Калькулятор який ділить із залишком. Як ділити десяткові дроби

Розподіл стовпчиком є ​​невід'ємною частиною шкільної програми та необхідним знанням для дитини. Щоб уникнути проблем під час уроків і з виконанням, слід давати дитині основні знання ще з маленького віку.

Набагато легше пояснювати дитині певні речі та процеси в ігровій формі, а не у форматі стандартного уроку (хоча на сьогоднішній день існує досить різноманітних методик навчання у різних формах).

З цієї статті ви дізнаєтесь

Принцип поділу для малюків

Діти постійно стикаються із різними математичними термінами, навіть не підозрюючи, звідки вони. Адже багато матусь, у формі гри, пояснюють дитині, що тата більше тарілка, у садок ходити далі, ніж у магазин та інші нехитрі приклади. Усе це ребенку первісне враження про математику, ще до походу дитини на перший клас.

Щоб навчити дитину ділити без залишку, а потім із залишком, необхідно прямо запропонувати пограти малюку в ігри з розподілом. Розділіть, наприклад, цукерки між собою, а потім по черзі додайте наступних учасників.

Спочатку дитина ділитиме цукерки, віддаючи кожному учаснику по одній. А наприкінці разом зробите висновок. Слід пояснити, що «розділити» означає всім однакову кількість цукерок.

Якщо Вам необхідно розтлумачити цей процес за допомогою цифр, можна навести приклад у формі гри. Можна сказати, що цифра – це цукерка. Слід пояснити, що кількість цукерок, які потрібно ділити між учасниками, – ділене. А кількість людей, на яких ділять ці цукерки, – це дільник.

Потім слід показати це все наочно, навести «живі» приклади, щоб швидше навчити дитину ділити. Граючи, він набагато швидше все зрозуміє та засвоїть. Поки що алгоритм пояснити буде складно, і зараз це не потрібно.

Як навчити малюка поділу в стовпчик

Пояснення дитині різних математичних дій - це хороша підготовка до походу в клас, особливо математичний клас. Якщо Ви вирішили перейти до навчання дитини поділу стовпчиком, значить такі дії як додавання, віднімання, і що таке таблиця множення він уже засвоїв.

Якщо це у нього все ще викликає деякі складнощі, то треба підтягнути всі ці знання. Варто нагадати алгоритм дій попередніх процесів, навчити вільно користуватись своїми знаннями. В іншому випадку малюк просто заплутається у всіх процесах, і перестане щось розуміти.

Для полегшення розуміння цього зараз є таблиця поділу для малюків. Принцип у неї такий самий, як і в таблицях множення. Але чи потрібна вже така таблиця, якщо дитина знає таблицю множення? Це залежить від школи та вчителя.

p align="justify"> При формуванні поняття «розподіл» потрібно обов'язково робити все в ігровій формі, наводити всі приклади на знайомих дитині речах і предметах.

Дуже важливо, щоб усі предмети були парного числа, щоб малюкові було ясно, що результатом є рівні частини. Це буде правильно, оскільки дозволить дитині усвідомити, що поділ - процес зворотний множенню. Якщо предмети будуть непарної кількості, то результат вийде із залишком і малюк заплутається.

Примножуємо та ділимо за допомогою таблиці

При поясненні малюкові взаємозв'язку між множенням і поділом, необхідно все це наочно показувати на якомусь прикладі. Наприклад: 5 х 3 = 15. Згадайте, що результат множення це добуток двох чисел.

І тільки після цього пояснюйте, що це зворотний процес до множення і продемонструйте це наочно за допомогою таблиці.

Скажіть, що потрібно поділити результат «15» — на якийсь із множників («5»/ «3»), і результатом буде постійно інший множник, який не брав участі в розподілі.

Також необхідно розтлумачити малюку, як правильно називаються категорії, які виконують поділ: ділимо, дільник, приватне. І знову за допомогою прикладу покажіть, що їх є конкретною категорією.

Поділ стовпчиком річ ​​не дуже складна, вона має свій легкий алгоритм, якому малюка потрібно навчити. Після закріплення всіх цих понять та знань, можна переходити до подальшого навчання.

В принципі, батькам варто вивчити з улюбленим чадом таблицю множення у зворотному порядку, і напам'ять її запам'ятати, тому що це буде необхідним при навчанні поділу стовпчиком.

Це робити необхідно до походу в перший клас, щоб дитині в школі було набагато легше освоїтися і встигати за шкільною програмою, і щоб клас через невеликі невдачі не почав дражнити дитину. Таблиця множення є і в школі, і в зошитах, тому носити окрему таблицю до школи не доведеться.

Ділимо за допомогою стовпчика

Перш ніж приступити до заняття, потрібно згадати назви цифр під час поділу. Що таке дільник, ділене та приватне. Дитина повинна без помилок ділити ці цифри на правильні категорії.

Найголовніше під час навчання розподілу стовпчиком, це засвоїти алгоритм, який, загалом, досить простий. Але спочатку поясніть дитині значення слова «алгоритм», якщо вона забула її або до цього не вивчала.

У тому випадку, якщо малюк чудово розуміється на таблиці множення та зворотного поділу, у нього не буде жодних складнощів.

Однак на отриманому результаті довго затримуватися не можна, необхідно регулярно тренувати набуті вміння та навички. Рухайтеся далі, щойно стане ясно, що малюк зрозумів принцип методу.

Необхідно навчити малюка ділити стовпчиком без залишку і з залишком, щоб дитина не лякалася, що йому щось не вдалося розділити правильно.

Щоб було простіше навчити малюка процесу розподілу необхідно:

• У 2-3 роки розуміння ставлення ціле-частина.
• у 6-7 років малюк повинен вільно вміти виконувати додавання, віднімання та усвідомлювати сутність множення та поділу.

Потрібно спонукати інтерес малюка до математичних процесів, щоб цей урок у школі приносив йому задоволення та бажання вчитися, і не мотивувати його на одних на уроках, а й у житті.

Дитина має носити різні інструментидля уроків математики, вчитися ними користуватися. Однак якщо дитині важко все носити, то не варто її перевантажувати.

Один із важливих етапів у навчанні дитини математичним діям – навчання операції поділу простих чисел. Як пояснити дитині поділ, коли можна приступати до освоєння цієї теми?

Для того щоб навчити дитину поділу, необхідно, щоб вона до моменту навчання вже освоїв такі математичні операції, як додавання, віднімання, а також мав чітке уявлення про саму сутність дій множення та поділу. Тобто він повинен розуміти, що розподіл – це поділ чогось на рівні частини. Також необхідно навчити операції множення та вивчити таблицю множення.

Я вже писала про те, що ця стаття може стати для вас корисною.

Освоюємо операцію поділу (поділу) на частини в ігровій формі

На цьому етапі необхідно сформувати у дитини розуміння того, що розподіл – це поділ чогось на рівні частини. Найпростіший спосіб навчити дитині цьому – запропонувати йому розділити деяку кількість предметів між нею його друзями чи членами сім'ї.

Допустимо, візьміть 8 однакових кубиків і запропонуйте дитині розділити на дві рівні частини – для неї та іншу людину. Варіювати та ускладнюйте завдання, запропонуйте дитині розділити 8 кубиків не на двох, а на чотирьох осіб. Проаналізуйте разом із ним результат. Змінюйте складові, спробуйте з іншою кількістю предметів та людей, на які потрібно розділити ці предмети.

Важливо:Слідкуйте, щоб спочатку дитина оперувала з парною кількістюпредметів, у тому, щоб результатом поділу було однакову кількість частин. Це виявиться корисним на наступному етапі, коли дитині буде потрібно зрозуміти, що поділ - це операція, що зворотна множенню.

Помножуємо та ділимо, використовуючи таблицю множення

Поясніть дитині, що, в математиці, дія, протилежна до множення, називається «поділ». Оперуючи таблицею множення, продемонструйте учню будь-якому прикладі взаємозв'язок між множенням і поділом.

Приклад: 4х2 = 8. Нагадайте дитині, що результатом множення є добуток двох чисел. Після цього поясніть, що операція поділу є зворотної операції множення і проілюструйте це наочно.

Розділіть добуток «8» з прикладу – на будь-який з множників – «2» або «4», і результатом завжди буде інший множник, що не використовувався в операції.

Також треба навчити юного учня, тому, як називаються категорії, що описують операцію поділу - "ділене", "ділитель" і "приватне". На прикладі покажіть, які цифри є ділим, дільником та приватним. Закріпіть ці знання, вони потрібні для подальшого навчання!

По суті, вам потрібно навчити дитину таблиці множення «навпаки», і запам'ятати її необхідно так само добре, як і саму таблицю множення, адже це буде необхідним, коли ви почнете навчання поділу в стовпчик.

Ділимо стовпчиком – наведемо приклад

Перед початком заняття згадайте разом із дитиною, як називаються цифри у процесі операції поділу. Що є «ділителем», «ділимим», «приватним»? Навчіть безпомилково та швидко визначати ці категорії. Це буде дуже корисним під час навчання дитини поділу простих чисел.

Пояснюємо наочно

Давайте розділимо 938 на 7. У цьому прикладі 938 – це подільне, 7 – дільник. Результатом буде приватне, його треба вирахувати.

Крок 1. Записуємо числа, розділивши їх "куточком".

Крок 2Покажіть учневі числа поділеного і запропонуйте йому, вибрати з них те найменше число, яка виявиться більшою за дільник. З трьох цифр 9, 3 і 8, цим числом буде 9. Запропонуйте дитині проаналізувати, скільки разів число 7 може бути в числі 9? Правильно, лише один раз. Тому першим записаним нами результатом буде 1.

Крок 3Переходимо до оформлення поділу стовпчиком:

Помножуємо дільник 7х1 і отримуємо 7. Отриманий результат записуємо під першим числом нашого ділимого 938 і віднімаємо, як завжди, в стовпчик. Тобто з 9 ми віднімаємо 7 і отримуємо 2.

Записуємо результат.

Крок 4.Число, яке ми бачимо, менше дільникаТому необхідно його збільшити. Для цього об'єднаємо його з наступним невикористаним числом нашого поділеного – це буде 3. Приписуємо 3 до одержаного числа 2.

Крок 5.Далі діємо за вже відомим алгоритмом. Аналізуємо, скільки разів наш дільник 7 міститься в отриманому числі 23? Правильно, тричі. Фіксуємо число 3 у приватному. А результат твору – 21 (7*3) записуємо внизу під числом 23 у стовпчик.

Крок.6Тепер залишилося знайти останнє числонашого приватного. Використовуючи вже знайомий алгоритм, продовжуємо робити обчислення у стовпчику. Шляхом віднімання у стовпчику (23-21) отримуємо різницю. Вона дорівнює 2.

З діленого у нас залишилося невикористаним одне число – 8. Об'єднуємо його з отриманим у результаті віднімання числом 2, отримуємо – 28.

Крок.7Аналізуємо, скільки разів наш дільник 7 міститься в отриманому числі? Правильно, 4 рази. Записуємо отриману цифру у результат. Отже, ми отримане в результаті поділу стовпчиком частково = 134.

Як навчити дитину поділу – закріплюємо навичку

Головне, через що у багатьох школярів виникає проблема з математикою - це невміння швидко робити прості арифметичні розрахунки. А на цій основі побудована вся математика в початковій школі. Особливо часто проблема саме у множенні та розподілі.
Щоб дитина навчилася швидко та якісно проводити розрахунки поділу в умі – необхідна правильна методика навчання та закріплення навички. Для цього ми радимо скористатися популярними на сьогодні посібниками для засвоєння навички поділу. Одні призначені для дітей з батьками, інші для самостійної роботи.

1. «Поділ. Рівень 3. Робочий зошит» від найбільшого міжнародного центру додаткової освіти Kumon
2. «Поділ. Рівень 4. Робочий зошит» від Kumon
3. «Не Ментальна арифметика. Система навчання дитини швидкому множенню та поділу. За 21 день. Блокнот-тренажер.» від Ш. Ахмадуліна – автора навчальних книг-бестселерів

Найголовнішим, коли ви навчаєте дитину поділу в стовпчик, є засвоєння алгоритму, який, загалом, досить простий.

Якщо дитина добре оперує таблицею множення та «зворотним» розподілом, у нього не виникне труднощів. Проте дуже важливо постійно тренувати отриману навичку. Не зупиняйтеся на досягнутому, як тільки ви зрозумієте, що дитина вловила суть методу.

Для того щоб легко навчити дитину операції поділу потрібно:

• Щоб у віці двох-трьох років він освоїв відносини "ціле - частина". У нього має скластися розуміння цілого, як нероздільної категорії та сприйняття окремої частини цілого як самостійного об'єкта. Наприклад – іграшкова вантажівка – ціле, а її кузов, колеса, дверцята – частини цього цілого.
• Щоб у молодшому шкільному віцідитина вільно оперувала діями зі складання та віднімання чисел, розумів суть процесів множення та поділу.

Щоб заняття математикою доставляли дитині задоволення, необхідно збуджувати його інтерес до математики і математичним діям, як під час навчання, а й у побутових ситуаціях.

Тому заохочуйте та розвивайте спостережливість у дитини, проводьте аналогії з математичними діями (операції на рахунок та поділ, аналіз відносин «частина-ціле» тощо) під час конструювання, ігор та спостережень за природою.

Викладач, спеціаліст дитячого розвиваючого центру
Дружініна Олена
спеціально для проекту сайт

Відео сюжет для батьків, як правильно пояснити дитині поділ у стовпчик:

Розподіл багатозначних чисел найлегше виконувати стовпчиком. Поділ стовпчиком інакше називають розподіл куточком.

Перед тим як розпочати виконання поділу стовпчиком, докладно розглянемо саму форму запису поділу стовпчиком. Спочатку записуємо ділене і праворуч від нього ставимо вертикальну межу:

За вертикальною межею, навпроти поділеного, пишемо дільник і під ним проводимо горизонтальну межу:

Під горизонтальною рисою поетапно буде записуватися приватне, що виходить в результаті обчислень:

Під ділимим будуть записуватись проміжні обчислення:

Повністю форма запису поділу стовпчиком виглядає так:

Як ділити стовпчиком

Допустимо, нам потрібно розділити 780 на 12, записуємо дію в стовпчик і приступаємо до поділу:

Розподіл стовпчиком виконується поетапно. Перше, що нам потрібно зробити, це визначити неповне поділення. Дивимося на першу цифру поділеного:

це число 7, так як воно менше дільника, то ми не можемо почати поділ з нього, отже потрібно взяти ще одну цифру з діленого, число 78 більше дільника, тому ми починаємо поділ з нього:

У нашому випадку число 78 буде неповним ділимим, Неповним воно називається тому, що є лише частиною ділимого.

Визначивши неповне ділене, ми можемо дізнатися скільки цифр буде в приватному, для цього нам потрібно порахувати, скільки цифр залишилося в ділимому після неповного ділимого, в нашому випадку лише одна цифра - 0, це означає, що приватне складатиметься з 2 цифр.

Дізнавшись кількість цифр, що має вийти у приватному, на його місці можна поставити крапки. Якщо при завершенні поділу кількість цифр вийшла більшою або меншою, ніж зазначено точок, значить десь була допущена помилка:

Приступаємо до поділу. Нам потрібно визначити скільки разів 12 міститься в числі 78. Для цього ми послідовно множимо дільник на натуральні числа 1, 2, 3, …, поки не вийде число максимально близьке до неповного поділеного або рівне йому, але не перевищує його. Таким чином ми отримуємо число 6, записуємо його під дільник, а з 78 (за правилами віднімання стовпчиком) віднімаємо 72 (12 · 6 = 72). Після того, як ми відняли 72 з 78, вийшов залишок 6:

Зверніть увагу, що залишок від розподілу показує нам, чи правильно ми підібрали число. Якщо залишок дорівнює дільнику або більше за нього, то ми не правильно підібрали число і нам потрібно взяти число побільше.

До залишку, що вийшов - 6, зносимо наступну цифру ділимого - 0. В результаті, вийшло неповне ділене - 60. Визначаємо, скільки разів 12 міститься в числі 60. Отримуємо число 5, записуємо його в приватне після цифри 6, а з 60 віднімаємо 60 12 · 5 = 60). У залишку вийшов нуль:

Так як в ділимо більше не залишилося цифр, значить 780 розділилося на 12 націло. В результаті виконання поділу стовпчиком ми знайшли приватне - воно записано під дільником:

Розглянемо приклад, як у приватному виходять нулі. Припустимо, нам потрібно розділити 9027 на 9.

Визначаємо неповне ділене - це число 9. Записуємо в приватне 1 і з 9 віднімаємо 9. У залишку вийшов нуль. Зазвичай, якщо у проміжних обчисленнях у залишку виходить нуль, його не записують:

Зносимо наступну цифру поділюваного - 0. Згадуємо, що при розподілі нуля на будь-яке число буде нуль. Записуємо в приватне нуль (0: 9 = 0) і в проміжних обчисленнях з 0 віднімаємо 0. Зазвичай, щоб не нагромаджувати проміжні обчислення, обчислення з нулем не записують:

Зносимо наступну цифру ділимого - 2. У проміжних обчисленнях вийшло так, що неповне ділене (2) менше, ніж дільник (9). У цьому випадку приватне записують нуль і зносять наступну цифру ділимого:

Визначаємо, скільки разів 9 міститься в числі 27. Отримуємо число 3, записуємо його в приватне, а з 27 віднімаємо 27. У залишку вийшов нуль:

Так як у ділимому більше не залишилося цифр, то число 9027 розділилося на 9 націло:

Розглянемо приклад, коли ділене закінчується нулями. Нехай нам потрібно поділити 3000 на 6.

Визначаємо неповне ділене - це число 30. Записуємо в приватне 5 і з 30 віднімаємо 30. У залишку вийшов нуль. Як було зазначено, нуль у залишку в проміжних обчисленнях записувати необов'язково:

Зносимо наступну цифру ділимого - 0. Так як при розподілі нуля на будь-яке число буде нуль, записуємо в приватне нуль і в проміжних обчисленнях з 0 віднімаємо 0:

Зносимо наступну цифру ділимого - 0. Записуємо в приватне ще один нуль і в проміжних обчисленнях з 0 віднімаємо 0. Так як у проміжних обчисленнях, обчислення з нулем зазвичай не записують, то запис можна скоротити, залишивши тільки залишок - 0. Нуль у залишку в самому кінці обчислень зазвичай записують у тому, щоб показати, що розподіл виконано націло:

Так як в ділимо більше не залишилося цифр, значить 3000 розділилося на 6 націло:

Поділ стовпчиком із залишком

Нехай нам потрібно розділити 1340 на 23.

Визначаємо неповне ділене - це число 134. Записуємо в приватне 5 і з 134 віднімаємо 115. У залишку вийшло 19:

Зносимо наступну цифру ділимого - 0. Визначаємо, скільки разів 23 міститься в числі 190. Отримуємо число 8, записуємо його в приватне, а з 190 віднімаємо 184. Отримуємо залишок 6:

Так як у ділимому більше не залишилося цифр, поділ закінчився. В результаті вийшло неповне приватне 58 та залишок 6:

1340: 23 = 58 (залишок 6)

Залишилося розглянути приклад поділу із залишком, коли ділене менше дільника. Нехай нам потрібно розділити 3 на 10. Ми бачимо, що 10 жодного разу не міститься в числі 3, тому записуємо в 0 і з 3 віднімаємо 0 (10 · 0 = 0). Проводимо горизонтальну межу і записуємо залишок - 3:

3: 10 = 0 (залишок 3)

Калькулятор поділу стовпчиком

Даний калькулятор допоможе вам виконати поділ стовпчиком. Просто введіть дільник та дільник і натисніть кнопку Обчислити.

Як ділити десяткові дроби на натуральні числа? Розглянемо правило та його застосування на прикладах.

Щоб розділити десятковий дріб на натуральне число, треба:

1) розділити десятковий дріб на число, не звертаючи уваги на кому;

2) коли закінчиться розподіл цілої частини, у приватному поставити кому.

приклади.

Розділити десяткові дроби:

Щоб розділити десятковий дріб на натуральне число, ділимо, не звертаючи уваги на кому. 5 на 6 не ділиться, тому у приватному ставимо нуль. Розподіл цілої частини закінчено, в приватному ставимо кому. Зносимо нуль. 50 ділимо на 6. Беремо по 8. 6∙8=48. Від 50 віднімаємо 48, у залишку отримуємо 2. Зносимо 4. 24 ділимо на 6. Отримуємо 4. У залишку — нуль, отже, поділ закінчено: 5,04: 6 = 0,84.

2) 19,26: 18

Ділимо десятковий дріб на натуральне число, не звертаючи уваги на кому. Ділимо 19 на 18. Беремо по 1. Розподіл цілої частини закінчено, в приватному ставимо кому. Віднімаємо від 19 18. У залишку - 1. Зносимо 2. 12 на 18 не ділиться, в приватному пишемо нуль. Зносимо 6. 126 ділимо на 18, отримуємо 7. Розподіл закінчено: 19,26: 18 = 1,07.

Ділимо 86 на 25. Беремо по 3. 25∙3=75. Від 86 віднімаємо 75. У залишку - 11. Розподіл цілої частини закінчено, в приватному ставимо кому. Зносимо 5. Беремо по 4. 25∙4=100. Від 115 віднімаємо 100. Залишок - 15. Зносимо нуль. 150 ділимо на 25. Отримуємо 6. Розподіл закінчено: 86,5: 25 = 3,46.

4) 0,1547: 17

Нуль на 17 не ділиться, у приватному пишемо нуль. Розподіл цілої частини закінчено, в приватному ставимо кому. Зносимо 1. 1 на 17 не ділиться, у приватному пишемо нуль. Зносимо 5. 15 на 17 не ділиться, у приватному пишемо нуль. Зносимо 4. Ділимо 154 на 17. Беремо по 9. 17∙9=153. Від 154 віднімаємо 153. У залишку - 1. Зносимо 7. Ділимо 17 на 17. Отримуємо 1. Поділ закінчено: 0,1547: 17 = 0,0091.

5) Десятковий дріб може вийти і при розподілі двох натуральних чисел.

При розподілі 17 на 4 беремо по 4. Розподіл цілої частини закінчено, в приватному ставимо кому. 4∙4=16. Від 17 віднімаємо 16. Залишок - 1. Зносимо нуль. 10 ділимо на 4. Беремо по 2. 4∙2=8. Від 10 віднімаємо 8. У залишку - 2. Зносимо нуль. 20 ділимо на 4. Беремо по 5. Розподіл закінчено: 17: 4 = 4,25.

І ще пара прикладів на поділ десяткових дробівна натуральні числа:

Розподіл натуральних чисел, особливо багатозначних, зручно проводити особливим методом, який отримав назву розподіл стовпчиком (у стовпчик). Також можна зустріти назву розподіл куточком. Відразу зазначимо, що стовпчиком можна проводити як розподіл натуральних чисел без залишку, так і розподіл натуральних чисел із залишком.

У цій статті ми розберемося, як виконується поділ стовпчиком. Тут ми поговоримо і про правила запису, і про всі проміжні обчислення. Спочатку зупинимося на розподілі стовпчиком багатозначного натурального числа на однозначне число. Після цього зупинимося на випадках, коли ділиться і дільник є багатозначними натуральними числами. Вся теорія цієї статті має характерні приклади поділу стовпчиком натуральних чисел з докладними поясненнями ходу рішення та ілюстраціями.

Навігація на сторінці.

Правила запису при розподілі стовпчиком

Почнемо з вивчення правил запису дільника, дільника, всіх проміжних викладок та результатів при розподілі натуральних чисел стовпчиком. Відразу скажемо, що письмово виконувати поділ стовпчиком найзручніше на папері з картатою розлинівкою – так менше шансів збитися з потрібного рядка та стовпця.

Спочатку в одному рядку ліворуч записуються ділене і дільник, після чого між записаними числами зображується символ виду . Наприклад, якщо ділимим є число 6105, а дільником – 55, то їх правильний запис при розподілі в стовпчик буде таким:

Подивіться на наступну схему, що ілюструє місця для запису діленого, дільника, приватного, залишку та проміжних обчислень при розподілі стовпчиком.

З наведеної схеми видно, що приватне, що шукається (або неповне приватне при розподілі з залишком) буде записано нижче дільника під горизонтальною рисою. А проміжні обчислення будуть вестись нижче ділимого, і потрібно заздалегідь подбати про місце на сторінці. При цьому слід керуватися правилом: чим більше різницяу кількості знаків у записах діленого та дільника, тим більше потрібно місця. Наприклад, при розподілі стовпчиком натурального числа 614 808 на 51 234 (614 808 – шестизначне число, 51 234 – п'ятизначне число, різниця у кількості знаків у записах дорівнює 6-5 = 1) для проміжних обчислень потрібно менше місця, ніж при розподілі чисел 8 058 і 4 (тут різниця в кількості знаків дорівнює 4-1 = 3). Для підтвердження своїх слів наводимо закінчені записи поділу стовпчиком цих натуральних чисел:

Тепер можна переходити безпосередньо до процесу розподілу натуральних чисел стовпчиком.

Розподіл стовпчиком натурального числа на однозначне натуральне число, алгоритм поділу стовпчиком

Зрозуміло, що поділити одне однозначне натуральне число на інше досить просто, і ділити ці числа на стовпчик немає причин. Проте буде корисно відпрацювати початкові навички поділу стовпчиком цих простих прикладах.

приклад.

Нехай нам потрібно поділити стовпчиком 8 на 2 .

Рішення.

Звичайно, ми можемо виконати поділ за допомогою таблиці множення і відразу записати відповідь 8:2=4 .

Але нас цікавить, як виконати розподіл цих чисел стовпчиком.

Спочатку записуємо ділене 8 та дільник 2 так, як того вимагає метод:

Тепер ми починаємо з'ясовувати, скільки разів дільник міститься у ділимому. Для цього ми послідовно множимо дільник на числа 0 , 1 , 2 , 3 , ... до того моменту, поки в результаті не отримаємо число, що дорівнює ділимому, (або число більше, ніж поділяється, якщо має місце поділ із залишком). Якщо ми отримуємо число, що дорівнює ділимому, то відразу записуємо його під ділимим, а на місце приватного записуємо число, на яке ми множили дільник. Якщо ж ми отримуємо число більше, ніж ділене, то під дільником записуємо число, обчислене на передостанньому кроці, але в місце неповного приватного записуємо число, де множився дільник на передостанньому кроці.

Поїхали: 2 · 0 = 0; 2 · 1 = 2; 2 · 2 = 4; 2 · 3 = 6; 2 · 4 = 8 . Ми отримали число, що дорівнює ділимому, тому записуємо його під ділимим, але в місце приватного записуємо число 4 . При цьому запис набуде наступного вигляду:

Залишився завершальний етап поділу однозначних натуральних чисел стовпчиком. Під числом, записаним під ділимим, потрібно провести горизонтальну межу, і провести віднімання чисел над цією межею так, як це робиться при відніманні натуральних чисел стовпчиком . Число, що отримується після віднімання, буде залишком від поділу. Якщо воно дорівнює нулю, вихідні числа розділилися без залишку.

У нашому прикладі отримуємо

Тепер маємо закінчений запис розподілу стовпчиком числа 8 на 2 . Ми бачимо, що частка 8:2 дорівнює 4 (і залишок дорівнює 0 ).

Відповідь:

8:2=4 .

Тепер розглянемо, як здійснюється розподіл стовпчиком однозначних натуральних чисел із залишком.

приклад.

Розділимо стовпчиком 7 на 3 .

Рішення.

на початковому етапізапис виглядає так:

Починаємо з'ясовувати, скільки разів у діленому міститься дільник. Будемо множити 3 на 0, 1, 2, 3 і т.д. до того моменту, поки не отримаємо число, що дорівнює або більше, ніж ділене 7 . Отримуємо 3 · 0 = 0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (за потреби звертайтеся до статті порівняння натуральних чисел). Під ділимим записуємо число 6 (воно отримано на передостанньому кроці), а на місце неповного приватного записуємо число 2 (на нього проводилося множення на передостанньому кроці).

Залишилося провести віднімання, і розподіл стовпчиком однозначних натуральних чисел 7 та 3 буде завершено.

Таким чином, неповне приватне дорівнює 2 і залишок дорівнює 1 .

Відповідь:

7:3 = 2 (зуп. 1).

Тепер можна переходити до розподілу стовпчиком багатозначних натуральних чисел на однозначні натуральні числа.

Зараз ми розберемо алгоритм розподілу стовпчиком. На кожному його етапі ми наводимо результати, що виходять при розподілі багатозначного натурального числа 140288 на однозначне натуральне число 4 . Цей приклад обраний невипадково, оскільки за його вирішенні ми зіштовхнемося з усіма можливими нюансами, зможемо докладно розібрати їх.

Спочатку ми дивимося на першу ліворуч цифру в записі поділеного. Якщо число, що визначається цією цифрою, більше від дільника, то в наступному пункті нам доведеться працювати з цим числом. Якщо ж це число менше, ніж дільник, то нам потрібно додати до розгляду наступну зліва цифру в записі діленого, і працювати далі з числом, що визначається двома цифрами, що розглядаються. Для зручності виділимо в нашому записі число, з яким ми будемо працювати.

Першою зліва цифрою у записі діленого 140288 є цифра 1 . Число 1 менше, ніж дільник 4 тому дивимося ще й на наступну зліва цифру в записі діленого. При цьому бачимо число 14, з яким нам і доведеться працювати далі. Виділяємо це число у записі поділеного.

Наступні пункти з другого до четвертого повторюються циклічно, поки розподіл натуральних чисел стовпчиком не буде завершено.

Зараз нам потрібно визначити, скільки разів дільник міститься в числі, з яким ми працюємо (для зручності позначимо це число як x). Для цього послідовно множимо дільник на 0, 1, 2, 3, … до того моменту, поки не отримаємо число x або число більше, ніж x. Коли виходить число x , то записуємо його під виділеним числом за правилами запису, використовуваним при відніманні стовпчиком натуральних чисел. Число, на яке проводилося множення, записується на місце приватного при першому проході алгоритму (при наступних проходах 2-4 пунктів алгоритму це число записується правіше чисел, що вже знаходяться там). Коли виходить число, яке більше числа x , то під виділеним числом записуємо число, отримане на передостанньому кроці, а на місце приватного (або правіше чисел, що вже знаходяться) записуємо число, на яке проводилося множення на передостанньому кроці. (Аналогічні дії ми проводили у двох прикладах, розібраних вище).

Множимо дільник 4 на числа 0 , 1 , 2 , …, доки не отримаємо число, яке дорівнює 14 або більше 14 . Маємо 4 · 0 = 0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Так як на останньому кроці ми отримали число 16, яке більше, ніж 14, то під виділеним числом записуємо число 12, яке вийшло на передостанньому кроці, а на місце приватного записуємо число 3, тому що в передостанньому пункті множення проводилося саме на нього.


На цьому етапі з виділеного числа віднімаємо стовпчиком число, розташоване під ним. Під горизонтальною лінією записується результат віднімання. Однак, якщо результатом віднімання є нуль, то його не потрібно записувати (якщо тільки віднімання в цьому пункті не є останньою дією, що повністю завершує процес поділу стовпчиком). Тут же для свого контролю не зайвим буде порівняти результат віднімання з дільником і переконатися, що він менший за дільник. В іншому випадку десь була допущена помилка.

Нам потрібно відняти стовпчиком з числа 14 число 12 (для коректності запису потрібно не забути поставити знак «мінус» зліва від чисел, що віднімаються). Після завершення цієї дії під горизонтальною межею виявилося число 2 . Тепер перевіряємо свої обчислення, порівнюючи отримане число із дільником. Так як число 2 менше від дільника 4 , то можна спокійно переходити до наступного пункту.


Тепер під горизонтальною рисою праворуч від цифр (або праворуч від місця, де ми не стали записувати нуль) записуємо цифру, розташовану в тому ж стовпці в записі ділимого. Якщо ж у записі поділеного в цьому стовпці немає цифр, то поділ стовпчиком на цьому закінчується. Після цього виділяємо число, що утворилося під горизонтальною рисою, приймаємо його як робоче число, і повторюємо з ним з 2 по 4 пункти алгоритму.

Під горизонтальною рисою праворуч від вже наявної там цифри 2 записуємо цифру 0, оскільки саме цифра 0 знаходиться в записі 140 288 у цьому стовпці. Таким чином, під горизонтальною межею утворюється число 20 .


Це число 20 ми виділяємо, приймаємо як робоче число, і повторюємо з нею дії другого, третього і четвертого пунктів алгоритму.

Примножуємо дільник 4 на 0 , 1 , 2 , …, доки отримаємо число 20 чи число, яке більше, ніж 20 . Маємо 4 · 0 = 0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Проводимо віднімання стовпчиком. Оскільки ми віднімаємо рівні натуральні числа, то з якості віднімання рівних натуральних чисел у результаті отримуємо нуль. Нуль ми не записуємо (оскільки це ще не завершальний етап поділу стовпчиком), але запам'ятовуємо місце, на якому ми його могли записати (для зручності це місце ми відзначимо чорним прямокутником).


Під горизонтальною лінією праворуч від запам'ятовуваного місця записуємо цифру 2, оскільки саме вона знаходиться в записі діленого 140288 в цьому стовпці. Таким чином, під горизонтальною межею ми маємо число 2 .


Число 2 приймаємо за робоче число, відзначаємо його і нам ще раз доведеться виконати дії з 2-4 пунктів алгоритму.

Помножуємо дільник на 0 , 1 , 2 і так далі, і порівнюємо числа, що виходять, з зазначеним числом 2 . Маємо 4 · 0 = 0<2 , 4·1=4>2 . Отже, під зазначеним числом записуємо число 0 (воно було отримано на передостанньому кроці), але в місці приватного праворуч від вже наявного там числа записуємо число 0 (на 0 ми проводили множення на передостанньому кроці).


Виконуємо віднімання стовпчиком, отримуємо число 2 під горизонтальною межею. Перевіряємо себе, порівнюючи отримане число з дільником 4 . Так як 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Під горизонтальною межею праворуч від числа 2 дописуємо цифру 8 (оскільки вона знаходиться в цьому стовпці в записі діленого 140 288). Таким чином, під горизонтальною лінією виявляється число 28.


Приймаємо це число як робочий, відзначаємо його, і повторюємо дії 2-4 пунктів.

Тут жодних проблем виникнути не повинно, якщо Ви були уважні до цього моменту. Виконавши всі необхідні дії, виходить наступний результат.

Залишилося востаннє провести дії з пунктів 2, 3, 4 (надаємо це Вам), після чого вийде закінчена картина поділу натуральних чисел 140 288 і 4 у стовпчик:

Зверніть увагу, що в нижньому рядку записано число 0 . Якби це був не останній крок поділу стовпчиком (тобто, якби в записі поділеного в стовпцях праворуч залишалися цифри), то цей нуль ми не записували б.

Таким чином, подивившись на закінчену запис розподілу багатозначного натурального числа 140288 на однозначне натуральне число 4, ми бачимо, що приватним є число 35072 (а залишок від розподілу дорівнює нулю, він знаходиться в нижньому рядку).

Звичайно ж, при розподілі натуральних чисел стовпчиком Ви не будете настільки докладно описувати всі свої дії. Ваші рішення будуть виглядати приблизно так, як у наведених нижче прикладах.

приклад.

Виконайте розподіл у стовпчик, якщо ділене дорівнює 7136 , а дільником є ​​однозначне натуральне число 9 .

Рішення.

На першому етапі алгоритму поділу натуральних чисел стовпчиком ми отримаємо запис виду

Після виконання дій з другого, третього та четвертого пунктів алгоритму запис поділу стовпчиком набуде вигляду

Повторивши цикл, матимемо

Ще один прохід дає нам закінчену картину поділу стовпчиком натуральних чисел 7136 і 9

Таким чином, неповне приватне дорівнює 792 а залишок від розподілу дорівнює 8 .

Відповідь:

7 136: 9 = 792 (зуп. 8) .

А цей приклад демонструє, як має виглядати поділ у стовпчик.

приклад.

Розділіть натуральне число 7042035 на однозначне натуральне число 7 .

Рішення.

Найзручніше виконати поділ стовпчиком.

Відповідь:

7 042 035:7=1 006 005 .

Розподіл стовпчиком багатозначних натуральних чисел

Поспішаємо Вас порадувати: якщо Ви добре засвоїли алгоритм поділу стовпчиком із попереднього пункту цієї статті, то Ви вже майже вмієте виконувати розподіл стовпчиком багатозначних натуральних чисел. Це справді так, оскільки з 2 по 4 етапи алгоритму залишаються незмінними, а першому пункті з'являються лише незначні зміни.

На першому етапі поділу в стовпчик багатозначних натуральних чисел потрібно дивитися не на першу ліворуч цифру в записі діленого, а на таку їх кількість, скільки символів міститься в записі дільника. Якщо число, яке визначається цими цифрами, більше від дільника, то в наступному пункті нам доведеться працювати з цим числом. Якщо ж це число менше, ніж дільник, то нам потрібно додати до розгляду наступну цифру ліворуч у записі діленого. Після цього виконуються дії, зазначені у 2, 3 та 4 пункті алгоритму до отримання кінцевого результату.

Залишилося лише подивитися застосування алгоритму поділу стовпчиком багатозначних натуральних чисел практично при вирішенні прикладів.

приклад.

Виконаємо поділ стовпчиком багатозначних натуральних чисел 5562 і 206 .

Рішення.

Так як в записі дільника 206 беруть участь 3 знаки, то дивимося на перші 3 цифри зліва в записі ділиться 5562 . Ці цифри відповідають числу 556. Так як 556 більше, ніж дільник 206 то число 556 приймаємо в якості робочого, виділяємо його, і переходимо до наступного етапу алгоритму.

Тепер множимо дільник 206 на числа 0, 1, 2, 3, … до того моменту, поки не отримаємо число, яке дорівнює 556, або більше, ніж 556. Маємо (якщо множення виконується складно, краще виконувати множення натуральних чисел стовпчиком): 206·0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Оскільки ми отримали число, яке більше числа 556 , під виділеним числом записуємо число 412 (воно було отримано на передостанньому кроці), але в місце приватного записуємо число 2 (оскільки нього проводилося множення на передостанньому кроці). Запис поділу стовпчиком набуває наступного вигляду:

Виконуємо віднімання стовпчиком. Отримуємо різницю 144 це число менше дільника, тому можна спокійно продовжувати виконання необхідних дій.

Під горизонтальною лінією праворуч від наявного там числа записуємо цифру 2 так як вона знаходиться в записі ділиться 5 562 в цьому стовпці:

Тепер ми працюємо з числом 1442, виділяємо його, і проходимо пункти з другого по четвертий ще раз.

Множимо дільник 206 на 0, 1, 2, 3, … до отримання числа 1442 або числа, яке більше, ніж 1442. Поїхали: 206 · 0 = 0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Проводимо віднімання стовпчиком, отримуємо нуль, але відразу його не записуємо, а лише запам'ятовуємо його позицію, тому що не знаємо, чи завершується на цьому поділ, чи доведеться ще раз повторювати кроки алгоритму:

Тепер ми бачимо, що під горизонтальну межу правіше за запам'ятовану позицію ми не можемо записати жодного числа, тому що в записі поділеного в цьому стовпці немає цифр. Отже, на цьому розподіл стовпчиком закінчено, і ми завершуємо запис:

• Математика. Будь-які підручники для 1, 2, 3, 4 класів загальноосвітніх закладів.
• Математика. Будь-які підручники для 5 класів загальноосвітніх закладів.