اثبات:

اجازه دهید ابتدا قضیه را برای مورد دنباله اثبات کنیم

طبق فرمول دوجمله ای نیوتن:

با فرض اینکه بگیریم

از این برابری (1) نتیجه می شود که با افزایش n، تعداد جمله های مثبت سمت راست افزایش می یابد. علاوه بر این، با افزایش n، تعداد کاهش می یابد، بنابراین کمیت ها افزایش دادن. بنابراین دنباله افزایش می یابد، در حالی که (2)* اجازه دهید نشان دهیم که محدود است. بیایید هر پرانتز سمت راست برابری را با یکی جایگزین کنیم، قسمت راستافزایش می یابد، نابرابری را دریافت می کنیم

نابرابری حاصل را تقویت می کنیم، 3،4،5، ... را در مخرج کسرها با عدد 2 جایگزین می کنیم: با استفاده از فرمول مجموع عبارت ها، مجموع را در پرانتز پیدا می کنیم. پیشرفت هندسی: از همین رو (3)*

بنابراین، دنباله از بالا محدود می شود، در حالی که نابرابری های (2) و (3) برقرار هستند: بنابراین، بر اساس قضیه وایرشتراس (معیار همگرایی یک دنباله)، دنباله به صورت یکنواخت افزایش می یابد و محدود می شود، به این معنی که حدی دارد که با حرف e نشان داده می شود. آن ها

دانستن اینکه دومی حد فوق العادهبرای مقادیر طبیعی x درست است، ما دومین حد قابل توجه برای x واقعی را ثابت می کنیم، یعنی ثابت می کنیم که . دو مورد را در نظر بگیرید:

1. اجازه دهید هر مقدار x بین دو عدد صحیح مثبت محصور شود: , Where is کل بخشایکس. => =>

اگر، پس بنابراین، با توجه به حد ما داریم

با علامت (در مورد حد عملکرد میانی) وجود حدود

2. اجازه دهید. بیایید یک جایگزینی ایجاد کنیم - x = t، سپس

از این دو مورد چنین بر می آید که برای x واقعی

عواقب:

9 .) مقایسه بینهایت کوچک. قضیه جایگزینی بینهایت کوچک با معادل در حد و قضیه قسمت اصلی بینهایت کوچک.

اجازه دهید توابع a( ایکس) و ب( ایکس) – ب.م. در ایکس ® ایکس 0 .

تعاریف.

1) الف( ایکس) تماس گرفت بی نهایت کوچک بیشتر نظم بالاچگونه ب (ایکس) اگر

بنویسید: الف( ایکس) = o(b( ایکس)) .

2) الف( ایکس) وب( ایکس)تماس گرفت بینهایت کوچک از همان ترتیب، اگر

جایی که سیℝ و سی¹ 0 .

بنویسید: الف( ایکس) = O(ب( ایکس)) .

3) الف( ایکس) وب( ایکس) تماس گرفت معادل , اگر

بنویسید: الف( ایکس) ~ ب( ایکس).

4) الف( ایکس) مرتبه بی نهایت کوچک k نسبت به
بسیار بی نهایت کوچکب( ایکس), اگر بی نهایت کوچک باشدآ( ایکس)و(ب( ایکس)) ک همین ترتیب را داشته باشند، یعنی اگر

جایی که سیℝ و سی¹ 0 .

قضیه 6 (در مورد جایگزینی بینهایت کوچک با موارد معادل).

اجازه دهیدآ( ایکس), ب( ایکس), یک 1 ( ایکس), b 1 ( ایکس)- b.m. در x ® ایکس 0 . اگر یکآ( ایکس) ~ یک 1 ( ایکس), ب( ایکس) ~ b 1 ( ایکس),

سپس

اثبات: اجازه دهید a( ایکس) ~ یک 1 ( ایکس), ب( ایکس) ~ b 1 ( ایکس)، سپس

قضیه 7 (در مورد بخش اصلی بی نهایت کوچک).

اجازه دهیدآ( ایکس)وب( ایکس)- b.m. در x ® ایکس 0 ، وب( ایکس)- b.m. مرتبه بالاتر ازآ( ایکس).

= , a از آنجایی که b( ایکس) – مرتبه بالاتر از a( ایکس) ، سپس، i.e. از جانب واضح است که یک ( ایکس) + ب( ایکس) ~ a( ایکس)

10) تداوم یک تابع در یک نقطه (به زبان حدود اپسیلون-دلتا، هندسی) پیوستگی یک طرفه. تداوم در یک بازه، در یک بخش. خواص توابع پیوسته

1. تعاریف اساسی

اجازه دهید f(ایکس) در برخی از همسایگی های نقطه تعریف شده است ایکس 0 .

تعریف 1. تابع f(ایکس) تماس گرفت پیوسته در یک نقطه ایکس 0 اگر برابری درست باشد

ملاحظات.

1) با قضیه 5 از §3، برابری (1) را می توان به صورت نوشتاری نوشت

شرایط (2) - تعریف تداوم یک تابع در یک نقطه از زبان محدودیت های یک طرفه.

2) برابری (1) را می توان به صورت زیر نیز نوشت:

می گویند: «اگر تابعی در نقطه ای پیوسته باشد ایکس 0، سپس علامت حد و تابع را می توان با هم عوض کرد.

تعریف 2 (به زبان e-d).

تابع f(ایکس) تماس گرفت پیوسته در یک نقطه ایکس 0 اگر"e>0 $d>0 چنین, چی

اگر xОU( ایکس 0 , د) (یعنی | ایکس – ایکس 0 | < d),

سپس f(ایکس)OU( f(ایکس 0)، ه) (یعنی | f(ایکس) – f(ایکس 0) | < e).

اجازه دهید ایکس, ایکس 0 Î D(f) (ایکس 0 - ثابت، ایکس-دلخواه)

نشان دادن: D ایکس= x-x 0 – افزایش آرگومان

D f(ایکس 0) = f(ایکس) – f(ایکس 0) – افزایش تابع در نقطه x 0

تعریف 3 (هندسی).

تابع f(ایکس) روی تماس گرفت پیوسته در یک نقطه ایکس 0 اگر در این مرحله یک افزایش بی نهایت کوچک آرگومان با افزایش بی نهایت کوچک تابع مطابقت داشته باشد، یعنی

اجازه دهید تابع f(ایکس) در بازه [ ایکس 0 ; ایکس 0 + d) (در بازه ( ایکس 0 - d; ایکس 0 ]).

تعریف. تابع f(ایکس) تماس گرفت پیوسته در یک نقطه ایکس 0 سمت راست (ترک کرد ), اگر برابری درست باشد

بدیهی است که f(ایکس) در نقطه ممتد است ایکس 0 Û f(ایکس) در نقطه ممتد است ایکس 0 راست و چپ

تعریف. تابع f(ایکس) تماس گرفت پیوسته در هر بازه e ( آ; ب) اگر در هر نقطه از این بازه پیوسته باشد.

تابع f(ایکس) پیوسته روی قطعه نامیده می شود [آ; ب] اگر در بازه پیوسته باشد (آ; ب) و در نقاط مرزی تداوم یک طرفه دارد(یعنی پیوسته در نقطه آدرست، نقطه ب- در سمت چپ).

11) نقاط شکست، طبقه بندی آنها

تعریف. اگر تابع f(ایکس) در برخی از همسایگی های نقطه x تعریف شده است 0 , اما در آن نقطه پیوسته نیست، پس f(ایکس) در نقطه x ناپیوسته نامیده می شود 0 , اما نکته ایکس 0 نقطه شکست نامیده می شود توابع f(ایکس) .

ملاحظات.

1) f(ایکس) را می توان در یک همسایگی ناقص نقطه تعریف کرد ایکس 0 .

سپس پیوستگی یک طرفه مربوط به تابع را در نظر بگیرید.

2) از تعریف z، نقطه ایکس 0 نقطه شکست تابع است f(ایکس) در دو مورد:

الف) U( ایکس 0 , d)н D(f) ، اما برای f(ایکس) برابری ارضا نمی شود

ب) U * ( ایکس 0 , d)н D(f) .

