При обробці часових рядів необхідно враховувати наявність автокореляціїі авторегресії, При яких значення наступного рівня ряду залежать від попередніх значень.

Автокореляція– явище взаємозв'язку між рядами: початковим і тим самим поруч зрушеним щодо початкового становища на h моментів часу.

Кількісно автокореляцію можна виміряти за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції між рівнями вихідного часового ряду та рівнями цього ряду, зрушеними на кілька кроків у часі.

Формула для розрахунку коефіцієнта автокореляції має вигляд:

Цю величину називають коефіцієнтом автокореляціїрівнів першого порядку, оскільки він вимірює залежність між сусідніми рівнями ряду і .

Аналогічно можна визначити коефіцієнти автокореляції другого та вищих порядків. Так, коефіцієнт автокореляції другого порядку характеризує тісноту зв'язку між рівнями та визначається за формулою:

де

Зсув між сусідніми рівнями або зрушеними на будь-яку кількість періодів часу називають тимчасовим лагом . Зі збільшенням лага число пар значень, якими розраховується коефіцієнт автокореляції, зменшується. Вважається за доцільне для забезпечення статистичної достовірності коефіцієнтів автокореляції використовувати правило – максимальний лаг повинен бути не більше.

Властивості коефіцієнта автокореляції.

1. Коефіцієнт кореляції будується за аналогією до лінійним коефіцієнтомкореляції і таким чином характеризує тісноту лише лінійного зв'язку поточного та попереднього рівнів ряду. Тому за коефіцієнтом автокореляції можна будувати висновки про наявності лінійної (чи близької до лінійної) тенденції. Для деяких часових рядів, що мають сильну нелінійну тенденцію (наприклад, параболу другого порядку або експоненту), коефіцієнт автокореляції рівнів вихідного ряду може наближатися до нуля.

2. За знаком коефіцієнта автокореляції не можна робити висновок про зростаючу або спадну тенденцію в рівнях ряду. Більшість часових рядів економічних даних містять позитивну автокореляцію рівнів, проте при цьому можуть мати спадну тенденцію.

Послідовність коефіцієнтів автокореляції рівнів першого, другого тощо. порядків називають автокореляційною функцієютимчасового ряду. Графік залежності її значень від величини лага (порядку коефіцієнта автокореляції) називається корелограмою.

Аналіз автокореляційної функції і корелограммы дозволяє визначити лаг, у якому автокореляція найбільш висока, отже, і лаг, у якому зв'язок між поточним і попередніми рівнями низки найтісніша, тобто. за допомогою аналізу автокореляційної функції та корелограми можна виявити структуру ряду.

Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції першого порядку, досліджуваний ряд містить лише тенденцію. Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції порядку, ряд містить циклічні коливання з періодичністю в моментів часу. Якщо жоден з коефіцієнтів автокореляції не є значущим, можна зробити одне з двох припущень щодо структури цього ряду: або ряд не містить тенденції і циклічних коливань, або містить сильну нелінійну тенденцію, для виявлення якої потрібно провести додатковий аналіз. Тому коефіцієнт автокореляції рівнів та автокореляційну функціюдоцільно використовувати для виявлення у тимчасовому ряді наявності або відсутності трендової компоненти та циклічної (сезонної) компоненти.

приклад 3.

Нехай є деякі умовні дані (таблиця 11) про загальну кількість товарної продукціїсклад підприємства.

Таблиця 11 - Загальна кількість товарної продукції, що надійшла на склад.

Якщо тимчасовий ряд містить лише випадкову компоненту, рівні тимчасового ряду будуть незалежні один від одного. Якщо ж тимчасовий ряд містить тенденцію чи циклічні коливання, значення кожного наступного рівня залежить від попередніх.

Кореляційну залежність між послідовними рівнями часового ряду називають автокореляцією рівнів ряду.Автокореляцію можна виміряти кількісно. Для цього розраховують лінійний коефіцієнт кореляції між рівнями вихідного часового ряду і рівнями цього ряду, зрушеними на один або кілька кроків у часі.

Наприклад, розумно припустити, що доходи домогосподарства цього року залежать від доходів домогосподарства попередніх років. Визначимо коефіцієнт кореляції між ними. Відома робоча формула лінійного коефіцієнта кореляції

Як чинник ми розглянемо доходи попереднього періоду ( у t-1), а як результат – доходи поточного періоду ( у t), тоді наведена вище формула набуде вигляду

Середній рівень за вихідним рядом динаміки, визначений без урахування першого рівня,

а - це середній рівень у ряді динаміки, зсунутому однією дату.

Відстань між рівнями часового ряду, для яких визначається коефіцієнт кореляції, називається лагом.Наведена вище формула визначає величину автокореляції між сусідніми рівнями, тобто при лазі = 1 тому цей коефіцієнт називають коефіцієнтом автокореляції першого порядку. Припустимо, r 1= 0,98. Отримане значення свідчить про дуже сильну залежність між доходами поточного та попереднього періоду і, отже, про наявність у ряді сильної лінійної тенденції.

Аналогічно можна визначити коефіцієнти автокореляції другого та вищих порядків. p align="justify"> Коефіцієнт автокореляції другого порядку характеризує тісноту зв'язку між рівнями зі зрушенням на дві дати, тобто з лагом 2 і т.д.

Зі збільшенням лага число пар, якими розраховується коефіцієнт автокореляції, зменшується і, отже, знижується достовірність коефіцієнтів. Тому для забезпечення статистичної достовірності лаг не має бути більше, ніж п/ 4, де п- Число рівнів.

При аналізі коефіцієнтів автокореляції слід пам'ятати таке:

1. він визначається за формулою лінійного коефіцієнта кореляції, таким чином, він вимірює тісноту лише лінійного зв'язку поточного та попереднього рівнів часового ряду. Для тимчасових рядів, що мають сильну нелінійну тенденцію, коефіцієнт автокореляції рівнів може бути близьким до нуля;

2. Знак коефіцієнта автокореляції не вказує на напрямок тенденції у вихідному ряду даних (зростання або спадання). Більшість часових рядів економічних змінних містять позитивну автокореляцію рівнів, але при цьому сам ряд може мати негативну тенденцію.

Якщо розташувати коефіцієнти за величиною лага (тобто коефіцієнти першого порядку, другого, третього тощо.), ми отримаємо автокореляційну функцію часового ряду. Графік залежності величини коефіцієнта автокореляції від лага називають корелограмою.

Аналіз автокореляційної функції та корелограми дозволяє виявити структуру часового ряду. Виявити структуру часового ряду – це означає виявити наявність чи відсутність його основних компонентів (Т – трендової компоненти та S – сезонної чи циклічної компоненти). Ряд може складатися тільки з трендової та випадкової компонент; або циклічною та випадковою; може містити лише випадкову компоненту або всі три компоненти одночасно.

Якщо найвищим виявився коефіцієнт першого порядку, досліджуваний ряд містить лише тенденцію.

Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції порядку До,то ряд містить циклічні коливання з періодичністю в Домоментів часу, Так, наприклад, якщо при аналізі часового ряду найбільш високими виявилися коефіцієнти автокореляції другого порядку, ряд має цикли в два періоди часу, тобто має так звану пилкоподібну структуру. Найбільш високий коефіцієнт четвертого порядку вказує на наявність у ряді циклу у чотири моменти (періоду) часу. Якщо жоден з коефіцієнтів перестав бути статистично значимим, можна зробити такі припущення:

1. ряд не містить ні тенденції, ні циклів, а складається лише з випадкової компоненти;

2. ряд містить сильну нелінійну тенденцію, виявлення якої необхідно провести додатковий аналіз.

При моделюванні часових рядів трапляються ситуації, коли залишки містять тенденцію чи циклічність. У цьому випадку залишки не є незалежними, кожне наступне значення залишку залежить від попереднього. Це явище отримало назву автокореляція залишків.

