Теорію обчислень неоднорідних диференціальних рівнянь(ДУ) наводити в цій публікації не будемо, з попередніх уроків Ви можете знайти достатньо інформації, щоб знайти відповідь на запитання "Як вирішити неоднорідне диференціальне рівняння?"Ступінь неоднорідного ДУ тут великої ролі не грає, не так вже й багато є способів, які дозволяють обчислити рішення таких ДУ. Щоб Вам було легко читати відповіді в прикладах, основний акцент зроблений тільки на методику обчислень та підказки, які полегшать виведення кінцевої функції.

приклад 1. Розв'язати диференціальне рівняння
Рішення: Задано однорідне диференціальне рівняння третього порядку, причому воно містить лише другу та третю похідні та не має функції та її першої похідної. У таких випадках застосовують метод зниження ступенядиференціального рівняння. Для цього вводять параметр - позначимо другу похідну через параметр p

тоді третя похідна функції дорівнює

Початкове однорідне ДК спроститься до вигляду

Записуємо його у диференціалах, далі зводимо до рівняння з розділеними зміннимита знаходимо рішення інтегруванням

Згадуємо, що параметр це друга похідна функції.

тому знаходження формули самої функції двічі інтегруємо знайдену диференціальну залежність

У функції стали C 1 , C 2 , C 3 - рівні довільним значенням.
Ось так просто виглядає схема, що дозволяє знайти спільне рішенняоднорідного диференціального рівняння методом запровадження параметра.Наступні завдання складніші і їх ви навчитеся вирішувати неоднорідні диференціальні рівняння третього порядку. Між однорідними і неоднорідними ДК у плані обчислень є певна відмінність, у цьому Ви переконаєтеся.

приклад 2. Знайти
Рішення: Маємо третій порядок. Тому його рішення слід шукати у вигляді суми двох – рішення однорідного та приватного рішення неоднорідного рівняння

Вирішимо спочатку

Як бачите, воно містить тільки другу і третю похідну функції і не містить самої функції. такого сорту диф. рівняння вирішують методом введення параметра, що ву свою чергу знижує та спрощує знаходження рішення рівняння. Насправді це виглядає так: нехай друга похідна дорівнює певної функції , тоді третя похідна формально матиме запис

Розглянуте однорідне ДК 3 порядку перетворюється на рівняння першого порядку

звідки розділяючи змінні знаходимо інтеграл
x * dp-p * dx = 0;

Постійні в таких завданнях рекомендуємо нумерувати, оскільки рішення диференціального рівняння 3 порядку має 3 постійні, четвертого - 4 і далі за аналогією. Тепер повертаємося до введеного параметра: оскільки друга похідна має вигляд, то інтегруючи її один раз, ми маємо залежність для похідної функції.

та повторним інтегруванням знаходимо загальний виглядоднорідної функції

Часткове рішення рівняннязапишемо у вигляді змінної помноженої на логарифм. Це випливає з того, що права (неоднорідна) частина ДУ дорівнює -1/x і щоб отримати еквівалентний запис

слід рішення шукати у вигляді

Знайдемо коефіцієнт A для цього обчислимо похідні першого і другого порядків

Підставимо знайдені вирази у вихідне диференціальне рівняння та прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях x:

Стала дорівнює -1/2, а має вигляд

Загальне вирішення диференціального рівняннязаписуємо у вигляді суми знайдених

де C1, C2, C3 - довільні константи які можна уточнити із завдання Коші.

приклад 3. Знайти інтеграл ДК третього порядку
Рішення: Шукаємо загальний інтеграл неоднорідного ДК третього порядку як суми рішення однорідного і часткового неоднорідного рівняння . Спочатку для будь-якого типу рівнянь починаємо аналізувати однорідне диференціальне рівняння

Воно містить лише другу та третю похідні невідомої поки функції. Вводимо заміну змінних (параметр): позначимо за другу похідну

Тоді третя похідна дорівнює

Такі ж перетворення виконували у попередньому завданні. Це дозволяє звести диференціальне рівняння третього порядку до рівняння першого порядку виду

Інтегруванням знаходимо

Згадуємо, що відповідно до заміни змінних це лише друга похідна.