برای توابع ابتدایی، فقط مورد ب) امکان پذیر است.

اجازه دهید ایکس 0 - نقطه شکست تابع f(ایکس) .

تعریف. نقطه x 0 تماس گرفت نقطه شکست من نوع اگر تابع f(ایکس)دارای محدودیت های محدود در این نقطه در سمت چپ و در سمت راست.

اگر علاوه بر این، این حدود برابر باشند، نقطه x 0 تماس گرفت نقطه شکست , در غیر این صورت - نقطه پرش .

تعریف. نقطه x 0 تماس گرفت نقطه شکست II نوع اگر حداقل یکی از حدود یک طرفه تابع f باشد(ایکس)در این نقطه برابر است با¥ یا وجود ندارد.

12) ویژگی های توابع پیوسته روی یک قطعه (قضیه های وایرشتراس (بدون اثبات) و کوشی

قضیه وایرشتراس

اجازه دهید تابع f(x) روی قطعه پیوسته باشد، سپس

1)f(x) محدود به

2)f(x) کوچکترین مقدار خود را در بازه و می گیرد بالاترین ارزش

تعریف: مقدار تابع m=f اگر m≤f(x) برای هر x € D(f) کمترین نامیده می شود.

مقدار تابع m=f اگر m≥f(x) برای هر x € D(f) بزرگترین نامیده می شود.

تابع می تواند کوچکترین \ بزرگترین مقدار را در چندین نقطه از بخش بگیرد.

f(x 3) = f(x 4) = حداکثر

قضیه کوشی.

فرض کنید تابع f(x) بر روی قطعه پیوسته باشد و x عدد محصور بین f(a) و f(b) باشد، سپس حداقل یک نقطه x 0 € وجود دارد به طوری که f(x 0) = g

چندین محدودیت شگفت انگیز وجود دارد، اما معروف ترین آنها محدودیت های شگفت انگیز اول و دوم است. نکته قابل توجه در مورد این محدودیت ها این است که آنها به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرند و می توان از آنها برای یافتن محدودیت های دیگری که در مشکلات متعدد با آن مواجه می شوند استفاده کرد. این همان کاری است که ما در بخش عملی این درس انجام خواهیم داد. برای حل مسائل با کاهش به حد قابل توجه اول یا دوم، نیازی به افشای عدم قطعیت های موجود در آنها نیست، زیرا مقادیر این حدود مدت هاست توسط ریاضیدانان بزرگ استنباط شده است.

اولین محدودیت قابل توجهحد نسبت سینوس یک کمان بی‌نهایت کوچک به همان قوس نامیده می‌شود که در اندازه رادیانی بیان می‌شود:

بیایید به حل مشکلات در اولین حد قابل توجه برویم. توجه: اگر یک تابع مثلثاتی زیر علامت حد باشد، این تقریباً یک علامت مطمئن است که این عبارت را می توان به اولین حد قابل توجه کاهش داد.

مثال 1حد را پیدا کنید.

راه حل. در عوض تعویض ایکسصفر منجر به عدم قطعیت می شود:

.

مخرج یک سینوس است، بنابراین، عبارت را می توان به اولین حد قابل توجه کاهش داد. بیایید تحول را شروع کنیم:

.

در مخرج - سینوس سه x و در صورتگر فقط یک x وجود دارد، به این معنی که شما باید سه x را در صورتگر بگیرید. برای چی؟ برای ارائه 3 ایکس = آو بیان را دریافت کنید.

و به تغییری از اولین حد قابل توجه می رسیم:

زیرا مهم نیست در این فرمول به جای X چه حرفی (متغیر) باشد.

x را در سه ضرب می کنیم و بلافاصله تقسیم می کنیم:

.

مطابق با اولین حد قابل توجه ذکر شده، عبارت کسری را جایگزین می کنیم:

حالا بالاخره می توانیم این حد را حل کنیم:

.

مثال 2حد را پیدا کنید.

راه حل. جایگزینی مستقیم دوباره منجر به عدم قطعیت "صفر تقسیم بر صفر" می شود:

.

