Похідна вздовж вектор. Похідна за напрямком

Розглянемо функцію u(x, y, z) у точці М(x, y, z) та точці М 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Проведемо через точки М і М1 вектор. Кути нахилу цього вектора до напрямку координатних осей х, у, z позначимо відповідно a, b, g. Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусамивектора.

Відстань між точками М та М 1 на векторі позначимо DS.

де величини e 1 , e 2 , e 3 - нескінченно малі при .

З геометричних міркувань очевидно:

Таким чином, наведені вище рівності можуть бути подані наступним чином:

Зауважимо, що величина s є скалярною. Вона лише визначає напрямок вектора.

З цього рівняння випливає таке визначення:

Межа називається похідної функції u(x, y, z) у напрямку векторау точці з координатами (x, y, z).

Пояснимо значення викладених вище рівностей з прикладу.

Приклад 9.1. Обчислити похідну функції z = x 2 + y 2 x у точці А(1, 2) у напрямку вектора. У (3, 0).

Рішення.Насамперед необхідно визначити координати вектора.

Знаходимо приватні похідні функції z в загальному вигляді:

Значення цих величин у точці А:

Для знаходження напрямних косінусів вектора виконуємо такі перетворення:

За величину приймається довільний вектор, спрямований уздовж заданого вектора, тобто. визначального напрям диференціювання.

Звідси отримуємо значення напрямних косінусів вектора:

cosa =; cosb = -

Остаточно отримуємо: - значення похідної заданої функціїза напрямом вектора.

Якщо в деякій ділянці D задана функція u = u(x, y, z) і деякий вектор, проекції якого на координатні осі рівні значенням функції u у відповідній точці

то цей вектор називається градієнтомфункції u.

При цьому говорять, що в області D встановлено поле градієнтів.

Теорема: Нехай задана функція u = u(x, y, z) та поле градієнтів

Тоді похідна у напрямку деякого вектора дорівнює проекції вектора gradu на вектор.

Доведення: Розглянемо одиничний вектор і деяку функцію u = u(x, y, z) і знайдемо скалярний добуток векторів gradu.

Вираз, що стоїть у правій частині цієї рівності є похідною функції u за напрямком s.

Тобто. . Якщо кут між векторами graduі позначити через j, то скалярний добуток можна записати у вигляді добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. З огляду на те, що вектор одиничний, тобто. його модуль дорівнює одиниці, можна записати:

Вираз, який стоїть у правій частині цієї рівності і є проекцією вектора grad uна вектор.

Теорему доведено.

Для ілюстрації геометричного і фізичного сенсу градієнта скажімо, що градієнт – вектор, що показує напрямок якнайшвидшого зміни деякого скалярного поля у якій-небудь точці. У фізиці є такі поняття як градієнт температури, градієнт тиску тощо. Тобто. Напрямок градієнта є напрямок найбільш швидкого зростання функції.

З погляду геометричного уявлення градієнт перпендикулярний поверхні рівня функції.

1) Випадок функції двох змінних. Напрямок задається вектором. Виберемо одиничний вектор, що задає напрямок на площині: . Цей вектор утворює кут із позитивним напрямом осі OX. Похідної функції двох змінних у напрямку прийнято називати вираз .

2) Випадок функції трьох змінних. Нехай заданий одиничний вектор , що утворює кути з осями OX, OY та OZ відповідно. Якщо позначити координати вектора через , то за формулою косинуса кута між двома векторами і отримаємо . Аналогічно, . Τᴀᴋᴎᴎᴩᴀᴈᴏᴍ, одиничний вектор, що утворює кути з осями OX, OY і OZ, має координати . Похідної функції трьох змінних у напрямку прийнято називати вираз

Визначення.Градієнтомфункції прийнято називати вектор . З цієї причини похідну функції за напрямком, що задається одиничним вектором, можна обчислити за формулою , де праворуч у формулі стоїть скалярне твір градієнта функції та одиничного вектора напряму.

Основна властивість градієнта: серед усіляких напрямів найбільше, причому позитивне, значення похідна за напрямом приймає за напрямом градієнта. Ця властивість випливає з визначення скалярного твору. Оскільки позитивність похідної означає зростання функції, напрям градієнта в точці - це напрям найбільшого зростання функції.

Приватні похідні вищих порядків.

Будь-яка приватна похідна функції змінних сама також є функцією змінних. Приватна похідна від приватної похідної функції багатьох змінних прийнято називати приватної похідної другого порядкуфункції. При цьому, якщо змінні, за якими беруться похідні спочатку від функції , а потім від функції , не збігаються, така приватна похідна прийнято називати змішаною. Позначення приватної похідної другого порядку: . У тому випадку, коли і – безперервні функції на околиці певної точки, у цій точці.

Аналогічно запроваджуються приватні похідні будь-якого порядку.

П р і м е р.
Розміщено на реф.
Знайти від функції. Маємо
.

Для того, щоб обчислити ту ж похідну за допомогою MAXIMи, скористаємося командою diff(log(x+3*y),x,2,y,1).

Диференціали вищих порядків.

За аналогією з похідними запроваджуються диференціали вищих порядків, тобто диференціали від диференціалів. Розглянемо функцію трьох змінних. Диференціалом цієї функції є вираз. Зауважимо, що похідні, що входять в останній вираз, – функції від , а диференціали змінних не залежать від . З цієї причини за умови безперервності змішаних похідних диференціал другого порядку має вигляд

В останній формулі ми скористалися властивістю рівності змішаних похідних. Неважко бачити, що формула диференціала другого порядку аналогічна формулі другого ступеня суми трьох доданків. Неважко порахувати диференціали другого та третього порядків функції двох змінних: ,

Вправа.Знайти для функції у точці (1,1).

Формула Тейлора для функції багатьох змінних.

Як і у разі функцій однієї змінної, для функцій багатьох змінних формулаТейлора дає зв'язок між збільшенням функції в точці та її диференціалами в цій же точці:

де .

Зокрема, для функції двох змінних маємо:

Тут .

Похідна за напрямком. - Поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Похідна за напрямком." 2017, 2018.

- Похідна за напрямком. Градієнт. Зв'язок градієнта з похідним у напрямку.

Розглянемо функцію u(x, y, z) у точці М(x, y, z) та точці М1(x + Dx, y + Dy, z + Dz). Проведемо через точки М та М1 вектор. Кути нахилу цього вектора до напрямку координатних осей х, у, z позначимо відповідно a, b, g. Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусамівектора. ....

- Похідна за напрямком

Важливою характеристикою скалярного поля U(M) є швидкість зміни функції поля у вказаному напрямку. Якщо цей напрямок збігається з напрямком однієї з координатних осей, ми отримаємо значення відповідної приватної похідної. З векторної алгебри.

- Похідна за напрямком. Градієнт.

Нехай функція U = F (X, Y, Z) безперервна в деякій ділянці D і має в цій області безперервні приватні похідні. Виберемо в області, що розглядається, точку M(X,Y,Z) і проведемо з неї вектор S, що направляють косинуси якого cosA, cosB, cosG. На векторі S з відривом DS від початку... .

- Тема 11. Похідна за напрямком. Градієнт

Похідної функції в точці у напрямку називається межа, де якщо межа існує. Якщо функція диференційована, то похідна за напрямом обчислюється за формулою (1) де напрямні косинуси вектора Зокрема, якщо функція двох змінних,... .

- Похідна за напрямком. Градієнт

Скалярне поле. Поверхні рівня. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ТЕОРІЇ ПОЛЯ Основні етапи розвитку математичної фізики У самостійну науку математична фізика виділилася наприкінці XVIII – початку XIXстоліття. Саме цього... .

Похідна за напрямком.

Нехай у площині XOYрозташована точка M 0 (x 0 ,y 0 ). Задамо довільний кут aі розглянемо безліч точок тієї ж площині, координати яких визначаються з формул

x = x 0 + t cos a, y = y 0 + t sin a. (1)

Тут t‑ параметр, який може дорівнювати будь-якому числу. З формул (1) випливає:

(y - y 0)/(x - x 0) = tg a

Це означає, що всі точки M(x,y), координати яких задовольняють рівностям (1), лежать на прямій, що проходить через точку M 0 (x 0 ,y 0) та складової кут aз віссю OX. Кожному значенню tвідповідає єдина точка M(x,y), що лежить на цій прямій, причому згідно з формулою (1) з відстань між точками M 0 (x 0 ,y 0) та M(x,y) одно t. Можна вважати цю пряму числову віссю з позитивним напрямом, що визначається зростанням параметра t. Позначимо позитивний напрямок цієї осі символом l.

l.Похідної функції z = f(x,y) у точці M 0 (x 0 ,y 0)у напрямку l називається число

Похідної функції за напрямом можна дати геометричну інтерпретацію. Якщо через пряму l, що визначається формулами (1), провести вертикальну площину P(насправді в тривимірному просторі рівняння (1) визначають цю саму площину), то ця площина перетне поверхню-графік функції z = f(x,y) вздовж

деякою просторовою кривою L. Тангенс кута між горизонтальною площиною та дотичною до цієї кривої в точці M 0 (x 0 ,y 0) дорівнює похідної функції у цій точці за напрямом l.

У будь-якому курсі математичного аналізудоводиться, що похідна за напрямом, яка визначається формулою (2), може бути подана у вигляді

Зауважимо, що приватна похідна по xтеж є похідною за напрямом. Цей напрямок визначається рівностями: cos a = 1; sin a = 0. Аналогічно приватна похідна за y- це похідна за напрямком, який можна задати умовами cos a = 0; sin a = 1.

Перш ніж аналізувати формулу (3), наведемо деякі поняття та факти з курсу векторної алгебри. Нехай у площині із системою координат XOYзаданий спрямований відрізок або (що те саме) вектор, причому точка M 0 (x 0 ,y 0) є його початковою точкою, а M 1 (x 1 ,y 1) - кінцевою точкою. Визначимо координату вектора по осі OXяк число, що дорівнює x 1 ‑ x 0 , а координату по осі , як число, що дорівнює y 1 ‑ y 0 . Якщо задати впорядковану пару будь-яких чисел aі bці цифри можна розглядати як координати деякого вектора в площині XOY, причому довжина цього вектора визначена формулою

а тангенс кута нахилу gвектор до осі OXвизначається з формули tg g = b/a(зазначимо, що знаючи величину tg g, а також знак будь-якого з чисел aі b, ми можемо визначити кут gз точністю до 2 p).

Подання вектора як пари його координат будемо записувати як . Таке уявлення має одну характерну особливість: воно не визначає розташування вектора на площині XOY. Щоб його визначити, потрібно поряд з координатами вектора задавати, наприклад, координати його початкової точки або, як її можна назвати, точки програми вектора.

Якщо задані два вектори: і , то скалярним творомцих векторів називається число ( j- Кут між векторами).

У будь-якому курсі векторної алгебри доводиться, що скалярний добуток векторів дорівнює сумі творів однойменних координат цих векторів:

= a 1 b 1 + a 2 b 2 . (4)

Нехай у деякій області Gплощині XOYзадана функція z = f(x,y) , що має безперервні приватні похідні за обома аргументами.

Градієнтомабо вектором-градієнтом функції f(x, y)у точці (x,y) Î G називається вектор, який задається формулою

Функція fвизначає для кожної точки області Gвектор-градієнт, що виходить із цієї точки.

Повернемося тепер до формули (3). Її праву частинуми можемо розглядати як скалярне твір векторів. Перший з них – вектор-градієнт функції z = f(x,y) у точці M 0 (x 0 ,y 0):

Другий – вектор . Це вектор, що має довжину 1 і кут нахилу до осі Ox, що дорівнює a.

Тепер можна зробити висновок, що похідна функції z = f(x,y) за напрямом, що визначається кутом aнахилу до осі OX, у точці M 0 (x 0 ,y 0) може бути обчислена за формулою

. (5)

Тут b‑ кут між вектором і вектором , що задає напрямок, яким береться похідна. Тут також враховано, що

Скалярним полемназивається частина простору (або весь простір), кожній точці якої відповідає чисельне значення деякої скалярної величини.

Приклади

Тіло, що має у кожній точці певне значення температури – скалярне поле.

Неоднорідне тіло, кожній точці якої відповідає певна густина – скалярне поле густини.

У всіх цих випадках скалярна величина U не залежить від часу, а залежить від положення (координат) точки М у просторі, тобто – це функція трьох змінних, вона називається функцією поля. І назад, будь-яка функція трьох змінних u=f(x, y, z)задає деяке скалярне поле.

Функція плоского скалярного поля залежить від двох змінних z = f (x, y).

Розглянемо скалярне поле u = f (x, y, z).

Вектор, координатами якого є приватні похідні функції, обчислені у заданій точці, називається градієнтомфункції у цій точці чи градієнтом скалярного поля.

Розглянемо деякий вектор і на ньому дві точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0)та . Знайдемо збільшення функції у напрямку:

Похідний за напрямкомназивається наступна межа, якщо вона існує:

де - напрямні косинуси вектора; α, β, γ - кути, які утворює вектор з осями координат, якщо .

Для функції двох змінних ці формули набувають вигляду:

або ,

так як .

Між градієнтом і похідною за напрямом в одній точці існує зв'язок.

Теорема.Скалярний добуток градієнта функції на вектор деякого напрямку і похідної даної функції в напрямку цього вектора:

Слідство.Похідна за напрямком найбільше значення, якщо цей напрямок збігається з напрямком градієнта (обґрунтувати самостійно, використовуючи визначення скалярного твору та вважаючи, що ).

Висновки:

1. Градієнт – це вектор, що показує напрям найбільшого зростання функції у цій точці і має модуль, чисельно рівний швидкостіцього зростання: