معرفی

وقتی شروع به مطالعه فیگورهای استریومتریک کردیم، موضوع "هرم" را لمس کردیم. ما این موضوع را دوست داشتیم زیرا هرم اغلب در معماری استفاده می شود. و از مال ما حرفه آیندهمعمار، با الهام از این چهره، فکر می کنیم که او می تواند ما را به سمت پروژه های بزرگ سوق دهد.

استحکام سازه های معماری مهمترین کیفیت آنهاست. پیوند استحکام، اولاً با موادی که از آنها ایجاد شده‌اند و ثانیاً با ویژگی‌های راه‌حل‌های طراحی، معلوم می‌شود که استحکام یک سازه مستقیماً با شکل هندسی که برای آن اساسی است مرتبط است.

به عبارت دیگر، ما در مورد یک شکل هندسی صحبت می کنیم که می توان آن را الگویی از فرم معماری مربوطه در نظر گرفت. به نظر می رسد که شکل هندسی نیز استحکام یک ساختار معماری را تعیین می کند.

از زمان های قدیم، اهرام مصر به عنوان بادوام ترین سازه های معماری در نظر گرفته شده اند. همانطور که می دانید، آنها شکل اهرام چهار گوش منظم دارند.

این شکل هندسی است که به دلیل مساحت پایه بزرگ، بیشترین ثبات را ایجاد می کند. از سوی دیگر، شکل هرم تضمین می کند که با افزایش ارتفاع از سطح زمین، جرم کاهش می یابد. این دو ویژگی است که هرم را در شرایط گرانش پایدار و در نتیجه قوی می کند.

هدف پروژه: چیز جدیدی در مورد اهرام بیاموزید، دانش خود را عمیق تر کنید و کاربرد عملی پیدا کنید.

برای رسیدن به این هدف، حل وظایف زیر ضروری بود:

· اطلاعات تاریخی در مورد هرم بیاموزید

· هرم را به عنوان در نظر بگیرید شکل هندسی

· کاربرد در زندگی و معماری پیدا کنید

· شباهت ها و تفاوت های بین اهرام واقع در آن را بیابید بخش های مختلفسوتا

بخش تئوری

اطلاعات تاریخی

آغاز هندسه هرم در مصر باستان و بابل گذاشته شد، اما به طور فعال در سال توسعه یافت. یونان باستان. اولین کسی که حجم هرم را تعیین کرد دموکریتوس بود و ائودوکسوس از کنیدوس آن را ثابت کرد. ریاضیدان یونانی باستان اقلیدس دانش در مورد هرم را در جلد دوازدهم "عناصر" خود سیستماتیک کرد و همچنین اولین تعریف از هرم را به دست آورد: یک شکل جامد محدود شده توسط صفحاتی که از یک صفحه به یک نقطه همگرا می شوند.

مقبره های فراعنه مصر. بزرگترین آنها - اهرام خئوپس، خفره و میکرین در ال جیزه - یکی از عجایب هفتگانه جهان در دوران باستان به حساب می آمدند. ساختن هرم، که در آن یونانیان و رومیان قبلاً بنای یادبودی از غرور بی‌سابقه پادشاهان و ظلم را دیدند که تمام مردم مصر را محکوم به ساخت‌وساز بی‌معنی کرد، مهمترین عمل مذهبی بود و ظاهراً قرار بود بیانگر هویت عرفانی کشور و حاکم آن. جمعیت کشور در بخشی از سال فارغ از کار کشاورزی در ساخت آرامگاه کار می کردند. تعدادی از متون گواهی بر توجه و عنایتی است که خود پادشاهان (البته در زمان های بعد) به ساختن آرامگاه خود و سازندگان آن داشته اند. همچنین در مورد افتخارات فرقه خاصی که به خود هرم داده می شد نیز شناخته شده است.

مفاهیم اساسی

هرمچند ضلعی نامیده می شود که قاعده آن چند ضلعی است و وجوه باقیمانده مثلث هایی هستند که یک راس مشترک دارند.

آپوتم- ارتفاع لبه جانبی هرم منظم، از بالای آن کشیده شده است.

صورت های جانبی- مثلث ها در یک راس ملاقات می کنند.

دنده های کناری- طرف های مشترک صورت های جانبی؛

بالای هرم- نقطه ای که دنده های جانبی را به هم متصل می کند و در صفحه پایه قرار ندارد.

ارتفاع- یک بخش عمودی که از بالای هرم به صفحه قاعده آن کشیده شده است (انتهای این بخش بالای هرم و قاعده عمود است).

بخش مورب هرم- بخشی از هرم که از بالا و مورب پایه عبور می کند.

پایه- چند ضلعی که به راس هرم تعلق ندارد.

ویژگی های اساسی یک هرم معمولی

لبه های جانبی، وجه های جانبی و آپوتم ها به ترتیب برابر هستند.

زوایای دو وجهی در پایه برابر است.

زوایای دو وجهی در لبه های جانبی برابر است.

هر نقطه ارتفاع از تمام رئوس قاعده فاصله دارد.

هر نقطه ارتفاع از تمام وجوه جانبی به یک اندازه فاصله دارد.

فرمول های اساسی هرم

ناحیه جانبی و سطح کاملاهرام.

مساحت سطح جانبی هرم (کامل و ناقص) مجموع مساحت تمام وجوه جانبی آن است، مساحت سطح کل مجموع مساحت تمام وجوه آن است.

قضیه: مساحت سطح جانبی هرم منظم برابر با نصف حاصلضرب محیط قاعده و آپوتم هرم است.

پ- محیط پایه؛

ساعت- فریضه.

مساحت سطوح جانبی و کامل یک هرم ناقص.

ص 1، پ 2 - محیط های پایه؛

ساعت- فریضه.

آر- سطح کل یک هرم منقطع منظم؛

سمت S- مساحت سطح جانبی یک هرم منقطع منظم؛

S 1 + S 2- مساحت پایه

حجم هرم

فرم حجم ula برای هر نوع هرم استفاده می شود.

اچ- ارتفاع هرم

گوشه های هرم

زوایای تشکیل شده توسط وجه جانبی و قاعده هرم را زوایای دو وجهی در قاعده هرم می گویند.

یک زاویه دو وجهی از دو عمود تشکیل می شود.

برای تعیین این زاویه، اغلب باید از قضیه سه عمود بر هم استفاده کنید.

زوایای تشکیل شده توسط لبه جانبی و برآمدگی آن بر روی صفحه پایه نامیده می شود زوایای بین لبه جانبی و صفحه پایه.

زاویه تشکیل شده توسط دو لبه جانبی نامیده می شود زاویه دو وجهی در لبه جانبی هرم.

زاویه ای که توسط دو لبه جانبی یک وجه هرم ایجاد می شود نامیده می شود زاویه در بالای هرم.

بخش های هرمی

سطح یک هرم سطح یک چند وجهی است. هر یک از وجوه آن یک صفحه است، بنابراین بخشی از یک هرم که با یک صفحه برش تعریف می شود، یک خط شکسته است که از خطوط مستقیم منفرد تشکیل شده است.

بخش مورب

قسمتی از هرم که توسط صفحه ای که از دو لبه جانبی که روی یک وجه قرار ندارند می گذرد نامیده می شود. بخش مورباهرام.

بخش های موازی

قضیه:

اگر هرم با صفحه ای موازی با قاعده قطع شود، لبه های جانبی و ارتفاعات هرم توسط این صفحه به قسمت های متناسب تقسیم می شود.

بخش این صفحه چند ضلعی شبیه به قاعده است.

مساحت های مقطع و قاعده به عنوان مجذور فاصله آنها از راس به یکدیگر مرتبط هستند.

انواع هرم

هرم درست- هرمی که قاعده آن است چند ضلعی منظم، و بالای هرم به سمت مرکز پایه پیش بینی شده است.

برای یک هرم معمولی:

1. دنده های جانبی برابر هستند

2. صورت های جانبی برابر است

3. آپوتم ها برابرند

4. زوایای دو وجهی در پایه برابر است

5. زوایای دو وجهی در لبه های جانبی برابر است

6. هر نقطه از ارتفاع از تمام رئوس قاعده فاصله دارد

7. هر نقطه ارتفاع از تمام لبه های جانبی فاصله دارد

هرم کوتاه شده- بخشی از هرم که بین پایه آن و صفحه برش موازی با پایه محصور شده است.

قاعده و بخش مربوط به یک هرم بریده شده نامیده می شود پایه های یک هرم کوتاه.

عمودی که از هر نقطه از یک قاعده به صفحه قاعده دیگر کشیده می شود نامیده می شود ارتفاع یک هرم کوتاه

وظایف

شماره 1. در یک هرم چهار گوش منتظم نقطه O مرکز قاعده SO=8 سانتی متر، BD=30 سانتی متر است. لبه جانبی SA را پیدا کنید.

حل مسئله

شماره 1. در یک هرم منظم، تمام وجوه و لبه ها با هم برابرند.

OSB را در نظر بگیرید: OSB یک مستطیل مستطیل شکل است، زیرا.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

هرم در معماری

هرم یک سازه تاریخی به شکل یک هرم هندسی معمولی است که در آن اضلاع در یک نقطه همگرا می شوند. اهرام با توجه به هدف عملکردی خود، در دوران باستان محل دفن یا عبادت مذهبی بودند. قاعده هرم می تواند به شکل مثلث، چهار گوش یا چند ضلعی با تعداد دلخواه رئوس باشد، اما رایج ترین نسخه، پایه چهار گوش است.

تعداد قابل توجهی از اهرام ساخته شده است فرهنگ های مختلفدنیای باستان عمدتاً به عنوان معابد یا بناهای تاریخی است. اهرام بزرگ شامل اهرام مصر است.

در سرتاسر زمین می توانید سازه های معماری را به شکل اهرام مشاهده کنید. ساختمان های هرمی یادآور دوران باستان هستند و بسیار زیبا به نظر می رسند.

اهرام مصر بزرگترین هستند بناهای معماری مصر باستانکه یکی از «عجایب هفتگانه جهان» هرم خئوپس است. از پا تا بالا به 137.3 متر می رسد و قبل از اینکه قله را گم کند، ارتفاع آن 146.7 متر بوده است.

ساختمان ایستگاه رادیویی در پایتخت اسلواکی، شبیه یک هرم وارونه، در سال 1983 ساخته شد. علاوه بر دفاتر و اماکن خدماتی، داخل حجم نسبتاً بزرگی وجود دارد. سالن کنسرتکه یکی از بزرگترین اندام ها را در اسلواکی دارد.

موزه لوور که "مانند یک هرم ساکت و با شکوه است" در طول قرن ها قبل از تبدیل شدن، دستخوش تغییرات بسیاری شده است. بزرگترین موزهصلح این قلعه به عنوان یک قلعه متولد شد که توسط فیلیپ آگوستوس در سال 1190 ساخته شد و به زودی به اقامتگاه سلطنتی تبدیل شد. در سال 1793 این کاخ به موزه تبدیل شد. مجموعه ها از طریق وصیت یا خرید غنی می شوند.

هرم. هرم کوتاه شده

هرمچند وجهی است که یکی از وجوه آن چند ضلعی است ( پایه ، و تمام وجوه دیگر مثلث هایی هستند با یک راس مشترک ( صورت های جانبی ) (شکل 15). هرم نامیده می شود درست ، اگر قاعده آن چند ضلعی منتظم باشد و بالای هرم به مرکز قاعده بیرون زده باشد (شکل 16). هرم مثلثی که تمام لبه های آن برابر است نامیده می شود چهار وجهی .

دنده جانبیهرم آن طرف وجه جانبی است که به قاعده تعلق ندارد ارتفاع هرم فاصله بالای آن تا صفحه قاعده است. تمام لبه های جانبی هرم منظم با یکدیگر برابرند، تمام وجوه جانبی با هم برابرند مثلث متساوی الساقین. ارتفاع وجه جانبی هرم منظمی که از راس کشیده شده است نامیده می شود حکم . بخش مورب به قسمتی از هرم گفته می شود که صفحه ای از دو لبه جانبی عبور می کند که به یک وجه تعلق ندارند.

سطح جانبیهرم مجموع مساحت تمام وجوه جانبی است. سطح کل مجموع مساحت تمام وجوه جانبی و قاعده نامیده می شود.

قضایا

1. اگر در یک هرم تمام لبه های جانبی به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که نزدیک قاعده محصور شده است بیرون زده می شود.

2. اگر تمام لبه های کناری هرم دارای طول مساوی باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که نزدیک قاعده محصور شده است بیرون زده می شود.

3. اگر تمام وجوه در یک هرم به یک اندازه متمایل به صفحه قاعده باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که در قاعده حک شده است بیرون زده می شود.

برای محاسبه حجم هرم دلخواه، فرمول صحیح این است:

جایی که V- جلد؛

پایه S- مساحت پایه؛

اچ- ارتفاع هرم

برای یک هرم معمولی، فرمول های زیر صحیح است:

جایی که پ- محیط پایه؛

ساعت یک- ابهام

اچ- ارتفاع؛

اس پر

سمت S

پایه S- مساحت پایه؛

V- حجم یک هرم منظم.

هرم کوتاه شدهبه بخشی از هرم که بین پایه و صفحه برش موازی با پایه هرم محصور شده است (شکل 17). هرم ناقص منظم به بخشی از یک هرم منظم که بین پایه و صفحه برش موازی با قاعده هرم محصور شده است.

دلایلهرم کوتاه - چند ضلعی های مشابه. صورت های جانبی - ذوزنقه ها ارتفاع یک هرم کوتاه فاصله بین پایه های آن است. مورب هرم ناقص قطعه ای است که رئوس آن را که روی یک صورت قرار ندارند به هم متصل می کند. بخش مورب بخشی از یک هرم ناقص است که توسط صفحه ای از دو لبه جانبی عبور می کند که به یک وجه تعلق ندارند.

برای یک هرم کوتاه فرمول های زیر معتبر هستند:

(4)

جایی که اس 1 , اس 2 – نواحی بالا و پایه های پایین تر;

اس پر- مساحت کل؛

سمت S- سطح جانبی؛

اچ- ارتفاع؛

V- حجم یک هرم کوتاه

برای یک هرم کوتاه معمولی فرمول صحیح است:

جایی که پ 1 , پ 2 – محیط پایه ها

ساعت یک- شعار یک هرم منقطع منظم.

مثال 1.در یک هرم مثلثی منظم، زاویه دو وجهی در قاعده 60 درجه است. مماس زاویه میل لبه کناری بر صفحه قاعده را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 18).

هرم منظم است، به این معنی که در قاعده یک مثلث متساوی الاضلاع وجود دارد و تمام وجوه جانبی مثلث متساوی الساقین هستند. زاویه دو وجهی در قاعده، زاویه تمایل وجه جانبی هرم به صفحه قاعده است. زاویه خطی زاویه است آبین دو عمود: و غیره بالای هرم در مرکز مثلث پیش بینی شده است (مرکز دایره دایره و دایره محاط شده مثلث ABC). زاویه شیب لبه جانبی (به عنوان مثال S.B.) زاویه بین خود لبه و برآمدگی آن بر روی صفحه پایه است. برای دنده S.B.این زاویه زاویه خواهد بود SBD. برای پیدا کردن مماس باید پاها را بشناسید بنابراینو O.B.. طول قطعه را بگذارید BDبرابر با 3 آ. نقطه در بارهبخش خط BDبه قطعات تقسیم می شود: و از ما پیدا می کنیم بنابراین: از ما در می یابیم:

پاسخ:

مثال 2.حجم کوتاه شده صحیح را پیدا کنید هرم چهار گوشدر صورتی که قطرهای پایه های آن برابر با سانتی متر و سانتی متر و ارتفاع آن 4 سانتی متر باشد.

راه حل.برای یافتن حجم هرم ناقص از فرمول (4) استفاده می کنیم. برای پیدا کردن مساحت پایه ها، باید اضلاع مربع های پایه را با دانستن قطر آنها پیدا کنید. اضلاع پایه ها به ترتیب برابر با 2 سانتی متر و 8 سانتی متر است یعنی مساحت پایه ها و با جایگزینی تمام داده ها در فرمول، حجم هرم بریده شده را محاسبه می کنیم:

پاسخ: 112 سانتی متر 3.

مثال 3.مساحت وجه جانبی یک هرم منقطع مثلثی منتظم را که اضلاع قاعده های آن 10 سانتی متر و 4 سانتی متر و ارتفاع هرم 2 سانتی متر است را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 19).

وجه جانبی این هرم ذوزنقه ای متساوی الساقین است. برای محاسبه مساحت ذوزنقه باید پایه و ارتفاع آن را بدانید. پایه ها با توجه به شرایط داده شده است، فقط ارتفاع نامعلوم باقی مانده است. از کجا پیداش میکنیم آ 1 Eعمود بر یک نقطه آ 1 در صفحه پایه پایین، آ 1 D- عمود بر آ 1 در هر AC. آ 1 E= 2 سانتی متر، زیرا این ارتفاع هرم است. برای پیدا کردن DEبیایید یک نقاشی اضافی ایجاد کنیم که نمای بالایی را نشان می دهد (شکل 20). نقطه در باره- برآمدگی مراکز پایه های بالا و پایین. از آنجا که (نگاه کنید به شکل 20) و از سوی دیگر خوب– شعاع حک شده در دایره و OM- شعاع حک شده در یک دایره:

MK = DE.

با توجه به قضیه فیثاغورث از

ناحیه کناری صورت:

پاسخ:

مثال 4.در قاعده هرم یک ذوزنقه متساوی الساقین قرار دارد که پایه های آن قرار دارد آو ب (آ> ب). هر وجه جانبی زاویه ای برابر با صفحه قاعده هرم تشکیل می دهد j. مساحت کل هرم را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 21). مساحت کل هرم SABCDبرابر با مجموع مساحت و مساحت ذوزنقه است آ ب پ ت.

اجازه دهید از این جمله استفاده کنیم که اگر تمام وجوه هرم به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه راس به مرکز دایره محاط شده در قاعده کشیده می شود. نقطه در باره- طرح ریزی راس اسدر قاعده هرم مثلث SODبرآمدگی متعامد مثلث است CSDبه هواپیمای پایگاه با استفاده از قضیه مساحت طرح متعامد یک شکل مسطح، به دست می آوریم:

همینطور معنی داره بنابراین، مشکل به یافتن ناحیه ذوزنقه کاهش یافت آ ب پ ت. بیایید یک ذوزنقه بکشیم آ ب پ تبه طور جداگانه (شکل 22). نقطه در باره– مرکز دایره ای که در ذوزنقه حک شده است.

از آنجایی که یک دایره را می توان در ذوزنقه حک کرد، پس یا از قضیه فیثاغورث داریم

این آموزش ویدیویی به کاربران کمک می کند تا ایده ای از موضوع Pyramid داشته باشند. هرم درست در این درس با مفهوم هرم آشنا می شویم و آن را تعریف می کنیم. بیایید در نظر بگیریم که یک هرم منظم چیست و چه ویژگی هایی دارد. سپس قضیه سطح جانبی یک هرم منظم را اثبات می کنیم.

در این درس با مفهوم هرم آشنا می شویم و آن را تعریف می کنیم.

چند ضلعی را در نظر بگیرید A 1 A 2...A n، که در صفحه α و نقطه قرار دارد پ، که در صفحه α قرار ندارد (شکل 1). بیایید نقاط را به هم وصل کنیم پبا قله ها A 1، A 2، A 3, … A n. ما گرفتیم nمثلثها: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rو غیره

تعریف. چند وجهی RA 1 A 2 ...A n، ساخته شده از n-مربع A 1 A 2...A nو nمثلثها RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 نامیده می شود n-هرم زغال سنگ برنج. 1.

برنج. 1

یک هرم چهار گوش را در نظر بگیرید PABCD(شکل 2).

آر- بالای هرم

آ ب پ ت- پایه هرم.

RA- دنده کناری

AB- دنده پایه

از نقطه آربیایید عمود را رها کنیم RNبه هواپیمای پایه آ ب پ ت. عمود ترسیم شده ارتفاع هرم است.

برنج. 2

سطح کامل هرم از سطح جانبی یعنی مساحت تمام وجوه جانبی و مساحت قاعده تشکیل شده است:

S کامل = سمت S + S اصلی

هرم درست نامیده می شود اگر:

• پایه آن یک چند ضلعی منظم است.
• قسمتی که بالای هرم را به مرکز پایه متصل می کند ارتفاع آن است.

توضیح با استفاده از مثال یک هرم چهار گوش منتظم

یک هرم چهار گوش منظم را در نظر بگیرید PABCD(شکل 3).

آر- بالای هرم پایه هرم آ ب پ ت- چهارضلعی منتظم، یعنی مربع. نقطه در بارهنقطه تقاطع مورب ها مرکز مربع است. به معنای، ROارتفاع هرم است.

برنج. 3

توضیح: به درستی nدر یک مثلث، مرکز دایره محاطی و مرکز دایره بر هم منطبق است. این مرکز را مرکز چندضلعی می نامند. گاهی اوقات می گویند که راس به سمت مرکز پیش می رود.

ارتفاع وجه جانبی هرم منظمی که از راس آن کشیده شده است نامیده می شود حکمو تعیین شده است ساعت یک.

1. تمام لبه های جانبی هرم منظم برابر است.

2. وجه های جانبی مثلث متساوی الساقین هستند.

ما با استفاده از مثال یک هرم چهارگوش منظم، اثبات این ویژگی ها را ارائه خواهیم کرد.

داده شده: PABCD- هرم چهار گوش منظم،

آ ب پ ت- مربع،

RO- ارتفاع هرم

ثابت كردن:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP به شکل. 4.

برنج. 4

اثبات.

RO- ارتفاع هرم یعنی مستقیم ROعمود بر صفحه ABCو بنابراین مستقیم JSC، VO، SOو انجام دادندراز کشیده در آن پس مثلث ها ROA، ROV، ROS، ROD- مستطیل شکل.

یک مربع را در نظر بگیرید آ ب پ ت. از خصوصیات مربع چنین برمی آید که AO = VO = CO = انجام دادن.

سپس مثلث های قائم الزاویه ROA، ROV، ROS، RODپا RO- عمومی و پاها JSC، VO، SOو انجام دادنمساوی هستند، یعنی این مثلث ها از دو ضلع برابر هستند. از تساوی مثلث ها برابری پاره ها به دست می آید، RA = PB = RS = PD.نکته 1 ثابت شده است.

بخش ها ABو آفتابمساوی هستند زیرا اضلاع یک مربع هستند، RA = PB = RS. پس مثلث ها AVRو VSR -متساوی الساقین و از سه طرف برابر است.

به روشی مشابه آن مثلث ها را پیدا می کنیم ABP، VCP، CDP، DAPهمانطور که در بند 2 باید ثابت شود متساوی الساقین و مساوی هستند.

مساحت سطح جانبی هرم منظم برابر با نصف حاصلضرب محیط قاعده و آپوتم است:

برای اثبات این موضوع، بیایید یک هرم مثلثی منظم را انتخاب کنیم.

داده شده: RAVS- هرم مثلثی منظم.

AB = BC = AC.

RO- ارتفاع

ثابت كردن: . شکل را ببینید. 5.

برنج. 5

اثبات

RAVS- هرم مثلثی منظم. به این معنا که AB= AC = قبل از میلاد. اجازه دهید در باره- مرکز مثلث ABC، سپس ROارتفاع هرم است. در قاعده هرم یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارد ABC. توجه کنید که .

مثلثها RAV، RVS، RSA- مثلث متساوی الساقین مساوی (بر حسب ویژگی). U هرم مثلثیسه وجه جانبی: RAV، RVS، RSA. این بدان معنی است که مساحت سطح جانبی هرم عبارت است از:

سمت S = 3S RAW

قضیه ثابت شده است.

شعاع دایره ای که در قاعده یک هرم چهار گوش منظم حک شده است 3 متر و ارتفاع هرم 4 متر است. مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.

داده شده: هرم چهار گوش منظم آ ب پ ت,

آ ب پ ت- مربع،

r= 3 متر،

RO- ارتفاع هرم،

RO= 4 متر

پیدا کردن: سمت S. شکل را ببینید. 6.

برنج. 6

راه حل.

با توجه به قضیه اثبات شده، .

بیایید ابتدا سمت پایه را پیدا کنیم AB. می دانیم که شعاع دایره ای که در قاعده یک هرم چهار گوش منتظم محاط شده است 3 متر است.

سپس، م.

محیط مربع را پیدا کنید آ ب پ تبا ضلع 6 متر:

مثلثی را در نظر بگیرید BCD. اجازه دهید م- وسط پهلو دی سی. زیرا در باره- وسط BD، آن (متر).

مثلث DPC- متساوی الساقین م- وسط دی سی. به این معنا که، RM- میانه و در نتیجه ارتفاع در مثلث DPC. سپس RM- شعار هرم.

RO- ارتفاع هرم سپس، مستقیم ROعمود بر صفحه ABCو بنابراین مستقیم OM، دراز کشیده در آن بیایید ابهام را پیدا کنیم RMاز مثلث قائم الزاویه رام.

حالا ما می توانیم پیدا کنیم سطح جانبیاهرام:

پاسخ: 60 متر مربع

شعاع دایره ای که اطراف قاعده یک هرم مثلثی منتظم را احاطه کرده است برابر با متر است و سطح جانبی آن 18 متر مربع است. طول آپوتم را پیدا کنید.

داده شده: ABCP- هرم مثلثی منظم،

AB = BC = SA،

آر= متر،

ضلع S = 18 متر مربع.

پیدا کردن: . شکل را ببینید. 7.

برنج. 7

راه حل.

در یک مثلث قائم الزاویه ABCشعاع دایره محدود داده شده است. یک طرف پیدا کنیم ABاین مثلث با استفاده از قانون سینوس ها.

شناخت طرف مثلث منظم(m)، بیایید محیط آن را پیدا کنیم.

با قضیه روی سطح جانبی یک هرم منظم، که در آن ساعت یک- شعار هرم. سپس:

پاسخ: 4 متر

بنابراین، ما به این موضوع پرداختیم که یک هرم چیست، یک هرم منتظم چیست، و قضیه سطح جانبی یک هرم منظم را اثبات کردیم. در درس بعدی با هرم ناقص آشنا می شویم.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. هندسه. پایه های 10-11: کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی (پایه و سطوح پروفایل) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - چاپ پنجم، برگردان و اضافی - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. هندسه. پایه 10-11: کتاب درسی آموزش عمومی موسسات آموزشی/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. هندسه. پایه دهم: کتاب درسی موسسات آموزش عمومی با مطالعه عمیق و تخصصی ریاضی / E. V. Potoskuev، L. I. Zvalich. - ویرایش ششم، کلیشه. - M.: Bustard, 008. - 233 p.: ill.

1. پورتال اینترنتی "Yaklass" ()
2. پورتال اینترنتی "جشنواره ایده های آموزشی "اول سپتامبر" ()
3. پورتال اینترنتی "Slideshare.net" ()

مشق شب

1. آیا یک چندضلعی منتظم می تواند قاعده یک هرم نامنظم باشد؟
2. ثابت کنید که لبه های ناهمگون یک هرم منظم عمود هستند.
3. مقدار زاویه دو وجهی را در ضلع قاعده یک هرم چهار گوش منتظم در صورتی بیابید که اثنای هرم برابر با ضلع قاعده آن باشد.
4. RAVS- هرم مثلثی منظم. زاویه خطی زاویه دو وجهی را در قاعده هرم بسازید.

فرضیه:ما معتقدیم که کمال شکل هرم به دلیل قوانین ریاضی، در قالب آن تعبیه شده است.

هدف:پس از مطالعه هرم به عنوان یک جسم هندسی، کمال شکل آن را توضیح دهید.

وظایف:

1. یک تعریف ریاضی از هرم ارائه دهید.

2. هرم را به عنوان یک جسم هندسی مطالعه کنید.

3. درک کنید که مصریان چه دانش ریاضی را در اهرام خود گنجانده اند.

سوالات خصوصی:

1. هرم به عنوان یک جسم هندسی چیست؟

2. چگونه می توان شکل منحصر به فرد هرم را از دیدگاه ریاضی توضیح داد؟

3. چه چیزی شگفتی های هندسی هرم را توضیح می دهد؟

4. چه چیزی کمال شکل هرم را توضیح می دهد؟

تعریف هرم

هرم (از یونانی pyramis، gen. pyramidos) - چند وجهی که قاعده آن چند ضلعی است و وجوه باقیمانده مثلث هایی هستند که یک راس مشترک دارند (نقاشی). بر اساس تعداد گوشه های پایه، اهرام به سه گوش، چهار گوش و غیره تقسیم می شوند.

هرم - یک بنای تاریخی که شکل هندسی یک هرم دارد (گاهی اوقات پلکانی یا برجی شکل). اهرام نامی است که به مقبره های غول پیکر فراعنه مصر باستان در هزاره سوم تا دوم پیش از میلاد داده شده است. e.، و همچنین پایه های معبد باستانی آمریکایی (در مکزیک، گواتمالا، هندوراس، پرو)، مرتبط با فرقه های کیهانی.

ممکن است کلمه یونانی "هرم" از عبارت مصری per-em-us، یعنی از اصطلاحی به معنای ارتفاع هرم گرفته شده باشد. V. Struve مصر شناس برجسته روسی معتقد بود که "puram...j" یونانی از "p"-mr مصر باستان می آید.

از تاریخ. با مطالعه مطالب کتاب درسی "هندسه" توسط نویسندگان آتاناسیان. بوتوزوف و دیگران آموختیم که: به چندوجهی متشکل از یک n ضلعی A1A2A3 ... An و n مثلث PA1A2، PA2A3، ...، PAnA1 هرم می گویند. چند ضلعی A1A2A3...An قاعده هرم است و مثلث های PA1A2، PA2A3،...، PAnA1 وجه های جانبی هرم، P بالای هرم، قطعات PA1، PA2،...، PAn هستند. لبه های جانبی هستند.

با این حال، این تعریف از هرم همیشه وجود نداشت. به عنوان مثال، اقلیدس، ریاضیدان یونان باستان، نویسنده رساله های نظری در مورد ریاضیات که به ما رسیده است، هرم را به عنوان یک شکل جامد تعریف می کند که توسط صفحاتی که از یک صفحه به یک نقطه همگرا می شوند محدود شده است.

اما این تعریف قبلاً در دوران باستان مورد انتقاد قرار گرفت. بنابراین هرون تعریف زیر را از هرم ارائه کرد: "این شکلی است که توسط مثلث هایی محدود شده است که در یک نقطه همگرا می شوند و قاعده آن یک چند ضلعی است."

گروه ما با مقایسه این تعاریف به این نتیجه رسید که آنها فرمول روشنی از مفهوم "بنیاد" ندارند.

ما این تعاریف را بررسی کردیم و تعریف آدرین ماری لژاندر را یافتیم که در سال 1794 در اثر خود "عناصر هندسه" هرم را اینگونه تعریف می کند: "هرم شکل جامدی است که از مثلث هایی تشکیل شده است که در یک نقطه همگرا می شوند و به اضلاع مختلف ختم می شوند. یک پایه صاف.»

به نظر ما این است که آخرین تعریف ایده روشنی از هرم می دهد، زیرا آن است ما در موردکه پایه صاف است. تعریف دیگری از هرم در کتاب درسی قرن 19 آمده است: "هرم زاویه ای جامد است که با یک صفحه قطع شده است."

هرم به عنوان یک جسم هندسی.

که هرم چند ضلعی است که یکی از وجوه (پایه) آن چند ضلعی است و وجوه (اضلاع) باقیمانده مثلث هایی هستند که یک راس مشترک دارند (راس هرم).

عمود رسم شده از بالای هرم به صفحه قاعده نامیده می شود ارتفاعساعتاهرام.

علاوه بر هرم دلخواه، وجود دارد هرم صحیحکه در قاعده آن یک چندضلعی منتظم و هرم کوتاه شده

در شکل یک هرم PABCD وجود دارد، ABCD پایه آن، PO ارتفاع آن است.

سطح کل هرم مجموع مساحت تمام وجوه آن است.

Sfull = Sside + Smain،جایی که سمت– مجموع مساحت وجوه جانبی.

حجم هرم با فرمول پیدا می شود:

V=1/3Sbas. ساعت، جایی که Sbas. - مساحت پایه، ساعت- ارتفاع

محور هرم منظم خط مستقیمی است که ارتفاع آن را در بر می گیرد.
Apothem ST ارتفاع وجه جانبی یک هرم معمولی است.

مساحت وجه جانبی هرم منظم به صورت زیر بیان می شود: کنار. =1/2P ساعت، جایی که P محیط پایه است، ساعت- ارتفاع صورت جانبی (آپوتم یک هرم منظم). اگر هرم با صفحه A’B’C’D به موازات قاعده قطع شود، آنگاه:

1) دنده های جانبی و ارتفاع توسط این صفحه به قسمت های متناسب تقسیم می شود.

2) در مقطع یک چند ضلعی A’B’C’D به دست می آید، شبیه به پایه.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

پایه های یک هرم کوتاه- چند ضلعی های مشابه ABCD و A`B`C`D`، وجه های جانبی ذوزنقه هستند.

ارتفاعهرم کوتاه - فاصله بین پایه ها.

حجم کوتاه شدههرم با فرمول پیدا می شود:

V=1/3 ساعت(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> سطح جانبی یک هرم منقطع منظم به صورت زیر بیان می شود: ساید = ½ (P+P') ساعت، که در آن P و P محیط پایه ها هستند، ساعت- ارتفاع صورت جانبی (آپوتم یک پیرامی کوتاه شده منظم

بخش هایی از یک هرم.

بخش هایی از یک هرم توسط صفحاتی که از راس آن عبور می کنند مثلث هستند.

مقطعی که از دو لبه جانبی غیر مجاور هرم عبور می کند نامیده می شود بخش مورب

اگر مقطع از نقطه ای در لبه کناری و کنار قاعده عبور کند، ردپای آن تا صفحه قاعده هرم این سمت خواهد بود.

مقطعی که از نقطه ای قرار دارد که روی هرم قرار دارد و از یک قطعه معین در صفحه پایه عبور می کند، سپس ساخت و ساز باید به شرح زیر انجام شود:

· نقطه تلاقی صفحه یک صورت معین و اثر بخش هرم را بیابید و آن را تعیین کنید.

· ایجاد یک خط مستقیم که از یک نقطه معین و نقطه تقاطع حاصل می گذرد.

· این مراحل را برای چهره های بعدی تکرار کنید.

، که مربوط به نسبت پایه های یک مثلث قائم الزاویه 4:3 است. این نسبت پاها مطابق با مثلث قائم الزاویه معروف با اضلاع 3:4:5 است که به آن مثلث "کامل"، "مقدس" یا "مصری" می گویند. به گفته مورخان، مثلث "مصری" معنایی جادویی داده شد. پلوتارک نوشت که مصریان ماهیت جهان را با یک مثلث «مقدس» مقایسه کردند. آنها به طور نمادین پای عمودی را به شوهر، پایه را به زن و هیپوتونوس را به چیزی که از هر دو زاییده می شود تشبیه کردند.

برای مثلث 3:4:5، برابری درست است: 32 + 42 = 52، که بیانگر قضیه فیثاغورث است. آیا این قضیه نبود که کاهنان مصری می خواستند با برپا کردن یک هرم بر اساس مثلث 3:4:5 تداوم بخشند؟ یافتن مثال موفق تری برای توضیح قضیه فیثاغورث، که مدتها قبل از کشف آن توسط فیثاغورس برای مصریان شناخته شده بود، دشوار است.

بنابراین، خالقان درخشان اهرام مصربه دنبال این بودند که فرزندان دور را با عمق دانش خود شگفت زده کنند و با انتخاب "طلایی" به عنوان "ایده هندسی اصلی" برای هرم خئوپس به این امر دست یافتند. راست گوشهو برای هرم خفره - مثلث "مقدس" یا "مصری".

اغلب دانشمندان در تحقیقات خود از خواص اهرام با نسبت طلایی استفاده می کنند.

در ریاضیات فرهنگ لغت دایره المعارفیتعریف زیر از برش طلایی ارائه شده است - این یک تقسیم هارمونیک است، تقسیم در نسبت شدید و متوسط ​​- تقسیم قطعه AB به دو قسمت به گونه ای که قسمت بزرگتر آن AC میانگین تناسب بین کل قطعه AB و آن باشد. بخش کوچکتر NE.

تعیین جبری مقطع طلایی یک قطعه AB = aبه حل معادله a کاهش می یابد: x = x: (a – x)، که از آن x تقریبا برابر با 0.62 a است. نسبت x را می توان به صورت کسرهای 2/3، 3/5، 5/8، 8/13، 13/21...= 0.618 بیان کرد که در آن 2، 3، 5، 8، 13، 21 اعداد فیبوناچی هستند.

ساختار هندسی بخش طلایی قطعه AB به شرح زیر انجام می شود: در نقطه B، یک عمود بر AB بازسازی می شود، قطعه BE = 1/2 AB روی آن قرار می گیرد، A و E متصل می شوند، DE = BE کنار گذاشته می شود و در نهایت AC = AD، سپس برابری AB برآورده می شود: CB = 2:3.

نسبت طلاییاغلب در آثار هنری، معماری و در طبیعت استفاده می شود. نمونه های زندهمجسمه آپولو بلودر، پارتنون هستند. در ساخت پارتنون از نسبت ارتفاع بنا به طول آن استفاده شده و این نسبت 0.618 است. اشیاء اطراف ما نیز نمونه هایی از نسبت طلایی را ارائه می دهند، به عنوان مثال، صحافی بسیاری از کتاب ها نسبت عرض به طول نزدیک به 0.618 دارند. با توجه به چینش برگ ها روی ساقه مشترک گیاهان، می توانید متوجه شوید که بین هر دو جفت برگ، برگ سوم در نسبت طلایی (اسلایدها) قرار دارد. هر یک از ما "در دستان خود" نسبت طلایی را با خود حمل می کنیم - این نسبت فالانژهای انگشتان است.

به لطف کشف چندین پاپیروس ریاضی، مصر شناسان چیزهایی در مورد سیستم های محاسبه و اندازه گیری مصر باستان آموخته اند. تکالیف موجود در آنها توسط کاتبان حل می شد. یکی از معروف ترین آنها پاپیروس ریاضی Rhind است. با مطالعه این مشکلات، مصر شناسان یاد گرفتند که مصریان باستان چگونه با مقادیر مختلفی که هنگام محاسبه اندازه گیری های وزن، طول و حجم به وجود می آمد، که اغلب شامل کسری می شد، برخورد می کردند، و همچنین نحوه برخورد آنها با زاویه ها.

مصریان باستان از روشی برای محاسبه زاویه بر اساس نسبت ارتفاع به قاعده یک مثلث قائم الزاویه استفاده می کردند. آنها هر زاویه ای را به زبان یک گرادیان بیان می کردند. شیب شیب به صورت نسبت عددی کامل به نام "seced" بیان شد. ریچارد پیلینز در کتاب ریاضیات در عصر فراعنه توضیح می‌دهد: «صفحه هرم منظم، تمایل هر یک از چهار وجه مثلثی شکل به صفحه قاعده است که با nامین تعداد واحدهای افقی در هر واحد عمودی خیز اندازه‌گیری می‌شود. . بنابراین، این واحد اندازه‌گیری معادل با هم‌تانژانت مدرن زاویه شیب ما است. بنابراین، کلمه مصری "seced" مربوط به ما است کلمه مدرن"شیب"".

کلید عددی اهرام در نسبت ارتفاع آنها به قاعده نهفته است. از نظر عملی، این ساده ترین راه برای ساختن الگوهای لازم برای بررسی مداوم زاویه شیب صحیح در طول ساخت هرم است.

مصر شناسان خوشحال خواهند شد که ما را متقاعد کنند که هر فرعون آرزوی بیان فردیت خود را دارد، از این رو تفاوت در زوایای تمایل برای هر هرم وجود دارد. اما می تواند دلیل دیگری داشته باشد. شاید همگی می‌خواستند تداعی‌های نمادین مختلفی را که در نسبت‌های مختلف پنهان شده بودند، تجسم دهند. با این حال، زاویه هرم خفره (بر اساس مثلث (3:4:5) در سه مسئله ارائه شده توسط اهرام در پاپیروس ریاضی Rhind ظاهر می شود. بنابراین این نگرش برای مصریان باستان کاملاً شناخته شده بود.

برای انصاف با مصرشناسانی که ادعا می کنند مصریان باستان از مثلث 3:4:5 آگاه نبودند، طول هیپوتانوس 5 هرگز ذکر نشده است. ولی مشکلات ریاضیسوالات مربوط به اهرام همیشه بر اساس زاویه دوم - نسبت ارتفاع به پایه - تصمیم گیری می شود. از آنجایی که طول هیپوتنوس هرگز ذکر نشد، نتیجه گرفته شد که مصری ها طول ضلع سوم را هرگز محاسبه نکرده اند.

نسبت ارتفاع به پایه به کار رفته در اهرام جیزه بدون شک برای مصریان باستان شناخته شده بود. ممکن است که این روابط برای هر هرم خودسرانه انتخاب شده باشد. با این حال، این با اهمیتی که به نماد اعداد در همه انواع مصری داده می شود، تناقض دارد هنرهای تجسمی. به احتمال بسیار زیاد چنین روابطی قابل توجه بوده است زیرا عقاید مذهبی خاصی را بیان می کردند. به عبارت دیگر، کل مجموعه جیزه تابع یک طرح منسجم بود که برای بازتاب یک موضوع الهی خاص طراحی شده بود. این توضیح می دهد که چرا طراحان زوایای مختلفی را برای اهرام سه گانه انتخاب کردند.

در راز شکارچی، باوال و گیلبرت شواهد قانع کننده ای ارائه کردند که اهرام جیزه را با صورت فلکی شکارچی، به ویژه با ستاره های کمربند شکارچی مرتبط می کند. همین صورت فلکی در اسطوره ایسیس و اوزیریس وجود دارد و دلیلی برای مشاهده وجود دارد. هر هرم به عنوان نماینده یکی از سه خدای اصلی - اوزیریس، ایزیس و هوروس.

معجزات "هندسی".

در میان اهرام بزرگ مصر، جایگاه ویژه ای را به خود اختصاص داده است هرم بزرگ فرعون خئوپس (خوفو). قبل از شروع به تجزیه و تحلیل شکل و اندازه هرم خئوپس، باید به یاد داشته باشیم که مصریان از چه سیستم اقداماتی استفاده می کردند. مصریان سه واحد طول داشتند: یک "ذرع" (466 میلی متر) که برابر با هفت "کف" (66.5 میلی متر) بود که به نوبه خود برابر با چهار "انگشت" (16.6 میلی متر) بود.

اجازه دهید ابعاد هرم خئوپس را تجزیه و تحلیل کنیم (شکل 2)، به دنبال استدلال های ارائه شده در کتاب شگفت انگیز دانشمند اوکراینی نیکولای واسیوتینسکی " نسبت طلایی" (1990).

اکثر محققین موافقند که طول ضلع قاعده هرم، برای مثال، GFمساوی با L= 233.16 متر. این مقدار تقریباً دقیقاً با 500 "آرنج" مطابقت دارد. انطباق کامل با 500 "آرنج" در صورتی رخ می دهد که طول "آرنج" برابر با 0.4663 متر در نظر گرفته شود.

ارتفاع هرم ( اچ) توسط محققان از 146.6 تا 148.2 متر تخمین زده شده است و بسته به ارتفاع پذیرفته شده هرم، تمام روابط عناصر هندسی آن تغییر می کند. دلیل تفاوت در برآورد ارتفاع هرم چیست؟ واقعیت این است که، به طور دقیق، هرم Cheops کوتاه شده است. سکوی بالای آن امروزه تقریباً 10 × 10 متر است، اما یک قرن پیش 6 × 6 متر بود. بدیهی است که بالای هرم برچیده شده است و با هرم اصلی مطابقت ندارد.

هنگام ارزیابی ارتفاع هرم، باید این را در نظر گرفت عامل فیزیکی، به عنوان "پیش نویس" ساختار. پشت مدت زمان طولانیتحت تأثیر فشار عظیم (به 500 تن در هر متر مربع از سطح زیرین) ارتفاع هرم نسبت به ارتفاع اولیه کاهش یافت.

ارتفاع اولیه هرم چقدر بوده است؟ این ارتفاع را می توان با یافتن "ایده هندسی" اساسی هرم بازسازی کرد.

شکل 2.

در سال 1837، سرهنگ انگلیسی G. Wise زاویه تمایل چهره های هرم را اندازه گرفت: معلوم شد که برابر است. آ= 51°51". این مقدار هنوز توسط اکثر محققان امروزه تشخیص داده می شود. مقدار زاویه مشخص شده با مماس (tg) مطابقت دارد. آ)، برابر با 1.27306. این مقدار مربوط به نسبت ارتفاع هرم است ACتا نصف پایه اش C.B.(شکل 2) یعنی A.C. / C.B. = اچ / (L / 2) = 2اچ / L.

و در اینجا محققان با یک شگفتی بزرگ روبرو شدند!.png" width="25" height="24">= 1.272. مقایسه این مقدار با مقدار tg آ= 1.27306، می بینیم که این مقادیر بسیار نزدیک به یکدیگر هستند. اگر زاویه را بگیریم آ= 51 درجه 50"، یعنی فقط یک دقیقه قوس آن را کاهش دهید، سپس مقدار را کاهش دهید آبرابر 1.272 می شود، یعنی با مقدار منطبق می شود. لازم به ذکر است که در سال 1840 جی وایز اندازه گیری های خود را تکرار کرد و روشن کرد که مقدار زاویه آ=51 درجه 50 اینچ

این اندازه گیری ها محققان را به موارد زیر سوق داد فرضیه جالب: مثلث ACB هرم خئوپس بر اساس رابطه AC بود / C.B. = = 1,272!

حالا مثلث قائمه را در نظر بگیرید ABC، که در آن نسبت پاها A.C. / C.B.= (شکل 2). اگر حالا طول اضلاع مستطیل ABCتعیین توسط ایکس, y, z، و همچنین در نظر بگیرید که نسبت y/ایکس=، سپس مطابق با قضیه فیثاغورث، طول zرا می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

اگر قبول کنیم ایکس = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

شکل 3.مثلث قائم الزاویه "طلایی".

مثلث قائم الزاویه ای که در آن اضلاع به صورت همدیگر به هم مرتبط هستند تیمثلث قائم الزاویه :طلایی.

سپس، اگر این فرضیه را مبنا قرار دهیم که "ایده هندسی" اصلی هرم خئوپس یک مثلث قائم الزاویه "طلایی" است، از اینجا به راحتی می توانیم ارتفاع "طراحی" هرم خئوپس را محاسبه کنیم. برابر است با:

H = (L/2) ´ = 148.28 متر.

اکنون اجازه دهید برخی روابط دیگر را برای هرم خئوپس استخراج کنیم که از فرضیه "طلایی" ناشی می شود. به طور خاص، نسبت مساحت بیرونی هرم به مساحت قاعده آن را خواهیم یافت. برای این کار طول ساق را می گیریم C.B.در واحد، یعنی: C.B.= 1. اما سپس طول ضلع قاعده هرم GF= 2 و مساحت پایه EFGHبرابر خواهد بود سفغ = 4.

اکنون مساحت وجه جانبی هرم خئوپس را محاسبه می کنیم SD. چون ارتفاع ABمثلث AEFمساوی با تی، سپس مساحت صورت کناری برابر خواهد شد SD = تی. سپس مساحت کل هر چهار وجه جانبی هرم برابر با 4 خواهد بود تیو نسبت کل سطح بیرونی هرم به مساحت قاعده برابر با نسبت طلایی خواهد بود! همین است - رمز و راز هندسی اصلی هرم خئوپس!

گروه "معجزات هندسی" هرم خئوپس شامل ویژگی های واقعی و دور از ذهن روابط بین ابعاد مختلف در هرم است.

به عنوان یک قاعده، آنها در جستجوی "ثابت" خاص، به ویژه، عدد "pi" (عدد لودولفو)، برابر با 3.14159 ... به دست می آیند. زمینه لگاریتم های طبیعی"e" (عدد نپر)، برابر با 2.71828...; عدد "F"، عدد "قطع طلایی"، به عنوان مثال، برابر با 0.618 ... و غیره است.

برای مثال می توانید نام ببرید: 1) دارایی هرودوت: (قد) 2 = 0.5 هنر. پایه ای x Apothem; 2) اموال V. قیمت: ارتفاع: 0.5 هنر. پایه = ریشه مربع "F"; 3) خاصیت M. Eist: محیط قاعده: 2 ارتفاع = "Pi"; به تعبیری متفاوت - 2 قاشق غذاخوری. پایه ای : ارتفاع = «پی»; 4) خاصیت جی لبه: شعاع دایره محاطی: 0.5 هنر. پایه ای = "F"; 5) اموال K. Kleppisch: (Art. main.)2: 2 (Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2 (Art. main. x Apothem) : ((2 art. پایه X Apothem) + (هنر پایه)2). و غیره. شما می توانید با چنین ویژگی های زیادی روبرو شوید، به خصوص اگر دو هرم مجاور را به هم وصل کنید. مثلاً به عنوان «خواص آ. عارفیف» می توان به این نکته اشاره کرد که اختلاف حجم های هرم خئوپس و هرم خفره برابر با دو برابر حجم هرم میکرین است.

بسیاری از نکات جالب، به ویژه در مورد ساخت اهرام بر اساس «نسبت طلایی»، در کتاب‌های D. Hambidge «تقارن پویا در معماری» و M. Gick «زیبایی‌شناسی تناسب در طبیعت و هنر» آمده است. به یاد بیاوریم که "نسبت طلایی" تقسیم یک قطعه به نسبتی است که قسمت A چند برابر بزرگتر از قسمت B باشد، چند برابر A کوچکتر از کل بخش A + B باشد. نسبت A/B برابر با عدد "F" == 1.618 است. .. استفاده از "نسبت طلایی" نه تنها در هرم های فردی، بلکه در کل مجموعه اهرام جیزه نشان داده شده است.

با این حال، عجیب ترین چیز این است که یک و همان هرم Cheops به سادگی "نمی تواند" حاوی خواص شگفت انگیز زیادی باشد. با گرفتن یک ویژگی خاص، می توان آن را "مناسب" کرد، اما همه آنها به یکباره مناسب نیستند - منطبق نیستند، آنها با یکدیگر در تضاد هستند. بنابراین، اگر به عنوان مثال، هنگام بررسی همه خواص، ابتدا یک ضلع قاعده هرم (233 متر) را بگیریم، ارتفاع اهرام با خواص مختلف نیز متفاوت خواهد بود. به عبارت دیگر، یک "خانواده" خاص از اهرام وجود دارد که از نظر ظاهری شبیه خئوپس هستند، اما مطابقت دارند. خواص مختلف. توجه داشته باشید که هیچ چیز معجزه آسایی خاصی در ویژگی های "هندسی" وجود ندارد - بسیاری از آنها کاملاً به طور خودکار و از ویژگی های خود شکل ناشی می شوند. «معجزه» را فقط باید چیزی دانست که برای مصریان باستان آشکارا غیرممکن بود. این به ویژه شامل معجزات "کیهانی" است که در آن اندازه گیری های هرم خئوپس یا مجموعه هرم در جیزه با برخی از اندازه گیری های نجومی مقایسه می شود و اعداد "زوج" نشان داده می شوند: یک میلیون بار کمتر، یک میلیارد بار کمتر، و به زودی. بیایید برخی از روابط "کیهانی" را در نظر بگیریم.

یکی از جملات این است: "اگر ضلع قاعده هرم را بر طول دقیق سال تقسیم کنید، دقیقاً 10 میلیونم محور زمین به دست می آید." محاسبه کنید: 233 را بر 365 تقسیم کنید، 0.638 به دست می آید. شعاع زمین 6378 کیلومتر است.

عبارت دیگر در واقع برعکس مورد قبلی است. اف. نوتلینگ اشاره کرد که اگر از «ذراع مصری» که خودش اختراع کرده است استفاده کنیم، طرف هرم با «دقیق‌ترین مدت سال شمسی، بیان شده با نزدیک‌ترین میلیاردم روز» مطابقت دارد - 365.540.903.777 .

بیانیه پی اسمیت: «ارتفاع هرم دقیقاً یک میلیاردم فاصله زمین تا خورشید است». اگرچه ارتفاع گرفته شده معمولاً 146.6 متر است، اسمیت آن را 148.2 متر در نظر گرفت. طبق اندازه گیری های رادار مدرن، محور نیمه اصلی مدار زمین 149597.870 + 1.6 کیلومتر است. این میانگین فاصله زمین تا خورشید است، اما در حضیض 5000000 کیلومتر کمتر از افلیون است.

آخرین جمله جالب:

چگونه می‌توان توضیح داد که توده‌های اهرام خئوپس، خفره و میکرینوس مانند توده‌های سیارات زمین، زهره، مریخ به یکدیگر مرتبط هستند؟ بیایید محاسبه کنیم. جرم اهرام ثلاثه عبارتند از: خفر - 0.835; خئوپس - 1000; Mikerin - 0.0915. نسبت جرم سه سیاره: زهره - 0.815. زمین - 1000; مریخ - 0.108.

بنابراین، علیرغم شک، هماهنگی شناخته شده ساخت عبارات را متذکر می شویم: 1) ارتفاع هرم، مانند خطی که به فضا می رود، با فاصله زمین تا خورشید مطابقت دارد. 2) سمت قاعده هرم، نزدیکترین "به زیرلایه"، یعنی به زمین، مسئول شعاع زمین و گردش زمین است. 3) حجم هرم (بخوانید - جرم) مطابق با نسبت جرم سیارات نزدیک به زمین است. برای مثال در زبان زنبوری که توسط کارل فون فریش تحلیل شده است، می توان یک «رمز» مشابه را ردیابی کرد. اما فعلا از اظهار نظر در این خصوص خودداری می کنیم.

شکل هرم

شکل معروف چهار وجهی اهرام بلافاصله به وجود نیامد. سکاها به شکل تپه های خاکی - تپه ها دفن می کردند. مصری ها "تپه" های سنگی - اهرام را ساختند. این اولین بار پس از اتحاد مصر علیا و سفلی در قرن 28 قبل از میلاد اتفاق افتاد، زمانی که بنیانگذار سلسله سوم، فرعون جوسر (زوسر) با وظیفه تقویت وحدت کشور روبرو شد.

و در اینجا، به گفته مورخان، "مفهوم جدید خدایی" پادشاه نقش مهمی در تقویت قدرت مرکزی ایفا کرد. اگرچه تدفین های سلطنتی با شکوه و عظمت بیشتری متمایز بودند، اما در اصل با مقبره های اشراف دربار تفاوتی نداشتند؛ آنها همان سازه ها - مستاب ها بودند. بالای اتاقک با تابوت حاوی مومیایی، تپه ای مستطیلی از سنگ های کوچک ریخته شد، جایی که یک ساختمان کوچک ساخته شده از بلوک های سنگی بزرگ - "مستابه" (به عربی - "نیمکت") قرار داده شد. فرعون جوسر اولین هرم را در محل مستبای سلف خود سناخت برپا کرد. پلکانی بود و یک مرحله انتقالی قابل مشاهده از یک فرم معماری به شکل دیگر، از یک مستبا به یک هرم بود.

به این ترتیب، حکیم و معمار ایمهوتپ، که بعدها جادوگر شناخته شد و یونانیان او را با خدای اسکلپیوس یکی دانستند، فرعون را بزرگ کرد. انگار شش مستطب پشت سر هم برپا شده بود. علاوه بر این، اولین هرم مساحتی معادل 1125×115 متر را با ارتفاع تخمینی 66 متر (طبق استانداردهای مصر - 1000 "نخل") اشغال کرد. در ابتدا، معمار قصد داشت یک مستابا بسازد، اما نه مستطیلی، بلکه مربع در پلان. بعداً گسترش یافت، اما از آنجایی که پسوند کمتر شد، به نظر می رسید که دو مرحله وجود دارد.

این وضعیت معمار را راضی نکرد و بر روی سکوی بالای مستبای بزرگ تخت، ایمهوتپ سه مورد دیگر را قرار داد و به تدریج به سمت بالا کاهش یافت. مقبره زیر هرم قرار داشت.

چندین هرم پلکانی دیگر نیز شناخته شده است، اما بعدها سازندگان به ساخت هرم های چهار وجهی که برای ما آشناتر هستند، رفتند. اما چرا مثلثی یا مثلاً هشت ضلعی نیست؟ یک پاسخ غیرمستقیم با این واقعیت داده می شود که تقریباً همه اهرام کاملاً در امتداد چهار جهت اصلی قرار دارند و بنابراین دارای چهار ضلع هستند. علاوه بر این، هرم یک "خانه" بود، پوسته یک اتاق تدفین چهار گوش.

اما چه چیزی زاویه تمایل چهره ها را تعیین کرد؟ در کتاب "اصل تناسبات" یک فصل کامل به این موضوع اختصاص داده شده است: "چه چیزی می تواند زوایای تمایل اهرام را تعیین کند." به طور خاص، نشان داده شده است که "تصویر که اهرام بزرگ پادشاهی قدیم به سمت آن جذب می شوند، مثلثی با زاویه قائمه در راس است.

در فضا، یک هشت وجهی است: هرمی که در آن لبه ها و اضلاع قاعده برابر است، وجوه آن برابر است. مثلث های متساوی الاضلاعملاحظات خاصی در این مورد در کتاب های همبیج، گیک و دیگران ارائه شده است.

مزیت زاویه نیم هشت وجهی چیست؟ بر اساس توصیفات باستان شناسان و مورخان، برخی از اهرام به دلیل وزن خود فرو ریختند. آنچه مورد نیاز بود یک "زاویه دوام" بود، زاویه ای که از نظر انرژی قابل اعتمادترین بود. صرفاً از نظر تجربی، این زاویه را می توان از زاویه رأس در توده ای از ماسه خشک در حال فرو ریختن برداشت. اما برای به دست آوردن اطلاعات دقیق، باید از یک مدل استفاده کنید. با گرفتن چهار توپ محکم ثابت، باید توپ پنجم را روی آنها قرار دهید و زوایای شیب را اندازه بگیرید. با این حال، در اینجا می توانید اشتباه کنید، بنابراین یک محاسبه نظری به شما کمک می کند: شما باید مراکز توپ ها را با خطوط (از نظر ذهنی) متصل کنید. قاعده مربعی با ضلع برابر دو برابر شعاع خواهد بود. مربع فقط قاعده هرم خواهد بود که طول لبه های آن نیز برابر با دو برابر شعاع خواهد بود.

بنابراین، یک بسته بندی نزدیک از توپ ها مانند 1:4 به ما یک هشت وجهی منظم می دهد.

با این حال، چرا بسیاری از اهرام که به سمت شکل مشابهی جذب می شوند، با این وجود آن را حفظ نمی کنند؟ احتمالاً اهرام در حال پیر شدن هستند. بر خلاف ضرب المثل معروف:

"همه چیز در جهان از زمان می ترسد، و زمان از اهرام می ترسد"، ساختمان های اهرام باید پیر شوند، نه تنها فرآیندهای هوازدگی خارجی می توانند و باید در آنها رخ دهند، بلکه فرآیندهای "کوچک شدن" درونی، که از آن ناشی می شود. اهرام ممکن است پایین تر شوند. انقباض نیز امکان پذیر است زیرا، همانطور که توسط کار D. Davidovits آشکار شد، مصریان باستان از فناوری ساخت بلوک از تراشه های آهک، به عبارت دیگر، از "بتن" استفاده می کردند. دقیقاً فرآیندهای مشابهی است که می تواند دلیل تخریب هرم مدوم را که در 50 کیلومتری جنوب قاهره قرار دارد، توضیح دهد. 4600 سال قدمت دارد، ابعاد پایه 146*146 متر ارتفاع 118 متر است. وی. زاماروفسکی می‌پرسد: «چرا این‌قدر مخدوش است؟» «اشاره‌های معمول به تأثیرات مخرب زمان و «استفاده از سنگ برای ساختمان‌های دیگر» در اینجا مناسب نیست.

به هر حال، بیشتر بلوک‌ها و تخته‌های روبه‌روی آن تا به امروز، در ویرانه‌هایی در پای آن باقی مانده‌اند." همانطور که خواهیم دید، تعدادی از مقررات حتی ما را به این فکر می‌کند که هرم معروف خئوپس نیز "چروکیده" شده است. در هر صورت، در تمام تصاویر باستانی اهرام نوک تیز هستند ...

شکل اهرام را نیز می‌توان از طریق تقلید ایجاد کرد: برخی از نمونه‌های طبیعی، مثلاً «کمال معجزه‌آسا»، برخی کریستال‌ها به شکل هشت وجهی.

کریستال های مشابه می توانند الماس و کریستال های طلا باشند. تعداد زیادی ویژگی "همپوشانی" برای مفاهیمی مانند فرعون، خورشید، طلا، الماس معمول است. در همه جا - نجیب، درخشان (درخشان)، بزرگ، بی عیب و نقص، و غیره. شباهت ها تصادفی نیست.

همان طور که می دانیم آیین خورشید بخش مهمی از دین مصر باستان بود. یکی از آنها خاطرنشان می کند: «مهم نیست که نام بزرگترین اهرام را چگونه ترجمه کنیم کمک های مدرن- «فلک خفو» یا «فلک خفو» یعنی پادشاه خورشید است.» اگر خوفو در درخشش قدرت خود، خود را خورشید دوم تصور می کرد، پسرش جدف-را شد. اولین پادشاه مصری که خود را "پسر را"، یعنی پسر خورشید می نامید. خورشید تقریباً همه مردمان با "فلز خورشیدی" طلا نمادین شده است. "یک قرص بزرگ از طلای درخشان" - این همان چیزی است که مصریان آن را روشنایی روز ما می نامیدند. مصری ها طلا را کاملاً می شناختند، آنها اشکال بومی آن را می شناختند، جایی که کریستال های طلا می توانند به شکل هشت وجهی ظاهر شوند.

"سنگ خورشید" - الماس - نیز در اینجا به عنوان "نمونه ای از اشکال" جالب است. نام الماس دقیقاً از جهان عرب آمده است، "الماس" - سخت ترین، سخت ترین، تخریب ناپذیر. مصریان باستان الماس و خواص آن را به خوبی می شناختند. به گفته برخی از نویسندگان، آنها حتی از لوله های برنزی با برش الماس برای حفاری استفاده می کردند.

امروزه تامین کننده اصلی الماس آفریقای جنوبی است، اما غرب آفریقا نیز غنی از الماس است. قلمرو جمهوری مالی حتی "سرزمین الماس" نامیده می شود. در همین حال، در قلمرو مالی است که دوگون زندگی می کند، که حامیان فرضیه دیدار سرخپوشان امیدهای زیادی با آنها دارند (نگاه کنید به زیر). الماس نمی توانست دلیل تماس مصریان باستان با این منطقه باشد. با این حال، به هر شکلی، ممکن است که مصریان باستان دقیقاً با کپی برداری از هشت ضلعی های الماس و بلورهای طلا، فراعنه را «ناناپذیر» مانند الماس و «درخشنده» مانند طلا، پسران خورشید که فقط قابل مقایسه هستند، خدایی کردند. به شگفت انگیزترین خلاقیت های طبیعت

نتیجه:

پس از مطالعه هرم به عنوان یک جسم هندسی و آشنایی با عناصر و خواص آن، به صحت نظر در مورد زیبایی شکل هرم متقاعد شدیم.

در نتیجه تحقیقات ما به این نتیجه رسیدیم که مصری ها با جمع آوری ارزشمندترین دانش ریاضی، آن را در یک هرم مجسم کردند. بنابراین، هرم واقعاً کامل ترین آفریده طبیعت و انسان است.

کتابشناسی - فهرست کتب

"هندسه: کتاب درسی. برای پایه های 7 تا 9 آموزش عمومی مؤسسات و غیره - چاپ نهم - م.: آموزش و پرورش، 1999

تاریخچه ریاضیات در مدرسه، M: "Prosveshchenie"، 1982.

هندسه 10-11 کلاس، م: "روشنگری"، 2000

پیتر تامپکینز "رازهای هرم بزرگ خئوپس"، M: "Tsentropoligraf"، 2005.

منابع اینترنتی

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

در اینجا می توانید اطلاعات اولیه در مورد اهرام و فرمول ها و مفاهیم مرتبط را بیابید. همه آنها برای آمادگی برای آزمون دولتی یکپارچه با یک معلم خصوصی ریاضی مطالعه می شوند.

یک صفحه، یک چند ضلعی را در نظر بگیرید ، در آن خوابیده و یک نقطه S، نه در آن خوابیده است. بیایید S را به تمام رئوس چندضلعی وصل کنیم. چندوجهی به دست آمده هرم نامیده می شود. قطعات را دنده های جانبی می نامند. چند ضلعی قاعده نامیده می شود و نقطه S بالای هرم است. بسته به عدد n، هرم را مثلثی (n=3)، چهار گوش (n=4)، پنج ضلعی (n=5) و غیره می نامند. نام جایگزین برای هرم مثلثی شکل است چهار وجهی. ارتفاع هرم عمود نزول از بالای آن به صفحه قاعده است.

هرم اگر منظم نامیده می شود یک چند ضلعی منتظم و قاعده ارتفاع هرم (پایه عمود) مرکز آن است.

نظر استاد راهنما:
مفاهیم "هرم منظم" و "چهاروجهی منظم" را اشتباه نگیرید. در هرم منظم، لبه های کناری لزوماً با لبه های قاعده برابر نیستند، اما در چهار وجهی منظم، هر 6 یال با هم برابرند. این تعریف اوست. به راحتی می توان ثابت کرد که تساوی دلالت بر منطبق بودن مرکز P چند ضلعی دارد با ارتفاع پایه، بنابراین یک چهار وجهی منظم یک هرم منظم است.

آپوتم چیست؟
علامت هرم ارتفاع وجه جانبی آن است. اگر هرم منتظم باشد، پس تمام اثار آن برابر است. عکس این قضیه درست نیست.

یک معلم ریاضی در مورد اصطلاحات خود: 80٪ کار با اهرام از طریق دو نوع مثلث ساخته می شود:
1) حاوی آپوتم SK و ارتفاع SP
2) حاوی لبه جانبی SA و PA برآمدگی آن

برای ساده کردن ارجاعات به این مثلث ها، برای معلم ریاضی راحت تر است که اولین آنها را فراخوانی کند. بی روح، و دوم ساحلی. متأسفانه در هیچ یک از کتاب های درسی این اصطلاح را پیدا نمی کنید و معلم باید آن را یک طرفه معرفی کند.

فرمول حجم یک هرم:
1) ، مساحت قاعده هرم کجاست و ارتفاع هرم است
2) که شعاع کره محاطی است و مساحت کل سطح هرم است.
3) ، که در آن MN فاصله بین هر دو یال متقاطع است و مساحت متوازی الاضلاع است که توسط نقاط میانی چهار یال باقی مانده تشکیل شده است.

ویژگی قاعده ارتفاع هرم:

نقطه P (نگاه کنید به شکل) با مرکز دایره محاطی شده در قاعده هرم منطبق است اگر یکی از شرایط زیر وجود داشته باشد:
1) همه ابهام ها برابرند
2) تمام وجوه جانبی به یک اندازه به پایه متمایل هستند
3) همه آپوتم ها به یک اندازه به ارتفاع هرم تمایل دارند
4) ارتفاع هرم به یک اندازه به تمام وجوه جانبی متمایل است

نظر معلم ریاضی: لطفا توجه داشته باشید که همه نقاط یک چیز مشترک دارند اموال عمومی: به هر طریقی، صورت های جانبی همه جا درگیر هستند (آپوتم ها عناصر آنها هستند). بنابراین، معلم می‌تواند فرمول‌بندی کمتر دقیق‌تر، اما راحت‌تر برای یادگیری ارائه دهد: نقطه P با مرکز دایره محاط شده، پایه هرم منطبق است، اگر اطلاعات مساوی در مورد وجوه جانبی آن وجود داشته باشد. برای اثبات آن کافی است نشان دهیم که همه مثلث های آپوتم برابر هستند.

نقطه P منطبق بر مرکز دایره ای است که در نزدیکی قاعده هرم احاطه شده است اگر یکی از سه شرط درست باشد:
1) تمام لبه های جانبی برابر هستند
2) همه دنده های جانبی به یک اندازه به پایه متمایل هستند
3) همه دنده های جانبی به یک اندازه به ارتفاع متمایل می شوند