До гарата Поддръжканай-простият поток от заявки пристига с интензитет от 1 кола на 2 часа.В опашката в двора не може да има повече от 3 коли. Средно време за ремонт - 2 часа. Оценете работата на CMO и разработете препоръки за подобряване на услугата.

Решение:
Ние определяме вида на QS. Фразата „До станцията“ се отнася до едно сервизно устройство, т.е. за решаване използваме формули за едноканален QS.
Ние определяме вида на едноканален QS. Тъй като има споменаване на опашка, следователно избираме „Едноканален QS с ограничена дължина на опашката“.
Параметърът λ трябва да бъде изразен в часове. Интензивността на заявките е 1 автомобил на 2 часа или 0,5 на 1 час.

Сервизният дебит μ не е изрично посочен. Ето времето за обслужване t obs = 2 часа.

Изчисляваме сервизните показатели за едноканален QS:

1. Интензивност на потока на услугата:

1. Интензивност на натоварването.

ρ = λ t обс = 0,5 2 = 1

Интензивността на натоварването ρ=1 показва степента на съгласуваност на входните и изходните потоци от заявки на обслужващия канал и определя стабилността на системата опашка.

3. Вероятност каналът да е безплатен(процент на прекъсване на канала).


Следователно, 20% в рамките на един час каналът няма да бъде зает, времето на празен ход е равно на t pr = 12 минути.

1. Процент на отхвърлените заявления.

Заявленията не се отхвърлят. Всички постъпили заявления са обслужени, p otk = 0.

1. Относителна честотна лента.

Делът на обслужените заявки, пристигащи за единица време:
Q \u003d 1 - p otk \u003d 1 - 0 \u003d 1

Следователно 100% от получените заявления ще бъдат обслужени. Приемливото ниво на обслужване трябва да бъде над 90%.

Броят заявления, които са били отхвърлени в рамките на един час: λ p 1 = 0 приложения на час.
Номинална производителност на QS: 1 / 2 = 0,5 приложения на час.
Действителната производителност на CMO: 0,5 / 0,5 = 100% от номиналната производителност.

Заключение: станцията е натоварена на 100%. В този случай не се наблюдават повреди.

4. ТЕОРИЯ НА ОПАШКИТЕ

4.1. Класификация на системите за масово обслужване и техните показатели за ефективност

Системи, в които заявките за услуги възникват в произволни моменти и има устройства за обслужване на тези заявки, се наричат системи за масово обслужване(SMO).

QS може да се класифицира въз основа на организацията на обслужването, както следва:

Системите с повреди нямат опашки.

Системите за чакане имат опашки.

Заявка, получена в момента, когато всички канали на услугата са заети:

Оставя системата с повреди;

Става на опашка за обслужване в системи с чакане на неограничена опашка или на празно място с ограничена опашка;

Оставя системата с ограничена чакаща опашка, ако няма свободно място в опашката.

Като мярка за ефективността на икономическата QS се разглежда сумата от загубите на време:

Чакане на опашка;

Престой на обслужващи канали.

За всички видове QS се използват следните: показатели за ефективност :

- относителна производителност - това е средният дял на входящите приложения, обслужвани от системата;

- абсолютна честотна лента - това е средният брой приложения, обслужени от системата за единица време;

- вероятност за повреда - е вероятността заявката да остави системата без услуга;

- средно заети канали - за многоканален QS.

Индикаторите за ефективност на QS се изчисляват по формули от специални справочници (таблици). Първоначалните данни за такива изчисления са резултатите от QS моделирането.

4.2. Моделиране на система за масово обслужване:

основни параметри, графика на състоянието

С цялото разнообразие от QS, те имат Общи черти , които позволяват да се уеднакви тяхното моделиране да се намерят най-ефективните варианти за организиране на такива системи .

За моделиране на QS е необходимо да имате следните изходни данни:

Основни параметри;

Държавна графика.

Резултатите от QS моделирането са вероятностите на неговите състояния, чрез които се изразяват всички показатели за неговата ефективност.

Ключовите параметри за QS моделиране включват:

Характеристики на входящия поток заявки за услуги;

Характеристики на сервизния механизъм.

Обмисли х характеристики на потока на приложението .

Поток на приложението - последователност от заявки за услуга.

Интензивността на потока от приложения - среден брой приложения, постъпващи в QS за единица време.

Потоците на приложението са прости и различни от най-простите.

За най-простите потоци на приложение се използват QS модели.

най-простият , или Поасон се нарича поток, който е стационарен, единичени в него без последствия.

стационарност означава неизменност на интензивността на получаване на заявления във времето.

единичен потокът от заявления е в случай, че за кратък период от време вероятността за получаване на повече от едно приложение е близка до нула.

Без последействие се крие във факта, че броят на приложенията, получени от QS в един времеви интервал, не влияе на броя на приложенията, получени в друг времеви интервал.

Симулационните модели се използват за приложения, които са различни от най-простите.

Обмисли характеристики на сервизния механизъм .

Механизмът на обслужване се характеризира с:

- номер обслужващи канали ;

производителност на канала, или интензивност на услугата - среден брой приложения, обслужени от един канал за единица време;

Дисциплина на опашката (напр. обем на опашката , реда на избор от опашката до сервизния механизъм и др.).

Графика на състоянието описва функционирането на обслужващата система като преходи от едно състояние в друго под действието на потока от заявки и тяхното обслужване.

За да изградите QS графика на състоянието, трябва да:

Направете списък на всички възможни QS състояния;

Представете графично изброените състояния и покажете със стрелки възможните преходи между тях;

Претеглете показаните стрелки, т.е. задайте им числени стойности на интензитетите на прехода, определени от интензивността на потока от заявки и интензивността на тяхното обслужване.

4.3. Изчисляване на вероятности за състояние

системи за масово обслужване

QS графика на състоянието с схема на "смърт и раждане" представлява линейна верига, където всяко от средните състояния има пряка и обратна връзка с всяко от съседните състояния, а крайните състояния само с едно съседно:

Брой държави в колоната е с едно повече от общия брой канали за обслужване и места в опашката.

QS може да бъде във всяко от възможните си състояния, така че очакваната скорост на излизане от всяко състояние е равна на очакваната скорост на влизане на системата в това състояние. От тук системата от уравнения за определяне на вероятностите на състояния за най-простите потоци ще изглежда така:

къде е вероятността системата да е в състояние

- интензивността на прехода или средния брой преходи на системата за единица време от състояние в състояние.

Използвайки тази система от уравнения, както и уравнението

вероятността за всяко -то състояние може да се изчисли по следния начин общо правило :

вероятността за нулево състояние се изчислява като

и след това се взема дроб, в числителя на която е произведението на всички интензитети на потока по стрелките, водещи отляво надясно от състояние към състояние, а в знаменателя - произведението на всички интензитети по стрелките, преминаващи отдясно наляво от състоянието към състоянието и тази дроб се умножава по изчислената вероятност

Изводи по четвърти раздел

Системите за опашка имат един или повече канали за обслужване и могат да имат ограничена или неограничена опашка (системи за изчакване) от заявки за услуги или без опашка (системи за отхвърляне). Заявките за услуги се появяват в произволни моменти. Системите за масово обслужване се характеризират със следните показатели за ефективност: относителна пропускателна способност, абсолютна пропускателна способност, вероятност за повреда, среден брой заети канали.

Моделирането на системите за масово обслужване се извършва, за да се намерят най-ефективните варианти за тяхната организация и предполага следните първоначални данни за това: основни параметри, графика на състоянието. Такива данни включват следното: интензивността на потока от заявки, броя на каналите за обслужване, интензивността на обслужването и обема на опашката. Броят на състоянията в графиката е с едно повече от сбора на броя на каналите за обслужване и местата в опашката.

Изчисляването на вероятностите на състоянията на системата за масово обслужване със схемата "смърт и раждане" се извършва съгласно общото правило.

Въпроси за самопроверка

Какви системи се наричат ​​системи за масово обслужване?

Как се класифицират системите за масово обслужване според тяхната организация?

Кои системи за масово обслужване се наричат ​​системи с откази и кои се наричат ​​чакащи?

Какво се случва с заявка, която пристига в момент, когато всички канали на услугата са заети?

Какво се счита за мярка за ефективност икономическа системамасово обслужване?

Какви са показателите за ефективност на системата за масово обслужване?

Какво служи като изходна информация за изчисляване на показателите за ефективност на системите за масово обслужване?

Какви входни данни са необходими за моделиране на системи за масово обслужване?

Чрез какви резултати от моделирането на системата за масово обслужване се изразяват всички показатели за нейната ефективност?

Какви са основните параметри за моделиране на системи за масово обслужване?

Какво представляват потоците от заявки за услуги?

Какви са механизмите за обслужване?

Какво описва графиката на състоянието на система за масово обслужване

Какво е необходимо за изграждане на графика на състоянието на система за масово обслужване?

Каква е графиката на състоянието на система за опашка със схема за смърт и раждане?

Какъв е броят на състоянията в графиката на състоянието на системата за масово обслужване?

Каква е формата на системата от уравнения за определяне на вероятностите на състоянията на системата за масово обслужване?

Какво е общото правило за изчисляване на вероятността за всяко състояние на системата за масово обслужване?

Примери за решаване на проблеми

1. Изградете графика на състоянието на системата за масово обслужване и дайте основните зависимости на нейните показатели за ефективност.

а) n-канален QS с грешки (проблем Erlang)

Основни параметри:

канали,

интензивност на потока,

Интензивност на услугата.

Възможни състояния на системата:

Всички канали са заети (приложения в системата).

Графика на състоянието:

Относителна производителност,

Вероятност за повреда,

Среден брой заети канали.

б) n-канален QS с m-ограничена опашка

Възможни състояния на системата:

Всички канали са безплатни (нула заявки в системата);

Един канал е зает, останалите са свободни (една заявка в системата);

Два канала са заети, останалите са свободни (две приложения в системата);

...................................................................................

Всички канали са заети, две приложения са в опашката;

Всички канали са заети, приложенията са в опашката.

Графика на състоянието:

в) Едноканален QS с неограничена опашка

Възможни състояния на системата:

Всички канали са безплатни (нула заявки в системата);

Каналът е зает, нула заявки в опашката;

Каналът е зает, едно приложение е в опашката;

...................................................................................

Каналът е зает, приложението е в опашката;

....................................................................................

Графика на състоянието:

Показатели за ефективност на системата:

,

Средно време на престой на приложение в системата ,

,

,

Абсолютна честотна лента,

Относителна производителност.

G) n-канален QS с неограничена опашка

Възможни състояния на системата:

Всички канали са безплатни (нула заявки в системата);

Един канал е зает, останалите са свободни (една заявка в системата);

Два канала са заети, останалите са свободни (две приложения в системата);

...................................................................................

Всички канали са заети (заявки в системата), нула заявки в опашката;

Всички канали са заети, едно приложение е в опашката;

....................................................................................

Всички канали са заети, приложенията са в опашката;

....................................................................................

Графика на състоянието:

Показатели за ефективност на системата:

Среден брой заети канали,

Среден брой приложения в системата ,

Среден брой заявления в опашката ,

Средно време, което едно приложение прекарва в опашката .

2. Компютърният център разполага с три компютъра. Центърът получава средно по четири задачи на час за решаване. Средното време за решаване на един проблем е половин час. Компютърният център приема и поставя на опашката за решаване не повече от три задачи. Необходимо е да се оцени ефективността на центъра.

РЕШЕНИЕ. От условието става ясно, че имаме многоканален QS с ограничена опашка:

Брой канали;

Интензивността на потока от приложения (задача / час);

Време за обслужване за едно приложение (час/задача), интензивност на обслужване (задача/час);

Дължина на опашката.

Списък с възможни състояния:

Няма приложения, всички канали са безплатни;

Един канал е зает, два са свободни;

Два канала са заети, един е свободен;

Три канала са заети;

Три канала са заети, едно приложение е в опашката;

Три канала са заети, две приложения са в опашката;

Три канала са заети, три приложения са на опашка.

Графика на състоянието:

Изчислете вероятността на състоянието:

Индикатори за ефективност:

Вероятност за отказ (и трите компютъра са заети и три приложения са в опашката)

Относителна честотна лента

Абсолютна честотна лента

Среден брой заети компютри

3. (Проблем при използване на QS с повреди.) Има три контролера, работещи в QCD на магазина. Ако част пристигне в отдела за контрол на качеството, когато всички инспектори са заети с обслужването на предварително получени части, тогава тя остава непроверена. Средният брой части, пристигащи в отдела за контрол на качеството за един час, е 24, средното време, което един инспектор отделя за обслужване на една част, е 5 минути. Определете вероятността частта да премине отдела за контрол на качеството необслужена, колко натоварени са контролерите и колко от тях трябва да бъдат доставени, за да (* - зададена стойност).

РЕШЕНИЕ. По условието на задачата тогава .

1) Вероятност за прекъсване на каналите за обслужване:

,

3) Вероятност за обслужване:

4) Средният брой канали, заети от обслужването:

.

5) Делът на каналите, заети от услугата:

6) Абсолютна честотна лента:

В . Извършвайки подобни изчисления за , получаваме

Тъй като , след извършване на изчисления за , получаваме

ОТГОВОР. Има 21% шанс една част да мине необслужена през QCD, а инспекторите ще бъдат 53% заети с обслужването.

Необходими са поне пет контролера, за да се осигури ниво на обслужване над 95%.

4. (Проблем при използване на QS с неограничено изчакване.) Спестовната банка има три касиери (), които обслужват вложителите. Потокът от вложители влиза в спестовната банка с интензивност от хора на час. Средна продължителност на обслужване от контрольор-касиер на един вложител мин.

Определете характеристиките на спестовната банка като обект на QS.

РЕШЕНИЕ. Интензивност на обслужвания поток, интензивност на натоварване.

1) Вероятност за престой на контрольори-касиери през работния ден (виж предишната задача № 3):

.

2) Вероятността да се намерят всички контролери на касиери заети:

.

3) Вероятност за опашка:

.

4) Среден брой заявления в опашката:

.

5) Средно време за изчакване на приложение на опашката:

мин.

6) Средно време на престой на приложение в CMO:

7) Среден брой безплатни канали:

.

8) Степен на заетост на обслужващите канали:

.

9) Среден брой посетители в спестовната каса:

ОТГОВОР. Вероятността за престой на касиерите е 21% от работното време, вероятността посетител да е на опашка е 11,8%, средният брой посетители на опашката е 0,236 души, средното време за чакане на посетителите на услугата е 0,472 минути.

5. (Проблем при използване на QS с чакане и с ограничена дължина на опашката.) Магазинът получава ранни зеленчуци от крайградски оранжерии. Пристигат камиони с товари различно времес интензитета на машините на ден. Помощни помещения и оборудване за подготовка на зеленчуци за продажба ви позволяват да обработвате и съхранявате стоки, докарани от две превозни средства (). В магазина има трима опаковчици (), всеки от които може да обработва стоки от една машина средно за един час. работа на смение 12 часа.

Определете какъв трябва да бъде капацитетът на сервизните помещения, така че да е вероятността за пълна обработка на стоките.

РЕШЕНИЕ. Нека да определим интензивността на натоварване на опаковчиците:

Авто/ден

1) Намерете вероятността от престой на опаковчиците при липса на машини (приложения):

където 0!=1.0.

2) Вероятност за отказ на услуга:

.

3) Вероятност за обслужване:

защото , извършваме подобни изчисления за , получаваме), докато вероятността за пълна обработка на стоките ще бъде .

Задачи за самостоятелна работа

За всяка от следните ситуации определете:

а) към кой клас принадлежи QS обектът;

б) брой канали;

в) дължина на опашката;

г) интензивността на потока от заявления;

д) тарифа за обслужване на канал;

е) броя на всички състояния на QS обекта.

Във вашите отговори посочете стойностите за всеки елемент, като използвате следните съкращения и размери:

а) TOE - единичен канал с повреди; MO - многоканален с повреди; OJO - едноканално изчакване с ограничена опашка; OZHN - едноканален с чакане с неограничена опашка; MJO - многоканално чакане с ограничена опашка; MZHN - многоканално чакане с неограничена опашка;

б) =… (единици);

° С) =… (единици);

д) =xxx/xxx(единици/мин);

д) =xxx/xxx(единици/мин);

е) (единици).

1. Дежурният служител на градската администрация има пет телефона. Телефонни обажданияполучени с интензитет 90 заявления на час, средната продължителност на един разговор е 2 минути.

2. На паркинга до магазина има 3 места, всяко от които е запазено за една кола. Автомобилите пристигат на паркинга със скорост 20 автомобила на час. Продължителността на престоя на автомобилите на паркинга е средно 15 минути. Паркирането върху пътното платно не е разрешено.

3. ATS на предприятието осигурява не повече от 5 преговори едновременно. Средната продължителност на разговорите е 1 минута. Станцията получава средно по 10 повиквания в секунда.

4. Товарното речно пристанище приема средно по 6 сухотоварни кораба на ден. В пристанището има 3 крана, всеки от които обслужва 1 сухотоварен кораб средно за 8 ч. Крановете работят денонощно. Сухотоварните кораби, чакащи за обслужване, са на рейд.

5. В Бърза помощ на селото денонощно дежурят 3 диспечери, които обслужват 3 тел. Ако се получи заявление за извикване на лекар на пациент, когато диспечерите са заети, тогава абонатът се отказва. Потокът от приложения е 4 обаждания в минута. Процесът на кандидатстване отнема средно 1,5 минути.

6. Фризьорският салон разполага с 4 майстори. Входящият посетителски поток е с интензивност 5 човека на час. Средното време за обслужване на един клиент е 40 минути. Дължината на опашката за обслужване се счита за неограничена.

7. На бензиностанцията са монтирани 2 колонки за бензин. В близост до гарата има платформа за 2 коли за изчакване за зареждане. Средно на всеки 3 минути на гарата пристига по една кола. Средното време за обслужване на една машина е 2 минути.

8. На гарата трима занаятчии работят в цеха за битови услуги. Ако клиент влезе в работилницата, когато всички майстори са заети, тогава той напуска работилницата, без да чака услугата. Средният брой клиенти, посещаващи работилницата за 1 час, е 20. Средното време, прекарано от майстора за обслужване на един клиент, е 6 минути.

9. PBX на селото осигурява не повече от 5 разговора едновременно. Средното време за преговори е около 3 минути. Обажданията до станцията пристигат средно след 2 минути.

10. На бензиностанцията (бензиностанцията) има 3 колонки. Площадката на гарата, където колите чакат за зареждане, може да побере не повече от една кола, а ако е заета, тогава следващата кола, която пристига на гарата, не се нарежда на опашка, а преминава към съседната гара. Средно колите пристигат на гарата на всеки 2 минути. Процесът на зареждане с гориво на една машина продължава средно 2,5 минути.

11. В малък магазин купувачите се обслужват от двама продавачи. Средното време за обслужване на един клиент е 4 минути. Интензивността на потока от купувачи е 3 души в минута. Капацитетът на магазина е такъв, че на опашката не могат да стоят повече от 5 човека едновременно. Клиент, който идва в претъпкан магазин, когато вече има 5 човека на опашка, не чака отвън и си тръгва.

12. ЖП гарата на ваканционното селище се обслужва от билетна каса с две витрини. През почивните дни, когато населението използва активно железницата, интензивността на пътникопотока е 0,9 души/мин. Един касиер отделя средно 2 минути за обслужване на пътник.

За всяка от опциите за QS, посочени в опциите за QS, интензивността на потока от заявки е равна на и интензивността на обслужване по един канал. Задължително:

Направете списък с възможни състояния;

Изградете графика на състоянията по схемата "смърт и размножаване".

В отговора си посочете за всяка задача:

Брой състояния на системата;

Интензивността на прехода от последното състояние към предпоследното.

Вариант номер 1

1. едноканален QS с опашка от 1 заявка

2. 2-канален QS с повреди (Проблем с Erlang)

3. 31-канален QS с 1 ограничена опашка

5. 31-канален QS с неограничена опашка

Вариант номер 2

1. едноканален QS с опашка от 2 заявки

2. 3-канален QS с повреди (Проблем с Erlang)

3. 30-канален QS с 2 ограничена опашка

4. Едноканален QS с неограничена опашка

5. 30-канален QS с неограничена опашка

Вариант номер 3

1. едноканален QS с опашка от 3 заявки

2. 4-канален QS с повреди (Проблем с Erlang)

3. 29-канален QS с 3-лимитирана опашка

4. Едноканален QS с неограничена опашка

5. 29-канален QS с неограничена опашка

Вариант номер 4

1. едноканален QS с опашка от 4 заявки

2. 5-канален QS с повреди (Проблем с Erlang)

3. 28-канален QS с 4-лимитирана опашка

4. Едноканален QS с неограничена опашка

5. 28-канален QS с неограничена опашка

Вариант номер 5

1. едноканален QS с опашка от 5 заявки

2. 6-канален QS с повреди (Проблем с Erlang)

3. 27-канален QS с 5-ограничена опашка

4. Едноканален QS с неограничена опашка

5. 27-канален QS с неограничена опашка

Вариант номер 6

1. едноканален QS с опашка от 6 заявки

2. 7-канален QS с повреди (Проблем с Erlang)

3. 26-канален QS с 6-лимитирана опашка

4. Едноканален QS с неограничена опашка

5. 26-канален QS с неограничена опашка

Вариант номер 7

1. едноканален QS с опашка от 7 заявки

2. 8-канален QS с повреди (Проблем с Erlang)

3. 25-канален QS със 7-ограничена опашка

4. Едноканален QS с неограничена опашка

5. 25-канален QS с неограничена опашка

Вариант номер 8

1. едноканален QS с опашка от 8 заявки

2. 9-канален QS с повреди (Проблем с Erlang)

3. 24-канален QS с 8 ограничена опашка

4. Едноканален QS с неограничена опашка

5. 24-канален QS с неограничена опашка

Опция № 9

1. едноканален QS с опашка от 9 заявки

2. 10-канален QS с повреди (Проблем с Erlang)

3. 23-канален QS с 9-ограничена опашка

4. Едноканален QS с неограничена опашка

5. 23-канален QS с неограничена опашка

Опция № 10

1. едноканален QS с опашка от 10 заявки

2. 11-канален QS с повреди (Проблем с Erlang)

3. 22-канален QS с 10 ограничена опашка

4. Едноканален QS с неограничена опашка

5. 22-канален QS с неограничена опашка

Едноканална система за масово обслужване с повреди.

Да приемем, че QS се състои от един обслужващ канал и на входа му пристига поток на Поасон от заявки с интензитет х,т.е. непрекъсната случайна променлива T - времето между съседни заявки се разпределя по експоненциалния закон, времето за обслужване за всяка заявка има същото разпределение с параметър p. Настроики хи p се наричат ​​съответно интензивност на потока от заявки и интензивност на потока услуги.

Системата за масово обслужване може да бъде в едно от двете състояния: s 0 - каналът е свободен (неактивен) или s, - каналът е зает. От състояние s 0 до състояние s системата се прехвърля от потока от входящи заявки, а от състояние s до състояние s 0 - от потока на услугата. Плътности на вероятността на преходи от състояние s 0 към състояние с(и обратно са съответно равни хи r.

Графиката на състоянието на QS е показана на фиг. 1.5.

Ориз.

съответно в състояние s 0 или s t. Очевидно условието за нормализиране p 0 (t) + Pi (t) = 1 е валидно.

Като се има предвид, че произволният процес, протичащ в QS, е марковски, вероятностите p 0 (t) и pj(t) могат да бъдат определени от системата от уравнения на Колмогоров:

Заместването на условието за нормализиране в тази система води до обичайното диференциално уравнениепо отношение на p 0 (t):

Ако приемем условието, че в началния момент от време при t = 0 каналът е свободен, т.е. p 0 (0) = 1 и pj(0) = 0, можем да получим решението на уравнение (1.20) в следната форма:

Използвайки условието за нормализиране, може също да се установи израз за определяне на pj(t):

В ограничителния стационарен режим (при t -» °°) системата алгебрични уравненияза вероятностите на състоянието има формата:

Като вземем предвид условието за нормализиране, определяме граничните вероятности на състоянията

Нека разгледаме основните показатели за ефективност на едноканален QS с повреди.

Тъй като вероятността за обслужване на входящи заявки в такава система е p 0 , а относителната производителност Q е равна на съотношението на средния брой обслужени заявки към средния брой входящи заявки за единица време, тогава Q = p 0 , т.е. за едноканален QS с повреди

Абсолютната производителност на QS е средният брой приложения, обслужени за единица време, или интензитетът на изходящия поток:

Вероятността за повреда в QS възниква, когато каналът е зает, това е вероятността P!

Средното време за обслужване на заявка е реципрочното на p:

По същия начин можете да определите средното време на празен ход на канала:

Средното време на престой на едно приложение в системата се изчислява по формулата:

Пример 1.4.Телефонната линия на клетъчния оператор получава най-простия поток от обаждания с интензивност х= 1,5 приложения в минута. Пропускателна способност на линията p = 0,4 разговора в минута. Повикване, което идва на линията, докато е заето, не се обслужва. Определете абсолютната пропускателна способност на линията, средното време за обслужване на едно повикване, вероятността от откази на услугата, както и средното време на престой на приложението в системата.

Решение. 1. Съгласно формули (1.27) - (1.31), след извършване на необходимите изчисления, получаваме: A = 0,32 разговора / мин; p out = 0.79; t o6cjI = 2.5 минути;

• 1 система = °> 52 MIN -
• 2. Изчислените данни сочат, че при наличие на такъв телефонен номер CMO няма да се справи добре с потока от приложения.

Многоканален QS с повреди.

Входът на система с n канала получава най-простия поток от заявки с интензитет х,потокът от услуги по всеки канал също е най-простият с интензитет p.

Номерираме състоянията на системата според броя на заетите канали (всеки канал в системата е свободен или обслужва само една заявка).

Системата има следните състояния: където s k -

състоянието на системата, когато в нея има k заявки, т.е. k канала са заети.

Графиката на състоянието на такава система съответства на процеса на смърт и размножаване и е показана на фиг. 1.6.

Ориз. 1.6.

Потокът от заявки последователно прехвърля системата от всяко ляво състояние към съседното дясно състояние със същата интензивност да се.Интензивността на потока услуги, който прехвърля системата от всяко дясно състояние в ляво състояние, постоянно се променя в зависимост от състоянието. Да разгледаме като пример QS в състояние s 2, когато два канала са заети. Системата може да премине в състояние s t, когато услугата на втория или първия канал приключи, съответно общият интензитет на услугата ще бъде равен на 2р.

Използвайки формула (1.18) за процеса на смърт и размножаване, получаваме следния израз за граничната вероятност на състоянието p 0

Въвеждаме обозначение, което се нарича намалена интензивност на потока от заявки (интензивност на натоварването на каналите). Тази стойност е средният брой заявки, пристигащи по време на средното време за обслужване на една заявка. Тогава можем да получим следната формула:

Използвайки израз (1.19), имаме:

Горните формули (1.34) в техническата литература се наричат ​​формули на Ерланг (датски инженер, математик - един от основателите на теорията на масовото обслужване).

Нека напишем аналитични изрази за оценка на основните показатели за ефективност на разглежданата QS. Въз основа на принципа на действие на такива Провал на CMOв услуга на приложение възниква, когато всички канали са заети и системата е в състояние s n, т.е. вероятността за повреда на QS

Тъй като обслужващото събитие на заявката и събитието на отказ за обслужване са противоположни, вероятността за обслужване на заявката (вероятността поне един канал да е свободен) ще бъде

Относителната пропускателна способност на QS се определя като вероятността за нейното обслужване

Абсолютната пропускателна способност на QS (това е и интензивността на потока от обслужвани заявки):

За многоканалните QS важен показател за тяхната производителност е средният брой заети канали k ( очаквана стойностброй заети канали)

Като се има предвид, че абсолютната производителност на система А не е нищо повече от интензитета на потока от заявки, обслужвани от системата за единица време, и всеки зает канал обслужва средно p заявки за единица време, средният брой на заетите канали може да бъде определя се по формулата:

Пример 1.5.Компютърният център на електроразпределителното дружество е оборудван с три компютъра, които приемат поръчки за извършване на изчислителна работа. Ако и трите компютъра работят едновременно, новопостъпилата поръчка не се приема. Средното време за работа с една поръчка е 2,5 ч. Интензивността на потока заявки е 0,2 ч -1 . Определяне и анализиране на ограничаващите вероятности на състояния и показатели за ефективност на компютърния център.

Решение. 1. Дефинирайте параметрите на QS: n = 2; х= 0.2 h-1;

дебит на услугата

; интензивност на натоварване на компютъра p = 0,2/0,4 = 0,5.

2. Намерете вероятностите за състояния: вероятността да няма приложения в системата:

вероятности на други състояния:

Вероятността заявлението да бъде отхвърлено е:

Така при стационарен режим на работа на компютърния център средно в 61% от времето няма нито едно приложение, в 30% от времето има едно приложение (един компютър е зает), в 8% от времето времето има две приложения (два компютъра са заети), а в 1% - три приложения (три компютъра са заети). Вероятността за повреда, когато и трите компютъра са заети - p otk = 0,01.

3. Определете показателите за ефективност на центъра за данни: относителна производителност:

т.е. от всеки сто приложения компютърният център обслужва 99;

абсолютна производителност на компютърния център:

т.е. средно на час се обслужват 0,2 приложения; среден брой заети компютри:

Проучването за осъществимост на получените данни трябва да се основава на сравнение на приходите от изпълнение на заявки със загуби от престой на скъпи компютри. Както можете да видите, в този случай има висока производителност на компютърния център, но значителен престой на каналите за обслужване. Необходимо е компромисно решение.

QS с повреди (едноканални и многоканални)

Най-простият едноканален модел с вероятностен входен поток и процедура за обслужване е модел, който "може да се характеризира с експоненциално разпределение на продължителността на интервалите между пристигащите искове и разпределението на продължителността на услугата." В този случай плътността на разпределението на продължителността на интервалите между постъпленията на изискванията има формата:

f 1 (t) \u003d l * e (-l * t), (1)

където l е интензитетът на заявките, влизащи в системата (средният брой заявки, влизащи в системата за единица време). Плътност на разпространение на продължителността на услугата:

f 2 (t)=µ*e -µ*t, µ=1/t rev, (2)

където µ е интензивността на обслужване, t около е средното време за обслужване на един клиент. Относителната производителност на обслужваните заявки спрямо всички входящи заявки се изчислява по формулата:

Тази стойност е равна на вероятността обслужващият канал да е свободен. Абсолютна производителност (A) -- средният брой приложения, които системата за опашка може да обслужи за единица време:

Тази стойност на P може да се тълкува като среден дял необслужени заявки.

Пример. Нека едноканален QS с повреди представлява една ежедневна сервизна станция за автомивка. Приложението - кола, пристигнала в момент, когато постът е зает - е отказан сервиз. Интензитетът на потока автомобили l \u003d 1,0 (кола на час). Средната продължителност на услугата t около =1,8 часа. Необходимо е да се определят граничните стойности в стационарно състояние: относителна пропускателна способност q;

• - абсолютна честотна лента А;
• - вероятност за повреда R.

Нека определим интензивността на потока услуги, използвайки формула 2: Изчисляваме относителната пропускателна способност: q = Стойността на q означава, че в стационарно състояние системата ще обслужва приблизително 35% от колите, пристигащи на поста. Абсолютната производителност се определя по формулата: A \u003d lhq \u003d 1h0.356 \u003d 0.356. Това предполага, че системата е в състояние да извършва средно 0,356 поддръжка на автомобила на час. Вероятност за повреда: P otk =1-q=1-0.356=0.644. Това означава, че на около 65% от автомобилите, пристигащи на SW поста, ще бъде отказано обслужване. Нека определим номиналната пропускателна способност на тази система A nom: A nom = (коли на час).

В по-голямата част от случаите обаче системата за опашка е многоканална, т.е. няколко заявки могат да се обслужват паралелно. QS процесът, описан от този модел, се характеризира с интензитета на входния поток l, докато не повече от n клиенти могат да бъдат обслужени паралелно. Средното време за обслужване на една заявка е 1/м. „Начинът на работа на обслужващия канал не влияе на режима на работа на другите обслужващи канали на системата, а продължителността на обслужващата процедура за всеки от каналите е случайна величина, предмет на експоненциалния закон за разпределение. Крайната цел на използването на паралелно свързани канали за обслужване е да се увеличи скоростта на обслужване на заявките чрез обслужване на n клиенти едновременно. Решението за такава система е:

Формулите за изчисляване на вероятностите се наричат ​​формули на Ерланг. Нека определим вероятностните характеристики на работата на многоканален QS с откази в стационарен режим. Вероятността за повреда P ref е равна на:

P отворен \u003d P n \u003d * P 0. (7)

Заявлението се отхвърля, ако пристигне в момент, когато всички канали са заети. Стойността на P otk характеризира пълнотата на обслужване на входящия поток; вероятността приложението да бъде прието за обслужване (това е и относителната производителност на системата) допълва Р otk до единица:

Абсолютна честотна лента

Средният брой канали, заети от услугата (), е следният:

Стойността характеризира степента на натоварване на системата за масово обслужване. Пример. Нека n-каналната QS е изчислителен център с три (n=3) взаимозаменяеми компютъра за решаване на постъпващи задачи. Потокът от задачи, пристигащи в CC, е с интензивност n=1 задача на час. Средната продължителност на услугата t около =1,8 часа.

Необходимо е да се изчислят стойностите:

• - вероятности за броя на заетите CC канали;
• - вероятността от отказ за обслужване на приложението;
• - относителен капацитет на ЦК;
• - абсолютен капацитет на КК;
• - среден брой заети персонални компютри в ЦК.

Нека дефинираме параметъра на потока на услугата m:

Намалена интензивност на потока от приложения:

Намираме граничните вероятности на състоянията, използвайки формулите на Erlang:

Вероятността за отказ за обслужване на приложението:

Относителен капацитет на VC:

Абсолютна производителност на CC:

Среден брой заети канали - компютър:

Така при установения режим на работа на QS средно 1,5 компютъра от три ще бъдат заети - останалите един и половина ще бъдат неактивни. Капацитетът на компютърния център за дадени l и m може да се увеличи само чрез увеличаване на броя на персоналните компютри.

където λ е интензивността на постъпване на заявления в QS.

Пример.

Изчислете показателите за обслужване за едноканален QS, в който заявките пристигат с интензивност λ=1,2 приложения на час, време за обслужване t obs = 2,5 часа. Изчисляваме сервизните показатели за едноканален QS:

Интензивност на натоварването.

ρ = λ t обс = 1,2 2,5 = 3

Интензитетът на натоварване ρ=3 показва степента на съгласуваност между входните и изходните потоци на заявките на обслужващия канал и определя стабилността на системата за масово обслужване.

t pr \u003d 15 мин.

Процент на отхвърлените заявления. p 1 \u003d 1 - p 0 \u003d 1 - 0,25 \u003d 0,75

Това означава, че 75% от постъпилите заявления не се приемат за обслужване.

Делът на обслужените заявки, пристигащи за единица време:

Абсолютна честотна лента.

A = Q λ = 0,25 1,2 = 0,3 приложения/мин.

Средно време на престой на QS.

t pr \u003d p otk t obs \u003d 0,75 2,5 \u003d 1,88 мин.

Среден брой обслужени заявки.

L obs = ρ Q = 3 0,25 = 0,75 единици

Броят заявления, които са били отхвърлени в рамките на минути: λ p 1 = 0,9 приложения на минута. Номинална производителност на QS: 1 / 2,5 = 0,4 приложения в минута. Действителната производителност на CMO: 0,3 / 0,4 = 75% от номиналната производителност.

Абсолютна честотна лента cm. Пример за решение

Сервизът получава най-простия поток от заявки с интензивност от 1 автомобил на 2 часа.В опашката в двора не може да има повече от 3 автомобила. Средно време за ремонт - 2 часа. Оценете работата на CMO и разработете препоръки за подобряване на услугата.

Решение:Ние определяме вида на QS. Фразата „До станцията“ се отнася до едно сервизно устройство, т.е. за решаване използваме формули за едноканален QS.Ние определяме вида на едноканален QS. Тъй като има споменаване на опашка, следователно избираме „Едноканален QS с ограничена дължина на опашката“. Параметърът λ трябва да бъде изразен в часове. Интензивността на заявките е 1 автомобил на 2 часа или 0,5 на 1 час.

Сервизният дебит μ не е изрично посочен. Ето времето за обслужване t obs = 2 часа.

Изчисляваме сервизните показатели за едноканален QS:

Интензивност на потока на услугата:

Интензивност на натоварването.

ρ = λ t обс = 0,5 2 = 1

Интензивността на натоварването ρ=1 показва степента на съгласуваност на входните и изходните потоци от заявки на обслужващия канал и определя стабилността на системата за масово обслужване.

Заявленията не се отхвърлят. Всички постъпили заявления са обслужени, p otk = 0.

Относителна честотна лента.

Делът на обслужените заявки, пристигащи за единица време: Q = 1 - p out = 1 - 0 = 1

Следователно 100% от получените заявления ще бъдат обслужени. Приемливото ниво на обслужване трябва да бъде над 90%.

Броят заявления, които са били отхвърлени в рамките на един час: λ p 1 = 0 приложения на час. Номинална производителност на QS: 1 / 2 = 0,5 приложения на час. Действителната производителност на CMO: 0,5 / 0,5 = 100% от номиналната производителност.

Заключение: станцията е натоварена на 100%. В този случай не се наблюдават повреди.