Назвемо причини існування автокореляції залишків:

1. в модель не включений фактор, що надає суттєвий вплив на результат; його вплив відображатиметься в залишках, тобто вони можуть бути автокорельовані;

2. модель не враховує впливу кількох другорядних факторів, спільний вплив яких може бути суттєвим (якщо їх тенденції збігаються або фази циклічності збігаються);

3. автокореляція залишків може полягати в неправильній функціональній специфікації моделі.

Існують два способи визначення автокореляції у залишках. Перший полягає у візуальному аналізі графіка залежностей залишків від часу. Другий спосіб передбачає використання критерію Дарбіна-Уотсона. Величину критерію (d) можна визначити за однією з формул

або d 2(1 – r e 1) ,

де r e 1- Коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку.

Якщо у залишках існує повна позитивна автокореляція, то r e 1=1 і d = 0. Якщо у залишках повна негативна автокореляція,то

r e 1=-1 та d = 4. Якщо автокореляція залишків відсутня, то r e 1=0 та d = 2.

На практиці використовується наступний алгоритм перевірки гіпотези про автокореляцію залишків:

1. висувається нульова гіпотеза про відсутність автокореляції у залишках;

2. визначається фактичне значення критерію Дарбіна - Вотсона (d);

3. за спеціальними таблицями (додаток підручника з економетрики) знаходять критичні значення критерію d L і d u , де п –кількість спостережень, k- незалежних змінних у моделі; - рівень значущості;

4. Чисельний проміжок всіх можливих значень d розбивається на 5 відрізків

0 d L d u 2 4- d u 4 - d L 4

5. якщо d - фактичне потрапляє у зону невизначеності, то припускають існування автокореляції у залишках.

У разі досліджувати причинно-наслідкові зв'язку змінних по залишкам не можна, отримаємо помилкову кореляцію.

При порушенні гомоскедастичності (тобто наявність гетероскедастичності) та наявності автокореляції залишків рекомендується традиційний метод найменших квадратів(МНК), який проводиться за вихідними даними, замінювати узагальненим методом найменших квадратів (ОМНК), який проводиться за перетвореними даними.

4.1. Автокореляція рівнів часового ряду

(4.1)

Де

Цю величину називають коефіцієнтом автокореляції рівнів ряду першого порядку, оскільки він вимірює залежність між сусідніми рівнями ряду і
.

Аналогічно можна визначити коефіцієнти автокореляції другого та вищих порядків. Так, коефіцієнт автокореляції другого порядку характеризує тісноту зв'язку між рівнями і
і визначається за формулою:

(4.2)

де

(7.1.)

де
, а
.

Число періодів , за якими розраховується коефіцієнт автокореляції, називають лагом . Зі збільшенням лага число пар значень, якими розраховується коефіцієнт автокореляції, зменшується. Вважається за доцільне для забезпечення статистичної достовірності коефіцієнтів автокореляції використовувати правило – максимальний лаг повинен бути не більше
.

Послідовність коефіцієнтів автокореляції рівнів першого, другого тощо. порядків називають автокореляційною функцієютимчасового ряду. Графік залежності її значень від величини лага (порядку коефіцієнта автокореляції) називається корелограмою.

Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції першого порядку, досліджуваний ряд містить лише тенденцію. Якщо найвищимвиявився коефіцієнт автокореляції порядку , то ряд містить циклічні коливанняз періодичністю у моменти часу. Якщо жоден з коефіцієнтів автокореляції не є значущим, можна зробити одне з двох припущень щодо структури цього ряду: або ряд не містить тенденції і циклічних коливань, або містить сильну нелінійну тенденцію, для виявлення якої потрібно провести додатковий аналіз. Тому коефіцієнт автокореляції рівнів та автокореляційну функцію доцільно використовувати для виявлення у тимчасовому ряді наявності чи відсутності трендової компоненти та циклічної (сезонної) компоненти.

Розглянемо приклад. Нехай є деякі умовні дані про загальну кількість правопорушень на митниці одного із суб'єктів РФ (наприклад, Республіки Татарстан).

Таблиця 4.1

Побудуємо поле кореляції:

Рис. 4.4.

Вже з графіка видно, що значення утворюють пилкоподібну фігуру. Розрахуємо кілька послідовних коефіцієнтів автокореляції. Для цього складаємо першу допоміжну таблицю.

Таблиця 4.2

Слід зазначити, що середнє значення виходить шляхом розподілу не так на 16, але в 15, т.к. у нас тепер на одне спостереження менше.

Тепер обчислюємо коефіцієнт автокореляції першого порядку за формулою (4.1):

Складаємо допоміжну таблицю для розрахунку коефіцієнта автокореляції другого порядку.

Таблиця 4.3

Отже

Аналогічно знаходимо коефіцієнти автокореляції вищих порядків, проте отримані значення заносимо в зведену таблицю.

Таблиця 4.4

Корелограма:

Рис. 4.5.

Аналіз корелограми і графіка вихідних рівнів часового ряду дозволяє зробити висновок про наявність в часовому ряді сезонних коливань, що вивчається, періодичністю в чотири квартали.

Автокореляція рівнів часового ряду

За наявності у часовому ряді тенденції та циклічних коливань значення кожного наступного рівня ряду залежать від попередніх. Кореляційну залежність між послідовними рівнями часового ряду називають автокореляцією рівнів ряду.

Кількісно її можна виміряти за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції між рівнями вихідного часового ряду та рівнями цього ряду, зрушеними на кілька кроків у часі.

Формула для розрахунку коефіцієнта автокореляції має вигляд:

Цю величину називають коефіцієнтом автокореляції рівнів ряду першого порядку, оскільки він вимірює залежність між сусідніми рівнями ряду та .

Аналогічно можна визначити коефіцієнти автокореляції другого та вищих порядків. Так, коефіцієнт автокореляції другого порядку характеризує тісноту зв'язку між рівнями та визначається за формулою:

Число періодів, якими розраховується коефіцієнт автокореляції, називають лагом. Зі збільшенням лага число пар значень, якими розраховується коефіцієнт автокореляції, зменшується. Вважається за доцільне для забезпечення статистичної достовірності коефіцієнтів автокореляції використовувати правило – максимальний лаг повинен бути не більше.

Властивості коефіцієнта автокореляції.

Він будується за аналогією з лінійним коефіцієнтом кореляції і таким чином характеризує тісноту лише лінійного зв'язку поточного та попереднього рівнів ряду. Тому за коефіцієнтом автокореляції можна будувати висновки про наявності лінійної (чи близької до лінійної) тенденції. Для деяких часових рядів, що мають сильну нелінійну тенденцію (наприклад, параболу другого порядку або експоненту), коефіцієнт автокореляції рівнів вихідного ряду може наближатися до нуля.

За знаком коефіцієнта автокореляції не можна робити висновок про зростаючу або спадну тенденцію в рівнях ряду. Більшість часових рядів економічних даних містять позитивну автокореляцію рівнів, проте при цьому можуть мати спадну тенденцію.

Послідовність коефіцієнтів автокореляції рівнів першого, другого тощо. порядків називають автокореляційною функцією часового ряду. Графік залежності її значень від величини лага (порядку коефіцієнта автокореляції) називається корелограмою.

Аналіз автокореляційної функції і корелограммы дозволяє визначити лаг, у якому автокореляція найбільш висока, отже, і лаг, у якому зв'язок між поточним і попередніми рівнями низки найтісніша, тобто. за допомогою аналізу автокореляційної функції та корелограми можна виявити структуру ряду.

Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції першого порядку, досліджуваний ряд містить лише тенденцію. Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції порядку, ряд містить циклічні коливання з періодичністю в моментів часу. Якщо жоден з коефіцієнтів автокореляції не є значущим, можна зробити одне з двох припущень щодо структури цього ряду: або ряд не містить тенденції і циклічних коливань, або містить сильну нелінійну тенденцію, для виявлення якої потрібно провести додатковий аналіз. Тому коефіцієнт автокореляції рівнів та автокореляційну функцію доцільно використовувати для виявлення у тимчасовому ряді наявності чи відсутності трендової компоненти та циклічної (сезонної) компоненти.

Автокореляція у тимчасових рядах

Для характеристики динаміки зміни економічних показниківчасто використовується поняття автокореляції, яка характеризує як взаємозалежність рівнів однієї й тієї низки, які стосуються різних моментів спостережень, а й ступінь стійкості розвитку процесу у часі, величину оптимального періоду прогнозування тощо.

Ступінь тісноти статистичного зв'язку між рівнями часового ряду, зрушеними на t одиниць часу визначається величиною коефіцієнта кореляції, тому що вимірює тісноту зв'язку між рівнями одного і того ж часового ряду, тому його прийнято називати . Графік автокореляційної функції називається корелограмою .

Вибірковий коефіцієнт автокореляції обчислюється за такою формулою:

(3.4.13)

Для розрахунку коефіцієнта автокореляції за формулою (3.4.12) Excel можна скористатися функцією КОРРЕЛ. Припустимо, що базова змінна включає діапазон А1: А34.

Тоді коефіцієнт автокореляції дорівнює:

Корел (А1: А33; А2: А34).

Насправді, зазвичай, при обчисленні автокореляції використовується формула (3.4.13).

Аналіз автокореляційної функції і корелограмми дозволяє визначити лаг, у якому автокореляція найвища, тобто. за допомогою аналізу автокореляційної функції та корелограми можна виявити структуру ряду.

Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції першого порядку, досліджуваний ряд містить лише тенденцію. Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції порядку t, ряд містить циклічні коливання з періодичністю в t моментів часу.

Якщо жоден з коефіцієнтів автокореляції не є значущим, то можна зробити одне з двох припущень щодо структури цього ряду: або ряд не містить тенденції та сезонних коливань, або містить сильну нелінійну тенденцію, для виявлення якої потрібно провести додатковий аналіз. Тому коефіцієнт автокореляції рівнів та автокореляційну функцію доцільно використовувати для виявлення у тимчасовому ряді наявності або відсутності трендової компоненти (f(t)) та сезонної компоненти (S).

Приклад 3.4.3.Аналіз тимчасового ряду валового внутрішнього продукту

Валовий внутрішній продукт ( ВВП) – є на стадії виробництва суму доданих цін галузей економіки, але в стадії використання – вартість товарів та послуг, призначених для кінцевого споживання, накопичення та експорту.

Як вихідна інформація використовуються дані: номінальний обсяг валового внутрішнього продукту, млрд. руб. (З 1998 р млн. руб.)– квартальні дані з 1994:1 до 2003:1 (Табл. 3.4.7). Графік цього ряду наведено на рис.3.4.6.

З нього видно, що дані мають підвищуючий тренд. Таким чином, вже візуальний аналіз дозволяє зробити висновок про нестаціонарність вихідного часового ряду.

Перевіримо це припущення, обчислимо коефіцієнти автокореляції (табл. 3.4.8) та побудуємо графік автокореляційної функції тимчасового ряду ВВП (корелограму) (див. рис. 3.4.7).

Табл. 3.4.7. ВВП[

Табл. 3.4.8.

Рис. 3.4.7. Корелограма.

Корелограма автокореляційної функції у разі стаціонарного часового ряду повинна швидко зменшуватися зі зростанням t після декількох перших значень. Рис. 3.4.7 показує, що досліджуваний ряд не стаціонарний. Тимчасовий ряд внутрішнього валового продукту містить трендову компоненту.

Вступ

Періодична залежність відігравала роль загального типу компонентів часового ряду. Неважко помітити, що кожне спостереження дуже схоже на прикордонне; до того ж є періодична складова, що означає, що означає, що кожне спостереження також схоже на спостереження, що було в той же час період тому.

Загалом періодична залежність може бути формально визначена як кореляційна залежність порядку n між кожним i-м елементомряду та (i-n) - м елементом. Її можна вимірювати за допомогою автокореляції (тобто кореляції між самими членами ряду); n зазвичай називають лагом (іноді використовують еквівалентні терміни: зсув, запізнення). Якщо помилка виміру не надто велика, то періодичність можна визначити візуально, розглядаючи поведінку членів ряду через кожні n тимчасових одиниць.

Періодичні складові часового ряду можуть бути знайдені за допомогою корелограми. Корелограма (автокорелограма) представляє чисельно та графічно автокореляційну функцію. Іншими словами, коефіцієнти автокореляції для послідовності кроків із певного діапазону. На корелограмі просто відзначається діапазон у розмірі двох стандартних помилок на кожному лазі, проте зазвичай величина автокореляції більш цікава, ніж її надійність, тому що інтерес переважно представляють дуже сильні автокореляції.

При вивченні корелограми слід знати наступне: автокореляції послідовних лагів формально залежні між собою.

Розглянемо приклад. Якщо перший член ряду тісно пов'язаний з другим, а другий з третім, перший елемент повинен також якимось чином залежати від третього і т.д. Це призводить до того, що періодична залежність може істотно змінитись після видалення автокореляцій першого порядку (тобто після взяття різниці з лагом 1).

Мета роботи:

1. Дати основні теоретичні відомості

2. Дати приклади розрахунку АКФ

Теоретичні відомості

Коефіцієнт автокореляції та її оцінка

Для досконалої характеристики випадкового руху недостатньо його математичного очікування та дисперсії. Імовірність того, що на певному місці виникнуть ті чи інші конкретні значення, залежить від того, які ролі випадкова величинаотримала раніше чи отримуватиме пізніше.

Іншими словами, існує поле розсіювання пар значень x(t), x (t+n) часового ряду, де n - постійний інтервал або затримка, що характеризує залежність подальших реалізацій процесу від попередніх. Тіснота цього взаємозв'язку оцінюється коефіцієнтами автоковаріації -

g(n) = E[(x(t) - m) (x(t + n) - m)] -

та автокореляції

r (n) = E [(x (t) - m) (x (t + n) - m)] / D,

де m та D - математичне очікуваннята дисперсія випадкового процесу. Для розрахунку автоковариації та автокореляції реальних процесів необхідна інформація про спільний розподіл ймовірностей рівнів ряду p(x(t1), x(t2)).

r (n) = g (n) / g (0),

звідки випливає, що r(0) = 1. У тих самих умовах стаціонарності множник кореляції r(n) між двома значеннями часового ряду залежить лише від величини часового інтервалу n і не залежить від самих моментів спостережень t. Коефіцієнт автокореляції можна оцінити й у нестаціонарного низки, але у разі його ймовірнісна інтерпретація втрачається.

У статистиці є кілька вибіркових оцінок теоретичних значень автокореляції r(n) процесу по кінцевому ряду тимчасового з n спостережень. Найбільш популярною оцінкою є нециклічний коефіцієнт автокореляції із затримкою n

Головним з різних коефіцієнтів автокореляції є перший - r 1 вимірює тісноту зв'язку між рівнями x(1), x(2),…, x (n -1) і x(2), x(3),…, x(n ).

Розподіл коефіцієнтів автокореляції невідомий, тому для оцінки їхньої правдивості іноді використовують непараметричну теорію Андерсона (1976), який запропонував статистику.

t = r 1 (n -1) 0.5

яка за досить великий вибірці розподілена нормально, має нульову середню дисперсію, рівну одиниці (Тинтнер, 1965).

За наявності у часовому ряді тенденції та циклічних коливань значення кожного наступного рівня ряду залежать від попередніх. Кореляційну залежність між послідовними рівнями часового ряду називають автокореляцією рівнів ряду.

Кількісно її можна виміряти за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції між рівнями вихідного часового ряду та рівнями цього ряду, зрушеними на кілька кроків у часі.

Формула для розрахунку коефіцієнта автокореляції має вигляд:

Де

Цю величину називають коефіцієнтом автокореляції рівнів ряду першого порядку, оскільки він вимірює залежність між сусідніми рівнями ряду і
.

Аналогічно можна визначити коефіцієнти автокореляції другого та вищих порядків. Так, коефіцієнт автокореляції другого порядку характеризує тісноту зв'язку між рівнями і
і визначається за формулою:

(4.2)

де

(7.1.)

де
, а
.

Число періодів , за якими розраховується коефіцієнт автокореляції, називають лагом . Зі збільшенням лага число пар значень, якими розраховується коефіцієнт автокореляції, зменшується. Вважається за доцільне для забезпечення статистичної достовірності коефіцієнтів автокореляції використовувати правило – максимальний лаг повинен бути не більше
.

Властивості коефіцієнта автокореляції.

Він будується за аналогією з лінійним коефіцієнтом кореляції і таким чином характеризує тісноту лише лінійного зв'язку поточного та попереднього рівнів ряду. Тому за коефіцієнтом автокореляції можна будувати висновки про наявності лінійної (чи близької до лінійної) тенденції. Для деяких часових рядів, що мають сильну нелінійну тенденцію (наприклад, параболу другого порядку або експоненту), коефіцієнт автокореляції рівнів вихідного ряду може наближатися до нуля.

За знаком коефіцієнта автокореляції не можна робити висновок про зростаючу або спадну тенденцію в рівнях ряду. Більшість часових рядів економічних даних містять позитивну автокореляцію рівнів, проте при цьому можуть мати спадну тенденцію.

Послідовність коефіцієнтів автокореляції рівнів першого, другого тощо. порядків називають автокореляційною функцієютимчасового ряду. Графік залежності її значень від величини лага (порядку коефіцієнта автокореляції) називається корелограмою.

Аналіз автокореляційної функції і корелограммы дозволяє визначити лаг, у якому автокореляція найбільш висока, отже, і лаг, у якому зв'язок між поточним і попередніми рівнями низки найтісніша, тобто. за допомогою аналізу автокореляційної функції та корелограми можна виявити структуру ряду.

Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції першого порядку, досліджуваний ряд містить лише тенденцію. Якщо найвищимвиявився коефіцієнт автокореляції порядку , то ряд містить циклічні коливанняз періодичністю в моментів часу. Якщо жоден з коефіцієнтів автокореляції не є значущим, можна зробити одне з двох припущень щодо структури цього ряду: або ряд не містить тенденції і циклічних коливань, або містить сильну нелінійну тенденцію, для виявлення якої потрібно провести додатковий аналіз. Тому коефіцієнт автокореляції рівнів та автокореляційну функцію доцільно використовувати для виявлення у тимчасовому ряді наявності чи відсутності трендової компоненти та циклічної (сезонної) компоненти.

Розглянемо приклад. Нехай є деякі умовні дані про загальну кількість правопорушень на митниці одного із суб'єктів РФ (наприклад, Республіки Татарстан).

Таблиця 4.1

Побудуємо поле кореляції:

Рис. 4.4.

Вже з графіка видно, що значення утворюють пилкоподібну фігуру. Розрахуємо кілька послідовних коефіцієнтів автокореляції. Для цього складаємо першу допоміжну таблицю.

Таблиця 4.2

Слід зазначити, що середнє значення виходить шляхом розподілу не так на 16, але в 15, т.к. у нас тепер на одне спостереження менше.

Тепер обчислюємо коефіцієнт автокореляції першого порядку за формулою (4.1):

Складаємо допоміжну таблицю для розрахунку коефіцієнта автокореляції другого порядку.

Таблиця 4.3

Отже

Аналогічно знаходимо коефіцієнти автокореляції вищих порядків, проте отримані значення заносимо в зведену таблицю.

Таблиця 4.4

Корелограма:

Рис. 4.5.

Аналіз корелограми і графіка вихідних рівнів часового ряду дозволяє зробити висновок про наявність в часовому ряді сезонних коливань, що вивчається, періодичністю в чотири квартали.

За наявності у часовому ряді тенденції та циклічних коливань значення кожного наступного рівня ряду залежать від попередніх. Кореляційну залежність між послідовними рівнями часового ряду називають Автокореляцією рівнів ряду.

Кількісно її можна виміряти за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції між рівнями вихідного часового ряду та рівнями цього ряду, зрушеними на кілька кроків у часі.

Формула для розрахунку коефіцієнта автокореляції має вигляд:

(4.1)

.

Цю величину називають Коефіцієнт автокореляції рівнів ряду першого порядку, оскільки він вимірює залежність між сусідніми рівнями ряду та .

Аналогічно можна визначити коефіцієнти автокореляції другого та вищих порядків. Так, коефіцієнт автокореляції другого порядку характеризує тісноту зв'язку між рівнями та визначається за формулою:

(4.2)

Число періодів, за якими розраховується коефіцієнт автокореляції, називають Лагом. Зі збільшенням лага число пар значень, якими розраховується коефіцієнт автокореляції, зменшується. Вважається за доцільне для забезпечення статистичної достовірності коефіцієнтів автокореляції використовувати правило – максимальний лаг повинен бути не більше.

Властивості коефіцієнта автокореляції.

1. Він будується за аналогією з лінійним коефіцієнтом кореляції і також характеризує тісноту лише лінійного зв'язку поточного та попереднього рівнів ряду. Тому за коефіцієнтом автокореляції можна будувати висновки про наявності лінійної (чи близької до лінійної) тенденції. Для деяких часових рядів, що мають сильну нелінійну тенденцію (наприклад, параболу другого порядку або експоненту), коефіцієнт автокореляції рівнів вихідного ряду може наближатися до нуля.

2. За знаком коефіцієнта автокореляції не можна робити висновок про зростаючу або спадну тенденцію в рівнях ряду. Більшість часових рядів економічних даних містять позитивну автокореляцію рівнів, проте при цьому можуть мати спадну тенденцію.

Послідовність коефіцієнтів автокореляції рівнів першого, другого тощо порядків називають Автокореляційною функцієютимчасового ряду. Графік залежності її значень від величини лага (порядку коефіцієнта автокореляції) називається Корелограмою.

Аналіз автокореляційної функції та корелограми дозволяє визначити лаг, при якому автокореляція найбільш висока, а, отже, і лаг, при якому зв'язок між поточним та попередніми рівнями ряду найбільш тісний, тобто за допомогою аналізу автокореляційної функції та корелограми можна виявити структуру ряду.

Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції першого порядку, досліджуваний ряд містить лише тенденцію. Якщо найвищим виявився коефіцієнт автокореляції порядку, ряд містить циклічні коливання з періодичністю в моментів часу. Якщо жоден з коефіцієнтів автокореляції не є значущим, можна зробити одне з двох припущень щодо структури цього ряду: або ряд не містить тенденції і циклічних коливань, або містить сильну нелінійну тенденцію, для виявлення якої потрібно провести додатковий аналіз. Тому коефіцієнт автокореляції рівнів та автокореляційну функцію доцільно використовувати для виявлення у тимчасовому ряді наявності чи відсутності трендової компоненти та циклічної (сезонної) компоненти.

Розглянемо приклад. Нехай є деякі умовні дані щодо загального обсягу споживання електроенергії на одному з підприємств міста.

Таблиця 4.1

Побудуємо поле кореляції:

Вже з графіка видно, що значення Yутворюють пилкоподібну фігуру.

Розрахуємо кілька послідовних коефіцієнтів автокореляції. Для цього складаємо першу допоміжну таблицю (див. табл. 4.2).

Слід зазначити, що середнє значення виходить шляхом розподілу не так на 16, але в 15, тому що в нас тепер одне спостереження менше.

Тепер обчислюємо коефіцієнт автокореляції першого порядку за формулою (4.1):

.

Складаємо допоміжну таблицю 4.3 до розрахунку коефіцієнта автокореляції другого порядку.

Отже

Аналогічно знаходимо коефіцієнти автокореляції вищих порядків, проте отримані значення заносимо в зведену таблицю 4.4.

Таблиця 4.2

Таблиця 4.3