तर्क और प्रमाण। साक्ष्य: प्रत्यक्ष, उल्टा, विरोधाभास से

प्रमेयएक कथन है जिसकी वैधता तर्क द्वारा स्थापित की जाती है। तर्क को ही प्रमेय का प्रमाण कहा जाता है।

प्रमेय इसके विपरीतएक प्रमेय है जिसमें शर्त इस प्रमेय का निष्कर्ष है, और निष्कर्ष इसकी शर्त है। उदाहरण के लिए: प्रमेय: एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार पर कोण बराबर होते हैं। उलटा प्रमेय: यदि किसी त्रिभुज में दो कोण बराबर हों, तो वह समद्विबाहु होता है।

परिणामएक कथन है जो सीधे प्रमेय से प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए: परिणामऊंचाई प्रमेय से समद्विबाहु त्रिकोणहै: एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका जो आधार की ओर खींची गई है, ऊँचाई और समद्विभाजक है।

विरोधाभास द्वारा सबूतइस प्रकार है:

1) एक धारणा को साबित करने की आवश्यकता के विपरीत किया जाता है।

2) फिर, धारणा से शुरू होकर, तर्क द्वारा, वे या तो शर्त के साथ या ज्ञात तथ्य के साथ विरोधाभास पर आते हैं।

3) प्राप्त अंतर्विरोध के आधार पर यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि धारणा असत्य है, जिसका अर्थ है कि जिसे सिद्ध करना आवश्यक था वह सत्य है।

कर्ण और पैर के साथ समकोण त्रिभुजों की समानता का संकेत।

यदि कर्ण और पाद उसी का सही त्रिकोणक्रमशः एक अन्य समकोण त्रिभुज के कर्ण और पाद के बराबर हैं, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं.

दिया गया :

डीएबीसी - दायां / कोना

बीसी = बी 1 सी 1

सिद्ध करना:

डीएबीसी = डीए 1 बी 1 सी 1

सबूत:

1. हम डीएबीसी से डीए 1 बी 1 सी 1 पर लागू होते हैं ताकि शीर्ष ए शीर्ष ए 1 के साथ गठबंधन हो, शीर्ष बी शीर्ष बी 1 के साथ और शीर्ष सी और सी 1 लाइन एबी के विपरीत किनारों पर हों .

2. चूंकि एबी \u003d ए 1 बी 1 , वे संयोग करेंगे।

3. SA 1 С 1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 SA 1 С 1 - विकसित और बिंदु , 1 और С 1 - एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।

4. DСВС 1 - r/b (ВС= 1 С 1 शर्त के अनुसार)Þ = РС 1 (गुण द्वारा) पर विचार करें

5. इस प्रकार, डीएबीसी \u003d डीए 1 बी 1 सी 1 - कर्ण के साथ और तेज़ कोने. (एच.टी.डी.)

टिकट नंबर 9.

लम्बवत रेखायें। एक पंक्ति के लंबवत।

लम्बवत रेखायें- ये दो सीधी रेखाएं हैं, जो प्रतिच्छेद करने पर चार समकोण बनाती हैं (आकृति में दिखाइए)

एक सीधी रेखा के लंबवतएक बिंदु से एक समकोण पर एक रेखा तक खींचा गया रेखाखंड है। खंड और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को लंब का आधार कहा जाता है (चित्र में दिखाया गया है)

प्रमेयों:

1) एक ऐसे बिंदु से जो एक रेखा पर नहीं है, कोई इस रेखा पर लंब खींच सकता है, और इसके अलावा, केवल एक।

2) एक ही रेखा पर लंबवत दो रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज का चिन्ह।

यदि किसी त्रिभुज में दो कोण बराबर हों, तो वह समद्विबाहु होता है।

दिया गया:

=

सिद्ध करना:

डीएबीसी - आर / डब्ल्यू

सबूत:

1. मानसिक रूप से DABC को कॉपी करें और कॉपी को पलट दें - हमें DABC मिलता है।

2. आइए DCBA को DABC पर अधिरोपित करें, ताकि प्रतिलिपि का शीर्ष C, DABC के शीर्ष A के साथ संरेखित हो जाए।

3. चूँकि त्रिभुज की प्रतिलिपि का = (शर्त के अनुसार) और त्रिभुज का अध्यारोपित होने पर संपाती होगा, इसलिए प्रतिलिपि का और त्रिभुज का भी अध्यारोपित होने पर संपाती होगा।

4. प्रतिलिपि का खंड CB त्रिभुज की किरण AB पर और प्रतिलिपि का खंड AB त्रिभुज की किरण CB पर आरोपित किया जाएगा।

5. चूँकि दो रेखाओं में केवल एक हो सकता है आम बातचौराहे

मी. 1 में बिंदु बी के साथ संपाती होगा और एबी को सीबी के साथ जोड़ा जाएगा एबी = सीबी

6. इस तथ्य से कि AB \u003d CB ⇒ परिभाषा के अनुसार, ABC समद्विबाहु है (p.t.d.)

टिकट नंबर 10.

समद्विबाहु त्रिकोण।

त्रिकोणजिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं, कहलाती हैं समद्विबाहुसमान भुजाएँ कहलाती हैं पक्षों, और तीसरा पक्ष आधार. (तस्वीर में दिखाएँ)

एक समद्विबाहु त्रिभुज की संपत्ति:एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं (आकृति में दिखाइए)

समद्विबाहु त्रिभुज का चिन्ह: यदि किसी त्रिभुज में दो कोण बराबर हों, तो वह समद्विबाहु होता है। (तस्वीर में दिखाएँ)

समद्विबाहु त्रिभुज ऊंचाई प्रमेय: आधार पर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई माध्यिका और समद्विभाजक होती है। (तस्वीर में दिखाएँ)

एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई पर प्रमेय के परिणाम:

1) आधार पर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका ऊँचाई और समद्विभाजक होती है। (तस्वीर में दिखाएँ)

2) आधार पर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज का द्विभाजक ऊँचाई और माध्यिका होता है। (तस्वीर में दिखाएँ)

अभ्यास संख्या 2

विषय: तर्क और प्रमाण। प्रमाण: प्रत्यक्ष, उल्टा, विरोधाभास से। तरीका गणितीय अधिष्ठापन.