а щоб знайти рішення однорідного диференціального рівняння третього порядку, її потрібно двічі проінтегрувати

Виходячи з виду правої сторони (неоднорідної частини = x + 1), часткове рішення рівняння шукаємо у вигляді

Як знати, у якому вигляді шукати часткове рішення Вас повинні були навчити в теоретичній частині курсу диференціальних рівнянь. Якщо ні, то можемо тільки підказати, що за функцію вибирають такий вираз, щоб при підстановці в рівняння доданок, що містить старшу похідну або молодший був одного порядку (подібний) неоднорідною частиноюрівняння

Думаю, тепер Вам зрозуміліше, звідки береться вид приватного рішення. Знайдемо коефіцієнти A, B, для цього обчислюємо другу та третю похідну функції

та підставляємо у диференціальне рівняння. Після угруповання подібних доданків отримаємо лінійне рівняння

з якого при однакових ступенях змінної складаємо систему рівнянь

і знаходимо невідомі постійні. Після їхньої підстановки виражається залежністю

Загальне вирішення диференціального рівняннядорівнює сумі однорідного та часткового і має вигляд

де З 1, З 2, З 3 - довільні константи.

Приклад 4. Р ішити диференціальне рівняння
Рішення: Маємо рішення якого знаходимо через суму. Схема обчислень Вам відома, тож переходимо до розгляду однорідного диференціального рівняння

За стандартною методикою вводимо параметр
Вихідне диференціальне рівняння набуде вигляду, звідки розділивши змінні знаходимо

Згадуємо що параметр дорівнює другий похідний
Інтегруючи ДК отримаємо першу похідну функції

Повторним інтегруванням знаходимо загальний інтеграл однорідного диференціального рівняння

Часткове рішення рівняння шукаємо у вигляді, оскільки права частина дорівнює
Знайдемо коефіцієнт A - для цього підставимо y* у диференціальне рівняння та прирівняємо коефіцієнт при однакових ступенях змінної

Після підстановки та угруповання доданків отримаємо залежність

з якої стала дорівнює A = 8/3.
Таким чином, можемо записати часткове рішення ДК

Загальне вирішення диференціального рівнянняодно сумі знайдених

де З 1, З 2, З 3 - довільні константи. Якщо задана умова Коші, їх дуже легко можемо довизначити.

Вважаю, що матеріал стане Вам у нагоді при підготовці до практичним заняттям, модулям або контрольної роботи. Тут не розбирали завдання Коші, однак із попередніх уроків Ви загалом знаєте як це зробити.

У деяких завданнях фізики безпосередній зв'язок між величинами, що описують процес, встановити не вдається. Але є можливість здобути рівність, що містить похідні досліджуваних функцій. Так виникають диференціальні рівняння та потреба їх вирішення для знаходження невідомої функції.

Ця стаття призначена тим, хто зіштовхнувся із завданням розв'язання диференціального рівняння, у якому невідома функція є однією змінною. Теорія побудована так, що з нульовим уявленням про диференціальні рівняння ви зможете впоратися зі своїм завданням.

Кожному виду диференціальних рівнянь поставлений у відповідність метод рішення з докладними поясненнями та рішеннями характерних прикладів та завдань. Вам залишається лише визначити вид диференціального рівняння Вашого завдання, знайти подібний приклад і провести аналогічні дії.

Для успішного вирішення диференціальних рівнянь з Вашого боку також знадобиться вміння знаходити безліч первісних (невизначені інтеграли) різних функцій. При необхідності рекомендуємо звертатися до розділу.

Спочатку розглянемо види звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, які можна дозволено щодо похідної, далі перейдемо до ОДУ другого порядку, потім зупинимося на рівняннях вищих порядків і закінчимо системами диференціальних рівнянь.

Нагадаємо, що якщо y є функцією аргументу x .

Диференціальні рівняння першого ладу.

Найпростіші диференціальні рівняння першого порядку виду.

Запишемо кілька прикладів таких ДК .

Диференційне рівняння можна дозволити щодо похідної, зробивши розподіл обох частин рівності f(x) . У цьому випадку приходимо до рівняння, яке буде еквівалентно вихідному при f(x) ≠ 0 . Прикладами таких ОДУ є.

Якщо є значення аргументу x , у яких функції f(x) і g(x) одночасно перетворюються на нуль, з'являються додаткові рішення. Додатковими рішеннямирівняння за даних x є будь-які функції, визначені цих значень аргументу. Як приклади таких диференціальних рівнянь можна навести.

Диференціальні рівняння другого порядку.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку постійними коефіцієнтами.

ЛОДУ з постійними коефіцієнтами є дуже поширеним видом диференціальних рівнянь. Їхнє рішення не становить особливої ​​складності. Спочатку відшукуються коріння характеристичного рівняння . При різних p і q можливі три випадки: коріння характеристичного рівняння можуть бути дійсними і різними, дійсними і збігаються або комплексно пов'язаними. Залежно від значень коренів характеристичного рівняння записується загальне рішення диференціального рівняння як , або , чи відповідно.

Наприклад розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Коріння його характеристичного рівняння є k 1 = -3 і k 2 = 0 . Коріння дійсне і різне, отже, загальне рішення ЛОДУ з постійними коефіцієнтами має вигляд


Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами y шукається як суми загального рішення відповідного ЛОДУ і окремого рішення вихідного неоднорідного рівняння, тобто, . Знаходження загального рішення однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами присвячений попередній пункт. А окреме рішення визначається або методом невизначених коефіцієнтів при певному вигляді функції f(x) , що стоїть у правій частині вихідного рівняння, або методом варіації довільних постійних.

Як приклади ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами наведемо


Розібратися в теорії та ознайомитися з докладними рішеннямиПрикладів ми Вам пропонуємо на сторінці лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДУ) та лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДУ) другого порядку.

Окремим випадком диференціальних рівнянь цього виду є ЛОДУ та ЛНДУ з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення ЛОД на деякому відрізку представляється лінійною комбінацією двох лінійно незалежних приватних рішень y 1 і y 2 цього рівняння, тобто, .

Головна складність полягає саме у знаходженні лінійно-незалежних приватних рішень диференціального рівняння цього типу. Зазвичай приватні рішення вибираються з наступних систем лінійно незалежних функцій:


Проте, які завжди приватні рішення представляються у такому вигляді.

Прикладом ЛОДУ є .

Загальне рішення ЛНДУ шукається як , де - загальне рішення відповідного ЛОДУ, а - приватне рішення вихідного диференціального рівняння. Про перебування ми щойно говорили, а можна визначити, користуючись методом варіації довільних постійних.

Як приклад ЛНДУ можна навести .

Диференціальні рівняння найвищих порядків.

Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку.

Порядок диференціального рівняння , яке не містить шуканої функції та її похідних до k-1 порядку, може бути знижено до n-k заміною .

І тут , і вихідне диференціальне рівняння зведеться до . Після знаходження рішення p(x) залишиться повернутися до заміни і визначити невідому функцію y .

Наприклад, диференціальне рівняння після заміни стане рівнянням з змінними, що розділяються, і його порядок з третього знизиться до першого.

Рівняння виду: називається лінійним диференціальним рівнянням вищого порядку, де a 0, а 1, ... а n-функції змінної х або константи, причому a 0, а 1, … а n і f (x) вважаються безперервними.

Якщо a 0 = 1 (якщо
то на нього можна поділити)
рівняння набуде вигляду:

Якщо
рівняння неоднорідне.

рівняння однорідне.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння порядку n

Рівняння виду: називаються лінійними однорідними диференціальними рівняннями порядку.

Для цих рівнянь справедливі такі теореми:

Теорема 1:Якщо
- Рішення , то сума
- теж рішення

Доказ: підставимо суму в

Оскільки похідна будь-якого порядку від суми дорівнює сумі похідних, то можна перегрупуватися, розкривши дужки:

т.к y 1 та y 2 – рішення.

0 = 0 (вірно)
сума також рішення.

теорему доведено.

Теорема 2:Якщо y 0 -рішення , то
- теж рішення .

Доказ: Підставимо
у рівняння

т.к З виноситься за знак похідної, то

т.к рішення, 0=0(вірно)
Сy 0 -теж рішення.

теорему доведено.

Наслідок з Т1 та Т2:якщо
- рішення (*)
лінійна комбінація-теж рішення (*).

Лінійно незалежні та лінійно залежні системи функцій. Визначник Вронського та його властивості

Визначення:Система функцій
- називається лінійно незалежною, якщо лінійна комбінація коефіцієнти
.

Визначення:Систему функцій
- називають лінійно залежною, якщо є коефіцієнти
.

Візьмемо систему двох лінійно залежних функцій
т.к
або
- Умова лінійної незалежності двох функцій.

1)
лінійно незалежні

2)
лінійно залежні

3) лінійно залежні

Визначення:Дана система функцій
- функцій змінної х.

Визначник
-визначник Вронського для системи функцій
.

Для системи двох функцій визначник Вронського виглядає так:

Властивості визначника Вронського:

Теорема:Про загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння 2 порядку.

Якщо y 1 та y 2 – лінійно незалежні рішення лінійного однорідного диференціального рівняння 2 порядку, то

загальне рішення має вигляд:

Доведення:
- рішення щодо слідства з Т1 та Т2.

Якщо дані початкові умови то і повинні бути однозначно.

- початкові умови.

Складемо систему для знаходження і . Для цього підставимо початкові умови у загальне рішення.

визначник цієї системи:
- визначник Вронського, обчислений у точці х 0

т.к і лінійно незалежні
(по 2 0)

оскільки визначник системи не дорівнює 0, то система має єдине рішення і і перебувають із системи однозначно.

Загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння порядку n

Можна показати, що рівняння має n лінійно незалежних рішень

Визначення: n лінійно незалежних рішень
лінійного однорідного диференціального рівняння порядкуn називається фундаментальною системою розв'язання.

Загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння порядку, тобто (*) – лінійна комбінація фундаментальної системи рішень:

Де
- основна система рішення.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2 порядку з постійними коефіцієнтами

Це рівняння виду:
, де p і g – числа (*)

Визначення:Рівняння
- називається характеристичним рівняннямдиференціального рівняння (*) – звичайне квадратне рівняння, розв'язання якого залежить від D, можливі такі випадки:

1) D> 0
- два дійсні різні рішення.

2) D = 0
- один дійсний корінь кратності 2.

3) D<0
- два комплексно пов'язаних кореня.

Для кожного з цих випадків вкажемо фундаментальну систему рішень, складену з двох функцій і .

Будемо показувати що:

1) і - ЛНЗ

2) і - Рішення (*)

Розглянемо 1 випадок D>0
- 2 дійсних різних кореня.

Х
арактеристичне рівняння:

Як ФСР візьмемо:

а) покажемо ЛНЗ

б) покажемо, що - рішення (*), підставимо

+p
+g
=0

правильна рівність

Рішення (*)

аналогічно показується для y2.

Висновок:
- ФСР (*)
спільне рішення

Розглянемо 2випадок: D=0
- 1 дійсний корінь кратності 2.

Як ФСР візьмемо:

ЛНЗ:
ЛНЗ є.

-Рішення рівняння (див. 1 випадок). Покажемо, що
- Рішення.

підставимо в ДК

-Рішення.

Висновок:ФСР

Приклад:

3 випадок: D<0
- 2 комплексно пов'язаних кореня.

підставимо
у характер. рівняння

комплексне число дорівнює 0, коли дійсна та уявна частина дорівнюють 0.

- використовуватимемо.

Покажемо, що
- утворюють ФСР.

А) ЛНЗ:

Б)
-Рішення ДК

правильна рівність
- Рішення ДК.

Аналогічно показується, що також рішення.

Висновок:ФСР:

Спільне рішення:

Якщо задано н.у.

- то спочатку знаходять спільне рішення
, його похідну:
, а потім у цю систему підставляють н.у і знаходять і .

Н.у:

Часто одна лише згадка диференціальних рівняньвикликає у студентів неприємне почуття. Чому так відбувається? Найчастіше тому, що при вивченні основ матеріалу виникає прогалина у знаннях, через яку подальше вивчення дифурів ставати просто тортурами. Нічого не зрозуміло, що робити, як вирішувати, з чого почати?

Однак ми намагатимемося вам показати, що дифури – це не так складно, як здається.

Основні поняття теорії диференціальних рівнянь

Зі школи нам відомі найпростіші рівняння, в яких потрібно знайти невідому x. По суті диференційне рівняннялише трішки відрізняються від них – замість змінної х у них потрібно знайти функцію y(х) , яка оберне рівняння в тотожність.

