مشتق در امتداد یک بردار. مشتق جهت دار

تابع u(x، y، z) را در نقطه М(x، y، z) و نقطه М 1 (x + Dx، y + Dy، z + Dz) در نظر بگیرید.

بیایید از میان نقاط M و M 1 بردار رسم کنیم. زوایای تمایل این بردار نسبت به جهت محورهای مختصات x، y، z به ترتیب با a، b، g نشان داده خواهد شد. کسینوس این زوایا نامیده می شود کسینوس جهتبردار .

فاصله بین نقاط M و M 1 بردار با DS نشان داده می شود.

که در آن مقادیر e 1 , e 2 , e 3 بی نهایت کوچک هستند.

از ملاحظات هندسی واضح است:

بنابراین، برابری های فوق را می توان به صورت زیر نشان داد:

توجه داشته باشید که s یک مقدار اسکالر است. فقط جهت بردار را تعیین می کند.

از این معادله تعریف زیر به دست می آید:

حد نامیده می شود مشتق تابع u(x,y,z) در جهت برداردر نقطه با مختصات (x، y، z).

اجازه دهید معنای برابری های فوق را با یک مثال توضیح دهیم.

مثال 9.1. مشتق تابع z \u003d x 2 + y 2 x را در نقطه A (1، 2) در جهت بردار محاسبه کنید. در (3، 0).

راه حل.اول از همه، لازم است مختصات بردار را تعیین کنیم.

مشتقات جزئی تابع z را در پیدا می کنیم نمای کلی:

مقادیر این مقادیر در نقطه A:

برای یافتن کسینوس های جهت بردار، تبدیل های زیر را انجام می دهیم:

یک بردار دلخواه که در امتداد هدایت شده است بردار داده شده، یعنی تعیین جهت تمایز

از اینجا مقادیر کسینوس جهت بردار را بدست می آوریم:

کوزا = ; cosb=-

در نهایت می رسیم: - ارزش مشتق عملکرد داده شدهدر جهت بردار .

اگر یک تابع u=u(x,y,z) در برخی از دامنه های D و برخی بردارها داده شود که پیش بینی های آن بر روی محورهای مختصات برابر با مقادیر تابع u در نقطه مربوطه باشد.

سپس این بردار نامیده می شود شیبتوابع u.

در این حالت می گوییم که یک فیلد گرادیان در ناحیه D داده می شود.

قضیه: اجازه دهید تابع u = u(x، y، z) و فیلد گرادیان داده شود

سپس مشتق نسبت به جهت برخی از بردارها برابر است با طرح بردار gradu بر روی بردار.

اثبات: یک بردار واحد و یک تابع u=u(x,y,z) را در نظر بگیرید و حاصل ضرب اسکالر بردارها و درجه.

عبارت سمت راست این برابری مشتق تابع u در جهت s است.

آن ها . اگر زاویه بین بردارها درجهو با j نشان داده می شود، سپس حاصل ضرب اسکالر را می توان به عنوان حاصل ضرب مدول های این بردارها و کسینوس زاویه بین آنها نوشت. با در نظر گرفتن این واقعیت که بردار واحد است، یعنی. مدول آن برابر با یک است، می توانیم بنویسیم:

عبارت در سمت راست این برابری، طرح بردار است درجه توبه بردار .

قضیه ثابت شده است.

برای نشان دادن معنای هندسی و فیزیکی گرادیان، بیایید بگوییم که گرادیان برداری است که جهت سریعترین تغییر یک میدان اسکالر u را در یک نقطه نشان می دهد. در فیزیک مفاهیمی مانند گرادیان دما، گرادیان فشار و غیره وجود دارد. آن ها جهت گرادیان جهت سریعترین رشد تابع است.

از نظر نمایش هندسی، گرادیان عمود بر سطح سطح تابع است.

1) حالت تابعی از دو متغیر. جهت توسط یک بردار داده می شود. ما یک بردار واحد را انتخاب می کنیم که جهت را در صفحه مشخص می کند: . این بردار زاویه ای با جهت مثبت محور OX تشکیل می دهد. مشتق جهت تابع دو متغیر عبارت نامیده می شود .

2) حالت تابعی از سه متغیر. اجازه دهید یک بردار واحد داده شود که به ترتیب با محورهای OX، OY و OZ زاویه تشکیل دهد. اگر مختصات بردار را به عنوان تعیین کنیم، با فرمول کسینوس زاویه بین دو بردار به دست می‌آییم. به همین ترتیب، . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ، بردار واحدی که با محورهای OX، OY و OZ زاویه می سازد، مختصاتی دارد. مشتق جهت تابع سه متغیر عبارت نامیده می شود

تعریف.شیبتوابع معمولاً بردار نامیده می شوند . به همین دلیل، مشتق تابع در جهت داده شده توسط بردار واحد را می توان با فرمول محاسبه کرد ، جایی که در سمت راست فرمول حاصل ضرب اسکالر گرادیان تابع و بردار جهت واحد است.

ویژگی اصلی گرادیان: در بین تمام جهات ممکن، بزرگترین و مثبت مقدار مشتق در جهت، جهت گرادیان را می گیرد. این ویژگی از تعریف به دست می آید محصول نقطه ای. از آنجایی که مثبت بودن مشتق به معنای رشد تابع است، جهت گرادیان در نقطه ϶ᴛᴏ جهت بیشترین رشد تابع است..

مشتقات جزئی از مرتبه های بالاتر.

هر مشتق جزئی تابعی از متغیرها خود نیز تابعی از متغیرها است. مشتق جزئی مشتق جزئی تابعی از بسیاری از متغیرها نامیده می شود مشتق جزئی مرتبه دومکارکرد . در این حالت، اگر متغیرهایی که مشتقات مربوط به آنها ابتدا از تابع و سپس از تابع گرفته می شود، منطبق نباشند، معمولاً چنین مشتق جزئی را مختلط می نامند. نماد مشتق جزئی مرتبه دوم: . در مورد زمانی که و توابع پیوسته در یک محله از نقطه، در این نقطه.

به طور مشابه، مشتقات جزئی از هر مرتبه معرفی می شوند.

مثال
میزبانی شده در ref.rf
یافتن از تابع. ما داریم
.

برای محاسبه مشتق مشابه با استفاده از MAXIM، از دستور استفاده می کنیم diff(log(x+3*y)،x,2,y,1).

دیفرانسیل های مرتبه بالاتر.

با قیاس با مشتقات، دیفرانسیل های مرتبه بالاتر معرفی می شوند، یعنی تفاوت هایی از دیفرانسیل ها. تابعی از سه متغیر را در نظر بگیرید. دیفرانسیل این تابع عبارت است. توجه داشته باشید که مشتقات موجود در آخرین عبارت تابعی از هستند و دیفرانسیل متغیرها به آن بستگی ندارند. به همین دلیل، در شرایط تداوم مشتقات مختلط، دیفرانسیل مرتبه دوم شکل می گیرد.

در آخرین فرمول از خاصیت برابری مشتقات مختلط استفاده کرده ایم. به راحتی می توان دریافت که فرمول دیفرانسیل مرتبه دوم مشابه فرمول درجه دوم از مجموع سه جمله است. محاسبه دیفرانسیل های مرتبه دوم و سوم تابع دو متغیر دشوار نیست:

یک تمرین.پیدا کردن برای تابع در نقطه (1،1).

فرمول تیلور برای تابعی از بسیاری از متغیرها.

همانطور که در مورد توابع یک متغیر، برای توابع بسیاری فرمول متغیرهاتیلور بین افزایش یک تابع در یک نقطه و دیفرانسیل های آن در همان نقطه ارتباط برقرار می کند:

جایی که .

به طور خاص، برای تابعی از دو متغیر داریم:

اینجا .

مشتق جهت دار. - مفهوم و انواع طبقه بندی و ویژگی های دسته "مشتق جهت". 2017، 2018.

- مشتق جهت دار. شیب. رابطه بین گرادیان و مشتق جهت.

تابع u(x, y, z) را در نقطه М(x, y, z) و نقطه М1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz) را در نظر بگیرید. از نقاط M و M1 بردار رسم می کنیم. زوایای تمایل این بردار نسبت به جهت محورهای مختصات x، y، z به ترتیب با a، b، g نشان داده خواهد شد. کسینوس این زوایا را کسینوس جهت بردار می گویند. ....

- مشتق جهت دار

یک مشخصه مهم میدان اسکالر U(M) میزان تغییر تابع میدان در جهت مشخص شده است. اگر این جهت با جهت یکی از محورهای مختصات منطبق باشد، مقدار مشتق جزئی مربوطه را به دست خواهیم آورد. از جبر برداری... .

- مشتق جهت دار. شیب.

اجازه دهید تابع U = F (X، Y، Z) در برخی از دامنه D پیوسته باشد و مشتقات جزئی پیوسته در این حوزه داشته باشد. یک نقطه M(X,Y,Z) را در ناحیه مورد نظر انتخاب می کنیم و از آن بردار S رسم می کنیم که کسینوس جهت آن cosA,cosB,cosG است. بر روی بردار S در فاصله DS از مبدا... .

- مبحث 11. مشتق در جهت. شیب

مشتق تابع در نقطه ای از جهت را حدی می گویند که اگر حد وجود داشته باشد. اگر تابع قابل تمایز باشد، مشتق جهتی با فرمول (1) محاسبه می‌شود که در آن کسینوس‌های جهت بردار هستند، به‌ویژه، اگر تابعی از دو متغیر است،... .

- مشتق جهت دار. شیب

میدان اسکالر سطوح تراز عناصر نظریه میدان ریاضی مراحل اصلی توسعه فیزیک ریاضی فیزیک ریاضی به عنوان یک علم مستقل در پایان قرن هجدهم ظهور کرد - اوایل XIXقرن. در این است...

مشتق جهت دار.

بگذار داخل هواپیما XOYنقطه واقع شده است م 0 (ایکس 0 ,y 0 ). یک زاویه دلخواه تنظیم کنید آو مجموعه نقاطی را در همان صفحه در نظر بگیرید که مختصات آنها از فرمول ها مشخص می شود

x = x 0 + تی cos a، y = y 0 + تیگناه آ. (1)

اینجا تی- پارامتری که می تواند برابر با هر عددی باشد. از فرمول (1) چنین می شود:

(y-y 0)/(x-x 0) = tg آ

این بدان معنی است که تمام نقاط م(x، y) که مختصات آن برابری های (1) را برآورده می کند، روی خط مستقیمی که از نقطه می گذرد قرار دارد م 0 (ایکس 0 ، y 0) و زاویه را تشکیل می دهند آبا محور گاو نر. هر مقدار تیمربوط به یک نقطه واحد است م(x، y) روی این خط مستقیم دراز کشیده و طبق فرمول (1) از فاصله بین نقاط م 0 (ایکس 0 ، y 0) و م(x، y) برابر است تی. ما می توانیم این خط مستقیم را به عنوان یک محور عددی با جهت مثبت تعیین شده توسط افزایش پارامتر در نظر بگیریم تی. اجازه دهید جهت مثبت این محور را با نماد نشان دهیم ل.

ل.تابع مشتق z = f(x، y) در نقطه م 0 (ایکس 0 ، y 0)به سمت ل به شماره ای زنگ زد

مشتق تابع با توجه به جهت را می توان تفسیر هندسی داد. اگر از طریق یک خط مستقیم لبا فرمول (1)، یک صفحه عمودی را ترسیم کنید پ(در واقع، در فضای سه بعدی، معادلات (1) همین صفحه را تعریف می کند)، سپس این صفحه سطح نمودار تابع را قطع می کند. z = f(x، y) در امتداد

مقداری منحنی فضا L. مماس زاویه بین صفحه افقی و مماس بر این منحنی در یک نقطه م 0 (ایکس 0 ، y 0) برابر است با مشتق تابع در این نقطه از جهت ل.

در هر دوره ای تجزیه و تحلیل ریاضیثابت شده است که مشتق جهتی تعریف شده با فرمول (2) می تواند به صورت نمایش داده شود

توجه داشته باشید که مشتق جزئی با توجه به ایکسهمچنین یک مشتق جهت دار است. این جهت توسط برابری ها تعیین می شود: cos a =یک گناه a = 0. به همین ترتیب، مشتق جزئی نسبت به yمشتق با توجه به جهت است که می تواند با شرایط cos ارائه شود a = 0; گناه a = 1.

قبل از تحلیل فرمول (3)، مفاهیم و حقایقی را از درس جبر برداری ارائه می کنیم. اجازه دهید در هواپیما با سیستم مختصات XOYیک قطعه جهت یا (که یکسان است) یک بردار داده می شود و نقطه م 0 (ایکس 0 ، y 0) نقطه شروع آن است و م 1 (ایکس 1 ، y 1) نقطه پایان است. مختصات بردار را در امتداد محور تعیین کنید گاو نربه عنوان یک عدد برابر است ایکس 1 ‑ ایکس 0 و مختصات در امتداد محور به صورت عددی برابر است y 1 ‑ y 0 . با توجه به یک جفت مرتب شده از هر عدد آو ب، سپس این اعداد را می توان مختصات برخی از بردارها در صفحه در نظر گرفت XOYو طول این بردار با فرمول مشخص می شود

و مماس شیب gبردار به محور گاو نراز فرمول tg تعیین می شود g = b/a(توجه داشته باشید که دانستن مقدار tg gو همچنین علامت هر یک از اعداد آو ب، می توانیم زاویه را تعریف کنیم gتا 2 پ).

نمایش یک بردار به عنوان یک جفت از مختصات آن به صورت . این نمایندگی یکی دارد ویژگی برجسته: آی تی مکان بردار را در هواپیما تعیین نمی کند XOY. برای تعیین آن، به همراه مختصات بردار، باید به عنوان مثال مختصات نقطه اولیه آن یا به اصطلاح، نقطه کاربرد بردار را مشخص کنید.

اگر دو بردار داده شود: و، سپس حاصلضرب عددیاز این بردارها عدد ( jزاویه بین بردارها است).

در هر درس جبر برداری ثابت می شود که حاصل ضرب اسکالر بردارها و برابر است با مجموع حاصلضرب مختصات این بردارهای همنام:

= آ 1 ب 1 + آ 2 ب 2 . (4)

اجازه دهید در یک منطقه جیسطح XOYتابع داده شده است z = f(x، y) ، که دارای مشتقات جزئی پیوسته نسبت به هر دو آرگومان است.

شیبیا بردار گرادیان کارکرد f(x,y)در یک نقطه (x,y) О G برداری است که با فرمول داده می شود

عملکرد fبرای هر نقطه از منطقه تعریف می کند جیبردار گرادیان ناشی از این نقطه.

حال به فرمول (3) بازگردیم. او سمت راستمی توانیم به عنوان حاصل ضرب اسکالر بردارها در نظر بگیریم. اولین مورد بردار گرادیان تابع است z = f(x، y) در نقطه م 0 (ایکس 0 ، y 0):

دومی یک بردار است . این بردار با طول 1 و زاویه تمایل نسبت به محور Ox برابر است آ.

اکنون می توان نتیجه گرفت که مشتق تابع z = f(x، y) در جهت تعیین شده توسط زاویه آتمایل به محور گاو نر، در نقطه م 0 (ایکس 0 ، y 0) با فرمول قابل محاسبه است

. (5)

اینجا ب- زاویه بین بردار و بردار، که جهت گرفتن مشتق را مشخص می کند. در اینجا نیز در نظر گرفته شده است که

میدان اسکالربخشی از فضا (یا کل فضا)، هر نقطه، که با مقدار عددی مقداری اسکالر مطابقت دارد، نامیده می شود.

مثال ها

جسمی که در هر نقطه مقدار دمایی معینی دارد، یک میدان اسکالر است.

یک جسم ناهمگن که هر نقطه آن مربوط به چگالی خاصی است - میدان چگالی اسکالر.

در تمام این موارد اسکالر U به زمان بستگی ندارد، بلکه به موقعیت (مختصات) نقطه M در فضا بستگی دارد، یعنی تابعی از سه متغیر است، به آن می گویند. تابع میدانی. و بالعکس، هر تابع از سه متغیر u=f(x، y، z)مقداری میدان اسکالر را تعریف می کند.

تابع میدان اسکالر مسطح به دو متغیر بستگی دارد z=f(x,y).

یک میدان اسکالر را در نظر بگیرید u=f(x، y، z).

برداری که مختصات آن مشتقات جزئی یک تابع محاسبه شده در یک نقطه معین است نامیده می شود شیبتابع در این نقطه یا گرادیان میدان اسکالر.

برداری را با دو نقطه در نظر بگیرید M 0 (x 0 , y 0 , z 0)و . بیایید افزایش تابع را در جهت پیدا کنیم:

مشتق جهت دارحد بعدی در صورت وجود فراخوانی می شود:

کسینوس های جهت بردار کجا هستند. α، β، γ زوایایی هستند که بردار با محورهای مختصات تشکیل می دهد، اگر .

برای تابعی از دو متغیر، این فرمول ها به شکل زیر هستند:

یا ,

زیرا .

یک رابطه بین گرادیان و مشتق جهت در یک نقطه وجود دارد.

قضیه.حاصل ضرب اسکالر گرادیان یک تابع و یک بردار در برخی جهت برابر است با مشتق تابع داده شده در جهت این بردار:

نتیجه.مشتق جهت دار دارد بالاترین ارزش، اگر این جهت با جهت گرادیان مطابقت داشته باشد (خود را با استفاده از تعریف حاصلضرب نقطه و با فرض آن توجیه کنید).

نتیجه گیری:

1. گرادیان برداری است که جهت بیشترین افزایش تابع را در یک نقطه مشخص نشان می دهد و دارای مدول عددی است. برابر با سرعتاین افزایش:

2. مشتق در جهت، نرخ تغییر تابع در جهت است: اگر، پس تابع در این جهت افزایش می یابد، اگر، پس تابع کاهش می یابد.

3. اگر بردار با یکی از بردارها منطبق باشد، مشتق در جهت این بردار با مشتق جزئی مربوطه منطبق است.

به عنوان مثال، اگر، پس .

مثال

یک تابع داده شده است ، نقطه A (1، 2)و بردار .

یافتن: 1) ;

راه حل

1) مشتقات جزئی تابع را بیابید و در نقطه A محاسبه کنید.

, .

سپس .

2) کسینوس جهت بردار را بیابید:

پاسخ: ; .

ادبیات [ 1,2]

سوالات خودآزمایی:

1. تابع دو متغیر، حوزه تعریف آن چیست؟

2. مشتقات جزئی چگونه تعیین می شوند؟

3. چیست معنی هندسیمشتقات خصوصی؟

4. گرادیان میدان اسکالر در یک نقطه معین چه نامیده می شود؟

5- مشتق جهت دار به چه چیزی گفته می شود؟

6. قواعد یافتن مادون های یک تابع از دو متغیر را فرموله کنید.

انتخاب 1

کار شماره 1

آ) ; ب) ;

که در) ؛ ز) .

کار شماره 2بررسی یک تابع برای تداوم: نقاط شکست تابع را پیدا کنید و نوع آنها را تعیین کنید. یک نمودار شماتیک از تابع بسازید.

شماره کارداده شده عدد مختلطض- لازم: عدد Z را به صورت جبری و مثلثاتی بنویسید. .

کار شماره 4.

1) y \u003d 3x 5 - sinx، 2) y \u003d tgx، 3) y \u003d، 4) .

کار شماره 5.تابع را با استفاده از روش های حساب دیفرانسیل بررسی کرده و با استفاده از نتایج مطالعه، نمودار بسازید. .

کار شماره 6.تابع z=f(x,y) داده شده است. بررسی کنید که آیا هویت F≡0 برآورده شده است؟

کار شماره 7یک تابع داده شده است Z=x2+xy+y2نقطه و بردار . پیدا کردن:

1) gradzدر نقطه ولی;

2) مشتق در یک نقطه ولیدر جهت بردار .

گزینه 2

کار شماره 1حدود توابع را بدون استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنید.

آ) ; ب) ;

که در) ; ز) .

کار شماره 3با دادن عدد مختلط Z الزامی است: عدد Z را به صورت جبری و مثلثاتی بنویسید.

کار شماره 4.مشتقات مرتبه اول این توابع را بیابید.