सबक के लिए बनाया गया है 2 अकादमिक घंटे।

लक्ष्य: अन्वेषण करना विभिन्न तरीकेसाक्ष्य (प्रत्यक्ष तर्क, "विरोधाभास द्वारा" और विपरीत तर्क की विधि), तर्क की पद्धति को दर्शाता है। गणितीय प्रेरण की विधि पर विचार करें।

सैद्धांतिक सामग्री

सबूत के तरीके

प्रमेयों को सिद्ध करते समय तार्किक तर्क का प्रयोग किया जाता है। कंप्यूटर विज्ञान में साक्ष्य एल्गोरिदम की शुद्धता की जाँच का एक अभिन्न अंग। प्रमाण की आवश्यकता तब उत्पन्न होती है जब हमें प्रपत्र के प्रस्ताव की सच्चाई को स्थापित करने की आवश्यकता होती है (ए .) पर)। निम्नलिखित सहित कई मानक प्रकार के साक्ष्य हैं:

1. प्रत्यक्ष तर्क (प्रमाण)।

हम मानते हैं कि कथन A सत्य है और B की वैधता को दर्शाता है। प्रमाण की यह विधि उस स्थिति को बाहर करती है जबए सच है, ए बी है असत्य है, क्योंकि यह इस और केवल इस मामले में है कि निहितार्थ (ए .) सी) एक गलत मूल्य लेता है (तालिका देखें)।

इस प्रकार, प्रत्यक्ष प्रमाण तर्कों पर विचार करने से लेकर थीसिस को सिद्ध करने तक जाता है, अर्थात थीसिस की सच्चाई सीधे तर्कों द्वारा प्रमाणित होती है। इस प्रमाण की योजना इस प्रकार है: दिए गए तर्कों से(ए, बी, सी, ...) एक सिद्ध थीसिस का अनिवार्य रूप से पालन करना चाहिएक्यू।

इस प्रकार के साक्ष्य न्यायिक अभ्यास में, विज्ञान में, विवाद में, स्कूली बच्चों के लेखन में, शिक्षक द्वारा सामग्री की प्रस्तुति में, आदि में किए जाते हैं।

उदाहरण:

1. थीसिस के प्रत्यक्ष प्रमाण के साथ पाठ में शिक्षक "लोग" इतिहास निर्माता", दिखाता है;पहले तो कि लोग भौतिक संपदा के निर्माता हैं,दूसरे बड़ी भूमिका को सही ठहराता है आबादीराजनीति में, बताते हैं कि कैसे लोग आधुनिक युग में शांति और लोकतंत्र के लिए सक्रिय रूप से लड़ रहे हैं,तीसरा , आध्यात्मिक संस्कृति के निर्माण में अपनी महान भूमिका को प्रकट करता है।

2. रसायन विज्ञान के पाठों में, चीनी की ज्वलनशीलता का प्रत्यक्ष प्रमाण एक श्रेणीबद्ध न्यायशास्त्र के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है: सभी कार्बोहाइड्रेट दहनशील होते हैं।चीनी एक कार्बोहाइड्रेट है। चीनी ज्वलनशील होती है।

आधुनिक फैशन पत्रिका "बर्दा" में, थीसिस "ईर्ष्या सभी बुराई की जड़ है" निम्नलिखित तर्कों द्वारा प्रत्यक्ष साक्ष्य की सहायता से प्रमाणित होती है: "ईर्ष्या न केवल लोगों को जहर देती है रोजमर्रा की जिंदगी, लेकिन इसके और भी गंभीर परिणाम हो सकते हैं, इसलिए, ईर्ष्या, क्रोध और घृणा के साथ, यह निस्संदेह सबसे अधिक से संबंधित है बुरे लक्षणचरित्र। अदृश्य रूप से रेंगते हुए, ईर्ष्या दर्द और गहराई से दर्द करती है। एक व्यक्ति दूसरों की भलाई के लिए ईर्ष्या करता है, इस चेतना से पीड़ित होता है कि कोई अधिक भाग्यशाली है।

2. रिवर्स रीजनिंग(सबूत ) । हम मानते हैं कि कथन B गलत है और A की भ्रांति को दर्शाता है। वास्तव में, प्रत्यक्ष रूप से, हम निहितार्थ की सच्चाई की जाँच करते हैं ((B नहीं) (नहीं ए)) जो, तालिका के अनुसार, तार्किक रूप से मूल कथन की सच्चाई के बराबर है (ए .)बी)।

3. विधि "विरोधाभास द्वारा"।

इस पद्धति का प्रयोग अक्सर गणित में किया जाता है। होने देनाएक - एक थीसिस या प्रमेय साबित करने के लिए। हम विरोधाभास से मानते हैं किएक झूठा, यानी सचनहीं (या)। इस धारणा से हम ऐसे परिणाम निकालते हैं जो वास्तविकता या पहले सिद्ध प्रमेयों का खंडन करते हैं। हमारे पास है, जबकि- असत्य, इसलिए, इसका निषेध सत्य है, अर्थात।, जो, दो-मूल्यवान शास्त्रीय तर्क के नियम के अनुसार (→ए) ए देता है। तो, सच a , जिसे साबित करना था।

स्कूल में "विरोधाभास से" सबूत के बहुत सारे उदाहरण हैंपाठ्यक्रम अंक शास्त्र। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रमेय सिद्ध हो जाता है कि एक सीधी रेखा के बाहर स्थित एक बिंदु से इस सीधी रेखा पर केवल एक लंबवत गिराया जा सकता है। विरोधाभास से, निम्नलिखित प्रमेय भी सिद्ध होता है: "यदि दो रेखाएँ एक ही तल पर लंबवत हैं, तो वे समानांतर हैं।" इस प्रमेय का प्रमाण सीधे शब्दों से शुरू होता है: “इसके विपरीत मान लें, कि रेखाएँएबी और सीडी समानांतर नहीं।"

