माध्यिका (मी)उस विशेषता का मान है जो रैंक की गई श्रृंखला के मध्य में आता है, अर्थात। वितरण श्रृंखला को दो बराबर भागों में विभाजित करना।

ए) एकल मूल्यों की एक श्रृंखला के लिए:

यदि एक अजीबविकल्पों की संख्या, फिर रैंक की गई श्रृंखला में मध्य मान

यदि एक यहाँ तक की, फिर अंकगणितीय माध्य। रैंकिंग में 2 आसन्न औसत मूल्यों से। पंक्ति

बी) वितरण की एक अलग श्रृंखला मेंमाध्यिका संख्या सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

माध्यिका संख्या संकेतक के मान को इंगित करती है, जो कि माध्यिका है।

c) वितरण की अंतराल श्रृंखला मेंमाध्यिका की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

x - माध्यिका अंतराल की निचली सीमा;

मैं - अंतराल का मूल्य;

f माध्यिका अंतराल की संख्या है;

S माध्यिका से पहले के अंतरालों की संचित आवृत्तियों का योग है।

31. फैशन और इसका व्यावहारिक महत्व

फैशन (मो)- विशेषता का मूल्य, जनसंख्या में सबसे आम, अर्थात्। वितरण श्रृंखला में सबसे बड़ी संख्या है।

a) असतत वितरण श्रृंखला मेंफैशन नेत्रहीन निर्धारित किया जाता है।

b) वितरण की अंतराल श्रृंखला मेंनेत्रहीन, आप केवल उस अंतराल को निर्धारित कर सकते हैं जिसमें मोड संलग्न है, जिसे मोडल अंतराल कहा जाता है (जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है)।

मोड होगा:

x बहुलक अंतराल की निचली सीमा है;

मैं - अंतराल का मूल्य;

एफ - मोडल अंतराल की संख्या;

यदि सभी मान विविधता श्रृंखलाएक ही आवृत्ति है, तो इस परिवर्तनशील श्रृंखला को कोई बहुलक नहीं कहा जाता है। यदि दो गैर-पड़ोसी वेरिएंट की प्रमुख आवृत्ति समान होती है, तो ऐसी परिवर्तनशील श्रृंखला कहलाती है बिमोडल; यदि ऐसे दो से अधिक विकल्प हैं, तो श्रृंखला बहुविध.

32. भिन्नता के संकेतक और उनकी गणना के तरीके

बदलाव- जनसंख्या की इकाइयों में विशेषता के मूल्य में उतार-चढ़ाव, विविधता, परिवर्तनशीलता।

भिन्नता संकेतक निरपेक्ष और सापेक्ष में विभाजित हैं।

प्रति निरपेक्ष संकेतकभिन्नता की सीमा, माध्य रैखिक विचलन, विचरण, मानक विचलन शामिल हैं। प्रति रिश्तेदार- दोलन गुणांक, भिन्नता के गुणांक और सापेक्ष रैखिक विचलन।

अवधि भिन्नता- सबसे सरल संकेतक, विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर।

नुकसान यह है कि यह केवल विशेषता भिन्नता की सीमाओं का मूल्यांकन करता है और इन सीमाओं के भीतर इसके उतार-चढ़ाव को नहीं दर्शाता है।

औसत रैखिक विचलनभिन्न विशेषता के सभी उतार-चढ़ाव को दर्शाता है और औसत मूल्य से भिन्न के विचलन के पूर्ण मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है, क्योंकि माध्य से विशेषता मानों के विचलन का योग 0 है, फिर सभी विचलनों को मापा जाता है।

सरल
भारित

फैलावउनके औसत मूल्य से विशेषता मूल्यों के विचलन का औसत वर्ग है।

सरल:
भारित:

से मानक विचलन. इसे विचरण के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है और अध्ययन के तहत विशेषता के समान आयाम है।

सरल:
भारित:
.

सापेक्ष संकेतक

मेडियन मीवे फीचर के ऐसे मान को कहते हैं जो रैंक की गई श्रृंखला के बीच में आता है और इसे इकाइयों की संख्या के बराबर दो भागों में विभाजित करता है। इस प्रकार, क्रमबद्ध वितरण श्रृंखला में, श्रृंखला के एक आधे हिस्से में विशेषता मान होते हैं जो माध्यिका से अधिक होते हैं, जबकि अन्य आधे में माध्यिका से कम मान होते हैं।

माध्यिका का उपयोग अंकगणित माध्य के बजाय तब किया जाता है जब बाकी की तुलना में रैंक की गई श्रृंखला (सबसे छोटी और सबसे बड़ी) के चरम रूप अत्यधिक बड़े या अत्यधिक छोटे हो जाते हैं।

पर अलगविषम संख्या वाली इकाइयों वाली एक विविधता श्रृंखला में, माध्यिका संख्या के साथ विशेषता प्रकार के बराबर होती है:
,
जहाँ N जनसंख्या इकाइयों की संख्या है।
एक असतत श्रृंखला में जिसमें सम संख्या में जनसंख्या इकाइयां होती हैं, माध्यिका को संख्याओं के साथ विकल्पों के औसत के रूप में परिभाषित किया जाता है और:
.
सेवा की अवधि के आधार पर श्रमिकों के वितरण में, माध्यिका उन विकल्पों के औसत के बराबर होती है जिनकी क्रमांकित श्रृंखला में संख्याएँ 10: 2 = 5 और 10: 2 + 1 = 6 होती हैं। पाँचवीं और छठी विशेषता के विकल्प हैं 4 साल, इस प्रकार
वर्ष का
माध्यिका की गणना करते समय मध्यान्तरपंक्ति पहले खोजें मध्य अंतराल, (अर्थात माध्यिका युक्त), जिसके लिए संचित आवृत्तियों या आवृत्तियों का उपयोग किया जाता है। माध्यिका वह अंतराल है जिसकी संचयी आवृत्ति कुल जनसंख्या के आधे के बराबर या उससे अधिक होती है। तब माध्यिका मान की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
,
माध्यिका अंतराल की निचली सीमा कहाँ है;
माध्यिका अंतराल की चौड़ाई है;
माध्यिका से पहले के अंतराल की संचयी आवृत्ति है;
माध्यिका अंतराल की आवृत्ति है।
आइए वेतन द्वारा श्रमिकों के वितरण की श्रृंखला के माध्यिका की गणना करें (व्याख्यान "सांख्यिकीय डेटा का सारांश और समूहीकरण" देखें)।
औसत वेतन अंतराल UAH 800-900 है, क्योंकि इसकी संचयी आवृत्ति 17 है, जो सभी आवृत्तियों () के आधे से अधिक है। फिर
मैं=800+100 UAH।
परिणामी मूल्य इंगित करता है कि आधे श्रमिकों के पास है वेतन 875 UAH से नीचे, लेकिन यह अपने औसत आकार से ऊपर है।
माध्यिका निर्धारित करने के लिए, आप संचयी आवृत्तियों के बजाय संचयी आवृत्तियों का उपयोग कर सकते हैं।
माध्यिका, विधा की तरह, वैरिएंट के चरम मूल्यों पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए इसका उपयोग वितरण श्रृंखला में अनिश्चित सीमाओं के साथ केंद्र को चिह्नित करने के लिए भी किया जाता है।
औसत संपत्ति : माध्यिका से भिन्न के विचलन के निरपेक्ष मानों का योग किसी अन्य मान (अंकगणित माध्य सहित) से कम है:

ट्राम और ट्रॉलीबस स्टॉप, गैस स्टेशन, असेंबली पॉइंट आदि के स्थान को डिजाइन करते समय माध्यिका की इस संपत्ति का उपयोग परिवहन में किया जाता है।
उदाहरण। 100 किमी लंबे हाईवे पर 10 गैरेज हैं। गैस स्टेशन के निर्माण को डिजाइन करने के लिए, प्रत्येक गैरेज के लिए अपेक्षित गैस स्टेशन यात्राओं की संख्या पर डेटा एकत्र किया गया था।
तालिका 2 - प्रत्येक गैरेज के लिए गैस स्टेशनों की यात्राओं की संख्या पर डेटा।

