قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته. چند ضلعی توزیع

در بخشی از دوره که به مفاهیم اساسی نظریه احتمال اختصاص دارد، قبلاً مفهوم بسیار مهم متغیر تصادفی را معرفی کرده ایم. در اینجا خواهیم داد پیشرفتهای بعدیاین مفهوم را نشان می دهد و نشان می دهد که چگونه می توان متغیرهای تصادفی را توصیف و توصیف کرد.

همانطور که قبلاً ذکر شد ، متغیر تصادفی کمیتی است که در نتیجه آزمایش می تواند یک یا مقدار دیگری را بگیرد ، از قبل مشخص نیست که کدام یک. ما همچنین توافق کردیم که بین متغیرهای تصادفی انواع ناپیوسته (گسسته) و پیوسته تمایز قائل شویم. مقادیر ممکن مقادیر ناپیوسته را می توان از قبل فهرست کرد. مقادیر ممکن مقادیر پیوستهنمی توان از قبل شمارش کرد و به طور مداوم مقداری شکاف را پر کرد.

نمونه هایی از متغیرهای تصادفی ناپیوسته:

1) تعداد ظاهر شدن نشان در طول سه پرتاب سکه (مقادیر ممکن 0، 1، 2، 3) است.

2) فراوانی ظاهر نشان در همان آزمایش (مقادیر ممکن)؛

3) تعداد عناصر خراب در یک دستگاه متشکل از پنج عنصر (مقادیر ممکن 0، 1، 2، 3، 4، 5) است.

4) تعداد ضربه های هواپیما برای غیرفعال کردن آن کافی است (مقادیر ممکن 1، 2، 3، ...، n، ...) است.

5) تعداد هواپیماهای سرنگون شده در نبرد هوایی (مقادیر احتمالی 0، 1، 2، ...، N، که تعداد کل هواپیماهای شرکت کننده در نبرد است).

نمونه هایی از متغیرهای تصادفی پیوسته:

1) آبسیسا (مرتب) نقطه برخورد هنگام شلیک؛

2) فاصله از نقطه برخورد تا مرکز هدف.

3) خطای ارتفاع سنج.

4) زمان عملکرد بدون خرابی لوله رادیویی.

در آینده، اجازه دهید ما موافقت کنیم که متغیرهای تصادفی را با حروف بزرگ و مقادیر احتمالی آنها را با حروف کوچک مربوطه نشان دهیم. به عنوان مثال، - تعداد ضربه با سه ضربه. مقادیر ممکن: .

ناپیوسته را در نظر بگیرید متغیر تصادفیبا مقادیر ممکن هر یک از این مقادیر ممکن است، اما قطعی نیست، و مقدار X می تواند هر یک از آنها را با احتمالی بگیرد. در نتیجه آزمایش، مقدار X یکی از این مقادیر را خواهد گرفت، یعنی. یکی از گروه کامل رویدادهای ناسازگار رخ خواهد داد:

اجازه دهید احتمالات این رویدادها را با حروف p با شاخص های مربوطه نشان دهیم:

از آنجایی که رویدادهای ناسازگار (5.1.1) شکل می گیرند گروه کامل، سپس

آن ها مجموع احتمالات همه مقادیر ممکن متغیر تصادفی برابر با یک است. این احتمال کل به نوعی بین مقادیر فردی توزیع می شود. اگر این توزیع را مشخص کنیم، یک متغیر تصادفی به طور کامل از دیدگاه احتمالی توصیف می شود. ما دقیقاً نشان می دهیم که هر یک از رویدادها (5.1.1) چه احتمالاتی دارد. این به اصطلاح قانون توزیع یک متغیر تصادفی را ایجاد می کند.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی هر رابطه ای است که بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات متناظر آنها ارتباط برقرار می کند. در مورد یک متغیر تصادفی خواهیم گفت که تابع قانون توزیع معین است.

اجازه دهید شکلی را تعیین کنیم که در آن قانون توزیع یک متغیر تصادفی ناپیوسته می تواند ارائه شود. ساده ترین شکل تنظیم این قانون جدولی است که مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوط به آنها را فهرست می کند:

ما چنین جدولی را سری توزیع یک متغیر تصادفی می نامیم.

برای مصورتر ساختن سری توزیع، اغلب به آن متوسل می شود تصویر گرافیکی: ابسیسا مقادیر ممکن متغیر تصادفی را نشان می دهد و مختصات احتمالات این مقادیر را نشان می دهد. برای وضوح، نقاط به دست آمده توسط بخش های خط مستقیم به هم متصل می شوند. چنین شکلی چندضلعی توزیع نامیده می شود (شکل 5.1.1). چند ضلعی توزیع، مانند سری توزیع، به طور کامل متغیر تصادفی را مشخص می کند. این شکلی از قانون توزیع است.

گاهی اوقات تفسیر به اصطلاح "مکانیکی" سری توزیع راحت به نظر می رسد. تصور کنید که جرم معینی برابر با وحدت در امتداد محور آبسیسا توزیع شده است به طوری که جرم ها به ترتیب در نقاط منفرد متمرکز شوند. سپس سری توزیع به عنوان سیستمی از نقاط مادی با مقداری جرم در محور x تعبیر می شود.

چندین مثال از متغیرهای تصادفی ناپیوسته با قوانین توزیع آنها را در نظر بگیرید.

مثال 1. یک آزمایش انجام می شود که در آن رویداد ممکن است ظاهر شود یا نباشد. احتمال وقوع یک رویداد 0.3 است. یک متغیر تصادفی در نظر گرفته می‌شود - تعداد وقوع یک رویداد در یک آزمایش معین (یعنی متغیر تصادفی مشخصه رویداد که در صورت ظاهر شدن مقدار 1 و اگر ظاهر نشد 0 را می‌گیرد). یک سری توزیع و یک چندضلعی توزیع از کمیت بسازید.

راه حل. مقدار فقط دو مقدار دارد: 0 و 1.

چند ضلعی توزیع در شکل نشان داده شده است. 5.1.2.

مثال 2. تیرانداز سه تیر به سمت هدف شلیک می کند. احتمال اصابت به هدف با هر شلیک 0.4 است. برای هر ضربه تیرانداز 5 امتیاز می گیرد. مجموعه ای از توزیع تعداد امتیازات را بسازید.

راه حل. اجازه دهید تعداد نقاط حذف شده را مشخص کنیم. مقادیر احتمالی : .

احتمال این مقادیر با قضیه تکرار آزمایشات بدست می آید:

سری توزیع کمیت به شکل زیر است:

چند ضلعی توزیع در شکل نشان داده شده است. 5.1.3.

مثال 3. احتمال وقوع یک رویداد در یک آزمایش برابر است. تعدادی آزمایش مستقل انجام می شود که تا اولین وقوع رویداد ادامه می یابد و پس از آن آزمایش ها متوقف می شوند. متغیر تصادفی تعداد آزمایش های انجام شده است. یک سری توزیع از مقدار بسازید.

راه حل. مقادیر احتمالی مقدار: 1، 2، 3، ... (از لحاظ نظری، آنها با هیچ چیز محدود نمی شوند). برای اینکه مقدار مقدار 1 را بگیرد، لازم است که رویداد در آزمایش اول رخ داده باشد. احتمال این است. برای اینکه مقدار مقدار 2 را بگیرد، لازم است که رویداد در آزمایش اول ظاهر نشود و در آزمایش دوم ظاهر شود. احتمال این، کجا و غیره است. سری توزیع کمیت به شکل زیر است:

پنج مختص اول چند ضلعی توزیع برای مورد در شکل 1 نشان داده شده است. 5.1.4.

مثال 4. تیرانداز با داشتن 4 گلوله تا اولین ضربه به سمت هدف شلیک می کند. احتمال زدن هر شلیک 0.6 است. ساخت یک سری از مهمات بدون استفاده باقی مانده توزیع.

راه حل. متغیر تصادفی - تعداد کارتریج های استفاده نشده - دارای چهار مقدار ممکن است: 0، 1، 2 و 3. احتمالات این مقادیر به ترتیب عبارتند از:

سری توزیع کمیت به شکل زیر است:

چند ضلعی توزیع در شکل نشان داده شده است. 5.1.5.

مثال 5. یک وسیله فنی را می توان در شرایط مختلف مورد استفاده قرار داد و بسته به این، هر از چند گاهی نیاز به تنظیم دارد. با یک بار استفاده از دستگاه، می تواند به طور تصادفی در حالت مطلوب یا نامطلوب قرار گیرد. در حالت مطلوب، دستگاه می تواند سه برنامه را بدون تنظیم تحمل کند. قبل از چهارم باید تنظیم شود. در حالت نامطلوب، دستگاه باید پس از اولین استفاده تنظیم شود. احتمال اینکه دستگاه در حالت مطلوب قرار بگیرد 0.7 است که در حالت نامطلوب 0.3 است. یک متغیر تصادفی در نظر گرفته می شود - تعداد برنامه های دستگاه قبل از تنظیم. سری توزیع آن را بسازید.

راه حل. متغیر تصادفی دارای سه مقدار ممکن است: 1، 2 و 3. . برای اینکه مقدار مقدار 2 را بگیرد، لازم است که در طول اولین برنامه، دستگاه در حالت مطلوب قرار گیرد و در طول دوم - به حالت نامطلوب. احتمال این . برای اینکه مقدار مقدار 3 را بگیرد، لازم است که دستگاه دو بار اول وارد حالت مطلوب شود (پس از بار سوم همچنان باید تنظیم شود). احتمال این است .

سری توزیع کمیت به شکل زیر است:

چند ضلعی توزیع در شکل نشان داده شده است. 5.1.6.

تابع توزیع

در شماره قبلی، سری توزیع را به عنوان یک مشخصه جامع (قانون توزیع) یک متغیر تصادفی ناپیوسته معرفی کردیم. با این حال، این ویژگی جهانی نیست. فقط برای متغیرهای تصادفی ناپیوسته وجود دارد. به راحتی می توان دریافت که چنین مشخصه ای را نمی توان برای یک متغیر تصادفی پیوسته ساخت. در واقع، یک متغیر تصادفی پیوسته دارای مجموعه ای غیرقابل شمارش از مقادیر ممکن است که به طور کامل یک شکاف مشخص را پر می کند (به اصطلاح "مجموعه قابل شمارش"). گردآوری جدولی که در آن تمام مقادیر ممکن چنین متغیر تصادفی فهرست شده باشد غیرممکن است. علاوه بر این، همانطور که بعداً خواهیم دید، هر مقدار منفرد از یک متغیر تصادفی پیوسته معمولاً هیچ احتمال غیرصفری ندارد. بنابراین، برای یک متغیر تصادفی پیوسته، هیچ سری توزیع به معنایی که برای یک متغیر ناپیوسته وجود دارد، وجود ندارد. با این حال، بازه‌های مختلف مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی هنوز به یک اندازه محتمل نیستند، و برای یک متغیر پیوسته یک "توزیع احتمال" وجود دارد، اگرچه نه به همان معنای یک متغیر ناپیوسته.

برای توصیف کمی این توزیع احتمال، استفاده از نامحتمل رویداد، و احتمال رویداد، که در آن مقداری متغیر فعلی وجود دارد، راحت است. احتمال این رویداد بدیهی است بستگی دارد، تابعی از وجود دارد. این تابع تابع توزیع یک متغیر تصادفی نامیده می شود و با:

. (5.2.1)

تابع توزیع گاهی اوقات تابع توزیع انتگرال یا قانون توزیع انتگرال نیز نامیده می شود.

تابع توزیع جهانی ترین مشخصه یک متغیر تصادفی است. برای همه متغیرهای تصادفی وجود دارد: ناپیوسته و پیوسته. تابع توزیع به طور کامل یک متغیر تصادفی را از دیدگاه احتمالی مشخص می کند، به عنوان مثال. شکلی از قانون توزیع است.

اجازه دهید برخی را فرموله کنیم خواص عمومیتوابع توزیع

1. تابع توزیع یک تابع غیر نزولی آرگومان آن است، i.e. در .

2. در منهای بی نهایت، تابع توزیع برابر با صفر است: .

3. در بعلاوه بی نهایت، تابع توزیع برابر با یک است: .

بدون ارائه دلیل دقیقی از این ویژگی ها، آنها را با کمک یک تفسیر هندسی بصری نشان می دهیم. برای انجام این کار، یک متغیر تصادفی را به عنوان یک نقطه تصادفی در محور Ox در نظر می گیریم (شکل 5.2.1)، که در نتیجه آزمایش، می تواند یک موقعیت یا موقعیت دیگر را بگیرد. سپس تابع توزیع احتمال سقوط یک نقطه تصادفی در نتیجه آزمایش به سمت چپ نقطه است.

افزایش می دهیم، یعنی نقطه را در امتداد محور x به سمت راست حرکت می دهیم. بدیهی است که در این حالت، احتمال سقوط یک نقطه تصادفی به سمت چپ نمی تواند کاهش یابد. بنابراین، تابع توزیع نمی تواند با افزایش کاهش یابد.

برای اطمینان از آن، نقطه را در امتداد محور x به سمت چپ به طور نامحدود حرکت می دهیم. در این حالت، ضربه یک نقطه تصادفی به سمت چپ در حد به یک رویداد غیرممکن تبدیل می شود. طبیعی است که فرض کنیم احتمال این رویداد به صفر میل دارد، یعنی. .

به همین ترتیب، با جابجایی نقطه به سمت راست به طور نامحدود، مطمئن می شویم که از آنجایی که رویداد در حد قابل اعتماد می شود.

نمودار تابع توزیع در مورد کلینموداری از یک تابع بدون کاهش است (شکل 5.2.2) که مقادیر آن از 0 شروع می شود و به 1 می رسد و در برخی از نقاط تابع ممکن است دارای پرش (ناپیوستگی) باشد.

با دانستن سری توزیع یک متغیر تصادفی ناپیوسته، می توان به راحتی تابع توزیع این متغیر را ساخت. واقعا،

,

که در آن نابرابری زیر علامت جمع نشان می دهد که جمع برای تمام مقادیری که کمتر از .

هنگامی که متغیر فعلی از هر یک از مقادیر ممکن مقدار ناپیوسته عبور می کند، تابع توزیع به طور ناگهانی تغییر می کند و بزرگی پرش برابر با احتمال این مقدار است.

مثال 1. یک آزمایش انجام می شود که در آن رویداد ممکن است ظاهر شود یا نباشد. احتمال وقوع یک رویداد 0.3 است. متغیر تصادفی - تعداد وقوع یک رویداد در آزمایش (متغیر تصادفی مشخصه رویداد). تابع توزیع آن را بسازید.

وظیفه 14.در قرعه کشی نقدی، 1 برد 1،000،000 روبلی، 10 برد از هر 100،000 روبل بازی می شود. و 100 برد 1000 روبلی. در تعداد کلبلیط 10000. قانون توزیع برنده های تصادفی را بیابید ایکسبرای صاحب یک بلیط بخت آزمایی

راه حل. مقادیر ممکن برای ایکس: ایکس 1 = 0; ایکس 2 = 1000; ایکس 3 = 100000;

ایکس 4 \u003d 1000000. احتمالات آنها به ترتیب برابر است: آر 2 = 0,01; آر 3 = 0,001; آر 4 = 0,0001; آر 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

بنابراین، قانون توزیع سود ایکساز طریق جدول زیر قابل ارائه است:

وظیفه 15. متغیر تصادفی گسسته ایکستوسط قانون توزیع ارائه شده است:

یک چند ضلعی توزیع بسازید.

راه حل. ما یک سیستم مختصات مستطیلی می سازیم و در امتداد محور آبسیسا مقادیر ممکن را رسم می کنیم. x iو در امتداد محور y - احتمالات مربوطه p i. بیایید امتیاز بسازیم م 1 (1;0,2), م 2 (3;0,1), م 3 (6؛ 0.4) و م 4 (8؛ 0.3). با اتصال این نقاط با پاره خط، چند ضلعی توزیع مورد نظر را بدست می آوریم.

§2. ویژگی های عددیمتغیرهای تصادفی

یک متغیر تصادفی کاملاً با قانون توزیع مشخص می شود. توصیف متوسط ​​یک متغیر تصادفی را می توان با استفاده از ویژگی های عددی آن به دست آورد

2.1. ارزش مورد انتظار پراکندگی.

اجازه دهید یک متغیر تصادفی مقادیری با احتمالات را بگیرد.

تعریف. انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن آن و احتمالات مربوطه است:

ویژگی های انتظار ریاضی.

پراکندگی یک متغیر تصادفی در اطراف مقدار میانگین با واریانس و انحراف استاندارد مشخص می شود.

واریانس یک متغیر تصادفی نامیده می شود ارزش مورد انتظارانحراف مجذور یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی آن:

برای محاسبات از فرمول زیر استفاده می شود

خواص پراکندگی

2. که در آن متغیرهای تصادفی مستقل متقابل هستند.

3. انحراف معیار.

وظیفه 16.انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ز = X+ 2Y، اگر انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی مشخص باشد ایکسو Y: م(ایکس) = 5, م(Y) = 3.

راه حل. ما از ویژگی های انتظار ریاضی استفاده می کنیم. سپس دریافت می کنیم:

م(X+ 2Y)= م(ایکس) + م(2Y) = م(ایکس) + 2م(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

وظیفه 17.واریانس یک متغیر تصادفی ایکسبرابر 3. واریانس متغیرهای تصادفی را بیابید: الف) –3 ایکس؛ب) 4 ایکس + 3.

راه حل. بیایید خواص 3، 4 و 2 پراکندگی را اعمال کنیم. ما داریم:

آ) D(–3ایکس) = (–3) 2 D(ایکس) = 9D(ایکس) = 9 . 3 = 27;

ب) D(4X + 3) = D(4ایکس) + D(3) = 16D(ایکس) + 0 = 16 . 3 = 48.

وظیفه 18.یک متغیر تصادفی مستقل داده می شود Yتعداد امتیازهایی است که با پرتاب یک قالب به دست می آید. قانون توزیع، انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را بیابید Y.

راه حل.جدول توزیع متغیر تصادفی Yبه نظر می رسد:

سپس م(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3.5;

D(Y) \u003d (1 - 3.5) 2 1/6 + (2 - 3.5) 2 / 6 + (3 - 3.5) 2 1/6 + (4 - 3.5) 2 / 6 + (5 - 3.5 -) 2 1/ 6 + (6 - 3.5) 2. 1/6 \u003d 2.917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

تجربه عبارت است از هرگونه اجرای شرایط و اعمال معینی که تحت آن پدیده تصادفی مورد مطالعه مشاهده می شود. آزمایش ها را می توان هم از نظر کیفی و هم از نظر کمی مشخص کرد. مقدار تصادفی کمیتی است که در نتیجه آزمایش می تواند یک یا مقدار دیگری را به خود بگیرد و از قبل مشخص نیست که کدام یک.

معمولاً متغیرهای تصادفی (X,Y,Z) و مقادیر مربوطه (x,y,z) نشان داده می‌شوند.

گسسته به متغیرهای تصادفی گفته می شود که مقادیر جداگانه ای جدا شده از یکدیگر می گیرند که می توان آنها را بیش از حد تخمین زد. کمیت های پیوسته که مقادیر ممکن آنها به طور مداوم یک محدوده مشخص را پر می کند. قانون توزیع یک متغیر تصادفی هر رابطه ای است که بین مقادیر احتمالی متغیرهای تصادفی و احتمالات مربوط به آنها رابطه برقرار می کند. توزیع سری و چند ضلعی ساده ترین شکل قانون توزیع کمیت گسستهسری توزیع است. تفسیر گرافیکیسری توزیع یک چند ضلعی توزیع است.

همچنین می توانید اطلاعات مورد علاقه خود را در موتور جستجوی علمی Otvety.Online بیابید. از فرم جستجو استفاده کنید:

اطلاعات بیشتر در مورد موضوع 13. متغیر تصادفی گسسته. چند ضلعی توزیع عملیات با متغیرهای تصادفی، به عنوان مثال:

1. 13. متغیر تصادفی گسسته و قانون توزیع آن. چند ضلعی توزیع عملیات با متغیرهای تصادفی مثال.
2. مفهوم "متغیر تصادفی" و توصیف آن. متغیر تصادفی گسسته و قانون توزیع آن (سری). متغیرهای تصادفی مستقل مثال ها.
3. 14. متغیرهای تصادفی، انواع آنها. قانون توزیع احتمالات یک متغیر تصادفی گسسته (DSV). روش های ساخت متغیرهای تصادفی (RV).
4. 16. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته. ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی گسسته: انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار.
5. عملیات ریاضی روی متغیرهای تصادفی گسسته و نمونه هایی از ساخت قوانین توزیع برای KX، X"1، X + K، XV با توجه به توزیع های داده شده از متغیرهای تصادفی مستقل X و Y.
6. مفهوم متغیر تصادفی قانون توزیع یک مورد گسسته. مقادیر. عملیات ریاضی روی موارد مقادیر.

متغیر تصادفیکمیتی نامیده می شود که در نتیجه آزمایش می تواند یک یا مقدار دیگری را به خود بگیرد که از قبل مشخص نیست. متغیرهای تصادفی هستند ناپیوسته (گسسته)و مداومنوع مقادیر احتمالی مقادیر ناپیوسته را می توان از قبل برشمرد. مقادیر ممکن مقادیر پیوسته را نمی توان از قبل برشمرد و به طور مداوم یک شکاف مشخص را پر می کند.

مثالی از متغیرهای تصادفی گسسته:

1) تعداد ظاهر نشان در سه پرتاب سکه. (مقادیر ممکن عبارتند از 0;1;2;3)

2) فراوانی ظهور نشان در همان آزمایش. (مقادیر ممکن)

3) تعداد عناصر خراب در یک دستگاه متشکل از پنج عنصر. (مقادیر ممکن عبارتند از 0;1;2;3;4;5)

نمونه هایی از متغیرهای تصادفی پیوسته:

1) آبسیسا (مرتب) نقطه برخورد هنگام شلیک.

2) فاصله از نقطه برخورد تا مرکز هدف.

3) زمان عملکرد بدون خرابی دستگاه (لوله های رادیویی).

متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ و مقادیر احتمالی آنها با حروف کوچک مربوطه نشان داده می شوند. به عنوان مثال، X تعداد ضربه با سه ضربه است. مقادیر ممکن: X 1 = 0، X 2 = 1، X 3 = 2، X 4 = 3.

یک متغیر تصادفی ناپیوسته X با مقادیر ممکن X 1 , X 2 , … , X n را در نظر بگیرید. هر یک از این مقادیر ممکن است، اما قطعی نیست، و مقدار X می تواند هر یک از آنها را با احتمالی بگیرد. در نتیجه آزمایش، کمیت X یکی از این مقادیر را می گیرد، یعنی یکی از گروه کامل رویدادهای ناسازگار رخ می دهد.

اجازه دهید احتمالات این رویدادها را با حروف p با شاخص های مربوطه نشان دهیم:

از آنجایی که رویدادهای ناسازگار یک گروه کامل را تشکیل می دهند، پس

یعنی مجموع احتمالات همه مقادیر ممکن متغیر تصادفی برابر با 1 است. این احتمال کل به نوعی بین مقادیر فردی توزیع می شود. اگر این توزیع را مشخص کنیم، یک متغیر تصادفی کاملاً از دیدگاه احتمالی توضیح داده می شود، یعنی دقیقاً مشخص کنیم که هر یک از رویدادها چه احتمالاتی دارند. (این به اصطلاح قانون توزیع متغیرهای تصادفی را ایجاد می کند.)

قانون توزیع یک متغیر تصادفیهر رابطه ای که بین مقادیر احتمالی یک متغیر تصادفی و احتمال مربوطه ارتباط برقرار کند نامیده می شود. (در مورد یک متغیر تصادفی، خواهیم گفت که تابع قانون توزیع معین است)

ساده ترین شکل تعیین قانون توزیع یک متغیر تصادفی جدولی است که مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوط به آنها را فهرست می کند.

میز 1.

X i	x1	x2	…	X n
پی	P1	P2	…	P n

چنین جدولی نامیده می شود نزدیک توزیعمتغیرهای تصادفی.

برای دادن شکل بصری به سری توزیع، آنها به نمایش گرافیکی آن متوسل می شوند: مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی در امتداد محور آبسیسا رسم می شود و احتمالات این مقادیر در امتداد محور ارتین رسم می شود. (برای وضوح، نقاط به دست آمده توسط پاره خط به هم متصل می شوند.)

شکل 1 - چند ضلعی توزیع

چنین رقمی نامیده می شود چند ضلعی توزیع. چند ضلعی توزیع، مانند سری توزیع، به طور کامل متغیر تصادفی را مشخص می کند. این شکلی از قانون توزیع است.

مثال:

یک آزمایش انجام می شود که در آن رویداد A ممکن است ظاهر شود یا نباشد.احتمال رویداد A = 0.3. یک متغیر تصادفی X در نظر گرفته می شود - تعداد وقوع رویداد A در این آزمایش. ساخت یک سری و چند ضلعی از توزیع X ضروری است.

جدول 2.

X i
پی	0,7	0,3

شکل 2 - تابع توزیع

تابع توزیعیک مشخصه جهانی یک متغیر تصادفی است. برای همه متغیرهای تصادفی وجود دارد: هم ناپیوسته و هم غیرپیوسته. تابع توزیع به طور کامل یک متغیر تصادفی را از دیدگاه احتمالی مشخص می کند، یعنی یکی از اشکال قانون توزیع است.

برای تعیین کمیت این توزیع احتمال، استفاده از احتمال رخداد X=x، بلکه از احتمال رویداد X راحت است.

تابع توزیع F(x) گاهی اوقات تابع توزیع انتگرال یا قانون توزیع انتگرال نیز نامیده می شود.

ویژگی های تابع توزیع یک متغیر تصادفی

1. تابع توزیع F(x) یک تابع غیر نزولی آرگومان آن است، یعنی برای ;

2. در منهای بی نهایت:

3. روی پلاس بی نهایت:

شکل 3 - نمودار تابع توزیع

نمودار تابع توزیعدر حالت کلی، نمودار یک تابع بدون کاهش است که مقادیر آن از 0 شروع می شود و به 1 می رسد.

با دانستن سری توزیع یک متغیر تصادفی، می توان تابع توزیع یک متغیر تصادفی را ساخت.

مثال:

برای شرایط مثال قبلی، یک تابع توزیع از یک متغیر تصادفی بسازید.

بیایید تابع توزیع X را بسازیم:

شکل 4 - تابع توزیع X

تابع توزیعاز هر متغیر تصادفی گسسته ناپیوسته، همیشه یک تابع گام ناپیوسته وجود دارد که جهش های آن در نقاط مربوط به مقادیر ممکن متغیر تصادفی رخ می دهد و برابر با احتمالات این مقادیر است. مجموع تمام جهش ها در تابع توزیع 1 است.

با افزایش تعداد مقادیر ممکن متغیر تصادفی و کاهش فواصل بین آنها، تعداد پرش ها بزرگتر می شود و خود پرش ها کوچکتر می شوند:

شکل 5

منحنی گام صاف تر می شود:

شکل 6

یک متغیر تصادفی به تدریج به یک مقدار پیوسته نزدیک می شود و تابع توزیع آن به یک تابع پیوسته نزدیک می شود. همچنین متغیرهای تصادفی وجود دارند که مقادیر ممکن آنها به طور مداوم یک شکاف مشخص را پر می کند، اما تابع توزیع آنها در همه جا پیوسته نیست. و در برخی نقاط می شکند. چنین متغیرهای تصادفی مختلط نامیده می شوند.

شکل 7