Lim x به بی نهایت مثال از راه حل ها تمایل دارد. محدودیت های شگفت انگیز

ما به تجزیه و تحلیل پاسخ های آماده به تئوری حدود ادامه می دهیم و امروز فقط بر روی موردی تمرکز می کنیم که یک متغیر در یک تابع یا یک عدد در یک دنباله به بی نهایت تمایل دارد. دستورالعمل‌های محاسبه حد برای متغیری که به بی‌نهایت تمایل دارد قبلاً ارائه شد؛ در اینجا ما فقط به موارد فردی می‌پردازیم که برای همه واضح و ساده نیست.

مثال 35. دنباله ای به شکل کسری داریم که در آن صورت و مخرج دارای توابع ریشه هستند.
زمانی که عدد به بی نهایت میل می کند باید حد را پیدا کنیم.
در اینجا نیازی به آشکار کردن غیرمنطقی بودن در صورت‌دهنده نیست، بلکه فقط ریشه‌ها را به دقت تجزیه و تحلیل کنید و پیدا کنید که در آن موارد بیشتری وجود دارد. درجه بالاشماره.
در اولی، ریشه های صورتگر ضریب n^4 است، یعنی می توان n^2 را از پرانتز خارج کرد.
بیایید همین کار را با مخرج انجام دهیم.
در مرحله بعد، معنای عبارات رادیکال را هنگام عبور از حد مورد ارزیابی قرار می دهیم.

تقسیم بر صفر گرفتیم که در دوره مدرسه درست نیست اما در گذر به حد قابل قبول است.
فقط با یک اصلاحیه "برای تخمین اینکه تابع به کجا می رود."
بنابراین، همه معلمان نمی توانند نماد بالا را صحیح تفسیر کنند، اگرچه می دانند که نتیجه حاصل تغییر نخواهد کرد.
بیایید به پاسخ تدوین شده با توجه به الزامات معلمان طبق نظریه نگاه کنیم.
برای ساده تر، ما فقط افزونه های اصلی را در زیر ریشه ارزیابی می کنیم

علاوه بر این، در صورت‌گر توان برابر با 2، در مخرج 2/3 است، بنابراین صورت‌گر سریع‌تر رشد می‌کند، به این معنی که حد به سمت بی‌نهایت می‌رود.
علامت آن به عوامل n^2، n^(2/3) بستگی دارد، بنابراین مثبت است.

مثال 36. نمونه ای از حد تقسیم را در نظر بگیرید توابع نمایی. نمونه‌های عملی کمی از این نوع وجود دارد، بنابراین همه دانش‌آموزان به راحتی نمی‌دانند که چگونه عدم قطعیت‌های ایجاد شده را افشا کنند.
حداکثر فاکتور برای صورت و مخرج 8^n است و ما با آن ساده می کنیم

در مرحله بعد، سهم هر ترم را ارزیابی می کنیم
از زمانی که متغیر به سمت بی نهایت می رود، عبارات 3/8 به صفر تمایل دارند، از 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

مثال 37. حد یک دنباله با فاکتوریل با نوشتن فاکتوریل به بزرگترین عامل مشترک برای صورت و مخرج آشکار می شود.
در مرحله بعد، آن را کاهش می دهیم و حد را بر اساس مقدار شاخص های عددی در صورت و مخرج ارزیابی می کنیم.
در مثال ما، مخرج سریعتر رشد می کند، بنابراین حد صفر است.


در اینجا از موارد زیر استفاده می شود

خاصیت فاکتوریل

مثال 38. بدون اعمال قوانین L'Hopital، حداکثر شاخص های متغیر را در صورت و مخرج کسر مقایسه می کنیم.
از آنجایی که مخرج دارای بالاترین توان متغیر 4>2 است، سریعتر رشد می کند.
از این نتیجه می گیریم که حد تابع به سمت صفر میل می کند.

مثال 39. با حذف x^4 از صورت و مخرج کسری، ویژگی شکل بی نهایت تقسیم بر بی نهایت را آشکار می کنیم.
در نتیجه عبور از حد، بی نهایت به دست می آید.

مثال 40. ما یک تقسیم چند جمله ای داریم، باید حد را تعیین کنیم زیرا متغیر به سمت بی نهایت میل می کند.
بالاترین درجه متغیر در صورت و مخرج برابر با 3 است، به این معنی که مرز وجود دارد و برابر با مرز فعلی است.
بیایید x^3 را بیرون بیاوریم و عبور را تا حد مجاز انجام دهیم

مثال 41. یک تکینگی از نوع یک به توان بی نهایت داریم.
این به این معنی است که عبارت در پرانتز و خود نشانگر باید در دومین مرز مهم قرار گیرند.
بیایید صورت را یادداشت کنیم تا عبارتی که در آن با مخرج یکسان است برجسته شود.
در مرحله بعد به سراغ عبارتی می رویم که شامل یک بعلاوه یک عبارت است.
مدرک باید با فاکتور 1/(ترم) متمایز شود.
بنابراین توان حد تابع کسری را به دست می آوریم.