برای به دست آوردن اولین حد قابل توجه، لازم است که x زیر علامت سینوس در صورت و فقط x در مخرج با ضریب یکسان باشد. اجازه دهید این ضریب برابر با 2 باشد. برای انجام این کار، ضریب فعلی را در x به شکل زیر تصور کنید، با انجام اعمال با کسری، دریافت می کنیم:

.

مثال 3حد را پیدا کنید.

راه حل. هنگام جایگزینی، دوباره عدم قطعیت "صفر تقسیم بر صفر" را دریافت می کنیم:

.

احتمالاً قبلاً متوجه شده اید که از عبارت اصلی می توانید اولین حد شگفت انگیز ضرب در اولین حد شگفت انگیز را بدست آورید. برای این کار مربع های x در صورت و سینوس در مخرج را به ضرایب یکسان تجزیه می کنیم و برای اینکه ضرایب یکسانی برای x و سینوس به دست بیاوریم، x در صورت را بر 3 تقسیم می کنیم و بلافاصله در 3 ضرب می کنیم.

.

مثال 4حد را پیدا کنید.

راه حل. باز هم عدم قطعیت "صفر تقسیم بر صفر" را دریافت می کنیم:

.

ما می توانیم نسبت دو حد قابل توجه اول را بدست آوریم. هم صورت و هم مخرج را بر x تقسیم می کنیم. سپس برای اینکه ضرایب در سینوس و x بر هم منطبق شوند، x بالایی را در 2 ضرب می کنیم و بلافاصله بر 2 تقسیم می کنیم و x پایین را در 3 ضرب می کنیم و بلافاصله بر 3 تقسیم می کنیم.

مثال 5حد را پیدا کنید.

راه حل. و باز هم عدم قطعیت "صفر تقسیم بر صفر":

از مثلثات به یاد داریم که مماس نسبت سینوس به کسینوس است و کسینوس صفر برابر با یک است. ما تغییراتی ایجاد می کنیم و به دست می آوریم:

.

مثال 6حد را پیدا کنید.

راه حل. تابع مثلثاتی در زیر علامت حد دوباره ایده اعمال اولین حد قابل توجه را پیشنهاد می کند. ما آن را به عنوان نسبت سینوس به کسینوس نشان می دهیم.

در این مبحث، فرمول هایی را که می توان با استفاده از حد قابل توجه دوم به دست آورد (موضوعی که مستقیماً به محدودیت قابل توجه دوم اختصاص داده شده است) تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. اجازه دهید دو فرمول از محدودیت قابل توجه دوم را که در این بخش مورد نیاز است به شما یادآوری کنم: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e $ و $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.

معمولا فرمول ها را بدون اثبات می دهم اما برای این صفحه فکر می کنم استثنا قائل شوم. واقعیت این است که اثبات پیامدهای حد قابل توجه دوم حاوی ترفندهایی است که در حل مستقیم مشکلات مفید است. خوب، و به طور کلی، مطلوب است که بدانیم این یا آن فرمول چگونه ثابت می شود. این به شما امکان می دهد آن را بهتر درک کنید. ساختار داخلی، و همچنین محدودیت های کاربردی. اما از آنجایی که ممکن است شواهد برای همه خوانندگان جالب نباشد، پس از هر نتیجه آنها را در زیر یادداشت پنهان می کنم.

پیامد شماره 1

\begin(معادله) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end (معادله)

اثبات نتیجه شماره 1: نمایش/پنهان کردن

از آنجایی که برای $x\to 0$ ما $\ln(1+x)\to 0$ داریم، پس در حد در نظر گرفته شده نامشخصی از شکل $\frac(0)(0)$ وجود دارد. برای آشکار کردن این عدم قطعیت، اجازه دهید عبارت $\frac(\ln(1+x))(x)$ را به صورت زیر نمایش دهیم: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$. حال بیایید ضریب $\frac(1)(x)$ را به توان $(1+x)$ اضافه کنیم و محدودیت قابل توجه دوم را اعمال کنیم:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\چپ| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ به\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

