حجم یک بدنه انقلاب با استفاده از یک انتگرال معین. محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شود

شکل صاف حول یک محور

مثال 3

با توجه به یک شکل مسطح محدود شده توسط خطوط،،.

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید.

2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، بیابید.

توجه!حتی اگر بخواهید فقط پاراگراف دوم را بخوانید، اول لزومااولی را بخوانید!

راه حل: کار از دو قسمت تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید طراحی را اجرا کنیم:

به راحتی می توان فهمید که تابع شاخه بالایی سهمی را تعریف می کند و تابع شاخه پایینی سهمی را تعریف می کند. پیش روی ما سهمی بی اهمیت است که "در کنار خود قرار دارد."

شکل مورد نظر، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟ می توان آن را به روش "عادی" یافت. علاوه بر این، مساحت شکل به عنوان مجموع مساحت ها یافت می شود:

- در بخش ;

- در بخش

از همین رو:

راه حل منطقی تری وجود دارد: این شامل انتقال به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس منتقل کنیم؟ به طور کلی، شما باید "x" را از طریق "y" بیان کنید. ابتدا به سهمی می پردازیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین مشتق کرد:

با یک خط مستقیم، همه چیز آسان تر است:

اکنون به محور نگاه کنید: لطفاً همانطور که توضیح می دهید، به طور دوره ای سر خود را به سمت راست 90 درجه خم کنید (این یک شوخی نیست!). شکل مورد نیاز ما روی قسمت قرار دارد که با خط نقطه قرمز نشان داده شده است. علاوه بر این، در بخش، خط مستقیم بالای سهمی قرار دارد، به این معنی که مساحت شکل را باید با استفاده از فرمولی که قبلاً برای شما آشنا است پیدا کنید: . چه چیزی در فرمول تغییر کرده است؟ فقط یک نامه و نه بیشتر.

! توجه داشته باشید : محدودیت های یکپارچه سازی محور باید ترتیب داده شودبه شدت از پایین به بالا !

پیدا کردن منطقه:

بنابراین در بخش:

توجه کنید که من چگونه ادغام را انجام دادم، این منطقی ترین راه است و در پاراگراف بعدی تکلیف مشخص خواهد شد که چرا.

برای خوانندگانی که در صحت ادغام شک دارند، مشتقاتی را خواهم یافت:

انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) حجم بدن را محاسبه کنید با چرخش تشکیل شده استاز این شکل، حول محور.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

برای یافتن حجم بدنه انقلاب در امتداد محور ادغام می کنیم. ابتدا باید به سراغ توابع معکوس برویم. این کار قبلا انجام شده و در پاراگراف قبل به تفصیل توضیح داده شده است.

حالا دوباره سرمان را به سمت راست خم می کنیم و شکل خود را مطالعه می کنیم. بدیهی است که حجم بدنه انقلاب را باید به عنوان اختلاف بین احجام یافت.

شکل دایره شده به رنگ قرمز را حول محور می چرخانیم و در نتیجه یک مخروط کوتاه ایجاد می کنیم. بیایید این حجم را با علامت گذاری کنیم.

شکل دایره ای را بچرخانید به رنگ سبز، حول محور و با حجم بدنه انقلاب به دست آمده نشان داده می شود.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

چه تفاوتی با فرمول پاراگراف قبل دارد؟ فقط در حروف.

و در اینجا مزیت یکپارچه سازی است که چندی پیش در مورد آن صحبت کردم، پیدا کردن آن بسیار ساده تر است به جای اینکه ابتدا انتگرال را به توان 4 برسانید.

پاسخ:

توجه داشته باشید که اگر همان شکل صاف حول محور بچرخد، بدنه چرخشی کاملاً متفاوتی به وجود می‌آید، با حجمی طبیعی و متفاوت.

مثال 7

حجم جسمی را که با چرخش حول محور شکل محدود شده توسط منحنی ها و .

راه حل: بیایید یک نقاشی بکشیم:

در طول مسیر با نمودارهای برخی توابع دیگر آشنا می شویم. این یک نمودار بسیار جالب است. حتی عملکرد ….

برای یافتن حجم بدنه انقلاب کافی است از نیمه سمت راست شکل که با رنگ آبی سایه زدم استفاده کنید. هر دو تابع زوج هستند، نمودارهای آنها در مورد محور متقارن است و شکل ما نیز متقارن است. بنابراین سایه دار قسمت راست، چرخش حول محور، مطمئناً با قسمت بدون پرایم سمت چپ منطبق خواهد شد.

همانطور که در مورد مشکل پیدا کردن منطقه، شما به مهارت های ترسیم مطمئن نیاز دارید - این تقریباً مهمترین چیز است (زیرا خود انتگرال ها اغلب آسان خواهند بود). شما می توانید با استفاده از یک تکنیک نموداری ماهر و سریع تسلط پیدا کنید مواد آموزشیو تبدیل نمودار هندسی. اما، در واقع، من بارها در مورد اهمیت نقاشی در درس صحبت کرده ام.

به طور کلی، در حساب انتگرال تعداد زیادی وجود دارد برنامه های کاربردی جالب، با استفاده از انتگرال معینشما می توانید مساحت یک شکل، حجم یک بدنه چرخشی، طول یک قوس، سطح یک چرخش و خیلی موارد دیگر را محاسبه کنید. پس سرگرم کننده خواهد بود، لطفا خوش بین باشید!

تصویر هواپیما را تصور کنید هواپیمای مختصات. نمایندگی؟ ... من تعجب می کنم که چه کسی ... =))) ما قبلاً منطقه آن را پیدا کرده ایم. اما، علاوه بر این، این رقم نیز می تواند چرخش شود، و به دو صورت چرخانده شود:

- حول محور آبسیسا؛
- حول محور y

در این مقاله هر دو مورد بحث خواهد شد. روش دوم چرخش به ویژه جالب است، بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع راه حل تقریباً مشابه چرخش رایج تر حول محور x است. به عنوان پاداش، من به مشکل یافتن مساحت یک شکل، و به شما می گوید که چگونه منطقه را به روش دوم - در امتداد محور پیدا کنید. حتی آنقدر هم امتیازی نیست که مواد به خوبی با موضوع مطابقت دارند.

بیایید با محبوب ترین نوع چرخش شروع کنیم.

شکل صاف حول یک محور

مثال 1

حجم جسم به دست آمده با چرخش شکل را محاسبه کنید، محدود به خطوط، حول محور.

راه حل: همانطور که در مشکل منطقه، راه حل با طراحی یک شکل صاف شروع می شود. یعنی در هواپیما لازم است شکلی با خطوط محدود ساخته شود، در حالی که فراموش نکنید که این معادله محور را مشخص می کند. نحوه ایجاد یک نقاشی منطقی تر و سریعتر را می توان در صفحات پیدا کرد نمودارها و خواص توابع ابتداییو انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل. این یک یادآوری چینی است و من در این مرحله متوقف نمی شوم.

نقاشی در اینجا بسیار ساده است:

شکل مسطح مورد نظر به رنگ آبی سایه می زند و این همان است که حول محور می چرخد و در نتیجه چرخش چنین بشقاب پرنده کمی تخم مرغی شکل به دست می آید که به صورت متقارن حول محور است. در واقع، بدن یک نام ریاضی دارد، اما برای مشخص کردن چیزی در کتاب مرجع بسیار تنبل است، بنابراین ما ادامه می دهیم.

چگونه حجم یک بدنه انقلاب را محاسبه کنیم؟

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

در فرمول باید قبل از انتگرال یک عدد وجود داشته باشد. این اتفاق افتاد - هر چیزی که در زندگی می چرخد با این ثابت مرتبط است.

من فکر می کنم که چگونه می توان حدود ادغام "a" و "be" را تعیین کرد، از نقاشی تکمیل شده به راحتی حدس زد.

تابع ... این تابع چیست؟ بیایید به نقاشی نگاه کنیم. شکل مسطح با نمودار سهمی از بالا محدود می شود. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است.

در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - انتگرال در فرمول مربع است:، بنابراین انتگرال همیشه غیر منفی است، که کاملاً منطقی است.

حجم بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنید:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کرد. یعنی در بدنه چرخشی ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا دقیقا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون. ممکن است سانتی متر مکعب باشد، ممکن است متر مکعب، شاید کیلومتر مکعب و غیره، این همان تعداد مرد سبز کوچک است که تصور شما می تواند در یک بشقاب پرنده جا شود.

مثال 2

حجم جسمی را که با چرخش حول محور شکل محدود شده توسط خطوط، تشکیل شده است، بیابید.

این یک مثال برای خودتان است. راه حل کاملو پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آنها مواجه می شویم.

مثال 3

محاسبه حجم جسم به دست آمده از چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده توسط خطوط، و

راه حل: یک شکل مسطح در نقاشی بکشید که با خطوط محدود شده است، در حالی که فراموش نکنید که این معادله محور را مشخص می کند:

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی حول محور می چرخد، چنین دونات سورئال با چهار گوشه به دست می آید.

حجم بدنه انقلاب به صورت محاسبه می شود تفاوت حجم بدن.

ابتدا به شکلی که به رنگ قرمز دایره شده است نگاه می کنیم. هنگامی که حول محور می چرخد، یک مخروط کوتاه به دست می آید. بیایید حجم این مخروط کوتاه شده را به صورت .

شکلی را که به رنگ سبز دایره شده است در نظر بگیرید. اگر این شکل را حول محور بچرخانید، یک مخروط کوتاه نیز خواهید داشت که فقط کمی کوچکتر است. بیایید حجم آن را با علامت گذاری کنیم.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر است، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی صحبت کنیم.

مردم اغلب توهماتی در ارتباط با حجم دارند، که پرلمن (یکی دیگر) در کتاب متوجه آن شده است هندسه جالب. به شکل مسطح در مسئله حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد متوسط در تمام زندگی خود مایعی با حجم یک اتاق به مساحت 18 می نوشد. متر مربع، که برعکس، خیلی کوچک به نظر می رسد.

به طور کلی، سیستم آموزشی در اتحاد جماهیر شوروی واقعا بهترین بود. همان کتاب پرلمن که در سال 1950 منتشر شد، همانطور که طنزنویس گفت، استدلال بسیار خوبی دارد و به شما می آموزد که به دنبال راه حل های غیر استاندارد اصلی برای مشکلات باشید. اخیراً چند فصل را با علاقه فراوان دوباره خواندم، آن را توصیه می کنم، حتی برای انسان دوستان هم قابل دسترسی است. نه، شما مجبور نیستید لبخند بزنید که من یک سرگرمی فوق العاده را به شما پیشنهاد دادم، دانش و نگرش گسترده در ارتباطات چیز خوبی است.

بعد از انحراففقط برای حل یک کار خلاقانه مناسب است:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح محدود شده با خطوط , , که در آن .

این یک مثال برای خودتان است. توجه داشته باشید که همه چیز در باند اتفاق می افتد، به عبارت دیگر، محدودیت های یکپارچه سازی آماده در واقع داده شده است. نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی رسم کنید، من مطالب درس را به شما یادآوری می کنم تبدیل هندسی نمودارها: اگر آرگومان بر دو بخش پذیر باشد، نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. یافتن حداقل 3-4 امتیاز مطلوب است طبق جداول مثلثاتیبرای تکمیل دقیقتر نقاشی حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شود
شکل صاف حول یک محور

پاراگراف دوم حتی جالب تر از پاراگراف اول خواهد بود. وظیفه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی حول محور y نیز یک مهمان نسبتاً مکرر در کنترل کار. گذرا در نظر گرفته خواهد شد مشکل پیدا کردن مساحت یک شکلراه دوم - ادغام در امتداد محور، این به شما امکان می دهد نه تنها مهارت های خود را بهبود بخشید، بلکه به شما یاد می دهد که چگونه سودآورترین راه حل را پیدا کنید. معنای کاربردی هم دارد! همانطور که معلم روش تدریس ریاضی من با لبخند به یاد می آورد، بسیاری از فارغ التحصیلان از او با این جمله تشکر کردند: "موضوع شما کمک زیادی به ما کرد، اکنون ما مدیران موثری هستیم و کارکنان خود را بهینه مدیریت می کنیم." با استفاده از این فرصت، من نیز از او سپاسگزاری می کنم، به خصوص که از دانش به دست آمده برای هدف مورد نظر خود استفاده می کنم =).

خواندن آن را به همه توصیه می کنم، حتی ساختگی های کامل. علاوه بر این، مواد جذب شده پاراگراف دوم کمک ارزنده ای در محاسبه انتگرال های دوگانه خواهد بود..

مثال 5

با توجه به یک شکل مسطح محدود شده توسط خطوط،،.

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید.
2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، بیابید.

توجه!حتی اگر بخواهید فقط پاراگراف دوم را بخوانید، اول لزومااولی را بخوانید!

راه حل: کار از دو قسمت تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید طراحی را اجرا کنیم:

شکل مورد نظر، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟ می توان آن را به روش "معمول" که در درس مورد توجه قرار گرفت، یافت. انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل. علاوه بر این، مساحت شکل به عنوان مجموع مساحت ها یافت می شود:
- در بخش ;
- در بخش

از همین رو:

راه حل معمول در این مورد چه اشکالی دارد؟ اول، دو انتگرال وجود دارد. ثانیاً، ریشه های زیر انتگرال، و ریشه در انتگرال ها موهبتی نیستند، علاوه بر این، می توان در جایگزینی حدود انتگرال دچار سردرگمی شد. در واقع، انتگرال ها، البته، کشنده نیستند، اما در عمل همه چیز بسیار غم انگیزتر است، من فقط توابع "بهتر" را برای این کار انتخاب کردم.

راه حل منطقی تری وجود دارد: این شامل انتقال به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس منتقل کنیم؟ به طور کلی، شما باید "x" را از طریق "y" بیان کنید. ابتدا به سهمی می پردازیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین مشتق کرد:

با یک خط مستقیم، همه چیز آسان تر است:

! توجه داشته باشید: حدود یکپارچه سازی در امتداد محور باید تعیین شود به شدت از پایین به بالا!

پیدا کردن منطقه:

بنابراین در بخش:

توجه کنید که من چگونه ادغام را انجام دادم، این منطقی ترین راه است و در پاراگراف بعدی تکلیف مشخص خواهد شد که چرا.

برای خوانندگانی که در صحت ادغام شک دارند، مشتقاتی را خواهم یافت:

انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) حجم جسمی را که از چرخش این شکل حول محور تشکیل شده است محاسبه کنید.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

شکل دایره شده به رنگ سبز را حول محور می چرخانیم و آن را از طریق حجم بدنه حاصل از چرخش نشان می دهیم.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

چه تفاوتی با فرمول پاراگراف قبل دارد؟ فقط در حروف.

و در اینجا مزیت یکپارچه سازی است که چندی پیش در مورد آن صحبت کردم، پیدا کردن آن بسیار ساده تر است به جای اینکه انتگرال را به توان 4 برسانید.

پاسخ:

با این حال، یک پروانه بیمار.

مثال 6

با توجه به یک شکل صاف محدود شده توسط خطوط و یک محور.

1) به توابع معکوس بروید و با ادغام کردن روی متغیر، مساحت یک شکل صاف را که با این خطوط محدود شده است، پیدا کنید.
2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، محاسبه کنید.

این یک مثال برای خودتان است. کسانی که مایل هستند همچنین می توانند مساحت شکل را به روش "معمول" پیدا کنند و بدین ترتیب تست نقطه 1 را تکمیل کنند). اما اگر، تکرار می کنم، یک شکل صاف را حول محور بچرخانید، بدنه چرخشی کاملا متفاوتی با حجم متفاوت به دست می آورید، اتفاقاً، پاسخ صحیح (همچنین برای کسانی که دوست دارند حل کنند).

حل کامل دو مورد پیشنهادی تکلیف در پایان درس.

اوه، و فراموش نکنید که سر خود را به سمت راست خم کنید تا بدن های چرخشی و درون یکپارچگی را درک کنید!

چگونه با استفاده از یک انتگرال معین حجم یک بدنه چرخشی را محاسبه کنیم؟

جدا از یافتن مساحت یک شکل صاف با استفاده از یک انتگرال معین مهمترین کاربرد تم است محاسبه حجم یک بدنه چرخشی. مطالب ساده است، اما خواننده باید آماده باشد: لازم است که بتواند حل کند انتگرال های نامعین پیچیدگی متوسط و استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس در انتگرال معین . همانند مشکل یافتن منطقه، به مهارت های ترسیمی مطمئن نیاز دارید - این تقریباً مهمترین چیز است (زیرا خود انتگرال ها اغلب آسان خواهند بود). شما می توانید با استفاده از مواد روش شناختی، بر تکنیک ماهر و سریع رسم نمودارها مسلط شوید . اما، در واقع، من بارها در مورد اهمیت نقاشی در درس صحبت کرده ام. .

به طور کلی، کاربردهای جالب زیادی در حساب انتگرال وجود دارد؛ با استفاده از یک انتگرال معین، می توانید مساحت یک شکل، حجم یک جسم چرخشی، طول قوس، مساحت سطح را محاسبه کنید. از بدن، و خیلی بیشتر. پس سرگرم کننده خواهد بود، لطفا خوشبین باشید!

یک شکل صاف را روی صفحه مختصات تصور کنید. نمایندگی؟ ... من تعجب می کنم که چه کسی ... =))) ما قبلاً منطقه آن را پیدا کرده ایم. اما، علاوه بر این، این رقم نیز می تواند چرخش، و به دو صورت چرخش:

– حول محور x؛ - حول محور y

در این مقاله هر دو مورد بحث خواهد شد. روش دوم چرخش به ویژه جالب است، بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع راه حل تقریباً مشابه چرخش رایج تر حول محور x است. به عنوان پاداش، من به مشکل یافتن مساحت یک شکل ، و به شما می گوید که چگونه منطقه را به روش دوم - در امتداد محور پیدا کنید. حتی آنقدر هم امتیازی نیست که مواد به خوبی با موضوع مطابقت دارند.

بیایید با محبوب ترین نوع چرخش شروع کنیم.

مثال 1

حجم جسمی را که با چرخاندن شکلی که با خطوط حول یک محور محدود شده است، محاسبه کنید.

راه حل:همانطور که در مشکل یافتن منطقه، راه حل با طراحی یک شکل صاف شروع می شود. یعنی در یک هواپیما لازم است یک شکل محدود شده با خطوط ساخته شود، در حالی که فراموش نکنید که این معادله محور را تعیین می کند. نحوه ایجاد یک نقاشی منطقی تر و سریعتر را می توان در صفحات پیدا کرد نمودارها و خواص توابع ابتدایی و انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل . این یک یادآوری چینی است و من در این مرحله متوقف نمی شوم.

نقاشی در اینجا بسیار ساده است:

شکل مسطح مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است، این اوست که حول محور می چرخد. در نتیجه چرخش، این بشقاب پرنده کمی تخم مرغی شکل به دست می آید که حول محور متقارن است. در واقع، بدن یک نام ریاضی دارد، اما برای نگاه کردن به چیزی در کتاب مرجع بسیار تنبل است، بنابراین ادامه می دهیم.

چگونه حجم یک بدنه انقلاب را محاسبه کنیم؟

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

من فکر می کنم که چگونه می توان حدود ادغام "a" و "be" را تعیین کرد، از نقاشی تکمیل شده به راحتی حدس زد.

تابع ... این تابع چیست؟ بیایید به نقاشی نگاه کنیم. شکل مسطح با نمودار سهمی در بالا محدود می شود. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است.

در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - تابع در فرمول مربع است:، بنابراین حجم یک بدنه انقلاب همیشه غیرمنفی است، که کاملاً منطقی است.

حجم بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنید:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کرد. یعنی در بدنه چرخشی ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا دقیقا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون. ممکن است سانتی متر مکعب باشد، ممکن است متر مکعب باشد، ممکن است کیلومتر مکعب باشد، و غیره، این چند مرد کوچک سبز است که تصور شما می تواند در یک بشقاب پرنده جا شود.

مثال 2

حجم جسمی را که از چرخش حول محور شکل که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید،

این یک مثال برای خودتان است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آنها مواجه می شویم.

مثال 3

حجم جسمی را که با چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده با خطوط، و

راه حل:بیایید یک شکل صاف را در نقاشی به تصویر بکشیم که با خطوط،،، محدود شده است، در حالی که فراموش نکنیم که این معادله محور را تعیین می کند:

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی حول محور می چرخد، چنین دونات سورئال با چهار گوشه به دست می آید.

حجم بدنه انقلاب به صورت محاسبه می شود تفاوت حجم بدن.

ابتدا به شکلی که به رنگ قرمز دایره شده است نگاه می کنیم. هنگامی که حول محور می چرخد، یک مخروط کوتاه به دست می آید. حجم این مخروط کوتاه شده را با نشان دهید.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر است، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی صحبت کنیم.

مردم اغلب توهماتی در ارتباط با حجم دارند، که پرلمن (نه مشابه) در کتاب متوجه آن شده است هندسه جالب. به شکل مسطح در مشکل حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد متوسط در تمام زندگی خود مایعی با حجم یک اتاق 18 متر مربع می نوشد، که برعکس، حجم آن بسیار کم به نظر می رسد.

به طور کلی، سیستم آموزشی در اتحاد جماهیر شوروی واقعا بهترین بود. همان کتاب پرلمن که توسط او در سال 1950 نوشته شده است، همانطور که طنزنویس گفت، به خوبی توسعه می یابد و به شما می آموزد که به دنبال راه حل های غیر استاندارد اصلی برای مشکلات باشید. اخیراً چند فصل را با علاقه فراوان دوباره خواندم، آن را توصیه می کنم، حتی برای انسان دوستان هم قابل دسترسی است. نه، شما مجبور نیستید لبخند بزنید که من یک سرگرمی فوق العاده را به شما پیشنهاد دادم، دانش و نگرش گسترده در ارتباطات چیز خوبی است.

پس از یک انحراف غنایی، فقط مناسب است که یک کار خلاقانه را حل کنیم:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح که با خطوط محدود شده است، محاسبه کنید.

این یک مثال برای خودتان است. لطفا توجه داشته باشید که همه چیز در باند اتفاق می افتد، به عبارت دیگر، محدودیت های یکپارچه سازی تقریبا آماده داده شده است. همچنین سعی کنید نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی ترسیم کنید، اگر آرگومان بر دو تقسیم شود، سپس نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. سعی کنید حداقل 3-4 امتیاز پیدا کنید طبق جداول مثلثاتی و نقاشی را دقیق تر کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

محاسبه حجم جسمی که از چرخش یک شکل صاف به دور یک محور تشکیل شده است

پاراگراف دوم حتی جالب تر از پاراگراف اول خواهد بود. وظیفه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی حول محور y نیز در آزمایش‌ها یک بازدیدکننده نسبتاً مکرر است. گذرا در نظر گرفته خواهد شد مشکل پیدا کردن مساحت یک شکل راه دوم - ادغام در امتداد محور، این به شما امکان می دهد نه تنها مهارت های خود را بهبود بخشید، بلکه به شما یاد می دهد که چگونه سودآورترین راه حل را پیدا کنید. معنای کاربردی هم دارد! همانطور که معلم روش تدریس ریاضی من با لبخند به یاد می آورد، بسیاری از فارغ التحصیلان از او با این جمله تشکر کردند: "موضوع شما کمک زیادی به ما کرد، اکنون ما مدیران موثری هستیم و کارکنان خود را بهینه مدیریت می کنیم." با استفاده از این فرصت، من نیز از او سپاسگزاری می کنم، به خصوص که از دانش به دست آمده برای هدف مورد نظر خود استفاده می کنم =).

مثال 5

با توجه به یک شکل صاف محدود شده با خطوط،،.

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید. 2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، بیابید.

توجه!حتی اگر بخواهید فقط پاراگراف دوم را بخوانید، اول لزومااولی را بخوانید!

راه حل:کار از دو بخش تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید طراحی را اجرا کنیم:

شکل مورد نظر، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟ می توان آن را به روش "معمول" که در درس مورد توجه قرار گرفت، یافت. انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل . علاوه بر این، مساحت شکل به عنوان مجموع مناطق یافت می شود: - در بخش ; - در بخش

از همین رو:

راه حل منطقی تری وجود دارد: این شامل انتقال به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس منتقل کنیم؟ به طور کلی، شما باید "x" را از طریق "y" بیان کنید. ابتدا به سهمی می پردازیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین مشتق کرد:

با یک خط مستقیم، همه چیز آسان تر است:

اکنون به محور نگاه کنید: لطفاً همانطور که توضیح می دهید، به طور دوره ای سر خود را به سمت راست 90 درجه خم کنید (این یک شوخی نیست!). شکل مورد نیاز ما روی قسمت قرار دارد که با خط نقطه قرمز نشان داده شده است. در همان زمان، در بخش، خط مستقیم در بالای سهمی قرار دارد، به این معنی که مساحت شکل را باید با استفاده از فرمولی که قبلاً برای شما آشناست پیدا کنید: . چه چیزی در فرمول تغییر کرده است؟ فقط یک نامه و نه بیشتر.

! توجه: حدود یکپارچه سازی در امتداد محور باید تعیین شودبه شدت از پایین به بالا !

پیدا کردن منطقه:

بنابراین در بخش:

توجه کنید که من چگونه ادغام را انجام دادم، این منطقی ترین راه است و در پاراگراف بعدی تکلیف مشخص خواهد شد که چرا.

برای خوانندگانی که در صحت ادغام شک دارند، مشتقاتی را خواهم یافت:

انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) حجم جسمی را که از چرخش این شکل حول محور تشکیل شده است محاسبه کنید.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

شکل دایره شده به رنگ سبز را حول محور می چرخانیم و حجم بدنه چرخش حاصل را مشخص می کنیم.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

چه تفاوتی با فرمول پاراگراف قبل دارد؟ فقط در حروف.

موضوع: "محاسبه حجم اجسام انقلاب با استفاده از انتگرال معین"

نوع درس:ترکیب شده.

هدف از درس:یاد بگیرید که حجم اجسام انقلاب را با استفاده از انتگرال محاسبه کنید.

وظایف:

توانایی انتخاب ذوزنقه های منحنی از یک ردیف را تثبیت کنید شکل های هندسیو مهارت محاسبه مساحت ذوزنقه های منحنی را به دست آورید.

با مفهوم یک شکل سه بعدی آشنا شوید.

یاد بگیرید که حجم بدنه های انقلاب را محاسبه کنید.

به توسعه کمک کنند تفکر منطقی، گفتار ریاضی شایسته ، دقت در ساخت نقشه ها.

پرورش علاقه به موضوع، عمل کردن با مفاهیم و تصاویر ریاضی، پرورش اراده، استقلال، پشتکار در دستیابی به نتیجه نهایی.

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی.

احوالپرسی گروهی ارتباط با دانش آموزان از اهداف درس.

می خواهم درس امروز را با یک مثل شروع کنم. «مرد عاقلی بود که همه چیز را می دانست. یک نفر می خواست ثابت کند که حکیم همه چیز را نمی داند. پروانه را در دستانش گرفت و پرسید: حکیم بگو کدام پروانه در دستان من است مرده یا زنده؟ و خود او فکر می کند: "اگر زنده بگوید او را می کشم، اگر مرده بگوید او را بیرون می گذارم." حکیم پس از تفکر پاسخ داد: همه چیز در دست توست.

بنابراین بیایید امروز مثمر ثمر کار کنیم، ذخیره جدیدی از دانش به دست آوریم و مهارت ها و توانایی های کسب شده را در زندگی بعدی و در فعالیت های عملی به کار ببریم.

II. تکرار مطالب آموخته شده قبلی

بیایید نکات اصلی مطالب قبلاً مورد مطالعه را به یاد بیاوریم. برای انجام این کار، کار "حذف کلمه اضافی" را تکمیل می کنیم.

(دانش آموزان یک کلمه اضافی می گویند.)

به درستی "دیفرانسیل".بقیه کلمات را امتحان کنید تا یکی را نام ببرید کلمه مشترک. (حساب انتگرال.)

بیایید مراحل و مفاهیم اصلی مربوط به حساب انتگرال را به یاد بیاوریم.

ورزش.بازیابی پاس ها (دانش آموز بیرون می آید و کلمات لازم را با نشانگر می نویسد.)

در دفترچه کار کنید.

فرمول نیوتن-لایب نیتس توسط فیزیکدان انگلیسی، آیزاک نیوتن (1643-1727) و فیلسوف آلمانی گوتفرید لایب نیتس (1646-1716) ایجاد شد. و این تعجب آور نیست، زیرا ریاضیات زبانی است که خود طبیعت به آن صحبت می کند.

در نظر بگیرید که چگونه از این فرمول در حل وظایف عملی استفاده می شود.

مثال 1: مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید

راه حل:اجازه دهید نمودار توابع را روی صفحه مختصات بسازیم . منطقه شکل مورد نظر را انتخاب کنید.

III. یادگیری مطالب جدید.

به صفحه نمایش توجه کنید. در تصویر اول چه چیزی نشان داده شده است؟ (شکل یک شکل صاف را نشان می دهد.)

در تصویر دوم چه چیزی نشان داده شده است؟ آیا این رقم صاف است؟ (شکل نشان می دهد شکل حجمی.)

در فضا، روی زمین و در زندگی روزمرهما نه تنها با ارقام مسطح، بلکه با ارقام سه بعدی نیز ملاقات می کنیم، اما چگونه می توان حجم چنین اجسامی را محاسبه کرد؟ به عنوان مثال: حجم یک سیاره، دنباله دار، شهاب سنگ و غیره.

آنها هنگام ساختن خانه ها و ریختن آب از ظرفی به ظرف دیگر به حجم فکر می کنند. قوانین و روش های محاسبه احجام باید به وجود می آمد، نکته دیگر اینکه چقدر دقیق و موجه بودند.

سال 1612 برای ساکنان شهر لینز اتریش، جایی که یوهانس کپلر، ستاره شناس مشهور آن زمان، زندگی می کرد، به ویژه برای انگور بسیار پربار بود. مردم در حال آماده کردن بشکه های شراب بودند و می خواستند بدانند که چگونه به طور عملی حجم آنها را تعیین کنند.

بنابراین، آثار مورد نظر کپلر آغاز یک جریان کامل از تحقیقات است که در ربع آخر قرن هفدهم به اوج خود رسید. طراحی در آثار I. Newton و G.V. حساب دیفرانسیل و انتگرال لایب نیتس. از آن زمان، ریاضیات متغیرهای قدر جایگاه پیشرو در سیستم دانش ریاضی را به خود اختصاص داده است.

بنابراین امروز ما درگیر چنین فعالیت های عملی خواهیم بود، بنابراین،

موضوع درس ما: "محاسبه حجم بدنه های انقلاب با استفاده از انتگرال معین".

با انجام کار زیر با تعریف بدنه انقلاب آشنا خواهید شد.

"هزارتو".

ورزش.راهی برای خروج از موقعیت گیج کننده پیدا کنید و تعریف را یادداشت کنید.

IVمحاسبه احجام.

با استفاده از یک انتگرال معین، می توانید حجم یک جسم، به ویژه، یک جسم چرخشی را محاسبه کنید.

جسم چرخشی جسمی است که از چرخاندن یک ذوزنقه منحنی به دور قاعده آن به دست می آید (شکل 1 و 2).

حجم یک بدنه چرخشی با یکی از فرمول ها محاسبه می شود:

1. حول محور x

2. ، اگر چرخش ذوزنقه منحنی حول محور y

دانش آموزان فرمول های اصلی را در یک دفتر یادداشت می کنند.

معلم حل مثال های روی تخته را توضیح می دهد.

1. حجم جسمی را که با چرخش حول محور y یک ذوزنقه منحنی محدود شده با خطوط به دست می آید، بیابید: x2 + y2 = 64، y = -5، y = 5، x = 0.

راه حل.

جواب: 1163 سانتی متر مکعب.

2. حجم جسم حاصل از چرخش ذوزنقه سهموی حول محور آبسیسا را بیابید. y =، x = 4، y = 0.

راه حل.

V. شبیه ساز ریاضی

2. مجموعه تمام پاد مشتق های یک تابع معین نامیده می شود

الف) انتگرال نامعین

ب) عملکرد،

ب) تمایز

7. حجم جسمی را که با چرخش حول محور آبسیس یک ذوزنقه منحنی شکل که با خطوط محدود شده است، بدست آورید:

D/Z. تعمیر مواد جدید

حجم جسمی را که از چرخش گلبرگ به دور محور x تشکیل شده است محاسبه کنید y=x2، y2=x.

بیایید نمودارهای تابع را رسم کنیم. y=x2، y2=x. نمودار y2 = x به شکل y = تبدیل می شود.

V = V1 - V2 داریم بیایید حجم هر تابع را محاسبه کنیم:

نتیجه:

انتگرال معین نوعی پایه برای مطالعه ریاضیات است که کمکی ضروری در حل مسائل محتوای عملی می کند.

موضوع "انتگرال" به وضوح ارتباط بین ریاضیات و فیزیک، زیست شناسی، اقتصاد و فناوری را نشان می دهد.

توسعه علم مدرنبدون استفاده از انتگرال غیر قابل تصور است. در این راستا لازم است مطالعه آن در چارچوب میانه آغاز شود آموزش ویژه!

VI. درجه بندی.(همراه با تفسیر.)

عمر خیام بزرگ - ریاضیدان، شاعر، فیلسوف. او فرا می خواند تا بر سرنوشت خود مسلط شود. گزیده ای از آثار او را بشنوید:

شما می گویید این زندگی فقط یک لحظه است.
قدر آن را بدانید، از آن الهام بگیرید.
هر قدر خرج کنی، میگذره.
فراموش نکنید: او مخلوق شماست.

حجم یک بدنه انقلاب با استفاده از یک انتگرال معین. محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شود

شکل صاف حول یک محور

چگونه حجم یک بدنه انقلاب را محاسبه کنیم؟

محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شودشکل صاف حول یک محور

محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شود
شکل صاف حول یک محور