برای ارزیابی تکینگی، از حد دوم استفاده کردیم:

مثال 42. یک تکینگی از نوع یک به توان بی نهایت داریم.
برای آشکار کردن آن، باید تابع را به دومین حد قابل توجه کاهش داد.
نحوه انجام این کار با جزئیات در فرمول زیر نشان داده شده است


شما می توانید بسیاری از مشکلات مشابه پیدا کنید. ماهیت آنها به دست آوردن درجه مورد نیاز در توان است و برابر است با مقدار معکوس عبارت داخل پرانتز در یک.
با استفاده از این روش توان را بدست می آوریم. محاسبه بیشتر به محاسبه حد درجه توان کاهش می یابد.
در اینجا تابع نمایی به بی نهایت میل می کند، زیرا مقدار آن بزرگتر از یک e=2.72>1 است.

مثال 43 در مخرج کسری یک عدم قطعیت از نوع بی نهایت منهای بی نهایت داریم که در واقع برابر است با تقسیم بر صفر.
برای خلاص شدن از ریشه، در عبارت مزدوج ضرب می کنیم و سپس از فرمول تفاضل مربع ها برای بازنویسی مخرج استفاده می کنیم.
عدم قطعیت بی‌نهایت را تقسیم بر بی‌نهایت می‌گیریم، بنابراین متغیر را به بیشترین میزان برداشته و با آن کاهش می‌دهیم.
بعد، سهم هر جمله را ارزیابی می کنیم و حد تابع را در بی نهایت پیدا می کنیم

بیایید به چند مثال گویا نگاه کنیم.

اجازه دهید x یک متغیر عددی، X مساحت تغییر آن باشد. اگر هر عدد x متعلق به X با یک عدد خاص y مرتبط باشد، می گویند که یک تابع روی مجموعه X تعریف شده است و y = f(x) را می نویسند.
مجموعه X در این مورد یک صفحه متشکل از دو محور مختصات - 0X و 0Y است. به عنوان مثال، بیایید تابع y = x 2 را به تصویر بکشیم. محورهای 0X و 0Y X - ناحیه تغییر آن را تشکیل می دهند. شکل به وضوح نحوه عملکرد تابع را نشان می دهد. در این حالت می گویند که تابع y = x 2 روی مجموعه X تعریف شده است.

مجموعه Y تمام مقادیر جزئی یک تابع مجموعه مقادیر f(x) نامیده می شود. به عبارت دیگر، مجموعه مقادیر فاصله زمانی در امتداد محور 0Y است که در آن تابع تعریف می شود. سهمی نشان داده شده به وضوح نشان می دهد که f(x) > 0، زیرا x2 > 0. بنابراین، محدوده مقادیر خواهد بود. ما به مقادیر زیادی با 0Y نگاه می کنیم.

مجموعه تمام x ها دامنه f(x) نامیده می شود. ما به تعاریف زیادی با 0X نگاه می کنیم و در مورد ما محدوده مقادیر قابل قبول [-; +].

نقطه a (a متعلق به یا X است) نقطه حدی از مجموعه X می گویند اگر در هر همسایگی نقطه a نقاطی از مجموعه X متفاوت از a وجود داشته باشد.

زمان آن رسیده است که بفهمیم محدودیت یک تابع چیست؟

b خالصی که تابع به آن سمت میل می کند که x به عدد a میل می کند محدودیت عملکرد. این به صورت زیر نوشته شده است:

به عنوان مثال، f(x) = x 2. ما باید بفهمیم که تابع در x 2 به چه چیزی تمایل دارد (برابر نیست). ابتدا حد را یادداشت می کنیم:

بیایید به نمودار نگاه کنیم.

بیایید یک خط موازی با محور 0Y از طریق نقطه 2 در محور 0X رسم کنیم. نمودار ما را در نقطه (2;4) قطع خواهد کرد. اجازه دهید یک عمود از این نقطه به محور 0Y رها کنیم و به نقطه 4 برسیم. این همان چیزی است که تابع ما در x 2 برای آن تلاش می کند. اگر اکنون مقدار 2 را با تابع f(x) جایگزین کنیم، پاسخ یکسان خواهد بود. .

حالا قبل از اینکه به سراغ آن برویم محاسبه حدود، اجازه دهید تعاریف اولیه را معرفی کنیم.

توسط ریاضیدان فرانسوی آگوستین لوئی کوشی در قرن نوزدهم معرفی شد.

فرض کنید تابع f(x) در یک بازه مشخص که حاوی نقطه x = A است تعریف شده است، اما اصلاً لازم نیست که مقدار f(A) تعریف شود.

سپس، طبق تعریف کوشی، محدودیت عملکرد f(x) یک عدد مشخص B خواهد بود که x تمایل به A دارد اگر برای هر C > 0 یک عدد D > 0 وجود داشته باشد که برای آن

آن ها اگر تابع f(x) در x A با حد B محدود شود، این به شکل نوشته می شود

محدودیت توالیاگر برای هر عدد مثبت دلخواه کوچک B> 0 عددی N وجود داشته باشد که تمام مقادیر در حالت n>N نابرابری را برآورده کنند، یک عدد A فراخوانی می شود.

این حد به نظر می رسد.

دنباله ای که حدی داشته باشد همگرا نامیده می شود و در غیر این صورت آن را واگرا می نامیم.

همانطور که قبلاً متوجه شده اید، محدودیت ها با نماد lim نشان داده می شوند که تحت آن شرایطی برای متغیر نوشته می شود و سپس خود تابع نوشته می شود. چنین مجموعه ای به عنوان "محدودیت یک تابع موضوع ..." خوانده می شود. مثلا:

- حد تابع با تمایل x به 1.

عبارت "نزدیک شدن به 1" به این معنی است که x به طور متوالی مقادیری را می گیرد که به 1 بی نهایت نزدیک می شوند.

اکنون مشخص می شود که برای محاسبه این حد کافی است مقدار 1 را جایگزین x کنید:

علاوه بر یک مقدار عددی خاص، x می تواند به بی نهایت نیز تمایل داشته باشد. مثلا:

عبارت x به این معنی است که x پیوسته در حال افزایش است و بدون محدودیت به بی نهایت نزدیک می شود. بنابراین، با جایگزینی بی‌نهایت به جای x، مشخص می‌شود که تابع 1-x به اما با علامت مخالف تمایل دارد:

بدین ترتیب، محاسبه حدودبه یافتن مقدار خاص آن یا ناحیه خاصی که تابع محدود شده توسط حد در آن سقوط می کند، ختم می شود.

با توجه به موارد فوق، نتیجه این است که هنگام محاسبه محدودیت ها استفاده از چندین قانون مهم است:

درك كردن جوهر حدو قوانین اساسی محاسبات محدود، بینش کلیدی در مورد نحوه حل آنها به دست خواهید آورد. اگر محدودیتی برای شما مشکل ایجاد می کند، در نظرات بنویسید و ما قطعا به شما کمک خواهیم کرد.

نکته: فقه علم احکام است که در تعارضات و سایر مشکلات زندگی کمک می کند.

عدد ثابت آتماس گرفت حد دنباله ها(x n)، اگر برای هر عدد مثبت دلخواه کوچک باشدε > 0 یک عدد N وجود دارد که تمام مقادیر را دارد x n، که برای آن n>N، نابرابری را برآورده می کند

|x n - a|< ε. (6.1)

آن را به صورت زیر بنویسید: یا x n →آ.

نابرابری (6.1) معادل نابرابری مضاعف است

الف - ε< x n < a + ε, (6.2)

به این معنی که نقاط x nبا شروع از مقداری n>N، در داخل بازه (a-ε، a+ ε ) ، یعنی به هر کوچکی بیفتندε -همسایگی یک نقطه آ.

دنباله ای که حدی دارد نامیده می شود همگرا، در غیر این صورت - واگرا.

مفهوم حد تابع تعمیم مفهوم محدودیت دنباله است، زیرا حد یک دنباله را می توان حد یک تابع x n = f(n) یک آرگومان عدد صحیح در نظر گرفت. n.

اجازه دهید تابع f(x) داده شود و اجازه دهید آ - نقطه حددامنه تعریف این تابع D(f)، یعنی. چنین نقطه ای که هر همسایگی آن حاوی نقاطی از مجموعه D(f) غیر از آ. نقطه آممکن است به مجموعه D(f) تعلق داشته باشد یا نباشد.

تعریف 1.عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f(x) در x→a، اگر برای هر دنباله ای (x n ) از مقادیر آرگومان تمایل به آ، دنباله های مربوطه (f(xn)) حد A یکسانی دارند.

این تعریف نامیده می شود با تعریف حد یک تابع طبق هاینه،یا " به زبان توالی”.

تعریف 2. عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f(x) در x→a، اگر با تعیین یک عدد مثبت دلخواه و کوچک ε، می توان چنین δ را پیدا کرد> 0 (بسته به ε) که برای همه است ایکس، دراز کشیده درε-همسایگی های عدد آ، یعنی برای ایکس، ارضای نابرابری
0 < x-a< ε ، مقادیر تابع f(x) در آن قرار خواهند گرفتε-همسایگی عدد A، یعنی.|f(x)-A|< ε.

این تعریف نامیده می شود با تعریف حد یک تابع مطابق کوشی،یا «در زبان ε - δ “.

تعاریف 1 و 2 معادل هستند. اگر تابع f(x) به صورت x →یک دارد حد، برابر با A، این به شکل نوشته شده است

. (6.3)

در صورتی که دنباله (f(xn)) بدون محدودیت برای هر روش تقریبی افزایش یابد (یا کاهش یابد) ایکستا حد شما آ، سپس خواهیم گفت که تابع f(x) دارد حد بی نهایت،و به شکل زیر بنویسید:

مقدار متغیر(یعنی دنباله یا تابعی) که حد آن صفر است نامیده می شود بی نهایت کوچک

متغیری که حد آن برابر با بی نهایت باشد نامیده می شود بی نهایت بزرگ.

برای یافتن حد در عمل از قضایای زیر استفاده می شود.

قضیه 1 . اگر هر محدودیتی وجود داشته باشد

(6.4)

(6.5)

(6.6)

اظهار نظر. عباراتی مانند 0/0، ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - نامشخص هستند، به عنوان مثال، نسبت دو بینهایت کوچک یا بینهایت کوچک مقادیر زیادو یافتن حدی از این نوع «افشای عدم قطعیت» نامیده می‌شود.

قضیه 2. (6.7)

آن ها می توان بر اساس توان با توان ثابت به حدی رفت، به ویژه، ;

(6.8)

(6.9)

قضیه 3.

(6.10)

(6.11)

جایی که ه » 2.7 - پایه لگاریتم طبیعی. فرمول های (6.10) و (6.11) اولین نامیده می شوند حد فوق العادهو دومین حد قابل توجه.

پیامدهای فرمول (6.11) نیز در عمل استفاده می شود:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

به ویژه حد،

اگر x → a و در همان زمان x > a، سپس x را بنویسید→a + 0. اگر به طور خاص a = 0 باشد، به جای نماد 0+0 +0 بنویسید. به طور مشابه اگر x →a و همزمان x a-0. شماره و بر این اساس فراخوانی می شوند حد حقو حد چپ کارکرد f(x) در نقطه آ. برای اینکه محدودیتی برای تابع f(x) به صورت x→ وجود داشته باشدالف لازم و کافی است تا . تابع f(x) فراخوانی می شود مداوم در نقطه x 0 اگر محدودیت داشته باشد

. (6.15)

شرط (6.15) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

,

یعنی عبور از حد تحت علامت یک تابع در صورتی امکان پذیر است که در یک نقطه معین پیوسته باشد.

اگر برابری (6.15) نقض شود، آنگاه می گوییم در x = xo تابع f(x) این دارد شکافتابع y = 1/x را در نظر بگیرید. دامنه تعریف این تابع مجموعه است آر، به جز x = 0. نقطه x = 0 یک نقطه حدی از مجموعه D(f) است، زیرا در هر همسایگی آن، i.e. در هر بازه باز حاوی نقطه 0، نقاطی از D(f) وجود دارد، اما خود به این مجموعه تعلق ندارد. مقدار f(x o)= f(0) تعریف نشده است، بنابراین در نقطه x o = 0 تابع دارای ناپیوستگی است.

تابع f(x) فراخوانی می شود پیوسته در سمت راست در نقطه x o اگر حد

,

و پیوسته در سمت چپ در نقطه x o، اگر حد

.

تداوم یک تابع در یک نقطه xoمعادل استمرار آن در این نقطه هم به سمت راست و هم به سمت چپ است.

برای اینکه تابع در نقطه پیوسته باشد xoمثلاً در سمت راست لازم است اولاً حد محدودی وجود داشته باشد و ثانیاً این حد برابر با f(x o) باشد. بنابراین، اگر حداقل یکی از این دو شرط برآورده نشود، تابع دارای ناپیوستگی خواهد بود.

1. اگر حد وجود داشته باشد و برابر با f(x o) نباشد، می گویند تابع f(x) در نقطه x o دارد پارگی از نوع اول،یا جهش.

2. اگر حد است+∞ یا -∞ یا وجود ندارد، سپس می گویند که در نقطه xo تابع دارای ناپیوستگی است نوع دوم.

برای مثال، تابع y = cot x در x→ +0 حدی برابر با +∞ داردیعنی در نقطه x=0 ناپیوستگی نوع دوم دارد. تابع y = E(x) (قسمت صحیح از ایکس) در نقاطی با ابسیساهای کامل دارای ناپیوستگی های نوع اول یا پرش است.

تابعی که در هر نقطه از بازه پیوسته باشد نامیده می شود مداوم V . یک تابع پیوسته با یک منحنی جامد نشان داده می شود.

بسیاری از مشکلات مرتبط با رشد مداوم مقداری منجر به دومین حد قابل توجه می شود. از جمله این وظایف می توان به: رشد ذخایر طبق قانون بهره مرکب، رشد جمعیت کشور، تجزیه مواد رادیواکتیو، تکثیر باکتری ها و غیره اشاره کرد.

در نظر بگیریم مثال Ya. I. Perelman، تفسیری از عدد ارائه می دهد هدر مسئله بهره مرکب عدد همحدودیتی وجود دارد . در بانک های پس انداز سالانه پول بهره به سرمایه ثابت اضافه می شود. اگر الحاق بیشتر انجام شود، سرمایه سریعتر رشد می کند، زیرا مقدار بیشتری در شکل گیری سود نقش دارد. بیایید یک مثال کاملاً نظری و بسیار ساده در نظر بگیریم. 100 منکر در بانک واریز شود. واحدها بر اساس 100٪ در سال. اگر پول بهره فقط پس از یک سال به سرمایه ثابت اضافه شود، در این دوره 100 den. واحدها به 200 واحد پولی تبدیل می شود. حالا ببینیم 100 denize به چه چیزی تبدیل می شود. در صورتی که هر شش ماه یکبار پول بهره به سرمایه ثابت اضافه شود. بعد از شش ماه 100 دن. واحدها به 100 افزایش خواهد یافت× 1.5 = 150، و پس از شش ماه دیگر - در 150× 1.5 = 225 (دانه. واحد). اگر الحاق هر 1/3 سال انجام شود، پس از یک سال 100 den. واحدها به 100 تبدیل می شود× (1 +1/3) 3 اینچ 237 (دانشگاه واحد). ما شرایط اضافه کردن پول بهره را به 0.1 سال، به 0.01 سال، به 0.001 سال و غیره افزایش خواهیم داد. سپس از 100 دن. واحدها بعد از یک سال این خواهد شد:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (دنیای واحد)،

100 × (1+1/100) 100 » 270 (دنیای واحد)،

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (دنیای واحد).

با کاهش نامحدود در شرایط اضافه کردن بهره، سرمایه انباشته به طور نامحدود رشد نمی کند، بلکه به حد معینی برابر با 271 نزدیک می شود. سرمایه سپرده شده در سال 100٪ نمی تواند بیش از 2.71 برابر شود، حتی اگر سود تعلق گرفته باشد. هر ثانیه به پایتخت اضافه می شد زیرا محدودیت

مثال 3.1.با استفاده از تعریف حد یک دنباله اعداد، ثابت کنید که دنباله x n =(n-1)/n دارای حدی برابر با 1 است.

راه حل.ما باید این را ثابت کنیم، مهم نیستε > 0، مهم نیست که چه چیزی را بگیریم، برای آن یک عدد طبیعی N وجود دارد به طوری که برای همه n N نابرابری برقرار است.|x n -1|< ε.

بیایید هر e > 0 را در نظر بگیریم. x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n، سپس برای یافتن N کافی است نابرابری 1/n را حل کنیم.< ه. بنابراین n>1/ e و بنابراین، N را می توان به عنوان یک قسمت صحیح از 1 / در نظر گرفت. e، N = E(1/e ). ما بدین وسیله ثابت کرده ایم که حد .

مثال 3.2 . حد یک دنباله را که با یک جمله مشترک داده می شود، پیدا کنید .

راه حل.بیایید حد قضیه جمع را اعمال کنیم و حد هر جمله را پیدا کنیم. وقتی n→ ∞ صورت و مخرج هر جمله به بی نهایت تمایل دارند و ما نمی توانیم مستقیماً قضیه حد نصاب را اعمال کنیم. بنابراین، ابتدا تبدیل می کنیم x n، تقسیم صورت و مخرج جمله اول بر n 2، و دوم در n. سپس با اعمال حد نصاب و حد قضیه حاصل، متوجه می شویم:

.

مثال 3.3. . پیدا کردن .

راه حل. .

در اینجا از حد قضیه استفاده کردیم: حد یک درجه برابر است با درجه حد پایه.

مثال 3.4 . پیدا کردن ( ).

راه حل.اعمال قضیه حد تفاوت غیرممکن است، زیرا ما عدم قطعیت شکل را داریم ∞-∞ . بیایید فرمول اصطلاح کلی را تبدیل کنیم:

.

مثال 3.5 . تابع f(x)=2 1/x داده شده است. ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

راه حل.بیایید از تعریف 1 حد یک تابع از طریق یک دنباله استفاده کنیم. اجازه دهید دنباله ای ( x n ) بگیریم که به 0 همگرا می شود، یعنی. اجازه دهید نشان دهیم که مقدار f(xn)= برای دنباله های مختلف رفتار متفاوتی دارد. اجازه دهید x n = 1/n. بدیهی است، پس از آن حد اجازه دهید اکنون به عنوان انتخاب کنیم x nدنباله ای با عبارت مشترک x n = -1/n، که به صفر نیز گرایش دارد. بنابراین محدودیتی وجود ندارد.

مثال 3.6 . ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

راه حل.بگذارید x 1 , x 2 ,..., x n ,... دنباله ای باشد که برای آن
. دنباله (f(xn)) = (sin x n) برای x n های مختلف چگونه رفتار می کند → ∞

اگر x n = p n، آنگاه sin x n = sin p n = 0 برای همه nو حد اگر
x n = 2 p n+ p /2، سپس sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 برای همه nو بنابراین حد. پس وجود ندارد.

ویجت برای محاسبه محدودیت ها به صورت آنلاین

در پنجره بالا به جای sin(x)/x تابعی را که می خواهید حد آن را پیدا کنید وارد کنید. در پنجره پایین عددی را که x به آن تمایل دارد وارد کنید و با کلیک بر روی دکمه Calcular حد مورد نظر را بدست آورید. و اگر در پنجره نتیجه روی Show stepها در گوشه بالا سمت راست کلیک کنید، یک راه حل دقیق دریافت خواهید کرد.

قوانین وارد کردن توابع: sqrt(x) - ریشه مربع، cbrt(x) - ریشه مکعب، exp(x) - توان، ln(x) - لگاریتم طبیعی، sin(x) - سینوس، cos(x) - کسینوس، tan (x) - مماس، cot(x) - cotangent، arcsin(x) - arcsine، arccos(x) - arccosine، arctan(x) - arcttangent. علائم: * ضرب، / تقسیم، ^ توان، در عوض بی نهایتبی نهایت. مثال: تابع به صورت sqrt(tan(x/2)) وارد می شود.

تابع y = f (ایکس)قانون (قانونی) است که طبق آن هر عنصر x از مجموعه X با یک و تنها یک عنصر y از مجموعه Y مرتبط است.

عنصر x ∈ Xتماس گرفت آرگومان تابعیا متغیر مستقل.
عنصر y ∈ Yتماس گرفت مقدار تابعیا متغیر وابسته.

مجموعه X نامیده می شود دامنه تابع.
مجموعه ای از عناصر y ∈ Y، که دارای پیش تصویر در مجموعه X هستند، نامیده می شود ناحیه یا مجموعه ای از مقادیر تابع.

تابع واقعی نامیده می شود محدود از بالا (از پایین)، اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که نابرابری برای همه برقرار باشد:
.
تابع عدد نامیده می شود محدود، اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که برای همه:
.

لبه بالایییا حد بالایی دقیقیک تابع واقعی به کوچکترین عددی گفته می شود که محدوده مقادیر آن را از بالا محدود می کند. یعنی این یک عدد s است که برای همه و برای هر یک آرگومان وجود دارد که مقدار تابع آن از s بیشتر است: .
کران بالای یک تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
.

به ترتیب لبه پایینیا حد پایینی دقیقیک تابع واقعی به بزرگترین عددی گفته می شود که دامنه مقادیر آن را از پایین محدود می کند. یعنی این یک عدد i است که برای همه و برای هر یک آرگومان وجود دارد که مقدار تابع آن کمتر از i است: .
infimum یک تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
.

تعیین حد یک تابع

تعیین حد یک تابع با توجه به کوشی

محدودیت های محدود تابع در نقاط پایانی

اجازه دهید تابع در برخی از همسایگی های نقطه پایانی، به استثنای خود نقطه، تعریف شود. در یک نقطه، اگر برای هر یک، چنین چیزی وجود داشته باشد، بسته به آن، برای همه x که برای آن، نابرابری برقرار است
.
حد یک تابع به صورت زیر نشان داده می شود:
.
یا در .

با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهانشمول، تعریف حد تابع را می توان به صورت زیر نوشت:
.

محدودیت های یک طرفه
حد چپ در یک نقطه (محدودیت سمت چپ):
.
حد راست در یک نقطه (محدودیت سمت راست):
.
حد چپ و راست اغلب به صورت زیر نشان داده می شود:
; .

محدودیت های محدود یک تابع در نقاط بی نهایت

محدودیت ها در نقاط بی نهایت به روشی مشابه تعیین می شوند.
.
.
.
اغلب به آنها اشاره می شود:
; ; .

استفاده از مفهوم همسایگی یک نقطه

اگر مفهوم همسایگی سوراخ شده یک نقطه را معرفی کنیم، می‌توانیم یک تعریف واحد از حد محدود یک تابع در نقاط محدود و بینهایت دور ارائه دهیم:
.
اینجا برای نقاط پایانی
; ;
.
هر همسایگی از نقاط در بی نهایت سوراخ می شود:
; ; .

محدودیت های عملکرد نامحدود

تعریف
اجازه دهید تابع در برخی از همسایگی های سوراخ شده یک نقطه (محدود یا در بی نهایت) تعریف شود. حد تابع f (ایکس)به صورت x → x 0 برابر است با بی نهایت، اگر برای هر عدد دلخواه بزرگ M > 0 ، یک عدد δ M وجود دارد > 0 بسته به M، که برای همه x متعلق به δ M سوراخ شده - همسایگی نقطه:، نابرابری زیر برقرار است:
.
حد نامتناهی به صورت زیر نشان داده می شود:
.
یا در .

با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهانشمول، تعریف حد نامتناهی یک تابع را می توان به صورت زیر نوشت:
.

همچنین می توانید تعاریفی از حد نامتناهی نشانه های معین برابر با و ارائه کنید:
.
.

تعریف جهانی حد یک تابع

با استفاده از مفهوم همسایگی یک نقطه، می‌توانیم یک تعریف جهانی از حد متناهی و نامتناهی یک تابع ارائه دهیم که هم برای نقاط متناهی (دو طرفه و یک طرفه) و هم برای نقاط بینهایت دور قابل استفاده است:
.

تعیین حد یک تابع از نظر هاینه

اجازه دهید تابع در مجموعه ای از X: تعریف شود.
عدد a حد تابع نامیده می شوددر نقطه:
,
اگر برای هر دنباله ای همگرا به x 0 :
,
که عناصر آن به مجموعه X تعلق دارند:
.

اجازه دهید این تعریف را با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهان شمول بنویسیم:
.

اگر همسایگی سمت چپ نقطه x را به عنوان مجموعه X در نظر بگیریم 0 ، سپس تعریف حد چپ را بدست می آوریم. اگر راست دست باشد، تعریف حد راست را می گیریم. اگر همسایگی یک نقطه در بینهایت را به عنوان یک مجموعه X بگیریم، تعریف حد یک تابع در بینهایت را به دست می آوریم.

قضیه
تعاریف کوشی و هاینه از حد یک تابع معادل هستند.
اثبات

خواص و قضایای حد یک تابع

علاوه بر این، فرض می کنیم که توابع مورد بررسی در همسایگی متناظر نقطه تعریف می شوند که یک عدد محدود یا یکی از نمادها است: . همچنین می تواند یک نقطه حد یک طرفه باشد، یعنی فرم یا . محله برای حد دو طرفه دو طرفه و برای حد یک طرفه یک طرفه است.

خواص اساسی

اگر مقادیر تابع f (ایکس)تعداد محدودی از نقاط x را تغییر دهید (یا نامشخص کنید). 1، x 2، x 3، ... x n، آنگاه این تغییر بر وجود و مقدار حد تابع در نقطه دلخواه x تأثیری نخواهد داشت 0 .

اگر حد محدودی وجود داشته باشد، آنگاه یک همسایگی سوراخ شده از نقطه x وجود دارد 0 ، که بر روی آن تابع f (ایکس)محدود:
.

اجازه دهید تابع در نقطه x باشد 0 حد غیر صفر محدود:
.
سپس، برای هر عدد c از بازه، چنین همسایگی سوراخ شده ای از نقطه x وجود دارد 0 ، برای چی ،
، اگر ؛
، اگر .

اگر در برخی از محله های سوراخ شده نقطه، , یک ثابت باشد، پس .

اگر حدود محدودی وجود داشته باشد و روی برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه x وجود داشته باشد 0
,
که .

اگر، و در برخی از محله های نقطه
,
که .
به ویژه، اگر در برخی از محله های یک نقطه
,
سپس اگر، سپس و ;
اگر ، پس و .

اگر در محله سوراخ شده نقطه x 0 :
,
و حدهای مساوی متناهی (یا نامتناهی از یک علامت معین) وجود دارد:
، آن
.

اثبات خواص اصلی در صفحه آورده شده است
"ویژگی های اساسی حدود یک تابع."

خواص حسابی حد یک تابع

اجازه دهید توابع و در برخی از محله های سوراخ شده از نقطه تعریف شوند. و بگذارید محدودیت های محدودی وجود داشته باشد:
و .
و C یک ثابت باشد، یعنی یک عدد معین. سپس
;
;
;
، اگر .

اگر پس از آن.

اثبات خواص حسابی در صفحه آورده شده است
"ویژگی های حسابی حدود یک تابع".

معیار کوشی برای وجود حد یک تابع

قضیه
به منظور تابعی که بر روی برخی از همسایگی های سوراخ شده یک محدود یا در نقطه بینهایت x تعریف شده است 0 ، در این نقطه حد محدودی داشت، لازم و کافی است که برای هر ε > 0 چنین محله سوراخ شده ای از نقطه x وجود داشت 0 ، که برای هر نقطه و از این همسایگی، نابرابری زیر برقرار است:
.

حد یک تابع پیچیده

قضیه حد تابع پیچیده
اجازه دهید تابع یک حد داشته باشد و یک محله سوراخ شده از یک نقطه را بر روی یک محله سوراخ شده از یک نقطه ترسیم کنید. اجازه دهید تابع در این محله تعریف شود و محدودیتی در آن وجود داشته باشد.
در اینجا نکات نهایی یا بی نهایت دور وجود دارد: . محله ها و حدود مربوط به آنها می تواند دو طرفه یا یک طرفه باشد.
سپس حدی از یک تابع مختلط وجود دارد و برابر است با:
.

قضیه حدی یک تابع مختلط زمانی اعمال می شود که تابع در نقطه ای تعریف نشده باشد یا مقداری متفاوت از حد داشته باشد. برای اعمال این قضیه، باید یک همسایگی سوراخ شده از نقطه ای وجود داشته باشد که مجموعه مقادیر تابع حاوی نقطه نباشد:
.

اگر تابع در نقطه پیوسته باشد، می توان علامت حد را به آرگومان اعمال کرد عملکرد پیوسته:
.
در زیر یک قضیه مربوط به این مورد است.

قضیه حد تابع پیوسته یک تابع
اجازه دهید حدی از تابع g وجود داشته باشد (t)به عنوان t → t 0 ، و برابر با x است 0 :
.
اینجا نقطه t است 0 می تواند متناهی یا بی نهایت دور باشد: .
و تابع f را بگذارید (ایکس)در نقطه x پیوسته است 0 .
سپس حدی از تابع مختلط f وجود دارد (g(t))، و برابر با f است (x0):
.

اثبات قضایا در صفحه آورده شده است
"محدودیت و تداوم یک تابع پیچیده".

توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ

توابع بی نهایت کوچک

تعریف
به یک تابع می گویند اگر بی نهایت کوچک باشد
.

مجموع، تفاوت و محصولتعداد محدودی از توابع بینهایت کوچک در یک تابع بینهایت کوچک در است.

محصول یک تابع محدود شدهدر برخی از محله های سوراخ شده نقطه، به یک بی نهایت کوچک در یک تابع بینهایت کوچک در است.

برای اینکه یک تابع حد محدودی داشته باشد کافی و لازم است که
,
یک تابع بینهایت کوچک در کجاست.

"خواص توابع بی نهایت کوچک".

توابع بی نهایت بزرگ

تعریف
به یک تابع می گویند بی نهایت بزرگ اگر
.

مجموع یا تفاضل یک تابع محدود، در برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه، و یک تابع بی نهایت بزرگ در بی نهایت است. عملکرد عالیدر .

اگر تابع برای بی نهایت بزرگ باشد و تابع در محله سوراخ شده نقطه محدود شود،
.

اگر تابع، در یک محله سوراخ شده از نقطه، نابرابری را برآورده کند:
,
و تابع بی نهایت کوچک است در:
، و (در برخی از محله های سوراخ شده نقطه)، سپس
.

شواهد خواص در بخش ارائه شده است
"خواص توابع بی نهایت بزرگ".

رابطه بین توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک

از دو ویژگی قبلی ارتباط بین توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک به دست می آید.

اگر تابعی در بی نهایت بزرگ باشد، تابع در بی نهایت کوچک است.

اگر تابعی برای و بی نهایت کوچک باشد، آنگاه تابع برای بی نهایت بزرگ است.

رابطه بین یک بی نهایت کوچک و یک تابع بی نهایت بزرگ را می توان بیان کرد به صورت نمادین:
, .

اگر یک تابع بینهایت کوچک علامت مشخصی داشته باشد، یعنی مثبت (یا منفی) در محله سوراخ شده نقطه باشد، این واقعیت را می توان به صورت زیر بیان کرد:
.
به همین ترتیب، اگر یک تابع بی‌نهایت بزرگ علامت مشخصی داشته باشد، می‌نویسند:
.

سپس ارتباط نمادین بین توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ را می توان با روابط زیر تکمیل کرد:
, ,
, .

فرمول های اضافی مربوط به نمادهای بی نهایت را می توان در صفحه یافت
"نقاط در بی نهایت و خواص آنها."

حدود توابع یکنواخت

تعریف
تابعی که روی مجموعه ای از اعداد حقیقی X تعریف شده است فراخوانی می شود به شدت افزایش می یابد، اگر برای همه به گونه ای باشد که نابرابری زیر برقرار باشد:
.
بر این اساس، برای به شدت کاهش می یابدتابع نابرابری زیر برقرار است:
.
برای بدون کاهش:
.
برای غیر افزایشی:
.

نتیجه این است که یک تابع کاملاً افزایشی نیز غیر کاهشی است. یک تابع کاملاً کاهشی نیز غیرافزاینده است.

تابع فراخوانی می شود یکنواخت، اگر غیر کاهشی یا غیر افزایشی باشد.

قضیه
اجازه دهید تابع در فاصله زمانی که در آن کاهش نمی یابد.
اگر در بالا با عدد M محدود شود: یک حد محدود وجود دارد. اگر از بالا محدود نشده است، پس .
اگر از پایین با عدد m محدود شود: آنگاه یک حد محدود وجود دارد. اگر از پایین محدود نمی شود، پس .

اگر نقاط a و b در بی نهایت باشند، در عبارات علائم حد به این معنی است که .
این قضیه را می توان فشرده تر فرموله کرد.

اجازه دهید تابع در فاصله زمانی که در آن کاهش نمی یابد. سپس در نقاط a و b محدودیت های یک طرفه وجود دارد:
;
.

یک قضیه مشابه برای یک تابع غیر افزایشی.

اجازه دهید تابع در بازه زمانی که . سپس محدودیت های یک طرفه وجود دارد:
;
.

اثبات قضیه در صفحه ارائه شده است
"حدود توابع یکنواخت".

منابع:
L.D. کودریاوتسف. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 2003.
سانتی متر. نیکولسکی. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 1983.