در این ویدئو، مجموعه کاملی از معادلات خطی را که با استفاده از همان الگوریتم حل می شوند، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - به همین دلیل آنها را ساده ترین می نامند.

برای شروع، اجازه دهید تعریف کنیم: معادله خطی چیست و کدام یک از آنها را باید ساده ترین نامید؟

معادله خطی معادله ای است که در آن فقط یک متغیر و فقط در درجه اول وجود داشته باشد.

ساده ترین معادله به معنای ساخت است:

دیگر معادلات خطیبا استفاده از الگوریتم به ساده ترین ها کاهش می یابد:

1. در صورت وجود، پرانتزها را باز کنید.
2. عبارت‌های حاوی متغیر را به یک طرف علامت مساوی و عبارت‌های بدون متغیر را به طرف دیگر منتقل کنید.
3. عبارت های مشابه را در سمت چپ و راست علامت مساوی بیاورید.
4. معادله به دست آمده را بر ضریب متغیر $x$ تقسیم کنید.

البته این الگوریتم همیشه کمک نمی کند. واقعیت این است که گاهی پس از این همه ماشینکاری، ضریب متغیر $x$ برابر با صفر می شود. در این مورد، دو گزینه ممکن است:

1. معادله اصلاً راه حلی ندارد. به عنوان مثال، وقتی چیزی شبیه $0\cdot x=8$ دریافت می کنید، یعنی. در سمت چپ صفر و در سمت راست یک عدد غیر صفر است. در ویدیوی زیر به چند دلیل برای امکان پذیر بودن این وضعیت نگاه خواهیم کرد.
2. راه حل همه اعداد است. تنها موردی که این امکان وجود دارد زمانی است که معادله به ساختار $0\cdot x=0$ کاهش یافته باشد. کاملاً منطقی است که مهم نیست $x$ را جایگزین کنیم، باز هم معلوم می شود که "صفر برابر با صفر است". برابری عددی صحیح

و اکنون بیایید ببینیم که چگونه همه اینها بر روی مثال مشکلات واقعی کار می کند.

نمونه هایی از حل معادلات

امروز ما با معادلات خطی و فقط ساده ترین آنها سروکار داریم. به طور کلی معادله خطی به معنای هر برابری است که دقیقاً یک متغیر داشته باشد و فقط به درجه اول می رود.

چنین سازه هایی تقریباً به همان روش حل می شوند:

1. اول از همه، باید پرانتزها را در صورت وجود باز کنید (مانند نمونه آخر ما).
2. سپس مشابه بیاورید
3. در نهایت، متغیر را جدا کنید، i.e. هر چیزی که با متغیر مرتبط است - اصطلاحاتی که در آن وجود دارد - به یک طرف منتقل می شود و هر چیزی که بدون آن باقی می ماند به طرف دیگر منتقل می شود.

سپس، به عنوان یک قاعده، باید در هر طرف برابری حاصل مشابه بیاورید، و پس از آن فقط تقسیم بر ضریب "x" باقی می ماند و ما پاسخ نهایی را خواهیم گرفت.

از نظر تئوری، این کار زیبا و ساده به نظر می‌رسد، اما در عمل، حتی دانش‌آموزان با تجربه دبیرستانی نیز می‌توانند در معادلات خطی نسبتاً ساده مرتکب اشتباهات تهاجمی شوند. معمولاً یا هنگام باز کردن پرانتزها یا هنگام شمارش «مضافات» و «منهای» اشتباه می شود.

علاوه بر این، این اتفاق می افتد که یک معادله خطی اصلاً راه حلی نداشته باشد، یا به طوری که راه حل کل خط اعداد باشد، یعنی. هر عددی این ظرافت ها را در درس امروز تحلیل خواهیم کرد. اما همانطور که قبلاً فهمیدید، ما با بیشترین مقدار شروع خواهیم کرد کارهای ساده.

طرحی برای حل معادلات خطی ساده

برای شروع، اجازه دهید یک بار دیگر کل طرح حل ساده ترین معادلات خطی را بنویسم:

1. در صورت وجود، پرانتز را باز کنید.
2. جدا کردن متغیرها، به عنوان مثال هر چیزی که حاوی "x" باشد به یک طرف و بدون "x" - به طرف دیگر منتقل می شود.
3. ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم.
4. همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم.

البته این طرح همیشه جواب نمی دهد، ظرافت ها و ترفندهای خاصی دارد و اکنون با آنها آشنا می شویم.

حل مثال های واقعی معادلات خطی ساده

وظیفه شماره 1

در مرحله اول باید براکت ها را باز کنیم. اما آنها در این مثال نیستند، بنابراین از این مرحله می گذریم. در مرحله دوم باید متغیرها را ایزوله کنیم. لطفا توجه داشته باشید: ما فقط در مورد شرایط فردی صحبت می کنیم. بیا بنویسیم:

ما عبارت‌های مشابهی را در سمت چپ و راست ارائه می‌کنیم، اما این قبلاً در اینجا انجام شده است. بنابراین به مرحله چهارم می رویم: تقسیم بر ضریب:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

اینجا جواب گرفتیم

وظیفه شماره 2

در این کار، می‌توانیم براکت‌ها را مشاهده کنیم، بنابراین اجازه دهید آنها را گسترش دهیم:

هم در سمت چپ و هم در سمت راست، تقریباً یک ساختار را می بینیم، اما بیایید طبق الگوریتم عمل کنیم، i.e. متغیرهای sequester:

در اینجا مواردی مانند:

این در چه ریشه ای کار می کند؟ پاسخ: برای هر. بنابراین، می توانیم بنویسیم که $x$ هر عددی است.

وظیفه شماره 3

معادله خطی سوم در حال حاضر جالب تر است:

\[\چپ(6-x \راست)+\چپ(12+x \راست)-\چپ(3-2x \راست)=15\]

در اینجا چندین براکت وجود دارد، اما آنها در هیچ چیز ضرب نمی شوند، فقط علائم مختلفی در جلوی خود دارند. بیایید آنها را تجزیه کنیم:

ما مرحله دوم را که قبلاً برای ما شناخته شده است انجام می دهیم:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

بیایید محاسبه کنیم:

اجرا می کنیم آخرین مرحله- همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم کنید:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

نکاتی که در حل معادلات خطی باید به خاطر بسپارید

اگر کارهای خیلی ساده را نادیده بگیریم، می‌خواهم موارد زیر را بگویم:

• همانطور که در بالا گفتم، هر معادله خطی راه حلی ندارد - گاهی اوقات به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
• حتی اگر ریشه‌هایی وجود داشته باشد، صفر می‌تواند در میان آنها وارد شود - هیچ اشکالی در آن وجود ندارد.

صفر همان عدد بقیه است، شما نباید به نوعی آن را متمایز کنید یا فرض کنید که اگر صفر دریافت کنید، پس کار اشتباهی انجام داده اید.

ویژگی دیگر مربوط به گسترش پرانتز است. لطفا توجه داشته باشید: وقتی یک "منفی" در مقابل آنها وجود دارد، آن را حذف می کنیم، اما در پرانتز علائم را به تغییر می دهیم مقابل. و سپس می توانیم آن را طبق الگوریتم های استاندارد باز کنیم: آنچه را که در محاسبات بالا دیدیم به دست خواهیم آورد.

درک این موضوع واقعیت سادهزمانی که انجام چنین کارهایی بدیهی تلقی می شود، شما را از انجام اشتباهات احمقانه و آزاردهنده در دبیرستان باز می دارد.

حل معادلات خطی پیچیده

بیایید به ادامه مطلب برویم معادلات پیچیده. اکنون ساختارها پیچیده تر می شوند و هنگام انجام تبدیل های مختلف یک تابع درجه دوم ظاهر می شود. با این حال، نباید از این بترسید، زیرا اگر طبق قصد نویسنده، یک معادله خطی را حل کنیم، در فرآیند تبدیل، همه یکپارچه های حاوی تابع درجه دوم لزوما کاهش می یابد.

مثال شماره 1

بدیهی است که اولین قدم باز کردن براکت ها است. بیایید این کار را با دقت انجام دهیم:

حالا بیایید حریم خصوصی را در نظر بگیریم:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

در اینجا مواردی مانند:

بدیهی است که این معادله هیچ راه حلی ندارد، بنابراین در پاسخ به صورت زیر می نویسیم:

\[\تنوع \]

یا بدون ریشه

مثال شماره 2

ما همین مراحل را انجام می دهیم. گام اول:

بیایید همه چیز را با یک متغیر به سمت چپ و بدون آن - به راست منتقل کنیم:

در اینجا مواردی مانند:

بدیهی است که این معادله خطی هیچ راه حلی ندارد، بنابراین آن را به صورت زیر می نویسیم:

\[\varnothing\]،

یا بدون ریشه

تفاوت های ظریف راه حل

هر دو معادله کاملا حل شده است. در مثال این دو عبارت، ما یک بار دیگر مطمئن شدیم که حتی در ساده ترین معادلات خطی، همه چیز می تواند چندان ساده نباشد: می تواند یکی باشد، یا هیچ، یا بی نهایت زیاد. در مورد ما، ما دو معادله را در نظر گرفتیم، در هر دو به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.

اما من می خواهم توجه شما را به یک واقعیت دیگر جلب کنم: نحوه کار با براکت ها و نحوه گسترش آنها در صورت وجود علامت منفی در مقابل آنها. این عبارت را در نظر بگیرید:

قبل از باز کردن، باید همه چیز را در "x" ضرب کنید. لطفا توجه داشته باشید: ضرب کنید هر ترم جداگانه. در داخل دو عبارت وجود دارد - به ترتیب، دو جمله و ضرب شده است.

و تنها پس از تکمیل این دگرگونی های به ظاهر ابتدایی، اما بسیار مهم و خطرناک، می توان براکت را از این نظر باز کرد که بعد از آن علامت منفی وجود دارد. بله، بله: فقط اکنون، هنگامی که تبدیل ها انجام شد، به یاد می آوریم که یک علامت منفی در جلوی براکت ها وجود دارد، به این معنی که همه چیز زیر فقط علائم را تغییر می دهد. در عین حال ، خود براکت ها ناپدید می شوند و مهمتر از همه ، "منهای" جلو نیز ناپدید می شوند.

همین کار را با معادله دوم انجام می دهیم:

تصادفی نیست که به این حقایق کوچک و به ظاهر کم اهمیت توجه می کنم. زیرا حل معادلات همیشه یک دنباله است تحولات ابتدایی، جایی که ناتوانی در انجام واضح و شایسته اقدامات ساده منجر به این واقعیت می شود که دانش آموزان دبیرستانی به سراغ من می آیند و دوباره یاد می گیرند که چگونه چنین معادلات ساده ای را حل کنند.

البته، روزی فرا می رسد که این مهارت ها را به سمت خودکارسازی ارتقا دهید. دیگر لازم نیست هر بار این همه تبدیل انجام دهید، همه چیز را در یک خط خواهید نوشت. اما در حالی که تازه در حال یادگیری هستید، باید هر عمل را جداگانه بنویسید.

حل معادلات خطی حتی پیچیده تر

چیزی که اکنون می خواهیم حل کنیم را به سختی می توان ساده ترین کار نامید، اما معنی همان است.

وظیفه شماره 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

بیایید تمام عناصر قسمت اول را ضرب کنیم:

بیایید عقب نشینی کنیم:

در اینجا مواردی مانند:

بیایید آخرین مرحله را انجام دهیم:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

در اینجا پاسخ نهایی ما است. و علیرغم اینکه در فرآیند حل ما ضرایبی با تابع درجه دوم داشتیم، اما آنها متقابلاً لغو شدند، که باعث می شود معادله دقیقاً خطی باشد، نه مربع.

وظیفه شماره 2

\[\ چپ (1-4x \راست)\ چپ (1-3x \راست)=6x\چپ (2x-1 \راست)\]

بیایید مرحله اول را با دقت انجام دهیم: هر عنصر در براکت اول را در هر عنصر در دومی ضرب کنید. در مجموع، چهار عبارت جدید باید پس از تبدیل به دست آید:

و اکنون ضرب را در هر جمله با دقت انجام دهید:

بیایید اصطلاحات را با "x" به سمت چپ و بدون - به راست منتقل کنیم:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:

ما پاسخ قطعی دریافت کرده ایم.

تفاوت های ظریف راه حل

مهم ترین نکته در مورد این دو معادله این است: به محض اینکه شروع به ضرب براکت هایی کنیم که در آنها یک جمله بزرگتر از آن وجود دارد، آنگاه این کار مطابق با آن انجام می شود. قانون بعدی: جمله اول را از اولی می گیریم و در هر عنصر از دومی ضرب می کنیم. سپس عنصر دوم را از اولی می گیریم و به طور مشابه در هر عنصر از عنصر دوم ضرب می کنیم. در نتیجه چهار ترم به دست می آید.

در مجموع جبری

با آخرین مثال، می خواهم به دانش آموزان یادآوری کنم که جمع جبری چیست. در ریاضیات کلاسیک، منظور از 1 تا 7 دلار یک ساختار ساده است: هفت را از یک کم می کنیم. در جبر، منظور ما از این است که: به عدد "یک" یک عدد دیگر، یعنی "منهای هفت" اضافه می کنیم. این مجموع جبری با مجموع حسابی معمول متفاوت است.

به محض انجام تمام تبدیل ها، هر جمع و ضرب، شروع به دیدن ساختارهای مشابه آنچه در بالا توضیح داده شد، می کنید، به سادگی هنگام کار با چند جمله ای ها و معادلات هیچ مشکلی در جبر نخواهید داشت.

در پایان، بیایید به چند مثال دیگر نگاه کنیم که حتی پیچیده‌تر از نمونه‌هایی هستند که اخیراً به آنها نگاه کردیم، و برای حل آنها، باید کمی الگوریتم استاندارد خود را گسترش دهیم.

حل معادلات با کسری

برای حل چنین کارهایی، یک مرحله دیگر باید به الگوریتم ما اضافه شود. اما ابتدا الگوریتم خود را یادآوری می کنم:

1. پرانتزها را باز کنید.
2. متغیرها را جدا کنید
3. مشابه بیاورید
4. تقسیم بر یک فاکتور.

افسوس که این الگوریتم فوق العاده با همه کارایی که دارد، زمانی که کسری در مقابل خود داریم کاملا مناسب نیست. و در آنچه در زیر خواهیم دید، در هر دو معادله یک کسری در سمت چپ و راست داریم.

در این مورد چگونه باید کار کرد؟ بله، خیلی ساده است! برای انجام این کار، باید یک مرحله دیگر به الگوریتم اضافه کنید، که هم قبل از اولین اقدام و هم بعد از آن، یعنی خلاص شدن از شر کسری، قابل انجام است. بنابراین، الگوریتم به صورت زیر خواهد بود:

1. از شر کسری خلاص شوید.
2. پرانتزها را باز کنید.
3. متغیرها را جدا کنید
4. مشابه بیاورید
5. تقسیم بر یک فاکتور.

منظور از "خلاص شدن از کسری" چیست؟ و چرا هم بعد از اولین مرحله استاندارد و هم قبل از آن می توان این کار را انجام داد؟ در واقع، در مورد ما، همه کسرها از نظر مخرج عددی هستند، یعنی. همه جا مخرج فقط یک عدد است. بنابراین، اگر هر دو قسمت معادله را در این عدد ضرب کنیم، از شر کسر خلاص خواهیم شد.

مثال شماره 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \راست))(4)=((x)^(2))-1\]

بیایید از کسرهای این معادله خلاص شویم:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \راست)\cdot چهار\]

لطفاً توجه داشته باشید: همه چیز یک بار در "چهار" ضرب می شود، یعنی. فقط به این دلیل که شما دو براکت دارید به این معنی نیست که باید هر یک از آنها را در "چهار" ضرب کنید. بیا بنویسیم:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

حالا بیایید آن را باز کنیم:

ما جداسازی یک متغیر را انجام می دهیم:

ما کاهش شرایط مشابه را انجام می دهیم:

\[-4x=-1\ چپ| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

ما جواب نهایی را دریافت کردیم، به معادله دوم می رویم.

مثال شماره 2

\[\frac(\left(1-x \راست)\left(1+5x \راست))(5)+((x)^(2))=1\]

در اینجا ما همه اقدامات مشابه را انجام می دهیم:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \راست)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

مشکل حل شد.

این در واقع تمام چیزی است که امروز می خواستم بگویم.

امتیاز کلیدی

یافته های کلیدی به شرح زیر است:

• الگوریتم حل معادلات خطی را بدانید.
• قابلیت باز کردن براکت ها
• اگر جایی دارید نگران نباشید توابع درجه دوم، به احتمال زیاد، در روند تحولات بعدی، آنها کاهش خواهند یافت.
• ریشه ها در معادلات خطی، حتی ساده ترین آنها، سه نوع هستند: یک ریشه، کل خط اعداد یک ریشه است، اصلاً ریشه وجود ندارد.

امیدوارم این درس به شما در تسلط بر یک مبحث ساده اما بسیار مهم برای درک بیشتر تمامی ریاضیات کمک کند. اگر چیزی واضح نیست، به سایت بروید، مثال های ارائه شده در آنجا را حل کنید. با ما همراه باشید، چیزهای جالب دیگری در انتظار شما هستند!

برای حل ریاضی سریع پیدا کنید حل معادلات ریاضیدر حالت برخط. وب سایت www.site اجازه می دهد معادله را حل کنیدتقریبا هر داده شده جبری, مثلثاتییا معادله ماورایی آنلاین. هنگام مطالعه تقریباً هر بخش از ریاضیات در مراحل مختلف، فرد باید تصمیم بگیرد معادلات آنلاین. برای دریافت فوری پاسخ، و مهمتر از همه یک پاسخ دقیق، به منبعی نیاز دارید که به شما امکان انجام این کار را بدهد. با تشکر از www.site حل معادلات آنلاینچند دقیقه طول خواهد کشید. مزیت اصلی www.site هنگام حل ریاضی معادلات آنلاین- سرعت و دقت پاسخ صادر شده است. سایت قادر به حل هر کدام است معادلات جبری آنلاین, معادلات مثلثاتی آنلاین, معادلات ماورایی آنلاین، همچنین معادلاتبا پارامترهای ناشناخته در حالت برخط. معادلاتبه عنوان یک دستگاه ریاضی قدرتمند عمل می کند راه حل ها وظایف عملی. با کمک معادلات ریاضیمی توان حقایق و روابطی را بیان کرد که ممکن است در نگاه اول گیج کننده و پیچیده به نظر برسد. مقادیر ناشناخته معادلاترا می توان با فرمول بندی مسئله در یافت ریاضیزبان در فرم معادلاتو تصميم گرفتنوظیفه دریافت شده در حالت برخطدر وب سایت www.site. هر معادله جبری, معادله مثلثاتییا معادلاتحاوی ماوراییبه راحتی شما را مشخص می کند تصميم گرفتنآنلاین و پاسخ درست را دریافت کنید. در حال مطالعه علوم طبیعیبه ناچار با نیاز مواجه می شوند حل معادلات. در این صورت پاسخ باید دقیق باشد و بلافاصله در حالت دریافت شود برخط. بنابراین، برای حل معادلات ریاضی به صورت آنلاینما سایت www.site را توصیه می کنیم که به ماشین حساب ضروری شما تبدیل می شود راه حل ها معادلات جبریبرخط, معادلات مثلثاتیبرخط، همچنین معادلات ماورایی آنلاینیا معادلاتبا پارامترهای ناشناخته برای مشکلات عملی یافتن ریشه های مختلف معادلات ریاضیمنبع www.. حل معادلات آنلاینخودتان، بررسی پاسخ دریافتی با استفاده از آن مفید است حل معادلات آنلایندر وب سایت www.site لازم است معادله را به درستی بنویسید و فورا بدست آورید راه حل آنلاین، پس از آن فقط پاسخ را با جواب معادله خود مقایسه کنید. بررسی پاسخ بیش از یک دقیقه طول نمی کشد، کافی است معادله را به صورت آنلاین حل کنیدو پاسخ ها را با هم مقایسه کنید این به شما کمک می کند تا از اشتباهات خود جلوگیری کنید تصمیم گیریو به موقع پاسخ را تصحیح کنید حل معادلات آنلاینچه جبری, مثلثاتی, متعالییا معادلهبا پارامترهای ناشناخته

معادلات

چگونه معادلات را حل کنیم؟

در این بخش، ابتدایی ترین معادلات را به یاد می آوریم (یا مطالعه می کنیم - همانطور که هر کسی دوست دارد). پس معادله چیست؟ صحبت کردن به زبان انسانی، این مقداری است بیان ریاضی، جایی که علامت مساوی و مجهول وجود دارد. که معمولا با حرف مشخص می شود "ایکس". معادله را حل کنیدیافتن چنین مقادیر x است که هنگام جایگزینی به اولیهبیان، به ما هویت درست می دهد. یادآوری می کنم که هویت بیانی است که حتی برای فردی که مطلقاً زیر بار دانش ریاضی نیست، تردید ایجاد نمی کند. مانند 2=2، 0=0، ab=ab و غیره. پس چگونه معادلات را حل می کنید؟بیایید آن را بفهمیم.

انواع و اقسام معادلات وجود دارد (من تعجب کردم، نه؟). اما تمام تنوع بی نهایت آنها را می توان تنها به چهار نوع تقسیم کرد.

4. دیگر.)

بقیه، البته، بیشتر از همه، بله ...) این شامل مکعب، و نمایی، و لگاریتمی، و مثلثاتی، و انواع دیگر است. ما در بخش های مربوطه با آنها کار خواهیم کرد.

فوراً باید بگویم که گاهی اوقات معادلات اول سه نوعآنقدر آن را به باد خواهند داد که شما آنها را نشناسی... هیچی. ما یاد خواهیم گرفت که چگونه آنها را باز کنیم.

و چرا به این چهار نوع نیاز داریم؟ و پس از آن چه معادلات خطیبه یک طریق حل شد مربعدیگران عقلی کسری - سوم،آ باقی ماندهاصلا حل نشد! خب، اینطور نیست که آنها اصلا تصمیم نمی گیرند، من بیهوده به ریاضیات توهین کردم.) فقط آنها تکنیک ها و روش های خاص خود را دارند.

اما برای هر (تکرار می کنم - برای هر!) معادلات یک مبنای قابل اعتماد و بدون مشکل برای حل است. همه جا و همیشه کار می کند. این پایه - ترسناک به نظر می رسد، اما چیز بسیار ساده است. و خیلی (خیلی!)مهم.

در واقع، حل معادله از همین تبدیل ها تشکیل شده است. در 99 درصد به سوال پاسخ بدهید: " چگونه معادلات را حل کنیم؟"دروغ، فقط در این تحولات. آیا اشاره واضح است؟)

تبدیل هویت معادلات.

AT هر معادله ایبرای یافتن مجهول باید مثال اصلی را تبدیل و ساده کرد. علاوه بر این، به طوری که در هنگام تغییر ظاهر ماهیت معادله تغییر نکرده است.چنین تحولاتی نامیده می شود همسانیا معادل آن

توجه داشته باشید که این تبدیل ها هستند فقط برای معادلاتدر ریاضیات، هنوز تحولات یکسانی وجود دارد اصطلاحات.این موضوع دیگری است.

اکنون همه پایه را تکرار می کنیم تبدیل معادلات یکسان

اساسی زیرا می توان آنها را اعمال کرد هرمعادلات - خطی، درجه دوم، کسری، مثلثاتی، نمایی، لگاریتمی و غیره. و غیره.

اولین تبدیل یکسان: هر دو طرف هر معادله ای را می توان اضافه (کم کرد) هر(اما یکسان!) یک عدد یا یک عبارت (از جمله عبارت با مجهول!). ماهیت معادله تغییر نمی کند.

ضمناً شما دائماً از این تبدیل استفاده می کردید، فقط فکر می کردید که برخی اصطلاحات را با تغییر علامت از یک قسمت معادله به قسمت دیگر منتقل می کنید. نوع:

موضوع آشناست، دوس را به سمت راست می‌بریم و می‌گیریم:

در واقع تو برده شدهاز دو طرف معادله دس. نتیجه یکسان است:

x+2 - 2 = 3 - 2

انتقال اصطلاحات به چپ-راست با تغییر علامت صرفاً یک نسخه کوتاه شده از اولین تبدیل یکسان است. و چرا ما به چنین دانش عمیقی نیاز داریم؟ - تو پرسیدی. چیزی در معادلات نیست. به خاطر خدا حرکتش کن فقط فراموش نکنید که علامت را تغییر دهید. اما در نابرابری ها، عادت به انتقال می تواند به بن بست منجر شود...

دگرگونی هویت دوم: هر دو طرف معادله را می توان در یک ضرب (تقسیم) کرد غیر صفرعدد یا عبارت یک محدودیت قابل درک از قبل در اینجا ظاهر می شود: ضرب در صفر احمقانه است، اما به هیچ وجه نمی توان آن را تقسیم کرد. این دگرگونی است که وقتی تصمیم می گیرید چیزی جالب مانند آن را بکار می برید

قابل درک است، ایکس= 2. اما چگونه آن را پیدا کردید؟ انتخاب؟ یا فقط روشن شد؟ برای اینکه دست به کار نشوید و منتظر بصیرت نباشید، باید درک کنید که عادل هستید دو طرف معادله را تقسیم کنیدبر 5. هنگام تقسیم سمت چپ (5x)، پنج کاهش یافت و یک X خالص باقی ماند. چیزی که ما به آن نیاز داشتیم. و هنگام تقسیم سمت راست (10) بر پنج، البته یک دس معلوم شد.

همین.

خنده دار است، اما این دو (فقط دو!) تبدیل یکسان زیربنای راه حل هستند تمام معادلات ریاضیچگونه! منطقی است که به نمونه هایی از چیستی و چگونه نگاه کنیم، درست است؟)

نمونه هایی از تبدیل های یکسان معادلات. مشکلات اصلی

بیا شروع کنیم با اولینتبدیل یکسان چپ به راست حرکت کنید.

نمونه ای برای کوچولوها.)

فرض کنید باید معادله زیر را حل کنیم:

3-2x=5-3x

بیایید طلسم را به خاطر بسپاریم: "با X - به سمت چپ، بدون X - به سمت راست!"این طلسم دستورالعملی برای اعمال اولین تبدیل هویت است.) عبارت x در سمت راست چیست؟ 3 برابر? پاسخ اشتباه است! سمت راست ما - 3 برابر! منهایسه ایکس! بنابراین، هنگام جابجایی به سمت چپ، علامت به مثبت تغییر می کند. گرفتن:

3-2x+3x=5

بنابراین، X ها کنار هم قرار گرفتند. بیایید اعداد را انجام دهیم. سه در سمت چپ. چه علامتی؟ جواب "با هیچ" قبول نمیشه!) جلوی ثلاث راستی چیزی کشیده نمیشه. و این بدان معنی است که در مقابل سه گانه است یک مثبت.بنابراین ریاضیدانان موافقت کردند. هیچی نوشته نشده پس یک مثبت.بنابراین، در سمت راستاین سه منتقل خواهند شد با منهایما گرفتیم:

-2x+3x=5-3

جاهای خالی باقی مانده است. در سمت چپ - موارد مشابه را بدهید، در سمت راست - شمارش کنید. پاسخ بلافاصله این است:

در این مثال، یک تبدیل یکسان کافی بود. مورد دوم لازم نبود. بسیار خوب.)

نمونه ای برای بزرگان.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

معادلات درجه دوم در کلاس 8 مطالعه می شوند، بنابراین هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد. توانایی حل آنها ضروری است.

معادله درجه دوم معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 است که در آن ضرایب a , b و c اعداد دلخواه و a ≠ 0 هستند.

قبل از مطالعه روش های حل خاص، توجه می کنیم که تمام معادلات درجه دوم را می توان به سه کلاس تقسیم کرد:

1. بدون ریشه؛
2. آنها دقیقا یک ریشه دارند.
3. آنها دو ریشه متفاوت دارند.

این یک تفاوت مهم بین معادلات درجه دوم و خطی است، جایی که ریشه همیشه وجود دارد و منحصر به فرد است. چگونه تعیین کنیم که یک معادله چند ریشه دارد؟ یک چیز شگفت انگیز برای این وجود دارد - ممیز.

ممیز

اجازه دهید معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 داده شود.سپس متمایز کننده به سادگی عدد D = b 2 − 4ac است.

این فرمول را باید قلبا دانست. الان از کجا آمده مهم نیست. یک چیز دیگر مهم است: با علامت تمایز می توانید تعیین کنید که یک معادله درجه دوم چند ریشه دارد. برای مثال:

1. اگر D< 0, корней нет;
2. اگر D = 0 باشد، دقیقاً یک ریشه وجود دارد.
3. اگر D > 0 باشد، دو ریشه وجود خواهد داشت.

لطفاً توجه داشته باشید: متمایز کننده تعداد ریشه ها را نشان می دهد و اصلاً علائم آنها را نشان نمی دهد ، همانطور که به دلایلی بسیاری فکر می کنند. به مثال ها نگاه کنید و خودتان همه چیز را متوجه خواهید شد:

یک وظیفه. معادلات درجه دوم چند ریشه دارند:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6 x + 9 = 0.

ضرایب معادله اول را می نویسیم و ممیز را پیدا می کنیم:
a = 1، b = -8، c = 12;
D = (-8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

بنابراین، ممیز مثبت است، بنابراین معادله دو ریشه متفاوت دارد. معادله دوم را به همین ترتیب تحلیل می کنیم:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

ممیز منفی است، هیچ ریشه ای وجود ندارد. آخرین معادله باقی می ماند:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

ممیز برابر با صفر است - ریشه یک خواهد بود.

توجه داشته باشید که برای هر معادله ضرایبی نوشته شده است. بله، طولانی است، بله، خسته کننده است - اما شما شانس را با هم مخلوط نمی کنید و مرتکب اشتباهات احمقانه نمی شوید. خودتان انتخاب کنید: سرعت یا کیفیت.

به هر حال، اگر "دست خود را پر کنید"، پس از مدتی دیگر نیازی به نوشتن همه ضرایب نخواهید داشت. شما چنین عملیاتی را در سر خود انجام خواهید داد. اکثر مردم از جایی بعد از 50-70 معادله حل شده شروع به انجام این کار می کنند - به طور کلی، نه چندان زیاد.

ریشه های یک معادله درجه دوم

حالا بیایید به سراغ راه حل برویم. اگر تفکیک کننده D > 0 باشد، ریشه ها را می توان با استفاده از فرمول ها پیدا کرد:

فرمول اصلی برای ریشه های یک معادله درجه دوم

وقتی D = 0 باشد، می توانید از هر یک از این فرمول ها استفاده کنید - همان عدد را دریافت می کنید که پاسخ خواهد بود. در نهایت، اگر D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

معادله اول:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ معادله دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم:

معادله دوم:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ معادله دوباره دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \راست))=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

در نهایت معادله سوم:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ معادله یک ریشه دارد. از هر فرمولی می توان استفاده کرد. مثلا اولی:

همانطور که از مثال ها می بینید، همه چیز بسیار ساده است. اگر فرمول ها را بلد باشید و بتوانید بشمارید مشکلی پیش نمی آید. اغلب، خطاها زمانی رخ می دهند که ضرایب منفی در فرمول جایگزین شوند. در اینجا، دوباره، تکنیک توضیح داده شده در بالا کمک خواهد کرد: به فرمول به معنای واقعی کلمه نگاه کنید، هر مرحله را رنگ کنید - و خیلی زود از شر اشتباهات خلاص شوید.

معادلات درجه دوم ناقص

این اتفاق می افتد که معادله درجه دوم تا حدودی با آنچه در تعریف ارائه شده است متفاوت است. مثلا:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

به راحتی می توان فهمید که یکی از اصطلاحات در این معادلات وجود ندارد. حل چنین معادلات درجه دوم حتی ساده تر از معادلات استاندارد است: آنها حتی نیازی به محاسبه تفکیک ندارند. پس بیایید یک مفهوم جدید را معرفی کنیم:

معادله ax 2 + bx + c = 0 یک معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود اگر b = 0 یا c = 0، یعنی. ضریب متغیر x یا عنصر آزاد برابر با صفر است.

البته، زمانی که هر دوی این ضرایب برابر با صفر باشند، یک مورد بسیار دشوار امکان پذیر است: b \u003d c \u003d 0. در این حالت، معادله به شکل ax 2 \u003d 0 است. بدیهی است که چنین معادله ای دارای یک واحد است. ریشه: x \u003d 0.

بیایید موارد دیگر را در نظر بگیریم. بگذارید b \u003d 0 باشد، سپس یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 + c \u003d 0 به دست می آوریم. اجازه دهید کمی آن را تبدیل کنیم:

چون حسابی ریشه دومفقط از یک عدد غیر منفی وجود دارد، آخرین برابری فقط برای (−c/a) ≥ 0 معنا دارد. نتیجه‌گیری:

1. اگر یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 + c = 0 نابرابری (-c / a ) ≥ 0 را برآورده کند، دو ریشه وجود خواهد داشت. فرمول بالا داده شده است؛
2. اگر (-c/a)< 0, корней нет.

همانطور که می بینید، تمایز مورد نیاز نبود - به صورت ناقص معادلات درجه دومهیچ محاسبات پیچیده ای وجود ندارد در واقع، حتی لازم نیست نابرابری (−c / a ) ≥ 0 را به خاطر بسپارید. کافی است مقدار x 2 را بیان کنید و ببینید در طرف دیگر علامت مساوی چه چیزی وجود دارد. اگر یک عدد مثبت وجود داشته باشد، دو ریشه خواهد بود. اگر منفی باشد، هیچ ریشه ای وجود نخواهد داشت.

حال بیایید به معادلات شکل ax 2 + bx = 0 بپردازیم که در آن عنصر آزاد برابر با صفر است. همه چیز در اینجا ساده است: همیشه دو ریشه وجود خواهد داشت. کافی است چند جمله ای را فاکتورسازی کنیم:

خارج کردن عامل مشترک از براکت

زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. ریشه ها از اینجا می آید. در خاتمه، چندین مورد از این معادلات را تحلیل خواهیم کرد:

یک وظیفه. حل معادلات درجه دوم:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = -(-7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. هیچ ریشه ای وجود ندارد، زیرا مربع نمی تواند برابر با یک عدد منفی باشد.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.