Довільні постійні. Вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків методом лагранжа

Лекція 44. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних постійних. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку постійними коефіцієнтами. (спеціальна права частина).

Соціальні перетворення. Держава та церква.

Соціальна політика більшовиків багато в чому диктувалася їх класовим підходом.Декретом від 10 листопада 1917 р. знищено станову систему, скасовано дореволюційні чини, титули та нагороди. Встановлено виборність суддів; проведено секуляризацію цивільних станів. Встановлено безкоштовну освіту та медичне обслуговування (декрет від 31 жовтня 1918 р.). Жінки зрівнювалися у правах із чоловіками (декрети від 16 та 18 грудня 1917 р.). Декрет про шлюб запроваджував інститут громадянського шлюбу.

Декретом РНК від 20 січня 1918 року церква відокремлена від держави та від системи освіти. Більшість церковного майна конфісковано. Патріарх Московський і всієї Русі Тихін (обраний 5 листопада 1917 року) 19 січня 1918 року зрадив анафемі Радянську владуі закликав до боротьби проти більшовиків.

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння другого порядку

Структура загального розв'язання такого рівняння визначається такою теоремою:

Теорема 1.Загальне рішення не однорідного рівняння(1) подається як сума якогось окремого рішення цього рівняння та загального рішення відповідного однорідного рівняння

(2)

Доведення. Потрібно довести, що сума

є загальне рішеннярівняння (1). Доведемо насамперед, що функція (3) є рішення рівняння (1).

Підставляючи суму в рівняння (1) замість у, будемо мати

Оскільки є рішення рівняння (2), то вираз, що стоїть у перших дужках, тотожно дорівнює нулю. Оскільки є рішення рівняння (1), то вираз, що стоїть у других дужках, дорівнює f(x). Отже, рівність (4) є тотожністю. Таким чином, першу частину теореми доведено.

Доведемо друге твердження: вираз (3) є загальнерозв'язання рівняння (1). Ми повинні довести, що довільні постійні, що входять до цього виразу, можна підібрати так, щоб задовольнялися початкові умови:

(5)

які б не були числа х 0 , y 0і (аби х 0було взято з тієї галузі, де функції а 1 , а 2і f(x)безперервні).

Помітивши, що можна уявити у формі . Тоді на підставі умов (5) матимемо

Вирішимо цю систему і визначимо З 1і З 2. Перепишемо систему у вигляді:

(6)

Зауважимо, що визначник цієї системи є визначником Вронського для функцій у 1і у 2у точці х = х 0. Оскільки ці функції за умовою лінійно незалежні, то визначник Вронського не дорівнює нулю; отже система (6) має певне рішення З 1і З 2, тобто. існують такі значення З 1і З 2, За яких формула (3) визначає рішення рівняння (1), що задовольняє цим початковим умовам. Що й потрібно було довести.

Перейдемо до загальному методузнаходження приватних розв'язків неоднорідного рівняння.

Напишемо загальне рішення однорідного рівняння (2)

. (7)

Шукатимемо приватне рішення неоднорідного рівняння (1) у формі (7), розглядаючи З 1і З 2як деякі поки невідомі функції від х.

Продиференціюємо рівність (7):

Підберемо потрібні функції З 1і З 2так, щоб виконувалася рівність

. (8)

Якщо врахувати цю додаткову умову, то перша похідна набуде вигляду

.

Диференціюючи тепер це вираз, знайдемо:

Підставляючи в рівняння (1), отримаємо

Вирази, що стоять у перших двох дужках, звертаються в нуль, оскільки y 1і y 2- Вирішення однорідного рівняння. Отже, остання рівність набуває вигляду

. (9)

Таким чином, функція (7) буде вирішенням неоднорідного рівняння (1) у тому випадку, якщо функції З 1і З 2задовольняють рівнянням (8) та (9). Складемо систему рівнянь із рівнянь (8) та (9).

Оскільки визначником цієї системи є визначник Вронського для лінійно незалежних рішень y 1і y 2рівняння (2), він не дорівнює нулю. Отже, вирішуючи систему, ми знайдемо як певні функції від х.

Для знаходження загального рішення y''+(x) y'+(x) y = f(x) необхідно знайти приватне рішення.

Його можна знайти із загального рішення рівняння y'' + (x) y' + (x) y = 0 деяких варіацій довільних постійних

Підставимо в (5.1)

+ + + + (x) + +

(x) + = f (x)

+ + + + (x) +

(x) + = f (x)

Інтегруванням знайдемо і

Потім за формулою (5.6) складемо загальне рішення

Теорема (5.2): про накладення рішення

Якщо права частина рівняння y'' + (x) y' + (x) y = f (x) є сумою двох функцій:

f(x) = (x) + (x) ,

а u - приватне рішення рівняння

+ (x) y '+(x) y = (x)

+ (x) y '+(x) y = (x)

То функція

Є рішення даного рівняння

() '' + ) ' + ) '= '' + + + () '' + ) ' + = (x) + (x) = f(x)

10. Рівняння Бернуллі.

11. Рівняння Ріккаті.:

Рівняння Ріккатіє одним із найцікавіших нелінійних диференціальних рівняньпершого порядку. Воно записується у формі:

де a(x), b(x), c(x) − безперервні функції, що залежать від змінної x.

Рівняння Ріккаті зустрічається в різних галузях математики (наприклад, в геометрії алгебри і в теорії конформних відображень) і фізики. Воно також нерідко виникає у прикладних математичних завданнях.

Наведене вище рівняння називається загальним рівняннямРіккаті. Його рішення ґрунтується на наступній теоремі:

Теорема: Якщо відомо приватне рішення y 1 рівняння Ріккаті, його загальне рішення визначається формулою

Справді, підставляючи рішення y = y 1 + uв рівняння Ріккаті, маємо:

Підкреслені члени у лівій та правій частині можна скоротити, оскільки y 1 – приватне рішення, що задовольняє рівняння. В результаті ми отримуємо диференціальне рівняння для функції u(x):

Другий варіант риккаті(писати тільки один з)

У загальному випадкуне інтегровано у квадратурах

Однак якщо відомо одне приватне рішення, то рівняння Ріккаті можна звести до рівняння Бернуллі

Для цього покладемо зробимо заміну:

P(x) + p(x) z + q (x) * + q (x) * 2 z + q (x) = f (x)

P(x) z + 2q(x) z +q(x) = 0

Z (p (x) + 2q (x)) + q (x) = 0

n=2 Бернули

12. Рівняння Лагранжа.:

13. Рівняння Клер.:

14. Диференціальні рівняння порядку вище першого. Випадки зниження порядку.

15. Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку. Вронскіан. Фундаментальна система рішень.

16. Однорідні диференціальні рівняння із постійними коефіцієнтами. Характеристичне рівняння:

Окремим випадком розглянутих вище лінійних однорідних

диференціальних рівнянь є ЛОДУ з постійними

коефіцієнтами.

17. Лінійні неоднорідні рівняння. Відшукання приватного рішення у разі рівняння з квазіполіномом:

Квазіполіном Ейлера:Розглянемо ЛНДУ 2-го порядку з постійними коефіцієнтами: y'' + p y' + q y = f(x) (5.7) Можна шукати приватне рішення методом Лагранжа, однак у деяких випадках можна знайти простіше Розглянемо ці випадки:1. f(x) = , -Многочлен ступеня n. 2.f(x) = (cos β x + (x) sin β x). У цих випадках f(x) називають квазіполіномом Ейлер. У цих випадках записують очікувану форму рішення з невизначеними коефіцієнтами та підставляють у ур-і (5.1). З отриманого тотожності знаходять значення коефіцієнтів. Випадок 1 : права частина (5.7) має вигляд: f(x) = R - багаточлен ступеня n. Ур-е (5,7) запишеться як: y'' + p y' + q y = (5.8) І тут приватне реш-е шукаємо як: = Qn (x) (5.9) де r - Число = кратності α як кореня характеристичного ур-я + p k + q = 0, тобто. r - число, що показує скільки разів α явл-я коренем ур-я + p k + q = 0, При цьому Qn (x) = + + …. + A n - багаточлен ступеня n, записаний з невизначеними коефіцієнтами Ai (i = 0, 1, 2, ... n) А) Нехай α не є коренем характеристичного ур-я: + p k + q = 0, тобто. α , r = 0 і рішення шукаємо у вигляді = Q n (x) Б) Нехай α є одноразовим (простим) коренем характеристичного ур-я + p k + q = 0, α = r = 1, = x Q n (x) В) Нехай α = є 2-кратним коренем характеристичного ур-я + p k + q = 0, r = 2 = Q n (x) Випадок 2: Права частина (5.7) має вигляд: f(x) = () cosβx + Q m (x) sin β (x) ,Де )і Qm (x) багаточлени ступеня n і m відповідно, α і β - дійсного числа, тоді ур-е (5.7) запишеться у вигляді y'' + py' + qy = () cosβx + Qm (x) sinxβ) (5.10) У цьому випадку приватне рішення: = * (Ml(x) cosβx + N l (x ) sin βx) (5.11) r-число рівне кратності (α + βi) як кореня рівняння: + pk + q = 0, Me (x) і Ne (x) - багаточлени ступеня l з невизначеними коефіцієнтами. l – найвищий ступіньбагаточленів) і Qm (x), l = max (n, m). Примітка 1: Після підстановки функції (5.11) (5.10) прирівнюють багаточлени, що стоять перед однойменними тригоном. функціями в лівій та правій частинах ур-я. Примітка 2 : Формула (5.11) зберігається і за ) 0 і Qm (x) 0. Примітка 3 : Якщо права частина ур-я (5.7) є сума функцій виду 1 і 2 , то знаходження слід використовувати теорему (5.2) про накладення рішень. Теорема (5.2): про накладення рішень: Якщо праві частини ур-я (5.1) являють собою суму 2-х функцій: f (x) = (x) + (x), а u - приватні рішення ур-я + (x) y '+ (x) y = (x) + (x) y '+ (x) y = (x) Це рішення цього ур-я. Інтегрування ЛНДУ п-го порядку (n постійним коефіцієнтом та правою частиною спеціального виду. Розглянемо ЛНДУ n-го порядку + (x) + (x) + … + (x) y = f(x) де (x) , …, (x) , f(x) задані безперервною функцієюна інтервалі (а, b). Соотв. однорідне ур-е + (x) + … + (x) y = 0 . Загальне рішення у ЛНДУ n-го порядку = сумі приватного рішення НУ та загального рішення ОУy= . може бути знайдено якщо відомо загальне рішення ОУ = + + … + де yi (x) - приватне реш-е утворює фундаментальну систему рішень ОУ. Для знаходження Сi (x) складається система ур-й + + … + = 0 + + 0 + + … + = 0 + + … + = f (x)Однак для ЛНДУ n-го порядку з постійними коефіцієнтами, права частина f(x) якого має спеціальний вид, можна знайти методом невизначених коеф-в. Метод підбору приватного рішення для рівняння y'' + + … + y = f (x) R, де f (x) квазіполіном Ейлера той же, що і при n=2.

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку:
(1) .
Існує три способи розв'язання цього рівняння:

• метод постійної варіації (Лагранжа).

Розглянемо рішення лінійного диференціального рівняння першого ладу методом Лагранжа.

Метод варіації постійної (Лагранжа)

У методі постійної варіації ми вирішуємо рівняння в два етапи. На першому етапі ми спрощуємо вихідне рівняння та вирішуємо однорідне рівняння. З другого краю етапі замінимо постійну інтегрування, отриману першої стадії рішення, на функцію. Після цього шукаємо загальне рішення вихідного рівняння.

Розглянемо рівняння:
(1)

Крок 1 Вирішення однорідного рівняння

Шукаємо рішення однорідного рівняння:

Це рівняння з змінними, що розділяються

Розділяємо змінні - множимо на dx, ділимо на y:

Інтегруємо:

Інтеграл по y-табличний:

Тоді

Потенціюємо:

Замінимо постійну e C на C та приберемо знак модуля, що зводиться до множення на постійну ±1, яку включимо в C:

Крок 2 Замінимо постійну C на функцію

Тепер замінимо постійну C на функцію від x:
C → u (x)
Тобто, шукатимемо рішення вихідного рівняння (1) у вигляді:
(2)
Знаходимо похідну.

За правилом диференціювання складної функції:
.
За правилом диференціювання твору:

.
Підставляємо у вихідне рівняння (1) :
(1) ;

.
Два члени скорочуються:
;
.
Інтегруємо:
.
Підставляємо в (2) :
.
В результаті одержуємо загальне рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку:
.

Приклад розв'язання лінійного диференціального рівняння першого порядку методом Лагранжа

Вирішити рівняння

Рішення

Вирішуємо однорідне рівняння:

Розділяємо змінні:

Помножимо на:

Інтегруємо:

Інтеграли табличні:

Потенціюємо:

Замінимо постійну e C на C та прибираємо знаки модуля:

Звідси:

Замінимо постійну C на функцію від x:
C → u (x)

Знаходимо похідну:
.
Підставляємо у вихідне рівняння:
;
;
Або:
;
.
Інтегруємо:
;
Вирішення рівняння:
.

Розглянемо тепер лінійне неоднорідне рівняння
. (2)
Нехай y 1 ,y 2 ,.., y n - фундаментальна системарозв'язків, а - загальне рішення відповідного однорідного рівняння L(y)=0 . Аналогічно нагоди рівнянь першого порядку, шукатимемо рішення рівняння (2) у вигляді
. (3)
Переконаємося у тому, що рішення у такому вигляді існує. Для цього підставимо функцію рівняння. Для встановлення цієї функції в рівняння знайдемо її похідні. Перша похідна дорівнює
. (4)
При обчисленні другої похідної у правій частині (4) з'явиться чотири доданки, при обчисленні третьої похідної - вісім доданків і так далі. Тому, для зручності подальшого рахунку, перший доданок (4) вважають рівним нулю. З урахуванням цього, друга похідна дорівнює
. (5)
За тими самими, що раніше, міркувань, в (5) також вважаємо перший доданок рівним нулю. Зрештою, n-а похіднадорівнює
. (6)
Підставляючи отримані значення похідних у вихідне рівняння, маємо
. (7)
Друге доданок (7) дорівнює нулю, так як функції y j , j=1,2,..,n, є рішеннями відповідного однорідного рівняння L(y)=0. Поєднуючи з попереднім, отримуємо систему алгебраїчних рівняньдля знаходження функцій C" j (x)
(8)
Визначник цієї системи є визначником Вронської фундаментальної системи рішень y 1 ,y 2 ,..,y n відповідного однорідного рівняння L(y)=0 і тому не дорівнює нулю. Отже, існує єдине рішенняСистеми (8). Знайшовши його, отримаємо функції C" j (x), j=1,2,…,n, а, отже, і C j (x), j=1,2,…,n Підставляючи ці значення (3), отримуємо рішення лінійного неоднорідного рівняння.
Викладений метод називається методом варіації довільної постійної чи методом Лагранжа.

Максимальний ступінь похідної 2 3 4 5 6

Приклад №1. Знайдемо загальне рішення рівняння y" + 4y + 3y = 9e -3 x . Розглянемо відповідне однорідне рівняння y" + 4y + 3y = 0. Коріння його характеристичного рівняння r 2 + 4r + 3 = 0 дорівнюють -1 і -3. Тому фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння складається з функцій y 1 = e - x та y 2 = e -3 x. Розв'язання неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. Для знаходження похідних C" 1 , C" 2 складаємо систему рівнянь (8)

вирішуючи яку, знаходимо , інтегруючи отримані функції, маємо
Остаточно отримаємо

Приклад №2. Вирішити лінійні диференціальні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами методом варіації довільних постійних:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Рішення:
Дане диференціальне рівняння відноситься до лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.
Розв'язання рівняння будемо шукати у вигляді y = e rx. Для цього складаємо характеристичне рівняння лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Коріння характеристичного рівняння: r 1 = 4, r 2 = 2
Отже, фундаментальну систему рішень складають функції:
y 1 = e 4x , y 2 = e 2x
Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд:

Пошук приватного рішення шляхом варіації довільної постійної.
Для знаходження похідних C" i складаємо систему рівнянь:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Виразимо C" 1 з першого рівняння:
C" 1 = -c 2 e -2x
і підставимо на друге. У результаті отримуємо:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x / (e 2x +2e 4x)
Інтегруємо отримані функції C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Оскільки , то записуємо отримані вирази у вигляді:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким чином, загальне рішення диференціального рівняння має вигляд:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
або
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Знайдемо приватне рішення за умови:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Підставляючи x = 0, у знайдене рівняння, отримаємо:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Знаходимо першу похідну від отриманого загального рішення:
y' = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Підставляючи x = 0, отримаємо:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Отримуємо систему із двох рівнянь:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
або
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
або
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Звідки:
C 1 = 0, C * 2 = 2
Приватне рішення запишеться як:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами довільного n-го порядку:
(1) .
Метод варіації постійної, розглянутий нами рівняння першого порядку , також застосуємо й у рівнянь вищих порядків.

Рішення виконується у два етапи. На першому етапі ми відкидаємо праву частинуі розв'язуємо однорідне рівняння. В результаті отримуємо рішення, що містить довільних n постійних. На другому етапі ми змінюємо постійні. Тобто ми вважаємо, що ці постійні є функціями від незалежної змінної x та знаходимо вигляд цих функцій.

Хоча ми тут розглядаємо рівняння із постійними коефіцієнтами, але метод Лагранжа також застосовний і для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь . Для цього, однак, має бути відома фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння.

Крок 1. Вирішення однорідного рівняння

Як і у разі рівнянь першого порядку, ми шукаємо загальне рішення однорідного рівняння, прирівнюючи праву неоднорідну частину до нуля:
(2) .
Загальне рішення такого рівняння має вигляд:
(3) .
Тут – довільні постійні; - n лінійно незалежних розв'язків однорідного рівняння (2), які утворюють фундаментальну систему розв'язків цього рівняння.

Крок 2. Варіація постійних – заміна постійних функціями

На другому етапі ми займемося варіацією постійних. Іншими словами, ми замінимо постійні на функції від незалежної змінної x:
.
Тобто ми шукаємо рішення вихідного рівняння (1) у такому вигляді:
(4) .

Якщо ми підставимо (4) (1), то отримаємо одне диференціальне рівняння для n функцій . У цьому ми можемо пов'язати ці функції додатковими рівняннями. Тоді вийде n рівнянь, у тому числі можна визначити n функцій . Додаткові рівняння можна скласти у різний спосіб. Але ми це зробимо так, щоб рішення мало найпростіший вигляд. Для цього, при диференціюванні, потрібно прирівнювати до нуля члени, що містять похідні від функцій. Продемонструємо це.

Щоб підставити передбачуване рішення (4) у вихідне рівняння (1), потрібно знайти похідні перших n порядків від функції, записаної як (4). Диференціюємо (4), застосовуючи правила диференціювання сумита твори:
.
Згрупуємо члени. Спочатку випишемо члени з похідними від , а потім члени з похідними від :

.
Накладемо на функції першу умову:
(5.1) .
Тоді вираз для першої похідної буде мати більш простий вигляд:
(6.1) .

Тим самим способом знаходимо другу похідну:

.
Накладемо на функції другу умову:
(5.2) .
Тоді
(6.2) .
І так далі. У додаткових умовах ми прирівнюємо члени, що містять похідні функції до нуля.

Таким чином, якщо вибрати наступні додаткові рівняння для функцій:
(5.k) ,
то перші похідних по матимуть найпростіший вид:
(6.k) .
Тут.

Знаходимо n-ю похідну:
(6.n)
.

Підставляємо у вихідне рівняння (1):
(1) ;






.
Врахуємо, що всі функції відповідають рівнянню (2):
.
Тоді сума членів, що містять, дають нуль. У результаті отримуємо:
(7) .

В результаті ми отримали систему лінійних рівняньдля похідних:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Вирішуючи цю систему, знаходимо вирази для похідних як функції x . Інтегруючи, отримаємо:
.
Тут - вже не залежать від x постійні. Підставляючи (4), отримуємо загальне рішення вихідного рівняння.

Зауважимо, що визначення величин похідних ми ніде не використовували той факт, що коефіцієнти a i є постійними. Тому метод Лагранжа застосовується для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь, якщо відома фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння (2).

Приклади

Розв'язати рівняння методом варіації постійних (Лагранжа).