घातीय फ़ंक्शन उदाहरणों के ग्राफ़। घातीय कार्य - गुण, रेखांकन, सूत्र

पाठ #2

विषय: घातांक प्रकार्य, इसके गुण और ग्राफ।

लक्ष्य:"घातीय कार्य" की अवधारणा को आत्मसात करने की गुणवत्ता की जाँच करें; एक घातांकीय फलन को पहचानने, उसके गुणों और रेखांकन का उपयोग करने में कौशल बनाने के लिए, छात्रों को एक घातीय कार्य को रिकॉर्ड करने के विश्लेषणात्मक और ग्राफिक रूपों का उपयोग करने के लिए सिखाने के लिए; कक्षा में कार्य करने का वातावरण प्रदान करना।

उपकरण:बोर्ड, पोस्टर

पाठ प्रपत्रकक्षा

पाठ का प्रकार: व्यावहारिक सबक

पाठ प्रकार: कौशल प्रशिक्षण पाठ

शिक्षण योजना

1. संगठनात्मक क्षण

2. स्वतंत्र कामऔर जाँच करें गृहकार्य

3. समस्या समाधान

4. संक्षेप करना

5. गृहकार्य

कक्षाओं के दौरान.

1. संगठनात्मक क्षण :

नमस्ते। नोटबुक खोलें, आज की तारीख और पाठ का विषय "घातीय कार्य" लिखें। आज हम घातांकीय फलन, उसके गुणधर्म और ग्राफ का अध्ययन करना जारी रखेंगे।

2. स्वतंत्र कार्य और गृहकार्य की जाँच .

लक्ष्य:"घातीय कार्य" की अवधारणा को आत्मसात करने की गुणवत्ता की जाँच करें और होमवर्क के सैद्धांतिक भाग की पूर्ति की जाँच करें

तरीका:परीक्षण कार्य, ललाट सर्वेक्षण

गृहकार्य के रूप में, आपको समस्या पुस्तक से संख्याएँ और पाठ्यपुस्तक से एक पैराग्राफ दिया गया था। हम अब पाठ्यपुस्तक से संख्याओं के निष्पादन की जाँच नहीं करेंगे, लेकिन आप पाठ के अंत में अपनी नोटबुक सौंप देंगे। अब थ्योरी का परीक्षण एक छोटे से परीक्षण के रूप में किया जाएगा। कार्य सभी के लिए समान है: आपको कार्यों की एक सूची दी गई है, आपको यह पता लगाना होगा कि उनमें से कौन सा संकेतक है (उन्हें रेखांकित करें)। और एक्सपोनेंशियल फंक्शन के आगे, आपको यह लिखना होगा कि यह बढ़ रहा है या घट रहा है।

अब आइए एक साथ याद करें कि किस फंक्शन को एक्सपोनेंशियल कहा जाता है?

रूप का एक फलन, जहाँ और , एक घातांकीय फलन कहलाता है।

इस समारोह का दायरा क्या है?

सभी वास्तविक संख्याएँ।

घातीय फ़ंक्शन की सीमा क्या है?

सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ।

घटता है यदि आधार शून्य से बड़ा है लेकिन एक से कम है।

एक घातांकीय फलन अपने डोमेन पर कब घटता है?

आधार एक से अधिक होने पर बढ़ता है।

3. समस्या समाधान

लक्ष्य: किसी घातांकीय फलन को पहचानने, उसके गुणों और रेखांकन का उपयोग करने में कौशल तैयार करना, छात्रों को घातांकीय फलन को रिकॉर्ड करने के विश्लेषणात्मक और ग्राफिकल रूपों का उपयोग करना सिखाना

तरीका: विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए शिक्षक द्वारा प्रदर्शन, मौखिक कार्य, ब्लैकबोर्ड पर काम करना, नोटबुक में काम करना, छात्रों के साथ शिक्षक की बातचीत।