गणितीय अधिष्ठापन

कंप्यूटर विज्ञान में एक कंप्यूटर प्रोग्राम को सही या सही कहा जाता है यदि वह अपने विनिर्देश में जो कहता है वह करता है। यद्यपि किसी कार्यक्रम का परीक्षण कुछ व्यक्तिगत प्रारंभिक डेटा के मामले में अपेक्षित परिणाम दे सकता है, औपचारिक तर्क के माध्यम से यह साबित करना आवश्यक है कि किसी भी इनपुट प्रारंभिक मूल्यों के लिए सही आउटपुट डेटा प्राप्त किया जाएगा।

लूप वाले एल्गोरिदम की शुद्धता की जांच के लिए "गणितीय प्रेरण" नामक सबूत की एक शक्तिशाली विधि की आवश्यकता होती है।

निगमनात्मक और आगमनात्मक विधियाँ किसी भी गणितीय शोध का आधार होती हैं। तर्क की निगमन विधि सामान्य से विशेष की ओर तर्क कर रही है, अर्थात। तर्क, जिसका प्रारंभिक बिंदु सामान्य परिणाम है, और अंतिम बिंदु जिसका विशेष परिणाम है। विशेष परिणामों से सामान्य परिणामों में जाने पर प्रेरण लागू किया जाता है, अर्थात। निगमन विधि के विपरीत है। गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है। हम सबसे नीचे से शुरू करते हैं, परिणामस्वरूप तार्किक सोचहम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने हमेशा प्रगति के लिए प्रयास किया है, अपने विचार को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे स्वाभाविक रूप से सोचने के लिए नियत किया है।

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत यह निम्नलिखित प्रमेय है:

मान लीजिए हमारे पास कथनों का एक अनंत क्रम है P 1 , पी 2 , ..., पी n प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित, और: कथन P 1  सच; यदि कुछ कथन Pक - सत्य है, तो निम्नलिखित अभिकथन Pके +1 भी सत्य है।

तब गणितीय प्रेरण का सिद्धांत बताता है कि अनुक्रम में सभी कथन सत्य हैं।

दूसरे शब्दों में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: यदि एक महिला कतार में सबसे पहले है, और प्रत्येक महिला के पीछे एक महिला है, तो कतार में हर कोई एक महिला है।

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित तर्क की विधि को गणितीय प्रेरण की विधि कहा जाता है। गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा समस्याओं को हल करने के लिए, यह आवश्यक है:

1) कथनों के अनुक्रम के रूप में समस्या का विवरण तैयार करें P 1 , पी 2 , ..., पी एन , ... ;

2) सिद्ध कीजिए कि कथन P 1 सच (इस चरण को प्रेरण का आधार कहा जाता है); 3) सिद्ध कीजिए कि यदि कथन Pएन कुछ n= k के लिए सत्य है, तो यह n = k + 1 के लिए भी सत्य है (इस चरण को प्रेरण चरण कहा जाता है)।

निष्कर्ष की अविश्वसनीयता को देखते हुए, प्रेरण प्रमाण की एक विधि के रूप में कार्य नहीं कर सकता है। लेकिन वह हैशक्तिशाली अनुमानी विधि, यानी, नए सत्य की खोज की विधि।

प्रेरण एक गलत निष्कर्ष पर ले जा सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति के मूल्यों की गणना n 2 +n+17 n = 1,2,3, ..., 15 के लिए, हमें निरपवाद रूप से अभाज्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं, और इससे पता चलता है कि किसी भी प्राकृत n के लिए इस व्यंजक का मान एक अभाज्य संख्या है। दूसरे शब्दों में, पंद्रह विशेष परिसरों के आधार पर, एक सामान्य निष्कर्ष प्राप्त किया गया है जो विशेष मामलों की एक अनंत संख्या से संबंधित है, और यह निष्कर्ष गलत निकला, क्योंकि n = 16 के साथ भी हमें एक संयुक्त संख्या 16 प्राप्त होती है। 2 +16+17=172.

गणित के इतिहास में ऐसे मामले आए हैं जब प्रसिद्ध गणितज्ञ अपने आगमनात्मक निष्कर्षों में गलत थे। उदाहरण के लिए, पी. फ़र्मेट ने सुझाव दिया कि 22 n + 1 के रूप की सभी संख्याएँ सरल हैं, इस तथ्य के आधार पर कि n = 1,2,3,4 पर वे ऐसे हैं, लेकिन एल। यूलर ने पाया कि पहले से ही n = 5 पर संख्या 232 + 1 अभाज्य नहीं है (यह 641 से विभाज्य है)। हालांकि, प्रेरण की मदद से गलत निष्कर्ष प्राप्त करने की संभावना में प्रेरण की भूमिका को नकारने का आधार नहीं है शिक्षाअंक शास्त्र।

दिशा-निर्देश

उदाहरण 1: प्रत्यक्ष तर्क द्वारा दर्शाइए कि दो विषम पूर्णांकों x और y का गुणनफल xy सदैव विषम होता है।

समाधान। कोई भी विषम संख्या, और विशेष रूप से x, को x = 2 . के रूप में लिखा जा सकता हैएम + 1, जहां एम जेड . इसी प्रकार, y = 2एन + 1, एन जेड।

अत: गुणनफल xy = (2 .)एम + 1)(2एन + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2एमएन+एम+एन ) + 1 भी एक विषम संख्या है।

उदाहरण 2: मान लीजिए n N . उपपत्ति की विपरीत विधि का प्रयोग करके दिखाइए कि यदि n 2 विषम है, तो n विषम है।

समाधान। विषम संख्या के बारे में कथन का निषेधएन 2 कथन है"एन 2 सम", और समानता के बारे में बयानएन "संख्या" कथन का निषेध हैएन अजीब।" इस प्रकार, तर्क के प्रत्यक्ष तरीके से यह दिखाना आवश्यक है कि किसी संख्या की समताएन इसका अर्थ है इसके वर्ग की समताएन 2.

चूँकि n सम है, तो n =2 m कुछ पूर्णांक के लिएएम । इसलिए, n 2 = 4 m 2 = 2(2 m 2) एक सम संख्या है।

उदाहरण 3: विरोधाभास द्वारा दिखाएँ कि समीकरण x . का हल 2 = 2 एक अपरिमेय संख्या है, अर्थात इसे पूर्णांक अंश और हर के साथ भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

समाधान। यहाँ हमें यह मान लेना चाहिए कि समीकरण x . का हल x है 2 = 2 परिमेय है, अर्थात भिन्न के रूप में लिखा गया है x = पूर्णांकों के साथएम और एन, और एन 0. यह मानते हुए, हमें या तो धारणा के साथ या पहले से सिद्ध किए गए किसी तथ्य के साथ एक विरोधाभास प्राप्त करने की आवश्यकता है।

जैसा कि आप जानते हैं, एक परिमेय संख्या अस्पष्ट रूप से लिखी जाती है

अंश के रूप में। उदाहरण के लिए, x == == आदि। हालाँकि, यह माना जा सकता है किमी और नहीं कोई सामान्य भाजक नहीं है। इस मामले में, रिकॉर्ड की अस्पष्टता गायब हो जाती है।

इसलिए, हम अतिरिक्त रूप से यह भी मानते हैं कि भिन्न x = अपरिवर्तनीय है (मी और नहीं सामान्य भाजक नहीं हैं)। शर्त के अनुसार, संख्या x समीकरण x . को संतुष्ट करती है 2 = 2. इसलिए, () 2 = 2, जहां से एम 2 = 2 एन 2।

यह अंतिम समानता से इस प्रकार है कि संख्याएम2 यहाँ तक की। फलस्वरूप,एम सम भी है और इसे के रूप में दर्शाया जा सकता हैएम = 2p किसी पूर्णांक p के लिए। इस जानकारी को समीकरण में प्रतिस्थापित करनाएम 2 \u003d 2 एन 2 , हमें वह 4p . मिलता है 2 \u003d 2 n 2, अर्थात n 2 \u003d 2p 2.

लेकिन फिर नहीं एक सम संख्या भी है। इस प्रकार, हमने दिखाया है किएम, और एन - सम संख्या। इसलिए, उनके पास 2 का एक सामान्य भाजक है। यदि हम अब याद करते हैं कि हमने अनुपस्थिति को मान लिया था सामान्य भाजकभिन्न के अंश और हर पर, हम एक स्पष्ट अंतर्विरोध देखेंगे।

पाया गया विरोधाभास हमें एक स्पष्ट निष्कर्ष पर ले जाता है: समीकरण x . का समाधान 2 = 2 एक परिमेय संख्या नहीं हो सकती, अर्थात यह अपरिमेय संख्या है।

उदाहरण 4: आइए हम निम्नलिखित समानता को प्रेरण द्वारा सिद्ध करें (जो निश्चित रूप से अन्य प्रमाणों को स्वीकार करता है):

1 + 2 + 3 + ... + एन = एन (एन + 1)/2।

आधार। n = 1 के लिए, समानता 1 = 1 (1 + 1)/2 की पहचान में बदल जाती है।

कदम। मान लीजिए कि n = k: 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2 के लिए समानता है।

आइए इस समानता के दोनों पक्षों में k + 1 जोड़ें। बाईं ओर हमें योग 1+2+3+...+k+(k+1) मिलता है,और दाईं ओर - k(k+1)/2+(k+1)=(k(k+1)+2(k+1))/2=((k+2)(k+1)) / 2.

तो, 1 + 2 + 3 + ... + के + (के + 1) = (के + 1) (के + 2)/2, और यह एन = के + 1 के लिए आवश्यक समानता है, जहां एन का मतलब मनमाना है प्राकृतिक संख्या।

परीक्षण प्रश्न

1. प्रत्यक्ष तर्क द्वारा प्रमाण में क्या अंतर है,इसके विपरीत, इसके विपरीत?
2. गणितीय प्रेरण का क्या अर्थ है? गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की व्याख्या करें।

व्यक्तिगत कार्य

1. प्रमाण विधियों का उपयोग करना:

1) प्रत्यक्ष तर्क से, कथन की सत्यता सिद्ध कीजिए: n और m सम संख्याएँ हैं n + m एक सम संख्या है।

2) इस कथन का विपरीत प्रमाण दीजिए: n 2 सम संख्या n सम।

3) विरोधाभास से सिद्ध कीजिए किएन+एम विषम संख्या इनमें से एक पद सम है और दूसरा विषम है।

2. प्रत्येक कथन को गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए।

1) 1 + 5 + 9 +…+(4 n - 3) = n (2 n 1) सभी के लिए प्राकृतिक संख्या एन।

2) 1 2 +2 2 +…+ n 2 = n (n +1)(2 n +1)/6 सभी प्राकृत संख्याओं के लिएएन।

3) डी सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिएएन।

4) संख्या n 3 n संख्या के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए 3 से विभाज्य हैएन।

5) 1*1! + 2* 2!+…+- एन * एन! = (एन + 1)! मैं 1 सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिएएन।

(वर्ण n! को "n ." के रूप में पढ़ा जाता है भाज्य" और 1 से . तक की सभी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता हैएन समावेशी: एन! \u003d एल * 2 * 3 *** (एन - एल) * एन।)

अतिरिक्त काम:

1. निम्नलिखित "प्रमाण" में त्रुटि ज्ञात कीजिए कि सभी घोड़े एक ही सूट के हैं।

हम निम्नलिखित कथन को n पर शामिल करके सिद्ध करेंगे: "n के किसी भी झुंड में ये घोड़े हैं, वे सभी एक ही सूट के हैं।" आधार (n = 1) स्पष्ट है: इस मामले में सभी घोड़े एक घोड़े हैं, यह स्पष्ट रूप से एक ही सूट का है। : मान लीजिए कि k घोड़ों के किसी भी झुण्ड के सभी घोड़ों का सूट एक जैसा है। k + 1 घोड़ों के झुंड पर विचार करें। हम इसमें दो घोड़े a और b चुनते हैं और शेष k 1 घोड़ों पर विचार करते हैं। आइए इन बचे हुए घोड़ों का एक झुंड बनाकर उनमें a. इसमें k घोड़े हैं, इसलिए, प्रेरण परिकल्पना के अनुसार, वे सभी एक ही सूट के हैं। तो घोड़े a के पास बाकी घोड़ों के समान ही सूट है। इसी प्रकार यह सिद्ध होता है कि घोड़े b का एक ही सूट है। तो सभी k + 1 घोड़ों का एक ही सूट होता है। अभिकथन सिद्ध हो चुका है।

2. कागज की एक अनंत चेकर्ड शीट पर, 100 कोशिकाओं को काले रंग से रंगा गया है, और बाकी सभी सफेद हैं। एक चाल में, विपरीत रंग में 2x2 वर्ग बनाने वाली किन्हीं चार कोशिकाओं को फिर से रंगने की अनुमति है। साबित करें कि कुछ ही चालों में यह हासिल करना संभव है कि सभी कोशिकाएँ सफेद हों यदि और केवल तभी जब किसी क्षैतिज और किसी ऊर्ध्वाधर में सम संख्या में काली कोशिकाएँ हों।

असत्य, इस प्रकार हम विपरीत स्थिति - थीसिस की सच्चाई की पुष्टि करते हैं। उदाहरण के लिए, एक डॉक्टर, एक मरीज को यह विश्वास दिलाते हुए कि वह फ्लू से बीमार नहीं है, निम्न कारण बता सकता है: “यदि आप वास्तव में फ्लू से बीमार थे, तो आपको बुखार होगा, नाक बंद होगी, इत्यादि। लेकिन ऐसा कुछ नहीं है। इसलिए, कोई फ्लू नहीं है।" विरोधाभास द्वारा एक निश्चित प्रस्ताव का प्रमाण इस प्रस्ताव की सच्चाई है, जो "विपरीत" (विरोधाभासी) प्रस्ताव और बहिष्कृत तीसरे की मिथ्याता के प्रदर्शन पर आधारित है।
पी. से जनरल डी. को इस प्रकार वर्णित किया गया है। कुछ ए को साबित करना जरूरी है। सबूत की प्रक्रिया में, विपरीत प्रस्ताव नहीं-ए पहले तैयार किया जाता है और यह माना जाता है कि यह सच है: मान लीजिए कि ए झूठा है, तो नहीं-ए सच होना चाहिए। फिर, इस कथित रूप से सच्चे विरोध से, परिणाम निकाले जाते हैं - जब तक कि यह पता नहीं चलता है, या जो स्पष्ट रूप से ज्ञात सत्य कथन का खंडन करता है। यदि यह दिखाया जाता है कि नॉट-ए झूठा है, तो थीसिस ए की सच्चाई उचित है ( सेमी।सबूत)।

दर्शनशास्त्र: विश्वकोश शब्दकोश। - एम .: गार्डारिकिक. ए.ए. द्वारा संपादित इविना. 2004 .

(अव्य.रिड्यूस-टियो एड एब्सर्डम), एक निश्चित निर्णय के क्रोम "सबूत" के साथ सबूत का प्रकार (सबूत थीसिस)एक निर्णय के माध्यम से किया जाता है जो इसका खंडन करता है - विरोधी। इसके साथ असंगति के तथ्य को स्थापित करके प्रतिपक्षी का खंडन प्राप्त किया जाता है सी.-एल.स्पष्ट रूप से सही निर्णय। पी से डी का यह रूप मेल खाता है संकरा रास्ता।प्रमाण योजना: यदि B सत्य है और A का अर्थ है कि B झूठा है, तो A गलत है। एक और, अधिक सामान्य डी। पी से। खंडन करके है (झूठ का कारण)नियम के अनुसार विरोधी: ए को स्वीकार करने के बाद, उन्होंने घटाया, इसलिए - नहीं-ए। यहाँ A या तो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है। बाद के मामले में, पी से डी। पर आधारित है और दोहरे निषेध के कानून पर आधारित है। ऊपर बताए गए लोगों के अलावा, पी से डी का एक "विरोधाभासी" रूप है, जो पहले से ही यूक्लिड के "एलिमेंट्स" में इस्तेमाल किया गया था: ए को सिद्ध माना जा सकता है अगर यह दिखाया जा सकता है कि ए की धारणा से भी अनुसरण करता है ए. का झूठ

दार्शनिक विश्वकोश शब्दकोश. - एम .: सोवियत विश्वकोश. चौ. संपादक: एल। एफ। इलीचेव, पी। एन। फेडोसेव, एस। एम। कोवालेव, वी। जी। पानोव. 1983 .

इसके विपरीत से सबूत

लिट.:टार्स्की ए।, निगमन विज्ञान के तर्क और कार्यप्रणाली का परिचय, ट्रांस। अंग्रेजी से, एम।, 1948; एसमस वीएफ, सबूत और खंडन के बारे में तर्क का सिद्धांत, [एम।], 1954; क्लेन एस. के., मेटामैथेमेटिक्स का परिचय, ट्रांस। अंग्रेजी से, एम।, 1957; ए चर्च, गणित का परिचय। तर्क, ट्रांस। अंग्रेजी से, [वॉल्यूम] 1, एम।, 1960।

दार्शनिक विश्वकोश। 5 खंडों में - एम।: सोवियत विश्वकोश. F. V. Konstantinov . द्वारा संपादित. 1960-1970 .

देखें कि "विपरीत से सबूत" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

- (विरोधाभास द्वारा प्रमाण) एक प्रमाण जिसमें प्रारंभिक आधार की गलत के रूप में मान्यता एक विरोधाभास की ओर ले जाती है। यही है, मूल आधार की भ्रांति की धारणा आपको एक साथ किसी भी कथन को साबित करने और उसका खंडन करने की अनुमति देती है; … आर्थिक शब्दकोश

एक तरह के परिस्थितिजन्य साक्ष्य... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

इस लेख में सूचना के स्रोतों के लिंक का अभाव है। जानकारी सत्यापन योग्य होनी चाहिए, अन्यथा उस पर प्रश्नचिह्न लगाया जा सकता है और उसे हटाया जा सकता है। आप कर सकते हैं ... विकिपीडिया

परिस्थितिजन्य साक्ष्य के प्रकारों में से एक। * * * विपरीत प्रमाण से प्रमाण, परिस्थितिजन्य साक्ष्य के प्रकारों में से एक (अप्रत्यक्ष प्रमाण देखें) ... विश्वकोश शब्दकोश

विरोधाभास द्वारा सबूत- (अव्य। कमी विज्ञापन बेतुका) एक प्रकार का साक्ष्य जिसमें एक निश्चित निर्णय (प्रूफ थीसिस) की वैधता को विरोधाभासी निर्णय के खंडन के माध्यम से किया जाता है जो इसका खंडन करता है। प्रतिपक्षी का खंडन किसके द्वारा प्राप्त किया जाता है ... ... अनुसंधान गतिविधि। शब्दकोष

इसके विपरीत से सबूत- (अव्य। रिडक्टियो एड एब्सर्डम) एक प्रकार का साक्ष्य जिसमें एक निश्चित निर्णय (प्रूफ थीसिस) की वैधता को विरोधाभासी निर्णय के खंडन के माध्यम से किया जाता है जो इसका खंडन करता है। प्रतिपक्षी का खंडन किसके द्वारा प्राप्त किया जाता है ... ... व्यावसायिक शिक्षा. शब्दकोष

देखें: परिस्थितिजन्य साक्ष्य... तर्क शर्तों की शब्दावली

- (अव्य। रिडक्टियो एड एब्सर्डम) एक प्रकार का प्रमाण, जिसमें एक निश्चित निर्णय (प्रूफ थीसिस) का "सबूत" विरोधाभासी निर्णय के खंडन के माध्यम से किया जाता है जो इसका खंडन करता है। इस मामले में, प्रतिपक्ष का खंडन प्राप्त किया जाता है ... ... महान सोवियत विश्वकोश

विपरीत विधि

अपागोग- एक तार्किक उपकरण जो एक राय की असंगति को इस तरह से साबित करता है कि या तो अपने आप में, या इसके बाद के परिणामों में, हम एक विरोधाभास खोजते हैं।

इसलिए, अपोगोगिकल प्रमाण अप्रत्यक्ष प्रमाण है: यहां कहावत अपनी असंगति दिखाने के लिए पहले विपरीत प्रस्ताव की ओर मुड़ती है, और फिर, बीच के उन्मूलन के कानून के अनुसार, निष्कर्ष निकाला है कि जो साबित करना आवश्यक था वह सही है। इस तरह के प्रमाण को गैरबराबरी में कमी भी कहा जाता है। इसका आवश्यक गुण यह तर्क है कि तीसरा अस्तित्व में नहीं है, अर्थात्, राय के अलावा, जिसकी वैधता साबित होनी चाहिए, और दूसरा, इसके विपरीत, जो सबूत के शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य करता है, कोई तीसरा तथ्य नहीं की अनुमति है। इसलिए, परिस्थितिजन्य साक्ष्य एक ऐसे तथ्य से आता है जो उस प्रस्ताव को नकारता है, जिसकी वैधता को साबित करना आवश्यक है।

उदाहरण

यह सभी देखें

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गणित में, अनंत वंश विधि इस तथ्य के आधार पर विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण है कि प्राकृतिक संख्याओं का सेट अच्छी तरह से व्यवस्थित है। अक्सर यह साबित करने के लिए अनंत वंश विधि का उपयोग किया जाता है कि कुछ ... ... विकिपीडिया

प्राचीन गणितज्ञों द्वारा क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करने के लिए उपयोग की जाने वाली प्रमाण की एक विधि। "थकावट की विधि" नाम 17 वीं शताब्दी में पेश किया गया था। आई.एम. का उपयोग करते हुए एक विशिष्ट प्रमाण योजना आधुनिक में प्रस्तुत की जा सकती है ... ... महान सोवियत विश्वकोश

प्राचीन गणितज्ञों द्वारा क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करने के लिए उपयोग की जाने वाली प्रमाण की एक विधि। नाम थकावट विधि 17 वीं शताब्दी में पेश की गई थी। आई.एम. का उपयोग करते हुए एक विशिष्ट प्रमाण योजना को आधुनिक संकेतन में निम्नानुसार कहा जा सकता है: के लिए ... ... गणितीय विश्वकोश

इस लेख में सूचना के स्रोतों के लिंक का अभाव है। जानकारी सत्यापन योग्य होनी चाहिए, अन्यथा उस पर प्रश्नचिह्न लगाया जा सकता है और उसे हटाया जा सकता है। आप कर सकते हैं ... विकिपीडिया

- 'बीइंग एंड टाइम' ('सीन अंड ज़ीट', 1927) हाइडेगर का मुख्य कार्य। माना जाता है कि बीआईवी का निर्माण पारंपरिक रूप से दो पुस्तकों से प्रभावित हुआ है: ब्रेंटानो की द मीनिंग ऑफ बीइंग इन एरिस्टोटल और हुसरल की तार्किक जांच। उनमें से पहला…… दर्शन का इतिहास: विश्वकोश

- (देर से लैटिन intuitio से, लैटिन से intuitioया मैं बारीकी से देखता हूं) गणित और तर्क के औचित्य में दिशा, जिसके अनुसार इन विज्ञानों के तरीकों और परिणामों की स्वीकार्यता के लिए अंतिम मानदंड नेत्रहीन अर्थपूर्ण अंतर्ज्ञान है। सारा गणित... दार्शनिक विश्वकोश

गणित को आमतौर पर इसकी कुछ पारंपरिक शाखाओं के नाम सूचीबद्ध करके परिभाषित किया जाता है। सबसे पहले, यह अंकगणित है, जो संख्याओं के अध्ययन, उनके बीच संबंधों और संख्याओं के साथ काम करने के नियमों से संबंधित है। अंकगणित के तथ्य विभिन्न स्वीकार करते हैं ... ... कोलियर इनसाइक्लोपीडिया

एक शब्द जो पहले गणित के विभिन्न वर्गों को जोड़ता था। एक अतिसूक्ष्म फलन की अवधारणा से संबंधित विश्लेषण। हालांकि वैज्ञानिकों द्वारा इनफिनिटिमल्स की विधि (किसी न किसी रूप में) को सफलतापूर्वक लागू किया गया है प्राचीन ग्रीसतथा मध्ययुगीन यूरोपसमाधान के लिए…… गणितीय विश्वकोश

- (अक्षांश से। बेतुका हास्यास्पद, बेवकूफ) बेतुकापन, विरोधाभास। तर्क में, ए को आमतौर पर एक विरोधाभासी अभिव्यक्ति के रूप में समझा जाता है। इस तरह की अभिव्यक्ति में, एक ही समय में कुछ की पुष्टि और खंडन किया जाता है, उदाहरण के लिए, बयान में "घमंड मौजूद है और घमंड ... ... दार्शनिक विश्वकोश

विरोधाभास द्वारा सबूत गणित में एक शक्तिशाली और अक्सर इस्तेमाल की जाने वाली विधि है। यह मानते हुए कि कुछ तथ्य (वस्तु) सत्य है (अस्तित्व में है), और एक विरोधाभास में आने पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि तथ्य गलत है (वस्तु मौजूद नहीं है)। आइए कुछ उदाहरण देखें।

यूक्लिड का प्रमेयअनंत के बारे में अभाज्य सँख्याविरोधाभास द्वारा क्लासिक और सरल तर्क है:

कोई सबसे बड़ी अभाज्य संख्या नहीं है।

: मान लीजिए कि यह नहीं है, और सबसे बड़ी अभाज्य संख्या मौजूद है। चलो एक नंबर बनाते हैं। यह किसी से या उससे अधिक से विभाज्य नहीं है। हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं, इसलिए, सबसे बड़ी अभाज्य संख्या (वस्तु के रूप में!) मौजूद नहीं है और अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं।

ध्यान दें कि यह आवश्यक रूप से अभाज्य नहीं है, क्योंकि इसका अभाज्य गुणनखंड और के बीच हो सकता है, लेकिन यह फिर भी बड़ा होगा।

अपरिमेय प्रमेय

कोई प्राकृतिक और , ऐसा नहीं है कि .

ए: ऐसा नहीं होने दें। हम उभयनिष्ठ गुणनखंड y , , और वर्ग सब कुछ रद्द करते हैं: . इससे यह पता चलता है कि यह एक सम संख्या है, इसलिए यह सम भी है और कुछ प्राकृतिक का उपयोग करके इसका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, जैसे कि। मूल संबंध में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं, और इसलिए, यहां तक ​​कि। लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि हमने सभी सामान्य कारकों को कम कर दिया है, जिसका अर्थ है कि ऐसे कोई कारक नहीं हैं।

दोनों साक्ष्यों की मनोवैज्ञानिक विश्वसनीयता निर्विवाद है। हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि, एक विरोधाभास प्राप्त करने के बाद, हम हमेशा यह साबित नहीं करते हैं कि चाहते हैंसिद्ध करना। यह अंतर्विरोध आवश्यक रूप से मूल आधार की भ्रांति का संकेत नहीं देता है। यह प्रमाण में प्रयुक्त किसी भी कथन द्वारा दिया जा सकता है। उनमें से कई विशेष रूप से तर्कहीनता प्रमेय में हैं। हालांकि, वे इतने "स्पष्ट" हैं कि हम मूल आधार को गलत मानते हैं।

यह देखा जा सकता है कि उपरोक्त प्रमेयों की प्रमाण योजना समान है। हम दिखाते हैं कि किसी वस्तु का अस्तित्व नहीं है यदि उसके अस्तित्व की धारणा एक विरोधाभास की ओर ले जाती है।

नाई की समस्या. एक निश्चित गाँव में, सभी पुरुष या तो खुद से या नाई से शेव करते हैं। एक नाई (पुरुष) केवल उन्हीं को शेव करता है जो खुद को शेव नहीं करते हैं। आइए प्रमेय तैयार करें:

नाई खुद को शेव करता है।

ऐसा न हो, और नाई अपने आप को मुंडा न करे। तब उसे नाई पर दाढ़ी बनानी होगी। तो नाई खुद को शेव करता है।

प्रमेय का खंडन करने और एक विरोधाभास प्राप्त करने के बाद, हमें इस निष्कर्ष पर आना चाहिए कि प्रमेय सत्य है। लेकिन यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यह मामला नहीं है, और हम न केवल एक विपरीत सबूत बना सकते हैं, बल्कि एक सीधा भी बना सकते हैं: "यदि कोई नाई खुद को मुंडाता है, तो वह नाई पर दाढ़ी नहीं बना सकता ..."। इस मामले में, हमें फिर से एक विरोधाभास मिलता है।

गांव का उपरोक्त विवरण सख्त निर्देशबर्ट्रेंड रसेल का संबंध उन समस्याओं के एक लोकप्रिय सूत्रीकरण के रूप में है जो कोशिश करने में उत्पन्न होती हैं परिभाषित करना"उन सभी समुच्चयों का समुच्चय जो स्वयं को उनके तत्व के रूप में शामिल नहीं करते हैं"। हमने एक साधारण तथ्य को प्रदर्शित करने के लिए जानबूझकर एक प्रमेय के रूप में एक स्पष्ट विरोधाभास प्रस्तुत किया:

इसके विपरीत प्रमाण में एक विरोधाभास प्राप्त करना प्रमेय की सच्चाई का संकेत नहीं दे सकता है, लेकिन इसके निर्माण में भाग लेने वाली वस्तुओं की असंगति का संकेत देता है।

दूसरे शब्दों में, कोई यह नहीं कह सकता: "आइए सभी समुच्चयों का समुच्चय लें..." और "प्रमेय कि..." सिद्ध करें। . विशेष रूप से, रसेल द्वारा वर्णित गांव मौजूद नहीं हो सकता। बेशक, सवाल उठता है - "अस्तित्व में होने या न होने का क्या मतलब है, और जहां नहीं है?" ऊपर परिभाषित एक वस्तु है, और हम उनके बारे में नई वस्तुओं और प्रमेयों का निर्माण करते समय इसका उपयोग कर सकते हैं ...

तथ्य यह है कि गणितीय तर्क स्पष्ट रूप से या परोक्ष रूप से कुछ स्वयंसिद्धों से आगे बढ़ता है। यह स्वयंसिद्ध हैं जो किसी वस्तु के गुणों को परिभाषित करते हैं। यदि अभिगृहीतों की एक निश्चित प्रणाली में कम से कम एक स्वयंसिद्ध को बदल दिया जाता है, तो पूरी तरह से भिन्न गुणों वाली वस्तु प्राप्त की जा सकती है। यह स्पष्ट है कि स्वयंसिद्धों को मनमाने ढंग से स्थापित करना असंभव है। उन्हें नहीं होना चाहिए असंगत, अन्यथा कोई वस्तु परिभाषित नहीं की जाएगी। या, दूसरे शब्दों में, विरोधाभासी स्वयंसिद्धों द्वारा परिभाषित कोई वस्तु मौजूद नहीं है।

हम अगले भाग में औपचारिक स्वयंसिद्ध प्रणालियों के तत्वों पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे, जहाँ हम नाई की समस्या का फिर से विश्लेषण करेंगे। अब उसी विरोधाभास के दूसरे संस्करण पर विचार करें।

लाइब्रेरियन समस्या. किताबों के साथ एक पुस्तकालय है। अपने पाठ के भीतर कोई भी पुस्तक स्वयं का उल्लेख कर सकती है (उदाहरण के लिए, संदर्भों की सूची में उसका नाम दें)। तदनुसार, सभी पुस्तकों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है। पहली में वे पुस्तकें शामिल हैं जो स्वयं को संदर्भित नहीं करती हैं, और दूसरी में वे पुस्तकें शामिल हैं जो स्वयं को संदर्भित करती हैं। इसके अलावा, दो पुस्तकें हैं जो पुस्तकालय में सभी पुस्तकों के कैटलॉग हैं। पहली निर्देशिका उन सभी पुस्तकों को सूचीबद्ध करती है जो स्वयं को संदर्भित नहीं करती हैं, और दूसरी, इसके विपरीत, उन सभी पुस्तकों को सूचीबद्ध करती है जो स्वयं को संदर्भित करती हैं:

अब हम प्रमेय तैयार करते हैं:

पहली निर्देशिका में शामिल हैं

पुस्तक सूची में ही।

ऐसा न हो जाए। फिर पहली निर्देशिका दूसरे में समाहित है (सभी पुस्तकें दोनों निर्देशिकाओं में सूचीबद्ध हैं और निर्देशिका एक पुस्तक है)। लेकिन दूसरी निर्देशिका केवल स्व-संदर्भित पुस्तकों को सूचीबद्ध करती है, और पहली निर्देशिका वहां नहीं हो सकती है। हम एक विरोधाभास पर पहुंचे हैं, इसलिए प्रमेय सत्य है।

यदि हम इस स्तर पर रुक जाते हैं, तो हम जानबूझकर गलत निष्कर्ष निकालेंगे। यह स्पष्ट है कि पहली निर्देशिका स्वयं को संदर्भित नहीं कर सकती है (यह गैर-स्व-संदर्भित पुस्तकों की निर्देशिका है)। जैसा कि नाई के मामले में, हम एक विपरीत प्रमाण (विरोधाभास द्वारा) और प्रत्यक्ष एक दोनों को पूरा कर सकते हैं। और दोनों बार विरोधाभास मिलता है।

यह क्या कहता है? यह स्पष्ट है कि प्रमेय की सच्चाई या असत्य के बारे में नहीं। विश्वास है कि दो विभिन्न प्रमाणहमेशा एक ही चीज की ओर ले जाना चाहिए, हम निष्कर्ष निकालने के लिए मजबूर हैं: पुस्तकालय वस्तु, दिए गए गुणों के साथ, मौजूद नहीं हो सकता.

मूल परिभाषाओं की "स्वाभाविकता" या "स्पष्ट गैर-विरोधाभास" का कोई भी संदर्भ गणितज्ञ के योग्य नहीं है, क्योंकि ये पहले से ही भावनाएं हैं। एकमात्र तरीका यह है कि मनोवैज्ञानिक योगों और प्रमाणों से औपचारिक रूप से दूर होने का प्रयास किया जाए।

झूठा विरोधाभास. सभी गणित में तार्किक कथन होते हैं। वहीं, गणित का तर्क द्विअर्थी है। कथन "" या तो सत्य है या असत्य। कोई तीसरा नहीं है। यह द्विआधारी है जो देता है गणितीय प्रमाणवह अद्भुत अनुनय, जिसके लिए सब कुछ शुरू किया गया था। आइए इस संकेतन का परिचय दें कि एक निश्चित तार्किक कथन सत्य है:

.

वास्तव में, पदनाम बेमानी है, क्योंकि किसी कथन को एक स्वयंसिद्ध या आधार के रूप में लिखकर हम उसकी सच्चाई को मान लेते हैं। हालाँकि, इस तरह का अंकन निम्नलिखित के लिए सुविधाजनक होगा। आइए परिभाषित करेंकह रहा:

जहां "" एक तार्किक निषेध संकेत है, और कोलन आने के बाद परिभाषादावे यह झूठे के विरोधाभास का एक प्रकार है: "सच है अगर सच नहीं है"। हम निम्नलिखित प्रमेय तैयार करते हैं:

कथन L सत्य है: L=AND.

चलो एल = एल => सच (एल) = एल => एल = सच (एल) = मैं।

(आगे "" का अर्थ तार्किक निष्कर्ष है; "और" - सत्य, "एल" - झूठा)। विरोधाभास द्वारा प्रमाण में, हम एक विरोधाभास पर पहुँचे हैं। इसलिए, मूल आधार सत्य नहीं है और इसलिए, प्रमेय सत्य है। हालांकि, यह स्पष्ट है कि ऐसा नहीं है। हम सबूत को आगे की दिशा में भी ले जा सकते हैं।