गैस स्टेशन लगाना आवश्यक है ताकि ईंधन भरने के लिए कारों का कुल माइलेज कम से कम हो।
विकल्प 1।यदि गैस स्टेशन को राजमार्ग के बीच में रखा गया है, अर्थात, 50 वें किलोमीटर (चिह्न के परिवर्तन की सीमा का केंद्र) पर, तो सवारों की संख्या को ध्यान में रखते हुए रन होंगे:
ए) एक दिशा में:
;
बी) विपरीत तरीके से:
;
ग) दोनों दिशाओं में कुल लाभ:।

विकल्प 2।यदि गैस स्टेशन को राजमार्ग के औसत खंड पर रखा जाता है, तो सवारों की संख्या को ध्यान में रखते हुए, अंकगणितीय माध्य सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

माध्यिका को ग्राफिक रूप से, संचयी द्वारा निर्धारित किया जा सकता है (व्याख्यान "सांख्यिकीय डेटा का सारांश और समूहीकरण देखें")। इसके लिए अंतिम आदेश, योग के बराबरसभी आवृत्तियों या आवृत्तियों को आधे में विभाजित किया गया है। प्राप्त बिंदु से, लंबवत को संचयी के साथ चौराहे पर बहाल किया जाता है। प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज माध्यिका का मान देता है।

4. फैशन। माध्यिका। सामान्य और नमूना माध्य

मोड स्क्रीन पर है, माध्यिका त्रिभुज में है, और औसत अस्पताल और वार्ड में तापमान है। हम अपना व्यावहारिक पाठ्यक्रम जारी रखते हैं मनोरंजक आँकड़े (पाठ 1)केंद्रीय विशेषताओं का अध्ययन सांख्यिकीय जनसंख्या, जिनके नाम आप हेडर में देखते हैं। और हम इसके अंत से शुरू करेंगे, क्योंकि औसत मूल्यभाषण लगभग विषय के पहले पैराग्राफ से आया था। उन्नत पाठकों के लिए विषयसूची:

• सामान्य और नमूना माध्य- प्राथमिक डेटा के अनुसार और उत्पन्न असतत परिवर्तनशील श्रृंखला के लिए गणना;
• फ़ैशन- असतत मामले की परिभाषा और खोज;
• मंझला – सामान्य परिभाषामाध्यिका कैसे ज्ञात करें;
• अंतराल भिन्नता श्रृंखला का माध्य, बहुलक और माध्यिका- प्राथमिक डेटा और तैयार श्रृंखला से गणना। बहुलक और माध्यिका सूत्र,
• चतुर्थक, दशमांश, शतमक - संक्षेप में मुख्य बात के बारे में।

खैर, "डमी" के लिए सामग्री के साथ खुद को परिचित करना बेहतर है:

तो चलिए कुछ एक्सप्लोर करते हैं आबादीमात्रा, अर्थात् संख्यात्मक विशेषता, भले ही, अलगया निरंतर (पाठ 2, 3).

सामान्य माध्यमिक बुलाया औसतइस सेट के सभी मान:

यदि संख्या समान हैं (जो के लिए विशिष्ट है असतत श्रृंखला) , तो सूत्र को अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है:
, कहाँ पे
विकल्पबार-बार;
विकल्प - समय;
विकल्प - समय;
…
विकल्प - समय।

लाइव गणना उदाहरण सामान्य माध्यमिकमें मिले उदाहरण 2, लेकिन उबाऊ न होने के लिए, मैं इसकी सामग्री को याद भी नहीं दूंगा।

आगे। जैसा कि हमें याद है, सभी का प्रसंस्करण आबादीअक्सर मुश्किल या असंभव, और इसलिए वे व्यवस्थित करते हैं प्रतिनिधिनमूना मात्रा, और इस नमूने के अध्ययन के आधार पर, पूरी आबादी के बारे में एक निष्कर्ष निकाला जाता है।

नमूना माध्य बुलाया औसतसभी नमूना मान:

और समान विकल्पों की उपस्थिति में, सूत्र को अधिक सघनता से लिखा जाएगा:
- संगत पर वैरिएंट के उत्पादों के योग के रूप में आवृत्तियों .

नमूना माध्य हमें के सही मूल्य का सटीक अनुमान लगाने की अनुमति देता है, जो कि कई अध्ययनों के लिए पर्याप्त है। नमूना जितना बड़ा होगा, यह अनुमान उतना ही सटीक होगा।

आइए अभ्यास शुरू करें, या इसके साथ जारी रखें असतत भिन्नता श्रृंखलाऔर परिचित स्थिति:

उदाहरण 8

कार्यशाला के श्रमिकों के चुनिंदा अध्ययन के परिणामों के आधार पर, उनकी योग्यता श्रेणियां स्थापित की गईं: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 5 , 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3.

कैसे तय करनाकाम? अगर हमें दिया जाता है प्राथमिक डेटा(मूल कच्चे मूल्य), तो उन्हें मूर्खतापूर्ण रूप से सारांशित किया जा सकता है और नमूना आकार से विभाजित किया जा सकता है:
- दुकान के श्रमिकों की औसत योग्यता श्रेणी।

लेकिन कई समस्याओं में परिवर्तनशील श्रृंखला बनाने की आवश्यकता होती है (सेमी। उदाहरण 4) :

- या यह श्रृंखला मूल रूप से प्रस्तावित की गई थी (जो अधिक बार होती है)। और फिर, निश्चित रूप से, हम "सभ्य" सूत्र का उपयोग करते हैं:

फ़ैशन . असतत परिवर्तनशील श्रृंखला का बहुलक है विकल्पअधिकतम आवृत्ति के साथ। इस मामले में । फ़ैशन टेबल पर ढूंढना आसान है, और इससे भी आसान आवृति सीमाउच्चतम बिंदु का भुज है:


कभी-कभी ऐसे कई मूल्य होते हैं (समान अधिकतम आवृत्ति के साथ), और फिर उनमें से प्रत्येक को एक फैशन माना जाता है।

यदि सभी या लगभग सभी विकल्पभिन्न (जो के लिए विशिष्ट है अंतराल श्रृंखला), तो मोडल मान थोड़े अलग तरीके से निर्धारित किया जाता है, जिसकी चर्चा पाठ के दूसरे भाग में की जाती है।

मंझला . भिन्नता श्रृंखला का माध्यिका * - यह वह मान है जो इसे दो बराबर भागों में विभाजित करता है (विकल्पों की संख्या के अनुसार)।

लेकिन अब हमें माध्य, बहुलक और माध्यिका ज्ञात करने की आवश्यकता है।

समाधान: ढूँढ़ने के लिए मध्यमप्राथमिक आंकड़ों के अनुसार, सभी विकल्पों का योग करना और परिणाम को जनसंख्या की मात्रा से विभाजित करना सबसे अच्छा है:
मांद इकाइयों

वैसे, ऑफ़लाइन कैलकुलेटर का उपयोग करने पर भी इन गणनाओं में अधिक समय नहीं लगेगा। लेकिन अगर एक्सेल है, तो निश्चित रूप से, किसी भी फ्री सेल में स्कोर करें = योग (, माउस से सभी नंबरों का चयन करें, कोष्ठक बंद करें ) , एक विभाजन चिन्ह लगाएं / , संख्या 30 दर्ज करें और दबाएं प्रवेश करना. तैयार।

जहां तक ​​फैशन का सवाल है, प्रारंभिक आंकड़ों के आधार पर इसका मूल्यांकन अनुपयोगी हो जाता है। यद्यपि हम उनके बीच समान संख्याएँ देखते हैं, लेकिन उनमें से समान अधिकतम आवृत्ति के साथ आसानी से पाँच या छह या सात विकल्प हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, आवृत्ति 2. इसके अलावा, कीमतों को गोल किया जा सकता है। इसलिए, उत्पन्न अंतराल श्रृंखला के अनुसार मोडल मान की गणना की जाती है (उस पर और बाद में).

माध्यिका के बारे में आप क्या कह सकते हैं: एक्सेल में प्लगिंग = माध्यिका (, माउस से सभी नंबरों का चयन करें, कोष्ठक को बंद करें ) और क्लिक करें प्रवेश करना: . इसके अलावा, यहाँ आपको कुछ भी छाँटने की आवश्यकता नहीं है।

लेकीन मे उदाहरण 6आरोही क्रम में क्रमबद्ध (याद रखें और क्रमबद्ध करें - ऊपर लिंक), और माध्यिका ज्ञात करने के लिए औपचारिक एल्गोरिथम को दोहराने का यह एक अच्छा अवसर है। हम नमूने को आधे में विभाजित करते हैं:

और चूँकि इसमें सम संख्या में विकल्प होते हैं, माध्यिका 15वें और 16वें विकल्पों के अंकगणितीय माध्य के बराबर होती है। व्यवस्थित(!) भिन्नता श्रृंखला:

मांद इकाइयों

स्थिति दो. जब एक तैयार अंतराल श्रृंखला दी जाती है (एक विशिष्ट सीखने का कार्य)।

हम बूट के साथ उसी उदाहरण का विश्लेषण करना जारी रखते हैं, जहां, प्रारंभिक आंकड़ों के अनुसार आईवीआर . द्वारा संकलित किया गया था. हिसाब करना मध्यमअंतराल के मध्य बिंदुओं की आवश्यकता है:

- परिचित असतत मामला सूत्र का उपयोग करने के लिए:

- उत्कृष्ट परिणाम! प्राथमिक डेटा से परिकलित अधिक सटीक मान () के साथ विसंगति केवल 0.04 है।

वास्तव में, यहां हमने अंतराल श्रृंखला को एक असतत द्वारा अनुमानित किया है, और यह सन्निकटन बहुत प्रभावी निकला। हालाँकि, यहाँ कोई विशेष लाभ नहीं है, क्योंकि। आधुनिक सॉफ्टवेयर के साथ गणना करना मुश्किल नहीं है सही मूल्यप्राथमिक डेटा की एक बहुत बड़ी सरणी के लिए भी। लेकिन यह इस शर्त पर है कि वे हमें जानते हैं :)

अन्य केंद्रीय संकेतकों के साथ, सब कुछ अधिक दिलचस्प है।

फैशन खोजने के लिए, आपको खोजने की जरूरत है मोडल रिक्ति (अधिकतम आवृत्ति के साथ)- इस समस्या में, यह 11 की आवृत्ति के साथ एक अंतराल है, और निम्न बदसूरत सूत्र का उपयोग करें:
, कहाँ पे:

मोडल अंतराल की निचली सीमा है;
मोडल अंतराल की लंबाई है;
मोडल अंतराल की आवृत्ति है;
- पिछले अंतराल की आवृत्ति;
- अगले अंतराल की आवृत्ति।

इस तरह:
मांद इकाइयों - जैसा कि आप देख सकते हैं, जूते के लिए "फैशनेबल" कीमत अंकगणितीय औसत से काफी अलग है।

सूत्र की ज्यामिति में जाए बिना, मैं बस दे दूंगा सापेक्ष आवृत्तियों का हिस्टोग्रामऔर ध्यान दें:


जहां से यह स्पष्ट रूप से देखा जाता है कि बहुलक को बहुलक अंतराल के केंद्र के सापेक्ष उच्च आवृत्ति के साथ बाएं अंतराल की ओर स्थानांतरित किया जाता है। तर्क में।

संदर्भ के लिए, मैं दुर्लभ मामलों का विश्लेषण करूंगा:

- यदि मोडल अंतराल चरम है, तो या तो;

- यदि 2 मोडल अंतराल पाए जाते हैं जो पास हैं, उदाहरण के लिए, और, तो हम मोडल अंतराल पर विचार करते हैं, जबकि पास के अंतराल (बाएं और दाएं), यदि संभव हो, तो भी 2 गुना बढ़ जाते हैं।

- यदि मोडल अंतराल के बीच की दूरी है, तो हम प्रत्येक अंतराल पर सूत्र लागू करते हैं, जिससे 2 या . प्राप्त होता है बड़ी मात्रामौड।

यहाँ ऐसा प्रेषण मोड है :)

और माध्यिका। यदि एक तैयार अंतराल श्रृंखला दी जाती है, तो माध्यिका की गणना थोड़ा कम भयानक सूत्र का उपयोग करके की जाती है, लेकिन सबसे पहले यह कठिन (एक फ्रायडियन टाइपो :)) खोजने के लिए है मध्य अंतराल - यह एक प्रकार (या 2 प्रकार) वाला अंतराल है, जो विविधता श्रृंखला को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।