ما دوباره یک عدم قطعیت از فرم $\frac(0)(0)$ داریم. ما به فرمولی که قبلاً ثابت کرده ایم تکیه می کنیم. از آنجایی که $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$، سپس $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\چپ| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

پیامد شماره 2

\begin(معادله) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(معادله)

اثبات نتیجه شماره 2: نمایش/پنهان کردن

از آنجایی که برای $x\to 0$ ما $e^x-1\to 0$ داریم، پس در حد در نظر گرفته شده عدم قطعیت به شکل $\frac(0)(0)$ وجود دارد. برای آشکار کردن این عدم قطعیت، اجازه دهید متغیر را تغییر دهیم که نشان دهنده $t=e^x-1$ است. از $x\ به 0 $، سپس $t\ به 0 $. علاوه بر این، از فرمول $t=e^x-1$ دریافت می کنیم: $e^x=1+t$، $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \راست|=\چپ | \begin(تراز شده) & t=e^x-1;\; t\ به 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (تراز شده) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\ به 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

ما دوباره یک عدم قطعیت از فرم $\frac(0)(0)$ داریم. ما به فرمولی که قبلاً ثابت کرده ایم تکیه می کنیم. از آنجایی که $a^x=e^(x\n a)$، پس:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

پیامد شماره 3

\begin(معادله) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(معادله)

اثبات نتیجه شماره 3: نمایش/پنهان کردن

باز هم با عدم قطعیتی از شکل $\frac(0)(0)$ روبرو هستیم. از آنجایی که $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

مثال شماره 1

حد $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$ را محاسبه کنید.

ما یک عدم قطعیت از فرم $\frac(0)(0)$ داریم. برای افشای این عدم قطعیت، از فرمول استفاده می کنیم. برای تطبیق محدودیت ما با این فرمول، باید در نظر داشت که عبارات در توان عدد $e$ و در مخرج باید مطابقت داشته باشند. به عبارت دیگر سینوس در مخرج جایی ندارد. مخرج باید $9x $ باشد. همچنین هنگام حل این مثال از اولین حد قابل توجه استفاده خواهد شد.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \راست)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$

پاسخ: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

مثال شماره 2

حد $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$ را محاسبه کنید.

ما یک عدم قطعیت از فرم $\frac(0)(0)$ داریم (به یاد بیاورید که $\ln\cos 0=\ln 1=0$). برای افشای این عدم قطعیت، از فرمول استفاده می کنیم. ابتدا، بیایید در نظر بگیریم که $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (به فهرست توابع مثلثاتی مراجعه کنید). حالا $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$، بنابراین مخرج باید $-2\sin^2 \frac(x) باشد. (2)$ (برای تناسب مثال ما با ). در راه حل بعدی، از اولین حد قابل توجه استفاده خواهد شد.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\ چپ| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\راست))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \راست)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$

پاسخ: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.

اصطلاح "محدودیت قابل توجه" به طور گسترده در کتاب های درسی و وسایل کمک آموزشیبرای نشان دادن هویت های مهم که کمک قابل توجهی می کند کار را ساده کنیدبرای یافتن محدودیت ها

اما به بتواند بیاوردمحدودیت آن به موارد قابل توجه است، باید به خوبی به آن نگاه کنید، زیرا آنها مستقیماً رخ نمی دهند، بلکه اغلب به شکل پیامدهایی هستند که با شرایط و عوامل اضافی مجهز شده اند. با این حال، اول تئوری، سپس مثال ها، و شما موفق خواهید شد!

اولین حد فوق العاده

دوست داشت؟ نشانک

اولین حد قابل توجه به صورت زیر نوشته شده است (عدم قطعیت از فرم $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

پیامدهای اولین حد قابل توجه

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

مثال های راه حل: 1 حد فوق العاده

مثال 1 حد محاسبه $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

راه حل.اولین مرحله همیشه یکسان است - مقدار حدی $x=0$ را در تابع جایگزین می کنیم و دریافت می کنیم:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

ما یک عدم قطعیت از فرم $\left[\frac(0)(0)\right]$ دریافت کردیم که باید حل شود. اگر دقت کنید، حد اصلی بسیار شبیه به اولین مورد قابل توجه است، اما با آن منطبق نیست. وظیفه ما ایجاد شباهت است. بیایید آن را به این شکل تبدیل کنیم - به عبارت زیر سینوس نگاه کنید، همین کار را در مخرج انجام دهید (به طور نسبی، ما در $3x$ ضرب و تقسیم کردیم)، سپس کاهش و ساده می کنیم:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

در بالا، اولین محدودیت فوق العاده به دست آمد: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1، \text( یک جایگزین شرطی کرد) y=3x. $$ پاسخ: $3/8$.

مثال 2 حد محاسبه $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

راه حل.مقدار حدی $x=0$ را جایگزین تابع می کنیم و می گیریم:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)(0\cdot 0)\right] = \چپ [\frac(0)(0)\right].$$

ما یک عدم قطعیت از فرم $\left[\frac(0)(0)\right]$ دریافت کردیم. بیایید با استفاده از اولین حد فوق العاده در ساده سازی (سه بار!) حد را تغییر دهیم:

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

پاسخ: $9/16$.

مثال 3 حد $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5) را پیدا کنید.$$

راه حل.اما اگر یک عبارت پیچیده در زیر تابع مثلثاتی وجود داشته باشد چه؟ فرقی نمی کند و اینجا هم به همین صورت عمل می کنیم. ابتدا نوع عدم قطعیت را بررسی کنید، $x=0$ را جایگزین تابع کنید و دریافت کنید:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

ما یک عدم قطعیت از فرم $\left[\frac(0)(0)\right]$ دریافت کردیم. ضرب و تقسیم بر $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \چپ[\frac(0)(0)\راست] = $$

باز هم عدم قطعیت وجود دارد، اما در این مورد فقط یک کسری است. بیایید صورت و مخرج را x$ کاهش دهیم:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\راست] =\ frac (3) (5). $$

پاسخ: $3/5$.

دومین حد فوق العاده

دومین محدودیت قابل توجه به صورت زیر نوشته شده است (عدم قطعیت شکل $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(یا) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

پیامدهای دومین حد قابل توجه

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

مثال های راه حل: 2 حد فوق العاده

مثال 4 حد $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) را پیدا کنید.$$

راه حل.بیایید نوع عدم قطعیت را بررسی کنیم، $x=\infty$ را جایگزین تابع کنیم و دریافت کنیم:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \راست] = \چپ.$$

ما یک عدم قطعیت از فرم $\left$ دریافت کردیم. این محدودیت را می توان به دومین مورد قابل توجه کاهش داد. بیایید تبدیل کنیم:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\راست)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

عبارت داخل پرانتز در واقع دومین حد فوق العاده است $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$، فقط $t=- 3x/2$، بنابراین

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

پاسخ:$e^(-2/3)$.

مثال 5 حد $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) را پیدا کنید. $

راه حل.$x=\infty$ را جایگزین تابع کنید و عدم قطعیت فرم $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ را بدست آورید. و ما به $\left$ نیاز داریم. پس بیایید با تبدیل عبارت پرانتز شده شروع کنیم:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\راست)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\راست)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

عبارت داخل پرانتز در واقع دومین حد فوق العاده است $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$، فقط $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \به \infty$، بنابراین

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

این ماشین حساب ریاضی آنلاین در صورت نیاز به شما کمک می کند محاسبه حد تابع. برنامه راه حل ها را محدود کنیدنه تنها پاسخ مشکل را می دهد، بلکه منجر می شود راه حل دقیقبا توضیحات، یعنی پیشرفت محاسبه حد را نشان می دهد.

این برنامه می تواند برای دانش آموزان دبیرستانی مفید باشد مدارس آموزش عمومیدر آماده سازی برای کنترل کارو امتحانات، هنگام تست دانش قبل از امتحان، والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید آن را در اسرع وقت انجام دهید؟ مشق شبریاضی یا جبر؟ در این مورد، شما همچنین می توانید از برنامه های ما با یک راه حل دقیق استفاده کنید.

به این ترتیب می توانید آموزش های خود و/یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید و در عین حال سطح تحصیلات در زمینه کارهایی که باید حل شوند افزایش می یابد.

یک عبارت تابع را وارد کنید

محاسبه حد

مشخص شد که برخی از اسکریپت های مورد نیاز برای حل این کار بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

شما جاوا اسکریپت را در مرورگر خود غیرفعال کرده اید.
جاوا اسکریپت باید فعال باشد تا راه حل ظاهر شود.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی هستند که می خواهند مشکل را حل کنند، درخواست شما در صف است.
پس از چند ثانیه، راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا منتظر بمانید ثانیه...

اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در مورد آن در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

حد تابع در x-> x 0

اجازه دهید تابع f(x) در مجموعه ای از X تعریف شود و نقطه \(x_0 \در X\) یا \(x_0 \نه X\) بگذارید.

از X دنباله ای از نقاط غیر از x 0 بگیرید:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
همگرا به x*. مقادیر تابع در نقاط این دنباله نیز یک دنباله عددی را تشکیل می دهند
f(x 1)، f(x 2)، f(x 3)، ...، f(x n)، ... (2)
و می توان از وجود حد آن سؤال کرد.

تعریف. عدد A حد تابع f (x) در نقطه x \u003d x 0 (یا در x -> x 0) نامیده می شود، اگر برای هر دنباله (1) از مقادیر آرگومان x باشد. که به x 0 همگرا می شود، متفاوت از x 0، دنباله مربوطه (2) از تابع مقادیر به عدد A همگرا می شود.

$$ \lim_(x\to x_0)(f(x)) = یک $$

تابع f(x) فقط می تواند یک حد در نقطه x 0 داشته باشد. این نتیجه از این واقعیت است که دنباله
(f(xn)) فقط یک حد دارد.

تعریف دیگری از حد یک تابع وجود دارد.

تعریفعدد A حد تابع f(x) در نقطه x = x 0 نامیده می شود اگر برای هر عدد \(\varepsilon > 0 \) یک عدد \(\delta > 0 \) وجود داشته باشد به طوری که برای همه \( (x \در X, \; x \neq x_0 \) با ارضای نابرابری \(|x-x_0| با استفاده از نمادهای منطقی، این تعریف را می توان به صورت نوشتاری
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \در X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| توجه داشته باشید که نابرابری‌های \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| اولین تعریف مبتنی بر مفهوم حد است دنباله اعداد، به همین دلیل است که اغلب از آن به عنوان تعریف "زبان توالی" یاد می شود. تعریف دوم، تعریف "زبان \(\varepsilon - \delta \)" نامیده می شود.
این دو تعریف از حد یک تابع معادل هستند و بسته به اینکه کدام یک برای حل یک مشکل خاص راحت تر است، می توانید از هر کدام از آنها استفاده کنید.

توجه داشته باشید که تعریف حد تابع "در زبان دنباله ها" را تعریف حد یک تابع از نظر هاینه و تعریف حد تابع "در زبان \(\varepsilon - نامیده می شود. \delta \)" به تعریف حد یک تابع مطابق کوشی نیز گفته می شود.

حد تابع در x->x 0 - و در x->x 0 +

در ادامه از مفاهیم حدود یک طرفه یک تابع استفاده خواهیم کرد که به صورت زیر تعریف می شوند.

تعریفعدد A حد راست (چپ) تابع f (x) در نقطه x 0 نامیده می شود اگر برای هر دنباله (1) که به x 0 همگرا می شود، که عناصر آن x n بزرگتر (کمتر) از x 0 هستند، دنباله مربوطه است. (2) به A همگرا می شود.

به طور نمادین اینگونه نوشته شده است:
$$ \lim_(x \تا x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \راست) $$

می توان یک تعریف معادل از محدودیت های یک طرفه یک تابع "در زبان \(\varepsilon - \delta\)" ارائه داد:

تعریفعدد A حد راست (چپ) تابع f(x) در نقطه x 0 نامیده می شود اگر برای هر \(\varepsilon > 0 \) \(\delta > 0 \) وجود داشته باشد به طوری که برای همه x راضی کننده باشد. نابرابری های \(x_0 ورودی های نمادین:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0