Смо з обмеженням часу очікування у черзі. Розрахунковий час очікування у черзі

Будемо використовувати наступні позначення для середнього значення часу очікування у черзі вимог із пріоритетного класу p - W p, та середнього часу перебування в системі для вимог цього класу - T p:

Основну увагу будемо приділяти системам із відносним пріоритетом. Розглянемо процес з моменту надходження певної вимоги із пріоритетного класу p. Далі називатимемо цю вимогу міченою. p align="justify"> Перша складова часу очікування для міченої вимоги пов'язана з вимогою, яке воно застає в сервері. Ця складова дорівнює залишковому часу обслуговування іншої вимоги. Позначимо тепер і будемо використовувати це позначення і далі середню затримку міченої вимоги, пов'язану з наявністю іншої вимоги на обслуговуванні W 0. Знаючи розподіл часу між сусідніми надходженнями вхідних вимог кожного пріоритетного класу, можна завжди обчислити цю величину. У нашому припущенні закону Пуассона для потоку заявок кожного класу можна записати

.

Друга складова часу очікування для міченої вимоги визначається тим, що перед міченою вимогою обслуговуються інші вимоги, які мічена вимога застала у черзі. Позначимо далі кількість вимог із класу i, яка застала в черзі мічену вимогу (з класу p) та які обслуговуються перед ним N ip. Середнє значення цього числа визначатиме величину середнього значення цієї складової затримки

Третя складова затримки пов'язана з вимогами, що надійшли після того, як прийшла мічена вимога, проте отримали обслуговування раніше за нього. Число таких вимог позначимо M ip. Середнє значення цієї складової затримки перебуває аналогічно

Складаючи всі три складові, отримуємо, що середній час очікування у черзі для міченої вимоги визначається формулою

Очевидно, що незалежно від дисципліни обслуговування кількість вимог, N ipі M ipв системі не може бути довільним, тому існує певний набір співвідношень, що зв'язує між собою затримки для кожного пріоритетного класу. Важливість цих співвідношень для СМО дозволяє називати їх ЗАКОНАМИ ЗБЕРЕЖЕННЯ. Основою законів збереження для затримок є те що, що незакінчена робота у будь-якій СМО протягом будь-якого інтервалу часу зайнятості залежить від порядку обслуговування, якщо система є консервативної (вимоги не зникають усередині системи і сервер не простоює при непустої черги).

Розподіл часу очікування істотно залежить від порядку обслуговування, але якщо дисципліна обслуговування вибирає вимоги незалежно від часу їх обслуговування (або будь-якого заходу, що залежить від часу обслуговування), то розподіл числа вимог та часу очікування в системі інваріантний щодо порядку обслуговування.

Для СМО типу M/G/1 можна показати, що для будь-якої дисципліни обслуговування має виконуватися така важлива рівність

Ця рівність означає, що виважена сума часів очікування ніколи не змінюється, незалежно від того, наскільки складна чи майстерно підібрана дисципліна обслуговування. Якщо вдається скоротити затримку для одних вимог, вона негайно зросте для інших.

Для більш загальної системи з довільним розподілом часу надходження вимог G/G/1 закон збереження може бути записаний у вигляді

.

Загальне значення цього співвідношення таке: зважена сума часів затримки залишається постійною. Просто у правій частині стоїть різниця середньої незавершеної роботи та залишкового часу обслуговування. Якщо припустити пуасонівський характер вхідного потоку, то вираз незавершеної роботи можна записати як

Підставляючи їх у попередній вираз, відразу виходить наведений раніше закон збереження для СМО типу M/G/1.

Розглянемо тепер розрахунок середнього часу очікування для СМО з обслуговуванням у порядку пріоритету, що задається пріоритетною функцією

На рис.1 наведена схема функціонування СМО з такою дисципліною обслуговування: вимога, що надходить, ставиться в чергу зліва від вимоги з рівним або великим пріоритетом.

Мал. 1 СМО з обслуговуванням у порядку пріоритету.

Скористаємося формулою для W p. Виходячи з механізму функціонування, можна одразу виписати

Усі вимоги вищого, ніж у міченого пріоритету, будуть обслужені раніше. З формули Літтла кількість вимог класу iщо перебувають у черзі, буде одно:

Вимоги вищих пріоритетних класів, що надійшли в систему після міченої вимоги, поки вона перебуває в черзі, також будуть обслужені перед ним. Оскільки мічена вимога перебуватиме у черзі в середньому W pсекунд, то кількість таких вимог буде рівна

Безпосередньо із формули (*) отримуємо:

Ця система рівнянь може бути вирішена рекурентно, починаючи з W 1 ,W 2і т.д.

Отримана формула дозволяє розраховувати характеристики якості обслуговування всім пріоритетних класів. На малюнку 7.2. показано, як змінюється нормована величина часу очікування у черзі для СМО з п'ятьма пріоритетними класами з рівною інтенсивністю потоку вимог кожного пріоритетного класу та рівним середнім часом обслуговування вимог кожного класу (нижній малюнок деталізує криві при значеннях малого навантаження).

Рисунок 2. Обслуговування у порядку пріоритетів у разі відносних пріоритетів (Р=5, l Р = l/5, ).

Особливе завдання є визначення законів розподілу часу очікування.

Розглянемо тепер систему з абсолютними пріоритетами та обслуговуванням у порядку пріоритету з дообслуговуванням. Застосуємо підхід повністю аналогічний розглянутому раніше. Середня затримка в системі міченої вимоги також складається з трьох складових: перша складова – це середній час обслуговування, друга – це затримка через обслуговування тих вимог рівного або вищого пріоритету, які мічена вимога застала в системі. Третя складова середньої затримки міченої вимоги є затримкою за рахунок будь-яких вимог, що надходять до системи до відходу міченої вимоги і мають строго більший пріоритет. Розписуючи всі ці три складові загального часу знаходження у системі, отримаємо

.

Дуже цікавим завданнямє вибір пріоритетів для заявок різних класів. Оскільки має місце закон збереження, оптимізація є лише при розгляді деяких додаткових атрибутів кожного класу вимог. Припустимо, що можна оцінити кожну секунду затримки заявки пріоритетного класу деякою вартістю C p. Тоді Середня вартістьсекунди затримки для системи може бути виражена через середню кількість вимог кожного класу, що знаходяться в системі

Вирішимо задачу знаходження дисципліни обслуговування з відносними пріоритетами для системи M/G/1, яка мінімізує середню вартість затримки C. Нехай є Pпріоритетних класів заявок із заданою інтенсивністю надходження та середнім часом обслуговування. Перенесемо у ліву частину постійну суму та висловимо праву частинучерез відомі параметри

Завдання полягає у мінімізації суми правої частини цієї рівності шляхом вибору відповідної дисципліни обслуговування, тобто. вибору послідовності індексів p.

Позначимо

У цих позначеннях завдання має такий вигляд: потрібно мінімізувати суму творів за умови

Умова незалежності суми функцій g pвід вибору дисципліни обслуговування визначається законом збереження. Інакше висловлюючись завдання полягає у мінімізації площі під кривою добутку двох функцій, за умови, що площа під кривою однієї з них постійна.

Рішення полягає в тому, що спочатку впорядкуємо послідовність значень f p: .

А потім виберемо для кожного f pсвоє значення g pтак щоб мінімізувати суму їх творів. Інтуїтивно ясно, що оптимальна стратегіявибору полягає у підборі найменшого значення g pдля найбільшого f p, Далі для значень, що залишилися, слід надходити тим же чином. Оскільки g p=W p r pто мінімізація зводиться до мінімізації значень середньої затримки. Таким чином, розв'язання задачі оптимізації полягає в тому, що з усіх можливих дисциплін обслуговування з відносним пріоритетом мінімум середньої вартості забезпечує дисципліна з упорядкованими пріоритетами у відповідність до нерівностей.

.

Перед виходом на передачу будь-який, що виходить із процесора ЕОМ, блок повинен деякий час чекати у черзі. У загальному випадкупід час використання відносних пріоритетів обробка повідомлень організується за схемою рис. 11

Повідомленням типу Z 1 ,…,Z n присвоєно відносні пріоритети 1,…,n відповідно. Повідомлення Z p , що надійшло в систему, і чекає передачі, заноситься в чергу О р, в якій зберігаються повідомлення пріоритету Р. У черзі О р повідомлення впорядковані за часом їх надходження. Коли процесор Пр закінчує передачу раніше обслуговуваного повідомлення, то управління передається програмі "ДИСПЕТЧЕР". Програма вибирає для чергової передачі повідомлення з найвищим пріоритетом - повідомлення Z i якщо черги більш старших пріоритетів О 1 ,..,Про i-1 не містять повідомлень ( тобто виявляються порожніми) Вибране для передачі повідомлення захоплює вихідний канал на весь час передачі Якщо в систему надходить n найпростіших потоків повідомлень з інтенсивностями , а тривалість передачі повідомлень кожного типу мають середні значення та другі початкові моменти, відповідно, той середній час очікування повідомлень, що мають пріоритет k, визначиться співвідношенням

Використовуючи поняття коефіцієнта варіації

де - середньоквадратичне відхилення часів передачі повідомлень i-го типу, отримаємо співвідношення:

У даному конкретному випадку аналізу мережі є всього два типи переданих блоків повідомлень: вихідні інтерактивні блоки, що мають більш високий пріоритет, і вихідні поштові блоки, що мають нижчий відносний пріоритет.

Отже,

Для повідомлень першого пріоритету

Для повідомлень другого пріоритету

Отже, для інтерактивних блоків:

Для поштових блоків:

Для обчислення значень коефіцієнтів варіації довжин блоків необхідно врахувати таке:

При кожному успішному опитуванні ЦДП передає абоненту випадкове число N вихідних блоків. Вважатимемо, що випадкова величина N розподілена за експоненційним законом.

Це означає, що коефіцієнт варіації (34)

Оскільки поштові повідомлення мають постійну довжину (35)

Розрахунок показує, що при малому завантаженні час очікування в черзі блоків поштових повідомлень трохи перевищує час очікування блоків інтерактивних повідомленні (повідомлень мало і вони не заважають один одному при передачі). Зі збільшенням навантажень раннім зростає за рахунок того, що інтерактивні блоки повідомлень "з'ясовують" поштові.

Час очікування у чергах у вузлах комутації

Блоки повідомлень, що потрапляють до центрів комутації, аналізуються та направляються відповідно до зазначеної в них адреси одержувача через інші центри комутації до абонента або ЕОМ. Перш, ніж центр комутації (ЦК) прочитає адресу для направлення блоку, необхідно, щоб вся керуюча частина блоку (у = 19 байт), що містить адресну інформацію, була повністю прийнята КК. Витрачений цей час

Потім, через деякий час реакції КК (рцьк =1 мс), якщо черга повідомлень в КК відсутня, блок, що розглядається, попрямує далі до наступного центру комутації.

Одночасно з прийомом блоків КК веде передачу блоків, що виходять з нього.

(37)

є повним часом, необхідним для дня обслуговування передачі блоку повідомлень в КК.

Інтерактивні та поштові блоки повідомлень надходять до КК упереміш. При цьому в нього потрапляють як вихідні ЕОМ ЦДП, так і призначені для неї блоки. Тому при розгляді часу очікування черги на передачу повідомлення КК - необхідно враховувати повне завантаження мережі

Враховуючи, що є постійною величиною (= 0), для визначення значення часу tцк слід скористатися співвідношенням

Зважаючи на малу навантаження ця величина вийшла досить незначною, проте, при зростанні сумарного завантаження в 2 рази значення збільшується, а при подальшому підвищенні навантаження центри комутації можуть виявитися «вузьким місцем» мережі.

Значення еквівалентного часу очікування у чергах центрів комутації визначається співвідношенням

аналогічно тому, як це робилося щодо еквівалентної затримки в центрі комутації. Якщо прийняти, наприклад, що для мережі кожен блок проходить один раз через 3,5 вузла комутації, то

Вказана затримка повинна враховуватися при визначенні часу відповіді для інтерактивних та поштових повідомлень.

Розглянемо n - канальну систему масового обслуговуванняз очікуванням.

Інтенсивність потоку обслуговування дорівнює μ. Тривалість обслуговування – випадкова величина, підпорядкована показовому закону розподілу. Потік обслуговування є найпростішим пуасонівським потоком подій.

Розмір черги допускає перебування у ній m заявок.

Для знаходження граничних можливостей можна використовувати такі вирази.

(0‑1)

де.

Ймовірність відмови в обслуговуванні заявки(відмова відбудеться у випадку, якщо всі канали зайняті та в черзі знаходяться m заявок):

(0‑2)

Відносна пропускна спроможність.

(0‑3)

Абсолютна пропускна спроможність.

(0‑4)

Середня кількість зайнятих каналів.

Для СМО із чергою середня кількість зайнятих каналів не збігається (на відміну від СМО з відмовими) із середнім числом заявок у системі. Відмінність дорівнює кількості заявок, які чекають у черзі.

Позначимо середню кількість зайнятих каналів. Кожен зайнятий канал обслуговує в середньому μ заявок за одиницю часу, а СМО в цілому – А заявок за одиницю часу. Розділивши А на μ отримаємо

(0‑5)

Середня кількість заявок, що знаходяться в черзі.

Для знаходження середньої кількості заявок, що чекають у черзі, у разі, якщо χ≠1, можна використовувати вираз:

(0‑6)

(0‑7)

де =.

Середня кількість заявок, що знаходяться в системі.

(0‑8)

Середній час очікування заявки у черзі.

Середній час очікування заявки у черзі можна знайти з виразу (χ≠1).

(0‑9)

Середній час перебування заявки у системі.

Так само як і у випадку з одноканальною СМО маємо:

(0‑10)

зміст роботи.

Підготовка інструментарію експерименту .

Виконується відповідно до загальних правил.

Розрахунок на аналітичній моделі .

1. В додаток Microsoft Excelпідготуйте таблицю такого виду.

Параметри СМО

Аналітична Модель

Імітаційна Модель

n

m

Ta

Ts

ρ

χ

P0

P1

p2

Pотк

W

ніж

q

A

Pотк

W

q

A

2. У стовпцях для параметрів СМО таблиці запишіть свої вихідні дані, що визначаються за правилом:

n = 1,2,3

m=1,3,5

Для кожної комбінації ( n, m) необхідно знайти теоретичні та експериментальні значення показників СМО для таких пар значень:

= <порядковый номер в списке группы>

3. У стовпчиках з показниками аналітичної моделі впишіть відповідні формули.

Експеримент на імітаційній моделі.

1. Встановіть режим запуску з експоненційно розподіленим часом обслуговування, задавши значення відповідного параметра 1.

2. Для кожної комбінації n, m, та здійсніть запуск моделі.

Результати запусків внесіть до таблиці.

3. Внесіть у відповідні стовпці таблиці формули розрахунку середнього значення показника Pотк, q і А.

Аналіз результатів .

1. Проаналізуйте результати, отримані теоретичним та експериментальним способами, порівнявши результати між собою.

2. Для однієї з комбінацій (n,m) побудуйте на одній діаграмі графіки залежності Pотк від теоретично та експериментально отриманих даних.

Оптимізація параметрів СМО .

Розв'яжіть задачу оптимізації розміру числа місць у черзі m для двох приладів із середнім часом обслуговування = з погляду отримання максимального прибутку. Як умови завдання візьміть:

- дохід від обслуговування однієї заявки рівним 80 у.о./год.,

- вартість утримання одного приладу - 1у.о./год.,

- вартість утримання одного місця у черзі – 0.2 у.о./год.

1. Для розрахунків доцільно створити таблицю:

Перший стовпець заповнюється значеннями числа приладів n =1.

Другий стовпець заповнюється значеннями чисел натурального ряду (1,2,3…).

Усі клітини третього та четвертого стовпців заповнюються значеннями.

У клітини стовпців з п'ятого до чотирнадцятого переносяться формули для стовпців таблиці розділу 0.

У стовпці з вихідними даними розділів Дохід, Витрата, Прибуток внесіть значення (див. вище).

У стовпцях з значеннями розділів, що обчислюються, Дохід, Витрата, Прибуток запишіть розрахункові формули:

- кількість заявок на одиницю часу

N r =A

- сумарний дохід за одиницю часу

I S = I r *N r

- сумарна витрата в одиницю часу

E S = E s *n + E q *m

- прибуток у одиницю часу

P = I S - E S

де

I r - Дохід від однієї заявки,

E s - Витрата на один прилад,

E q - Витрата на одне місце в черзі

2. Заповніть рядки таблиці для n=2 та n=3.

Знайдіть опт для n = 1,2,3.

3. Побудуйте в одній діаграмі графіки залежності C(m) для n=1,2,3.

Звіт по роботі:

Звіт по роботі повинен включати:

- вихідні дані,

- результати розрахунків та експериментів з програмною моделлю,

Графіки для P отк ,

- таблицю з даними для знаходження найкращого m і значення m опт,

- графіки залежності прибутку в одиницю часу від m для n=1,2,3.

Контрольні питання :

1) Дайте короткий описбагатоканальної моделі СМО з обмеженою чергою

2) Якими показниками характеризується функціонування багатоканальної СМО з обмеженою чергою?

3) Як розраховуються граничні ймовірності багатоканальної СМО з обмеженою чергою?

4) Як знайти можливість відмови від обслуговування заявки?

5) Як знайти відносну пропускну спроможність?

6) Чому дорівнює абсолютна пропускна спроможність?

7) Як підраховується середня кількість заявок у системі?

8) Наведіть приклади багатоканальної СМО з обмеженою чергою.

Завдання.

1) На автозаправній станції встановлено 3 колонки та майданчик на 3 автомобілі для очікування заправки. У середньому на станцію прибуває одна машина кожні 4 хвилини. Середній час обслуговування однієї машини – 2,8 хв. Визначити характеристики роботи автозаправної станції.

2) На станцію технічного огляду автомобілів, що має 3 оглядові пости, в середньому надходить 1 автомобіль за 0,4 години. Стоянка у дворі вміщує 3 машини. Середній час роботи одного посту – 0,5 години. Визначити характеристики роботи СТО.

3) У магазин здійснюється завезення товарів автомобілями. Протягом дня прибувають у середньому 6 машин. Підсобні приміщення для підготовки товарів до продажу дозволяють обробляти та зберігати товар, привезений двома машинами. У магазині працюють позмінно три фасувальники товарів, кожен з яких у середньому може обробляти товар однієї машини протягом 5 годин. Тривалість робочого дня фасувальників складає 12 годин. Визначити характеристики роботи магазину, а також, якою має бути ємність підсобних приміщень, щоб ймовірність повної обробки товарів була більшою за 0,96.

4) У магазині працюють три каси. Середній час обслуговування одного покупця – 3 хв. Інтенсивність потоку покупців – 7 осіб на хвилину. Число покупців, які стоять у черзі до каси, не може перевищувати 5 осіб. Покупець, який прийшов до магазину, в якому в кожній черзі до каси 5 осіб, не чекає, а йде з магазину. Визначити характеристики роботи магазину.

5) Оптовий склад здійснює відпуск товарів клієнтам. Навантаження автомашини здійснюють три бригади вантажників, кожна з яких складається з чотирьох осіб. Склад одночасно вміщує 5 автомашин і, якщо в цей час прибуває нова автомашина, вона не обслуговується. Інтенсивність вхідного потоку становить 5 машин на годину. Інтенсивність завантаження складає 2 автомашини на годину. Дайте оцінку роботи складу та варіант його реорганізації.

6) Митниця має в своєму розпорядженні три термінали. Інтенсивність потоку автомашин, що перевозять вантажі та підлягають проходженню митного контролю, становить 30 шт. на добу. Середній час митної обробки на терміналі однієї машини становить 3 години. Якщо у черзі на проходження митного контролюкоштують 5 автомашин, то автомашини, що приїжджають, їдуть на іншу митницю. Знайти показники ефективності роботи митниці.

7) На будівельний майданчик в середньому через 40 хв прибувають автомобілі будівельним матеріалом. Середній час розвантаження однієї машини становить 1,8 години. У розвантаженні беруть участь дві бригади вантажників. На території будівельного майданчика може знаходитись у черзі на розвантаження не більше 5 автомашин. Визначити показники ефективності роботи будівельного майданчика.

8) На мийку, що має три робочі місця, в середньому за годину приїжджає 12 автомашин. Якщо в черзі вже знаходиться 6 автомашин, автомобілі, що знову приїжджають, не встають у чергу, а залишають мийку. Середній час миття машини становить 20 хв, середня вартість послуг миття - 150 руб. Визначити показники ефективності роботи миття та середню величинувтрати виручки протягом робочого дня (з 9 до 19 години).

9) Інтенсивність потоку автомашин, що перевозять вантажі та підлягають проходженню митного контролю, становить 50 прим. на добу. Середній час митної обробки на терміналі однієї машини становить 2,8 години. Максимальна черга на проходження митного контролю має бути не більше 8 автомашин. Визначити, скільки терміналів треба відкрити на митниці, щоб ймовірність простою автомашин була мінімальна.

Вивчимо роботу n-канальної (n > 1) СМО з очікуванням, на вхід якої надходить найпростіший потік заявок П вхз інтенсивністю. Потік обслуговування кожним каналом також передбачається найпростішим з інтенсивністю µ. На довжину черги жодних обмежень не накладається, але час очікування кожної заявки у черзі обмежений випадковим терміном Т ожіз середнім значенням, після якого заявка залишає систему необслуженою. Часовий інтервал Т ожє безперервною випадковою величиною, яка може приймати будь-яке позитивне значеннята математичне очікування якої.

Якщо цей пуасонівський потік, то процес, що протікає в СМО, буде Марковським.

Такі системи часто зустрічаються практично. Їх іноді називають системами із «нетерплячими» заявками.

Занумеруємо стани СМО за кількістю заявок, що знаходяться в системі, як під обслуговуванням, так і стоять у черзі: S k (k = 0,1, ... n) - k заявок під обслуговуванням (kканалів зайняті, черги немає), S n+r (r = 1,2,…) - пзаявок під обслуговуванням (усі пканалів зайняті) та r заявок у черзі.

Таким чином, СМО може перебувати в одному з безлічі станів.

Розмічений граф станів вказано на рис. 1.

Мал. 1.

Зі стану в стан зліва направо СМО переходить під впливом одного і того ж вхідного потоку заявок П вхз інтенсивністю. Отже, щільність ймовірностей цих переходів

k-1, k =, k = 1,2, ... (1)

Перехід СМО зі стану без черги S k , k = 1, ..., n, у сусідній ліворуч стан S k-1 , (K = 1, ..., n)(у якому також не буде черги) відбувається під дією сумарного потоку, що складається з потоків обслуговування зайнятих каналів, інтенсивність якого, що являє собою суму інтенсивностей складових потоків обслуговування, дорівнює kµ. Тому під стрілками ліворуч від стану s n до стану s 0 проставлено щільність ймовірностей переходів

k,k-1 =kµ, k = 1,…,n (2)

На систему може з чергою S n+r , r = 1,2, ..., діє сумарний потік - результат накладання n потоків обслуговування та rпотоків догляду. Тому інтенсивність сумарного потоку дорівнює сумі інтенсивностей доданків, що додаються. nµ+rщ. Цей сумарний потік породжує перехід СМО справа наліво зі стану S n+r , (R = 1,2, ...)у середнє S n+r-1 , (R = 1,2, ...)і таким чином,

k,k-1 =nµ+(k-n)щ, k =n+1,n+2,… (3)

Отже, щільність ймовірностей переходів системи праворуч наліво, враховуючи (2) і (3), можна записати в об'єднаній формі

Структура графа говорить про те, що процес, який протікає в СМО, є процесом загибелі та розмноження.

Підставимо (1) та (4) для k=1,…,n+m у формулу

Введемо на розгляд величину, яку можна назвати наведеною інтенсивністю потоку відходів, і яка показує середню кількість відходів із черги не обслуговуваних заявок за середній час обслуговування однієї заявки. Підставляючи (5) і отримаємо:

Так як у аналізованої СМО немає обмежень на довжину черги, то заявка, що надійшла у вхідному потоці, буде прийнято; у систему, тобто. відмови від системи заявка не отримує. Тому для СМО із «нетерплячими» заявками ймовірність прийняття до системи p сист =1, а ймовірність відмови у прийнятті в систему p відк =0 . Поняття «відмови прийняття в систему» ​​не слід змішувати з поняттям «відмови в обслуговуванні», оскільки, в силу «нетерплячості», не кожна заявка, що надійшла (прийнята) до системи, буде обслужена. Таким чином, має сенс говорити про ймовірність відходу заявки з черги p хута ймовірності того, що заявку буде обслуговано, p про. При цьому, ймовірність p проє відносною пропускною здатністю Qі p ху = 1- p про .

Підрахуємо середню кількість заявок у черзі. Для цього розглянемо дискретну випадкову величину N оччисло заявок у черзі. Випадкова величина N очможе прийняти будь-яке ціле невід'ємне значення, а її закон розподілу має вигляд

N оч
		p n+1	p n+2		p n+r

де p= p 0 + p 1 +…+ p n. Отже,

або підставляючи сюди (7), отримаємо

На кожну заявку у черзі діє потік «доглядів» Пух з інтенсивністю щ. На середню чергу, що складається із заявок, діятиме сумарний потік, що складається з потоків «доглядів» і має інтенсивність. Отже, із середнього числа заявок у черзі в середньому йтиме, не дочекавшись обслуговування, заявок в одиницю часу, а заявки, що залишаться, будуть обслужені. Отже, середня кількість заявок, обслужених за одиницю часу, тобто. абсолютна пропускна здатність СМО

Тоді за визначенням відносної пропускної спроможності,

Q = A/ = (-)/ = 1 - (щ/),

де щ/ = показує середню кількість відходів з черги не обслужених заявок за середній час між надходженнями двох сусідніх заявок у вхідному потоці П вх .

Середня кількість зайнятих каналів (середня кількість заявок, що знаходяться під обслуговуванням) можна отримати як відношення абсолютної пропускної здатності А до продуктивності одного каналу µ. Скориставшись рівністю (11), матимемо:

Середню кількість зайнятих каналів можна підрахувати і незалежно від середньої кількості заявок у черзі, а саме як математичне очікування дискретної випадкової величини До,являє собою кількість зайнятих каналів, закон розподілу якої має вигляд

	p 0	p 1	p 2		p n-1

де p = p n + p n+1 +…+ p n+1+ …. Але оскільки подія, яка полягає в тому, що всі n каналів зайняті, протилежно події, що полягає в тому, що не всі n каналів зайняті, а ймовірність останньої подіїдорівнює

p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n-1, то p = 1 - (p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n-1) .

Але тоді з (11) отримаємо:

Використовуючи формули (11) та (13), отримаємо формулу для середньої кількості заявок, що знаходяться в системі:

Виведемо формулу для середнього часу очікування заявки у черзі. Воно буде залежати від цього середнього часу, що обмежує тривалість перебування заявки в черзі, для якого або

або знайдеться натуральне число i > 2 таке, що

Помножуючи нерівності (14) і (15) на, отримаємо відповідно нерівності

Розглянемо випадок (14) і несумісні гіпотези які у тому, що система перебуває у стані. Імовірності цих гіпотез

Якщо заявка надійде до СМО при гіпотезі. коли система перебуває в одному зі станів у кожному з яких не всі канали зайняті, то заявці не доведеться чекати в черзі - вона зараз же потрапить під обслуговування вільного каналу. Тому умовне математичне очікуваннявипадкової величини часу очікування заявки в черзі при гіпотезі, що є середнім часом очікування заявки в черзі при гіпотезерівно нулю:

Якщо заявка надійде до системи при гіпотезет. коли СМО знаходиться в одному зі станів, в якому все п к-пзаявок (при до= пу черзі заявок немає), то середній час звільнення одного з пзайнятих каналів дорівнює, а середній час обслуговування к-пзаявок, що стоять у черзі перед заявкою, що надійшла в систему, дорівнює Тому середній час, необхідний для того, щоб підійшла черга на обслуговування заявки, що надійшла, одно.Так як, то в силу правої нерівності (14),

Таким чином, середній час, необхідний для того, щоб заявка, що надійшла до системи, була прийнята до обслуговування, більше часу, що обмежує перебування заявки в черзі. Тому заявка, що надійшла, затримається в черзі на середній час і залишить систему не обслуженою. Отже, умовне математичне очікування величини при гіпотезі

Тепер розглянемо ті ж гіпотези у разі (15). І тут також справедливі рівності (16).

Якщо заявка надійде в систему при одній з гіпотез, тобто, коли СМО знаходиться в одному з станів, в якому все пканалів зайняті і в черзі перед заявкою, що надійшла, вже стоять к-пзаявок (при до- n у черзі заявок немає), так само, як і у випадку (14), середній час, необхідний для того, щоб підійшла черга цієї заявки на обслуговування, що обмежує перебування заявки. Так якось, через ліву нерівність (15),

Таким чином, середній час, необхідний для того, щоб заявка була прийнята до обслуговування, не більше середнього часу, що обмежує перебування заявки в черзі. Тому заявка, що надійшла, не піде з черги і дочекається прийому на обслуговування, витративши на очікування в черзі середній час. Отже, умовне математичне очікування випадкової величини Т оч при гіпотезі

Нехай тепер заявка надійшла в систему за однієї з гіпотез Н ю до = n+i-тобто, коли СМО перебувала в одному із станів..., у якому все пканалів зайняті та в черзі вже стоять к-пзаявок. Бо з нерівності (15):

а тому заявка, що прийшла, затримається в черзі на середній час Отже, умовне математичне очікування випадкової величини Т оч при гіпотезі

За формулою повного математичного очікуванняотримаємо:

У випадку (15) заявка, що надійшла, буде прийнята до обслуговування, якщо тільки в момент її надходження СМО перебуває в одному зі станів, тоді ймовірність того, що заявка буде обслужена.

При / = 1 формула (25) перетворюється на (24), тому для ймовірності обслуговування можна записати одну формулу:

Знаючи ймовірність обслуговування, можна обчислити ймовірність відходу заявки з черги не обслуженої:

Середній час перебування заявки у системі можна визначити за формулою

де-середній час обслуговування однієї заявки, що відноситься до всіх заявок, як обслуженим, так і пішли з черги, яке можна підрахувати па формулі

6. Побудова та аналіз моделі систем масового обслуговування

Розглянемо практичне завданнявикористання СМО без обмеження на довжину черги, але з обмеженням на час очікування в черзі.

З метою збільшення дальності безпосадкового польоту проводиться дозаправка літаків пальним у повітрі. У районі дозаправки постійно чергують два літаки-дозаправники. Дозаправка одного літака триває загалом близько 10 хвилин. Якщо обидва літаки-дозаправники зайняті, то літак, який потребує дозаправки, якийсь час може «очікувати» (здійснювати політ по колу в районі дозаправки). Середній час очікування – 20 хвилин. Літак, що не дочекався дозаправки, змушений сідати на запасний аеропорт. Інтенсивність польотів така, що в середньому за 1 годину до району дозаправки прибуває 12 літаків. Визначити:

Імовірність того, що літак буде доправлено.

Середня кількість зайнятих дозаправників.

Середня кількість літаків у черзі.

Середня кількість літаків під обслуговуванням.

Необхідно обчислити основні характеристики ефективності даної СМО за умови, що задані наступні вхідні параметри:

• · Кількість каналів обслуговування;
• · Інтенсивність вхідного потоку заявок;
• · Інтенсивність потоку обслуговування;
• · Середній час, що обмежує перебування заявок у черзі.

СМО, що розглядається, є багатоканальною системою масового обслуговування без обмеження на довжину черги, але з обмеженням на час очікування. Кількість каналів, інтенсивність вхідного потоку заявок, інтенсивність потоку обслуговування та кількість місць у черзі задані.

У цій СМО кожен канал обслуговує у кожний момент часу одну заявку. Якщо в момент надходження нової заявки вільний хоча б один канал, то заявка надходить на обслуговування, якщо заявки відсутні, то система простоює.

Визначимо, що відбувається, коли до моменту надходження заявки всі канали зайняті - вона стає в чергу і чекає на звільнення одного з каналів. Якщо на момент надходження заявки всі місця у черзі зайняті, ця заявка залишає систему.

Критерії ефективності функціонування СМО:

• · ймовірність простою системи;
• · ймовірність відмови системи;
• · Відносна пропускна здатність.
• · Середній час перебування заявки у черзі.

Ця система моделюється багатоканальної СМО з «нетерплячими» заявками.

Параметри системи:

кількість каналів обслуговування n = 2;

інтенсивність вхідного потоку заявок = 12 (літаків на годину);

інтенсивність потоку обслуговування µ = 6(літаків на годину);

середній час, що обмежує перебування заявки у черзі, отже, інтенсивність потоку доглядів щ = 1/= 3 (літака) на годину.

Розрахунки здійснено за допомогою розробленої в Turbo Pascal програмі. Мова Turbo-Pascal - одна з найпоширеніших мов програмування комп'ютерів. До важливих переваг мови Turbo-Pascal відноситься невеликий розмір компілятора, висока швидкість трансляції програм, компіляції та їх компонування. Крім того, зручність та висока якістьдизайну діалогової оболонки, роблять написання та налагодження програм найбільш зручним у порівнянні з альтернативними мовами нового покоління.

Для аналізу роботи СМО необхідно досліджувати поведінку цієї системи за різних вхідних параметрів.

У першому варіанті л=12, µ=6, щ=3, число каналів n=2.

У другому варіанті л=12, µ=6, щ=3, число каналів n=3.

У третьому варіанті л=12, µ=6, щ=4, число каналів n=2.

Усі результати розрахунків наведено у Додатку 2.

В результаті аналізу отриманих даних (Додаток 2) були зроблені такі висновки.

Зі збільшенням числа каналів збільшується ймовірність простою системи та ймовірність дозаправки на 50%.

При зміна ж часу перебування заявки у черзі, не збільшуючи кількість каналів, змінилася інтенсивність потоку доглядів, у результаті зменшилася кількість обслуговуваних літаків і кількість літаків у черзі.

На мою думку, необхідно набрати та навчити додатковий обслуговуючий персонал, щоб збільшити інтенсивність потоку доглядів, тоді буде менше витрачатися часу на простий дозаправників і не виникне потреби у додатковому каналі.

Хоча, вибираючи найоптимальніші параметри, у яких робота СМО буде найефективнішою, потрібно ще враховувати технічний та економічний чинник, оскільки придбання додаткового каналу обслуговування чи зміна інтенсивності потоку доглядів, потребує певних матеріальних витрат і витрат за підготовку кадрів.

Пері Куклін (Perry Kuklin)

Кожен власник бізнесу з усіма своїми менеджерами хотів би щодня і щоноч бачити не тільки прибутки, що ростуть, але і щасливих, повністю задоволених покупців. Один із шляхів досягнення цієї мети - створення у майбутньому 2014 році кращих умовдля клієнтів, що чекають у черзі. Ось п'ять простих способів:

1. Розважіть відвідувачів

Покупців, які скупчилися в черзі, треба чимось відволікти. Оскільки сьогоднішня культура налаштована на всі види екранного дійства, заняття ваших черг спогляданням дисплеїв займе всю увагу відвідувачів і в їх пам'яті не відкладуться пов'язані з очікуванням негативні емоції.

2. Вперед, у віртуальність

Електронна черга - ось на чому все ще спотикаються багато компаній. Як така купа мала може спрацювати на вашу користь, якщо ви весь час були залежні від класичної черги типу хто останній, я за вами?

Ніколи не забувайте, що більшість людей високо цінують свій час та свободу дій. Створення електронної черги глушить у відвідувачах почуття втрати часу та дискомфорт від вимушеного вибудовування до ряду. За наявності електронної черги клієнти можуть сісти, зайнятися чимось, крім стомлюючого очікування, та просто насолодитися можливістю робити будь-що, без необхідності тупцювати в черзі.

3. Слідкуйте за чергами

Вирішення проблеми черг не тільки у створенні більш комфортних умов для покупців; розгляньте питання з погляду менеджменту – зрештою це принесе зиск вам та задоволення покупцям.

Відстеження руху черги в реальному часі дозволяє відповідальним за це менеджерам будь-якої миті тримати руку на пульсі кожної з черг. Для інформування менеджера торгового залу про те, що десь стався збій, можна налаштувати будь-яку форму повідомлення (текстове повідомлення, електронний лист та ін.). Так він відразу дізнається, що персонал компанії гальмує, черги рухаються надто повільно тощо.

Відстеження черг дозволяє фіксувати рекордні показники швидкості їх руху, що є безцінною інформацією для менеджерів. На її основі вони можуть прогнозувати періоди піків та спадів навантаження, відповідно маневруючи персоналом та кількістю працюючих касових терміналів.

4. Додайте трохи мобільності

Спілкуйтеся з покупцями у черзі найдоступнішим сьогодні способом – через смартфони. В електронну чергу можна привнести елемент мобільності, що дозволяє клієнтам через телефон реєструвати своє місце в черзі та спілкуватися з персоналом у текстовому режимі, коли їхня черга вже підходить.

Розважальний елемент, описаний вище, теж не зайве надати мобільності. На екрани смартфонів можна виводити інформацію про те, як клієнтам покращити свій купівельний досвід (підписка на купони, дисконтні карти, майбутні промо-акції і, зрозуміло, час очікування в черзі, що залишився).

5. Поєднайте трансляцію на смартфони з мерчендайзингом

У роздрібній торгівлівирішення проблеми черг воістину елементарно. Клієнти можуть побачити товар і відзначити його переваги самостійно, але якщо уявити їм виріб у дії, то можна зміцнити їхнє прагнення до покупки, яке до цього моменту могло бути не надто впевненим. Подумайте ось про що: в інтернет-торгівлі для збільшення конверсії та рівнів продажу широко використовуються відеоматеріали. Що заважає застосовувати цю техніку в онлайновій торгівлі?

Скористайтеся тим, що у покупця в руках дивайс, який може бути вашою вітриною. Запропонуйте клієнту подивитися відеоролик з товаром, що добре розпродається, розповідає про його особливості; або навіть відеозапис схвальних висловлювань про нього задоволених покупців. Доводячи до таких людей, що нудьгують у черзі, таку інформацію, та ще з одночасною її прокруткою на великих дисплеях в зоні видимості, ви піклуєтеся про задоволення двох вкрай важливих потреб: розвага клієнтів і збільшення продажів компанії.

Очікування в черзі стає останнім враженням покупця про ваш бізнес (уявіть роздрібний магазин), а останні словарозмови запам'ятовуються найкраще – це аксіома. У ряді випадків це взагалі основа клієнтського досвіду (уявіть аеропорт). Завжди знайдуться шляхи покращення взаємодії з людьми, які користуються послугами вашого бізнесу, при цьому одна з найкращих точок для старту – зміна організації черг.

Переклад Леоніда Пеленіцина