Число періодів за якими розраховується коефіцієнт автокореляції. Коефіцієнт автокореляції, його властивості
При обробці часових рядів необхідно враховувати наявність автокореляціїі авторегресії, При яких значення наступного рівня ряду залежать від попередніх значень.
Автокореляція– явище взаємозв'язку між рядами: початковим і тим самим поруч зрушеним щодо початкового становища на h моментів часу.
Кількісно автокореляцію можна виміряти за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції між рівнями вихідного часового ряду та рівнями цього ряду, зрушеними на кілька кроків у часі.
Формула для розрахунку коефіцієнта автокореляції має вигляд:
Цю величину називають коефіцієнтом автокореляціїрівнів першого порядку, оскільки він вимірює залежність між сусідніми рівнями ряду і .
Аналогічно можна визначити коефіцієнти автокореляції другого та вищих порядків. Так, коефіцієнт автокореляції другого порядку характеризує тісноту зв'язку між рівнями та визначається за формулою:
де
Зсув між сусідніми рівнями або зрушеними на будь-яку кількість періодів часу називають тимчасовим лагом . Зі збільшенням лага число пар значень, якими розраховується коефіцієнт автокореляції, зменшується. Вважається за доцільне для забезпечення статистичної достовірності коефіцієнтів автокореляції використовувати правило – максимальний лаг повинен бути не більше.
Властивості коефіцієнта автокореляції.
1. Коефіцієнт кореляції будується за аналогією до лінійним коефіцієнтомкореляції і таким чином характеризує тісноту лише лінійного зв'язку поточного та попереднього рівнів ряду. Тому за коефіцієнтом автокореляції можна будувати висновки про наявності лінійної (чи близької до лінійної) тенденції. Для деяких часових рядів, що мають сильну нелінійну тенденцію (наприклад, параболу другого порядку або експоненту), коефіцієнт автокореляції рівнів вихідного ряду може наближатися до нуля.
2. За знаком коефіцієнта автокореляції не можна робити висновок про зростаючу або спадну тенденцію в рівнях ряду. Більшість часових рядів економічних даних містять позитивну автокореляцію рівнів, проте при цьому можуть мати спадну тенденцію.
Послідовність коефіцієнтів автокореляції рівнів першого, другого тощо. порядків називають автокореляційною функцієютимчасового ряду. Графік залежності її значень від величини лага (порядку коефіцієнта автокореляції) називається корелограмою.
Аналіз автокореляційної функції і корелограммы дозволяє визначити лаг, у якому автокореляція найбільш висока, отже, і лаг, у якому зв'язок між поточним і попередніми рівнями низки найтісніша, тобто. за допомогою аналізу автокореляційної функції та корелограми можна виявити структуру ряду.
Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції першого порядку, досліджуваний ряд містить лише тенденцію. Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції порядку, ряд містить циклічні коливання з періодичністю в моментів часу. Якщо жоден з коефіцієнтів автокореляції не є значущим, можна зробити одне з двох припущень щодо структури цього ряду: або ряд не містить тенденції і циклічних коливань, або містить сильну нелінійну тенденцію, для виявлення якої потрібно провести додатковий аналіз. Тому коефіцієнт автокореляції рівнів та автокореляційну функцію доцільно використовувати для виявлення у тимчасовому ряді наявності чи відсутності трендової компоненти та циклічної (сезонної) компоненти.
приклад 3.
Нехай є деякі умовні дані (таблиця 11) про загальну кількість товарної продукціїсклад підприємства.
Таблиця 11 - Загальна кількість товарної продукції, що надійшла на склад.
За наявності тенденції та циклічних коливань кожен наступний рівень ряду залежить від попереднього. Кількісне вираз ступеня зв'язку рівнів ряду за один або кілька періодів часу зв. коефіцієнт автокореляції. Вони бувають одного, двох, трьох і т.д. порядку.
p align="justify"> Коефіцієнт автокореляції показує тісноту зв'язку між рівнями ряду, зрушеними на 1 або більше крок.
Припустимо, що значення yt у поточному році залежать від значень минулого року, тоді значення попереднього року можна розрахувати за допомогою коефіцієнта автокореляції:
n -кількість даних
r 1 -коефіцієнт автокореляції 1го порядку 
Автокореляція дає інформацію про наявність чинника, що формує тенденцію низки.
Отримані значення коефіцієнта автокореляції 1-го і 2-го порядків свідчить про тісність залежності між поточними рівнями ряду та рівнями ряду попередніх періодів, а також свідчить про лінійну тенденцію. Періоди, якими розраховується коефіцієнт автокореляції називаються лагами. Для статистичної достовірності коефіцієнта автокореляції максимальний лаг може бути n/4.
Властивості коефіцієнта автокореляції:
Характеризує лише тісноту лінійного зв'язку поточного та попереднього рівнів ряду
У разі нелінійної тенденції коефіцієнт автокореляції може дорівнювати нулю
За знаком коефіцієнта автокореляції не можна зробити висновок про зростаючу або спадну тенденцію.
22. Кореляційна функція.
Послідовність коефіцієнтів автокореляції називається автокореляційною функцією. p align="justify"> Графік залежності її значень від величини коефіцієнтів автокореляції (порядків коефіцієнтів автокореляції) називають корелограмою. Аналіз автокореляційної функції та корелограми дозволяє визначити структуру часового ряду. Якщо найвищим виявляється коефіцієнт автокореляції 1-го порядку – це означає, що тимчасовий ряд містить тенденцію Т, якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції τ-ого порядку – це означає, що тимчасовий ряд містить сезонну або циклічну компоненту S з періодичністю τ моментів часу.
Якщо жоден з коефіцієнтів автокореляції не виявився значущим, це означає, що низка немає ні тенденції, ні сезонних чи циклічних коливань і потребує додаткових досліджень. У цьому випадку діє випадкова компонента чи перешкоди, чи має місце нелінійна залежність.
Аналіз автокореляційної функції дозволяє зробити висновок про те, що в тимчасовому ряді, що вивчається, є тенденція T (до зростання або спадання), сезонні коливання з розрахунковою періодичністю.
23. Визначення тенденції часового ряду.
Однією з найпоширеніших методів є побудова аналітичної функції, характеризує залежність рівнів від часу. Така аналітична функція називається трендом Т.
Визначення аналітичної функції називається вирівнюванням часового ряду.
Для побудови тренду найчастіше використовують такі (елементарні) функції:
Лінійна t = a + bt T = a + bt - лінійний тренд
Нелінійна:
а) поліноміальна yt = a + bt + ct 2 + ... + kt n
б) статечна
в) показова
a, b, c – параметри лінії тренду
Якщо є великий розмах коливань рівнів ряду необхідно провести процедуру, яка називається згладжування рівнів часового ряду.
24. Адитивна модель часового ряду.
виявлення структури часового ряду, тобто. визначення кількісних значень компонентів, що становлять рівні ряду, найчастіше використовують адитивну або мультиплікативну моделі часових рядів.
Адитивна модель: У = Т + S + E,
T-трендова компонента
S-сезонна компонента
E-випадкова компонента
Адитивна модель часового ряду використовується у разі, якщо амплітуда сезонних коливань практично не змінюється. У цьому передбачається, що це сезонні компоненти є постійними для різних типів.
Алгоритм побудови моделі. Процес побудови моделі включає наступні кроки:
Вирівнювання рівнів вихідного ряду методом ковзної середньої.
Розрахунок значень сезонної компоненти S
Усунення сезонної компоненти з вихідного рівня ряду та отримання вирівняних даних без S
Аналітичне вирівнювання рівнів ряду та розрахунок значень фактора Т
Розрахунок одержаних значень (Т*S) для кожного рівня ряду
Розрахунок абсолютних або відносних помилокмоделі.
(або 4.Визначення тенденції часового ряду та рівняння тренду; 5.Розрахунок абсолютних або відносних помилок моделі.)
Вступ
1. Суть та причини автокореляції
2. Виявлення автокореляції
3. Наслідки автокореляції
4. Методи усунення
4.1 Визначення
на основі статистики Дарбіна-УотсонаВисновок
Список використаної літератури
Вступ
Моделі, побудовані за даними, що характеризує один об'єкт за низку послідовних моментів (періодів), називаються моделями часових рядів. Тимчасовий ряд – це сукупність значень будь-якого показника за кілька послідовних моментів чи періодів. Застосування традиційних методів кореляційно-регресійного аналізу для вивчення причинно-наслідкових залежностей змінних, представлених у формі часових рядів, може призвести до низки серйозних проблем, що виникають як на етапі побудови, так і на етапі аналізу економетричних моделей. Насамперед ці проблеми пов'язані зі специфікою часових рядів як джерела даних в економетричному моделюванні.
Передбачається, що в загальному випадкукожен рівень часового ряду містить три основні компоненти: тенденцію (Т), циклічні або сезонні коливання (S) та випадкову компоненту (E). Якщо тимчасові ряди містять сезонні або циклічні коливання, то перед проведенням подальшого дослідження взаємозв'язку необхідно усунути сезонну або циклічну компоненту з рівнів кожного ряду, оскільки її наявність призведе до завищення справжніх показників сили та зв'язку тимчасових рядів, що вивчаються, у разі, якщо обидва ряди містять циклічні коливання однакової періодичності, або до заниження цих показників у разі, якщо сезонні або циклічні коливання містить тільки один із рядів або періодичність коливань у тимчасових рядах, що розглядаються, різна. Усунення сезонної компоненти з рівнів часових рядів можна проводити відповідно до методики побудови адитивної та мультиплікативної моделей. Якщо тимчасові ряди, що розглядаються, мають тенденцію, коефіцієнт кореляції по абсолютній величині буде високим, що в даному випадку є результат того, що х і у залежать від часу, або містять тенденцію. Для того щоб отримати коефіцієнти кореляції, що характеризують причинно-наслідковий зв'язок між рядами, що вивчаються, слід позбутися так званої хибної кореляції, викликаної наявністю тенденції в кожному ряді. Вплив фактору часу буде виражено у кореляційній залежності між значеннями залишків
за поточний та попередні моменти часу, яка отримала назву «автокореляція у залишках».1.Суть та причини автокореляції
Автокореляція – це взаємозв'язок послідовних елементів часового чи просторового ряду даних. В економетричних дослідженнях часто виникають і такі ситуації, коли дисперсія залишків стала, але спостерігається їх коваріація. Це називають автокореляцією залишків.
Автокореляція залишків найчастіше спостерігається тоді, коли економетрична модель будується з урахуванням часових рядів. Якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої незалежної змінної, буде спостерігатися і кореляція послідовних значень залишків. Автокореляція може бути наслідком помилкової специфікації економетричної моделі. Крім того, наявність автокореляції залишків може означати, що необхідно ввести в модель нову незалежну змінну.
Автокореляція в залишках є порушенням однієї з основних передумов МНК – передумови про випадковість залишків, отриманих за рівнянням регресії. Один із можливих шляхів вирішення цієї проблеми полягає у застосуванні до оцінки параметрів моделі узагальненого МНК.
Серед основних причин, що викликають появу автокореляції, можна виділити помилки специфікації, інерцію зміни економічних показників, ефект павутини, згладжування даних.
Помилки специфікації. Необлік моделі будь-якої важливої пояснюючої змінної чи неправильний вибір форми залежності зазвичай призводить до системним відхиленням точок спостережень від лінії регресії, що може зумовити автокореляцію.
Інерція. Багато економічні показники(наприклад, інфляція, безробіття, ВНП тощо) мають певну циклічність, пов'язану з хвилеподібністю ділової активності. Справді, економічне піднесення призводить до зростання зайнятості, скорочення інфляції, збільшення ВНП тощо. Це зростання триває до того часу, поки зміна кон'юнктури ринку й низки економічних показників призведе до уповільнення зростання, потім зупинці і руху назад аналізованих показників. У будь-якому випадку ця трансформація відбувається не миттєво, а має певну інертність.
Ефект павутиння. У багатьох виробничих та інших сферах економічні показники реагують зміну економічних умов із запізненням (тимчасовим лагом). Наприклад, пропозиція сільськогосподарської продукції реагує зміну ціни із запізненням (рівним періоду дозрівання врожаю). Велика вартість сільськогосподарської продукції минулого року викличе (швидше за все) її надвиробництво в поточному році, а отже, вартість на неї знизиться і т.д.
Згладжування даних. Найчастіше дані по деякому тривалому часовому періоду отримують усереднення даних по складових його підінтервалам. Це може призвести до певного згладжування коливань, які були всередині періоду, що розглядається, що в свою чергу може спричинити автокореляцію.
2.Виявлення автокореляції
Через невідомість значень параметрів рівняння регресії невідомими будуть також і справжні значення відхилень.
, T = 1,2 ... T. Тому висновки про їхню незалежність здійснюються на основі оцінок ,t=1,2…T, отримані з емпіричного рівняння регресії. Розглянемо можливі методи визначення автокореляції.2.1.Графічний метод
Існує кілька варіантів графічного визначення автокореляції. Один з них, що вказує на відхилення
з моментами t їх одержання (їх порядковими номерами i), наведено на рис. 2.1.Это звані послідовно-часові графіки. І тут по осі абсцис зазвичай відкладають або час (момент) отримання статистичних даних, або порядковий номер спостереження, а, по осі ординат- відхилення (або оцінки отклонений )
Рис.2.1. Природно припустити, що у рис 2.1. а-г є певні зв'язки між відхиленнями, тобто. автокореляція має місце. Відсутність залежності на рис. днайімовірніше свідчить про відсутність автокореляції.
Наприклад, на рис. 2.1.б відхилення спочатку переважно негативні, потім позитивні, потім знову негативні. Це свідчить про наявність між відхиленнями певної залежності.
2.2. Метод рядів
Цей метод досить простий: послідовно визначаються знаки відхилень
, T = 1,2 ... T. Наприклад,(-----)(+++++++)(---)(++++)(-),
Тобто. 5 "-", 7 "+", 3 "-", 4 "+", 1 "-" при 20 спостереженнях.
Ряд окреслюється безперервна послідовність однакових знаків. Кількість знаків у ряду називається довжиною ряду.
Візуальний розподіл знаків свідчить про невипадковий характер зв'язків між відхиленнями. Якщо рядів дуже мало в порівнянні з кількістю спостережень n, то цілком можлива позитивна кореляція авто. Якщо рядів занадто багато, то ймовірна негативна автокореляція.
2.3 Критерій Дарбіна-Уотсона
Найбільш відомим критерієм виявлення автокореляції першого порядку є критерій Дарбіна-Вотсоната розрахунок величини
(2.3.1)
Згідно (2.3.1) величина dІснує відношення суми квадратів різниць послідовних значень залишків до залишкової суми квадратів за моделлю регресії. Значення критерію Дарбіна – Вотсона вказується поряд із коефіцієнтом детермінації, значеннями t-і F-критеріїв.
Тимчасовий рядє нестаціонарнимякщо він містить такі систематичні складові як тренд і циклічність.
Нестаціонарні часові ряди характеризуються тим, що значення кожного наступного рівня часового ряду кореляційно залежать від попередніх значень.
Автокореляцією рівнів часового рядуназивається кореляційна залежність між справжніми та минулими значеннями рівнів даного ряду.
Лагомlназивається величина зсуву між рядами спостережень.
Лаг часового ряду визначає порядок коефіцієнта автокореляції. Наприклад, якщо рівні часового ряду x tі x t-1кореляційно залежні, то величина тимчасового лага дорівнює одиниці. Отже, ця кореляційна залежність визначається коефіцієнтом автокореляції першого порядку між рядами спостережень x 1 …x n–1і x 2 … x n. .Якщо лаг між рядами спостережень дорівнює двом, то дана кореляційна залежність визначається коефіцієнтом автокореляції другого порядку тощо.
При збільшенні величини лага на одиницю число пар значень, якими розраховується коефіцієнт автокореляції, зменшується на одиницю. Тому максимальний порядок коефіцієнта автокореляції рекомендується брати рівним n/4, де n– кількість рівнів часового ряду.
Автокореляція між рівнями часового ряду оцінюється за допомогою вибіркового коефіцієнта автокореляції, що розраховується за формулою:
де x t *x t-l– середнє арифметичне твори двох рядів спостережень, взятих з лагом l:
x t x 1+l ,x 2+l ,…,x n:
x t-l- Значення середнього рівня ряду x 1 ,x 2 ,…,x n–l:
G(x t), G(x t–l)– середні квадратичні відхилення, розраховані для рядів спостережень x 1+l ,x 2+l ,…,x nі x 1 ,x 2 ,…,x n–lвідповідно.
Структуру часового ряду можна визначити, розрахувавши кілька послідовних коефіцієнтів кореляції авто. В результаті даних обчислень можна виявити лаг lдля якого значення вибіркового коефіцієнта автокореляції r lє найбільшим.
Аналіз структури часового ряду за допомогою коефіцієнтів автокореляції стоїть на таких правилах:
1) досліджуваний часовий ряд містить лише трендову компоненту, якщо найбільшим є значення коефіцієнта автокореляції першого порядку r l–1;
2) досліджуваний часовий ряд містить трендову компоненту та коливання періодом l, якщо найбільшим є коефіцієнт автокореляції порядку l. Ці коливання може бути як циклічними, і сезонними;
3) якщо жоден із коефіцієнтів автокореляції r l(l=1,L ) не виявиться значимим, то робиться один із двох можливих висновків:
а) даний тимчасовий ряд не містить трендової і циклічної компонент, яке коливання викликані впливом випадкової компоненти, т. е. ряд є модель випадкового тренда;
б) даний тимчасовий ряд містить сильну нелінійну тенденцію, виявлення якої необхідно провести його додатковий аналіз.
Графічним способом аналізу структури часового ряду є побудова графіків автокореляційної та приватної автокореляційної функції.
Автокореляційною функцієюназивається функція оцінки коефіцієнта автокореляції залежно від величини часового лага між досліджуваними рядами.
Графік автокореляційної функції є корелограма.
Приватна автокореляційна функція відрізняється від автокореляційної функції тим, що з її побудові усувається кореляційна залежність між спостереженнями всередині лагів.
1. Він будується за аналогією з лінійним коефіцієнтом кореляції і таким чином характеризує тісноту лише лінійного зв'язку поточного та попереднього рівнів ряду. Тому за коефіцієнтом автокореляції можна будувати висновки про наявності лінійної (чи близької до лінійної) тенденції.
2. За знаком коефіцієнта автокореляції не можна робити висновок про зростаючу або спадну тенденцію в рівнях ряду. Більшість часових рядів економічних даних містять позитивну автокореляцію рівнів, проте при цьому можуть мати спадну тенденцію.
Послідовність коефіцієнтів автокореляції рівнів першого, другого тощо. порядків називають автокореляційною функцієютимчасового ряду. Графік залежності її значень від величини лага (порядку коефіцієнта автокореляції) називається корелограмою.
Аналіз автокореляційної функції і корелограммы дозволяє визначити лаг, у якому автокореляція найбільш висока, отже, і лаг, у якому зв'язок між поточним і попередніми рівнями низки найтісніша, тобто. за допомогою аналізу автокореляційної функції та корелограми можна виявити структуру ряду.
Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції першого порядку, досліджуваний ряд містить лише тенденцію. Якщо найбільш високим виявився коефіцієнт автокореляції порядку 2, ряд містить циклічні коливання з періодичністю в 2 моменти часу. Якщо жоден з коефіцієнтів автокореляції не є значущим, можна зробити одне з двох припущень щодо структури цього ряду: або ряд не містить тенденції і циклічних коливань, або містить сильну нелінійну тенденцію, для виявлення якої потрібно провести додатковий аналіз. Тому коефіцієнт автокореляції рівнів та автокореляційну функцію доцільно використовувати для виявлення у тимчасовому ряді наявності чи відсутності трендової компоненти та циклічної (сезонної) компоненти.
Розглянемо приклад. Нехай є деякі умовні дані про загальну кількість правопорушень на митниці одного із суб'єктів РФ (наприклад, Республіки Татарстан).
Таблиця 4.1
| Рік | Квартал | Кількість порушених справ, | |
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| IV | |||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| IV | |||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| IV | |||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| IV |
Побудуємо поле кореляції:
Вже з графіка видно, що значення утворюють пилкоподібну фігуру. Розрахуємо кілька послідовних коефіцієнтів автокореляції. Для цього складаємо першу допоміжну таблицю.
Таблиця 4.2
| – | – | – | – | – | – | ||
| -328,33 | -288,13 | 94601,72 | 107800,59 | 83018,90 | |||
| 169,67 | -292,13 | -49565,70 | 28787,91 | 85339,94 | |||
| 315,67 | 205,87 | 64986,98 | 99647,55 | 42382,46 | |||
| -342,33 | 351,87 | -120455,66 | 117189,83 | 123812,50 | |||
| -228,33 | -306,13 | 69898,66 | 52134,59 | 93715,58 | |||
| 292,67 | -192,13 | -56230,69 | 85655,73 | 36913,94 | |||
| 320,67 | 328,87 | 105458,74 | 102829,25 | 108155,48 | |||
| -309,33 | 356,87 | -110390,60 | 95685,05 | 127356,20 | |||
| -344,33 | -273,13 | 94046,85 | 118563,15 | 74600,00 | |||
| 292,67 | -308,13 | -90180,41 | 85655,73 | 94944,10 | |||
| 205,67 | 328,87 | 67638,69 | 42300,15 | 108155,48 | |||
| -238,33 | 241,87 | -57644,88 | 56801,19 | 58501,10 | |||
| -245,33 | -202,13 | 49588,55 | 60186,81 | 40856,54 | |||
| 220,67 | -209,13 | -46148,72 | 48695,25 | 43735,36 | |||
| 227,67 | 256,87 | 58481,59 | 51833,63 | 65982,20 | |||
| Сума | 9,05 | 0,05 | 74085,16 | 1153766,39 | 1187469,73 | ||
| Середнє значення | 699,33 | 663,13 | – | – | – | – | – |
Слід зазначити, що середнє значення виходить шляхом розподілу не так на 16, але в 15, т.к. у нас тепер на одне спостереження менше.
Тепер обчислюємо коефіцієнт автокореляції першого порядку за формулою (4.1):
Складаємо допоміжну таблицю для розрахунку коефіцієнта автокореляції другого порядку.
Таблиця 4.3
| – | – | – | – | – | – | ||
| – | – | – | – | – | – | ||
| 145,57 | -269,79 | -39273,33 | 21190,62 | 72786,64 | |||
| 291,57 | -273,79 | -79828,95 | 85013,06 | 74960,96 | |||
| -366,43 | 224,21 | -82157,27 | 134270,94 | 50270,12 | |||
| -252,43 | 370,21 | -93452,11 | 63720,90 | 137055,44 | |||
| 268,57 | -287,79 | -77291,76 | 72129,84 | 82823,08 | |||
| 296,57 | -173,79 | -51540,90 | 87953,76 | 30202,96 | |||
| -333,43 | 347,21 | -115770,23 | 111175,56 | 120554,78 | |||
| -368,43 | 375,21 | -138238,62 | 135740,66 | 140782,54 | |||
| 268,57 | -254,79 | -68428,95 | 72129,84 | 64917,94 | |||
| 181,57 | -289,79 | -52617,17 | 32967,66 | 83978,24 | |||
| -262,43 | 347,21 | -91118,32 | 68869,50 | 120554,78 | |||
| -269,43 | 260,21 | -70108,38 | 72592,52 | 67709,24 | |||
| 196,57 | -183,79 | -36127,60 | 38639,76 | 33778,76 | |||
| 203,57 | -190,79 | -38839,12 | 41440,74 | 36400,82 | |||
| Сума | -0,02 | -0,06 | -1034792,71 | 1037835,43 | 1116776,36 | ||
| Середнє значення | 723,43 | 644,79 | – | – | – | – | – |
Завантаження...