ऊपर, मैंने वर्णन किया है कि किस पर ध्यान केंद्रित करते हुए माध्यिका का निर्धारण किया जाए सापेक्ष संचयी आवृत्तियों, यहां "साधारण" संचित आवृत्तियों की गणना करना अधिक सुविधाजनक है। कम्प्यूटेशनल एल्गोरिथ्म बिल्कुल वैसा ही है - पहला मान बाईं ओर ध्वस्त कर दिया गया है (लाल बाण), और प्रत्येक निम्नलिखित को बाएं कॉलम से वर्तमान आवृत्ति के साथ पिछले एक के योग के रूप में प्राप्त किया जाता है (उदाहरण के लिए हरे निशान):

क्या हर कोई सही कॉलम में संख्याओं का अर्थ समझता है? - यह उन विकल्पों की संख्या है जो वर्तमान सहित सभी "पारित" अंतरालों पर "संचित" करने में कामयाब रहे।

क्योंकि हमारे पास है सम संख्याविकल्प (30 टुकड़े), तो माध्य अंतराल होगा जिसमें 30/2 = 15वां और 16वां विकल्प होगा। और संचित आवृत्तियों पर ध्यान केंद्रित करते हुए, यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि ये विकल्प अंतराल में निहित हैं।

माध्यिका सूत्र:
, कहाँ पे:
- सांख्यिकीय जनसंख्या की मात्रा;
माध्यिका अंतराल की निचली सीमा है;
माध्यिका अंतराल की लंबाई है;
– आवृत्तिमध्य अंतराल;
– संचयी आवृत्ति पिछलामध्यान्तर।

इस तरह:
मांद इकाइयों - ध्यान दें कि माध्यिका मान, इसके विपरीत, दाईं ओर स्थानांतरित हो गया, क्योंकि दाहिने हाथ पर विकल्पों की एक महत्वपूर्ण संख्या है:


और संदर्भ विशेष मामलों के लिए।

अर्थव्यवस्था के विभिन्न क्षेत्रों में मजदूरी, एक ही क्षेत्र में तुलनीय समय अवधि के लिए तापमान और वर्षा, विभिन्न भौगोलिक क्षेत्रों में फसल की पैदावार, आदि। हालांकि, औसत किसी भी तरह से एकमात्र सामान्यीकरण संकेतक नहीं है - कुछ मामलों में अधिक सटीक के लिए माध्यिका जैसे मान का आकलन करना उचित है। आंकड़ों में, यह व्यापक रूप से एक ही आबादी में किसी भी विशेषता के वितरण की सहायक वर्णनात्मक विशेषता के रूप में उपयोग किया जाता है। आइए देखें कि यह औसत से कैसे भिन्न है, और यह भी कि इसका उपयोग करने की क्या आवश्यकता है।

आंकड़ों में माध्यिका: परिभाषा और गुण

निम्नलिखित स्थिति की कल्पना कीजिए: एक कंपनी में 10 लोग निदेशक के साथ मिलकर काम करते हैं। साधारण कर्मचारियों को प्रत्येक में 1,000 रिव्निया मिलते हैं, और उनके प्रबंधक, जो इसके अलावा, मालिक हैं, 10,000 रिव्निया प्राप्त करते हैं। यदि हम अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं, तो यह पता चलता है कि इस उद्यम में औसत वेतन 1900 UAH है। क्या यह कथन सत्य होगा? या इस उदाहरण को लेने के लिए, एक ही अस्पताल के कमरे में नौ लोग हैं जिनका तापमान 36.6 डिग्री सेल्सियस है और एक व्यक्ति का तापमान 41 डिग्री सेल्सियस है। इस मामले में अंकगणितीय माध्य है: (36.6 * 9 + 41) / 10 \u003d 37.04 डिग्री सेल्सियस। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि मौजूद सभी लोग बीमार हैं। यह सब बताता है कि अकेले औसत अक्सर पर्याप्त नहीं होता है, और इसीलिए इसके अलावा माध्यिका का उपयोग किया जाता है। आंकड़ों में, इस सूचक को एक प्रकार कहा जाता है जो एक क्रमबद्ध विविधता श्रृंखला के ठीक बीच में स्थित होता है। यदि आप हमारे उदाहरणों के लिए इसकी गणना करते हैं, तो आपको क्रमशः 1000 UAH मिलते हैं। और 36.6 डिग्री सेल्सियस। दूसरे शब्दों में, आँकड़ों में माध्यिका वह मान है जो श्रृंखला को आधे में इस प्रकार विभाजित करता है कि उसके दोनों किनारों पर (ऊपर या नीचे) दी गई जनसंख्या की इकाइयों की संख्या समान हो। इस गुण के कारण, इस सूचक के कई अन्य नाम हैं: 50 वाँ प्रतिशतक या 0.5 मात्रा।

आंकड़ों में माध्यिका कैसे खोजें

इस मान की गणना करने की विधि काफी हद तक इस बात पर निर्भर करती है कि हमारे पास किस प्रकार की परिवर्तनशील श्रृंखला है: असतत या अंतराल। पहले मामले में, आंकड़ों में माध्यिका काफी सरल है। आपको केवल आवृत्तियों का योग ज्ञात करना है, 2 से विभाजित करना है, और फिर परिणाम में ½ जोड़ना है। निम्नलिखित उदाहरण के साथ गणना सिद्धांत की व्याख्या करना सबसे अच्छा होगा। मान लीजिए कि हमने प्रजनन डेटा को समूहीकृत किया है और यह पता लगाना चाहते हैं कि माध्यिका क्या है।

कुछ सरल गणना करने के बाद, हम पाते हैं कि वांछित संकेतक के बराबर है: 195/2 + ½ = विकल्प। इसका क्या अर्थ है, यह जानने के लिए, किसी को क्रमिक रूप से आवृत्तियों को जमा करना चाहिए, से शुरू करना चाहिए कम से कम विकल्प. तो, पहली दो पंक्तियों का योग हमें 30 देता है। स्पष्ट रूप से, यहां 98 विकल्प नहीं हैं। लेकिन अगर हम परिणाम में तीसरे विकल्प (70) की बारंबारता जोड़ते हैं, तो हमें 100 के बराबर योग मिलता है। इसमें सिर्फ 98 वां विकल्प होता है, जिसका अर्थ है कि माध्य एक परिवार होगा जिसमें दो बच्चे होंगे।

से संबंधित अंतराल श्रृंखला, तो आमतौर पर निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

एम ई \u003d एक्स मी + आई मी * (∑f / 2 - एस मी -1) / एफ मी, जिसमें:

• X Me - माध्यिका अंतराल का पहला मान;
• f श्रृंखला की संख्या है (इसकी आवृत्तियों का योग);
• i Me - माध्यिका श्रेणी का मान;
• च मी - माध्यिका सीमा की आवृत्ति;
• S Me-1 - माध्यिका से पहले की श्रेणियों में संचयी आवृत्तियों का योग।

फिर, उदाहरण के बिना इसे समझना मुश्किल है। मान लीजिए मान पर डेटा है

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करने के लिए, हमें पहले माध्यिका अंतराल निर्धारित करना होगा। इस तरह की एक सीमा के रूप में, एक को चुना जाता है, जिसकी संचित आवृत्ति कुल आवृत्तियों के आधे से अधिक या उसके बराबर होती है। तो, 510 को 2 से विभाजित करने पर, हम पाते हैं कि यह मानदंड 250,000 रूबल के वेतन मूल्य के साथ अंतराल से मेल खाता है। 300,000 रूबल तक अब आप सूत्र में सभी डेटा को स्थानापन्न कर सकते हैं:

एम ई \u003d एक्स मी + आई मी * (∑f / 2 - एस मी -1) / एफ मी \u003d 250 + 50 * (510/2 - 170) / 115 \u003d 286.96 हजार रूबल।

हमें उम्मीद है कि हमारा लेख उपयोगी था, और अब आपको स्पष्ट रूप से पता चल गया है कि आँकड़ों में माध्यिका क्या है और इसकी गणना कैसे की जानी चाहिए।