घातांक फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग 2 या अधिक संख्याओं की तुलना करते समय किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: संख्या 000। मूल्यों की तुलना करें और यदि ए) ..gif" width="37" height="20 src=">, तो यह काफी मुश्किल काम है: हमें 3 और 9 का घनमूल लेना होगा, और उनकी तुलना करनी होगी। लेकिन हम जानते हैं कि यह बढ़ता है, यह अपनी कतार में है इसका मतलब है कि जब तर्क बढ़ता है, तो फ़ंक्शन का मूल्य बढ़ता है, यानी, हमारे लिए तर्क के मूल्यों की एक दूसरे के साथ तुलना करने के लिए पर्याप्त है और जाहिर है, कि (बढ़ते घातीय फ़ंक्शन वाले पोस्टर पर प्रदर्शित किया जा सकता है)। और हमेशा ऐसे उदाहरणों को हल करते समय, पहले घातीय फ़ंक्शन का आधार निर्धारित करें, 1 के साथ तुलना करें, एकरसता निर्धारित करें और तर्कों की तुलना करने के लिए आगे बढ़ें। घटते फलन के मामले में: जैसे-जैसे तर्क बढ़ता है, फलन का मान घटता जाता है, इसलिए तर्कों की असमानता से कार्यों की असमानता की ओर बढ़ते समय असमानता का चिन्ह बदल जाता है। फिर हम मौखिक रूप से हल करते हैं: बी)

-

पर)

-

जी)

-

- संख्या 000। संख्याओं की तुलना करें: ए) और

इसलिए, फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तब

क्यों ?

बढ़ते कार्य और

इसलिए, फ़ंक्शन घट रहा है, फिर

दोनों कार्य अपनी परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ते हैं, क्योंकि वे एक से अधिक आधार के साथ घातीय हैं।

इसका क्या अर्थ है?

हम चार्ट बनाते हैं:

प्रयास करते समय कौन सा कार्य तेजी से बढ़ता है https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

प्रयास करने पर कौन सा फ़ंक्शन तेजी से घटता है https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

अंतराल पर, किसी विशेष बिंदु पर किस फलन का मान सबसे अधिक होता है?

डी), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. सबसे पहले, आइए इन कार्यों के दायरे का पता लगाएं। क्या वे मेल?

हाँ, इन फलनों का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

इन कार्यों में से प्रत्येक के दायरे का नाम बताइए।

इन कार्यों की श्रेणियां मेल खाती हैं: सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याएं।

प्रत्येक फ़ंक्शन की एकरसता के प्रकार का निर्धारण करें।

परिभाषा के अपने पूरे क्षेत्र में सभी तीन कार्य घटते हैं, क्योंकि वे एक से कम और शून्य से अधिक के आधार के साथ घातीय हैं।

एक घातांकीय फलन के ग्राफ का एकवचन बिंदु क्या है?

इसका क्या अर्थ है?

किसी घातांक फलन की घात का आधार जो भी हो, यदि घातांक 0 हो, तो इस फलन का मान 1 होता है।

हम चार्ट बनाते हैं:

आइए चार्ट का विश्लेषण करें। फ़ंक्शन ग्राफ़ में कितने प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं?

प्रयास करने पर कौन सा कार्य तेजी से घटता है? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

प्रयास करते समय कौन सा कार्य तेजी से बढ़ता है? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

अंतराल पर, किसी विशेष बिंदु पर किस फलन का मान सबसे अधिक होता है?

अंतराल पर, किसी विशेष बिंदु पर किस फलन का मान सबसे अधिक होता है?

घातीय कार्य क्यों के साथ अलग आधारचौराहे का केवल एक बिंदु है?

घातीय कार्य उनकी परिभाषा के पूरे डोमेन पर सख्ती से एकरस हैं, इसलिए वे केवल एक बिंदु पर एक दूसरे को काट सकते हैं।

अगला कार्य इस संपत्ति का उपयोग करने पर केंद्रित होगा। संख्या 000. सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें दिया गया कार्यदिए गए अंतराल पर a)। याद रखें कि एक सख्ती से मोनोटोनिक फ़ंक्शन किसी दिए गए अंतराल के अंत में न्यूनतम और अधिकतम मान लेता है। और अगर फलन बढ़ रहा है, तो इसका उच्चतम मूल्यखंड के दाहिने छोर पर होगा, और खंड के बाएं छोर पर सबसे छोटा होगा (उदाहरण के रूप में घातीय फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए पोस्टर पर प्रदर्शन)। यदि फ़ंक्शन कम हो रहा है, तो इसका सबसे बड़ा मान सेगमेंट के बाएं छोर पर होगा, और सेगमेंट के दाएं छोर पर सबसे छोटा होगा (उदाहरण के रूप में घातीय फ़ंक्शन का उपयोग करके पोस्टर पर प्रदर्शन)। फ़ंक्शन बढ़ रहा है, क्योंकि, इसलिए, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान बिंदु पर होगा https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >। अंक बी) , में) d) नोटबुक को स्वयं हल करें, हम इसे मौखिक रूप से जांचेंगे।

छात्र अपनी नोटबुक में समस्या का समाधान करते हैं

- 000. दिए गए अंतराल पर दिए गए फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें a) . यह कार्य लगभग पिछले वाले जैसा ही है। लेकिन यहाँ एक खंड नहीं, बल्कि एक किरण दी गई है। हम जानते हैं कि फलन बढ़ रहा है, और पूरी संख्या रेखा पर इसका न तो सबसे बड़ा और न ही सबसे छोटा मान है https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, और पर जाता है, यानी, किरण पर, फ़ंक्शन 0 पर जाता है, लेकिन इसका अपना नहीं होता है सबसे छोटा मान, लेकिन बिंदु पर इसका सबसे बड़ा मूल्य है . अंक बी) , में) , जी) अपनी खुद की नोटबुक हल करें, हम इसे मौखिक रूप से जांचेंगे।

घातांक फ़ंक्शन पर संदर्भ डेटा दिए गए हैं - मूल गुण, ग्राफ़ और सूत्र। निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार किया जाता है: परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का सेट, एकरसता, उलटा कार्य, व्युत्पन्न, अभिन्न, विस्तार बिजली की श्रृंखलाऔर सम्मिश्र संख्याओं के माध्यम से निरूपण।

परिभाषा

घातांक प्रकार्य a के बराबर n संख्याओं के गुणनफल का एक सामान्यीकरण है:
आप (एन) = ए एन = ए ए ए ए,
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में x :
आप (एक्स) = एक्स.
यहाँ a एक निश्चित वास्तविक संख्या है, जिसे कहा जाता है घातीय फ़ंक्शन का आधार.
आधार a के साथ एक घातांकीय फलन को भी कहा जाता है आधार a . के घातीय.

सामान्यीकरण निम्नानुसार किया जाता है।
प्राकृतिक x = . के लिए 1, 2, 3,... , घातीय कार्य x कारकों का गुणनफल है:
.
इसके अलावा, इसमें गुण (1.5-8) () हैं, जो संख्याओं को गुणा करने के नियमों का पालन करते हैं। शून्य पर और नकारात्मक मानपूर्णांक, घातीय फ़ंक्शन सूत्रों (1.9-10) द्वारा निर्धारित किया जाता है। परिमेय संख्याओं के भिन्नात्मक मानों x = m/n के लिए, यह सूत्र (1.11) द्वारा निर्धारित किया जाता है। वास्तविक के लिए, घातांकीय फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है अनुक्रम सीमा:
,
जहाँ परिमेय संख्याओं का एक मनमाना क्रम है जो x : में परिवर्तित होता है।
इस परिभाषा के साथ, घातीय फ़ंक्शन सभी के लिए परिभाषित किया गया है, और गुणों (1.5-8), साथ ही प्राकृतिक x के लिए भी संतुष्ट है।

एक घातांकीय फलन की परिभाषा का एक कठोर गणितीय सूत्रीकरण और उसके गुणों का प्रमाण "घातांकीय फलन के गुणों की परिभाषा और प्रमाण" पृष्ठ पर दिया गया है।

घातीय फ़ंक्शन के गुण

घातांकीय फलन y = a x में वास्तविक संख्याओं के समुच्चय () में निम्नलिखित गुण हैं:
(1.1) परिभाषित और निरंतर है, सभी के लिए;
(1.2) जब एक 1 कई अर्थ हैं;
(1.3) सख्ती से बढ़ता है, सख्ती से घटता है,
पर स्थिर है;
(1.4) पर ;
पर ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

अन्य उपयोगी सूत्र
.
एक अलग शक्ति आधार के साथ एक घातीय फ़ंक्शन में कनवर्ट करने का सूत्र:

b = e के लिए, हमें घातांक के रूप में घातांकीय फलन का व्यंजक प्राप्त होता है:

निजी मूल्य

, , , , .

आंकड़ा घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ दिखाता है
आप (एक्स) = एक्स
चार मूल्यों के लिए डिग्री के आधार:ए= 2 , ए = 8 , ए = 1/2 और एक = 1/8 . यह देखा जा सकता है कि > . के लिए 1 घातीय कार्य नीरस रूप से बढ़ रहा है। डिग्री ए का आधार जितना बड़ा होगा, विकास उतना ही मजबूत होगा। पर 0 < a < 1 घातीय कार्य नीरस रूप से घट रहा है। घातांक जितना छोटा होगा, कमी उतनी ही मजबूत होगी।

आरोही अवरोही

पर घातीय कार्य सख्ती से मोनोटोनिक है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है। इसके मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा काम करना

डिग्री a के आधार के साथ एक घातीय फ़ंक्शन का व्युत्क्रम आधार a का लघुगणक है।

तो अगर
.
तो अगर
.

घातीय फ़ंक्शन का अंतर

एक घातांकीय फलन में अंतर करने के लिए, इसके आधार को संख्या e तक घटाया जाना चाहिए, अवकलजों की तालिका और विभेदन नियम लागू करें जटिल कार्य.

ऐसा करने के लिए, आपको लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने की आवश्यकता है
और डेरिवेटिव की तालिका से सूत्र:
.

मान लीजिए कि एक घातांकीय कार्य दिया गया है:
.
हम इसे आधार ई में लाते हैं:

हम एक जटिल फलन के विभेदीकरण का नियम लागू करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक चर पेश करते हैं

फिर

डेरिवेटिव की तालिका से हमारे पास है (चर x को z से बदलें):
.
चूँकि एक अचर है, x के सापेक्ष z का अवकलज है
.
एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम के अनुसार:
.

घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

एक घातीय फ़ंक्शन को अलग करने का एक उदाहरण

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
वाई = 35 x

समाधान

हम घातांक फलन के आधार को संख्या e के रूप में व्यक्त करते हैं।
3 = ई लॉग 3
फिर
.
हम एक चर पेश करते हैं
.
फिर

डेरिवेटिव की तालिका से हम पाते हैं:
.
क्यों कि 5ln 3अचर है, तो x के सापेक्ष z का अवकलज है:
.
एक जटिल फलन के विभेदीकरण के नियम के अनुसार, हमारे पास है:
.

उत्तर

अभिन्न

सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक

समारोह पर विचार करें जटिल संख्या जेड:
एफ (जेड) = एज़ू
जहाँ z = x + iy; मैं 2 = - 1 .
हम जटिल स्थिरांक a को मापांक r और तर्क के पदों में व्यक्त करते हैं:
ए = आर ई मैं
फिर


.
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। सामान्य रूप में
φ = φ 0 + 2 पीएन,
जहां n एक पूर्णांक है। इसलिए, फ़ंक्शन f (जेड)अस्पष्ट भी है। अक्सर इसका मुख्य महत्व माना जाता है
.

श्रृंखला में विस्तार

.

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।

घातांक प्रकार्य

रूप का कार्य y = a एक्स , जहाँ a, शून्य से बड़ा है और a, एक के बराबर नहीं है, एक घातांकीय फलन कहलाता है। घातीय फ़ंक्शन के मुख्य गुण:

1. घातांक फलन का प्रांत वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा।

2. घातांकीय फलन का परिसर सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा। कभी-कभी इस सेट को संक्षिप्तता के लिए R+ के रूप में दर्शाया जाता है।

3. यदि किसी घातांकीय फलन में आधार a एक से बड़ा है, तो परिभाषा के पूरे क्षेत्र में फलन बढ़ता जाएगा। यदि आधार के लिए घातांकीय फलन निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है 0

4. डिग्री के सभी मूल गुण मान्य होंगे। डिग्री के मुख्य गुण निम्नलिखित समानता द्वारा दर्शाए जाते हैं:

एक एक्स *एक आप = ए (एक्स+वाई) ;

(एक एक्स )/(एक आप ) = ए (एक्स-वाई) ;

(ए * बी) एक्स = (ए एक्स )*(एक आप );

(ए / बी) एक्स = ए एक्स /बी एक्स ;

(एक एक्स ) आप = ए (एक्स * वाई) .

ये समानताएं x और y के सभी वास्तविक मानों के लिए मान्य होंगी।

5. घातांक फलन का आलेख हमेशा निर्देशांकों के साथ बिंदु से होकर गुजरता है (0;1)

6. इस पर निर्भर करते हुए कि घातांक फलन बढ़ता है या घटता है, इसका ग्राफ दो प्रकारों में से एक होगा।

निम्न आंकड़ा एक बढ़ते हुए घातीय कार्य का एक ग्राफ दिखाता है: a>0।

निम्न आंकड़ा घटते घातीय फलन का एक ग्राफ है: 0

पांचवें पैराग्राफ में वर्णित गुण के अनुसार बढ़ते हुए घातांक फलन का ग्राफ और घटते हुए घातांक फलन का ग्राफ दोनों ही बिंदु (0; 1) से गुजरते हैं।

7. एक घातांकीय फलन में चरम बिंदु नहीं होते हैं, अर्थात दूसरे शब्दों में, इसमें फलन के न्यूनतम और अधिकतम बिंदु नहीं होते हैं। यदि हम किसी विशेष खंड पर फ़ंक्शन पर विचार करते हैं, तो फ़ंक्शन इस अंतराल के अंत में न्यूनतम और अधिकतम मान लेगा।

8. फलन सम या विषम नहीं है। एक घातीय फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है सामान्य दृष्टि से. इसे आलेखों से भी देखा जा सकता है, इनमें से कोई भी ओए अक्ष के बारे में या मूल के बारे में सममित नहीं है।

लोगारित्म

स्कूली गणित के पाठ्यक्रम में लघुगणक को हमेशा एक कठिन विषय माना गया है। लघुगणक की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, लेकिन किसी कारण से अधिकांश पाठ्यपुस्तकें उनमें से सबसे जटिल और दुर्भाग्यपूर्ण का उपयोग करती हैं।

हम लघुगणक को सरल और स्पष्ट रूप से परिभाषित करेंगे। आइए इसके लिए एक टेबल बनाएं:

तो, हमारे पास दो की शक्तियां हैं। यदि आप नीचे की रेखा से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिसके लिए आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो से चौथी शक्ति बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

परिभाषा

लोगारित्मतर्क x . से आधार a वह शक्ति है जिसके लिए संख्या बढ़ाई जानी चाहिएएक नंबर पाने के लिएएक्स।

पद

लॉग ए एक्स = बी
जहाँ a आधार है, x तर्क है, b लघुगणक वास्तव में क्या है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 लॉग 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। साथ ही 2 64 = 6 भी लॉग कर सकते हैं, क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार से किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया कहलाती हैलोगारित्म . तो चलिए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ते हैं:

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक को इतनी आसानी से नहीं माना जाता है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क बताता है कि लॉगरिदम खंड पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ अनिश्चित काल तक लिखी जा सकती हैं, और वे कभी भी दोहराई नहीं जाती हैं। यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस तरह छोड़ना बेहतर है: लॉग 2 5, लॉग 3 8, लॉग 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक व्यंजक है। सबसे पहले, बहुत से लोग भ्रमित करते हैं कि आधार कहाँ है और तर्क कहाँ है। कन्नी काटना दुर्भाग्यपूर्ण गलतफहमीबस तस्वीर पर एक नज़र डालें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से ज्यादा कुछ नहीं है। याद रखें: लघुगणक एक शक्ति है , जिसके लिए आपको तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बढ़ाने की आवश्यकता है।यह आधार है जिसे एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है - चित्र में इसे लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। यह पता चला है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं यह अद्भुत नियम अपने छात्रों को पहले ही पाठ में बताता हूं - और कोई भ्रम नहीं है।

हमने परिभाषा का पता लगाया - यह सीखना बाकी है कि लॉगरिदम कैसे गिनें, यानी। "लॉग" चिह्न से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य अनुसरण करते हैं:

तर्क और आधार हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत घातांक द्वारा डिग्री की परिभाषा का अनुसरण करता है, जिससे लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।

आधार एकता से अलग होना चाहिए, क्योंकि एक इकाई से किसी भी शक्ति तक अभी भी एक इकाई है।इस वजह से, "दो प्राप्त करने के लिए किसी को किस शक्ति को उठाया जाना चाहिए" का प्रश्न व्यर्थ है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

इस तरह के प्रतिबंधबुलाया मान्य रेंज(ओडीजेड)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: logएक एक्स = बी ⇒ एक्स> 0, ए> 0, ए 1।

नोटिस जो संख्या की कोई सीमा नहींबी (लघुगणक मान) ओवरलैप नहीं होता है। उदाहरण के लिए, लघुगणक ऋणात्मक भी हो सकता है: log 2 0.5 = -1, क्योंकि 0.5 = 2 -1।

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक व्यंजकों पर विचार कर रहे हैं, जहाँ लघुगणक के ODZ को जानना आवश्यक नहीं है। समस्याओं के संकलनकर्ताओं द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब लॉगरिदमिक समीकरण और असमानताएं चलन में आती हैं, तो डीएचएस आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। दरअसल, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण हो सकते हैं, जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

अब सामान्य पर विचार करें लघुगणक की गणना के लिए योजना। इसमें तीन चरण होते हैं:

फाउंडेशन जमा करेंए और तर्क x एक से अधिक छोटे संभव आधार वाली शक्ति के रूप में। साथ ही, दशमलव अंशों से छुटकारा पाना बेहतर है;

एक चर पर निर्णय लेंबी समीकरण: एक्स = ए बी;

प्राप्त संख्याबी उत्तर होगा।

बस इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय निकलता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। आधार के एक से अधिक होने की आवश्यकता बहुत प्रासंगिक है: यह त्रुटि की संभावना को कम करता है और गणना को बहुत सरल करता है। के समान दशमलव: यदि आप उन्हें तुरंत सामान्य में अनुवाद करते हैं, तो कई गुना कम त्रुटियां होंगी।

आइए देखें कि यह योजना विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करती है:

लघुगणक की गणना करें: लॉग 5 25

आइए आधार और तर्क को पांच की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 5 25 = बी ⇒ (5 1) बी = 5 2 ⇒ 5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

उत्तर प्राप्त हुआ: 2.

लघुगणक की गणना करें:

आइए आधार और तर्क को तीन की घात के रूप में निरूपित करें: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:

उत्तर मिला: -4।

−4

लघुगणक की गणना करें: लॉग 4 64

आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में निरूपित करें: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 4 64 = बी ⇒ (2 2) बी = 2 6 2 2 बी = 2 6 ⇒ 2 बी = 6 ⇒ बी = 3;

उत्तर मिला: 3.

लघुगणक की गणना करें: लॉग 16 1

आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में निरूपित करें: 16 = 2 4; 1 = 20;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 16 1 = बी ⇒ (2 4) बी = 2 0 2 4 बी = 2 0 ⇒ 4 बी = 0 ⇒ बी = 0;

प्रतिक्रिया मिली: 0.

लघुगणक की गणना करें: लॉग 7 14

आइए आधार और तर्क को सात की घात के रूप में निरूपित करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की शक्ति के रूप में नहीं दर्शाया गया है, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;

यह पिछले पैराग्राफ से इस प्रकार है कि लघुगणक पर विचार नहीं किया जाता है;

उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14.

लॉग 7 14

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। कैसे सुनिश्चित करें कि एक संख्या दूसरी संख्या की सटीक शक्ति नहीं है? बहुत आसान - बस इसे प्रमुख कारकों में विघटित करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या एक सटीक शक्ति नहीं है।

पता लगाएँ कि क्या संख्या की सटीक शक्तियाँ हैं: 8; 48; 81; 35; चौदह।

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 एक सटीक शक्ति नहीं है क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 5 - फिर से एक सटीक डिग्री नहीं;
14 \u003d 7 2 - फिर से सटीक डिग्री नहीं;

8, 81 - सटीक डिग्री; 48, 35, 14 - नहीं।

हम यह भी नोट करते हैं कि हम अभाज्य सँख्याहमेशा स्वयं की सटीक शक्तियाँ हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य होते हैं कि उनका एक विशेष नाम और पदनाम होता है।

परिभाषा

दशमलव लघुगणकतर्क x . से आधार 10 का लघुगणक है, अर्थात वह शक्ति जिससे आपको संख्या प्राप्त करने के लिए संख्या 10 बढ़ाने की आवश्यकता हैएक्स।

पद

एलजी एक्स

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; लॉग 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें कि यह टाइपो नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है। हालाँकि, यदि आप इस तरह के पदनाम के अभ्यस्त नहीं हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

साधारण लघुगणक के लिए जो कुछ भी सत्य है वह दशमलव के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना अंकन है। एक मायने में यह दशमलव से भी ज्यादा महत्वपूर्ण है। यह प्राकृतिक लघुगणक है।

परिभाषा

प्राकृतिकतर्क x . से आधार लघुगणक हैइ , अर्थात। वह शक्ति जिसके लिए संख्या बढ़ाई जानी चाहिएइ नंबर पाने के लिएएक्स।

पद

एलएन एक्स

बहुत से लोग पूछेंगे: ई नंबर क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है सही मूल्यखोजना और रिकॉर्ड करना असंभव है। यहाँ केवल पहली संख्याएँ हैं:
ई = 2.718281828459...

हम यह नहीं समझेंगे कि यह संख्या क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएनएक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार एलएन ई = 1; लॉग ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी भी परिमेय संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिमेय होता है। बेशक, एकता को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, सामान्य लघुगणक के लिए सत्य सभी नियम मान्य हैं।

लघुगणक के मूल गुण

लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें मूल गुण कहा जाता है।

इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: logएक एक्स और एक वाई लॉग इन करें . फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

लकड़ी का लट्ठाएक एक्स +लोगएक तुम = लॉगएक ( एक्स · आप );

लकड़ी का लट्ठाएक एक्स -logएक तुम = लॉगएक ( एक्स : आप ).

इसलिए, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है।कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु समान आधार हैं। यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र आपको गणना करने में मदद करेंगे लघुगणकीय व्यंजकतब भी जब इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार नहीं किया जाता है (पाठ देखें " ")। उदाहरणों पर एक नज़र डालें - और देखें:

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 6 4 + लघुगणक 6 9।

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 48 - लघुगणक 2 3।

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5.

फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5 = लघुगणक 3 (135: 5) = लघुगणक 3 27 = 3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। इस तथ्य के आधार पर अनेक टेस्ट पेपर. हां, वह नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः कोई बदलाव नहीं) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? फिर इस डिग्री के घातांक को लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है निम्नलिखित नियम:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक ODZ लघुगणक देखे जाने पर ये सभी नियम समझ में आते हैं:ए> 0, ए 1, एक्स> 0 आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 7 49 6 ।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लघुगणक 7 49 6 = 6 लघुगणक 7 49 = 6 2 = 12

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 2 4; 49 = 72। हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में संक्रमण

लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

प्रमेय

लघुगणक को लॉग करने देंएक एक्स . फिर किसी भी संख्या के लिए c ऐसा है कि c > 0 और c 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, अगर हम डालते हैंसी = एक्स, हम प्राप्त करते हैं:

यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि आधार और लघुगणक के तर्क को बदलना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, यानी। लघुगणक हर में है.

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि निर्णय लेने पर ही वे कितने सुविधाजनक हैं लघुगणक समीकरणऔर असमानताएं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 16 लघुगणक 2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लघुगणक 2 25 = लघुगणक 2 5 2 = 2 लघुगणक 2 5;

अब दूसरा लघुगणक पलटें:

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्याएन तर्क का प्रतिपादक बन जाता है। संख्याएन बिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे इस तरह कहा जाता है:बुनियादी लघुगणकीय पहचान.

वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या b को इस हद तक बढ़ा दिया जाए कि इस अंश की संख्या b संख्या a दे दे? यह सही है: यह वही संख्या है a. इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

एक कार्य

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

समाधान

ध्यान दें कि लघुगणक 25 64 = लघुगणक 5 8 - बस वर्ग को आधार और लघुगणक के तर्क से निकाल दिया। शक्तियों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए एक ही आधार, हम पाते हैं:

200

अगर किसी को पता नहीं है, तो यह परीक्षा से एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

लॉग ए = 1 है लघुगणक इकाई. एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणकएक इसी आधार से एक के बराबर है।

लॉग ए 1 = 0 is लघुगणक शून्य. आधार ए कुछ भी हो सकता है, लेकिन अगर तर्क एक है - लघुगणक शून्य है! इसलियेएक 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें!