معنی واریانس در آمار. محاسبه واریانس گروه، بین گروهی و کل (طبق قانون جمع واریانس)

این صفحه یک مثال استاندارد از یافتن واریانس را توضیح می‌دهد، همچنین می‌توانید به کارهای دیگر برای یافتن آن نگاه کنید

مثال 1. تعیین گروه، میانگین گروه، بین گروه و واریانس کل

مثال 2. یافتن واریانس و ضریب تغییرات در جدول گروه بندی

مثال 3. یافتن واریانس در یک سری گسسته

مثال 4. ما داده های زیر را برای یک گروه 20 دانشجوی مکاتبه ای داریم. نیاز به ساختن سری بازه ایتوزیع ویژگی، محاسبه مقدار میانگین ویژگی و مطالعه واریانس آن

بیایید یک گروه بندی فاصله ای بسازیم. بیایید محدوده بازه را با فرمول تعیین کنیم:

که در آن X max حداکثر مقدار ویژگی گروه بندی است.
Xmin حداقل مقدار ویژگی گروه بندی است.
n تعداد فواصل است:

ما n=5 را می پذیریم. مرحله این است: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6.6

بیایید یک گروه بندی فاصله ای ایجاد کنیم

برای محاسبات بیشتر، یک جدول کمکی می سازیم:

X "i - وسط فاصله. (به عنوان مثال، وسط فاصله 159 - 165.6 \u003d 162.3)

مقدار متوسطرشد دانش آموزان با فرمول میانگین موزون حسابی تعیین می شود:

پراکندگی را با فرمول تعیین می کنیم:

فرمول را می توان به صورت زیر تبدیل کرد:

از این فرمول نتیجه می شود که واریانس است تفاوت بین میانگین مربع های گزینه ها و مربع و میانگین.

پراکندگی در سری تغییرات با فواصل مساوی با توجه به روش گشتاورها را می توان با استفاده از خاصیت پراکندگی دوم (تقسیم همه گزینه ها بر مقدار بازه) به روش زیر محاسبه کرد. تعریف واریانسمحاسبه شده به روش ممان، طبق فرمول زیر زمان کمتری دارد:

جایی که i مقدار بازه است.
الف - صفر شرطی، که استفاده از وسط بازه با بالاترین فرکانس راحت است.
m1 مربع ممان مرتبه اول است.
m2 - لحظه سفارش دوم

واریانس ویژگی (اگر در جامعه آماری این ویژگی به گونه ای تغییر کند که فقط دو گزینه متقابل وجود داشته باشد، آنگاه چنین متغیری جایگزین نامیده می شود) را می توان با فرمول محاسبه کرد:

با جایگزینی در این فرمول پراکندگی q = 1- p، به دست می آوریم:

انواع پراکندگی

واریانس کل تغییرات یک صفت را در کل جمعیت تحت تأثیر همه عواملی که باعث این تنوع می شوند اندازه گیری می کند. این برابر است با میانگین مربع انحراف مقادیر فردی ویژگی x از مقدار متوسط ​​کل x و می تواند به عنوان واریانس ساده یا واریانس وزنی تعریف شود.

واریانس درون گروهی تغییرات تصادفی را مشخص می کند، یعنی. بخشی از تغییرات، که به دلیل تأثیر عوامل نامشخص است و به عامل علامت زیربنای گروه بندی بستگی ندارد. این واریانس برابر است با میانگین مجذور انحراف مقادیر فردی صفت در گروه X از میانگین حسابی گروه و می تواند به عنوان یک واریانس ساده یا به عنوان واریانس وزنی محاسبه شود.

به این ترتیب، اندازه گیری های واریانس درون گروهیتنوع یک صفت در یک گروه و با فرمول تعیین می شود:

جایی که xi - میانگین گروه.
ni تعداد واحدهای گروه است.

به عنوان مثال، واریانس‌های درون گروهی که باید در کار مطالعه تأثیر صلاحیت‌های کارگران بر سطح بهره‌وری نیروی کار در یک مغازه تعیین شوند، تغییراتی را در تولید در هر گروه نشان می‌دهند که ناشی از همه عوامل ممکن است (وضعیت فنی تجهیزات، در دسترس بودن ابزار و مواد، سن کارگران، شدت کار و...) به جز تفاوت در رده صلاحیت (در گروه، همه کارگران دارای صلاحیت یکسان هستند).

نظریه احتمال شاخه خاصی از ریاضیات است که فقط توسط دانشجویان مؤسسات آموزش عالی مطالعه می شود. آیا عاشق محاسبات و فرمول ها هستید؟ شما از چشم انداز آشنایی با توزیع نرمال، آنتروپی مجموعه، انتظارات ریاضی و واریانس گسسته نمی ترسید. متغیر تصادفی? سپس این موضوع برای شما بسیار جالب خواهد بود. بیایید با برخی از مهمترین مفاهیم اساسی این بخش از علم آشنا شویم.

بیایید اصول را به خاطر بسپاریم

حتی اگر ساده ترین مفاهیم نظریه احتمال را به خاطر دارید، از پاراگراف های اول مقاله غافل نشوید. واقعیت این است که بدون درک روشنی از اصول اولیه، نمی توانید با فرمول های مورد بحث در زیر کار کنید.

بنابراین، یک رویداد تصادفی، یک آزمایش وجود دارد. در نتیجه اقدامات انجام شده، می توانیم چندین نتیجه را به دست آوریم - برخی از آنها رایج تر هستند، برخی دیگر کمتر رایج هستند. احتمال یک رویداد، نسبت تعداد پیامدهای واقعی دریافت شده از یک نوع است به تعداد کلممکن است. فقط دانستن تعریف کلاسیکاز این مفهوم، شما می توانید شروع به مطالعه کنید انتظارات ریاضیو پراکندگی متغیرهای تصادفی پیوسته.

میانگین

در مدرسه، در درس ریاضیات، کار را با میانگین حسابی شروع کردید. این مفهوم به طور گسترده در نظریه احتمال استفاده می شود و بنابراین نمی توان آن را نادیده گرفت. نکته اصلی برای ما در حال حاضر این است که در فرمول های انتظار ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی با آن مواجه خواهیم شد.

ما دنباله ای از اعداد داریم و می خواهیم میانگین حسابی را پیدا کنیم. تنها چیزی که از ما خواسته می شود این است که همه چیزهای موجود را جمع کنیم و بر تعداد عناصر در دنباله تقسیم کنیم. بگذارید اعداد از 1 تا 9 را داشته باشیم. مجموع عناصر 45 می شود و این مقدار را بر 9 تقسیم می کنیم. پاسخ: - 5.

پراکندگی

در اصطلاح علمی، واریانس میانگین مجذور انحراف مقادیر مشخصه به دست آمده از میانگین حسابی است. یکی با حرف بزرگ لاتین D نشان داده می شود. برای محاسبه آن چه چیزی لازم است؟ برای هر عنصر دنباله، تفاوت بین عدد موجود و میانگین حسابی را محاسبه کرده و آن را مجذور می کنیم. برای رویدادی که در نظر داریم دقیقاً به همان اندازه ارزش وجود خواهد داشت. بعد، همه چیزهای دریافتی را خلاصه می کنیم و بر تعداد عناصر در دنباله تقسیم می کنیم. اگر پنج نتیجه ممکن داریم، تقسیم بر پنج کنیم.

واریانس همچنین دارای ویژگی هایی است که برای اعمال آن هنگام حل مسائل باید به خاطر بسپارید. برای مثال، اگر متغیر تصادفی X برابر افزایش یابد، واریانس X برابر مربع افزایش می‌یابد (یعنی X*X). هرگز کمتر از صفر نیست و به تغییر مقادیر با مقدار مساوی به بالا یا پایین بستگی ندارد. علاوه بر این، برای تست های مستقلواریانس مجموع برابر است با مجموع واریانس ها.

اکنون قطعاً باید نمونه هایی از واریانس یک متغیر تصادفی گسسته و انتظار ریاضی را در نظر بگیریم.

فرض کنید 21 آزمایش انجام دادیم و 7 نتیجه متفاوت گرفتیم. هر کدام را به ترتیب 1،2،2،3،4،4 و 5 بار مشاهده کردیم. واریانس چقدر خواهد بود؟

ابتدا میانگین حسابی را محاسبه می کنیم: مجموع عناصر البته 21 است. آن را بر 7 تقسیم می کنیم و عدد 3 را به دست می آوریم. اکنون از هر عدد در دنباله اصلی 3 کم می کنیم و هر مقدار را مربع می کنیم و نتایج را با هم جمع می کنیم. . معلوم می شود 12. اکنون باقی مانده است که عدد را بر تعداد عناصر تقسیم کنیم، و به نظر می رسد، این همه است. اما یک گرفتاری وجود دارد! بیایید در مورد آن بحث کنیم.

وابستگی به تعداد آزمایش

معلوم می شود که هنگام محاسبه واریانس، مخرج می تواند یکی از دو عدد باشد: N یا N-1. در اینجا N تعداد آزمایش های انجام شده یا تعداد عناصر در دنباله (که اساساً یکسان است) است. به چه چیزی بستگی دارد؟

اگر تعداد تست‌ها را صدها اندازه‌گیری کنیم، باید N را در مخرج قرار دهیم و اگر بر حسب واحد باشد، N-1. دانشمندان تصمیم گرفتند مرز را کاملاً نمادین ترسیم کنند: امروز در امتداد عدد 30 قرار دارد. اگر کمتر از 30 آزمایش انجام دهیم، مقدار را بر N-1 و اگر بیشتر باشد، بر N تقسیم می کنیم.

یک وظیفه

بیایید به مثال خود در مورد حل مشکل واریانس و انتظار برگردیم. گرفتیم عدد میانی 12 که باید بر N یا N-1 تقسیم می شد. از آنجایی که ما 21 آزمایش انجام دادیم که کمتر از 30 آزمایش است، گزینه دوم را انتخاب می کنیم. بنابراین پاسخ این است: واریانس 12/2 = 2 است.

ارزش مورد انتظار

بریم سراغ مفهوم دوم که باید در این مقاله به آن توجه کنیم. انتظارات ریاضی نتیجه جمع کردن تمام نتایج ممکن ضربدر احتمالات مربوطه است. درک این نکته مهم است که مقدار حاصل، و همچنین نتیجه محاسبه واریانس، تنها یک بار برای کل کار به دست می آید، مهم نیست که چند نتیجه را در نظر می گیرد.

فرمول انتظارات ریاضی بسیار ساده است: ما نتیجه را می گیریم، آن را در احتمال آن ضرب می کنیم، همان را برای نتیجه دوم، سوم و غیره اضافه می کنیم. همه چیز مربوط به این مفهوم به راحتی قابل محاسبه است. به عنوان مثال، مجموع انتظارات ریاضی برابر است با انتظارات ریاضی از مجموع. در مورد کار هم همینطور است. هر کمیتی در تئوری احتمال اجازه انجام چنین عملیات ساده ای را نمی دهد. بیایید یک تکلیف بگیریم و ارزش دو مفهومی را که همزمان مطالعه کرده ایم محاسبه کنیم. علاوه بر این، تئوری حواسمان را پرت کرد - وقت آن است که تمرین کنیم.

یک مثال دیگر

ما 50 کارآزمایی انجام دادیم و 10 نوع نتیجه گرفتیم - اعداد 0 تا 9 - که در درصدهای متفاوت ظاهر شدند. اینها به ترتیب عبارتند از: 2٪، 10٪، 4٪، 14٪، 2٪، 18٪، 6٪، 16٪، 10٪، 18٪. به یاد بیاورید که برای بدست آوردن احتمالات، باید مقادیر درصد را بر 100 تقسیم کنید. بنابراین، 0.02 به دست می آید. 0.1 و غیره اجازه دهید مثالی از حل مسئله برای واریانس یک متغیر تصادفی و انتظار ریاضی ارائه دهیم.

ما میانگین حسابی را با استفاده از فرمولی که از دبستان به خاطر داریم محاسبه می کنیم: 50/10 = 5.

حالا بیایید احتمالات را به تعداد پیامدهای "تکه‌ای" ترجمه کنیم تا شمارش راحت‌تر شود. 1، 5، 2، 7، 1، 9، 3، 8، 5 و 9 را به دست می آوریم. از هر مقدار به دست آمده، میانگین حسابی را کم می کنیم و پس از آن هر یک از نتایج به دست آمده را مربع می کنیم. نحوه انجام این کار را با عنصر اول به عنوان مثال ببینید: 1 - 5 = (-4). علاوه بر این: (-4) * (-4) = 16. برای مقادیر دیگر، این عملیات را خودتان انجام دهید. اگر همه چیز را به درستی انجام دادید، پس از اضافه کردن همه چیز، 90 دریافت می کنید.

بیایید محاسبه واریانس و میانگین را با تقسیم 90 بر N ادامه دهیم. چرا N را انتخاب می کنیم و N-1 را انتخاب نمی کنیم؟ درست است، زیرا تعداد آزمایش های انجام شده بیش از 30 است. بنابراین: 90/10 = 9. ما پراکندگی را دریافت کردیم. اگر شماره دیگری دریافت کردید، ناامید نشوید. به احتمال زیاد، شما یک اشتباه پیش پا افتاده در محاسبات انجام داده اید. آنچه را که نوشتید دوباره بررسی کنید، مطمئن باشید همه چیز سر جای خود قرار می گیرد.

در نهایت، فرمول انتظارات ریاضی را یادآوری می کنیم. ما همه محاسبات را نمی دهیم، فقط پاسخی را می نویسیم که می توانید پس از انجام تمام مراحل مورد نیاز بررسی کنید. مقدار مورد انتظار 5.48 خواهد بود. ما فقط نحوه انجام عملیات را با استفاده از مثال عناصر اول به یاد می آوریم: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... و غیره. همانطور که می بینید، ما به سادگی مقدار نتیجه را در احتمال آن ضرب می کنیم.

انحراف

مفهوم دیگری که ارتباط نزدیکی با پراکندگی و انتظارات ریاضی دارد، انحراف معیار است. یا مشخص شده است با حروف لاتین sd یا «سیگما» با حروف کوچک یونانی. این مفهوم نشان می دهد که چگونه به طور متوسط ​​مقادیر از ویژگی مرکزی منحرف می شوند. برای پیدا کردن مقدار آن، باید محاسبه کنید ریشه دوماز پراکندگی

اگر نمودار بسازید توزیع نرمالو می خواهید انحراف مربع را مستقیماً روی آن ببینید، این کار را می توان در چند مرحله انجام داد. نیمی از تصویر را به سمت چپ یا راست حالت (مقدار مرکزی) بگیرید، یک عمود بر محور افقی بکشید تا مساحت شکل های حاصل برابر باشد. مقدار قطعه بین وسط توزیع و برآمدگی حاصل روی محور افقی انحراف معیار خواهد بود.

نرم افزار

همانطور که از توضیحات فرمول ها و مثال های ارائه شده مشخص است، محاسبه واریانس و انتظارات ریاضی ساده ترین روش از نظر حسابی نیست. برای اینکه زمان را هدر ندهید، منطقی است که از برنامه استفاده شده در بالاتر استفاده کنید موسسات آموزشی- به آن "R" می گویند. دارای توابعی است که به شما امکان می دهد مقادیر بسیاری از مفاهیم را از آمار و تئوری احتمال محاسبه کنید.

به عنوان مثال، شما یک بردار از مقادیر را تعریف می کنید. این کار به صورت زیر انجام می شود: برداری<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

سرانجام

پراکندگی و انتظارات ریاضی بدون آنها محاسبه هر چیزی در آینده دشوار است. در دوره اصلی سخنرانی در دانشگاه ها، آنها در ماه های اول مطالعه موضوع مورد توجه قرار می گیرند. دقیقاً به دلیل عدم درک این مفاهیم ساده و ناتوانی در محاسبه آنها است که بسیاری از دانش آموزان بلافاصله شروع به عقب افتادن از برنامه می کنند و بعداً در پایان جلسه نمرات ضعیفی دریافت می کنند که آنها را از بورسیه محروم می کند.

حداقل یک هفته به مدت نیم ساعت در روز تمرین کنید و کارهایی مشابه آنچه در این مقاله ارائه شده است را حل کنید. سپس، در هر آزمون تئوری احتمال، با مثال هایی بدون نکات اضافی و برگه های تقلب مقابله خواهید کرد.

همراه با مطالعه تنوع یک صفت در کل جمعیت به عنوان یک کل، اغلب لازم است تغییرات کمی در این صفت در گروه هایی که جمعیت به آنها تقسیم می شود و همچنین بین گروه ها ردیابی شود. این مطالعه تغییرات با محاسبه و تجزیه و تحلیل انواع مختلف واریانس به دست می آید.
بین پراکندگی کل، بین گروهی و درون گروهی تمایز قائل شوید.
واریانس کل σ 2تغییرات یک صفت را در کل جمعیت تحت تأثیر همه عواملی که باعث این تنوع شده اند اندازه گیری می کند.

واریانس بین گروهی (δ) تنوع سیستماتیک را مشخص می کند، به عنوان مثال. تفاوت در بزرگی صفت مورد مطالعه که تحت تأثیر عامل صفت زیربنایی گروه بندی ایجاد می شود. با فرمول محاسبه می شود:
.

واریانس درون گروهی (σ)منعکس کننده تغییرات تصادفی است، به عنوان مثال. بخشی از تغییراتی که تحت تأثیر عوامل نامشخص رخ می دهد و به عامل صفت زیربنای گروه بندی بستگی ندارد. با فرمول محاسبه می شود:
.

میانگین واریانس های درون گروهی: .

قانونی وجود دارد که 3 نوع پراکندگی را به هم مرتبط می کند. واریانس کل برابر است با مجموع میانگین واریانس های درون گروهی و بین گروهی: .
این نسبت نامیده می شود قانون جمع واریانس.

در تجزیه و تحلیل، یک معیار به طور گسترده استفاده می شود، که نسبت واریانس بین گروهی در واریانس کل است. این نام را یدک می کشد ضریب تعیین تجربی (η 2): .
جذر ضریب تعیین تجربی نامیده می شود نسبت همبستگی تجربی (η):
.
این تأثیر ویژگی زیربنایی گروه بندی را بر تغییر ویژگی حاصل مشخص می کند. نسبت همبستگی تجربی از 0 تا 1 متغیر است.
کاربرد عملی آن را در مثال زیر نشان خواهیم داد (جدول 1).

مثال شماره 1. جدول 1 - بهره وری نیروی کار دو گروه از کارگران یکی از کارگاه های NPO "Cyclone"

میانگین کل و گروه و واریانس را محاسبه کنید:

داده های اولیه برای محاسبه میانگین پراکندگی درون گروهی و بین گروهی در جدول ارائه شده است. 2.
جدول 2
محاسبه و δ 2 برای دو گروه از کارگران.

گروه های کارگری	تعداد کارگران، نفر.	میانگین، det./shift.	پراکندگی
آموزش فنی را گذرانده است	5	95	42,0
آموزش فنی ندیده	5	81	231,2
همه کارگران	10	88	185,6

بیایید نمرات را محاسبه کنیم. میانگین واریانس های درون گروهی:
.
واریانس بین گروهی

واریانس کل:
بنابراین، نسبت همبستگی تجربی: .

در کنار تنوع صفات کمی، تنوع صفات کیفی نیز قابل مشاهده است. این مطالعه تغییرات با محاسبه انواع واریانس های زیر به دست می آید:

واریانس درون گروهی سهم با فرمول تعیین می شود

جایی که n من- تعداد واحدها در گروه های جداگانه.
نسبت صفت مورد مطالعه در کل جمعیت که با فرمول تعیین می شود:
سه نوع پراکندگی به شرح زیر به یکدیگر مرتبط هستند:
.

این نسبت واریانس، قضیه جمع واریانس سهم ویژگی نامیده می شود.

انتظارات ریاضی و واریانس متداول‌ترین مشخصه‌های عددی متغیر تصادفی هستند. آنها مهمترین ویژگی های توزیع را مشخص می کنند: موقعیت و درجه پراکندگی آن. در بسیاری از مسائل عملی، توصیف کامل و جامع یک متغیر تصادفی - قانون توزیع - یا اصلاً به دست نمی آید یا اصلاً مورد نیاز نیست. در این موارد، آنها به توصیف تقریبی یک متغیر تصادفی با استفاده از ویژگی‌های عددی محدود می‌شوند.

انتظارات ریاضی اغلب صرفاً به عنوان مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی نامیده می شود. پراکندگی یک متغیر تصادفی مشخصه پراکندگی است، پراکندگی یک متغیر تصادفی در اطراف انتظارات ریاضی آن.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته

بیایید به مفهوم انتظار ریاضی نزدیک شویم و ابتدا از تفسیر مکانیکی توزیع یک متغیر تصادفی گسسته استفاده کنیم. اجازه دهید واحد جرم بین نقاط محور x توزیع شود ایکس1 , ایکس 2 , ..., ایکس n، و هر نقطه مادی دارای جرمی مربوط به آن است پ1 , پ 2 , ..., پ n. لازم است یک نقطه در محور x انتخاب شود که موقعیت کل سیستم نقاط مادی را با در نظر گرفتن جرم آنها مشخص می کند. طبیعی است که مرکز جرم سیستم نقاط مادی را چنین نقطه ای در نظر بگیریم. این میانگین وزنی متغیر تصادفی است ایکس، که در آن آبسیسه هر نقطه ایکسمنبا "وزن" برابر با احتمال مربوطه وارد می شود. به این ترتیب مقدار میانگین متغیر تصادفی به دست می آید ایکسانتظار ریاضی آن نامیده می شود.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن آن و احتمالات این مقادیر است:

مثال 1قرعه کشی برد-برد برگزار شد. 1000 برد وجود دارد که 400 مورد آن 10 روبل است. هر کدام 300-20 روبل هر کدام 200 تا 100 روبل. و هر کدام 100 - 200 روبل. میانگین برد برای شخصی که یک بلیط می خرد چقدر است؟

راه حل. اگر مجموع بردها که برابر با 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 روبل است، بر 1000 (مجموع بردها) تقسیم شود، میانگین برد را خواهیم یافت. سپس 50000/1000 = 50 روبل می گیریم. اما عبارت برای محاسبه سود متوسط ​​را می توان به شکل زیر نیز نشان داد:

از سوی دیگر، در این شرایط، مقدار برد یک متغیر تصادفی است که می تواند مقادیر 10، 20، 100 و 200 روبل را به خود اختصاص دهد. با احتمالات به ترتیب برابر با 0.4; 0.3; 0.2; 0.1. بنابراین، میانگین سود مورد انتظار برابر است با مجموع محصولات اندازه سودها و احتمال دریافت آنها.

مثال 2ناشر تصمیم گرفت کتاب جدیدی منتشر کند. او قرار است کتاب را به قیمت 280 روبل بفروشد که 200 روبل به او، 50 روبل به کتابفروشی و 30 روبل به نویسنده داده می شود. این جدول اطلاعاتی در مورد هزینه چاپ یک کتاب و احتمال فروش تعداد معینی از نسخه از کتاب ارائه می دهد.

سود مورد انتظار ناشر را بیابید.

راه حل. متغیر تصادفی "سود" برابر است با تفاوت بین درآمد حاصل از فروش و بهای تمام شده هزینه ها. به عنوان مثال، اگر 500 نسخه از یک کتاب فروخته شود، درآمد حاصل از فروش 200 * 500 = 100000 و هزینه چاپ 225000 روبل است. بنابراین، ناشر با ضرر 125000 روبلی مواجه است. جدول زیر مقادیر مورد انتظار متغیر تصادفی - سود را خلاصه می کند:

عدد	سود ایکسمن	احتمال پمن	ایکسمن پمن
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
جمع:		1,00	25000

بنابراین، انتظار ریاضی سود ناشر را به دست می آوریم:

.

مثال 3شانس زدن با یک ضربه پ= 0.2. میزان مصرف پوسته هایی را که انتظار ریاضی تعداد ضربه ها برابر با 5 را فراهم می کنند، تعیین کنید.

راه حل. از همان فرمول انتظاری که تاکنون استفاده کرده ایم بیان می کنیم ایکس- مصرف پوسته:

.

مثال 4انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی را تعیین کنید ایکستعداد ضربه با سه ضربه، در صورت احتمال ضربه زدن با هر شلیک پ = 0,4 .

نکته: احتمال مقادیر یک متغیر تصادفی را پیدا کنید فرمول برنولی .

ویژگی های انتظار

ویژگی های انتظار ریاضی را در نظر بگیرید.

ملک 1.انتظار ریاضی یک مقدار ثابت برابر با این ثابت است:

ملک 2.عامل ثابت را می توان از علامت انتظار خارج کرد:

ملک 3.انتظار ریاضی از مجموع (تفاوت) متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع (تفاوت) انتظارات ریاضی آنها:

ملک 4.انتظارات ریاضی حاصل ضرب متغیرهای تصادفی برابر است با حاصل ضرب انتظارات ریاضی آنها:

ملک 5.اگر تمام مقادیر متغیر تصادفی ایکسکاهش (افزایش) به همان تعداد از جانب، سپس انتظارات ریاضی آن به همان مقدار کاهش می یابد (افزایش می یابد):

زمانی که نمی توان فقط به انتظارات ریاضی محدود شد

در بیشتر موارد، تنها انتظارات ریاضی نمی توانند به اندازه کافی متغیر تصادفی را مشخص کنند.

اجازه دهید متغیرهای تصادفی ایکسو Yتوسط قوانین توزیع زیر ارائه می شود:

معنی ایکس	احتمال
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

معنی Y	احتمال
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

انتظارات ریاضی از این مقادیر یکسان است - برابر با صفر:

با این حال، توزیع آنها متفاوت است. مقدار تصادفی ایکسفقط می تواند مقادیری را بگیرد که با انتظارات ریاضی و متغیر تصادفی کمی متفاوت است Yمی تواند مقادیری را بگیرد که به طور قابل توجهی از انتظارات ریاضی منحرف می شود. مثال مشابه: دستمزد متوسط ​​امکان قضاوت در مورد نسبت کارگران با دستمزد بالا و پایین را ممکن نمی سازد. به عبارت دیگر، با انتظارات ریاضی نمی توان قضاوت کرد که حداقل به طور متوسط ​​چه انحرافی از آن ممکن است. برای این کار باید واریانس یک متغیر تصادفی را پیدا کنید.

پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته

پراکندگیمتغیر تصادفی گسسته ایکسانتظار ریاضی مربع انحراف آن از انتظار ریاضی نامیده می شود:

انحراف معیار یک متغیر تصادفی ایکسمقدار حسابی جذر واریانس آن است:

.

مثال 5واریانس و انحراف معیار متغیرهای تصادفی را محاسبه کنید ایکسو Y، که قوانین توزیع آن در جداول بالا آورده شده است.

راه حل. انتظارات ریاضی از متغیرهای تصادفی ایکسو Yهمانطور که در بالا مشاهده شد، برابر با صفر هستند. با توجه به فرمول پراکندگی برای E(ایکس)=E(y)=0 دریافت می کنیم:

سپس انحراف معیار متغیرهای تصادفی ایکسو Yتشکیل می دهند

.

بنابراین، با همان انتظارات ریاضی، واریانس متغیر تصادفی ایکسبسیار کوچک و تصادفی Y- قابل توجه. این نتیجه تفاوت در توزیع آنهاست.

مثال 6سرمایه گذار دارای 4 پروژه سرمایه گذاری جایگزین است. جدول داده های مربوط به سود مورد انتظار در این پروژه ها را با احتمال مربوطه خلاصه می کند.

پروژه 1	پروژه 2	پروژه 3	پروژه 4
500, پ=1	1000, پ=0,5	500, پ=0,5	500, پ=0,5
	0, پ=0,5	1000, پ=0,25	10500, پ=0,25
		0, پ=0,25	9500, پ=0,25

برای هر جایگزین انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار را پیدا کنید.

راه حل. اجازه دهید نشان دهیم که چگونه این مقادیر برای جایگزین سوم محاسبه می شود:

جدول مقادیر یافت شده را برای همه گزینه ها خلاصه می کند.

همه جایگزین ها انتظارات ریاضی یکسانی دارند. این بدان معناست که در دراز مدت همه درآمد یکسانی دارند. انحراف استاندارد را می توان به عنوان معیاری از ریسک تفسیر کرد - هر چه بزرگتر باشد، ریسک سرمایه گذاری بیشتر است. سرمایه‌گذاری که ریسک زیادی نمی‌خواهد، پروژه 1 را انتخاب می‌کند زیرا دارای کمترین انحراف معیار (0) است. اگر سرمایه گذار ریسک و بازده بالا را در یک دوره کوتاه ترجیح دهد، پروژه با بیشترین انحراف معیار - پروژه 4 را انتخاب می کند.

خواص پراکندگی

اجازه دهید خواص پراکندگی را ارائه کنیم.

ملک 1.پراکندگی یک مقدار ثابت صفر است:

ملک 2.ضریب ثابت را می توان با مربع کردن آن از علامت پراکندگی خارج کرد:

.

ملک 3.واریانس یک متغیر تصادفی برابر با انتظار ریاضی مربع این مقدار است که مجذور انتظارات ریاضی خود مقدار از آن کم می شود:

,

جایی که .

ملک 4.واریانس مجموع (تفاوت) متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع (تفاوت) واریانس آنها:

مثال 7مشخص است که یک متغیر تصادفی گسسته ایکسفقط دو مقدار را می گیرد: -3 و 7. علاوه بر این، انتظارات ریاضی مشخص است: E(ایکس) = 4 . واریانس یک متغیر تصادفی گسسته را پیدا کنید.

راه حل. با نشان دادن پاحتمالی که با آن یک متغیر تصادفی یک مقدار می گیرد ایکس1 = −3 . سپس احتمال مقدار ایکس2 = 7 1 خواهد بود پ. بیایید معادله انتظارات ریاضی را استخراج کنیم:

E(ایکس) = ایکس 1 پ + ایکس 2 (1 − پ) = −3پ + 7(1 − پ) = 4 ,

جایی که احتمالات را بدست می آوریم: پ= 0.3 و 1 - پ = 0,7 .

قانون توزیع یک متغیر تصادفی:

ایکس	−3	7
پ	0,3	0,7

ما واریانس این متغیر تصادفی را با استفاده از فرمول از ویژگی 3 واریانس محاسبه می کنیم:

D(ایکس) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را خودتان پیدا کنید و سپس راه حل را ببینید

مثال 8متغیر تصادفی گسسته ایکسفقط دو مقدار می گیرد. مقدار بزرگتر 3 را با احتمال 0.4 می گیرد. علاوه بر این، واریانس متغیر تصادفی مشخص است D(ایکس) = 6. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید.

مثال 9یک کوزه شامل 6 توپ سفید و 4 توپ سیاه است. 3 توپ از کوزه گرفته می شود. تعداد توپ های سفید در بین توپ های کشیده شده یک متغیر تصادفی گسسته است ایکس. انتظارات ریاضی و واریانس این متغیر تصادفی را بیابید.

راه حل. مقدار تصادفی ایکسمی تواند مقادیر 0، 1، 2، 3 را بگیرد. احتمالات مربوطه را می توان از قانون ضرب احتمالات. قانون توزیع یک متغیر تصادفی:

ایکس	0	1	2	3
پ	1/30	3/10	1/2	1/6

بنابراین انتظار ریاضی از این متغیر تصادفی:

م(ایکس) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

واریانس یک متغیر تصادفی داده شده عبارت است از:

D(ایکس) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

انتظارات ریاضی و پراکندگی یک متغیر تصادفی پیوسته

برای یک متغیر تصادفی پیوسته، تفسیر مکانیکی انتظار ریاضی همان معنی را حفظ خواهد کرد: مرکز جرم برای یک واحد جرم که به طور پیوسته روی محور x با چگالی توزیع شده است. f(ایکس). در مقابل یک متغیر تصادفی گسسته، که برای آن آرگومان تابع ایکسمنبه طور ناگهانی تغییر می کند، برای یک متغیر تصادفی پیوسته، آرگومان به طور مداوم تغییر می کند. اما انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته با مقدار میانگین آن نیز مرتبط است.

برای یافتن انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی پیوسته، باید انتگرال های معین را پیدا کنید. . اگر تابع چگالی یک متغیر تصادفی پیوسته داده شود، آنگاه مستقیماً وارد انتگرال می شود. اگر تابع توزیع احتمال داده شود، با تفکیک آن، باید تابع چگالی را پیدا کنید.

میانگین حسابی تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته آن نامیده می شود انتظارات ریاضی، با یا نشان داده می شود.

طبق بررسی نمونه، سپرده گذاران بر اساس اندازه سپرده در Sberbank شهر گروه بندی شدند:

تعریف کردن:

1) دامنه تغییرات؛

2) میانگین مبلغ سپرده؛

3) انحراف خطی متوسط.

4) پراکندگی؛

5) انحراف معیار؛

6) ضریب تغییرات مشارکت.

راه حل:

این سری توزیع شامل فواصل باز است. در چنین سری‌هایی معمولاً مقدار فاصله گروه اول برابر با مقدار فاصله گروه بعدی و مقدار فاصله گروه آخر برابر با مقدار فاصله گروه قبلی در نظر گرفته می‌شود. یکی

مقدار بازه گروه دوم 200 است، بنابراین مقدار گروه اول نیز 200 است، مقدار فاصله گروه ماقبل آخر 200 است، یعنی آخرین بازه نیز مقداری برابر با 200 خواهد داشت.

1) محدوده تغییرات را به عنوان تفاوت بین بزرگترین و کوچکترین مقدار مشخصه تعریف کنید:

دامنه تغییرات در اندازه مشارکت 1000 روبل است.

2) اندازه متوسط ​​سهم با فرمول میانگین موزون حسابی تعیین می شود.

اجازه دهید ابتدا مقدار گسسته ویژگی را در هر بازه تعیین کنیم. برای این کار با استفاده از فرمول میانگین حسابی ساده، نقاط میانی بازه ها را پیدا می کنیم.

مقدار متوسط ​​اولین بازه برابر با:

دوم - 500 و غیره

بیایید نتایج محاسبات را در جدول قرار دهیم:

مبلغ سپرده، مالش.	تعداد مشارکت کنندگان، f	وسط فاصله، x	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
جمع	400	-	312000

میانگین سپرده در Sberbank شهر 780 روبل خواهد بود:

3) میانگین انحراف خطی میانگین حسابی انحرافات مطلق مقادیر منفرد ویژگی از میانگین کل است:

روش محاسبه میانگین انحراف خطی در سری توزیع بازه ای به شرح زیر است:

1. همانطور که در بند 2 نشان داده شده است، میانگین موزون حسابی محاسبه می شود.

2. انحراف مطلق متغیر از میانگین تعیین می شود:

3. انحرافات به دست آمده در فرکانس ضرب می شوند:

4. مجموع انحرافات وزنی بدون در نظر گرفتن علامت پیدا می شود:

5. مجموع انحرافات وزنی بر مجموع فرکانس ها تقسیم می شود:

استفاده از جدول داده های محاسبه شده راحت است:

مبلغ سپرده، مالش.	تعداد مشارکت کنندگان، f	وسط فاصله، x
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
جمع	400	-	-	-	81280

میانگین انحراف خطی اندازه سپرده مشتریان Sberbank 203.2 روبل است.

4) پراکندگی میانگین حسابی مجذور انحرافات هر مقدار مشخصه از میانگین حسابی است.

محاسبه واریانس در سری توزیع بازه ای طبق فرمول انجام می شود:

روش محاسبه واریانس در این مورد به شرح زیر است:

1. همانطور که در بند 2 نشان داده شده است، میانگین موزون حسابی را تعیین کنید.

2. انحراف از میانگین را بیابید:

3. مربع کردن انحراف هر گزینه از میانگین:

4. ضرب انحرافات مجذور در وزن (فرکانس):

5. آثار دریافتی را خلاصه کنید:

6. مقدار حاصل بر مجموع وزن ها (فرکانس ها) تقسیم می شود:

بیایید محاسبات را در یک جدول قرار دهیم:

مبلغ سپرده، مالش.	تعداد مشارکت کنندگان، f	وسط فاصله، x
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
جمع	400	-	-	-	23040000