समय श्रृंखला के फैलाव की गणना सूत्र द्वारा की जाती है। असतत यादृच्छिक चर का फैलाव

आँकड़ों में भिन्नता के मुख्य सामान्यीकरण संकेतक प्रसरण और माध्य हैं मानक विचलन.

फैलाव it अंकगणित औसत कुल माध्य से प्रत्येक विशेषता मान का वर्ग विचलन। विचरण को आमतौर पर विचलनों का माध्य वर्ग कहा जाता है और इसे 2 दर्शाया जाता है। प्रारंभिक डेटा के आधार पर, विचरण की गणना अंकगणितीय माध्य, सरल या भारित से की जा सकती है:

भारित (सरल) फैलाव;

भारित विचरण।

मानक विचलननिरपेक्ष आयामों की एक सामान्यीकरण विशेषता है विविधताओं कुल में विशेषता। यह उसी इकाइयों में संकेत के रूप में व्यक्त किया जाता है (मीटर, टन, प्रतिशत, हेक्टेयर, आदि में)।

मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है और इसे द्वारा निरूपित किया जाता है:

 भारित मानक विचलन;

भारित मानक विचलन।

मानक विचलन माध्य की विश्वसनीयता का माप है। मानक विचलन जितना छोटा होगा, अंकगणितीय माध्य उतना ही बेहतर होगा जो संपूर्ण प्रतिनिधित्व वाली आबादी को दर्शाता है।

मानक विचलन की गणना विचरण की गणना से पहले की जाती है।

भारित विचरण की गणना करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

1) अंकगणितीय भारित औसत निर्धारित करें:

2) औसत से विकल्पों के विचलन की गणना करें:

3) माध्य से प्रत्येक विकल्प के विचलन का वर्ग करें:

4) वर्ग विचलन को भार (आवृत्तियों) से गुणा करें:

5) प्राप्त कार्यों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

6) परिणामी राशि को भार के योग से विभाजित किया जाता है:

उदाहरण 2.1

अंकगणितीय भारित औसत की गणना करें:

माध्य और उनके वर्गों से विचलन के मान तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। आइए भिन्नता को परिभाषित करें:

मानक विचलन के बराबर होगा:

यदि स्रोत डेटा को अंतराल के रूप में प्रस्तुत किया जाता है वितरण श्रृंखला , तो आपको पहले सुविधा का असतत मान निर्धारित करना होगा, और फिर वर्णित विधि को लागू करना होगा।

उदाहरण 2.2

आइए हम गेहूं की उपज द्वारा सामूहिक खेत के बोए गए क्षेत्र के वितरण के आंकड़ों पर अंतराल श्रृंखला के लिए विचरण की गणना दिखाते हैं।

अंकगणित माध्य है:

आइए विचरण की गणना करें:

6.3. व्यक्तिगत डेटा के सूत्र के अनुसार फैलाव की गणना

गणना तकनीक फैलाव जटिल, और विकल्पों और आवृत्तियों के बड़े मूल्यों के लिए बोझिल हो सकता है। फैलाव गुणों का उपयोग करके गणना को सरल बनाया जा सकता है।

फैलाव में निम्नलिखित गुण होते हैं।

1. एक चर विशेषता के भार (आवृत्तियों) में एक निश्चित संख्या में कमी या वृद्धि से फैलाव नहीं बदलता है।

2. प्रत्येक विशेषता मान को समान स्थिर मान से घटाना या बढ़ाना लेकिनफैलाव नहीं बदलता है।

3. प्रत्येक फीचर वैल्यू को एक निश्चित संख्या में घटाना या बढ़ाना कमें विचरण को क्रमशः घटाता या बढ़ाता है क 2 बार मानक विचलन में कएक बार।

4. एक मनमाना मूल्य के सापेक्ष एक विशेषता का प्रसरण हमेशा औसत और मनमाना मूल्यों के बीच अंतर के वर्ग द्वारा अंकगणितीय माध्य के सापेक्ष विचरण से अधिक होता है:

यदि एक लेकिन 0, तो हम निम्नलिखित समानता पर पहुँचते हैं:

यानी, किसी फीचर का वेरिएंस फीचर वैल्यू के माध्य वर्ग और माध्य के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर होता है।

प्रसरण की गणना करते समय प्रत्येक गुण का अकेले या दूसरों के साथ संयोजन में उपयोग किया जा सकता है।

विचरण की गणना करने की प्रक्रिया सरल है:

1) निर्धारित करें अंकगणित औसत :

2) समांतर माध्य का वर्ग करें:

3) श्रृंखला के प्रत्येक प्रकार के विचलन का वर्ग करें:

एक्स मैं 2 .

4) विकल्पों के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए:

5) विकल्पों के वर्गों के योग को उनकी संख्या से विभाजित करें, अर्थात औसत वर्ग निर्धारित करें:

6) विशेषता के माध्य वर्ग और माध्य के वर्ग के बीच का अंतर निर्धारित करें:

उदाहरण 3.1हमारे पास श्रमिकों की उत्पादकता पर निम्नलिखित आंकड़े हैं:

आइए निम्नलिखित गणना करें:

फैलाव के प्रकार:

कुल विचरणउन सभी कारकों के प्रभाव में संपूर्ण जनसंख्या के लक्षणों की भिन्नता की विशेषता है जो इस भिन्नता का कारण बने। यह मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

संपूर्ण अध्ययन जनसंख्या का सामान्य अंकगणितीय माध्य कहाँ है।

औसत भीतर-समूह विचरणएक यादृच्छिक भिन्नता को इंगित करता है जो कारकों के लिए किसी भी बेहिसाब के प्रभाव में उत्पन्न हो सकता है और जो समूह के अंतर्निहित विशेषता कारक पर निर्भर नहीं करता है। इस विचरण की गणना इस प्रकार की जाती है: पहले, अलग-अलग समूहों के लिए प्रसरणों की गणना की जाती है (), फिर औसत समूह-विचरण की गणना की जाती है:

जहां n मैं समूह में इकाइयों की संख्या है

इंटरग्रुप विचरण(समूह साधनों का फैलाव) व्यवस्थित भिन्नता की विशेषता है, अर्थात। अध्ययन के तहत गुण के मूल्य में अंतर, गुण-कारक के प्रभाव में उत्पन्न होता है, जो समूहीकरण का आधार है।

एक अलग समूह के लिए औसत मूल्य कहां है।

तीनों प्रकार के फैलाव आपस में जुड़े हुए हैं: कुल विचरणऔसत इंट्राग्रुप विचरण और अंतरसमूह विचरण के योग के बराबर है:

गुण:

25 भिन्नता की सापेक्ष दरें

कोफ. ओएससी के बारे मेंऔसत के आसपास विशेषता के चरम मूल्यों के सापेक्ष उतार-चढ़ाव को दर्शाता है। रिले. लिन. बंद. औसत मूल्य से निरपेक्ष विचलन के संकेत के औसत मूल्य के हिस्से की विशेषता है। कोफ. विविधता औसत की विशिष्टता का आकलन करने के लिए उपयोग की जाने वाली भिन्नता का सबसे सामान्य उपाय है।

आँकड़ों में, 30-35% से अधिक भिन्नता के गुणांक वाली आबादी को विषमांगी माना जाता है।

वितरण श्रृंखला की नियमितता। वितरण क्षण। वितरण प्रपत्र संकेतक

परिवर्तनशील श्रृंखला में, एक चर विशेषता की आवृत्तियों और मूल्यों के बीच संबंध होता है: विशेषता में वृद्धि के साथ, आवृत्ति मान पहले एक निश्चित सीमा तक बढ़ जाता है, और फिर घट जाता है। ऐसे परिवर्तन कहलाते हैं वितरण पैटर्न।

विषमता और कुर्टोसिस के संकेतकों का उपयोग करके वितरण के रूप का अध्ययन किया जाता है। इन संकेतकों की गणना करते समय, वितरण क्षणों का उपयोग किया जाता है।

k-वें क्रम का क्षण कुछ स्थिर मान से विशेषता मानों के वेरिएंट के विचलन के k-वें डिग्री का औसत है। क्षण का क्रम k के मान से निर्धारित होता है। विविधता श्रृंखला का विश्लेषण करते समय, वे पहले चार आदेशों के क्षणों की गणना करने के लिए खुद को सीमित रखते हैं। क्षणों की गणना करते समय, आवृत्तियों या आवृत्तियों का उपयोग भार के रूप में किया जा सकता है। एक स्थिर मान की पसंद के आधार पर, प्रारंभिक, सशर्त और केंद्रीय क्षण होते हैं।

वितरण प्रपत्र संकेतक:

विषमता(के रूप में) वितरण विषमता की डिग्री की विशेषता सूचक .

इसलिए, (बाएं हाथ से) ऋणात्मक विषमता के साथ . (दाएं तरफा) सकारात्मक विषमता के साथ .

केंद्रीय क्षणों का उपयोग विषमता की गणना के लिए किया जा सकता है। फिर:

,

जहां μ 3 तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण है।

- कुर्टोसिस (ई प्रति ) की तुलना में फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्थिरता को दर्शाता है सामान्य वितरणभिन्नता की समान शक्ति के साथ:

,

जहां μ 4 चौथे क्रम का केंद्रीय क्षण है।

सामान्य वितरण कानून

एक सामान्य वितरण (गॉसियन वितरण) के लिए, वितरण फ़ंक्शन का निम्न रूप है:

अपेक्षा- मानक विचलन

सामान्य वितरण सममित है और निम्नलिखित संबंधों की विशेषता है: Xav=Me=Mo

सामान्य वितरण का कर्टोसिस 3 है और तिरछापन 0 है।

सामान्य वितरण वक्र एक बहुभुज (सममित घंटी के आकार की सीधी रेखा) है

फैलाव के प्रकार। भिन्नों को जोड़ने का नियम। निर्धारण के अनुभवजन्य गुणांक का सार।

यदि प्रारंभिक जनसंख्या को किसी आवश्यक विशेषता के अनुसार समूहों में विभाजित किया जाता है, तो निम्न प्रकार के फैलाव की गणना की जाती है:

मूल जनसंख्या का कुल विचरण:

मूल जनसंख्या का कुल औसत मूल्य कहाँ है f मूल जनसंख्या की आवृत्ति है। कुल विचरण मूल जनसंख्या के कुल औसत मूल्य से विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन की विशेषता है।

इंट्राग्रुप भिन्नताएं:

जहाँ j समूह की संख्या है; प्रत्येक j-वें समूह में औसत मान है; j-वें समूह की आवृत्ति है। इंट्राग्रुप वेरिएंस समूह औसत से प्रत्येक समूह में एक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य के विचलन की विशेषता है। सभी इंट्रा-ग्रुप फैलाव से, औसत की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:, जहां प्रत्येक j-th समूह में इकाइयों की संख्या होती है।

इंटरग्रुप विचरण:

इंटरग्रुप फैलाव मूल जनसंख्या के कुल औसत से समूह औसत के विचलन की विशेषता है।

प्रसरण जोड़ नियमयह है कि मूल जनसंख्या का कुल विचरण इंटरग्रुप के योग और इंट्राग्रुप वेरिएंस के औसत के बराबर होना चाहिए:

निर्धारण का अनुभवजन्य गुणांकसमूहीकरण विशेषता की भिन्नता के कारण अध्ययन किए गए गुण की भिन्नता के अनुपात को दर्शाता है, और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

माध्य और विचरण की गणना के लिए सशर्त शून्य (क्षणों की विधि) से संदर्भ की विधि

आघूर्णों की विधि द्वारा परिक्षेपण की गणना सूत्र के प्रयोग तथा परिक्षेपण के 3 और 4 गुणों पर आधारित है।

(3. यदि विशेषता (विकल्प) के सभी मूल्यों को कुछ स्थिर संख्या A से बढ़ा (घटाया) जाता है, तो नई आबादी का विचरण नहीं बदलेगा।

4. यदि विशेषता के सभी मान (विकल्प) K गुणा से (गुणा) बढ़ा दिए जाते हैं, जहां K एक स्थिर संख्या है, तो नई जनसंख्या का विचरण K 2 गुना बढ़ जाएगा (कमी)।

हम आघूर्णों की विधि द्वारा समान अंतरालों वाली परिवर्ती श्रेणी में विचरण की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

ए - सशर्त शून्य, अधिकतम आवृत्ति वाले विकल्प के बराबर (अधिकतम आवृत्ति के साथ अंतराल के मध्य)

क्षणों की विधि द्वारा माध्य की गणना भी माध्य के गुणों के उपयोग पर आधारित होती है।

इसकी अवधारणा चयनात्मक अवलोकन. एक चयनात्मक विधि द्वारा आर्थिक घटनाओं के अध्ययन के चरण

एक नमूना एक अवलोकन है जिसमें प्रारंभिक आबादी की सभी इकाइयों का परीक्षण और अध्ययन नहीं किया जाता है, लेकिन केवल इकाइयों का एक हिस्सा होता है, जबकि आबादी के एक हिस्से की परीक्षा का परिणाम पूरी मूल आबादी तक फैलता है। वह सेट जिससे आगे की परीक्षा और अध्ययन के लिए इकाइयों के चयन को कहा जाता है सामान्यऔर इस सेट को दर्शाने वाले सभी संकेतक कहलाते हैं सामान्य.

सामान्य माध्य से प्रतिदर्श माध्य के विचलन की संभावित सीमा कहलाती है नमूनाकरण त्रुटि.

चयनित इकाइयों के समूह को कहा जाता है चयनात्मकऔर इस सेट को दर्शाने वाले सभी संकेतक कहलाते हैं चयनात्मक.

चयनात्मक अनुसंधान में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

अध्ययन की वस्तु के लक्षण (बड़े पैमाने पर आर्थिक घटना)। यदि सामान्य जनसंख्या छोटी है, तो नमूना लेने की अनुशंसा नहीं की जाती है, एक सतत अध्ययन आवश्यक है;

नमूना आकार गणना। इष्टतम मात्रा निर्धारित करना महत्वपूर्ण है जो स्वीकार्य सीमा के भीतर नमूना त्रुटि प्राप्त करने के लिए न्यूनतम लागत पर अनुमति देगा;

यादृच्छिकता, आनुपातिकता की आवश्यकताओं को ध्यान में रखते हुए अवलोकन की इकाइयों का चयन करना।

नमूना त्रुटि के अनुमान के आधार पर प्रतिनिधित्व का प्रमाण। यादृच्छिक नमूने के लिए, सूत्रों का उपयोग करके त्रुटि की गणना की जाती है। लक्ष्य नमूने के लिए, गुणात्मक विधियों (तुलना, प्रयोग) का उपयोग करके प्रतिनिधित्व का मूल्यांकन किया जाता है;

विश्लेषण नमूना चयन ढांचा. यदि गठित नमूना प्रतिनिधित्व की आवश्यकताओं को पूरा करता है, तो इसका विश्लेषण विश्लेषणात्मक संकेतकों (औसत, सापेक्ष, आदि) का उपयोग करके किया जाता है।

गणितीय अपेक्षा और फैलाव - सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली संख्यात्मक विशेषताएं अनियमित चर. वे सबसे अधिक विशेषता रखते हैं महत्वपूर्ण विशेषताएंवितरण: इसकी स्थिति और फैलाव की डिग्री। अभ्यास की कई समस्याओं में, एक यादृच्छिक चर का पूर्ण, संपूर्ण विवरण - वितरण का नियम - या तो बिल्कुल प्राप्त नहीं किया जा सकता है, या इसकी बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। इन मामलों में, वे संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करके एक यादृच्छिक चर के अनुमानित विवरण तक सीमित हैं।

गणितीय अपेक्षा को अक्सर एक यादृच्छिक चर के औसत मान के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर का फैलाव - फैलाव की एक विशेषता, इसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर का फैलाव गणितीय अपेक्षा.

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

आइए गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को देखें, पहले एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण की यांत्रिक व्याख्या से आगे बढ़ते हुए। मान लीजिए कि इकाई द्रव्यमान को x-अक्ष के बिंदुओं के बीच वितरित किया जाता है एक्स1 , एक्स 2 , ..., एक्सएन, और प्रत्येक भौतिक बिंदु का द्रव्यमान इसके अनुरूप होता है पी1 , पी 2 , ..., पीएन. एक्स-अक्ष पर एक बिंदु चुनना आवश्यक है, जो उनके द्रव्यमान को ध्यान में रखते हुए भौतिक बिंदुओं की पूरी प्रणाली की स्थिति को दर्शाता है। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र को ऐसे बिंदु के रूप में लेना स्वाभाविक है। यह यादृच्छिक चर का भारित औसत है एक्स, जिसमें प्रत्येक बिंदु का भुज एक्समैंसंबंधित संभावना के बराबर "वजन" के साथ प्रवेश करता है। इस प्रकार प्राप्त यादृच्छिक चर का माध्य मान एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा कहलाती है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों और इन मूल्यों की संभावनाओं का योग है:

उदाहरण 1विन-विन लॉटरी का आयोजन किया। 1000 जीत हैं, जिनमें से 400 प्रत्येक 10 रूबल हैं। 300 - 20 रूबल प्रत्येक 200 - 100 रूबल प्रत्येक। और 100 - 200 रूबल प्रत्येक। एक टिकट खरीदने वाले व्यक्ति की औसत जीत क्या है?

समाधान। हम औसत अदायगी पाते हैं यदि कुल राशिजीत, जो 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50,000 रूबल के बराबर है, 1000 से विभाजित (जीत की कुल राशि)। तब हमें 50000/1000 = 50 रूबल मिलते हैं। लेकिन औसत लाभ की गणना के लिए व्यंजक को निम्नलिखित रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

दूसरी ओर, इन शर्तों के तहत, जीत की राशि एक यादृच्छिक चर है जो 10, 20, 100 और 200 रूबल के मूल्यों को ले सकती है। क्रमशः 0.4 के बराबर संभावनाओं के साथ; 0.3; 0.2; 0.1. इसलिए, अपेक्षित औसत अदायगी योग के बराबर हैजीत के आकार के उत्पाद उन्हें प्राप्त करने की संभावना से।

उदाहरण 2प्रकाशक ने प्रकाशित करने का निर्णय लिया नई पुस्तक. वह पुस्तक को 280 रूबल में बेचने जा रहा है, जिसमें से उसे 200, किताबों की दुकान को 50 और लेखक को 30 रुपये दिए जाएंगे। तालिका पुस्तक प्रकाशित करने की लागत और बिक्री की संभावना के बारे में जानकारी प्रदान करती है। एक निश्चित संख्यापुस्तक की प्रतियां।

प्रकाशक का अपेक्षित लाभ ज्ञात कीजिए।

समाधान। यादृच्छिक चर "लाभ" बिक्री से आय और लागत की लागत के बीच के अंतर के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि किसी पुस्तक की 500 प्रतियां बेची जाती हैं, तो बिक्री से होने वाली आय 200 * 500 = 100,000 है, और प्रकाशन की लागत 225,000 रूबल है। इस प्रकार, प्रकाशक को 125,000 रूबल के नुकसान का सामना करना पड़ता है। निम्न तालिका यादृच्छिक चर - लाभ के अपेक्षित मूल्यों को सारांशित करती है:

इस प्रकार, हम प्रकाशक के लाभ की गणितीय अपेक्षा प्राप्त करते हैं:

.

उदाहरण 3एक शॉट से हिट करने का मौका पी= 0.2. गोले की खपत निर्धारित करें जो 5 के बराबर हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षा प्रदान करते हैं।

समाधान। उसी अपेक्षा सूत्र से जो हमने अब तक प्रयोग किया है, हम व्यक्त करते हैं एक्स- गोले की खपत:

.

उदाहरण 4एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एक्सतीन शॉट्स के साथ हिट की संख्या, यदि प्रत्येक शॉट के साथ हिट होने की संभावना है पी = 0,4 .

संकेत: द्वारा यादृच्छिक चर के मानों की प्रायिकता ज्ञात कीजिए बर्नौली सूत्र .

उम्मीद गुण

गणितीय अपेक्षा के गुणों पर विचार करें।

संपत्ति 1.स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है:

संपत्ति 2.निरंतर कारक को उम्मीद के संकेत से बाहर निकाला जा सकता है:

संपत्ति 3.यादृच्छिक चर के योग (अंतर) की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग (अंतर) के बराबर है:

संपत्ति 4.यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:

संपत्ति 5.यदि यादृच्छिक चर के सभी मान एक्सएक ही संख्या से कमी (वृद्धि) से, तो इसकी गणितीय अपेक्षा उसी संख्या से घटेगी (वृद्धि) होगी:

जब आप केवल गणितीय अपेक्षा तक सीमित नहीं रह सकते हैं

ज्यादातर मामलों में, केवल गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर को पर्याप्त रूप से चिह्नित नहीं कर सकती है।

यादृच्छिक चर दें एक्सतथा यूनिम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:

इन राशियों की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं - शून्य के बराबर:

हालांकि, उनका वितरण अलग है। यादृच्छिक मूल्य एक्सकेवल वे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर से थोड़े अलग हैं यूवे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा से महत्वपूर्ण रूप से विचलित होते हैं। एक समान उदाहरण: औसत वेतन उच्च और निम्न वेतन वाले श्रमिकों के अनुपात का न्याय करना संभव नहीं बनाता है। दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा से कोई यह नहीं आंक सकता कि इससे कम से कम औसतन क्या विचलन संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको एक यादृच्छिक चर के विचरण को खोजने की आवश्यकता है।

असतत यादृच्छिक चर का फैलाव

फैलावअसतत यादृच्छिक चर एक्सगणितीय अपेक्षा से इसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहलाती है:

एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन एक्सबुलाया अंकगणितीय मानइसके विचरण का वर्गमूल:

.

उदाहरण 5यादृच्छिक चरों के प्रसरणों और मानक विचलनों की गणना करें एक्सतथा यू, जिनके वितरण नियम ऊपर दी गई तालिका में दिए गए हैं।

समाधान। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएं एक्सतथा यू, जैसा कि ऊपर पाया गया, शून्य के बराबर है। के लिए फैलाव सूत्र के अनुसार इ(एक्स)=इ(आप) = 0 हमें मिलता है:

फिर यादृच्छिक चर के मानक विचलन एक्सतथा यूगठित करना

.

इस प्रकार, समान गणितीय अपेक्षाओं के साथ, यादृच्छिक चर का प्रसरण एक्सबहुत छोटा और यादृच्छिक यू- महत्वपूर्ण। यह उनके वितरण में अंतर का परिणाम है।

उदाहरण 6निवेशक के पास 4 वैकल्पिक निवेश परियोजनाएं हैं। तालिका इन परियोजनाओं में अपेक्षित लाभ पर संबंधित संभावना के साथ डेटा को सारांशित करती है।

प्रत्येक विकल्प के लिए गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन खोजें।

समाधान। आइए हम दिखाते हैं कि तीसरे विकल्प के लिए इन मात्राओं की गणना कैसे की जाती है:

तालिका सभी विकल्पों के लिए पाए गए मानों को सारांशित करती है।

सभी विकल्पों की गणितीय अपेक्षा समान होती है। इसका मतलब है कि लंबे समय में सभी की आय समान है। मानक विचलन की व्याख्या जोखिम के माप के रूप में की जा सकती है - यह जितना बड़ा होगा, निवेश का जोखिम उतना ही अधिक होगा। एक निवेशक जो अधिक जोखिम नहीं चाहता है, वह प्रोजेक्ट 1 का चयन करेगा क्योंकि इसमें सबसे छोटा मानक विचलन (0) है। यदि निवेशक कम अवधि में जोखिम और उच्च रिटर्न को प्राथमिकता देता है, तो वह सबसे बड़े मानक विचलन वाली परियोजना का चयन करेगा - परियोजना 4।

फैलाव गुण

आइए हम परिक्षेपण के गुणों को प्रस्तुत करें।

संपत्ति 1.एक स्थिर मान का फैलाव शून्य है:

संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से चुकता करके निकाला जा सकता है:

.

संपत्ति 3.एक यादृच्छिक चर का विचरण इस मान के वर्ग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है, जिसमें से मान की गणितीय अपेक्षा का वर्ग ही घटाया जाता है:

,

कहाँ पे .

संपत्ति 4.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग (अंतर) के बराबर होता है:

उदाहरण 7यह ज्ञात है कि एक असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है: −3 और 7. इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा ज्ञात है: इ(एक्स) = 4। एक असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। द्वारा निरूपित करें पीवह प्रायिकता जिसके साथ एक यादृच्छिक चर मान लेता है एक्स1 = −3 . तब मान की प्रायिकता एक्स2 = 7 1 − . होगा पी. आइए गणितीय अपेक्षा के लिए समीकरण प्राप्त करें:

इ(एक्स) = एक्स 1 पी + एक्स 2 (1 − पी) = −3पी + 7(1 − पी) = 4 ,

जहां हमें संभावनाएं मिलती हैं: पी= 0.3 और 1 − पी = 0,7 .

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

हम प्रसरण के गुण 3 से सूत्र का उपयोग करके इस यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना करते हैं:

डी(एक्स) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा स्वयं खोजें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 8असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है। यह 0.4 की संभावना के साथ 3 का बड़ा मान लेता है। इसके अलावा, यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात है डी(एक्स) = 6। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं।

उदाहरण 9एक कलश में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। कलश से 3 गेंदें ली जाती हैं। खींची गई गेंदों के बीच सफेद गेंदों की संख्या एक असतत यादृच्छिक चर है एक्स. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। यादृच्छिक मूल्य एक्स 0, 1, 2, 3 मान ले सकते हैं। संबंधित संभावनाओं की गणना की जा सकती है प्रायिकताओं के गुणन का नियम. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

इसलिए इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा:

एम(एक्स) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

किसी दिए गए यादृच्छिक चर का प्रसरण है:

डी(एक्स) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की यांत्रिक व्याख्या एक ही अर्थ को बरकरार रखेगी: घनत्व के साथ एक्स-अक्ष पर लगातार वितरित एक इकाई द्रव्यमान के लिए द्रव्यमान का केंद्र एफ(एक्स) एक असतत यादृच्छिक चर के विपरीत, जिसके लिए फ़ंक्शन तर्क एक्समैंएक सतत यादृच्छिक चर के लिए अचानक परिवर्तन, तर्क लगातार बदलता रहता है। लेकिन एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा भी इसके माध्य मान से संबंधित है।

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण को खोजने के लिए, आपको निश्चित समाकलों को खोजने की आवश्यकता है . यदि एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व फलन दिया जाता है, तो यह सीधे समाकलन में प्रवेश करता है। यदि एक प्रायिकता बंटन फलन दिया गया है, तो उसे विभेदित करके, आपको घनत्व फलन ज्ञात करना होगा।

एक सतत यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के अंकगणितीय औसत को कहा जाता है गणितीय अपेक्षा, या द्वारा निरूपित।

आइए गणना करेंएमएसएक्सेलनमूने का विचरण और मानक विचलन। हम एक यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना भी करते हैं यदि उसका वितरण ज्ञात है।

पहले विचार करें फैलाव, फिर मानक विचलन.

नमूना विचरण

नमूना विचरण (नमूना विचरण,नमूनाझगड़ा) के सापेक्ष सरणी में मूल्यों के प्रसार की विशेषता है।

सभी 3 सूत्र गणितीय रूप से समतुल्य हैं।

यह पहले सूत्र से देखा जा सकता है कि नमूना विचरणसरणी में प्रत्येक मान के चुकता विचलन का योग है औसत सेनमूना आकार माइनस 1 से विभाजित।

फैलाव नमूने DISP () फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है, इंजी। वीएआर का नाम, यानी। भिन्नता। MS EXCEL 2010 के बाद से, इसके एनालॉग DISP.V() , eng का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है। नाम VARS, अर्थात्। नमूना विचरण। इसके अलावा, MS EXCEL 2010 के संस्करण से शुरू होकर, एक DISP.G () फ़ंक्शन, इंजी है। वीएआरपी नाम, यानी। जनसंख्या विचरण जो गणना करता है फैलावके लिये आबादी . पूरा अंतर हर के लिए नीचे आता है: n-1 के बजाय DISP.V() , DISP.G() में हर में बस n है। MS EXCEL 2010 से पहले, VARP () फ़ंक्शन का उपयोग जनसंख्या विचरण की गणना के लिए किया जाता था।

नमूना विचरण
= वर्ग (नमूना)/(COUNT (नमूना) -1)
=(SUMSQ(नमूना)-COUNT(नमूना)*औसत(नमूना)^2)/ (COUNT(नमूना)-1)- सामान्य सूत्र
=SUM((नमूना-औसत(नमूना))^2)/ (COUNT(नमूना)-1) –

नमूना विचरण 0 के बराबर तभी होता है जब सभी मान एक दूसरे के बराबर हों और तदनुसार समान हों औसत मूल्य. आमतौर पर से अधिक मूल्य फैलाव, सरणी में मानों का प्रसार जितना अधिक होगा।

नमूना विचरणहै बिंदु लागत फैलावयादृच्छिक चर का वितरण जिससे नमूना. निर्माण के बारे में विश्वास अंतराल मूल्यांकन करते समय फैलावलेख में पढ़ा जा सकता है।

यादृच्छिक चर का प्रसरण

हिसाब करना फैलावयादृच्छिक चर, आपको इसे जानने की जरूरत है।

के लिये फैलावयादृच्छिक चर X अक्सर अंकन Var(X) का उपयोग करते हैं। फैलावमाध्य E(X) से विचलन के वर्ग के बराबर है: Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]

फैलावसूत्र द्वारा गणना:

जहां x i वह मान है जो यादृच्छिक चर ले सकता है, और μ औसत मान () है, p(x) संभावना है कि यादृच्छिक चर मान x लेगा।

यदि यादृच्छिक चर है, तो फैलावसूत्र द्वारा गणना:

आयाम फैलावमूल मानों की माप की इकाई के वर्ग से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, यदि नमूने में मान भाग के वजन (किलो में) के माप हैं, तो विचरण का आयाम किलो 2 होगा। यह व्याख्या करना मुश्किल हो सकता है, इसलिए, मूल्यों के प्रसार को चिह्नित करने के लिए, वर्गमूल के बराबर मूल्य फैलाव – मानक विचलन.

कुछ गुण फैलाव:

Var(X+a)=Var(X), जहां X एक यादृच्छिक चर है और a एक स्थिरांक है।

Var(aХ)=a 2 Var(X)

वार(X)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2=E(X 2)- 2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2

इस फैलाव गुण का उपयोग किया जाता है रैखिक प्रतिगमन के बारे में लेख.

Var(X+Y)=Var(X) + Var(Y) + 2*Cov(X;Y), जहां X और Y यादृच्छिक चर हैं, Cov(X;Y) इन यादृच्छिक चरों का सहप्रसरण है।

यदि यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं, तो उनका सहप्रसरण 0 है, और इसलिए Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). विचरण के इस गुण का उपयोग आउटपुट में किया जाता है।

आइए हम दिखाते हैं कि स्वतंत्र मात्राओं के लिए Var(X-Y)=Var(X+Y). वास्तव में, वार(X-Y)= Var(X-Y)= Var(X+(-Y))= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+(- 1) 2 वार (वाई) = वार (एक्स) + वार (वाई) = वार (एक्स + वाई)। विचरण की इस संपत्ति का उपयोग प्लॉट करने के लिए किया जाता है।

नमूना मानक विचलन

नमूना मानक विचलनइस बात का माप है कि नमूने में मान उनके सापेक्ष कितने व्यापक रूप से बिखरे हुए हैं।

परिभाषा से, मानक विचलनके वर्गमूल के बराबर फैलाव:

मानक विचलनमूल्यों के परिमाण को ध्यान में नहीं रखता है नमूना, लेकिन केवल उनके आसपास मूल्यों के बिखरने की डिग्री मध्यम. आइए इसे स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण लेते हैं।

आइए 2 नमूनों के लिए मानक विचलन की गणना करें: (1; 5; 9) और (1001; 1005; 1009)। दोनों ही स्थितियों में, s=4. यह स्पष्ट है कि नमूने के लिए मानक विचलन और सरणी के मूल्यों का अनुपात काफी भिन्न है। ऐसे मामलों के लिए, उपयोग करें भिन्नता का गुणांक(भिन्नता का गुणांक, CV) - अनुपात मानक विचलनऔसत के लिए अंकगणित, प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया गया।

गणना के लिए MS EXCEL 2007 और पुराने संस्करणों में नमूना मानक विचलनफ़ंक्शन = STDEV () का उपयोग किया जाता है, eng। एसटीडीईवी नाम, यानी। मानक विचलन। MS EXCEL 2010 के बाद से, इसके एनालॉग = STDEV.B () , eng का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है। नाम STDEV.S, अर्थात। नमूना मानक विचलन।

इसके अलावा, MS EXCEL 2010 के संस्करण से शुरू होकर, एक फ़ंक्शन STDEV.G () , eng है। नाम STDEV.P, अर्थात। जनसंख्या मानक विचलन जो गणना करता है मानक विचलनके लिये आबादी. पूरा अंतर हर में आता है: n-1 जैसे STDEV.V() , STDEV.G() के बजाय हर में बस n है।

मानक विचलननीचे दिए गए सूत्रों से भी सीधे गणना की जा सकती है (उदाहरण फ़ाइल देखें)
=SQRT(SQUADROTIV(नमूना)/(COUNT(नमूना)-1))
=SQRT((SUMSQ(नमूना)-COUNT(नमूना)*औसत(नमूना)^2)/(COUNT(नमूना) -1))

अन्य फैलाव उपाय

SQUADRIVE () फ़ंक्शन के साथ गणना करता है उनके से मूल्यों के वर्ग विचलन का उम मध्यम. यह फ़ंक्शन सूत्र के समान परिणाम लौटाएगा =VAR.G( नमूना)*जांच( नमूना) , कहाँ पे नमूना- एक श्रेणी का संदर्भ जिसमें नमूना मानों की एक सरणी होती है ()। QUADROTIV () फ़ंक्शन में गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

SROOT () फ़ंक्शन भी डेटा के एक सेट के बिखराव का एक उपाय है। SIROTL () फ़ंक्शन से मूल्यों के विचलन के निरपेक्ष मूल्यों के औसत की गणना करता है मध्यम. यह फ़ंक्शन सूत्र के समान परिणाम लौटाएगा = SUMPRODUCT (ABS (नमूना-औसत (नमूना))) / COUNT (नमूना), कहाँ पे नमूना- नमूना मानों की एक सरणी वाली श्रेणी का संदर्भ।

SROOTKL () फ़ंक्शन में गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

हालांकि, यादृच्छिक चर के अध्ययन के लिए अकेले यह विशेषता अभी तक पर्याप्त नहीं है। दो निशानेबाजों की कल्पना करें जो एक लक्ष्य पर शूटिंग कर रहे हैं। एक सटीक रूप से शूट करता है और केंद्र के करीब हिट करता है, और दूसरा ... केवल मज़े करना और लक्ष्य बनाना भी नहीं। लेकिन मजे की बात यह है कि औसतपरिणाम बिल्कुल पहले शूटर जैसा ही होगा! यह स्थिति सशर्त रूप से निम्नलिखित यादृच्छिक चर द्वारा सचित्र है:

"स्नाइपर" गणितीय अपेक्षा के बराबर है, हालांकि, "दिलचस्प व्यक्ति" के लिए: - यह भी शून्य है!

इस प्रकार, यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कितनी दूर छितरा हुआलक्ष्य (उम्मीद) के केंद्र के सापेक्ष गोलियां (एक यादृच्छिक चर के मान)। ठीक और बिखरनेलैटिन से केवल के रूप में अनुवादित फैलाव .

आइए देखें कि इसे कैसे परिभाषित किया जाता है। संख्यात्मक विशेषतापाठ के पहले भाग के उदाहरणों में से एक पर:

वहां हमें इस खेल की निराशाजनक गणितीय अपेक्षा मिली, और अब हमें इसके विचरण की गणना करनी है, जो लक्षितके माध्यम से ।

आइए जानें कि औसत मूल्य के सापेक्ष जीत/हार कितनी दूर "बिखरे हुए" हैं। जाहिर है, इसके लिए हमें गणना करने की आवश्यकता है मतभेदके बीच एक यादृच्छिक चर के मूल्यऔर उसकी गणितीय अपेक्षा:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

अब परिणामों का योग करना आवश्यक प्रतीत होता है, लेकिन यह तरीका अच्छा नहीं है - इस कारण से कि बाईं ओर के दोलन एक दूसरे को दाईं ओर के दोलनों के साथ रद्द कर देंगे। तो, उदाहरण के लिए, "शौकिया" शूटर (उपरोक्त उदाहरण)मतभेद हो जाएगा , और जब जोड़ा जाएगा तो वे शून्य देंगे, इसलिए हमें उसकी शूटिंग के बिखरने का कोई अनुमान नहीं मिलेगा।

इस झुंझलाहट को दूर करने के लिए, विचार करें मॉड्यूलमतभेद, लेकिन तकनीकी कारणों से, चुकता होने पर दृष्टिकोण ने जड़ें जमा ली हैं। तालिका में समाधान की व्यवस्था करना अधिक सुविधाजनक है:

और यहाँ यह गणना करने के लिए भीख माँगता है भारित औसतवर्ग विचलन का मान। यह क्या है? यह उनका है अपेक्षित मूल्य, जो बिखरने का उपाय है:

– परिभाषाफैलाव। परिभाषा से यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि विचरण ऋणात्मक नहीं हो सकता- अभ्यास के लिए ध्यान दें!

आइए याद रखें कि अपेक्षा कैसे प्राप्त करें। चुकता अंतरों को संबंधित संभावनाओं से गुणा करें (तालिका निरंतरता):
- लाक्षणिक रूप से बोलना, यह "कर्षण बल" है,
और परिणामों को सारांशित करें:

क्या आपको नहीं लगता कि जीत की पृष्ठभूमि में परिणाम बहुत बड़ा निकला? यह सही है - हम वर्ग कर रहे थे, और अपने खेल के आयाम पर लौटने के लिए, हमें निकालने की जरूरत है वर्गमूल. इस मान को कहा जाता है मानक विचलन और निरूपित ग्रीक अक्षर"सिग्मा":

कभी-कभी इस अर्थ को कहा जाता है मानक विचलन .

इसका अर्थ क्या है? यदि हम मानक विचलन द्वारा गणितीय अपेक्षा से बाईं ओर और दाईं ओर विचलन करते हैं:

- तो इस अंतराल पर यादृच्छिक चर के सबसे संभावित मान "केंद्रित" होंगे। हम वास्तव में क्या देख रहे हैं:

हालांकि, ऐसा हुआ कि बिखरने के विश्लेषण में लगभग हमेशा फैलाव की अवधारणा के साथ काम करते हैं। आइए देखें कि खेलों के संबंध में इसका क्या अर्थ है। यदि निशानेबाजों के मामले में हम लक्ष्य के केंद्र के सापेक्ष हिट की "सटीकता" के बारे में बात कर रहे हैं, तो यहां फैलाव दो चीजों की विशेषता है:

सबसे पहले, यह स्पष्ट है कि जैसे-जैसे दरें बढ़ती हैं, विचरण भी बढ़ता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हम 10 गुना वृद्धि करते हैं, तो गणितीय अपेक्षा 10 गुना बढ़ जाएगी, और विचरण 100 गुना बढ़ जाएगा (जैसे ही यह एक द्विघात मान होता है). लेकिन ध्यान दें कि खेल के नियम नहीं बदले हैं! केवल दरें बदल गई हैं, मोटे तौर पर बोलते हुए, हम 10 रूबल की शर्त लगाते थे, अब 100।

दूसरा, अधिक दिलचस्प बिंदु यह है कि विचरण खेल की शैली की विशेषता है। खेल दरों को मानसिक रूप से ठीक करें किसी निश्चित स्तर पर, और देखें कि यहाँ क्या है:

एक कम विचरण खेल एक सतर्क खेल है। खिलाड़ी सबसे विश्वसनीय योजनाओं का चयन करता है, जहां वह एक समय में बहुत अधिक नहीं हारता/जीतता है। उदाहरण के लिए, रूले में लाल/काली प्रणाली (लेख का उदाहरण 4 देखें यादृच्छिक चर) .

उच्च विचरण खेल। उसे अक्सर कहा जाता है फैलावखेल। यह खेल की एक साहसिक या आक्रामक शैली है जहां खिलाड़ी "एड्रेनालाईन" योजनाओं को चुनता है। चलो कम से कम याद करते हैं "मार्टिंगेल", जिसमें दांव पर लगी रकम पिछले पैराग्राफ के "शांत" खेल से अधिक परिमाण के आदेश हैं।

पोकर में स्थिति सांकेतिक है: तथाकथित हैं तंगजो खिलाड़ी सतर्क रहते हैं और अपने खेल कोष से "हिलाते" हैं (बैंकरोल). आश्चर्य नहीं कि उनके बैंकरोल में ज्यादा उतार-चढ़ाव नहीं होता (कम विचरण)। इसके विपरीत, यदि किसी खिलाड़ी का विचरण अधिक है, तो वह आक्रामक है। वह अक्सर जोखिम लेता है, बड़े दांव लगाता है और दोनों एक बड़े बैंक को तोड़ सकता है और टुकड़ों में जा सकता है।

विदेशी मुद्रा में भी यही होता है, और इसी तरह - बहुत सारे उदाहरण हैं।

इसके अलावा, सभी मामलों में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि खेल एक पैसे के लिए है या हजारों डॉलर के लिए है। हर स्तर के अपने निम्न और उच्च विचरण वाले खिलाड़ी होते हैं। खैर, औसत जीत के लिए, जैसा कि हम याद करते हैं, "जिम्मेदार" अपेक्षित मूल्य.

आपने शायद ध्यान दिया होगा कि विचरण का पता लगाना एक लंबी और श्रमसाध्य प्रक्रिया है। लेकिन गणित उदार है:

प्रसरण ज्ञात करने का सूत्र

यह सूत्र सीधे विचरण की परिभाषा से लिया गया है, और हम इसे तुरंत प्रचलन में लाते हैं। मैं ऊपर से हमारे खेल के साथ प्लेट की नकल करूंगा:

और मिली उम्मीद।

हम दूसरे तरीके से विचरण की गणना करते हैं। सबसे पहले, आइए गणितीय अपेक्षा खोजें - यादृच्छिक चर का वर्ग। द्वारा गणितीय अपेक्षा की परिभाषा:

इस मामले में:

इस प्रकार, सूत्र के अनुसार:

जैसा कि वे कहते हैं, अंतर महसूस करें। और व्यवहार में, निश्चित रूप से, सूत्र को लागू करना बेहतर है (जब तक कि शर्त की आवश्यकता न हो)।

हम हल करने और डिजाइन करने की तकनीक में महारत हासिल करते हैं:

उदाहरण 6

इसकी गणितीय अपेक्षा, प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

यह कार्य हर जगह पाया जाता है, और, एक नियम के रूप में, सार्थक अर्थ के बिना चला जाता है।
आप संख्या के साथ कई प्रकाश बल्बों की कल्पना कर सकते हैं जो कुछ संभावनाओं के साथ पागलखाने में प्रकाश करते हैं :)

समाधान: तालिका में मुख्य गणनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है। सबसे पहले, हम प्रारंभिक डेटा को शीर्ष दो पंक्तियों में लिखते हैं। फिर हम उत्पादों की गणना करते हैं, फिर और अंत में सही कॉलम में रकम:

दरअसल, लगभग सब कुछ तैयार है। तीसरी पंक्ति में, एक तैयार गणितीय अपेक्षा तैयार की गई थी: .

फैलाव की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

और अंत में, मानक विचलन:
- व्यक्तिगत रूप से, मैं आमतौर पर 2 दशमलव स्थानों तक घूमता हूं।

सभी गणना एक कैलकुलेटर पर की जा सकती है, और इससे भी बेहतर - एक्सेल में:

यहां गलत होना मुश्किल है :)

उत्तर:

जो चाहते हैं वे अपने जीवन को और भी सरल बना सकते हैं और मेरा लाभ उठा सकते हैं कैलकुलेटर (प्रदर्शन), जो न केवल इस समस्या को तुरंत हल करता है, बल्कि निर्माण भी करता है विषयगत ग्राफिक्स (जल्दी आना). कार्यक्रम कर सकते हैं पुस्तकालय में डाउनलोड करें- अगर आपने कम से कम एक डाउनलोड किया है शैक्षिक सामग्रीया प्राप्त करें एक और तरीका. परियोजना का समर्थन करने के लिए धन्यवाद!

स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ कार्य:

उदाहरण 7

परिभाषा के अनुसार पिछले उदाहरण के यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना करें।

और एक समान उदाहरण:

उदाहरण 8

एक असतत यादृच्छिक चर अपने स्वयं के वितरण कानून द्वारा दिया जाता है:

हां, यादृच्छिक चर के मान काफी बड़े हो सकते हैं (वास्तविक काम से उदाहरण), और यहां, यदि संभव हो तो, एक्सेल का उपयोग करें। वैसे, उदाहरण 7 में - यह तेज़, अधिक विश्वसनीय और अधिक सुखद है।

समाधान और उत्तर पृष्ठ के निचले भाग में।

पाठ के दूसरे भाग के समापन में, हम एक और विशिष्ट कार्य का विश्लेषण करेंगे, कोई एक छोटा सा रिबास भी कह सकता है:

उदाहरण 9

एक असतत यादृच्छिक चर केवल दो मान ले सकता है: और , तथा । संभाव्यता, गणितीय अपेक्षा और विचरण ज्ञात हैं।

समाधान: आइए अज्ञात संभावना से शुरू करते हैं। चूंकि एक यादृच्छिक चर केवल दो मान ले सकता है, तो संबंधित घटनाओं की संभावनाओं का योग:

और तब से ।

यह खोजना बाकी है ..., कहना आसान है :) लेकिन ओह ठीक है, यह शुरू हो गया। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार:
- ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

- और इस समीकरण से और कुछ नहीं निकाला जा सकता है, सिवाय इसके कि आप इसे सामान्य दिशा में फिर से लिख सकते हैं:

या:

आगे की कार्रवाइयों के बारे में, मुझे लगता है कि आप अनुमान लगा सकते हैं। आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

दशमलव- यह, ज़ाहिर है, एक पूर्ण अपमान है; दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करें:

और 2 से विभाजित करें:

यह ज़्यादा बेहतर है। पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं:
(यह आसान तरीका है)- दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:

हम निर्माण कर रहे हैं वर्गऔर सरलीकरण करें:

हम इससे गुणा करते हैं:

नतीजतन, द्विघात समीकरण, इसका विभेदक ज्ञात कीजिए:
- उत्तम!

और हमें दो समाधान मिलते हैं:

1) अगर , फिर ;

2) अगर , फिर ।

मूल्यों की पहली जोड़ी शर्त को संतुष्ट करती है। उच्च संभावना के साथ, सब कुछ सही है, लेकिन, फिर भी, हम वितरण कानून लिखते हैं:

और एक जाँच करें, अर्थात्, अपेक्षा का पता लगाएं: