Доказателство чрез индукционни примери. Принцип на математическата индукция

Истинското знание по всяко време се основаваше на установяване на модел и доказване на неговата истинност при определени обстоятелства. За такъв дълъг период на съществуване на логическото разсъждение бяха дадени формулировките на правилата и Аристотел дори състави списък на „правилните разсъждения“. Исторически е обичайно всички изводи да се разделят на два вида - от конкретни до множествено число (индукция) и обратно (дедукция). Трябва да се отбележи, че видовете доказателства от частни към общи и от общи към частни съществуват само във взаимовръзка и не могат да бъдат взаимозаменяеми.

Индукция в математиката

Терминът "индукция" (индукция) има латински корени и буквално се превежда като "насочване". При внимателно проучване може да се разграничи структурата на думата, а именно латинския префикс - in- (означава насочено действие навътре или вътре) и -duction - въвеждане. Заслужава да се отбележи, че има два вида - пълна и непълна индукция. Пълна формахарактеризират заключенията, направени въз основа на изучаването на всички предмети от определен клас.

Непълни - заключения, приложени към всички предмети от класа, но направени въз основа на изучаването само на някои единици.

Пълната математическа индукция е заключение, основано на общо заключение за целия клас от всякакви обекти, които са функционално свързани чрез отношения на естествената редица от числа, основано на познаването на тази функционална връзка. В този случай процесът на доказване протича на три етапа:

• първият доказва правилността на твърдението математическа индукция. Пример: f = 1, индукция;
• следващият етап се основава на предположението, че позицията е валидна за всички естествени числа. Тоест, f=h, това е индуктивното предположение;
• на третия етап се доказва валидността на позицията за числото f=h+1 въз основа на правилността на позицията на предходния параграф - това е индукционен преход или стъпка на математическа индукция. Пример е т. нар. ако падне първата кост в редицата (основа), тогава падат всички кости в редицата (преход).

И на шега, и на сериозно

За по-лесно възприемане примерите за решения по метода на математическата индукция са денонсирани под формата на шегови задачи. Това е задачата за учтива опашка:

• Правилата за поведение забраняват на мъжа да заема ред пред жена (в такава ситуация тя е пусната отпред). Въз основа на това твърдение, ако последният в редицата е мъж, то всички останали са мъже.

Ярък пример за метода на математическата индукция е проблемът "Безразмерен полет":

• Изисква се да се докаже, че в микробуса се побират произволен брой хора. Вярно е, че един човек може да се побере в транспорта без затруднения (база). Но колкото и да е пълен микробусът, в него винаги ще се побере 1 пътник (индукционно стъпало).

познати кръгове

Примери за решаване на задачи и уравнения чрез математическа индукция са доста често срещани. Като илюстрация на този подход можем да разгледаме следния проблем.

Състояние: h кръгове са поставени върху равнината. Изисква се да се докаже, че при всяко разположение на фигурите, образуваната от тях карта може да бъде правилно оцветена с два цвята.

Решение: за h=1 истинността на твърдението е очевидна, така че доказателството ще бъде построено за броя на кръговете h+1.

Да приемем, че твърдението е вярно за всяка карта и на равнината са дадени h + 1 окръжности. Като премахнете един от кръговете от общата сума, можете да получите карта, правилно оцветена с два цвята (черен и бял).

Когато възстановявате изтрит кръг, цветът на всяка област се променя на противоположния (в този случай вътре в кръга). Получава се карта, правилно оцветена в два цвята, което трябваше да се докаже.

Примери с естествени числа

Приложението на метода на математическата индукция е ясно показано по-долу.

Примерни решения:

Докажете, че за всяко h равенството ще бъде правилно:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. Нека h=1, тогава:

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

От това следва, че за h=1 твърдението е вярно.

2. Ако приемем, че h=d, се получава следното уравнение:

R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. Ако приемем, че h=d+1, се оказва:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Така валидността на равенството за h=d+1 е доказана, така че твърдението е вярно за всяко естествено число, което е показано в примера за решение чрез математическа индукция.

Задача

Състояние: изисква се доказателство, че за всяка стойност на h, изразът 7 h -1 се дели на 6 без остатък.

Решение:

1. Да кажем h=1, в този случай:

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (т.е. разделено на 6 без остатък)

Следователно, за h=1 твърдението е вярно;

2. Нека h=d и 7 d -1 се дели на 6 без остатък;

3. Доказателство за валидността на твърдението за h=d+1 е формулата:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

В този случай първият член се дели на 6 според допускането на първия параграф, а вторият член е равен на 6. Твърдението, че 7 h -1 се дели на 6 без остатък за всяко естествено h, е вярно.

Погрешност на преценката

Често в доказателствата се използват неправилни разсъждения, поради неточността на използваните логически конструкции. По принцип това се случва, когато структурата и логиката на доказателството са нарушени. Пример за неправилно разсъждение е следната илюстрация.

Задача

Състояние: изисква доказателство, че всяка купчина камъни не е купчина.

Решение:

1. Да кажем h=1, в този случай има 1 камък в купчината и твърдението е вярно (основа);

2. Нека е вярно за h=d, че купчина камъни не е купчина (предположение);

3. Нека h=d+1, от което следва, че когато се добави още един камък, комплектът няма да е куп. Заключението се налага от само себе си, че предположението е валидно за всички естествени h.

Грешката се крие във факта, че няма определение колко камъка образуват купчина. Такъв пропуск се нарича прибързано обобщение в метода на математическата индукция. Един пример ясно показва това.

Индукция и законите на логиката

В исторически план те винаги „вървят ръка за ръка“. Такива научни дисциплиниподобно на логиката, философията ги описва като противоположности.

От гледна точка на закона на логиката, индуктивните определения се основават на факти и истинността на предпоставките не определя правилността на произтичащото твърдение. Често изводите се получават с известна степен на вероятност и правдоподобност, която, разбира се, трябва да бъде проверена и потвърдена от допълнителни изследвания. Пример за индукция в логиката би било твърдението:

Суша в Естония, суша в Латвия, суша в Литва.

Естония, Латвия и Литва са балтийските държави. Суша във всички балтийски държави.

От примера можем да заключим, че нова информацияили истината не може да бъде получена чрез индукция. Всичко, на което може да се разчита, е някаква възможна достоверност на заключенията. Освен това истинността на предпоставките не гарантира същите заключения. Този факт обаче не означава, че индукцията расте в задния двор на дедукцията: огромен брой разпоредби и научни закони са обосновани с помощта на метода на индукция. Математиката, биологията и други науки могат да служат като пример. Това се дължи главно на метода на пълната индукция, но в някои случаи е приложима и частичната.

Почитаемата възраст на индукцията му позволи да проникне в почти всички сфери на човешката дейност - това е науката, икономиката и ежедневните заключения.

Индукция в научната среда

Методът на индукция изисква стриктно отношение, тъй като твърде много зависи от броя на подробностите на цялото изучавано: какво Повече ▼толкова по-надежден е резултатът. Въз основа на тази характеристика научните закони, получени чрез метода на индукцията, се тестват достатъчно дълго време на ниво вероятностни предположения, за да се изолират и изследват всички възможни структурни елементи, връзки и влияния.

В науката индуктивното заключение се основава на значими характеристики, с изключение на произволни разпоредби. Този факт е важен във връзка със специфичните научно познание. Това ясно се вижда в примерите за индукция в науката.

Има два вида индукция в научен свят(във връзка с метода на обучение):

1. индукция-селекция (или селекция);
2. индукция - изключване (елиминиране).

Първият тип се отличава с методично (внимателно) вземане на проби от клас (подкласове) от различните му области.

Пример за този тип индукция е следният: среброто (или сребърните соли) пречиства водата. Изводът се основава на дългогодишни наблюдения (своеобразен подбор на потвърждения и опровержения - подбор).

Вторият тип индукция се основава на заключения, които установяват причинно-следствени връзки и изключват обстоятелства, които не съответстват на нейните свойства, а именно универсалност, спазване на времевата последователност, необходимост и недвусмисленост.

Индукция и дедукция от гледна точка на философията

Ако погледнете историческата ретроспекция, терминът "индукция" е споменат за първи път от Сократ. Аристотел описва примери за индукция във философията по-приблизително терминологичен речник, но въпросът за непълната индукция остава открит. След преследването на Аристотелевия силогизъм индуктивният метод започва да се признава за плодотворен и единствено възможен в естествознанието. Бейкън се счита за баща на индукцията като самостоятелен специален метод, но той не успява да отдели, както изискват съвременниците му, индукцията от дедуктивния метод.

По-нататъшното развитие на индукцията е извършено от J. Mill, който разглежда теорията на индукцията от гледна точка на четири основни метода: съгласие, разлика, остатъци и съответните промени. Не е изненадващо, че днес изброените методи, когато се разгледат в детайли, са дедуктивни.

Осъзнаването на непоследователността на теориите на Бейкън и Мил кара учените да изследват вероятностната основа на индукцията. Но дори и тук имаше крайности: бяха направени опити индукцията да се сведе до теорията на вероятностите с всички произтичащи от това последици.

Въвеждането получава вот на доверие, когато практическо приложениев определени предметни области и благодарение на метричната точност на индуктивната основа. Пример за индукция и дедукция във философията е Законът земно притегляне. Към датата на откриване на закона Нютон успя да го провери с точност от 4 процента. И при проверка след повече от двеста години, правилността беше потвърдена с точност от 0,0001 процента, въпреки че проверката беше извършена чрез същите индуктивни обобщения.

Съвременната философия обръща повече внимание на дедукцията, която е продиктувана от логичното желание да се извлекат нови знания (или истина) от вече известното, без да се прибягва до опит, интуиция, а с помощта на „чисти“ разсъждения. Когато се позовава на истински предпоставки в дедуктивния метод, във всички случаи изходът е вярно твърдение.

Тази много важна характеристика не трябва да засенчва стойността на индуктивния метод. Тъй като индукцията, основана на постиженията на опита, също се превръща в средство за неговата обработка (включително обобщаване и систематизиране).

Приложение на индукцията в икономиката

Индукцията и дедукцията отдавна се използват като методи за изследване на икономиката и прогнозиране на нейното развитие.

Обхватът на използване на индукционния метод е доста широк: изследване на изпълнението на прогнозните показатели (печалба, амортизация и др.) и общ резултатсъстояние на предприятието; образуване ефективна политиканасърчаване на предприятието въз основа на факти и техните взаимоотношения.

Същият метод на индукция се използва и в диаграмите на Шухарт, където при предположението, че процесите са разделени на контролирани и неуправляеми, се посочва, че рамката на контролирания процес е неактивна.

Трябва да се отбележи, че научните закони се обосновават и потвърждават с помощта на метода на индукцията и тъй като икономиката е наука, която често използва математически анализ, теория на риска и статистически данни, тогава не е изненадващо, че индукцията е сред основните методи.

Следната ситуация може да послужи като пример за индукция и дедукция в икономиката. Увеличението на цените на храните (от потребителската кошница) и стоките от първа необходимост кара потребителя да мисли за възникващите високи разходи в държавата (индукция). В същото време, от факта на високата цена, с помощта на математически методи е възможно да се извлекат показатели за растеж на цените за отделни стоки или категории стоки (приспадане).

Най-често управленският персонал, мениджърите и икономистите се обръщат към метода на индукция. За да може достатъчно достоверно да се предвиди развитието на едно предприятие, пазарното поведение и последствията от конкуренцията, е необходим индуктивно-дедуктивен подход към анализа и обработката на информацията.

Илюстративен пример за индукция в икономиката, отнасящ се до погрешни преценки:

• печалбата на компанията намалява с 30%;
  конкурент е разширил продуктовата си линия;
  нищо друго не се е променило;
• производствената политика на конкурентна компания доведе до намаляване на печалбата от 30%;
• следователно трябва да се прилага същата производствена политика.

Примерът е колоритна илюстрация за това как неумелото използване на метода на индукция допринася за разоряването на едно предприятие.

Дедукция и индукция в психологията

След като има метод, значи логично има и правилно организирано мислене (за използване на метода). Психологията като наука, която изучава психичните процеси, тяхното формиране, развитие, взаимоотношения, взаимодействия, обръща внимание на "дедуктивното" мислене като една от формите на проявление на дедукцията и индукцията. За съжаление, на страниците на психологията в Интернет практически няма обосновка за целостта на дедуктивно-индуктивния метод. Въпреки че професионалните психолози са по-склонни да се сблъскат с прояви на индукция или по-скоро погрешни заключения.

Пример за индукция в психологията, като илюстрация на погрешни преценки, е твърдението: майка ми е измамник, следователно всички жени са измамници. Има още по-„погрешни“ примери за индукция от живота:

• ученик не е способен на нищо, ако е получил двойка по математика;
• той е глупак;
• той е умен;
• Мога всичко;

И много други ценностни преценки, базирани на абсолютно случайни и понякога незначителни съобщения.

Трябва да се отбележи: когато погрешността на преценките на човек достигне точката на абсурд, пред психотерапевта се появява фронт на работа. Един пример за въведение при преглед при специалист:

„Пациентът е абсолютно сигурен, че червеният цвят носи само опасност за него във всякакви прояви. В резултат на това човек е изключил тази цветова схема от живота си - доколкото е възможно. В домашната среда има много възможности за комфортен живот. Можете да откажете всички червени елементи или да ги замените с аналози, направени в различна цветова схема. Но в на публични места, на работа, в магазин - невъзможно е. Попадайки в стресова ситуация, пациентът всеки път изпитва „прилив“ от напълно различни емоционални състояния, които могат да бъдат опасни за другите.

Този пример за индукция, и то несъзнателно, се нарича „фикс идеи“. Ако това се случи с психически здрав човек, можем да говорим за липса на организация на умствената дейност. Елементарното развитие може да се превърне в начин да се отървете от обсесивните състояния дедуктивно мислене. В други случаи с такива пациенти работят психиатри.

Горните примери за индукция показват, че "непознаването на закона не освобождава от последствията (погрешни преценки)".

Психолозите, работещи по темата за дедуктивното мислене, са съставили списък с препоръки, предназначени да помогнат на хората да овладеят този метод.

Първата стъпка е решаването на проблема. Както се вижда, формата на индукция, използвана в математиката, може да се счита за "класическа", а използването на този метод допринася за "дисциплината" на ума.

Следващото условие за развитието на дедуктивното мислене е разширяването на кръгозора (тези, които мислят ясно, ясно заявяват). Тази препоръка насочва „страданието“ към съкровищниците на науката и информацията (библиотеки, уебсайтове, образователни инициативи, пътувания и др.).

Отделно трябва да се спомене така наречената "психологическа индукция". Този термин, макар и рядко, може да се намери в интернет. Всички източници не дават поне кратко определение на този термин, а се позовават на „примери от живота“, като същевременно се представят като новият видиндукция или внушение, или някои форми на психични заболявания, или екстремни състояния на човешката психика. От всичко казано по-горе става ясно, че опитът да се изведе " нов срок”, разчитайки на неверни (често неверни) предпоставки, обрича експериментатора да получи погрешно (или прибързано) твърдение.

Трябва да се отбележи, че позоваването на експериментите от 1960 г. (без да се посочват мястото, имената на експериментаторите, извадката от субекти и най-важното целта на експеримента) изглежда, меко казано, неубедително и твърдението че мозъкът възприема информация, заобикаляйки всички органи на възприятие (фразата „опитен“ в този случай би се вместила по-органично), кара човек да мисли за лековерността и безкритичността на автора на изявлението.

Вместо заключение

Царицата на науките - математиката, не напразно използва всички възможни резерви на метода на индукцията и дедукцията. Разгледаните примери ни позволяват да заключим, че повърхностното и неумело (както се казва, необмислено) прилагане дори на най-точните и надеждни методи винаги води до грешни резултати.

В масовото съзнание методът на дедукция се свързва с известния Шерлок Холмс, който в своите логически конструкции често използва примери за индукция, използвайки дедукция в необходими ситуации.

Статията разглежда примери за приложението на тези методи в различни науки и сфери на човешкия живот.

За да направите това, първо проверете истинността на твърдението с номер 1 - индукционна основа, а след това се доказва, че ако твърдението е номерирано н, след това следващото твърдение с числото н + 1 - индукционна стъпка, или индуктивен преход.

Доказателството по индукция може да се визуализира под формата на т.нар принцип на доминото. Нека произволен брой домино са подредени в редица по такъв начин, че всяко домино, падайки, задължително преобръща следващото домино (това е индуктивният преход). Тогава, ако бутнем първата кост (това е основата на индукцията), тогава всички кости в редицата ще паднат.

Логическа основа за този метод на доказване е т.нар аксиома на индукцията, петата от аксиомите на Пеано, които определят естествените числа. Коректността на метода на индукция е еквивалентна на факта, че във всяко подмножество от естествени числа има минимален елемент.

Има и разновидност, така нареченият принцип на пълната математическа индукция. Ето строгата му формулировка:

Принципът на пълната математическа индукция също е еквивалентен на аксиомата на индукцията в аксиомите на Пеано.

Примери

Задача.Докажете това, каквото и да е естествено ни истински р≠ 1, равенството

Доказателство.Индукция включена н.

База, н = 1:

Преход: Нека се преструваме, че

,

Q.E.D.

коментар:вярност на изявлението П нв това доказателство е същото като валидността на равенството

Вижте също

Вариации и обобщения

Литература

• Н. Я. ВиленкинИндукция. Комбинаторика. Ръководство за учители. М., Просвещение, 1976.-48 с.
• Л. И. Головина, И. М. ЯгломИндукция в геометрията, "Популярни лекции по математика", брой 21, Физматгиз 1961.-100 с.
• Р. Курант, Г. Робинс„Какво е математика?“ Глава I, §2.
• И. С. СоминскиМетод на математическата индукция. „Популярни беседи по математика”, бр.3, Изд.Наука 1965г.-58с.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "Методът на математическата индукция" в други речници:

Математическата индукция в математиката е един от методите за доказателство. Използва се за доказване на истинността на дадено твърдение за всички естествени числа. За да направите това, първо се проверява истинността на твърдението с номер 1, базата на индукцията и след това ... ... Wikipedia

Метод за изграждане на теория, докато се основава на някои от нейните разпоредби - аксиоми или постулати - от които всички други разпоредби на теорията (теореми) се извличат чрез разсъждения, наречени доказателства m i. Правила между другото..... Философска енциклопедия

Индукцията (на латински inductio насочване) е процесът на умозаключение, основан на прехода от конкретна позиция към обща. Индуктивното разсъждение свързва частните помещения със заключението не толкова чрез законите на логиката, а по-скоро чрез някои ... ... Wikipedia

ГЕНЕТИЧЕН МЕТОД- начин за определяне на съдържанието и същността на изучавания обект не чрез конвенция, идеализация или логическо заключение, а чрез изучаване на неговия произход (въз основа на изследването на причините, довели до възникването му, механизма на формиране). Широк...... Философия на науката: Речник на основните термини

Метод на изграждане научна теория, в който се основава на някои първоначални положения (преценки) на аксиомата (Вижте Аксиома) или Постулати, от които трябва да бъдат извлечени всички други твърдения на тази наука (теореми (Вижте Теорема)) ... ... Велика съветска енциклопедия

аксиоматичен метод- АКСИОМАТИЧЕН МЕТОД (от гръцки. axioma) приетата позиция е метод за изграждане на научна теория, при който в доказателствата се използват само аксиоми, постулати и твърдения, предварително извлечени от тях. Показва се за първи път... Енциклопедия на епистемологията и философията на науката

Един от методите на теорията на грешките за оценка на неизвестни величини от резултати от измерване, съдържащи случайни грешки. N. c. m. се използва и за приблизително представяне на дадена функция от други (по-прости) функции и често се оказва ... Математическа енциклопедия

Математическата индукция е един от методите математическо доказателство, се използва за доказване на истинността на някакво твърдение за всички естествени числа. За да направите това, първо проверете ... Wikipedia

Този термин има други значения, вижте Индукция. Индукцията (на латински inductio насочване) е процесът на умозаключение, основан на прехода от конкретна позиция към обща. Индуктивното разсъждение свързва частни помещения ... ... Wikipedia

Библиографско описание:Баданин А. С., Сизова М. Ю. Приложение на метода на математическата индукция за решаване на задачи за делимостта на естествените числа // Млад учен. 2015. №2. С. 84-86..02.2019 г.).

AT математически олимпиадипри доказването на делимостта на естествените числа често се срещат доста трудни задачи. Учениците са изправени пред проблем: как да намерят универсален математически методза решаване на подобни проблеми?

Оказва се, че повечето проблеми с делимостта могат да бъдат решени чрез математическа индукция, но в училищни учебницина този метод се обръща много малко внимание, най-често се дава кратко теоретично описание и се анализират няколко проблема.

Откриваме метода на математическата индукция в теорията на числата. В зората на теорията на числата математиците откриват много факти индуктивно: Л. Ойлер и К. Гаус понякога разглеждат хиляди примери, преди да забележат числова закономерност и да повярват в нея. Но в същото време те разбраха колко подвеждащи могат да бъдат хипотезите, ако преминат „окончателния“ тест. За индуктивен преход от твърдение, проверено за крайно подмножество, към подобно твърдение за цялото безкрайно множество е необходимо доказателство. Този метод е предложен от Блез Паскал, който намери общ алгоритъм за намиране на признаци за делимост на всяко цяло число от всяко друго цяло число (трактат „За природата на делимостта на числата“).

Методът на математическата индукция се използва за доказване чрез аргументиране на истинността на дадено твърдение за всички естествени числа или истинността на твърдение, започващо от някакво число n.

Решаването на задачи за доказване истинността на определено твърдение по метода на математическата индукция се състои от четири етапа (фиг. 1):

Ориз. 1. Схема за решаване на задачата

1. Основа на индукцията . Проверете валидността на твърдението за най-малкото естествено число, за което твърдението има смисъл.

2. Индуктивно предположение . Предполагаме, че твърдението е вярно за някаква стойност на k.

3. индуктивен преход . Доказваме, че твърдението е вярно за k+1.

4. Заключение . Ако такова доказателство е завършено, тогава, въз основа на принципа на математическата индукция, може да се твърди, че твърдението е вярно за всяко естествено число n.

Разгледайте приложението на метода на математическата индукция за решаване на задачи за доказване на делимостта на естествените числа.

Пример 1. Докажете, че числото 5 е кратно на 19, където n е естествено число.

Доказателство:

1) Нека проверим дали тази формула е вярна за n = 1: числото =19 е кратно на 19.

2) Нека тази формула е вярна за n = k, т.е. числото е кратно на 19.

Делимо на 19. Действително, първият член се дели на 19 поради предположение (2); вторият член също се дели на 19, защото съдържа множител 19.

Пример 2Докажете, че сборът от кубовете на три последователни естествени числа се дели на 9.

Доказателство:

Нека докажем твърдението: „За всяко естествено число n изразът n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3 е кратен на 9.

1) Проверете дали тази формула е правилна за n = 1: 1 3 +2 3 +3 3 =1+8+27=36 е кратно на 9.

2) Нека тази формула е вярна за n = k, т.е. k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 е кратно на 9.

3) Нека докажем, че формулата е вярна и за n = k + 1, т.е. (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 е кратно на 9. (k+1) 3 +( k+2) 3 +(k+3) 3 =(k+1) 3 +(k+2) 3 + k 3 + 9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1) 3 +(k +2) 3)+9(k 2 +3k+ 3).

Полученият израз съдържа два члена, всеки от които се дели на 9, така че сумата се дели на 9.

4) И двете условия на принципа на математическата индукция са изпълнени, следователно предложението е вярно за всички стойности на n.

Пример 3Докажете, че за всяко естествено n числото 3 2n+1 +2 n+2 се дели на 7.

Доказателство:

1) Проверете дали тази формула е правилна за n = 1: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 =35, 35 е кратно на 7.

2) Нека тази формула е вярна за n = k, т.е. 3 2 k +1 +2 k +2 се дели на 7.

3) Нека докажем, че формулата е вярна и за n = k + 1, т.е.

3 2(k +1)+1 +2 (k +1)+2 =3 2 k +1 3 2 +2 k +2 2 1 =3 2 k +1 9+2 k +2 2 =3 2 k +1 9+2 k +2 (9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2) 9–7 2 k +2 .T. Тъй като (3 2 k +1 +2 k +2) 9 се дели на 7 и 7 2 k +2 се дели на 7, тогава тяхната разлика също се дели на 7.

4) И двете условия на принципа на математическата индукция са изпълнени, следователно предложението е вярно за всички стойности на n.

Много проблеми с доказателство в теорията на делимостта на естествените числа се решават удобно с помощта на метода на математическата индукция, може дори да се каже, че решаването на проблеми по този метод е доста алгоритмично, достатъчно е да се изпълнят 4 основни стъпки. Но този метод не може да се нарече универсален, защото има и недостатъци: първо, възможно е да се докаже само върху набор от естествени числа и второ, възможно е да се докаже само за една променлива.

За развитие логично мислене, математическа култура този метод е основен инструмент, в крайна сметка великият руски математик А. Н. Колмогоров каза: „Разбирането и способността за правилно прилагане на принципа на математическата индукция е добър критерий за логическа зрялост, която е абсолютно необходима за математиката.“

Литература:

1. Виленкин Н. Я. Индукция. Комбинаторика. - М.: Просвещение, 1976. - 48 с.

2. Генкин Л. За математическата индукция. - М., 1962. - 36 с.

3. Соломински И. С. Метод на математическата индукция. - М.: Наука, 1974. - 63 с.

4. Шаригин И. Ф. Избираем курс по математика: Решаване на задачи: Учебник за 10 клетки. средно училище - М.: Просвещение, 1989. - 252 с.

5. Шен А. Математическа индукция. - М .: MTSNMO, 2007.- 32 с.

Използвайки метода на математическата индукция, докажете, че за всеки естествен нса верни следните равенства:
а) ;
б) .

Решение.

а) Кога н= 1 равенството е валидно. Приемайки валидността на равенството за н, нека покажем, че е валидно и за н+ 1. Наистина,

Q.E.D.

б) Кога н= 1 валидността на равенството е очевидна. От предположението за неговата справедливост при нТрябва

Дадено е равенството 1 + 2 + ... + н = н(н+ 1)/2, получаваме

1 3 + 2 3 + ... + н 3 + (н + 1) 3 = (1 + 2 + ... + н + (н + 1)) 2 ,

т.е. твърдението е вярно и за н + 1.

Пример 1Докажете следните равенства

където нО н.

Решение.а) Кога н= 1 равенството ще приеме формата 1=1, следователно, П(1) вярно. Да приемем, че това равенство е вярно, тоест имаме

. Трябва да проверим (докажем) товаП(н+ 1), т.е. вярно. Защото (използвайки индуктивното предположение)получаваме, т.е. П(н+ 1) е вярно твърдение.

По този начин, според метода на математическата индукция, първоначалното равенство е валидно за всяко естествено н.

Забележка 2.Този пример може да бъде решен по друг начин. Наистина, сумата 1 + 2 + 3 + ... + не сумата от първото нчленове аритметична прогресияс първия член а 1 = 1 и разлика д= 1. По силата на добре познатата формула , получаваме

б) Кога н= 1 равенството ще приеме формата: 2 1 - 1 = 1 2 или 1=1, т.е. П(1) вярно. Нека приемем, че равенството

1 + 3 + 5 + ... + (2н - 1) = н 2 и докажи товаП(н + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2н - 1) + (2(н + 1) - 1) = (н+ 1) 2 или 1 + 3 + 5 + ... + (2 н - 1) + (2н + 1) = (н + 1) 2 .

Използвайки хипотезата на индукция, получаваме

1 + 3 + 5 + ... + (2н - 1) + (2н + 1) = н 2 + (2н + 1) = (н + 1) 2 .

По този начин, П(н+ 1) е вярно и следователно изискваното равенство е доказано.

Забележка 3.Този пример може да бъде решен (подобно на предишния) без използване на метода на математическата индукция.

в) Кога н= 1 равенството е вярно: 1=1. Да приемем, че равенството е вярно

и покажете това това е истинатаП(н) предполага истинаП(н+ 1). Наистина ли,и от 2 н 2 + 7 н + 6 = (2 н + 3)(н+ 2), получаваме и следователно първоначалното равенство е валидно за всеки естественн.

г) Кога н= 1 е валидно равенството: 1=1. Да приемем, че има

и докажи това

Наистина ли,

д) Одобрение П(1) вярно: 2=2. Да приемем, че равенството

е вярно и ние доказваме, че това предполага равенствотоНаистина ли,

Следователно първоначалното равенство е валидно за всеки естествен н.

е) П(1) вярно: 1/3 = 1/3. Да има равенство П(н):

. Нека покажем, че последното равенство предполага следното:

Наистина, предвид това П(н) се провежда, получаваме

Така равенството е доказано.

ж) Кога н= 1 имаме а + b = b + аи следователно равенството е вярно.

Нека биномната формула на Нютон е валидна за н = к, това е,

Тогава Използване на равенствотополучаваме

Пример 2Докажете неравенства

а) Неравенството на Бернули: (1 + a ) н ≥ 1 + н a , a > -1, нО н.

б) х 1 + х 2 + ... + х н ≥ н, ако х 1 х 2 · ... · х н= 1 и х аз > 0, .

в) Неравенство на Коши спрямо средноаритметичното и средното геометрично където х аз > 0, , н ≥ 2.

г) грях 2 н a + cos2 н a ≤ 1, нО н.

д)

е) 2 н > н 3 , нО н, н ≥ 10.

Решение.а) Кога н= 1 получаваме истинското неравенство

1 + a ≥ 1 + a . Да приемем, че има неравенство

(1 + а) н ≥ 1 + на

(1)

и покажете, че тогава имаме(1 + а) н + 1 ≥ 1 + (н+ 1)а .

Наистина, тъй като a > -1 предполага a + 1 > 0, тогава умножавайки двете страни на неравенството (1) по (a + 1), получаваме

(1 + а) н(1 + a ) ≥ (1 + н a )(1 + a ) или (1 + a ) н + 1 ≥ 1 + (н+ 1)а + на 2 Защото на 2 ≥ 0, следователно,(1 + а) н + 1 ≥ 1 + (н+ 1)а + н a 2 ≥ 1 + ( н+ 1)а .

По този начин, ако П(н) тогава е вярно П(н+ 1) е вярно, следователно, според принципа на математическата индукция, неравенството на Бернули е вярно.

б) Кога н= 1 получаваме х 1 = 1 и следователно х 1 ≥ 1, т.е. П(1) е справедливо твърдение. Нека се преструваме, че П(н) е вярно, т.е. ако adica, х 1 ,х 2 ,...,х н - нположителни числа, чието произведение е равно на единица, х 1 х 2 ·...· х н= 1 и х 1 + х 2 + ... + х н ≥ н.

Нека покажем, че това твърдение предполага, че е вярно следното: ако х 1 ,х 2 ,...,х н ,х н+1 - (н+ 1) положителни числа, такива че х 1 х 2 ·...· х н · х н+1 = 1, тогава х 1 + х 2 + ... + х н + х н + 1 ≥н + 1.

Разгледайте следните два случая:

1) х 1 = х 2 = ... = х н = х н+1 = 1. Тогава сумата от тези числа е ( н+ 1) и изискваното неравенство е изпълнено;

2) поне едно число е различно от едно, нека например е по-голямо от едно. Тогава, защото х 1 х 2 · ... · х н · х н+ 1 = 1, има поне още едно число, което е различно от едно (по-точно по-малко от едно). Позволявам х н+ 1 > 1 и х н < 1. Рассмотрим нположителни числа

х 1 ,х 2 ,...,х н-1 ,(х н · х н+1). Произведението на тези числа е равно на едно и според хипотезата х 1 + х 2 + ... + х н-1 + х н х н + 1 ≥ н. Последното неравенство се пренаписва, както следва: х 1 + х 2 + ... + х н-1 + х н х н+1 + х н + х н+1 ≥ н + х н + х н+1 или х 1 + х 2 + ... + х н-1 + х н + х н+1 ≥ н + х н + х н+1 - х н х н+1 .

Тъй като

(1 - х н)(х н+1 - 1) > 0, тогава н + х н + х н+1 - х н х н+1 = н + 1 + х н+1 (1 - х н) - 1 + х н =
= н + 1 + х н+1 (1 - х н) - (1 - х н) = н + 1 + (1 - х н)(х н+1 - 1) ≥ н+ 1. Следователно, х 1 + х 2 + ... + х н + х н+1 ≥ н+1, тоест ако П(н) тогава е вярноП(н+ 1) е справедливо. Неравенството е доказано.

Забележка 4.Знакът за равенство се появява тогава и само ако х 1 = х 2 = ... = х н = 1.

в) Нека х 1 ,х 2 ,...,х нса произволни положителни числа. Помислете за следното нположителни числа:

Тъй като произведението им е равно на едно: съгласно доказаното по-рано неравенство b), следва, чекъдето

Забележка 5.Равенството е валидно тогава и само ако х 1 = х 2 = ... = х н .

д) П(1) - справедливо твърдение: sin 2 a + cos 2 a = 1. Да предположим, че П(н) е вярно твърдение:

грях 2 н a + cos2 н a ≤ 1 и покажете, че имаП(н+ 1). Наистина ли,грях2( н+ 1) a + cos 2( н+ 1) a \u003d грях 2 н a sin 2 a + cos 2 н a cos 2 a< sin 2н a + cos2 н a ≤ 1 (ако sin 2 a ≤ 1, тогава cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 a ≤ 1, тогава sin 2 a < 1). Таким образом, для любого нО нгрях 2 н a + cos2 н ≤ 1 и знакът за равенство се достига само когатон = 1.

д) Кога н= 1 твърдението е вярно: 1< 3 / 2 .

Да приемем, че и докажи това

Тъй като
Имайки в предвид П(н), получаваме

е) Като вземем предвид Забележка 1, проверяваме П(10): 2 10 > 10 3 , 1024 > 1000, следователно, за н= 10 твърдението е вярно. Да предположим, че 2 н > н 3 (н> 10) и докажете П(н+ 1), т.е. 2 н+1 > (н + 1) 3 .

Тъй като при н> 10 имаме или , следва това

2н 3 > н 3 + 3н 2 + 3н+ 1 или н 3 > 3н 2 + 3н + 1. Като се има предвид неравенството (2 н > н 3), получаваме 2 н+1 = 2 н 2 = 2 н + 2 н > н 3 + н 3 > н 3 + 3н 2 + 3н + 1 = (н + 1) 3 .

Така, според метода на математическата индукция, за всяко естествено нО н, н≥ 10 имаме 2 н > н 3 .

Пример 3Докажете това за всеки нО н

Решение.а) П(1) е вярно твърдение (0 се дели на 6). Позволявам П(н) е справедливо, т.е н(2н 2 - 3н + 1) = н(н - 1)(2н- 1) се дели на 6. Нека покажем, че тогава имаме П(н+ 1), тоест ( н + 1)н(2н+ 1) се дели на 6. Наистина, тъй като

И как н(н - 1)(2 н- 1) и 6 н 2 се делят на 6, тогава тяхната суман(н + 1)(2 н+ 1) се дели на 6.

По този начин, П(н+ 1) е справедливо твърдение и следователно, н(2н 2 - 3н+ 1) се дели на 6 за всяко нО н.

б) Проверка П(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11, следователно П(1) е справедливо твърдение. Трябва да се докаже, че ако 6 2 н-2 + 3 н+1 + 3 н-1 се дели на 11 ( П(н)), след това 6 2 н + 3 н+2 + 3 нсъщо се дели на 11 ( П(н+ 1)). Наистина, защото

6 2н + 3 н+2 + 3 н = 6 2н-2+2 + 3 н+1+1 + 3 н-1+1 == 6 2 6 2 н-2 + 3 3 н+1 + 3 3 н-1 = 3 (6 2 н-2 + 3 н+1 + 3 н-1) + 33 6 2 н-2 и като 6 2 н-2 + 3 н+1 + 3 н-1 и 33 6 2 н-2 се делят на 11, то сборът им е 6 2н + 3 н+2 + 3 н се дели на 11. Твърдението е доказано. Индукция в геометрията

Пример 4Изчислете страната на правилното 2 н-гон, вписан в окръжност с радиус Р.

Лекция 6. Метод на математическата индукция.

Новите знания в науката и живота се получават по различни начини, но всички те (ако не навлизате в подробности) са разделени на два вида - преходът от общото към частното и от частното към общото. Първото е дедукция, второто е индукция. Дедуктивно разсъждение е това, което обикновено се нарича в математиката логически разсъждения, а в математическата наука дедукцията е единственият легитимен метод на изследване. Правилата на логическото разсъждение са формулирани преди две хилядолетия и половина от древногръцкия учен Аристотел. Той създаде пълен списък на най-простите правилни разсъждения, силогизми– „тухлички“ от логика, като същевременно посочват типични разсъждения, много подобни на правилните, но погрешни (често срещаме подобни „псевдологични“ разсъждения в медиите).

Индукция (индукция - на латински напътствие) е илюстрирано от добре известната легенда за това как Исак Нютон формулира закона за всемирното привличане, след като ябълка падна на главата му. Друг пример от физиката: при такова явление като електромагнитна индукция, електрическо поле създава, „индуцира“ магнитно поле. „Ябълката на Нютон“ е типичен пример за ситуация, при която един или повече специални случаи, т.е. наблюдения, "водят" до общо твърдение, общото заключение се прави въз основа на частни случаи. Индуктивният метод е основният за получаване на общи закономерности както в естествените, така и в хуманитарните науки. Но има много съществен недостатък: въз основа на конкретни примери може да се направи неправилно заключение. Хипотезите, произтичащи от частни наблюдения, не винаги са верни. Помислете за пример, дължащ се на Ойлер.

Ще изчислим стойността на тринома за някои първи стойности н:

Имайте предвид, че числата, получени в резултат на изчисленията, са прости. И човек може директно да провери това за всеки н 1 до 39 полиномна стойност
е просто число. Въпреки това, когато н=40 получаваме числото 1681=41 2 , което не е просто. По този начин, хипотезата, която може да възникне тук, тоест хипотезата, че за всеки нномер
е просто, оказва се невярно.

Лайбниц доказва през 17 век, че за всяко положително цяло число нномер
делимо на 3
се дели на 5 и т.н. Въз основа на това той предположи, че за всяко коеф ки всеки естествен нномер
разделена на к, но скоро забеляза това
не се дели на 9.

Разгледаните примери ни позволяват да направим важен извод: твърдението може да бъде вярно в редица специални случаи и в същото време несправедливо като цяло. Въпросът за валидността на твърдението в общия случай може да бъде решен чрез прилагане на специален метод на разсъждение, наречен чрез математическа индукция(пълна индукция, перфектна индукция).

6.1. Принципът на математическата индукция.

♦ Методът на математическата индукция се основава на принцип на математическата индукция , състоящ се от следното:

1) валидността на това твърдение е проверена зан=1 (индукционна основа) ,

2) това твърдение се приема за вярно зан= к, къдетоке произволно естествено число 1(индукционно предположение) , и като се вземе предвид това предположение, неговата валидност е установена зан= к+1.

Доказателство. Да приемем обратното, т.е. да приемем, че твърдението не е вярно за всеки естествен н. Тогава има такова естествено м, Какво:

1) одобрение за н=мне е честно,

2) за всички н, по-малък м, твърдението е вярно (с други думи, ме първото естествено число, за което твърдението не е валидно).

Очевидно е, че м>1, защото за н=1 твърдението е вярно (условие 1). Следователно,
- естествено число. Оказва се, че за естествено число
твърдението е вярно, а за следващото естествено число мтова е несправедливо. Това противоречи на условие 2. ■

Обърнете внимание, че доказателството използва аксиомата, че всяка колекция от естествени числа съдържа най-малкото число.

Доказателство, основано на принципа на математическата индукция, се нарича чрез пълна математическа индукция .

 Пример6.1. Докажете това за всеки естествен нномер
се дели на 3.

Решение.

1) Кога н=1, така че а 1 се дели на 3 и твърдението е вярно за н=1.

2) Да приемем, че твърдението е вярно за н=к,
, тоест това число
се дели на 3 и намерете това н=к+1 числото се дели на 3.

Наистина,

защото всеки член се дели на 3, то сборът им също се дели на 3. ■ 

 Пример6.2. Докажете, че сборът от първия нестествени нечетни числа е равно на квадрата на техния брой, т.е.

Решение.Ние използваме метода на пълната математическа индукция.

1) Проверяваме валидността на това твърдение за н=1: 1=1 2 е правилно.

2) Да предположим, че сумата от първия к (
) на нечетни числа е равно на квадрата на броя на тези числа, т.е. Въз основа на това равенство установяваме, че сумата от първото к+1 нечетни числа е равно на
, това е .

Използваме нашето предположение и получаваме

. ■ 

Методът на пълната математическа индукция се използва за доказване на някои неравенства. Нека докажем неравенството на Бернули.

 Пример6.3. Докажете това, когато
и всеки естествен ннеравенството
(неравенството на Бернули).

Решение. 1) Кога н=1 получаваме
, кое е вярно.

2) Приемаме, че при н=кима неравенство
(*). Използвайки това предположение, ние доказваме това
. Имайте предвид, че когато
това неравенство е в сила и следователно е достатъчно да разгледаме случая
.

Умножете двете части на неравенството (*) по числото
и получи:

Това е (1+
.■ 

Доказателство по метод непълна математическа индукция някакво твърдение в зависимост от н, където
извършва се по подобен начин, но в началото справедливостта се установява за най-малката стойност н.

Някои проблеми не формулират изрично твърдение, което може да бъде доказано чрез математическа индукция. В такива случаи е необходимо да се установи закономерност и да се изрази хипотеза за валидността на тази закономерност и след това да се тества предложената хипотеза чрез математическа индукция.

 Пример6.4. Намерете сумата
.

Решение.Нека намерим сумите С 1 , С 2 , С 3 . Ние имаме
,
,
. Ние предполагаме, че за всеки естествен нформулата е валидна
. За да проверим тази хипотеза, използваме метода на пълната математическа индукция.

1) Кога н=1 хипотезата е вярна, т.к
.

2) Да приемем, че хипотезата е вярна за н=к,
, това е
. Използвайки тази формула, установяваме, че хипотезата е вярна и за н=к+1, т.е

Наистина,

И така, ако приемем, че хипотезата е вярна за н=к,
, доказано е, че е вярно за н=к+1 и въз основа на принципа на математическата индукция заключаваме, че формулата е валидна за всяко естествено н. ■ 

 Пример6.5. В математиката се доказва, че сумата от две равномерно непрекъснати функции е равномерно непрекъсната функция. Въз основа на това твърдение трябва да докажем, че сумата от всяко число
равномерно непрекъснати функции е равномерно непрекъсната функция. Но тъй като все още не сме въвели концепцията за "равномерно непрекъсната функция", нека поставим проблема по-абстрактно: нека се знае, че сумата от две функции, които имат някакво свойство С, самата тя притежава собствеността С. Нека докажем, че сумата от произволен брой функции има свойството С.

Решение.Основата на индукцията тук се съдържа в самата формулировка на проблема. Правейки индуктивното предположение, помислете
функции f 1 , f 2 , …, f н , f н+1, които притежават собствеността С. Тогава . От дясната страна, първият член има свойството Спо индукционната хипотеза, вторият член има свойството Спо условие. Следователно тяхната сума има свойството С– за два срока основата на индукцията „работи“.

Това доказва твърдението и ще го използваме по-нататък. ■ 

 Пример6.6. Намерете всичко естествено н, за което неравенството

.

Решение.Обмисли н=1, 2, 3, 4, 5, 6. Имаме: 2 1 >1 2 , 2 2 =2 2 , 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2 , 2 6 >6 2 . Така можем да направим хипотеза: неравенството
има място за всеки
. За да докажем истинността на тази хипотеза, използваме принципа на непълната математическа индукция.

1) Както беше посочено по-горе, тази хипотеза е вярна за н=5.

2) Да предположим, че е вярно за н=к,
, тоест неравенството
. Използвайки това предположение, доказваме, че неравенството
.

Т. до.
и при
има неравенство

при
,

тогава разбираме това
. И така, истинността на хипотезата н=к+1 следва от предположението, че е вярно за н=к,
.

От pp. 1 и 2, въз основа на принципа на непълната математическа индукция, следва, че неравенството
вярно за всеки естествен
. ■ 

 Пример6.7. Докажете това за всяко естествено число нформулата за диференциране е валидна
.

Решение.При н=1 тази формула има формата
, или 1=1, тоест е вярно. Правейки индуктивното предположение, имаме:

Q.E.D. ■ 

 Пример6.8. Докажете, че множеството, състоящо се от нелементи, има подмножества.

Решение.Комплект с един елемент а, има две подмножества. Това е вярно, защото всички негови подмножества са празното множество и самото множество и 2 1 =2.

Предполагаме, че всеки набор от нелементи има подмножества. Ако множеството A се състои от н+1 елементи, след което фиксираме един елемент в него - обозначаваме го д, и разделя всички подмножества на два класа - несъдържащи ди съдържащи д. Всички подмножества от първия клас са подмножества на множеството B, получено от A чрез премахване на елемента д.

Наборът B се състои от нелементи и следователно, според хипотезата на индукция, има подмножества, така че в първия клас подмножества.

Но във втория клас има същия брой подмножества: всяко от тях се получава от точно едно подмножество от първия клас чрез добавяне на елемента д. Следователно общо множеството A
подмножества.

Така твърдението е доказано. Обърнете внимание, че е валидно и за набор, състоящ се от 0 елемента - празен набор: има едно подмножество - себе си и 2 0 =1. ■ 