به عنوان مثال حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس است. روش گاوس: شرح الگوریتم برای حل یک سیستم معادلات خطی، مثال ها، راه حل ها

اجازه دهید یک سیستم خطی معادلات جبری، که باید حل شود (مقادیر مجهول xi را پیدا کنید که هر معادله سیستم را به یک برابری تبدیل می کند).

می دانیم که یک سیستم معادلات جبری خطی می تواند:

1) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).
2) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) داشتن تنها تصمیم.

همانطور که به یاد داریم، قانون کرامر و روش ماتریس در مواردی که سیستم دارای راه حل های بی نهایت زیاد یا ناسازگار است نامناسب است. روش گاوس – قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل برای هر سیستمی معادلات خطی ، که در هر موردما را به پاسخ هدایت کنید! الگوریتم روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند. اگر روش‌های کرامر و ماتریس نیاز به دانش تعیین‌کننده‌ها دارند، در آن صورت استفاده از روش گاوس فقط به دانش عملیات حسابی نیاز دارد که حتی برای دانش‌آموزان مقطع ابتدایی نیز قابل دسترسی است.

تبدیل های ماتریس توسعه یافته ( این ماتریس سیستم است - ماتریسی که فقط از ضرایب مجهولات به اضافه ستونی از عبارت های آزاد تشکیل شده است)سیستم های معادلات جبری خطی در روش گاوس:

1) با trokyماتریس ها می توان تنظیم مجددمکان ها

2) اگر ردیف های متناسب (به عنوان یک مورد خاص - یکسان) در ماتریس وجود داشته باشد (یا وجود داشته باشد)، پس از آن حذفاز ماتریس، همه این سطرها به جز یک.

3) اگر در طول تبدیل ها یک ردیف صفر در ماتریس ظاهر شد، آن را نیز دنبال می کند حذف.

4) ردیف ماتریس می تواند ضرب (تقسیم)به هر عددی غیر از صفر

5) به ردیف ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است.

در روش گاوس، تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند.

روش گاوس شامل دو مرحله است:

1. "حرکت مستقیم" - با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس توسعه یافته یک سیستم معادلات جبری خطی را به یک "مثلثی" برسانید. نمای پلکانی: عناصر ماتریس منبسط شده در زیر قطر اصلی برابر با صفر هستند (حرکت از بالا به پایین). به عنوان مثال، به این نوع:

برای این کار مراحل زیر را انجام دهید:

1) اجازه دهید اولین معادله یک سیستم معادلات جبری خطی را در نظر بگیریم و ضریب در x 1 برابر با K است. دوم، سوم و غیره. معادلات را به صورت زیر تبدیل می کنیم: هر معادله (ضرایب مجهولات از جمله عبارات آزاد) را بر ضریب مجهول x 1 که در هر معادله است تقسیم می کنیم و در K ضرب می کنیم. پس از آن، معادله اول را از معادله دوم کم می کنیم. ضرایب برای مجهولات و عبارات آزاد). ما در x 1 در معادله دوم ضریب 0 را بدست می آوریم. از معادله سوم تبدیل شده معادله اول را کم می کنیم، بنابراین تا زمانی که تمام معادلات به جز اولی، با مجهول x 1 ضریب 0 نخواهند داشت.

2) به معادله بعدی بروید. اجازه دهید این معادله دوم باشد و ضریب x 2 برابر با M باشد. بنابراین، "زیر" مجهول x 2 در تمام معادلات صفر خواهد بود.

3) به معادله بعدی می رویم و همینطور ادامه می دهیم تا آخرین جمله آزاد مجهول و تبدیل شده باقی بماند.

1. "حرکت معکوس" روش گاوس به دست آوردن جوابی برای یک سیستم معادلات جبری خطی است (حرکت "پایین به بالا"). از آخرین معادله "پایین" یک راه حل اول به دست می آوریم - مجهول x n. برای انجام این کار، معادله ابتدایی A * x n \u003d B را حل می کنیم. در مثال بالا، x 3 \u003d 4. مقدار پیدا شده را در معادله بعدی "بالا" جایگزین می کنیم و آن را با توجه به مجهول بعدی حل می کنیم. به عنوان مثال، x 2 - 4 \u003d 1، یعنی. x 2 \u003d 5. و به همین ترتیب تا زمانی که همه مجهولات را پیدا کنیم.

مثال.

ما سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوس حل می کنیم، همانطور که برخی از نویسندگان توصیه می کنند:

اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل پلکانی در آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. آنجا باید یک واحد داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین با مرتب کردن مجدد سطرها چیزی حل نمی شود. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. بیایید این کار را به این صورت انجام دهیم:
1 مرحله . به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را جمع کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک"، که کاملا مناسب ما است. هر کسی که بخواهد 1+ را دریافت کند می‌تواند یک عمل اضافی انجام دهد: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

2 مرحله . سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

3 مرحله . خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم نیز تغییر کرد و به مکان دوم منتقل شد و بدین ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نظر را داشتیم.

4 مرحله . به خط سوم، خط دوم را در 2 ضرب کنید.

5 مرحله . خط سوم بر 3 تقسیم می شود.

نشانه ای که نشان دهنده خطا در محاسبات است (کمتر یک اشتباه تایپی) نتیجه "بد" است. یعنی اگر چیزی شبیه به (0 11 | 23) در زیر بدست آوریم، و بر این اساس، 11x 3 = 23، x 3 = 23/11، آنگاه با درجه احتمال بالایی می توانیم بگوییم که اشتباهی در دوره ابتدایی رخ داده است. تحولات

ما یک حرکت معکوس انجام می دهیم، در طراحی مثال ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی شود و معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته می شوند". به شما یادآوری می کنم که حرکت معکوس "از پایین به بالا" کار می کند. در این مثال، هدیه معلوم شد:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1، بنابراین x 1 + 3 - 1 \u003d 1، x 1 \u003d -1

پاسخ:x 1 \u003d -1، x 2 \u003d 3، x 3 \u003d 1.

بیایید همان سیستم را با استفاده از الگوریتم پیشنهادی حل کنیم. ما گرفتیم

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

معادله دوم را بر 5 تقسیم کنید و معادله سوم را بر 3 تقسیم کنید.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

معادله دوم و سوم را در 4 ضرب کنیم، به دست می آید:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

معادله اول را از معادله دوم و سوم کم کنیم، داریم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

معادله سوم را بر 0.64 تقسیم کنید:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

معادله سوم را در 0.4 ضرب کنید

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

معادله دوم را از معادله سوم کم کنید، ماتریس تقویت شده "پله ای" را دریافت می کنیم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

بنابراین، از آنجایی که یک خطا در فرآیند محاسبات انباشته شده است، x 3 \u003d 0.96 یا تقریباً 1 را دریافت می کنیم.

x 2 \u003d 3 و x 1 \u003d -1.

با این روش حل، هرگز در محاسبات دچار سردرگمی نخواهید شد و با وجود اشتباهات محاسباتی، به نتیجه خواهید رسید.

این روش برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی به راحتی قابل برنامه ریزی است و به آن توجهی نمی شود. ویژگی های خاصضرایب برای مجهولات، زیرا در عمل (در محاسبات اقتصادی و فنی) باید با ضرایب غیر صحیح سروکار داشت.

برای شما آرزوی موفقیت می کنم! در کلاس می بینمت! معلم خصوصی

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

امروز به روش گاوس برای حل سیستم معادلات جبری خطی می پردازیم. در مقاله قبلی که به حل همان SLAE با روش کرامر اختصاص داده شده است، می توانید در مورد اینکه این سیستم ها چیستند. روش گاوس به دانش خاصی نیاز ندارد، فقط به دقت و ثبات نیاز است. علیرغم اینکه از نظر ریاضی، آمادگی مدرسه برای به کارگیری آن کافی است، تسلط بر این روش اغلب دانش آموزان را با مشکل مواجه می کند. در این مقاله سعی می کنیم آنها را به هیچ کاهش دهیم!

روش گاوس

م روش گاوس- اکثر روش عمومیراه حل های SLAE (به استثنای، خوب، بسیار سیستم های بزرگ). برخلاف آنچه قبلاً بحث شد، نه تنها برای سیستم هایی که راه حل منحصر به فرد دارند، بلکه برای سیستم هایی که تعداد بی نهایت راه حل دارند نیز مناسب است. در اینجا سه ​​گزینه وجود دارد.

1. سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد (تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم برابر با صفر نیست).
2. این سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است.
3. هیچ راه حلی وجود ندارد، سیستم ناسازگار است.

بنابراین، ما یک سیستم داریم (اجازه دهید یک راه حل داشته باشد)، و می خواهیم آن را با استفاده از روش گاوسی حل کنیم. چگونه کار می کند؟

روش گاوسی شامل دو مرحله است - مستقیم و معکوس.

روش گاوس مستقیم

ابتدا ماتریس افزوده شده سیستم را می نویسیم. برای این کار، ستونی از اعضای آزاد را به ماتریس اصلی اضافه می کنیم.

ماهیت کلی روش گاوسی این است که ماتریس داده شده را با استفاده از دگرگونی های ابتدایی به شکل پلکانی (یا به قول آنها مثلثی) برسانیم. در این شکل، فقط باید صفرها در زیر (یا بالاتر) قطر اصلی ماتریس وجود داشته باشد.

چه کاری می توان انجام داد:

1. شما می توانید ردیف های ماتریس را دوباره مرتب کنید.
2. اگر ردیف های یکسان (یا متناسب) در ماتریس وجود دارد، می توانید همه آنها را به جز یکی حذف کنید.
3. شما می توانید یک رشته را در هر عددی ضرب یا تقسیم کنید (به جز صفر).
4. خطوط صفر حذف می شوند.
5. می توانید یک رشته ضرب در یک عدد غیر صفر به یک رشته اضافه کنید.

روش گاوس معکوس

بعد از اینکه سیستم را به این شکل تبدیل کردیم، یک ناشناخته xn معلوم می شود و می توان تمام مجهولات باقیمانده را به ترتیب معکوس یافت و x های شناخته شده از قبل را در معادلات سیستم تا اولی جایگزین کرد.

هنگامی که اینترنت همیشه در دسترس است، می توانید سیستم معادلات را با استفاده از روش گاوس حل کنید برخط .تنها کاری که باید انجام دهید این است که شانس ها را در ماشین حساب آنلاین وارد کنید. اما باید اعتراف کنید، درک این موضوع بسیار خوشایندتر است که این مثال توسط یک برنامه رایانه ای حل نشده است، بلکه توسط مغز خود شما حل شده است.

نمونه ای از حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس

و اکنون - یک مثال، به طوری که همه چیز واضح و قابل درک شود. اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی داده شود و حل آن با روش گاوس ضروری است:

ابتدا بیایید ماتریس تقویت شده را بنویسیم:

حال بیایید نگاهی به تحولات بیندازیم. به یاد داشته باشید که ما باید به شکل مثلثی از ماتریس برسیم. ردیف اول را در (3) ضرب کنید. ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید ردیف 2 را به ردیف 1 اضافه کنیم و دریافت کنیم:

سپس ردیف سوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید خط 3 را به خط 2 اضافه کنیم:

ردیف اول را در (6) ضرب کنید. ردیف دوم را در (13) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:

Voila - سیستم به فرم مناسب آورده می شود. باقی مانده است که مجهولات را پیدا کنیم:

سیستم در این مثال یک راه حل منحصر به فرد دارد. حل سیستم هایی با مجموعه بی نهایت راه حل را در مقاله ای جداگانه بررسی خواهیم کرد. شاید در ابتدا ندانید که با تبدیل ماتریس از کجا شروع کنید، اما پس از تمرین مناسب به آن دست خواهید یافت و مانند آجیل روی SLAE Gaussian کلیک کنید. و اگر به طور ناگهانی با یک SLOW مواجه شدید، که معلوم می شود نیز همینطور است مهره سختبا نویسندگان ما تماس بگیرید! می توانید با گذاشتن یک برنامه در مکاتبات. با هم هر مشکلی را حل خواهیم کرد!

از آغاز قرن های 16-18، ریاضیدانان شروع به مطالعه فشرده توابع کردند، که به لطف آن چیزهای زیادی در زندگی ما تغییر کرده است. فناوری کامپیوتر بدون این دانش به سادگی وجود نخواهد داشت. برای حل مسائل پیچیده، معادلات و توابع خطی، مفاهیم، ​​قضایا و تکنیک های حل مختلفی ایجاد شده است. یکی از این روش ها و تکنیک های جهانی و منطقی برای حل معادلات خطی و سیستم های آنها، روش گاوس بود. ماتریس ها، رتبه آنها، تعیین کننده - همه چیز را می توان بدون استفاده از عملیات پیچیده محاسبه کرد.

SLAU چیست

در ریاضیات، مفهوم SLAE وجود دارد - یک سیستم معادلات جبری خطی. او چه چیزی را نمایندگی می کند؟ این مجموعه ای از معادلات m با n مجهول مورد نیاز است که معمولاً به صورت x، y، z، یا x 1، x 2 ... x n یا نمادهای دیگر نشان داده می شود. حل این سیستم با روش گاوسی به معنای یافتن همه مجهولات است. اگر سیستمی تعداد مجهولات و معادلات یکسانی داشته باشد آنگاه سیستم مرتبه n نامیده می شود.

محبوب ترین روش ها برای حل SLAE

AT موسسات آموزشیآموزش متوسطه در حال مطالعه تکنیک های مختلف برای حل چنین سیستم هایی هستند. اغلب این معادلات ساده، متشکل از دو مجهول است، بنابراین هر روش موجود برای یافتن پاسخ آنها زمان زیادی نمی برد. این می تواند مانند یک روش جایگزینی باشد، زمانی که معادله دیگری از یک معادله مشتق شده و به معادله اصلی جایگزین شود. یا تفریق و جمع ترم به عبارت. اما روش گاوس ساده ترین و جهانی ترین در نظر گرفته می شود. حل معادلات با هر تعداد مجهول را ممکن می سازد. چرا این تکنیک منطقی تلقی می شود؟ همه چیز ساده است. روش ماتریسینکته خوب این است که در اینجا لازم نیست کاراکترهای غیر ضروری را چندین بار به صورت مجهول بازنویسی کنید، کافی است عملیات حسابی روی ضرایب انجام دهید - و نتیجه قابل اعتمادی خواهید گرفت.

SLAEها در عمل در کجا استفاده می شوند؟

راه حل SLAE نقاط تقاطع خطوط روی نمودار توابع هستند. در عصر رایانه پیشرفته ما، افرادی که از نزدیک در توسعه بازی ها و سایر برنامه ها درگیر هستند باید بدانند که چگونه چنین سیستم هایی را حل کنند، چه چیزی را نشان می دهند و چگونه صحت نتیجه حاصل را بررسی کنند. اغلب، برنامه نویسان ماشین حساب های جبر خطی ویژه ای را توسعه می دهند، این شامل یک سیستم معادلات خطی است. روش گاوس به شما امکان می دهد تمام راه حل های موجود را محاسبه کنید. سایر فرمول ها و تکنیک های ساده شده نیز استفاده می شود.

معیار سازگاری SLAE

چنین سیستمی تنها در صورتی قابل حل است که سازگار باشد. برای وضوح، ما SLAE را به شکل Ax=b ارائه می کنیم. اگر rang(A) برابر با rang(A,b) باشد راه حل دارد. در این مورد، (A,b) یک ماتریس فرم توسعه یافته است که می توان از ماتریس A با بازنویسی آن با عبارت های آزاد به دست آورد. به نظر می رسد که حل معادلات خطی با استفاده از روش گاوسی بسیار آسان است.

شاید برخی از نمادها کاملاً واضح نباشد، بنابراین لازم است همه چیز را با یک مثال در نظر بگیریم. فرض کنید یک سیستم وجود دارد: x+y=1; 2x-3y=6. این فقط از دو معادله تشکیل شده است که در آنها 2 مجهول وجود دارد. سیستم تنها در صورتی راه حل خواهد داشت که رتبه ماتریس آن با رتبه ماتریس تقویت شده برابر باشد. رتبه چیست؟ این تعداد خطوط مستقل سیستم است. در مورد ما، رتبه ماتریس 2 است. ماتریس A شامل ضرایبی است که در نزدیکی مجهولات قرار دارند و ضرایب پشت علامت "=" نیز در ماتریس گسترش یافته قرار می گیرند.

چرا SLAE را می توان به شکل ماتریس نشان داد

بر اساس معیار سازگاری بر اساس قضیه اثبات شده کرونکر-کاپلی، سیستم معادلات جبری خطی را می توان به صورت ماتریسی نشان داد. با استفاده از روش آبشار گاوسی، می توانید ماتریس را حل کنید و تنها پاسخ قابل اعتماد برای کل سیستم را دریافت کنید. اگر رتبه یک ماتریس معمولی برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته آن باشد، اما کمتر از تعداد مجهولات باشد، آنگاه سیستم بی نهایت پاسخ دارد.

تبدیل های ماتریسی

قبل از رفتن به حل ماتریس ها، لازم است بدانیم چه اقداماتی را می توان روی عناصر آنها انجام داد. چندین تغییر اساسی وجود دارد:

• با بازنویسی سیستم به شکل ماتریسی و انجام حل آن، می توان تمام عناصر سری را در یک ضریب ضرب کرد.
• برای تبدیل یک ماتریس به فرم متعارف، می توان دو ردیف موازی را با هم عوض کرد. شکل متعارف نشان می دهد که تمام عناصر ماتریس که در امتداد مورب اصلی قرار دارند یک می شوند و بقیه به صفر تبدیل می شوند.
• عناصر مربوط به ردیف های موازی ماتریس را می توان یکی به دیگری اضافه کرد.

روش جردن-گاوس

ماهیت حل سیستم های خطی همگن و معادلات ناهمگنروش گاوسی حذف تدریجی مجهولات است. فرض کنید سیستمی متشکل از دو معادله داریم که در آن دو مجهول وجود دارد. برای پیدا کردن آنها، باید سیستم را از نظر سازگاری بررسی کنید. معادله گاوسی بسیار ساده حل شده است. لازم است ضرایب واقع در نزدیکی هر مجهول را به صورت ماتریسی بنویسید. برای حل سیستم، باید ماتریس تقویت شده را بنویسید. اگر یکی از معادلات دارای تعداد مجهول کمتری باشد، باید به جای عنصر گمشده، «0» قرار داده شود. همه در ماتریس اعمال می شود روش های شناخته شدهتبدیل: ضرب، تقسیم بر یک عدد، اضافه کردن عناصر مربوط به سری به یکدیگر و موارد دیگر. به نظر می رسد که در هر ردیف لازم است یک متغیر با مقدار "1" بگذارید، بقیه باید به صفر کاهش یابد. برای درک دقیق تر، لازم است روش گاوس را با مثال در نظر بگیریم.

یک مثال ساده از حل یک سیستم 2x2

برای شروع، بیایید یک سیستم ساده از معادلات جبری را در نظر بگیریم که در آن 2 مجهول وجود خواهد داشت.

بیایید آن را در یک ماتریس تقویت شده بازنویسی کنیم.

برای حل این سیستم معادلات خطی، تنها دو عمل مورد نیاز است. ما باید ماتریس را به شکل متعارف برسانیم تا واحدهایی در امتداد مورب اصلی وجود داشته باشد. بنابراین، با ترجمه از فرم ماتریس به سیستم، معادلات 1x+0y=b1 و 0x+1y=b2 را بدست می آوریم، که در آن b1 و b2 پاسخ هایی هستند که در فرآیند حل به دست می آیند.

1. اولین مرحله در حل ماتریس تقویت شده به این صورت خواهد بود: ردیف اول باید در 7- ضرب شود و عناصر مربوطه را به ترتیب به ردیف دوم اضافه کرد تا از شر یک مجهول در معادله دوم خلاص شود.
2. از آنجایی که حل معادلات به روش گاوس مستلزم رساندن ماتریس به شکل متعارف است، بنابراین لازم است همان عملیات را با معادله اول انجام دهیم و متغیر دوم را حذف کنیم. برای انجام این کار، خط دوم را از خط اول کم می کنیم و پاسخ لازم را می گیریم - حل SLAE. یا همانطور که در شکل نشان داده شده است، ردیف دوم را در ضریب ۱- ضرب می کنیم و عناصر ردیف دوم را به ردیف اول اضافه می کنیم. این هم همینطور است.

همانطور که می بینید، سیستم ما با روش جردن-گاوس حل می شود. ما آن را به شکل مورد نیاز بازنویسی می کنیم: x=-5، y=7.

نمونه ای از حل SLAE 3x3

فرض کنید سیستم پیچیده تری از معادلات خطی داریم. روش گاوس امکان محاسبه پاسخ را حتی برای به ظاهر گیج کننده ترین سیستم فراهم می کند. بنابراین، برای کاوش بیشتر در روش محاسبه، می توانید به موارد بیشتری بروید مثال پیچیدهبا سه مجهول

مانند مثال قبلی، سیستم را به شکل یک ماتریس توسعه یافته بازنویسی می کنیم و شروع به آوردن آن به شکل متعارف می کنیم.

برای حل این سیستم، باید اقدامات بسیار بیشتری نسبت به مثال قبلی انجام دهید.

1. ابتدا باید در ستون اول یک عنصر واحد و بقیه صفر ایجاد کنید. برای این کار، معادله اول را در -1 ضرب کرده و معادله دوم را به آن اضافه کنید. مهم است که به یاد داشته باشید که ما خط اول را به شکل اصلی آن بازنویسی می کنیم و خط دوم - قبلاً به شکل اصلاح شده.
2. سپس همان مجهول اول را از معادله سوم حذف می کنیم. برای این کار عناصر ردیف اول را در -2 ضرب می کنیم و به ردیف سوم اضافه می کنیم. اکنون خطوط اول و دوم به شکل اصلی خود بازنویسی می شوند، و سوم - در حال حاضر با تغییرات. همانطور که از نتیجه می بینید، اولین مورد را در ابتدای قطر اصلی ماتریس به دست آوردیم و بقیه صفر هستند. چند عمل دیگر، و سیستم معادلات با روش گاوس به طور قابل اعتماد حل خواهد شد.
3. اکنون باید عملیاتی را روی عناصر دیگر ردیف ها انجام دهید. مراحل سوم و چهارم را می توان در یکی ترکیب کرد. باید خطوط دوم و سوم را بر 1- تقسیم کنیم تا خطوط منفی روی مورب خلاص شویم. ما قبلاً خط سوم را به فرم مورد نیاز آورده ایم.
4. بعد، خط دوم را متعارف می کنیم. برای این کار عناصر ردیف سوم را در -3 ضرب می کنیم و به خط دوم ماتریس اضافه می کنیم. از نتیجه می توان دریافت که خط دوم نیز به شکل مورد نیاز ما کاهش می یابد. باقی مانده است که چند عملیات دیگر انجام دهیم و ضرایب مجهولات را از ردیف اول حذف کنیم.
5. برای ایجاد 0 از عنصر دوم ردیف، باید ردیف سوم را در -3 ضرب کنید و به ردیف اول اضافه کنید.
6. مرحله تعیین کننده بعدی اضافه کردن عناصر ضروری ردیف دوم به ردیف اول است. بنابراین شکل متعارف ماتریس و بر این اساس، پاسخ را می گیریم.

همانطور که می بینید، حل معادلات با روش گاوس بسیار ساده است.

مثالی از حل یک سیستم معادلات 4*4

برخی از سیستم های پیچیده تر معادلات را می توان با روش گاوسی با استفاده از برنامه های کامپیوتری حل کرد. لازم است ضرایب مجهولات را به سلول های خالی موجود هدایت کنیم و برنامه نتیجه مورد نیاز را گام به گام محاسبه می کند و هر عمل را با جزئیات شرح می دهد.

در زیر شرح داده شده است آموزش گام به گامراه حل های این مثال

در مرحله اول ضرایب رایگان و اعداد مجهولات در سلول های خالی وارد می شوند. بنابراین، همان ماتریس تقویت شده ای را که با دست می نویسیم، دریافت می کنیم.

و تمام عملیات حسابی لازم برای رساندن ماتریس توسعه یافته به شکل متعارف انجام می شود. باید درک کرد که پاسخ به یک سیستم معادلات همیشه اعداد صحیح نیست. گاهی اوقات راه حل می تواند از اعداد کسری باشد.

بررسی صحت محلول

روش جردن-گاوس بررسی صحت نتیجه را فراهم می کند. برای اینکه بفهمید آیا ضرایب به درستی محاسبه می شوند، فقط باید نتیجه را با سیستم معادلات اصلی جایگزین کنید. سمت چپ معادله باید با سمت راست که پشت علامت تساوی است مطابقت داشته باشد. اگر پاسخ ها مطابقت ندارند، باید سیستم را دوباره محاسبه کنید یا سعی کنید روش دیگری را برای حل SLAE که برای شما شناخته شده است، مانند جایگزینی یا تفریق و جمع ترم به ترم اعمال کنید. از این گذشته ، ریاضیات علمی است که تعداد زیادی روش مختلف برای حل دارد. اما به یاد داشته باشید: نتیجه باید همیشه یکسان باشد، مهم نیست از چه روش راه حلی استفاده کرده اید.

روش گاوس: رایج ترین خطاها در حل SLAE

در حین حل سیستم های خطی معادلات، اغلب خطاهایی مانند انتقال نادرست ضرایب به یک فرم ماتریسی رخ می دهد. سیستم هایی وجود دارند که در آنها تعدادی مجهول در یکی از معادلات وجود ندارد، سپس با انتقال داده ها به ماتریس گسترش یافته، می توان آنها را از دست داد. در نتیجه، هنگام حل این سیستم، نتیجه ممکن است با واقعی مطابقت نداشته باشد.

یکی دیگر از اشتباهات اصلی می تواند نوشتن نادرست نتیجه نهایی باشد. باید به وضوح درک کرد که ضریب اول با اولین ناشناخته از سیستم، دوم - به دوم و غیره مطابقت دارد.

روش گاوس حل معادلات خطی را با جزئیات شرح می دهد. با تشکر از او، انجام عملیات لازم و یافتن نتیجه مناسب آسان است. علاوه بر این، این یک ابزار جهانی برای یافتن پاسخ قابل اعتماد برای معادلات با هر پیچیدگی است. شاید به همین دلیل است که اغلب در حل SLAE استفاده می شود.

یکی از روش های جهانی و موثر برای حل سیستم های جبری خطی می باشد روش گاوس ، شامل حذف متوالی مجهولات است.

به یاد بیاورید که این دو سیستم نامیده می شوند معادل (معادل) اگر مجموعه راه حل های آنها یکسان باشد. به عبارت دیگر، سیستم ها در صورتی معادل هستند که هر راه حل برای یکی از آنها راه حل دیگری باشد و بالعکس. سیستم های معادل با به دست می آیند تحولات ابتدایی معادلات سیستم:

ضرب هر دو طرف معادله در یک عدد غیر صفر؛

افزودن قسمتهای متناظر معادله دیگر، ضرب در عددی غیر از صفر به معادله ای.

جایگشت دو معادله

اجازه دهید سیستم معادلات

فرآیند حل این سیستم به روش گاوس شامل دو مرحله است. در مرحله اول (اجرای رو به جلو)، سیستم با استفاده از تبدیل های اولیه به کاهش می یابد پا گذاشت , یا مثلثی ذهن، و در مرحله دوم (حرکت معکوس) متوالی وجود دارد که از آخرین متغیر شروع می شود، تعریف مجهولات از سیستم گام حاصل.

فرض کنید ضریب این سیستم است
، در غیر این صورت در سیستم می توان ردیف اول را با هر ردیف دیگری جایگزین کرد به طوری که ضریب در با صفر متفاوت بود

بیایید سیستم را تغییر دهیم و ناشناخته ها را حذف کنیم در تمام معادلات به جز معادلات اول برای انجام این کار، دو طرف معادله اول را در ضرب کنید و ترم به ترم را با معادله دوم سیستم اضافه کنید. سپس هر دو طرف معادله اول را در ضرب کنید و آن را به معادله سوم سیستم اضافه کنید. با ادامه این روند، یک سیستم معادل به دست می آوریم

اینجا
مقادیر جدید ضرایب و عبارات آزاد هستند که پس از مرحله اول به دست می آیند.

به همین ترتیب، با توجه به عنصر اصلی
، ناشناخته را حذف کنید از تمام معادلات سیستم به جز معادلات اول و دوم. ما این روند را تا زمانی که ممکن است ادامه می دهیم، در نتیجه یک سیستم مرحله ای دریافت می کنیم

,

جایی که ,
,…,- عناصر اصلی سیستم
.

اگر در فرآیند رساندن سیستم به یک فرم مرحله ای، معادلات ظاهر می شوند، یعنی برابری های فرم
، آنها دور ریخته می شوند، زیرا هر مجموعه ای از اعداد آنها را برآورده می کند
. من چاقم
معادله ای از شکل ظاهر می شود که هیچ راه حلی ندارد، این نشان دهنده ناسازگاری سیستم است.

در مسیر معکوس اولین مجهول از آخرین معادله سیستم گام تبدیل شده بیان می شود از طریق تمام ناشناخته های دیگر
که نامیده می شوند رایگان . سپس عبارت متغیر از آخرین معادله سیستم به معادله ماقبل آخر جایگزین شده و متغیر از آن بیان می شود.
. متغیرها به روشی مشابه تعریف می شوند
. متغیرها
، که بر حسب متغیرهای آزاد بیان می شوند، نامیده می شوند پایه ای (وابسته). در نتیجه حل کلی سیستم معادلات خطی به دست می آید.

برای پیدا کردن راه حل خصوصی سیستم های مجهول مجهول
که در تصمیم مشترکمقادیر دلخواه داده شده و مقادیر متغیرها محاسبه می شود
.

از نظر فنی راحت‌تر است که تبدیل‌های اولیه را نه به معادلات سیستم، بلکه به ماتریس توسعه‌یافته سیستم تبدیل کنیم.

.

روش گاوس یک روش جهانی است که به شما امکان می دهد نه تنها سیستم های مربعی، بلکه مستطیلی را نیز حل کنید که در آن تعداد مجهولات وجود دارد.
با تعداد معادلات برابر نیست
.

مزیت این روش همچنین در این واقعیت نهفته است که در فرآیند حل، ما به طور همزمان سیستم را برای سازگاری بررسی می کنیم، زیرا با کاهش ماتریس تقویت شده
به شکل پله ای، تعیین رتبه های ماتریس آسان است و ماتریس توسعه یافته
و اعمال کنید قضیه کرونکر-کاپلی .

مثال 2.1سیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنید

راه حل. تعداد معادلات
و تعداد مجهولات
.

اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را با اختصاص به سمت راست ماتریس ضرایب بسازیم. ستون اعضای رایگان .

بیایید ماتریس را بیاوریم به شکل مثلثی؛ برای انجام این کار، با استفاده از تبدیل های ابتدایی، زیر عناصر در مورب اصلی "0" دریافت می کنیم.

برای به دست آوردن "0" در موقعیت دوم ستون اول، ردیف اول را در (-1) ضرب کنید و به ردیف دوم اضافه کنید.

این تبدیل را به صورت یک عدد (-1) در مقابل خط اول می نویسیم و آن را با فلشی که از خط اول به خط دوم می رود نشان می دهیم.

برای به دست آوردن "0" در موقعیت سوم ستون اول، ردیف اول را در (-3) ضرب کنید و به ردیف سوم اضافه کنید. بیایید این عمل را با یک فلش از خط اول به سوم نشان دهیم.

.

در ماتریس حاصل که در زنجیره ماتریس دوم نوشته شده است، در ستون دوم در موقعیت سوم "0" به دست می آید. برای این کار خط دوم را در (4-) ضرب کرده و به خط سوم اضافه کنید. در ماتریس به دست آمده، ردیف دوم را در (-1) ضرب می کنیم و ردیف سوم را بر (8-) تقسیم می کنیم. تمام عناصر این ماتریس که زیر عناصر مورب قرار دارند، صفر هستند.

زیرا , این سیستم مشارکتی و خاص است.

سیستم معادلات مربوط به آخرین ماتریس شکل مثلثی دارد:

از آخرین (سومین) معادله
. در معادله دوم جایگزین کنید و بدست آورید
.

جایگزین
و
در معادله اول می یابیم


.

روش گاوس که روش نیز نامیده می شود طرد متوالیناشناخته به شرح زیر است. با استفاده از تبدیل های ابتدایی، سیستم معادلات خطی به شکلی در می آید که ماتریس ضرایب آن معلوم می شود ذوزنقه ای (همان مثلثی یا پلکانی) یا نزدیک به ذوزنقه (مسیر مستقیم روش گاوس، سپس - فقط یک حرکت مستقیم). نمونه ای از چنین سیستمی و راه حل آن در شکل بالا نشان داده شده است.

در چنین سیستمی، آخرین معادله فقط شامل یک متغیر است و مقدار آن را می توان به طور منحصر به فرد یافت. سپس مقدار این متغیر به معادله قبلی ( معکوس گاوسی ، سپس - فقط یک حرکت معکوس)، که از آن متغیر قبلی پیدا می شود، و غیره.

همانطور که می بینیم در یک سیستم ذوزنقه ای (مثلثی)، معادله سوم دیگر دارای متغیر نیست. yو ایکس، و معادله دوم - متغیر ایکس .

پس از اینکه ماتریس سیستم به شکل ذوزنقه ای درآمد، دیگر مشکلی نیست که مسئله سازگاری سیستم را مرتب کنیم، تعداد راه حل ها را تعیین کنیم و خود راه حل ها را پیدا کنیم.

مزایای روش:

1. هنگام حل سیستم های معادلات خطی با بیش از سه معادله و مجهولات، روش گاوس به اندازه روش کرامر دست و پا گیر نیست، زیرا در هنگام حل روش گاوس به محاسبات کمتری نیاز است.
2. با استفاده از روش گاوس می توانید سیستم های نامحدود معادلات خطی را حل کنید، یعنی یک راه حل مشترک داشته باشید (و در این درس آنها را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد) و با استفاده از روش کرامر فقط می توانید بیان کنید که سیستم نامشخص است.
3. می توانید سیستم های معادلات خطی را حل کنید که در آنها تعداد مجهولات با تعداد معادلات برابر نیست (ما همچنین آنها را در این درس تجزیه و تحلیل خواهیم کرد).
4. این روش مبتنی بر روش های ابتدایی (مدرسه) است - روش جایگزینی مجهولات و روش اضافه کردن معادلات که در مقاله مربوطه به آنها اشاره کردیم.

برای اینکه همه با سادگی حل سیستم های ذوزنقه ای (مثلثی، پله ای) معادلات خطی آغشته شوند، حل چنین سیستمی را با استفاده از حرکت معکوس ارائه می کنیم. راه حل سریع این سیستم در تصویر ابتدای درس نشان داده شده است.

مثال 1حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از حرکت معکوس:

راه حل. در این سیستم ذوزنقه ای، متغیر zبه طور منحصر به فرد از معادله سوم یافت می شود. مقدار آن را جایگزین معادله دوم می کنیم و مقدار متغیر را بدست می آوریم y:

اکنون مقادیر دو متغیر را می دانیم - zو y. آنها را در معادله اول جایگزین می کنیم و مقدار متغیر را بدست می آوریم ایکس:

از مراحل قبل، حل سیستم معادلات را می نویسیم:

برای به دست آوردن چنین سیستم ذوزنقه ای از معادلات خطی، که بسیار ساده آن را حل کرده ایم، لازم است حرکت مستقیم مربوط به تحولات ابتداییسیستم های معادلات خطی همچنین خیلی سخت نیست.

تبدیل های ابتدایی یک سیستم معادلات خطی

با تکرار روش مکتبی جمع جبری معادلات سیستم، متوجه شدیم که می توان معادله دیگری از سیستم را به یکی از معادلات سیستم اضافه کرد و هر یک از معادلات را می توان در تعدادی اعداد ضرب کرد. در نتیجه سیستمی از معادلات خطی معادل معادله داده شده بدست می آوریم. در آن، یک معادله قبلاً فقط شامل یک متغیر بود که با جایگزینی مقدار آن با معادلات دیگر، به یک راه حل می رسیم. چنین افزودنی یکی از انواع دگرگونی ابتدایی سیستم است. هنگام استفاده از روش گاوس، می توانیم از چندین نوع تبدیل استفاده کنیم.

انیمیشن بالا نشان می دهد که چگونه سیستم معادلات به تدریج به یک سیستم ذوزنقه ای تبدیل می شود. یعنی همان چیزی که در همان اولین انیمیشن دیدید و مطمئن شدید که به راحتی می توانید مقادیر همه مجهولات را از آن پیدا کنید. نحوه انجام چنین تحولی و البته نمونه هایی بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

هنگام حل سیستم های معادلات خطی با هر تعداد معادله و مجهولات در سیستم معادلات و در ماتریس منبسط شده سیستم می توان:

1. خطوط مبادله (این در همان ابتدای این مقاله ذکر شد)؛
2. اگر در نتیجه تغییرات دیگر خطوط مساوی یا متناسب ظاهر شد، می توان آنها را حذف کرد، به جز یک.
3. سطرهای "تهی" را حذف کنید، جایی که همه ضرایب برابر با صفر هستند.
4. هر رشته ای را در یک عدد ضرب یا تقسیم کنید.
5. به هر خط یک خط دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید.

در نتیجه تبدیل ها، سیستمی از معادلات خطی معادل معادله داده شده به دست می آوریم.

الگوریتم و مثال هایی از حل سیستم معادلات خطی با ماتریس مربع سیستم به روش گاوس

ابتدا حل سیستم های معادلات خطی را در نظر بگیرید که در آنها تعداد مجهولات برابر با تعداد معادلات است. ماتریس چنین سیستمی مربع است، یعنی تعداد سطرهای آن با تعداد ستون ها برابر است.

مثال 2حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

برای حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش مدرسه، ترم به ترم یکی از معادلات را در عددی ضرب کردیم، به طوری که ضرایب متغیر اول در دو معادله اعداد متضاد بودند. هنگام اضافه کردن معادلات، این متغیر حذف می شود. روش گاوس به روشی مشابه عمل می کند.

برای ساده کردن ظاهرراه حل ها ماتریس تقویت شده سیستم را بسازید:

در این ماتریس ضرایب مجهولات در سمت چپ قبل از میله عمودی و عبارت های آزاد در سمت راست بعد از میله عمودی قرار دارند.

برای راحتی تقسیم ضرایب متغیرها (برای بدست آوردن تقسیم بر یک) ردیف اول و دوم ماتریس سیستم را با هم عوض کنید. ما یک سیستم معادل سیستم داده شده را به دست می آوریم، زیرا در سیستم معادلات خطی می توان معادلات را دوباره مرتب کرد:

با معادله اول جدید متغیر را حذف کنید ایکساز معادلات دوم و تمام معادلات بعدی. برای انجام این کار، ردیف اول ضرب شده در (در مورد ما در ) را به ردیف دوم ماتریس، و ردیف اول ضرب در (در مورد ما در) را به ردیف سوم اضافه کنید.

این امکان پذیر است زیرا

اگر بیش از سه معادله در سیستم ما وجود داشته باشد، باید خط اول را به تمام معادلات بعدی، ضرب در نسبت ضرایب مربوطه، با علامت منفی، اضافه کرد.

در نتیجه، ماتریسی معادل سیستم داده شده از یک سیستم معادلات جدید به دست می آوریم که در آن تمام معادلات، با شروع از دوم شامل متغیر نیست ایکس :

برای ساده کردن ردیف دوم سیستم حاصل، آن را در ضرب می کنیم و دوباره ماتریس سیستم معادلات معادل این سیستم را بدست می آوریم:

حال، بدون تغییر اولین معادله سیستم حاصل، با استفاده از معادله دوم، متغیر را حذف می کنیم y از تمام معادلات بعدی برای انجام این کار، ردیف دوم ضرب در (در مورد ما، در) را به ردیف سوم ماتریس سیستم اضافه کنید.

اگر بیش از سه معادله در سیستم ما وجود داشته باشد، خط دوم باید به تمام معادلات بعدی، ضرب در نسبت ضرایب مربوطه، با علامت منفی، اضافه شود.

در نتیجه، ما دوباره ماتریس سیستم معادل سیستم معادلات خطی داده شده را بدست می آوریم:

ما یک سیستم ذوزنقه ای از معادلات خطی معادل معادله داده شده به دست آورده ایم:

اگر تعداد معادلات و متغیرها بیشتر از مثال ما باشد، فرآیند حذف متوالی متغیرها تا زمانی ادامه می یابد که ماتریس سیستم مانند نمونه آزمایشی ما ذوزنقه شود.

ما راه حل را "از پایان" پیدا خواهیم کرد - معکوس. برای این از آخرین معادله ای که تعیین می کنیم z:
.
با جایگزینی این مقدار به معادله قبلی، پیدا کردن y:

از معادله اول پیدا کردن ایکس:

پاسخ: حل این سیستم معادلات - .

: در این صورت اگر سیستم راه حل منحصر به فردی داشته باشد، همین پاسخ داده می شود. اگر سیستم بی نهایت راه حل داشته باشد، جواب هم همینطور است و این موضوع قسمت پنجم این درس است.

خود سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوس حل کنید و سپس به حل آن نگاه کنید

در مقابل ما دوباره نمونه ای از یک سیستم ثابت و معین از معادلات خطی است که در آن تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است. تفاوت نمونه آزمایشی ما با الگوریتم این است که در حال حاضر چهار معادله و چهار مجهول وجود دارد.

مثال 4حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس:

حال باید از معادله دوم برای حذف متغیر از معادلات بعدی استفاده کنید. بیایید کارهای مقدماتی انجام دهیم. برای راحت تر کردن نسبت ضرایب، باید یک واحد در ستون دوم ردیف دوم دریافت کنید. برای این کار، ردیف سوم را از ردیف دوم کم کنید و ردیف دوم حاصل را در -1 ضرب کنید.

حال اجازه دهید حذف واقعی متغیر را از معادلات سوم و چهارم انجام دهیم. برای انجام این کار، دوم ضرب در، را به خط سوم، و دوم، ضرب در، به خط چهارم اضافه کنید.

حال با استفاده از معادله سوم، متغیر را از معادله چهارم حذف می کنیم. برای انجام این کار، به خط چهارم، سوم را ضرب در . ما یک ماتریس منبسط شده به شکل ذوزنقه می گیریم.

ما یک سیستم معادلات به دست آورده ایم که معادل سیستم داده شده است:

بنابراین، سیستم های حاصل و داده شده سازگار و قطعی هستند. راه حل نهایی را «از انتها» پیدا می کنیم. از معادله چهارم می توانیم مستقیماً مقدار متغیر "x fourth" را بیان کنیم:

این مقدار را جایگزین معادله سوم سیستم می کنیم و بدست می آوریم

,

,

در نهایت، جایگزینی ارزش

در معادله اول می دهد

,

جایی که ما ابتدا "x" را پیدا می کنیم:

پاسخ: این سیستم معادلات یک راه حل منحصر به فرد دارد. .

همچنین می توانید حل سیستم را روی ماشین حسابی که به روش کرامر حل می کند بررسی کنید: در این صورت اگر سیستم یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد، همین پاسخ داده می شود.

حل مسائل کاربردی با روش گاوس بر روی مثالی از یک مسئله برای آلیاژها

سیستم های معادلات خطی برای مدل سازی اشیاء واقعی دنیای فیزیکی استفاده می شود. بیایید یکی از این مشکلات را حل کنیم - برای آلیاژها. وظایف مشابه - وظایف مخلوط، هزینه یا وزن مخصوص کالاهای جداگانه در گروهی از کالاها و موارد مشابه.

مثال 5سه قطعه آلیاژ دارای جرم کلی 150 کیلوگرم است. آلیاژ اول حاوی 60٪ مس، دوم - 30٪، سوم - 10٪ است. در عین حال، در آلیاژهای دوم و سوم روی هم، مس 28.4 کیلوگرم کمتر از آلیاژ اول و در آلیاژ سوم، مس 6.2 کیلوگرم کمتر از آلیاژ دوم است. جرم هر قطعه آلیاژ را پیدا کنید.

راه حل. ما یک سیستم معادلات خطی می سازیم:

با ضرب معادله دوم و سوم در 10، یک سیستم معادل از معادلات خطی به دست می آوریم:

ماتریس توسعه یافته سیستم را می سازیم:

توجه، حرکت مستقیم. با جمع کردن (در مورد ما، تفریق) یک ردیف، ضرب در یک عدد (آن را دو بار اعمال می کنیم)، تبدیل های زیر با ماتریس منبسط شده سیستم رخ می دهد:

دویدن مستقیم به پایان رسید. ما یک ماتریس منبسط شده به شکل ذوزنقه به دست آوردیم.

از معکوس استفاده کنیم. ما از آخر راه حل پیدا می کنیم. ما آن را می بینیم.

از معادله دوم پیدا می کنیم

از معادله سوم -

همچنین می توانید حل سیستم را روی ماشین حسابی که به روش کرامر حل می کند بررسی کنید: در این صورت اگر سیستم یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد، همین پاسخ داده می شود.

سادگی روش گاوس را این واقعیت نشان می دهد که کارل فردریش گاوس، ریاضیدان آلمانی تنها 15 دقیقه برای اختراع آن زمان صرف کرده است. علاوه بر روش نام او، از کار گاوس، این حکم "ما نباید آنچه را که برای ما باورنکردنی و غیرطبیعی به نظر می رسد با مطلقا غیرممکن اشتباه بگیریم" نوعی دستورالعمل کوتاه برای انجام اکتشافات است.

در بسیاری از مسائل کاربردی ممکن است محدودیت سوم یعنی معادله سوم وجود نداشته باشد، سپس باید یک سیستم دو معادله با سه مجهول را به روش گاوس حل کرد و یا برعکس مجهولات کمتر از معادلات باشد. اکنون ما شروع به حل چنین سیستم های معادلات می کنیم.

با استفاده از روش گاوس، می توانید تعیین کنید که آیا هر سیستمی سازگار یا ناسازگار است nمعادلات خطی با nمتغیرها

روش گاوس و سیستم های معادلات خطی با تعداد بی نهایت جواب

مثال بعدی یک سیستم منسجم اما نامعین از معادلات خطی است، یعنی دارای تعداد بی نهایت جواب است.

پس از انجام تبدیلات در ماتریس توسعه یافته سیستم (جایگزینی سطرها، ضرب و تقسیم سطرها بر یک عدد معین، افزودن یک سطر به سطر دیگر)، سطرهای فرم

اگر در تمام معادلات دارای فرم

اعضای آزاد برابر با صفر هستند، به این معنی که سیستم نامحدود است، یعنی تعداد بی نهایت جواب دارد و معادلات از این نوع "زائد" هستند و از سیستم حذف می شوند.

مثال 6

راه حل. اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بسازیم. سپس با استفاده از معادله اول، متغیر را از معادلات بعدی حذف می کنیم. برای انجام این کار، به خط دوم، سوم و چهارم، اولین را به ترتیب ضرب کنید:

حالا بیایید ردیف دوم را به ردیف سوم و چهارم اضافه کنیم.

در نتیجه به سیستم می رسیم

دو معادله آخر به معادلات فرم تبدیل شده اند. این معادلات برای هر مقدار از مجهولات برآورده می شوند و می توان آنها را کنار گذاشت.

برای برآوردن معادله دوم، می‌توانیم مقادیر دلخواه را برای و انتخاب کنیم، سپس مقدار for به طور واضح تعیین می‌شود: . از معادله اول، مقدار for نیز به طور یکتا پیدا می شود: .

هر دو سیستم داده شده و آخرین سیستم سازگار اما نامعین هستند و فرمول ها

برای دلخواه و به ما همه راه حل های سیستم داده شده است.

روش گاوس و سیستم های معادلات خطی که هیچ جوابی ندارند

مثال زیر یک سیستم ناسازگار از معادلات خطی است، یعنی هیچ راه حلی ندارد. پاسخ به چنین مشکلاتی به شرح زیر است: سیستم هیچ راه حلی ندارد.

همانطور که قبلاً در رابطه با مثال اول ذکر شد، پس از انجام تبدیل در ماتریس گسترش یافته سیستم، خطوط شکل

مربوط به معادله ای از فرم است

اگر در بین آنها حداقل یک معادله با جمله آزاد غیر صفر (یعنی ) وجود داشته باشد، این سیستم معادلات ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد و این حل آن را کامل می کند.

مثال 7حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس:

راه حل. ماتریس توسعه یافته سیستم را می سازیم. با استفاده از معادله اول، متغیر را از معادلات بعدی حذف می کنیم. برای این کار، اولین ضرب در ردیف دوم، اولین ضرب در ردیف سوم و اولین ضرب در ردیف چهارم اضافه کنید.

حال باید از معادله دوم برای حذف متغیر از معادلات بعدی استفاده کنید. برای بدست آوردن نسبت های صحیح ضرایب، ردیف دوم و سوم ماتریس توسعه یافته سیستم را با هم عوض می کنیم.

برای حذف از معادلات سوم و چهارم، دومی را با ضرب در ردیف سوم و دومی را با ضرب در ردیف چهارم اضافه کنید.

حال با استفاده از معادله سوم، متغیر را از معادله چهارم حذف می کنیم. برای انجام این کار، به خط چهارم، سوم را ضرب در .

سیستم هدفبنابراین معادل موارد زیر است:

سیستم حاصل ناسازگار است، زیرا آخرین معادله آن را نمی توان با هیچ مقدار مجهول ارضا کرد. بنابراین این سیستم هیچ راه حلی ندارد.