Критерій Дарбіна-Уотсона (або статистика DW).

Це найвідоміший критерій виявлення автокореляції першого порядку. Статистика Дарбіна - Вотсона наводиться у всіх спеціальних комп'ютерних програмах як одна з найважливіших характеристик якості регресійної моделі.

Спочатку за побудованим емпіричним рівнянням регресії

визначаються значення відхилень Розраховується

статистика

0 позитивна автокореляція;

dt зона невизначеності;

d u - d u -автокореляція відсутня;

• 4 - d u
• 4 - d/ негативна автокореляція.

Можна показати, що статистика (2.64) тісно пов'язана з коефіцієнтом автокореляції першого порядку:

Зв'язок виражається формулою:

Звідси випливає значення статистичного аналізу автокореляції. Оскільки значення гзмінюються від -1 до + 1, DWзмінюється від 0 до 4. Коли автокореляція відсутня, коефіцієнт автокореляції дорівнює нулю, і статистика DWдорівнює 2. Статистика DW,рівна 0, відповідає позитивній автокореляції, коли вираз у дужках дорівнює нулю (г= +1). При негативній автокореляції (г= - 1), DW= 4 і вираз у дужках дорівнює двом.

Обмеження критерію Дарбіна - Вотсона наступні.

• 1. Статистика DWзастосовується лише тих моделей, які містять вільний член.
• 2. Передбачається, що випадкові відхилення визначаються за ітераційною схемою

• 3. Статистичні дані повинні мати однакову періодичність (не повинно бути перепусток у спостереженнях).
• 4. Критерій Дарбіна - Вотсона не застосовується до авторегресійних моделей виду

Для моделей (2.66) пропонується /г-статистика Дарбіна:

де р - Оцінка р першого порядку (2.65);

D(c)- вибіркова дисперсія коефіцієнта при лаговій змінній у, _ ь п- Число спостережень.

При великому пта справедливості нуль-гіпотези Н 0:р = 0 І-статистика має стандартний розподіл h ~ N( 0, 1). Тому при заданому рівні значущості визначається критична точка із умови:

та Л-статистика порівнюється з іар..Якщо І > іа/2 , то нуль-гіпотеза про відсутність автокореляції має бути відхилена. В іншому випадку вона не відхиляється.

Зазвичай значення р розраховується у першому наближенні за формулою р&1- DIV /2, a D(c)дорівнює квадрату стандартної помилки т зоцінки коефіцієнта с.Слід зазначити, що обчислення /г-статистики неможливе при nD(c) > 1.

Автокореляція найчастіше викликається неправильною специфікацією моделі. Тому слід спробувати скоригувати саму модель, зокрема ввести якийсь неврахований фактор або змінити форму моделі, наприклад, з лінійною на напівлогарифмічну або гіперболічну. Якщо ці способи не допомагають і автокореляція викликана якимись внутрішніми властивостями ряду (е,), можна скористатися перетворенням, яке називається авторегрессионной схемою першого порядку AR( 1).

Розглянемо /Щ1) з прикладу парної регресії:

Тоді сусіднім спостереженням згідно (2.68) відповідають формули:

Якщо випадкові відхилення визначаються виразом (2.65), де коефіцієнт р відомий, перетворення формул (2.69) і (2.70) дає:

Зробимо в (2.71) заміни змінних: отримаємо з урахуванням виразу (2.65):

Оскільки випадкові відхилення, задовольняють передумов МНК, оцінки аі bрівняння (2.73) володітимуть властивостями найкращих лінійних незміщених оцінок. За перетвореними значеннями всіх змінних за допомогою звичайного МНК обчислюються оцінки параметрів аі Ь,які потім можна використовувати у регресії (2.68).

Однак спосіб обчислення перетворених змінних (2.72) призводить до втрати першого спостереження, якщо немає інформації про попередні спостереження. Це зменшує на одиницю число ступенів свободи, що з великих вибірках дуже істотно, проте за малих вибірках призводить до втрати ефективності. Тоді перше спостереження відновлюється за допомогою виправлення Прайса-Уінстена:

Для перетворення /Щ1), а також при запровадженні поправок (2.74) важливо оцінити коефіцієнт авторегресії нар. Це робиться кількома способами. Найпростіше - оцінити р на основі статистики

де гбереться як оцінка р.

Формула (2.75) добре працює при великому числіспостережень.

Існують і інші методи оцінювання р: метод Кокрена-Оркатта та метод Хілдрета-Лу. Розглянемо метод Кокрена-Оркатта покроково:

• 1. Спочатку до неперетвореним вихідним даним застосовується звичайний МНК, котрій розраховуються залишки.
• 2. Потім як наближеного значення коефіцієнта авторегресії р береться його МНК-оцінка в регресії (2.65).
• 3. Проводиться перетворення вихідних змінних за формулами (2.72), і до перетворених даних застосовується МНК визначення нових оцінок параметрів аі Ь.
• 4. Процедура повторюється, починаючи із п. 2.

Процес зазвичай закінчується, коли чергове наближення р мало відрізняється від попереднього. Іноді просто фіксується кількість ітерацій. Така процедура реалізована у більшості економетричних комп'ютерних програм.

де Ду, = у, - у 1, Дх, = х, - х,_ 1 - так звані перші різниці (назад).

З рівняння (2.76) за МНК оцінюється коефіцієнт Ь.Параметр атут не визначається безпосередньо, однак із МНК відомо, що а = у -Ьх.

У разі р = -1, склавши (2.69) та (2.70) з урахуванням (2.65), отримуємо рівняння регресії.

Критерій Дарбіна - Вотсона (або DW-критерій) - статистичний критерій, що використовується для знаходження автокореляції першого порядку елементів послідовності, що досліджується. Найчастіше застосовується при аналізі часових рядів та залишків регресійних моделей. Критерій названий на честь Джеймса Дарбіна та Джеффрі Вотсона. Критерій Дарбіна - Вотсона розраховується за такою формулою

де ρ1 – коефіцієнт автокореляції першого порядку.

У разі відсутності автокореляції d = 2 при позитивній автокореляції d прагне до нуля, а при негативній - до 4:

На практиці застосування критерію Дарбіна - Уотсона засноване на порівнянні величини d з теоретичними значеннями dL та dU для заданих числа спостережень n, числа незалежних змінних моделі k та рівня значущості α.

Якщо d< dL, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);

Якщо d> dU, то гіпотеза не відкидається;

Якщо dL< d < dU, то нет достаточных оснований для принятия решений.

Коли розрахункове значення d перевищує 2, з dL і dU порівнюється не сам коефіцієнт d, а вираз (4 − d).

Також за допомогою даного критерію виявляють наявність коінтеграції між двома рядами тимчасовими. І тут перевіряють гіпотезу у тому, що фактичне значення критерію дорівнює нулю. За допомогою методу Монте-Карло було отримано критичні значення для заданих рівнів значущості. Якщо фактичне значення критерію Дарбіна - Вотсона перевищує критичне, то нульову гіпотезу про відсутність коінтеграції відкидають.

Недоліки:

Не здатний виявляти автокореляцію другого та більш високих порядків.

Дає достовірні результати лише для великих вибірок.

13. Порівнянні показники тісноти зв'язку

До порівнянних показників тісноти зв'язку відносяться:

1) коефіцієнти приватної еластичності;

2) стандартизовані приватні коефіцієнти регресії;

3) окремий коефіцієнт детермінації.

Якщо факторні змінні мають непорівнянні одиниці виміру, то зв'язок між ними вимірюється за допомогою сумірних показників тісноти зв'язку. За допомогою сумірних показників тісноти зв'язку характеризується ступінь залежності між факторною та результативною змінними в моделі множинної регресії.

Коефіцієнт приватної еластичності розраховується за такою формулою:

- Середнє значення факторної змінної xi за вибірковою сукупністю,

- Середнє значення результативної змінної у по вибірковій сукупності;

– перша похідна результативної змінної у факторної змінної х.

Приватний коефіцієнт еластичності вимірюється у відсотках і характеризує обсяг зміни результативної змінної при зміні на 1 % від середнього рівня факторної змінної xi за умови сталості всіх інших факторних змінних, включених в модель регресії.

Для лінійної моделі регресії приватний коефіцієнт еластичності розраховується за такою формулою:

де βi - коефіцієнт моделі множинної регресії.

Щоб розрахувати стандартизовані приватні коефіцієнти регресії, необхідно побудувати модель множинної регресії в стандартному (нормованому) масштабі. Це означає, що всі змінні, включені до моделі регресії, стандартизуються за допомогою спеціальних формул. За допомогою процесу стандартизації точкою відліку кожної нормованої змінної встановлюється її середнє значення з вибіркової сукупності. При цьому як одиниця виміру стандартизованої змінної приймається її середньоквадратичне відхилення β.

Факторна змінна х переводиться в стандартизований масштаб за формулою:

де xij - значення змінної xj в i-тому спостереженні;

G(xj) – середньоквадратичне відхилення факторної змінної xi;

Результативна змінна у перекладається в стандартизований масштаб за формулою:

де G(y) - середньоквадратичне відхилення результативної змінної у.

Стандартизовані приватні коефіцієнти регресії характеризують, яку частку свого середньоквадратичного відхилення G(y) зміниться результативна змінна у при зміні факторної змінної х на величину свого середньоквадратичного відхилення G(x), за умови сталості всіх інших факторних змінних, включених в модель регресії.

Стандартизований приватний коефіцієнт регресії характеризує ступінь безпосередньої чи прямої залежності між результативною та факторною змінними. Але у зв'язку з тим, що між факторними змінними, включеними в модель множинної регресії, існує залежність, факторна змінна не лише прямий, але й опосередкований вплив на результативну змінну.

Приватний коефіцієнт детермінації використовується для характеристики ступеня непрямого впливу факторної змінної на результативну змінну у:

де βi - стандартизований приватний коефіцієнт регресії;

r(xixj) – коефіцієнт приватної кореляції між факторними змінними xi та xj.

Приватний коефіцієнт детермінації характеризує, наскільки відсотків варіація результативної змінної викликана варіацією i-ої факторної змінної, включеної в модель множинної регресії, за умови сталості решти всіх факторних змінних, включених в модель регресії.

Стандартизовані приватні коефіцієнти регресії та окремі коефіцієнти еластичності можуть давати різні результати. Ця розбіжність може бути пояснена, наприклад, занадто великою величиною середньоквадратичного відхилення однієї з факторних змінних або ефектом неоднозначного впливу однієї з факторних змінних на результативну змінну.

де ρ 1 – коефіцієнт автокореляції першого порядку.

У разі відсутності автокореляції помилок d= 2 при позитивній автокореляції d прагне до нуля, а при негативній прагне до 4:

На практиці застосування критерію Дарбіна-Уотсона ґрунтується на порівнянні величини dз теоретичними значеннями d Lі d Uдля заданої кількості спостережень n, числа незалежних змінних моделі kта рівня значущості α.

1. Якщо d < d L, то гіпотеза про незалежність випадкових відхиленьвідкидається (отже є позитивна автокореляція);
2. Якщо d > d U, то гіпотеза не відкидається;
3. Якщо d L < d < d U, то немає достатніх підстав для ухвалення рішень.

Коли розрахункове значення dперевищує 2, то з d Lі d Uпорівнюється не сам коефіцієнт d, а вираз (4 − d) .

Також за допомогою даного критерію виявляють наявність коінтеграції між двома тимчасовими рядами. І тут перевіряють гіпотезу у тому, що фактичне значення критерію дорівнює нулю. За допомогою методу Монте-Карло було отримано критичні значення для заданих рівнів значущості. Якщо фактичне значення критерію Дарбіна-Уотсона перевищує критичне, то нульову гіпотезу про відсутність коінтеграції відкидають.

Недоліки

h-критерій Дарбіна

Критерій hДарбіна застосовується для виявлення автокореляції залишків у моделі з розподіленими лагами:

• де n- Число спостережень у моделі;
• V- стандартна помилка лагової результативної змінної.

При збільшенні обсягу вибірки розподіл h-статистики прагне нормального з нульовим математичним очікуванням і дисперсією , що дорівнює 1. Тому гіпотеза про відсутність автокореляції залишків відкидається, якщо фактичне значення h-статистики виявляється більше, ніж критичне значення нормального розподілу.

Критерій Дарбіна-Уотсона для панельних даних

Для панельних даних використовується трохи видозмінений критерій Дарбіна-Уотсона:

На відміну від критерію Дарбіна-Уотсона для тимчасових рядів у цьому випадку область невизначеності є дуже вузькою, особливо для панелей з великою кількістюіндивідуумів.

Див. також

• Метод рядів
• Q-тест Льюнга-Бокса
• Метод Кочрена-Оркатта

Примітки

Література

• Anayolyev S. Durbin–Watson статистичні та радіаційні індивідуальні ефекти // Econometric Theory (Problems and Solutions). - 2002-2003.

Посилання

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Критер Дарбіна-Уотсона" в інших словниках:

Критерій Дарбіна Вотсона (або DW критерій) – статистичний критерій, що використовується для тестування автокореляції першого порядку елементів досліджуваної послідовності. Найчастіше застосовується при аналізі тимчасових рядів і ... Вікіпедія

Дарбіна - Уотсона критерій- умовний показник, який застосовується виявлення автокореляції в часових рядах (позначається d). Показник d обчислюється за формулою де yt+1 та yt відповідні рівні ряду. При відсутності… … Економіко-математичний словник

Дарбіна-Уотсона критерій- умовний показник, який застосовується для виявлення автокореляції у часових рядах (позначається d). Показник d обчислюється за такою формулою: де yt+1 і yt відповідні рівні низки. За відсутності автокореляції у досліджуваному ряді показник … Довідник технічного перекладача

Автокореляція статистичний взаємозв'язок між випадковими величинамиз одного ряду, але взятих зі зсувом, наприклад, для випадкового процесу зі зсувом за часом. Це поняття широко використовується в економетриці. Наявність… … Вікіпедія

Тест Бройша Годфрі, званий також LM тест Бройша Годфрі на автокореляцію (англ. Breusch Godfrey serial correlation LM test застосовується в економетриці процедура перевірки автокореляції довільного порядку у випадкових… …

Статистичний критерій, призначений для знаходження автокореляції часових рядів. Замість тестування на випадковість кожного окремого коефіцієнта, він перевіряє на відміну від нуля одразу кілька коефіцієнтів автокореляції: де n… … Вікіпедія

Статистичний критерій, призначений для знаходження автокореляції часових рядів. Замість тестування на випадковість кожного окремого коефіцієнта, він перевіряє на відміну від нуля відразу кілька коефіцієнтів автокореляції.

Статистика Бокса Пірса – статистичний критерій, призначений для знаходження автокореляції часових рядів. Замість тестування на випадковість кожного окремого коефіцієнта, він перевіряє на відміну від нуля одразу кілька коефіцієнтів… Вікіпедія

Тест Льюнг Бокса статистичний критерій, призначений для знаходження автокореляції часових рядів. Замість тестування на випадковість кожного окремого коефіцієнта, він перевіряє на відміну від нуля відразу кілька коефіцієнтів.

Графік 100 випадкових величин із прихованою синусоїдою. Автокореляційна функціядозволяє побачити періодичність у низці даних. Автокореляція статистичний взаємозв'язок між випадковими величинами з одного ряду, але взятих зі зрушенням, …

Перевірка адекватності трендових моделей реальному процесу будується з урахуванням аналізу випадкової компоненти. У розрахунках випадкова компонента замінюється залишками, що є різницею фактичних і розрахункових значень.

При правильному виборітренда відхилення від нього носитимуть випадковий характер. Якщо вид функції обраний невдало, то послідовні значення залишків можуть мати властивістю незалежності, тобто. вони можуть корелювати між собою. У цьому випадку кажуть, що має місце автокореляція помилок.

Існує кілька прийомів виявлення автокореляції. Найбільш поширеним є критерій Дарбіна – Вотсона. Цей критерій пов'язаний із гіпотезою про існування автокореляції першого порядку. Його значення визначаються за формулою

. (2.29)

Для розуміння сенсу цієї формули перетворимо її, зробивши попереднє припущення, поклавши . Безпосереднє перетворення формули здійснюється так:

.

При досить великому сума з доданків значно перевищує суму із двох доданків і тому ставленням цих величин можна знехтувати. Крім того, ставлення у квадратних дужках в силу того, що , можна вважати коефіцієнтною кореляцією між і . Таким чином, критерій Дарбіна - Вотсона записується у вигляді

. (2.30)

Отримане уявлення критерію дозволяє зробити висновок, що статистика Дарбіна - Вотсона пов'язує з вибірковим коефіцієнтом кореляції. Таким чином, значення критерію може вказувати на наявність або відсутність автокореляції в залишках. Причому, якщо , то . Якщо (позитивна автокореляція), то ; якщо (негативна автокореляція), то .

Статистично значуща впевненість у наявності чи відсутності автокореляції визначається за допомогою таблиці критичних точокрозподілу Дарбіна – Вотсона. Таблиця дозволяє за заданим рівнем значущості , числу спостережень та кількості змінних у моделі визначити два значення: – нижня межа та – верхня межа.

Таким чином, алгоритм перевірки автокорелювання залишків за критерієм Дарбіна – Вотсона наступний:

1) Побудова трендової залежності за допомогою звичайного МНК

2) Обчислення залишків

для кожного спостереження ( );

добре ілюструється графічною схемою на рис. 3.1.

Рис. 2.1. Графічна схемаперевірки автокорелюваності залишків

Критерій Дарбіна-Уотсона (або DW-критерій) – статистичний критерій, що використовується для знаходження автокореляції залишків першого порядку регресійної моделі. Критерій названий на честь Джеймса Дарбіна та Джеффрі Вотсона. Критерій Дарбіна-Уотсона розраховується за такою формулою:

де ρ 1 – коефіцієнт автокореляції першого порядку.

У разі відсутності автокореляції помилок d= 2, за позитивної автокореляції d прагне до нуля, а при негативній прагне до 4:

На практиці застосування критерію Дарбіна-Уотсона ґрунтується на порівнянні величини dз теоретичними значеннями d Lі d Uдля заданої кількості спостережень n, числа незалежних змінних моделі kта рівня значущості α.

Якщо d < d L, то гіпотеза про незалежність випадкових відхилень відкидається (отже є позитивна автокореляція);

Якщо d > d U, то гіпотеза не відкидається;

Якщо d L < d < d U, то немає достатніх підстав для ухвалення рішень.

Коли розрахункове значення dперевищує 2, то з d Lі d Uпорівнюється не сам коефіцієнт d, а вираз (4 − d).

Також за допомогою даного критерію виявляють наявність коінтеграції між двома рядами тимчасовими. І тут перевіряють гіпотезу у тому, що фактичне значення критерію дорівнює нулю. За допомогою методу Монте-Карло було отримано критичні значення для заданих рівнів значущості. Якщо фактичне значення критерію Дарбіна-Уотсона перевищує критичне, то нульову гіпотезу про відсутність коінтеграції відкидають.

Не здатний виявляти автокореляцію другого та більш високих порядків.

Дає достовірні результати лише для великих вибірок].

Критерій hДарбіна застосовується для виявлення автокореляції залишків у моделі з розподіленими лагами:

де n- Число спостережень у моделі;

V- стандартна помилка лагової результативної змінної.

При збільшенні обсягу вибірки розподіл h-статистики прагне нормального з нульовим математичним очікуваннямі дисперсією, що дорівнює 1. Тому гіпотеза про відсутність автокореляції залишків відкидається, якщо фактичне значення h-Статистики виявляється більше, ніж критичне значення нормального розподілу.

Критерій Дарбіна-Уотсона для панельних даних

Для панельних даних використовується трохи видозмінений критерій Дарбіна-Уотсона:

На відміну від критерію Дарбіна-Уотсона для тимчасових рядів, у цьому випадку область невизначеності є дуже вузькою, особливо для панелей з великою кількістю індивідуумів.

1. Методи виключення автокореляції (відхилень від тренду, послідовних різниць, включення чинника часу).

Сутність всіх методів виключення тенденції у тому, щоб усунути вплив чинника часу формування рівнянь часового ряду. Основні методи ділять на 2 групи:

Засновані на перетворенні рівнів ряду в нові змінні, що не містять тенденцій. Отримані змінні використовуємо далі для аналізу взаємозв'язку тимчасових рядів, що вивчаються. Ці методи передбачають усунення трендової компоненти Тз кожного рівня часового ряду. 1.Метод послідовних різниць. 2.Метод відхилення від трендів.

Засновані на вивченні взаємозв'язків вихідних рівнів часових рядів за винятком впливу фактора часу на залежну та незалежні змінні моделі: включення до моделі регресії фактора часу.