलिक महत्व की हो सकती है, विज्ञान का एक नया क्षेत्र जो स्वयं-आयोजन प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है। गोल्डन एस-अनुपात कोड की सहायता से, किसी भी वास्तविक संख्या को योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है पूर्णांक गुणांक के साथ स्वर्ण एस-अनुपात की डिग्री। मौलिक अंतर एन्कोडिंग संख्याओं का यह तरीका यह है कि नए कोड के आधार, जो सुनहरे एस-अनुपात हैं, एस> 0 के लिए अपरिमेय संख्या बन जाते हैं। इस प्रकार, अपरिमेय आधारों वाली नई संख्या प्रणालियाँ, जैसा कि यह थीं, परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच संबंधों के ऐतिहासिक रूप से स्थापित पदानुक्रम को "उल्टा" कर देती हैं। तथ्य यह है कि सबसे पहले प्राकृतिक संख्याओं की "खोज" की गई थी; तो उनके अनुपात परिमेय संख्याएँ हैं। और केवल बाद में - पाइथागोरस द्वारा अतुलनीय खंडों की खोज के बाद - अपरिमेय संख्याएँ दिखाई दीं। उदाहरण के लिए, दशमलव, क्विनरी, बाइनरी और अन्य शास्त्रीय स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्राकृतिक संख्याएँ - 10, 5, 2 - को एक प्रकार के मौलिक सिद्धांत के रूप में चुना गया था, जिसमें से, कुछ नियमों के अनुसार, अन्य सभी प्राकृतिक, साथ ही तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं का निर्माण किया गया था। नंबरिंग के मौजूदा तरीकों का एक विकल्प एक नई, अपरिमेय प्रणाली है, मूल सिद्धांत के रूप में, जिसकी शुरुआत एक अपरिमेय संख्या के रूप में चुनी जाती है (जिसे, हम याद करते हैं, गोल्डन सेक्शन समीकरण की जड़ है ); अन्य वास्तविक संख्याएँ पहले से ही इसके माध्यम से व्यक्त की जाती हैं। ऐसी संख्या प्रणाली में, किसी भी प्राकृतिक संख्या को हमेशा एक परिमित संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है - और अनंत नहीं, जैसा कि पहले सोचा गया था! - किसी भी सुनहरे एस-अनुपात की डिग्री का योग। यह एक कारण है कि "तर्कहीन" अंकगणित, अद्भुत गणितीय सादगी और लालित्य के साथ, शास्त्रीय बाइनरी और "फिबोनाची" अंकगणित के सर्वोत्तम गुणों को अवशोषित करता है।

सुनहरा अनुपात संरचनात्मक सद्भाव का एक सार्वभौमिक अभिव्यक्ति है। यह प्रकृति, विज्ञान, कला - हर उस चीज में पाया जाता है जिसके संपर्क में कोई व्यक्ति आ सकता है। एक बार सुनहरे नियम से परिचित होने के बाद, मानवता ने अब इसे धोखा नहीं दिया।

परिभाषा

सुनहरे अनुपात की सबसे अधिक क्षमता वाली परिभाषा कहती है कि छोटा हिस्सा बड़े से संबंधित है, क्योंकि बड़ा हिस्सा पूरे से है। इसका अनुमानित मान 1.6180339887 है। एक गोल प्रतिशत में, पूरे के भागों का अनुपात 62% से 38% के रूप में सहसंबद्ध होगा। यह अनुपात स्थान और समय के रूप में कार्य करता है। पूर्वजों ने स्वर्ण खंड को ब्रह्मांडीय व्यवस्था के प्रतिबिंब के रूप में देखा, और जोहान्स केप्लर ने इसे ज्यामिति के खजाने में से एक कहा। आधुनिक विज्ञान स्वर्ण अनुपात को "असममित समरूपता" के रूप में मानता है, इसे व्यापक अर्थों में एक सार्वभौमिक नियम कहता है जो हमारी विश्व व्यवस्था की संरचना और व्यवस्था को दर्शाता है।

कहानी

यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्वर्ण विभाजन की अवधारणा को वैज्ञानिक उपयोग में पेश किया गया था पाइथागोरस, प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ (छठी शताब्दी ईसा पूर्व)। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने मिस्र और बेबीलोनियों से स्वर्ण विभाजन का अपना ज्ञान उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिरों, बेस-रिलीफ, घरेलू सामान और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय गोल्डन डिवीजन के अनुपात का इस्तेमाल किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियन ने पाया कि अबीडोस में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर से राहत में और फिरौन रामसेस को चित्रित करने वाली राहत में, आंकड़ों के अनुपात सुनहरे विभाजन के मूल्यों के अनुरूप हैं। अपने नाम के मकबरे से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित वास्तुकार खेसीरा, अपने हाथों में मापक यंत्र रखता है, जिसमें स्वर्ण मंडल के अनुपात तय होते हैं।

यूनानी कुशल जियोमीटर थे। यहां तक ​​कि ज्यामितीय आकृतियों की मदद से उनके बच्चों को अंकगणित भी पढ़ाया जाता था। पाइथागोरस का वर्ग और इस वर्ग के विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार थे।

प्लेटो(427...347 ईसा पूर्व) भी स्वर्ण विभाजन के बारे में जानते थे। उनका संवाद "तिमाईस" पाइथागोरस के स्कूल के गणितीय और सौंदर्यवादी विचारों और विशेष रूप से, गोल्डन डिवीजन के मुद्दों के लिए समर्पित है।

पार्थेनन के प्राचीन ग्रीक मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान कम्पास मिले थे, जिनका उपयोग प्राचीन विश्व के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पियन कंपास (नेपल्स में संग्रहालय) में भी सुनहरे विभाजन के अनुपात शामिल हैं।

चावल। प्राचीन स्वर्ण अनुपात कम्पास

प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, स्वर्णिम विभाजन का सबसे पहले "शुरुआत" में उल्लेख किया गया है यूक्लिड. "शुरुआत" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तीसरी शताब्दी ईस्वी) और अन्य ने स्वर्ण विभाजन का अध्ययन किया। मध्ययुगीन यूरोप में, वे यूक्लिड के "बिगिनिंग्स" के अरबी अनुवादों से स्वर्णिम विभाजन से परिचित हुए। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। गोल्डन डिवीजन के रहस्यों को सख्त गोपनीयता में रखा गया था, ईर्ष्या से पहरा दिया गया था। वे केवल दीक्षा के लिए जाने जाते थे।

उन्हें रूस में सुनहरे अनुपात का भी विचार था, लेकिन पहली बार वैज्ञानिक रूप से स्वर्ण अनुपात की व्याख्या की गई थी। भिक्षु लुका Pacioliद डिवाइन प्रोपोर्शन (1509) में, जिसे लियोनार्डो दा विंची द्वारा चित्रित किया गया था। पसिओली ने दिव्य त्रिमूर्ति को सुनहरे खंड में देखा: छोटे खंड ने पुत्र, बड़े वाले - पिता, और संपूर्ण - पवित्र आत्मा का प्रतिनिधित्व किया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशक थे, जो इटली में फिबोनाची और गैलीलियो के बीच सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का का छात्र था, जिसने दो किताबें लिखी थीं, जिनमें से एक को पेंटिंग में ऑन पर्सपेक्टिव कहा जाता था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थे। 1496 में, ड्यूक मोरो के निमंत्रण पर, वे मिलान आए, जहाँ उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान के मोरो कोर्ट में भी काम किया था।

इतालवी गणितज्ञ का नाम सीधे स्वर्ण खंड नियम से जुड़ा है। लियोनार्डो फिबोनाची. समस्याओं में से एक को हल करने के परिणामस्वरूप, वैज्ञानिक संख्याओं के अनुक्रम के साथ आया, जिसे अब फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। केप्लर ने इस अनुक्रम के सुनहरे अनुपात के संबंध की ओर ध्यान आकर्षित किया: "यह इस तरह से व्यवस्थित है कि इस अनंत अनुपात के दो निचले पद तीसरे पद में जुड़ जाते हैं, और कोई भी दो अंतिम शब्द, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो अगला कार्यकाल, और वही अनुपात अनिश्चित काल तक रहता है।" अब फाइबोनैचि श्रृंखला अपने सभी अभिव्यक्तियों में सुनहरे खंड के अनुपात की गणना के लिए अंकगणितीय आधार है।

लियोनार्डो दा विंसीउन्होंने स्वर्ण खंड की विशेषताओं का अध्ययन करने के लिए बहुत समय समर्पित किया, सबसे अधिक संभावना है कि यह शब्द उसी का है। नियमित पेंटागन द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक बॉडी के उनके चित्र यह साबित करते हैं कि अनुभाग द्वारा प्राप्त प्रत्येक आयत सुनहरे विभाजन में पहलू अनुपात देता है।

समय के साथ, गोल्डन सेक्शन नियम एक अकादमिक दिनचर्या बन गया है, और केवल एक दार्शनिक एडॉल्फ ज़िसिंग 1855 में इसे दूसरा जीवन दिया। उन्होंने स्वर्ण खंड के अनुपात को पूर्ण रूप से लाया, जिससे उन्हें आसपास की दुनिया की सभी घटनाओं के लिए सार्वभौमिक बना दिया गया। हालांकि, उनके "गणितीय सौंदर्यवाद" ने बहुत आलोचना की।

प्रकृति

16वीं सदी के खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लरस्वर्णिम अनुपात को ज्यामिति के खजाने में से एक कहा जाता है। उन्होंने वनस्पति विज्ञान (पौधे की वृद्धि और संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व पर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं।

केप्लर ने स्वर्ण अनुपात को स्व-निरंतर कहा। उन्होंने लिखा, "इसे इस तरह से व्यवस्थित किया गया है," कि इस अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पद तीसरे पद में जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम शब्द, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो दें अगला पद, और वही अनुपात अनंत तक बना रहता है।"

स्वर्ण अनुपात के खंडों की एक श्रृंखला का निर्माण वृद्धि (बढ़ती श्रृंखला) और घटती (अवरोही श्रृंखला) की दिशा में दोनों दिशा में किया जा सकता है।

यदि मनमानी लंबाई की सीधी रेखा पर, खंड को स्थगित करें एम, एक खंड को अलग रखें एम. इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाते हैं।

चावल। सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाना

चावल। कासनी

गणना में जाए बिना भी प्रकृति में स्वर्णिम अनुपात आसानी से पाया जा सकता है। तो, छिपकली की पूंछ और शरीर का अनुपात, शाखा पर पत्तियों के बीच की दूरी उसके नीचे आती है, एक सुनहरा खंड होता है और अंडे के आकार में होता है, यदि उसके चौड़े हिस्से के माध्यम से एक सशर्त रेखा खींची जाती है।

चावल। विविपेरस छिपकली

चावल। पक्षी का अंडा

बेलारूसी वैज्ञानिक एडुआर्ड सोरोको, जिन्होंने प्रकृति में सुनहरे विभाजनों के रूपों का अध्ययन किया, ने उल्लेख किया कि अंतरिक्ष में अपनी जगह लेने के लिए बढ़ने और प्रयास करने वाली हर चीज सुनहरे खंड के अनुपात से संपन्न है। उनकी राय में, सबसे दिलचस्प रूपों में से एक सर्पिलिंग है।

अधिक आर्किमिडीज, सर्पिल पर ध्यान देते हुए, इसके आकार के आधार पर एक समीकरण प्राप्त किया, जो अभी भी प्रौद्योगिकी में उपयोग किया जाता है। बाद में, गोएथे ने प्रकृति के आकर्षण को सर्पिल रूपों के रूप में नोट किया, बुलाते हुए "जीवन की वक्र" का सर्पिल. आधुनिक वैज्ञानिकों ने पाया है कि घोंघे के खोल, सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था, वेब पैटर्न, तूफान की गति, डीएनए की संरचना और यहां तक ​​कि आकाशगंगाओं की संरचना के रूप में प्रकृति में सर्पिल रूपों की ऐसी अभिव्यक्तियों में फाइबोनैचि श्रृंखला शामिल है।

मानवीय

फैशन डिजाइनर और कपड़ों के डिजाइनर गोल्डन सेक्शन के अनुपात के आधार पर सभी गणना करते हैं। स्वर्ण खंड के नियमों का परीक्षण करने के लिए मनुष्य एक सार्वभौमिक रूप है। बेशक, स्वभाव से, सभी लोगों के पास आदर्श अनुपात नहीं होता है, जो कपड़ों के चयन में कुछ कठिनाइयाँ पैदा करता है।

लियोनार्डो दा विंची की डायरी में एक सर्कल में खुदा हुआ एक नग्न व्यक्ति का चित्र है, जो एक दूसरे पर आरोपित दो पदों पर है। रोमन वास्तुकार विटरुवियस के अध्ययन के आधार पर, लियोनार्डो ने इसी तरह मानव शरीर के अनुपात को स्थापित करने का प्रयास किया। बाद में, फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियर ने लियोनार्डो के विट्रुवियन मैन का उपयोग करते हुए, "हार्मोनिक अनुपात" का अपना पैमाना बनाया, जिसने 20 वीं शताब्दी की वास्तुकला के सौंदर्यशास्त्र को प्रभावित किया। एडॉल्फ ज़ीजिंग ने मनुष्य की आनुपातिकता की खोज करते हुए एक जबरदस्त काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीर, साथ ही कई प्राचीन मूर्तियों को मापा, और यह निष्कर्ष निकाला कि सुनहरा अनुपात औसत कानून को व्यक्त करता है। एक व्यक्ति में, शरीर के लगभग सभी अंग उसके अधीन होते हैं, लेकिन सुनहरे खंड का मुख्य संकेतक नाभि बिंदु से शरीर का विभाजन है।

माप के परिणामस्वरूप, शोधकर्ता ने पाया कि पुरुष शरीर का अनुपात 13:8 महिला शरीर के अनुपात - 8:5 की तुलना में सुनहरे अनुपात के करीब है।

स्थानिक रूपों की कला

कलाकार वासिली सुरिकोव ने कहा कि "रचना में एक अपरिवर्तनीय कानून है, जब चित्र में कुछ भी नहीं हटाया या जोड़ा जा सकता है, यहां तक ​​​​कि एक अतिरिक्त बिंदु भी नहीं डाला जा सकता है, यह वास्तविक गणित है।" लंबे समय तक, कलाकारों ने इस कानून का सहजता से पालन किया, लेकिन लियोनार्डो दा विंची के बाद, एक पेंटिंग बनाने की प्रक्रिया अब ज्यामितीय समस्याओं को हल किए बिना पूरी नहीं होती है। उदाहरण के लिए, अल्ब्रेक्ट ड्यूरेरेसुनहरे खंड के बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, उन्होंने अपने द्वारा आविष्कृत आनुपातिक कम्पास का उपयोग किया।

कला समीक्षक एफ.वी. कोवालेव ने निकोलाई जीई "अलेक्जेंडर सर्गेइविच पुश्किन इन मिखाइलोव्स्की गांव" की पेंटिंग का विस्तार से अध्ययन किया है, यह नोट करता है कि कैनवास का हर विवरण, चाहे वह एक चिमनी हो, एक किताबों की अलमारी हो, एक कुर्सी या खुद कवि हो। सुनहरे अनुपात में सख्ती से खुदा हुआ। सुनहरे अनुपात के शोधकर्ता अथक रूप से वास्तुकला की उत्कृष्ट कृतियों का अध्ययन और माप करते हैं, यह दावा करते हुए कि वे ऐसे बन गए हैं क्योंकि वे सुनहरे तोपों के अनुसार बनाए गए थे: उनकी सूची में गीज़ा के महान पिरामिड, नोट्रे डेम कैथेड्रल, सेंट बेसिल कैथेड्रल, पार्थेनन शामिल हैं। .

और आज, स्थानिक रूपों की किसी भी कला में, वे सुनहरे खंड के अनुपात का पालन करने की कोशिश करते हैं, क्योंकि कला इतिहासकारों के अनुसार, वे काम की धारणा को सुविधाजनक बनाते हैं और दर्शक में एक सौंदर्य संवेदना बनाते हैं।

गोएथे, एक कवि, प्रकृतिवादी और कलाकार (उन्होंने पानी के रंग में चित्रित और चित्रित किया), कार्बनिक निकायों के रूप, गठन और परिवर्तन का एक एकीकृत सिद्धांत बनाने का सपना देखा। यह वह था जिसने शब्द गढ़ा था आकृति विज्ञान.

पियरे क्यूरी ने हमारी सदी की शुरुआत में समरूपता के कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता को ध्यान में रखे बिना किसी भी शरीर की समरूपता पर विचार नहीं किया जा सकता है।

"गोल्डन" समरूपता के पैटर्न प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में प्रकट होते हैं। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्यक्तिगत मानव अंगों और पूरे शरीर की संरचना में हैं, और बायोरिदम्स और मस्तिष्क के कामकाज और दृश्य धारणा में भी प्रकट होते हैं।

स्वर्ण अनुपात और समरूपता

समरूपता के संबंध के बिना, सुनहरे अनुपात को अलग से, अपने आप में नहीं माना जा सकता है। महान रूसी क्रिस्टलोग्राफर जी.वी. वुल्फ (1863...1925) ने स्वर्ण अनुपात को समरूपता की अभिव्यक्तियों में से एक माना।

स्वर्णिम विभाजन विषमता की अभिव्यक्ति नहीं है, समरूपता के विपरीत कुछ है। आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, स्वर्ण विभाजन एक असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में ऐसी अवधारणाएँ शामिल हैं: स्थिरतथा गतिशील समरूपता. स्थिर समरूपता आराम, संतुलन और गतिशील समरूपता को गति, विकास की विशेषता है। तो, प्रकृति में, स्थिर समरूपता को क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शाया जाता है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, आंदोलन, विकास, लय की विशेषता है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थिर समरूपता समान खंडों, समान परिमाणों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या उनकी कमी की विशेषता है, और यह बढ़ती या घटती श्रृंखला के सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त की जाती है।

शब्द, ध्वनि और फिल्म

लौकिक कला के रूप अपने तरीके से हमें स्वर्णिम विभाजन के सिद्धांत को प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, साहित्यिक आलोचकों ने देखा कि पुश्किन के काम के उत्तरार्ध की कविताओं में सबसे लोकप्रिय पंक्तियाँ फाइबोनैचि श्रृंखला - 5, 8, 13, 21, 34 से मेल खाती हैं।

गोल्डन सेक्शन का नियम रूसी क्लासिक के व्यक्तिगत कार्यों में भी लागू होता है। तो द क्वीन ऑफ स्पेड्स का चरमोत्कर्ष हरमन और काउंटेस का नाटकीय दृश्य है, जो बाद की मृत्यु के साथ समाप्त होता है। कहानी में 853 पंक्तियाँ हैं, और चरमोत्कर्ष रेखा 535 (853:535 = 1.6) पर पड़ता है - यह सुनहरे अनुपात का बिंदु है।

सोवियत संगीतविद् ई.के. रोज़ेनोव ने जोहान सेबेस्टियन बाख के कार्यों के सख्त और मुक्त रूपों में सुनहरे खंड अनुपात की अद्भुत सटीकता को नोट किया, जो मास्टर की विचारशील, केंद्रित, तकनीकी रूप से सत्यापित शैली से मेल खाती है। यह अन्य संगीतकारों के उत्कृष्ट कार्यों के बारे में भी सच है, जहां सुनहरा अनुपात बिंदु आमतौर पर सबसे हड़ताली या अप्रत्याशित संगीत समाधान के लिए होता है।

फिल्म निर्देशक सर्गेई ईसेनस्टीन ने जानबूझकर अपनी फिल्म "द बैटलशिप पोटेमकिन" की स्क्रिप्ट को गोल्डन सेक्शन के नियम के साथ समन्वित किया, टेप को पांच भागों में विभाजित किया। पहले तीन खंडों में, कार्रवाई एक जहाज पर होती है, और अंतिम दो में - ओडेसा में। शहर में दृश्यों के लिए संक्रमण फिल्म का सुनहरा मतलब है।

हम आपको हमारे समूह में इस विषय पर चर्चा करने के लिए आमंत्रित करते हैं -

यह सामंजस्य अपने पैमाने पर प्रहार कर रहा है ...

हैलो मित्रों!

क्या आपने दिव्य सद्भाव या स्वर्ण अनुपात के बारे में कुछ सुना है? क्या आपने कभी इस बारे में सोचा है कि क्यों कुछ हमें सही और सुंदर लगता है, लेकिन कुछ पीछे हट जाता है?

यदि नहीं, तो आप इस लेख पर सफलतापूर्वक उतरे हैं, क्योंकि इसमें हम स्वर्ण अनुपात पर चर्चा करेंगे, पता करें कि यह क्या है, यह प्रकृति और मनुष्य में कैसा दिखता है। आइए इसके सिद्धांतों के बारे में बात करें, पता करें कि फाइबोनैचि श्रृंखला क्या है और बहुत कुछ, जिसमें एक सुनहरा आयत और एक सुनहरा सर्पिल की अवधारणा शामिल है।

हां, लेख में बहुत सारे चित्र, सूत्र हैं, आखिरकार, सुनहरा अनुपात भी गणित है। लेकिन सब कुछ काफी सरल भाषा में स्पष्ट रूप से वर्णित है। और साथ ही, लेख के अंत में, आपको पता चलेगा कि हर कोई बिल्लियों से इतना प्यार क्यों करता है =)

सुनहरा अनुपात क्या है?

यदि सरल तरीके से, तो स्वर्ण अनुपात एक निश्चित अनुपात नियम है जो सद्भाव पैदा करता है? यही है, अगर हम इन अनुपातों के नियमों का उल्लंघन नहीं करते हैं, तो हमें एक बहुत ही सामंजस्यपूर्ण रचना मिलती है।

सुनहरे अनुपात की सबसे अधिक क्षमता वाली परिभाषा कहती है कि छोटा हिस्सा बड़े से संबंधित है, क्योंकि बड़ा हिस्सा पूरे से है।

लेकिन इसके अलावा, सुनहरा अनुपात गणित है: इसका एक विशिष्ट सूत्र और एक विशिष्ट संख्या होती है। कई गणितज्ञ, सामान्य तौर पर, इसे दैवीय सद्भाव का एक सूत्र मानते हैं, और इसे "असममित समरूपता" कहते हैं।

स्वर्ण अनुपात प्राचीन ग्रीस के समय से हमारे समकालीनों तक पहुंच गया है, हालांकि, एक राय है कि यूनानियों ने पहले ही मिस्रियों से स्वर्ण अनुपात पर जासूसी की थी। क्योंकि प्राचीन मिस्र की कला के कई कार्य स्पष्ट रूप से इस अनुपात के सिद्धांतों के अनुसार बनाए गए हैं।

ऐसा माना जाता है कि पाइथागोरस ने सबसे पहले गोल्डन सेक्शन की अवधारणा पेश की थी। यूक्लिड के कार्य आज तक जीवित हैं (उन्होंने गोल्डन सेक्शन का उपयोग करके नियमित पेंटागन का निर्माण किया, यही वजह है कि इस तरह के पेंटागन को "गोल्डन" कहा जाता है), और गोल्डन सेक्शन की संख्या का नाम प्राचीन ग्रीक वास्तुकार फिडियास के नाम पर रखा गया है। यही है, यह हमारी संख्या "फाई" (ग्रीक अक्षर φ द्वारा चिह्नित) है, और यह 1.6180339887498948482 के बराबर है ... स्वाभाविक रूप से, यह मान पूर्णांकित है: φ \u003d 1.618 या φ \u003d 1.62, और प्रतिशत के संदर्भ में , सुनहरा खंड 62% और 38% जैसा दिखता है।

इस अनुपात की विशिष्टता क्या है (और मेरा विश्वास करो, यह मौजूद है)? आइए पहले एक खंड के उदाहरण को समझने का प्रयास करें। इसलिए, हम एक खंड लेते हैं और इसे असमान भागों में इस तरह विभाजित करते हैं कि इसका छोटा हिस्सा बड़े से संबंधित होता है, क्योंकि बड़ा हिस्सा पूरे से होता है। मैं समझता हूं, यह अभी तक स्पष्ट नहीं है कि क्या है, मैं खंडों के उदाहरण का उपयोग करके अधिक स्पष्ट रूप से वर्णन करने का प्रयास करूंगा:

इसलिए, हम एक खंड लेते हैं और इसे दो अन्य में विभाजित करते हैं, ताकि छोटा खंड a बड़े खंड b को संदर्भित करता है, जैसे खंड b संपूर्ण को संदर्भित करता है, अर्थात संपूर्ण रेखा (a + b)। गणितीय रूप से यह इस तरह दिखता है:

यह नियम अनिश्चित काल तक काम करता है, आप जब तक चाहें खंडों को विभाजित कर सकते हैं। और देखें कि यह कितना आसान है। मुख्य बात एक बार समझना है और बस इतना ही।

लेकिन अब आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें जो बहुत बार सामने आता है, क्योंकि सुनहरे अनुपात को एक सुनहरे आयत के रूप में भी दर्शाया जाता है (जिसका पहलू अनुपात φ \u003d 1.62) है। यह एक बहुत ही दिलचस्प आयत है: यदि हम इसमें से एक वर्ग को "काट" देते हैं, तो हमें फिर से एक सुनहरा आयत मिलता है। और इसलिए असीम रूप से कई बार। देखना:

लेकिन गणित गणित नहीं होता अगर इसमें सूत्र नहीं होते। तो दोस्तों अब ये थोड़ा "दर्दनाक" होगा। मैंने स्पॉइलर के नीचे सुनहरे अनुपात के घोल को छिपा दिया, बहुत सारे सूत्र हैं, लेकिन मैं उनके बिना लेख नहीं छोड़ना चाहता।

फाइबोनैचि श्रृंखला और सुनहरा अनुपात

हम गणित के जादू और सुनहरे खंड का निर्माण और निरीक्षण करना जारी रखते हैं। मध्य युग में, एक ऐसा दोस्त था - फाइबोनैचि (या फाइबोनैचि, वे हर जगह अलग तरह से लिखते हैं)। वह गणित और समस्याओं से प्यार करता था, उसे खरगोशों के प्रजनन के साथ एक दिलचस्प समस्या भी थी =) लेकिन वह बात नहीं है। उन्होंने एक संख्या अनुक्रम की खोज की, इसमें संख्याओं को "फाइबोनैचि संख्या" कहा जाता है।

अनुक्रम स्वयं इस तरह दिखता है:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... इत्यादि।

शब्दों में, फाइबोनैचि अनुक्रम संख्याओं का एक ऐसा क्रम है, जहां प्रत्येक बाद की संख्या पिछले दो के योग के बराबर होती है।

और सुनहरे अनुपात के बारे में क्या? अब आप देखेंगे।

फाइबोनैचि सर्पिल

फाइबोनैचि संख्या श्रृंखला और सुनहरे अनुपात के बीच पूरे संबंध को देखने और महसूस करने के लिए, आपको सूत्रों को फिर से देखना होगा।

दूसरे शब्दों में, फाइबोनैचि अनुक्रम के 9वें सदस्य से, हमें स्वर्ण खंड के मान प्राप्त होने लगते हैं। और अगर हम इस पूरी तस्वीर की कल्पना करते हैं, तो हम देखेंगे कि फाइबोनैचि अनुक्रम कैसे आयतों को सुनहरे आयत के करीब और करीब बनाता है। यहाँ ऐसा कनेक्शन है।

अब बात करते हैं फाइबोनैचि सर्पिल की, इसे "गोल्डन स्पाइरल" भी कहा जाता है।

सुनहरा सर्पिल एक लघुगणकीय सर्पिल है जिसका विकास कारक φ4 है, जहां सुनहरा अनुपात है।

सामान्य तौर पर, गणित की दृष्टि से, सुनहरा अनुपात एक आदर्श अनुपात है। लेकिन यहीं से उसके चमत्कारों की शुरुआत होती है। लगभग पूरी दुनिया स्वर्णिम धारा के सिद्धांतों के अधीन है, यह अनुपात प्रकृति द्वारा ही बनाया गया था। यहां तक ​​​​कि गूढ़ व्यक्ति, और वे भी, इसमें एक संख्यात्मक शक्ति देखते हैं। लेकिन हम इस लेख में इस बारे में निश्चित रूप से बात नहीं करेंगे, इसलिए, कुछ भी याद न करने के लिए, आप साइट अपडेट की सदस्यता ले सकते हैं।

प्रकृति में स्वर्ण अनुपात, मनुष्य, कला

शुरू करने से पहले, मैं कई अशुद्धियों को स्पष्ट करना चाहूंगा। सबसे पहले, इस संदर्भ में स्वर्णिम अनुपात की परिभाषा पूरी तरह से सही नहीं है। तथ्य यह है कि "खंड" की अवधारणा एक ज्यामितीय शब्द है जो हमेशा एक विमान को दर्शाता है, लेकिन फाइबोनैचि संख्याओं का अनुक्रम नहीं।

और, दूसरी बात, संख्या श्रृंखला और एक से दूसरे का अनुपात, निश्चित रूप से, एक प्रकार के स्टैंसिल में बदल गया, जो हर उस चीज़ पर लागू किया जा सकता है जो संदिग्ध लगता है, और संयोग होने पर बहुत खुश रहें, लेकिन फिर भी, सामान्य ज्ञान नहीं होना चाहिए दफा हो जाओ।

हालाँकि, "हमारे राज्य में सब कुछ मिला हुआ था" और एक दूसरे का पर्याय बन गया। तो सामान्य तौर पर, इसका अर्थ खो नहीं जाता है। और अब व्यापार के लिए।

आपको आश्चर्य होगा, लेकिन सुनहरा अनुपात, या जितना संभव हो उतना करीब अनुपात, लगभग हर जगह, यहां तक ​​​​कि दर्पण में भी देखा जा सकता है। विश्वास मत करो? आइए इससे शुरू करते हैं।

आप जानते हैं, जब मैं चित्र बनाना सीख रहा था, तो उन्होंने हमें समझाया कि किसी व्यक्ति का चेहरा, उसका शरीर इत्यादि बनाना कितना आसान है। हर चीज की गणना किसी और चीज के सापेक्ष करनी होती है।

सब कुछ, बिल्कुल सब कुछ आनुपातिक है: हड्डियाँ, हमारी उंगलियां, हथेलियाँ, चेहरे पर दूरियाँ, शरीर के संबंध में फैली हुई भुजाओं की दूरी, इत्यादि। लेकिन इतना ही नहीं, हमारे शरीर की आंतरिक संरचना, यहां तक ​​कि यह, गोल्डन सेक्शन फॉर्मूला के बराबर या लगभग बराबर है। यहाँ दूरियाँ और अनुपात हैं:

कंधों से मुकुट तक सिर का आकार = 1:1.618

नाभि से मुकुट तक का खंड कंधों से मुकुट तक = 1: 1.618

नाभि से घुटनों तक और घुटनों से पैरों तक = 1:1.618

ठुड्डी से ऊपरी होंठ के चरम बिंदु तक और उससे नाक तक = 1:1.618

क्या यह आश्चर्यजनक नहीं है !? अपने शुद्धतम रूप में सद्भाव, अंदर और बाहर दोनों। और इसीलिए, कुछ अवचेतन स्तर पर, कुछ लोग हमें सुंदर नहीं लगते, भले ही उनके पास एक मजबूत टोंड शरीर, मखमली त्वचा, सुंदर बाल, आंखें आदि हों। लेकिन, वैसे भी, शरीर के अनुपात का मामूली उल्लंघन, और उपस्थिति पहले से ही "आंखों को काटने" है।

संक्षेप में, एक व्यक्ति हमें जितना सुंदर लगता है, उसका अनुपात उतना ही आदर्श होता है। और यह, वैसे, न केवल मानव शरीर के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

प्रकृति और उसकी घटनाओं में सुनहरा अनुपात

प्रकृति में सुनहरे अनुपात का एक उत्कृष्ट उदाहरण मोलस्क नॉटिलस पोम्पिलियस और अमोनाइट का खोल है। लेकिन इतना ही नहीं, और भी कई उदाहरण हैं:

मानव कान के कर्ल में हम एक सुनहरा सर्पिल देख सकते हैं;

अपने स्वयं के (या इसके करीब) सर्पिल में जिसके साथ आकाशगंगाएं घूमती हैं;

और डीएनए अणु में;

सूरजमुखी के केंद्र को फाइबोनैचि श्रृंखला के साथ व्यवस्थित किया जाता है, शंकु, फूलों के बीच, अनानास और कई अन्य फल उगते हैं।

दोस्तों, ऐसे बहुत से उदाहरण हैं कि मैं वीडियो को यहाँ छोड़ देता हूँ (यह थोड़ा कम है) ताकि लेख को टेक्स्ट के साथ ओवरलोड न किया जा सके। क्योंकि यदि आप इस विषय को खोदते हैं, तो आप ऐसे जंगल में जा सकते हैं: यहां तक ​​​​कि प्राचीन यूनानियों ने भी साबित कर दिया था कि ब्रह्मांड और, सामान्य तौर पर, सभी अंतरिक्ष की योजना स्वर्ण खंड के सिद्धांत के अनुसार बनाई गई थी।

आपको आश्चर्य होगा, लेकिन ये नियम ध्वनि में भी पाए जा सकते हैं। देखना:

हमारे कानों में दर्द और बेचैनी पैदा करने वाली ध्वनि का उच्चतम बिंदु 130 डेसिबल है।

हम अनुपात 130 से सुनहरे अनुपात = 1.62 से विभाजित करते हैं और 80 डेसिबल प्राप्त करते हैं - एक मानव चीख की आवाज।

हम आनुपातिक रूप से विभाजित करना जारी रखते हैं और कहते हैं, मानव भाषण की सामान्य मात्रा: 80 / φ = 50 डेसिबल।

खैर, अंतिम ध्वनि जो हमें सूत्र के लिए धन्यवाद मिलती है वह है फुसफुसाहट की सुखद ध्वनि = 2.618।

इस सिद्धांत के अनुसार, तापमान, दबाव, आर्द्रता की इष्टतम-आरामदायक, न्यूनतम और अधिकतम संख्या निर्धारित करना संभव है। मैंने जाँच नहीं की है, और मुझे नहीं पता कि यह सिद्धांत कितना सच है, लेकिन, आप देखते हैं, यह प्रभावशाली लगता है।

बिल्कुल जीवित और न रहने वाली हर चीज में आप उच्चतम सौंदर्य और सद्भाव को पढ़ सकते हैं।

मुख्य बात यह है कि इसके साथ दूर न जाएं, क्योंकि अगर हम किसी चीज में कुछ देखना चाहते हैं, तो हम उसे देखेंगे, भले ही वह वहां न हो। उदाहरण के लिए, मैंने PS4 के डिजाइन पर ध्यान आकर्षित किया और वहां सुनहरा अनुपात देखा =) हालांकि, यह कंसोल इतना अच्छा है कि अगर डिजाइनर वास्तव में इसके बारे में स्मार्ट था तो मुझे आश्चर्य नहीं होगा।

कला में सुनहरा अनुपात

यह भी एक बहुत बड़ा और व्यापक विषय है, जिस पर अलग से विचार किया जाना चाहिए। यहां मैं कुछ बुनियादी बिंदुओं पर प्रकाश डालूंगा। सबसे उल्लेखनीय बात यह है कि पुरातनता (और न केवल) की कला और स्थापत्य कृतियों की कई कृतियाँ स्वर्ण खंड के सिद्धांतों के अनुसार बनाई गई हैं।

मिस्र और माया पिरामिड, नोट्रे डेम डी पेरिस, ग्रीक पार्थेनन और इतने पर।

मोजार्ट, चोपिन, शुबर्ट, बाख और अन्य के संगीत कार्यों में।

पेंटिंग में (यह वहां स्पष्ट रूप से देखा जाता है): प्रसिद्ध कलाकारों द्वारा सभी सबसे प्रसिद्ध पेंटिंग गोल्डन सेक्शन के नियमों को ध्यान में रखते हुए बनाई गई हैं।

ये सिद्धांत पुश्किन की कविताओं में और सुंदर नेफ़र्टिटी की आवक्ष प्रतिमा में पाए जा सकते हैं।

अब भी, सुनहरे अनुपात के नियमों का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, फोटोग्राफी में। खैर, निश्चित रूप से, सिनेमैटोग्राफी और डिजाइन सहित अन्य सभी कलाओं में।

फाइबोनैचि सुनहरी बिल्लियाँ

और अंत में, बिल्लियों के बारे में! क्या आपने कभी सोचा है कि हर कोई बिल्लियों से इतना प्यार क्यों करता है? उन्होंने इंटरनेट पर कब्जा कर लिया है! बिल्लियाँ हर जगह हैं और यह अद्भुत है =)

और बात यह है कि बिल्लियाँ परिपूर्ण हैं! विश्वास मत करो? अब मैं आपको इसे गणितीय रूप से सिद्ध करूँगा!

देखना? रहस्य खुल गया है! बिल्ली के बच्चे गणित, प्रकृति और ब्रह्मांड के मामले में परिपूर्ण हैं =)

* मैं मजाक कर रहा हूँ, बिल्कुल। नहीं, बिल्लियाँ वास्तव में आदर्श हैं) लेकिन किसी ने उन्हें गणितीय रूप से नहीं मापा है, मुझे लगता है।

इस पर, सामान्य तौर पर, सब कुछ, दोस्तों! हम आपको अगले लेखों में देखेंगे। आप सौभाग्यशाली हों!

पी.एस.मीडियम डॉट कॉम से ली गई तस्वीरें।