मंझला- यह एक फीचर वैल्यू है जो रैंक की गई वितरण श्रृंखला को दो बराबर भागों में विभाजित करता है - फीचर वैल्यू मीडियन से कम और फीचर वैल्यू मीडियन से अधिक के साथ। माध्यिका ज्ञात करने के लिए, आपको उस विशेषता का मान ज्ञात करना होगा जो क्रमबद्ध श्रृंखला के मध्य में है।

बहुलक और माध्यिका ज्ञात करने की समस्या का हल देखेंतुम कर सकते हो

श्रेणीबद्ध श्रृंखला में, के लिए अवर्गीकृत डेटा माध्यिका का पता लगानामाध्यिका की क्रमिक संख्या ज्ञात करने के लिए घटाया जाता है। माध्यिका की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

जहाँ Xm माध्यिका अंतराल की निचली सीमा है;
आईएम - मध्य अंतराल;
Sme उन प्रेक्षणों का योग है जो माध्यिका अंतराल की शुरुआत से पहले जमा हो गए थे;
fme माध्यिका अंतराल में प्रेक्षणों की संख्या है।

औसत गुण

1. माध्यिका गुण के उन मानों पर निर्भर नहीं करती है जो इसके दोनों ओर स्थित होते हैं।
2. माध्यिका के साथ विश्लेषणात्मक संक्रियाएँ बहुत सीमित होती हैं, इसलिए ज्ञात माध्यकों के साथ दो वितरणों को मिलाते समय, नए वितरण के माध्यिका के मूल्य का अग्रिम रूप से अनुमान लगाना असंभव है।
3. माध्यिका हैन्यूनतम संपत्ति। इसका सार यह है कि योग पूर्ण विचलनकिसी अन्य मान से x के विचलन की तुलना में माध्यिका से x मान न्यूनतम मान है

माध्यिका की चित्रमय परिभाषा

निर्धारण के लिए माध्यिकाओं ग्राफिक विधि संचित आवृत्तियों का उपयोग करें, जिस पर संचयी वक्र बनाया गया है। संचित आवृत्तियों के अनुरूप निर्देशांक के शीर्ष सीधी रेखा खंडों से जुड़े होते हैं। पॉप ओलम को अंतिम क्रम से विभाजित करना जो मेल खाता है कुल राशिआवृत्तियों और इसे संचयी वक्र के साथ प्रतिच्छेदन के लंबवत खींचते हुए, माध्यिका के वांछित मान की कोटि ज्ञात करें।

आंकड़ों में फैशन की परिभाषा

फैशन - फीचर वैल्यू, जिसकी आवृत्ति उच्चतम है सांख्यिकीय श्रृंखलावितरण।

फैशन की परिभाषाप्रस्तुत विभिन्न तरीके, और यह इस बात पर निर्भर करता है कि चर को असतत या अंतराल श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत किया गया है या नहीं।

फैशन ढूँढनाऔर माध्यिका केवल फ़्रीक्वेंसी कॉलम को देखकर की जाती है। इस कॉलम में खोजें सबसे बड़ी संख्याउच्चतम आवृत्ति की विशेषता। यह विशेषता के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है, जो कि मोड है। अंतराल भिन्नता श्रृंखला में, उच्चतम आवृत्ति वाले अंतराल के केंद्रीय संस्करण को लगभग मोड माना जाता है। इस वितरण श्रृंखला में मोड की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

जहां XMo मोडल अंतराल की निचली सीमा है;
आईएमओ - मोडल रिक्ति;
fm0, fm0-1, fm0+1 मोडल, पिछले और निम्नलिखित मोडल अंतराल में आवृत्तियां हैं।

मोडल अंतराल उच्चतम आवृत्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है।

उपभोक्ता मांग, मूल्य पंजीकरण आदि के विश्लेषण में सांख्यिकीय अभ्यास में फैशन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

अंकगणित माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच संबंध

एक यूनिमॉडल सममित वितरण श्रृंखला के लिए, माध्यिका और बहुलक समान होते हैं। असममित वितरण के लिए, वे मेल नहीं खाते हैं।

विभिन्न प्रकार के वक्रों के संरेखण के आधार पर के. पियर्सन ने निर्धारित किया कि मध्यम असममित वितरण के लिए, अंकगणितीय माध्य, मध्य और मोड के बीच निम्नलिखित अनुमानित संबंध मान्य हैं: