समाधान के साथ सजातीय उदाहरण करें। एक समांगी अवकल समीकरण को कैसे हल करें

विराम! आइए हम भी इस बोझिल फॉर्मूले को समझने की कोशिश करें।

पहली जगह में कुछ गुणांक के साथ डिग्री में पहला चर होना चाहिए। हमारे मामले में, यह

हमारे मामले में यह है। जैसा कि हमने पाया, इसका मतलब है कि यहां पहले चर के लिए डिग्री अभिसरण करती है। और पहली डिग्री में दूसरा चर जगह में है। गुणांक।

हमारे पास है।

पहला चर घातांक है, और दूसरा चर एक गुणांक के साथ चुकता है। यह समीकरण का अंतिम पद है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारा समीकरण सूत्र के रूप में परिभाषा में फिट बैठता है।

आइए परिभाषा के दूसरे (मौखिक) भाग को देखें।

हमारे पास दो अज्ञात और हैं। यहीं जम जाता है।

आइए सभी शर्तों पर विचार करें। उनमें, अज्ञात की डिग्री का योग समान होना चाहिए।

शक्तियों का योग बराबर होता है।

शक्तियों का योग (पर और पर) के बराबर है।

शक्तियों का योग बराबर होता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ फिट बैठता है!

आइए अब सजातीय समीकरणों को परिभाषित करने का अभ्यास करें।

निर्धारित करें कि कौन से समीकरण सजातीय हैं:

सजातीय समीकरण - संख्याओं के साथ समीकरण:

आइए समीकरण पर अलग से विचार करें।

यदि हम प्रत्येक पद को प्रत्येक पद का विस्तार करके विभाजित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है

और यह समीकरण पूरी तरह सजातीय समीकरणों की परिभाषा के अंतर्गत आता है।

सजातीय समीकरणों को कैसे हल करें?

उदाहरण 2

आइए समीकरण को विभाजित करें।

हमारी शर्त के अनुसार, y बराबर नहीं हो सकता। इसलिए, हम सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं

प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक सरल प्राप्त होता है द्विघात समीकरण:

चूंकि यह एक कम द्विघात समीकरण है, हम वीटा प्रमेय का उपयोग करते हैं:

रिवर्स प्रतिस्थापन करने पर, हमें उत्तर मिलता है

उत्तर:

उदाहरण 3

समीकरण को (शर्त के अनुसार) से विभाजित करें।

उत्तर:

उदाहरण 4

अगर खोजें।

यहां आपको विभाजित करने की नहीं, बल्कि गुणा करने की आवश्यकता है। पूरे समीकरण को इससे गुणा करें:

आइए एक प्रतिस्थापन करें और द्विघात समीकरण को हल करें:

रिवर्स प्रतिस्थापन करने पर, हमें उत्तर मिलता है:

उत्तर:

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान।

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान ऊपर वर्णित समाधान विधियों से अलग नहीं है। केवल यहाँ, अन्य बातों के अलावा, आपको थोड़ा त्रिकोणमिति जानने की आवश्यकता है। और निर्णय लेने में सक्षम हो त्रिकोणमितीय समीकरण(इसके लिए आप अनुभाग पढ़ सकते हैं)।

आइए उदाहरणों पर ऐसे समीकरणों पर विचार करें।

उदाहरण 5

प्रश्न हल करें।

हम एक विशिष्ट सजातीय समीकरण देखते हैं: और अज्ञात हैं, और प्रत्येक पद में उनकी शक्तियों का योग बराबर है।

समान समांगी समीकरणों को हल करना मुश्किल नहीं है, लेकिन समीकरणों को विभाजित करने से पहले, उस स्थिति पर विचार करें जब

इस मामले में, समीकरण रूप लेगा: लेकिन ज्या और कोज्या एक ही समय में समान नहीं हो सकते, क्योंकि मूल त्रिकोणमितीय पहचान के अनुसार। इसलिए, हम इसे सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं:

चूंकि समीकरण कम हो गया है, तो विएटा प्रमेय के अनुसार:

उत्तर:

उदाहरण 6

प्रश्न हल करें।

उदाहरण के रूप में, आपको समीकरण को विभाजित करने की आवश्यकता है। मामले पर विचार करें जब:

लेकिन ज्या और कोज्या एक ही समय में समान नहीं हो सकते, क्योंकि मूल त्रिकोणमितीय पहचान के अनुसार। इसीलिए।

आइए एक प्रतिस्थापन करें और द्विघात समीकरण को हल करें:

आइए हम उलटा प्रतिस्थापन करें और खोजें और:

उत्तर:

सजातीय घातीय समीकरणों का समाधान।

सजातीय समीकरणों को उसी तरह हल किया जाता है जैसे ऊपर माना जाता है। अगर आप भूल गए कि कैसे फैसला करना है घातीय समीकरण- संबंधित अनुभाग देखें ()!

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 7

प्रश्न हल करें

कल्पना कीजिए कि कैसे:

हम दो चरों और घातों के योग के साथ एक विशिष्ट सजातीय समीकरण देखते हैं। आइए समीकरण को इसमें विभाजित करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें कम द्विघात समीकरण मिलता है (इस मामले में, शून्य से विभाजित होने से डरने की कोई आवश्यकता नहीं है - यह हमेशा शून्य से अधिक सख्ती से होता है):

विएटा के प्रमेय के अनुसार:

उत्तर: .

उदाहरण 8

प्रश्न हल करें

कल्पना कीजिए कि कैसे:

आइए समीकरण को इसमें विभाजित करें:

आइए एक प्रतिस्थापन करें और द्विघात समीकरण को हल करें:

जड़ शर्त को पूरा नहीं करता है। हम रिवर्स प्रतिस्थापन करते हैं और पाते हैं:

उत्तर:

सजातीय समीकरण। औसत स्तर

सबसे पहले, एक समस्या के उदाहरण का उपयोग करते हुए, मैं आपको याद दिला दूं समांगी समीकरण क्या होते हैं और समांगी समीकरणों का हल क्या होता है।

समस्या का समाधान:

अगर खोजें।

यहां आप एक जिज्ञासु चीज देख सकते हैं: यदि हम प्रत्येक पद को इससे विभाजित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

अर्थात्, अब कोई पृथक् नहीं हैं और, - अब वांछित मान समीकरण में चर है। और यह एक साधारण द्विघात समीकरण है, जिसे वीटा के प्रमेय का उपयोग करके हल करना आसान है: जड़ों का उत्पाद बराबर है, और योग संख्या है और।

उत्तर:

फॉर्म के समीकरण

सजातीय कहा जाता है। अर्थात् यह दो अज्ञातों वाला एक समीकरण है, जिसके प्रत्येक पद में इन अज्ञातों की शक्तियों का योग समान है। उदाहरण के लिए, ऊपर के उदाहरण में, यह राशि बराबर है। इस डिग्री में अज्ञात में से एक द्वारा विभाजित करके सजातीय समीकरणों का समाधान किया जाता है:

और चर के बाद के परिवर्तन: . इस प्रकार, हम एक अज्ञात के साथ डिग्री का समीकरण प्राप्त करते हैं:

सबसे अधिक बार, हम दूसरी डिग्री (अर्थात द्विघात) के समीकरणों का सामना करेंगे, और हम उन्हें हल कर सकते हैं:

ध्यान दें कि पूरे समीकरण को एक चर से विभाजित करना (और गुणा करना) तभी संभव है जब हम आश्वस्त हों कि यह चर शून्य के बराबर नहीं हो सकता है! उदाहरण के लिए, यदि हमें खोजने के लिए कहा जाता है, तो हम तुरंत समझ जाते हैं, क्योंकि विभाजित करना असंभव है। ऐसे मामलों में जहां यह इतना स्पष्ट नहीं है, इस मामले की अलग से जांच करना आवश्यक है जब यह चर शून्य के बराबर हो। उदाहरण के लिए:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

हम यहां एक विशिष्ट सजातीय समीकरण देखते हैं: और अज्ञात हैं, और प्रत्येक पद में उनकी शक्तियों का योग बराबर है।

लेकिन, सम्मान के साथ द्विघात समीकरण को विभाजित करने और प्राप्त करने से पहले, हमें उस स्थिति पर विचार करना चाहिए जब। इस मामले में, समीकरण रूप लेगा: , इसलिए, । लेकिन साइन और कोसाइन एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हो सकते, क्योंकि मूल त्रिकोणमितीय पहचान के अनुसार:। इसलिए, हम इसे सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं:

मुझे आशा है कि यह समाधान पूरी तरह से स्पष्ट है? यदि नहीं, तो अनुभाग पढ़ें। यदि यह स्पष्ट नहीं है कि यह कहाँ से आया है, तो आपको पहले भी वापस जाने की आवश्यकता है - अनुभाग में।

अपने लिए तय करें:

1. अगर खोजें।
2. अगर खोजें।
3. प्रश्न हल करें।

यहाँ मैं संक्षेप में सीधे सजातीय समीकरणों का हल लिखूंगा:

समाधान:

उत्तर: ।

और यहाँ यह आवश्यक है कि विभाजित न करें, बल्कि गुणा करें:

उत्तर:

यदि आपने अभी तक त्रिकोणमितीय समीकरणों को नहीं पढ़ा है, तो आप इस उदाहरण को छोड़ सकते हैं।

चूंकि यहां हमें से विभाजित करने की आवश्यकता है, हम पहले यह सुनिश्चित करते हैं कि एक सौ शून्य के बराबर नहीं है:

और यह असंभव है।

उत्तर: ।

सजातीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

सभी सजातीय समीकरणों के समाधान को डिग्री में अज्ञात में से एक द्वारा विभाजित किया जाता है और चर के आगे परिवर्तन होता है।

कलन विधि:

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प्रथम कोटि का समांगी अवकल समीकरण फॉर्म का एक समीकरण है
, जहां f एक फलन है।

सजातीय अंतर समीकरण को कैसे परिभाषित करें

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण समरूप है, किसी को एक स्थिर t का परिचय देना चाहिए और y को ty से और x को tx: y → ty , x → tx से प्रतिस्थापित करना चाहिए। यदि t घटाया जाता है, तो यह सजातीय अंतर समीकरण. इस तरह के परिवर्तन के तहत व्युत्पन्न y′ नहीं बदलता है।
.

उदाहरण

निर्धारित करें कि क्या दिया गया समीकरण सजातीय है

समाधान

हम परिवर्तन करते हैं y → ty , x → tx ।


t . से विभाजित करें 2 .

.
समीकरण में t नहीं है। अतः यह एक समांगी समीकरण है।

एक समांगी अवकल समीकरण को हल करने की विधि

प्रतिस्थापन y = ux का उपयोग करके एक सजातीय प्रथम-क्रम अंतर समीकरण को वियोज्य चर वाले समीकरण में घटाया जाता है। आइए इसे दिखाते हैं। समीकरण पर विचार करें:
(मैं)
हम एक प्रतिस्थापन करते हैं:
वाई = ux
जहाँ u, x का एक फलन है। x के संबंध में अंतर करें:
वाई' =
हम मूल समीकरण में स्थानापन्न करते हैं (मैं).
,
,
(ii) .
अलग चर। dx से गुणा करें और x . से भाग दें (एफ (यू) - यू).

f . के लिए (यू) - यू 0और एक्स 0 हम पाते हैं:

हम एकीकृत करते हैं:

इस प्रकार, हमने समीकरण का व्यापक समाकलन प्राप्त किया है (मैं)वर्गों में:

हम एकीकरण स्थिरांक C को द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं लॉग सी, फिर

हम मॉड्यूल चिन्ह को छोड़ देते हैं, क्योंकि वांछित संकेतनिरंतर सी के संकेत की पसंद से निर्धारित होता है। तब सामान्य समाकलन रूप लेगा:

अगला, मामले पर विचार करें f (यू) - यू = 0.
यदि इस समीकरण की जड़ें हैं, तो वे समीकरण का हल हैं (ii). समीकरण के बाद से (ii)मूल समीकरण से मेल नहीं खाता है, तो आपको यह सुनिश्चित करना चाहिए कि अतिरिक्त समाधानमूल समीकरण को संतुष्ट करें (मैं).

जब भी, परिवर्तन की प्रक्रिया में, हम किसी समीकरण को किसी फलन से विभाजित करते हैं, जिसे हम g . के रूप में निरूपित करते हैं (एक्स, वाई), तो आगे के परिवर्तन g . के लिए मान्य हैं (एक्स, वाई) 0. इसलिए, मामला जी (एक्स, वाई) = 0.

प्रथम-क्रम सजातीय अंतर समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

प्रश्न हल करें

समाधान

आइए देखें कि क्या यह समीकरण सजातीय है। हम परिवर्तन करते हैं y → ty , x → tx । इस मामले में, y′ → y′ ।
,
,
.
हम टी से कम करते हैं।

स्थिरांक t कम कर दिया गया है। इसलिए, समीकरण सजातीय है।

हम एक प्रतिस्थापन y = ux बनाते हैं, जहाँ u x का एक फलन है।
वाई' = (यूएक्स) ′ = यू′ एक्स + यू (एक्स) ′ = यू′ एक्स + यू
मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
,
,
,
.
एक्स . के लिए 0 , |x| = एक्स। एक्स . के लिए 0 , |x| = - एक्स। हम लिखते हैं |x| = x का अर्थ है कि ऊपरी चिह्न x . के मानों को दर्शाता है 0 , और निचला वाला - मानों के लिए x 0 .
,
dx से गुणा करें और भाग दें।

तुम्हारे लिए 2 - 1 ≠ 0 अपने पास:

हम एकीकृत करते हैं:

टेबल इंटीग्रल,
.

आइए सूत्र लागू करें:
(ए + बी) (ए - बी) = ए 2 - बी 2.
चलो ए = यू,।
.
मोडुलो और लघुगणक दोनों भागों को लें,
.
यहाँ से
.

इस प्रकार हमारे पास है:
,
.
हम मापांक के चिह्न को छोड़ देते हैं, क्योंकि आवश्यक चिह्न अचर C के चिह्न को चुनकर प्रदान किया जाता है।

x से गुणा करें और ux = y प्रतिस्थापित करें।
,
.
आइए इसे चौकोर करें।
,
,
.

अब मामले पर विचार करें, आप 2 - 1 = 0 .
इस समीकरण की जड़ें
.
यह देखना आसान है कि फलन y = x मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

उत्तर

,
,
.

सन्दर्भ:
एन.एम. गुंथर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, लैन, 2003।

वर्तमान में, गणित के अध्ययन के बुनियादी स्तर के अनुसार, हाई स्कूल में गणित पढ़ने के लिए केवल 4 घंटे (बीजगणित के 2 घंटे, ज्यामिति के 2 घंटे) प्रदान किए जाते हैं। ग्रामीण छोटे स्कूलों में, वे स्कूल घटक की कीमत पर घंटों की संख्या बढ़ाने की कोशिश करते हैं। लेकिन अगर कक्षा मानवीय है, तो मानवीय विषयों के अध्ययन के लिए स्कूल के घटक को जोड़ा जाता है। एक छोटे से गाँव में अक्सर स्कूली बच्चे को चुनना नहीं पड़ता, वह उस कक्षा में पढ़ता है; स्कूल में क्या उपलब्ध है। वह वकील, इतिहासकार या पत्रकार नहीं बनने जा रहा है (ऐसे मामले हैं), लेकिन एक इंजीनियर या अर्थशास्त्री बनना चाहता है, इसलिए गणित की परीक्षा उच्च अंकों से उत्तीर्ण होनी चाहिए। ऐसी परिस्थितियों में, गणित के शिक्षक को इस स्थिति से बाहर निकलने का अपना रास्ता खोजना पड़ता है, इसके अलावा, कोलमोगोरोव की पाठ्यपुस्तक के अनुसार, "सजातीय समीकरण" विषय का अध्ययन प्रदान नहीं किया जाता है। पिछले वर्षों में, इस विषय को पेश करने और इसे सुदृढ़ करने के लिए, मुझे दो दोहरे पाठों की आवश्यकता थी। दुर्भाग्य से, शैक्षिक पर्यवेक्षण ने स्कूल में दोहरे पाठों की मनाही की, इसलिए अभ्यासों की संख्या को घटाकर 45 मिनट करना पड़ा, और तदनुसार, अभ्यासों की कठिनाई का स्तर मध्यम से कम कर दिया गया। मैं आपके ध्यान में इस विषय पर 10वीं कक्षा में एक ग्रामीण, खराब सुविधा वाले स्कूल में गणित के बुनियादी स्तर के साथ एक पाठ योजना लाता हूं।

पाठ प्रकार: परंपरागत।

लक्ष्य: विशिष्ट सजातीय समीकरणों को हल करना सीखें।

कार्य:

संज्ञानात्मक:

शिक्षात्मक:

शिक्षात्मक:

• कार्यों के रोगी प्रदर्शन के माध्यम से परिश्रम की शिक्षा, जोड़े और समूहों में काम के माध्यम से सौहार्द की भावना।

कक्षाओं के दौरान

मैं।संगठनात्मक मंच(3 मि.)

द्वितीय. नई सामग्री को आत्मसात करने के लिए आवश्यक ज्ञान की जाँच करना (10 मि.)

प्रदर्शन किए गए कार्यों के आगे के विश्लेषण के साथ मुख्य कठिनाइयों की पहचान करें। बच्चों के पास चुनने के लिए 3 विकल्प हैं। कार्यों को जटिलता की डिग्री और बच्चों की तैयारी के स्तर से अलग किया जाता है, इसके बाद ब्लैकबोर्ड पर स्पष्टीकरण दिया जाता है।

1 स्तर. समीकरणों को हल करें:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2-x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 उत्तर: 7;3

2 स्तर. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों और द्विघात समीकरण को हल करें:

उत्तर:

बी) एक्स 4 -13x 3 +36=0 उत्तर: -2; 2; -3; 3

तीसरा स्तर।चर विधि के परिवर्तन द्वारा समीकरणों को हल करना:

बी) एक्स 6 -9x 3 +8=0 उत्तर:

III.संदेश विषय, लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करना।

विषय: सजातीय समीकरण

लक्ष्य: विशिष्ट सजातीय समीकरणों को हल करना सीखें

कार्य:

संज्ञानात्मक:

• सजातीय समीकरणों से परिचित हों, ऐसे समीकरणों के सबसे सामान्य प्रकारों को हल करना सीखें।

शिक्षात्मक:

• विश्लेषणात्मक सोच का विकास।
• गणितीय कौशल का विकास: उन मुख्य विशेषताओं को उजागर करना सीखें जिनके द्वारा सजातीय समीकरण अन्य समीकरणों से भिन्न होते हैं, अपने विभिन्न अभिव्यक्तियों में सजातीय समीकरणों की समानता स्थापित करने में सक्षम होते हैं।

चतुर्थ। नए ज्ञान को आत्मसात करना (15 मि.)

1. व्याख्यान क्षण।

परिभाषा 1(नोटबुक में लिखें)। P(x;y)=0 रूप का एक समीकरण समघात कहलाता है यदि P(x;y) एक समांगी बहुपद है।

दो चरों x और y वाले बहुपद को समांगी कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक पद की घात समान संख्या k के बराबर हो।

परिभाषा 2(सिर्फ एक परिचय)। फॉर्म के समीकरण

u(x) और v(x) के संबंध में घात n का सजातीय समीकरण कहलाता है। समीकरण के दोनों पक्षों को (v(x))n से विभाजित करके, हम समीकरण प्राप्त करने के लिए प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं

यह मूल समीकरण को सरल करता है। मामला v(x)=0 अलग से माना जाना चाहिए, क्योंकि 0 से विभाजित करना असंभव है।

2. सजातीय समीकरणों के उदाहरण:

समझाएं कि वे सजातीय क्यों हैं, ऐसे समीकरणों के अपने उदाहरण दें।

3. सजातीय समीकरणों की परिभाषा के लिए कार्य:

के बीच दिए गए समीकरणसजातीय समीकरणों को परिभाषित करें और अपनी पसंद की व्याख्या करें:

किसी एक उदाहरण पर अपनी पसंद की व्याख्या करने के बाद, एक समांगी समीकरण को हल करने का तरीका दिखाएं:

4. स्वयं निर्णय लें:

उत्तर:

बी) 2सिन एक्स - 3 कॉस एक्स \u003d 0

समीकरण के दोनों पक्षों को cos x से विभाजित करने पर हमें 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ + प्राप्त होता है।

5. ब्रोशर उदाहरण समाधान दिखाएँ"पी.वी. चुलकोव। गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में समीकरण और असमानताएँ। मास्को शैक्षणिक विश्वविद्यालय"सितंबर का पहला" 2006 पी.22। संभव में से एक के रूप में उदाहरण का उपयोग करेंस्तर सी।

वी. बश्माकोव की पाठ्यपुस्तक के अनुसार समेकित करने के लिए हल करें

पृष्ठ 183 नंबर 59 (1.5) या कोलमोगोरोव द्वारा संपादित पाठ्यपुस्तक के अनुसार: पृष्ठ 81 नंबर 169 (ए, सी)

उत्तर:

छठी. जाँच, स्वतंत्र कार्य (7 मि.)

कार्यों के उत्तर:

विकल्प 1 ए) उत्तर: arctg2+πn,n € Z; बी) उत्तर: ±π/2+ 3πn,n € Z; में)

Option 2 a) उत्तर: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; बी) उत्तर: -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; ग) (-5; -2); (5;2)

सातवीं. गृहकार्य

कोलमोगोरोव के अनुसार नंबर 169, बश्माकोव के अनुसार नंबर 59।

इसके अलावा, समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

उत्तर: आर्कटग(-1±√3) +πn ,

सन्दर्भ:

1. पी.वी. चुलकोव। गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में समीकरण और असमानताएँ। - एम।: शैक्षणिक विश्वविद्यालय "सितंबर का पहला", 2006। पृष्ठ 22
2. ए। मर्ज़लीक, वी। पोलोन्स्की, ई। राबिनोविच, एम। याकिर। त्रिकोणमिति। - एम।: "एएसटी-प्रेस", 1998, पी। 389
3. ग्रेड 8 के लिए बीजगणित, एन.वाई.ए. द्वारा संपादित। विलेनकिन। - एम।: "ज्ञानोदय", 1997।
4. ग्रेड 9 के लिए बीजगणित, N.Ya द्वारा संपादित। विलेनकिन। मास्को "ज्ञानोदय", 2001।
5. एम.आई. बश्माकोव। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 10-11 - एम के लिए: "ज्ञानोदय" 1993
6. कोलमोगोरोव, अब्रामोव, डुडनित्सिन। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। 10-11 ग्रेड के लिए। - एम।: "ज्ञानोदय", 1990।
7. ए.जी. मोर्दकोविच। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। भाग 1 पाठ्यपुस्तक 10-11 ग्रेड। - एम।: "मेनेमोसिन", 2004।

मुझे लगता है कि हमें इस तरह के एक शानदार गणितीय उपकरण के इतिहास से शुरुआत करनी चाहिए विभेदक समीकरण. सभी डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस की तरह, इन समीकरणों का आविष्कार न्यूटन ने 17 वीं शताब्दी के अंत में किया था। उन्होंने अपनी इस खोज को इतना महत्वपूर्ण माना कि उन्होंने संदेश को भी एन्क्रिप्ट कर दिया, जिसका आज कुछ इस तरह अनुवाद किया जा सकता है: "प्रकृति के सभी नियमों को अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है।" यह एक अतिशयोक्ति की तरह लग सकता है, लेकिन यह सच है। इन समीकरणों द्वारा भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान के किसी भी नियम का वर्णन किया जा सकता है।

गणितज्ञ यूलर और लैग्रेंज ने अंतर समीकरणों के सिद्धांत के विकास और निर्माण में बहुत बड़ा योगदान दिया था। पहले से ही 18 वीं शताब्दी में, उन्होंने विश्वविद्यालयों के वरिष्ठ पाठ्यक्रमों में अब जो अध्ययन कर रहे हैं, उसे खोजा और विकसित किया।

हेनरी पॉइनकेयर की बदौलत डिफरेंशियल इक्वेशन के अध्ययन में एक नया मील का पत्थर शुरू हुआ। उन्होंने "अंतर समीकरणों का गुणात्मक सिद्धांत" बनाया, जिसने एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के संयोजन में, टोपोलॉजी की नींव में महत्वपूर्ण योगदान दिया - अंतरिक्ष का विज्ञान और इसके गुण।

अंतर समीकरण क्या हैं?

बहुत से लोग एक वाक्यांश से डरते हैं। हालाँकि, इस लेख में हम इस बहुत उपयोगी गणितीय उपकरण के पूरे सार का विस्तार करेंगे, जो वास्तव में उतना जटिल नहीं है जितना कि नाम से लगता है। प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों के बारे में बात करना शुरू करने के लिए, आपको पहले उन मूल अवधारणाओं से परिचित होना चाहिए जो स्वाभाविक रूप से इस परिभाषा से संबंधित हैं। आइए अंतर से शुरू करें।

अंतर

बहुत से लोग इस अवधारणा को स्कूल से जानते हैं। हालांकि, आइए इसे करीब से देखें। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कल्पना करें। हम इसे इस हद तक बढ़ा सकते हैं कि इसका कोई भी खंड एक सीधी रेखा का रूप ले ले। उस पर हम दो बिंदु लेते हैं जो एक दूसरे के असीम रूप से करीब हैं। उनके निर्देशांक (x या y) के बीच का अंतर एक अपरिमित मान होगा। इसे डिफरेंशियल कहा जाता है और इसे dy (y से डिफरेंशियल) और dx (x से डिफरेंशियल) द्वारा दर्शाया जाता है। यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि अंतर एक सीमित मूल्य नहीं है, और यह इसका अर्थ और मुख्य कार्य है।

और अब निम्नलिखित तत्व पर विचार करना आवश्यक है, जो अवकल समीकरण की अवधारणा को समझाने में हमारे लिए उपयोगी होगा। यह एक व्युत्पन्न है।

यौगिक

हम सभी ने शायद इस अवधारणा को स्कूल में सुना है। व्युत्पन्न को किसी फ़ंक्शन की वृद्धि या कमी की दर कहा जाता है। हालाँकि, इस परिभाषा का अधिकांश भाग समझ से बाहर हो जाता है। आइए अवकलज को अवकलनों के रूप में समझाने का प्रयास करें। आइए एक फ़ंक्शन के एक अतिसूक्ष्म खंड पर दो बिंदुओं के साथ वापस जाएं जो एक दूसरे से न्यूनतम दूरी पर हैं। लेकिन इस दूरी के लिए भी, फ़ंक्शन कुछ मात्रा में बदलने का प्रबंधन करता है। और इस परिवर्तन का वर्णन करने के लिए, वे एक व्युत्पन्न के साथ आए, जिसे अन्यथा अंतर के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: f (x) "=df / dx.

अब यह व्युत्पन्न के मूल गुणों पर विचार करने योग्य है। उनमें से केवल तीन हैं:

1. योग या अंतर के व्युत्पन्न को डेरिवेटिव के योग या अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है: (a+b)"=a"+b" और (a-b)"=a"-b"।
2. दूसरी संपत्ति गुणन से संबंधित है। किसी उत्पाद का व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन के उत्पादों का योग और दूसरे का व्युत्पन्न होता है: (a*b)"=a"*b+a*b"।
3. अंतर के व्युत्पन्न को निम्नलिखित समानता के रूप में लिखा जा सकता है: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 ।

ये सभी गुण प्रथम कोटि के अवकल समीकरणों के हल खोजने में हमारे लिए उपयोगी होंगे।

आंशिक डेरिवेटिव भी हैं। मान लीजिए कि हमारे पास एक फ़ंक्शन z है जो चर x और y पर निर्भर करता है। इस फलन के आंशिक अवकलज की गणना करने के लिए, मान लीजिए, x के संबंध में, हमें चर y को एक स्थिरांक के रूप में लेना होगा और सरलता से अंतर करना होगा।

अभिन्न

एक और महत्वपूर्ण अवधारणा अभिन्न है। वास्तव में, यह व्युत्पन्न के प्रत्यक्ष विपरीत है। समाकल कई प्रकार के होते हैं, लेकिन सरलतम अवकल समीकरणों को हल करने के लिए हमें सबसे तुच्छ की आवश्यकता होती है

तो, मान लीजिए कि हमारे पास x पर f की कुछ निर्भरता है। हम इससे समाकलन लेते हैं और फलन F (x) (जिसे अक्सर प्रतिअवकलन कहते हैं) प्राप्त करते हैं, जिसका अवकलज मूल फलन के बराबर होता है। इस प्रकार F(x)"=f(x)। इससे यह भी पता चलता है कि अवकलज का समाकल मूल फलन के बराबर होता है।

अवकल समीकरणों को हल करते समय, समाकल के अर्थ और कार्य को समझना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि समाधान खोजने के लिए आपको उन्हें बहुत बार लेना होगा।

समीकरण उनकी प्रकृति के आधार पर भिन्न होते हैं। अगले भाग में, हम प्रथम-कोटि अवकल समीकरणों के प्रकारों पर विचार करेंगे, और फिर हम सीखेंगे कि उन्हें कैसे हल किया जाए।

अवकल समीकरणों के वर्ग

"डिफुरा" को उनमें शामिल डेरिवेटिव के क्रम के अनुसार विभाजित किया गया है। इस प्रकार, पहला, दूसरा, तीसरा और अधिक क्रम है। उन्हें कई वर्गों में भी विभाजित किया जा सकता है: साधारण और आंशिक डेरिवेटिव।

इस लेख में हम प्रथम कोटि के साधारण अवकल समीकरणों पर विचार करेंगे। हम निम्नलिखित अनुभागों में उदाहरणों और उन्हें हल करने के तरीकों पर भी चर्चा करेंगे। हम केवल ODE पर विचार करेंगे, क्योंकि ये सबसे सामान्य प्रकार के समीकरण हैं। साधारण को उप-प्रजातियों में विभाजित किया जाता है: वियोज्य चर, सजातीय और विषम के साथ। इसके बाद, आप सीखेंगे कि वे एक दूसरे से कैसे भिन्न हैं, और उन्हें हल करना सीखेंगे।

इसके अलावा, इन समीकरणों को जोड़ा जा सकता है, ताकि बाद में हमें पहले क्रम के अंतर समीकरणों की एक प्रणाली मिल जाए। हम ऐसी प्रणालियों पर भी विचार करेंगे और सीखेंगे कि उन्हें कैसे हल किया जाए।

हम केवल पहले आदेश पर ही विचार क्यों कर रहे हैं? क्योंकि आपको एक सरल से शुरू करने की आवश्यकता है, और एक लेख में अंतर समीकरणों से संबंधित हर चीज का वर्णन करना असंभव है।

वियोज्य चर समीकरण

ये शायद सबसे सरल प्रथम-क्रम अंतर समीकरण हैं। इनमें ऐसे उदाहरण शामिल हैं जिन्हें इस तरह लिखा जा सकता है: y "=f (x) * f (y)। इस समीकरण को हल करने के लिए, हमें व्युत्पन्न को अंतर के अनुपात के रूप में दर्शाने के लिए एक सूत्र की आवश्यकता होती है: y" = dy / dx। इसका प्रयोग करते हुए, हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं: dy/dx=f(x)*f(y)। अब हम मानक उदाहरणों को हल करने की विधि की ओर मुड़ सकते हैं: हम चर को भागों में विभाजित करेंगे, अर्थात, हम y चर के साथ सब कुछ उस हिस्से में स्थानांतरित करेंगे जहां dy स्थित है, और हम x चर के साथ भी ऐसा ही करेंगे। हम फॉर्म का एक समीकरण प्राप्त करते हैं: dy/f(y)=f(x)dx, जिसे दोनों भागों के इंटीग्रल लेकर हल किया जाता है। स्थिरांक के बारे में मत भूलना, जिसे अभिन्न लेने के बाद सेट किया जाना चाहिए।

किसी भी "अंतर" का समाधान y (हमारे मामले में) पर x की निर्भरता का एक कार्य है या, यदि कोई संख्यात्मक स्थिति है, तो उत्तर एक संख्या के रूप में है। आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके पूरे समाधान पर एक नज़र डालें:

हम चर को अलग-अलग दिशाओं में स्थानांतरित करते हैं:

अब हम इंटीग्रल लेते हैं। उन सभी को इंटीग्रल की एक विशेष तालिका में पाया जा सकता है। और हमें मिलता है:

log(y) = -2*cos(x) + C

यदि आवश्यक हो, तो हम "y" को "x" के एक फलन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। अब हम कह सकते हैं कि यदि कोई शर्त न दी गई हो तो हमारा अवकल समीकरण हल हो जाता है। एक शर्त दी जा सकती है, उदाहरण के लिए, y(n/2)=e. फिर हम केवल इन चरों के मान को समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं और स्थिरांक का मान ज्ञात करते हैं। हमारे उदाहरण में, यह 1 के बराबर है।

प्रथम कोटि के समांगी अवकल समीकरण

अब चलिए अधिक कठिन भाग पर चलते हैं। प्रथम कोटि के समांगी अवकल समीकरणों को लिखा जा सकता है सामान्य दृष्टि सेतो: y"=z(x,y)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दो चर का सही कार्य सजातीय है, और इसे दो निर्भरताओं में विभाजित नहीं किया जा सकता है: x पर z और y पर z। यह जांचना कि समीकरण सजातीय है या नहीं नहीं बहुत आसान है: हम प्रतिस्थापन x=k*x और y=k*y करते हैं। अब हम सभी k को रद्द कर देते हैं। यदि इन सभी अक्षरों को कम कर दिया गया है, तो समीकरण समरूप है और आप इसे हल करने के लिए सुरक्षित रूप से आगे बढ़ सकते हैं। देख रहे हैं आगे, आइए बताते हैं: इन उदाहरणों को हल करने का सिद्धांत भी बहुत सरल है।

हमें एक प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है: y=t(x)*x, जहां t कुछ फ़ंक्शन है जो x पर भी निर्भर करता है। तब हम अवकलज को व्यक्त कर सकते हैं: y"=t"(x)*x+t. इन सभी को हमारे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने और इसे सरल बनाने के लिए, हमें वियोज्य चर t और x के साथ एक उदाहरण मिलता है। हम इसे हल करते हैं और निर्भरता t(x) प्राप्त करते हैं। जब हम इसे प्राप्त कर लेते हैं, तो हम बस y=t(x)*x को हमारे पिछले प्रतिस्थापन में प्रतिस्थापित करते हैं। तब हमें y की x पर निर्भरता प्राप्त होती है।

इसे और स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण देखें: x*y"=y-x*e y/x ।

प्रतिस्थापन के साथ जाँच करते समय, सब कुछ कम हो जाता है। तो समीकरण वास्तव में सजातीय है। अब हम एक और प्रतिस्थापन करते हैं जिसके बारे में हमने बात की: y=t(x)*x और y"=t"(x)*x+t(x)। सरलीकरण के बाद, हमें निम्नलिखित समीकरण मिलते हैं: t "(x) * x \u003d -e t। हम परिणामी उदाहरण को अलग किए गए चर के साथ हल करते हैं और प्राप्त करते हैं: e -t \u003dln (C * x)। हमें केवल t को बदलने की आवश्यकता है y / x के साथ (क्योंकि यदि y \u003d t * x, तो t \u003d y / x), और हमें उत्तर मिलता है: e -y / x \u003d ln (x * C)।

पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण

एक और व्यापक विषय पर विचार करने का समय आ गया है। हम प्रथम कोटि के अमानवीय अवकल समीकरणों का विश्लेषण करेंगे। वे पिछले दो से कैसे भिन्न हैं? आइए इसका पता लगाते हैं। सामान्य रूप में पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण निम्नानुसार लिखे जा सकते हैं: y "+ g (x) * y \u003d z (x)। यह स्पष्ट करने योग्य है कि z (x) और g (x) स्थिर मान हो सकते हैं .

और अब एक उदाहरण: y" - y*x=x 2 ।

हल करने के दो तरीके हैं, और हम दोनों का विश्लेषण क्रम में करेंगे। पहला मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि है।

इस तरह से समीकरण को हल करने के लिए, आपको पहले बराबर करना होगा दाईं ओरशून्य करने के लिए और परिणामी समीकरण को हल करें, जो भागों के हस्तांतरण के बाद रूप लेगा:

एलएन|वाई|=एक्स 2 /2 + सी;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2।

अब हमें अचर C 1 को फलन v(x) से बदलना है, जिसे हमें खोजना है।

आइए व्युत्पन्न बदलें:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 ।

आइए इन भावों को मूल समीकरण में बदलें:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 ।

यह देखा जा सकता है कि बाईं ओर दो शब्द रद्द कर दिए गए हैं। अगर किसी उदाहरण में ऐसा नहीं हुआ, तो आपने कुछ गलत किया। चलो जारी रखते है:

वी"*ई x2/2 = x 2 ।

अब हम सामान्य समीकरण को हल करते हैं जिसमें हमें चरों को अलग करने की आवश्यकता होती है:

डीवी/डीएक्स=एक्स 2 /ई एक्स2/2;

डीवी = एक्स 2 *ई - x2/2 डीएक्स।

इंटीग्रल निकालने के लिए, हमें यहां पार्ट द्वारा इंटीग्रेशन लागू करना होगा। हालाँकि, यह हमारे लेख का विषय नहीं है। यदि आप रुचि रखते हैं, तो आप स्वयं ऐसे कार्यों को करना सीख सकते हैं। यह मुश्किल नहीं है, और पर्याप्त कौशल और देखभाल के साथ, इसमें ज्यादा समय नहीं लगता है।

आइए दूसरे समाधान की ओर मुड़ें। अमानवीय समीकरण: बर्नौली विधि। कौन सा दृष्टिकोण तेज़ और आसान है आप पर निर्भर है।

इसलिए, इस विधि द्वारा समीकरण को हल करते समय, हमें एक प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है: y=k*n। यहाँ k और n कुछ x-निर्भर फलन हैं। तब अवकलज इस तरह दिखेगा: y"=k"*n+k*n"। हम समीकरण में दोनों प्रतिस्थापनों को प्रतिस्थापित करते हैं:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 ।

समूहीकरण:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 ।

अब हमें शून्य के बराबर करने की आवश्यकता है जो कोष्ठक में है। अब, यदि हम दो परिणामी समीकरणों को जोड़ते हैं, तो हमें प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है जिसे हल करने की आवश्यकता होती है:

हम पहली समानता को एक साधारण समीकरण के रूप में हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको चर को अलग करने की आवश्यकता है:

हम समाकल लेते हैं और प्राप्त करते हैं: ln(n)=x 2 /2। तब, यदि हम n व्यक्त करते हैं:

अब हम परिणामी समानता को सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

के "*ई x2/2 \u003d x 2।

और रूपांतरित होने पर, हमें पहली विधि की तरह ही समानता मिलती है:

dk=x 2 /e x2/2 ।

हम आगे की कार्रवाइयों का विश्लेषण भी नहीं करेंगे। यह कहने योग्य है कि पहले क्रम के अंतर समीकरणों को हल करने से महत्वपूर्ण कठिनाइयाँ होती हैं। हालांकि, विषय में गहरे विसर्जन के साथ, यह बेहतर और बेहतर होने लगता है।

विभेदक समीकरण कहाँ उपयोग किए जाते हैं?

विभेदक समीकरण भौतिकी में बहुत सक्रिय रूप से उपयोग किए जाते हैं, क्योंकि लगभग सभी बुनियादी कानून अंतर रूप में लिखे गए हैं, और जो सूत्र हम देखते हैं वे इन समीकरणों के समाधान हैं। रसायन विज्ञान में, उनका उपयोग उसी कारण से किया जाता है: बुनियादी कानून उनसे प्राप्त होते हैं। जीव विज्ञान में, विभेदक समीकरणों का उपयोग सिस्टम के व्यवहार को मॉडल करने के लिए किया जाता है, जैसे कि शिकारी-शिकार। उनका उपयोग सूक्ष्मजीवों के एक उपनिवेश, कहते हैं, के प्रजनन मॉडल बनाने के लिए भी किया जा सकता है।

जीवन में अंतर समीकरण कैसे मदद करेंगे?

इस प्रश्न का उत्तर सरल है: बिलकुल नहीं। यदि आप वैज्ञानिक या इंजीनियर नहीं हैं, तो वे आपके लिए उपयोगी होने की संभावना नहीं है। हालांकि, के लिए सामान्य विकासयह जानकर दुख नहीं होता कि अंतर समीकरण क्या है और इसे कैसे हल किया जाता है। और फिर एक बेटे या बेटी का सवाल "डिफरेंशियल इक्वेशन क्या है?" आपको भ्रमित नहीं करेगा। खैर, अगर आप एक वैज्ञानिक या इंजीनियर हैं, तो आप खुद किसी भी विज्ञान में इस विषय के महत्व को समझते हैं। लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अब सवाल यह है कि "पहले क्रम के अंतर समीकरण को कैसे हल किया जाए?" आप हमेशा उत्तर दे सकते हैं। सहमत हूं, यह हमेशा अच्छा होता है जब आप समझते हैं कि लोग क्या समझने से डरते हैं।

सीखने में मुख्य समस्या

इस विषय को समझने में मुख्य समस्या कार्यों को एकीकृत और विभेदित करने का खराब कौशल है। यदि आप डेरिवेटिव और इंटीग्रल लेने में अच्छे नहीं हैं, तो यह शायद अधिक सीखने लायक है, एकीकरण और भेदभाव के विभिन्न तरीकों में महारत हासिल है, और उसके बाद ही लेख में वर्णित सामग्री का अध्ययन करने के लिए आगे बढ़ें।

कुछ लोगों को आश्चर्य होता है जब उन्हें पता चलता है कि dx को स्थानांतरित किया जा सकता है, क्योंकि पहले (स्कूल में) यह कहा गया था कि भिन्न dy / dx अविभाज्य है। यहां आपको व्युत्पन्न पर साहित्य पढ़ने और यह समझने की आवश्यकता है कि यह अनंत मात्राओं का अनुपात है जिसे समीकरणों को हल करते समय हेरफेर किया जा सकता है।

कई लोगों को तुरंत यह एहसास नहीं होता है कि प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों का समाधान अक्सर एक फ़ंक्शन या एक अभिन्न अंग होता है जिसे नहीं लिया जा सकता है, और यह भ्रम उन्हें बहुत परेशानी देता है।

बेहतर समझ के लिए और क्या अध्ययन किया जा सकता है?

विशेष पाठ्यपुस्तकों के साथ अंतर कलन की दुनिया में और अधिक विसर्जन शुरू करना सबसे अच्छा है, उदाहरण के लिए, गणितीय विश्लेषणगैर-गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों के लिए। तब आप अधिक विशिष्ट साहित्य की ओर बढ़ सकते हैं।

यह कहने योग्य है कि, विभेदक समीकरणों के अलावा, अभिन्न समीकरण भी होते हैं, इसलिए आपके पास हमेशा प्रयास करने के लिए कुछ और अध्ययन करने के लिए कुछ होगा।

निष्कर्ष

हम आशा करते हैं कि इस लेख को पढ़ने के बाद आपको इस बात का अंदाजा हो गया होगा कि अंतर समीकरण क्या हैं और उन्हें सही तरीके से कैसे हल किया जाए।

वैसे भी जीवन में गणित हमारे लिए किसी न किसी तरह से उपयोगी है। यह तर्क और ध्यान विकसित करता है, जिसके बिना हर व्यक्ति बिना हाथों के समान है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन
पहले आयाम का एक सजातीय कार्य है, क्योंकि

तीसरे आयाम का एक सजातीय कार्य है, क्योंकि

शून्य आयाम का एक सजातीय कार्य है, क्योंकि

, अर्थात।
.

परिभाषा 2. प्रथम कोटि अंतर समीकरण आप" = एफ(एक्स, आप) को सजातीय कहा जाता है यदि फलन एफ(एक्स, आप) के संबंध में एक सजातीय शून्य आयाम फलन है एक्स तथा आप, या, जैसा कि वे कहते हैं, एफ(एक्स, आप) डिग्री शून्य का एक समांगी फलन है।

इसे के रूप में दर्शाया जा सकता है

जो हमें एक समांगी समीकरण को एक अवकल समीकरण के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देता है जिसे रूप (3.3) में बदला जा सकता है।

प्रतिस्थापन
एक सजातीय समीकरण को वियोज्य चर वाले समीकरण में कम कर देता है। दरअसल, प्रतिस्थापन के बाद वाई =xzहम पाते हैं
,
चर को अलग करना और एकीकृत करना, हम पाते हैं:

,

उदाहरण 1. समीकरण को हल करें।

हम मानते हैं वाई =जेडएक्स,
हम इन अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करते हैं आप तथा डीवाईइस समीकरण में:
या
चर अलग करना:
और एकीकृत करें:
,

की जगह जेडपर , हम पाते हैं
.

उदाहरण 2 पाना सामान्य निर्णयसमीकरण

इस समीकरण में पी (एक्स,आप) =एक्स 2 -2आप 2 ,क्यू(एक्स,आप) =2xyदूसरे आयाम के सजातीय कार्य हैं, इसलिए, यह समीकरण सजातीय है। इसे के रूप में दर्शाया जा सकता है
और ऊपर की तरह ही हल करें। लेकिन हम एक अलग संकेतन का उपयोग करते हैं। चलो रखो आप = जेडएक्स, कहाँ पे डीवाई = जेडडीएक्स + xdz. इन व्यंजकों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होगा

डीएक्स+2 zxdz = 0 .

हम चर को अलग करते हैं, गिनती

.

हम इस समीकरण को शब्द दर शब्द एकीकृत करते हैं

, कहाँ पे

वह है
. पुराने समारोह में लौटना
एक सामान्य समाधान खोजें


उदाहरण 3 . समीकरण का एक सामान्य हल खोजें
.

परिवर्तन की श्रृंखला: ,आप = जेडएक्स,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

व्याख्यान 8

4. प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का रूप होता है

यहाँ, मुक्त पद है, जिसे समीकरण का दायाँ पक्ष भी कहा जाता है। इस रूप में, हम विचार करेंगे रेखीय समीकरणआगे।

यदि एक
0, तो समीकरण (4.1a) को रैखिक अमानवीय कहा जाता है। यदि
0, तब समीकरण रूप लेता है

और रैखिक सजातीय कहा जाता है।

समीकरण का नाम (4.1a) इस तथ्य से समझाया गया है कि अज्ञात फलन आप और इसके व्युत्पन्न इसे रैखिक रूप से दर्ज करें, अर्थात। पहली डिग्री में।

एक रैखिक सजातीय समीकरण में, चर अलग हो जाते हैं। इसे फॉर्म में फिर से लिखना
कहाँ पे
और एकीकरण, हम प्राप्त करते हैं:
,वे।

जब विभाजित हम निर्णय खो देते हैं
. हालाँकि, इसे समाधानों के पाए गए परिवार (4.3) में शामिल किया जा सकता है यदि हम मान लें कि से 0 का मान भी ले सकते हैं।

समीकरण (4.1a) को हल करने की कई विधियाँ हैं। के अनुसार बर्नौली विधि, समाधान दो कार्यों के उत्पाद के रूप में मांगा जाता है एक्स:

इन कार्यों में से एक को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, क्योंकि केवल उत्पाद यूवी मूल समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए, दूसरा समीकरण (4.1a) के आधार पर निर्धारित किया जाता है।

समानता के दोनों पक्षों (4.4) में अंतर करते हुए, हम पाते हैं
.

परिणामी व्युत्पन्न व्यंजक को प्रतिस्थापित करना , साथ ही मूल्य पर समीकरण (4.1a) में, हम प्राप्त करते हैं
, या

वे। एक समारोह के रूप में वीसजातीय रैखिक समीकरण (4.6) का हल लें:

(यहां सीलिखना अनिवार्य है, अन्यथा आपको एक सामान्य नहीं, बल्कि एक विशेष समाधान मिलेगा)।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि उपयोग किए गए प्रतिस्थापन (4.4) के परिणामस्वरूप, समीकरण (4.1a) वियोज्य चर (4.6) और (4.7) के साथ दो समीकरणों तक कम हो जाता है।

स्थानापन्न
तथा वी(x) सूत्र (4.4) में, हम अंत में प्राप्त करते हैं

,

उदाहरण 1 समीकरण का एक सामान्य हल खोजें

हम डाल
, फिर
. भावों को प्रतिस्थापित करना तथा मूल समीकरण में, हम प्राप्त करते हैं
या
(*)

हम गुणांक को शून्य के बराबर करते हैं :

परिणामी समीकरण में चरों को अलग करने पर, हमारे पास है


(मनमाना स्थिरांक सी मत लिखो), इसलिए वी= एक्स. पाया मूल्य वीसमीकरण (*) में स्थानापन्न करें:

,
,
.

फलस्वरूप,
मूल समीकरण का सामान्य हल

ध्यान दें कि समीकरण (*) को एक समान रूप में लिखा जा सकता है:

.

बेतरतीब ढंग से एक समारोह का चयन तुम, लेकिन नहीं वी, हम मान सकते हैं
. हल करने का यह तरीका केवल बदले हुए विचार से भिन्न होता है वीपर तुम(और इसीलिए तुमपर वी), ताकि अंतिम मूल्य परएक ही हो जाता है।

उपरोक्त के आधार पर, हम प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम प्राप्त करते हैं।

आगे ध्यान दें कि कभी-कभी प्रथम-क्रम समीकरण रैखिक हो जाता है यदि परएक स्वतंत्र चर माना जा सकता है, और एक्स- आश्रित, अर्थात्। भूमिकाएं बदलें एक्स तथा आप. यह किया जा सकता है बशर्ते कि एक्सतथा डीएक्सरैखिक रूप से समीकरण दर्ज करें।

उदाहरण 2 . प्रश्न हल करें
.

दिखने में, यह समीकरण फलन के संबंध में रैखिक नहीं है पर.

हालांकि, अगर हम विचार करें एक्सके एक समारोह के रूप में पर, तो, दिया कि
, इसे फॉर्म में लाया जा सकता है

की जगह पर , हम पाते हैं
या
. उत्पाद द्वारा अंतिम समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करना ydy, इसे फॉर्म में लाएं

, या
. (**)

यहाँ P(y)=,
. यह के संबंध में एक रैखिक समीकरण है एक्स. हमें यकीन है
,
. इन व्यंजकों को (**) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

या
.

हम v चुनते हैं ताकि
,
, कहाँ पे
;
. तो हमारे पास हैं
,
,
.

इसलिये
, तब हम इस समीकरण के सामान्य हल को इस रूप में प्राप्त करते हैं

.

ध्यान दें कि समीकरण (4.1a) में पी(एक्स) तथा क्यू (एक्स) न केवल के कार्यों के रूप में हो सकता है एक्स, लेकिन स्थिरांक भी: पी= एक,क्यू= बी. रेखीय समीकरण

प्रतिस्थापन y= . का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है यूवी और चर का पृथक्करण:

;
.

यहाँ से
;
;
; कहाँ पे
. लघुगणक से छुटकारा पाने के बाद, हम समीकरण का सामान्य हल प्राप्त करते हैं

(यहां
).

पर बी= 0 हम समीकरण के हल पर आते हैं

(देखें घातीय वृद्धि समीकरण (2.4) के लिए
).

सबसे पहले, हम इसी सजातीय समीकरण (4.2) को एकीकृत करते हैं। जैसा कि ऊपर बताया गया है, इसके समाधान का रूप (4.3) है। हम कारक पर विचार करेंगे से(4.3) में . के एक समारोह द्वारा एक्स, अर्थात। अनिवार्य रूप से चर का परिवर्तन करना

जहां से, समाकलन, हम पाते हैं

ध्यान दें कि, (4.14) (यह भी देखें (4.9)) के अनुसार, अमानवीय रैखिक समीकरण का सामान्य समाधान संबंधित समरूप समीकरण (4.3) के सामान्य समाधान के योग के बराबर है और अमानवीय समीकरण के विशेष समाधान का निर्धारण किया जाता है। (4.14) में (और (4.9) में) दूसरे पद से।

विशिष्ट समीकरणों को हल करते समय, उपरोक्त गणनाओं को दोहराना चाहिए, और बोझिल सूत्र (4.14) का उपयोग नहीं करना चाहिए।

हम लैग्रेंज विधि को समीकरण में लागू करते हैं जिसे माना जाता है उदाहरण 1 :

.

हम इसी सजातीय समीकरण को एकीकृत करते हैं
.

चरों को अलग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
और इसके बाद में
. सूत्र द्वारा व्यंजक को हल करना आप = सीएक्स. मूल समीकरण का हल फ़ॉर्म में मांगा गया है आप = सी(एक्स)एक्स. इस व्यंजक को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
;
;
,
. मूल समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है

.

अंत में, हम ध्यान दें कि बर्नौली समीकरण एक रैखिक समीकरण में कम हो गया है

जिसे के रूप में लिखा जा सकता है

प्रतिस्थापन
इसे एक रैखिक समीकरण में घटाया जाता है:

,
,
.

बर्नौली समीकरण भी ऊपर वर्णित विधियों द्वारा हल किए जाते हैं।

उदाहरण 3 . समीकरण का एक सामान्य हल खोजें
.

परिवर्तन की श्रृंखला:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