Д іференціальні рівняннямають велике прикладне значення. Це не абстрактна математика, яка не має відношення до навколишнього світу. За допомогою диференціальних рівнянь описуються багато реальних природних процесів. Наприклад, коливання струни, рух гармонійного осцилятора, за допомогою диференціальних рівнянь у завданнях механіки знаходять швидкість та прискорення тіла. Також ДКзнаходять широке застосування у біології, хімії, економіці та багатьох інших науках.

Диференціальне рівняння (ДК) – це рівняння, що містить похідні функції y(х), саму функцію, незалежні змінні та інші параметри у різних комбінаціях.

Існує безліч видів диференціальних рівнянь: звичайні диференціальні рівняння, лінійні та нелінійні, однорідні та неоднорідні, диференціальні рівняння першого та вищих порядків, дифури у приватних похідних тощо.

Рішенням диференціального рівняння є функція, яка перетворює його на тотожність. Існують загальні та приватні рішення ДК.

Загальним рішенням ДК є загальна кількість рішень, що обертають рівняння у тотожність. Приватним рішенням диференціального рівняння називається рішення, що задовольняє додатковим умовам, заданим спочатку.

Порядок диференціального рівняння визначається найвищим порядком похідних, що входять до нього.

Звичайні диференціальні рівняння

Звичайні диференціальні рівняння- Це рівняння, що містять одну незалежну змінну.

Розглянемо найпростіше звичайне диференціальне рівняння першого ладу. Воно має вигляд:

Вирішити таке рівняння можна, просто проінтегрувавши його праву частину.

Приклади таких рівнянь:

Рівняння з змінними, що розділяються

Загалом цей тип рівнянь виглядає так:

Наведемо приклад:

Вирішуючи таке рівняння, потрібно розділити змінні, привівши його до вигляду:

Після цього залишиться проінтегрувати обидві частини та отримати рішення.

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Такі рівняння мають вигляд:

Тут p(x) і q(x) – деякі функції незалежної змінної, а y=y(x) – потрібна функція. Наведемо приклад такого рівняння:

Вирішуючи таке рівняння, найчастіше використовують метод варіації довільної постійної чи представляють потрібну функцію як твори двох інших функцій y(x)=u(x)v(x).

Для вирішення таких рівнянь необхідна певна підготовка і взяти їх з наскоку буде досить складно.

Приклад рішення ДК з змінними, що розділяються.

Ось ми й розглянули найпростіші типи дистанційного керування. Тепер розберемо рішення одного з них. Нехай це буде рівняння з змінними, що розділяються.

Спочатку перепишемо похідну у більш звичному вигляді:

Потім розділимо змінні, тобто в одній частині рівняння зберемо всі "ігреки", а в іншій - "ікси":

Тепер залишилося проінтегрувати обидві частини:

Інтегруємо та отримуємо загальне рішення даного рівняння:

Звісно, ​​розв'язання диференціальних рівнянь – свого роду мистецтво. Потрібно вміти розуміти, якого типу належить рівняння, і навіть навчитися бачити, які перетворення треба з ним зробити, щоб призвести до того чи іншого виду, не кажучи вже просто про вміння диференціювати та інтегрувати. І щоб досягти успіху у вирішенні ДК, потрібна практика (як і у всьому). А якщо у Вас в даний момент немає часу розбиратися з тим, як вирішуються диференціальні рівняння або завдання Коші стала як кістка в горлі або ви не знаєте, зверніться до наших авторів. У стислий термін ми надамо Вам готове та докладне рішення, розібратися в подробицях якого Ви зможете у будь-який зручний для Вас час. А поки що пропонуємо подивитися відео на тему "Як вирішувати диференціальні рівняння":

Диференціальні рівняння другого порядку та вищих порядків.
Лінійні ДК другого порядку з постійними коефіцієнтами.
Приклади розв'язків.

Переходимо до розгляду диференціальних рівнянь другого ладу та диференціальних рівнянь вищих порядків. Якщо Ви погано уявляєте, що таке диференціальне рівняння (або взагалі не розумієте, що це таке), то рекомендую почати з уроку Диференціальні рівняння першого ладу. Приклади рішень. Багато принципів вирішення та базові поняття дифурів першого порядку автоматично поширюються і на диференціальні рівняння вищих порядків, тому дуже важливо спочатку розібратися з рівняннями першого порядку.

Багато читачів може бути упередження, що ДУ 2-го, 3-го та інших. порядків – щось дуже важке і недоступне освоєння. Це не так . Навчитися вирішувати дифури вищого ладу навряд чи складніше, ніж «звичайні» ДУ 1-го порядку. А місцями навіть простіше, оскільки в рішеннях активно використовується матеріал шкільної програми.

Найбільш популярні диференціальні рівняння другого порядку. У диференціальне рівняння другого порядку обов'язкововходить друга похідна та не входять

Слід зазначити, що деякі з малюків (і навіть усі відразу) можуть бути відсутніми в рівнянні, важливо, щоб удома був батько. Найпримітивніше диференціальне рівняння другого порядку виглядає так:

Диференціальні рівняння третього порядку в практичних завданнях зустрічаються значно рідше, за моїми суб'єктивними спостереженнями до Державної Думи вони набрали б приблизно 3-4% голосів.

У диференціальне рівняння третього порядку обов'язкововходить третя похідна та не входятьпохідні вищих порядків:

Найпростіше диференціальне рівняння третього порядку виглядає так: - тато вдома, всі діти на прогулянці.

Аналогічним чином можна визначити диференціальні рівняння 4-го, 5-го та більш високих порядків. У практичних завданнях такі ДУ проскакують вкрай рідко, проте я намагатимусь навести відповідні приклади.

Диференціальні рівняння вищих порядків, які пропонуються у практичних завданнях, можна поділити на дві основні групи.

1) Перша група – так звані рівняння, що допускають зниження порядку. Налітайте!

2) Друга група – лінійні рівняння вищих порядків із постійними коефіцієнтами. Які ми почнемо розглядати зараз.

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
з постійними коефіцієнтами

У теорії та практиці розрізняють два типи таких рівнянь – однорідне рівнянняі неоднорідне рівняння.

Однорідне ДК другого порядку з постійними коефіцієнтамимає такий вигляд:
, де і – константи (числа), а правій частині – суворонуль.

Як бачите, особливих труднощів із однорідними рівняннями немає, головне, правильно розв'язати квадратне рівняння.

Іноді зустрічаються нестандартні однорідні рівняння, наприклад, рівняння у вигляді , де за другий похідної є деяка константа , відмінна від одиниці (і, природно, відмінна від нуля). Алгоритм рішення нітрохи не змінюється, слід незворушно скласти характеристичне рівняння та знайти його коріння. Якщо характеристичне рівняння матиме два різні дійсні корені, наприклад: , то загальне рішення запишеться за звичайною схемою: .

У ряді випадків через помилки в умові можуть вийти «нехороші» коріння, щось на зразок . Що робити, відповідь доведеться записати так:

З «поганим» пов'язаним комплексним корінням на кшталт теж жодних проблем, загальне рішення:

Тобто, загальне рішення у будь-якому випадку існує. Тому що будь-яке квадратне рівняння має два корені.

У заключному параграфі, як і обіцяв, коротко розглянемо:

Лінійні однорідні рівняння вищих порядків

Все дуже схоже.

Лінійне однорідне рівняння третього порядку має такий вигляд:
де - Константи.
Для цього рівняння теж потрібно скласти характеристичне рівняння та знайти його коріння. Характеристичне рівняння, як багато хто здогадався, виглядає так:
, і воно в будь-якому випадкумає рівно трикореня.

Нехай, наприклад, все коріння дійсне і різне: , Тоді загальне рішення запишеться так:

Якщо один корінь дійсний, а два інших – пов'язані комплексні, то загальне рішення записуємо так:

Особливий випадок, коли всі три корені кратні (однакові). Розглянемо найпростіші однорідне ДК 3-го порядку з самотнім татком: . Характеристичне рівняння має три нульових кореня , що збіглися . Загальне рішення записуємо так:

Якщо характеристичне рівняння має, наприклад, три кратні корені, то загальне рішення, відповідно, таке:

Приклад 9

Розв'язати однорідне диференціальне рівняння третього порядку

Рішення:Складемо та вирішимо характеристичне рівняння:

, - Отримано один дійсний корінь і два сполучених комплексних кореня.

Відповідь:спільне рішення

Аналогічно можна розглянути лінійне однорідне рівняння четвертого порядку з постійними коефіцієнтами: де - Константи.