द्विपद वितरण। द्विपद वितरण: परिभाषा, सूत्र, उदाहरण

बेशक, संचयी वितरण फ़ंक्शन की गणना करते समय, किसी को द्विपद और बीटा वितरण के बीच उल्लिखित संबंध का उपयोग करना चाहिए। यह विधि निश्चित रूप से प्रत्यक्ष योग से बेहतर है जब n> 10।

आँकड़ों पर क्लासिक पाठ्यपुस्तकों में, द्विपद वितरण के मूल्यों को प्राप्त करने के लिए, अक्सर सीमा प्रमेयों (जैसे मोइवर-लाप्लास सूत्र) के आधार पर सूत्रों का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है। इस बात पे ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशुद्ध रूप से कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण सेइन प्रमेयों का मान शून्य के करीब है, खासकर अब, जब लगभग हर डेस्क पर एक शक्तिशाली कंप्यूटर होता है। उपरोक्त सन्निकटन का मुख्य नुकसान अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए विशिष्ट n के मूल्यों के लिए उनकी पूरी तरह से अपर्याप्त सटीकता है। कोई कम नुकसान एक या दूसरे सन्निकटन की प्रयोज्यता पर किसी भी स्पष्ट सिफारिशों की अनुपस्थिति है (मानक ग्रंथों में, केवल स्पर्शोन्मुख सूत्र दिए गए हैं, वे सटीकता अनुमानों के साथ नहीं हैं और इसलिए, बहुत कम उपयोग के हैं)। मैं कहूंगा कि दोनों सूत्र केवल n . के लिए मान्य हैं< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.

मैं यहां मात्राओं को खोजने की समस्या पर विचार नहीं करता: असतत वितरण के लिए, यह तुच्छ है, और उन समस्याओं में जहां ऐसे वितरण उत्पन्न होते हैं, एक नियम के रूप में, यह प्रासंगिक नहीं है। यदि क्वांटाइल्स की अभी भी आवश्यकता है, तो मैं समस्या को इस तरह से सुधारने की सलाह देता हूं जैसे कि पी-वैल्यू (देखे गए महत्व) के साथ काम करना। यहां एक उदाहरण दिया गया है: कुछ गणना एल्गोरिदम को लागू करते समय, प्रत्येक चरण में इसे जांचना आवश्यक है सांख्यिकीय परिकल्पनाएक द्विपद यादृच्छिक चर के बारे में। शास्त्रीय दृष्टिकोण के अनुसार, प्रत्येक चरण में मानदंड के आंकड़ों की गणना करना और महत्वपूर्ण सेट की सीमा के साथ इसके मूल्य की तुलना करना आवश्यक है। चूंकि, हालांकि, एल्गोरिथ्म गणनात्मक है, इसलिए हर बार नए सिरे से महत्वपूर्ण सेट की सीमा निर्धारित करना आवश्यक है (आखिरकार, नमूना आकार चरण से चरण में बदलता है), जो अनुत्पादक रूप से समय की लागत को बढ़ाता है। आधुनिक दृष्टिकोण मनाया महत्व की गणना करने और इसकी तुलना करने की सिफारिश करता है आत्मविश्वास का स्तर, मात्राओं की खोज पर बचत।

इसलिए, नीचे दिए गए कोड व्युत्क्रम फ़ंक्शन की गणना नहीं करते हैं, इसके बजाय, फ़ंक्शन rev_binomialDF दिया गया है, जो एकल परीक्षण में सफलता की प्रायिकता p की गणना करता है, जिसमें परीक्षणों की संख्या n, उनमें सफलताओं की संख्या m और मान y दिया गया है। इन m सफलताओं को प्राप्त करने की संभावना का। यह द्विपद और बीटा वितरण के बीच उपरोक्त संबंध का उपयोग करता है।

वास्तव में, यह फ़ंक्शन आपको विश्वास अंतराल की सीमाएं प्राप्त करने की अनुमति देता है। वास्तव में, मान लीजिए कि हमें n द्विपद परीक्षणों में m सफलताएँ प्राप्त होती हैं। जैसा कि आप जानते हैं, दो तरफा की बाईं सीमा विश्वास अंतरालपैरामीटर पी के लिए एक आत्मविश्वास स्तर के साथ 0 है यदि एम = 0 है, और के लिए समीकरण का समाधान है . इसी तरह, दायां बाउंड 1 है यदि m = n, और के लिए समीकरण का हल है . इसका तात्पर्य यह है कि बाईं सीमा को खोजने के लिए, हमें समीकरण के लिए हल करना होगा , और सही खोजने के लिए - समीकरण . वे बिनोम_लेफ्टसीआई और बिनोम_राइटसीआई कार्यों में हल किए जाते हैं, जो क्रमशः दो-तरफा आत्मविश्वास अंतराल की ऊपरी और निचली सीमा लौटाते हैं।

मैं यह नोट करना चाहता हूं कि यदि बिल्कुल अविश्वसनीय सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, आप निम्नलिखित सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं [बी.एल. वैन डेर वेर्डन, गणितीय सांख्यिकी। एम: आईएल, 1960, चौ। 2 सेकेंड्स। 7]: , जहां जी क्वांटाइल है सामान्य वितरण. इस सन्निकटन का मूल्य यह है कि बहुत ही सरल सन्निकटन हैं जो आपको सामान्य वितरण की मात्राओं की गणना करने की अनुमति देते हैं (सामान्य वितरण और इस संदर्भ के संबंधित अनुभाग की गणना के बारे में पाठ देखें)। मेरे अभ्यास में (मुख्य रूप से n > 100 के लिए), इस सन्निकटन ने लगभग 3-4 अंक दिए, जो आमतौर पर काफी है।

निम्नलिखित कोड के साथ गणना के लिए बीटाडीएफ.एच, बीटाडीएफ.सीपीपी (बीटा वितरण पर अनुभाग देखें), साथ ही logGamma.h , logGamma.cpp (परिशिष्ट ए देखें) फाइलों की आवश्यकता होती है। आप फ़ंक्शंस का उपयोग करने का एक उदाहरण भी देख सकते हैं।

द्विपद डीएफ.एच फ़ाइल

#ifndef __BINOMIAL_H__ #include "betaDF.h" डबल binomialDF(डबल ट्रायल, डबल सक्सेस, डबल पी); /* *स्वतंत्र टिप्पणियों के "परीक्षण" होने दें * प्रत्येक में सफलता की संभावना "पी" के साथ। * प्रायिकता बी (सफलताएं | परीक्षण, पी) की गणना करें कि * सफलताओं की संख्या 0 और "सफलताएं" (समावेशी) के बीच है। */ डबल रेव_बिनोमियलडीएफ (डबल ट्रायल, डबल सक्सेस, डबल वाई); /* * बर्नौली योजना के परीक्षणों में कम से कम m सफलताओं की प्रायिकता y ज्ञात होने दें। फ़ंक्शन एकल परीक्षण में सफलता की संभावना p * पाता है। * *निम्नलिखित संबंध का उपयोग गणनाओं में किया जाता है * * 1 - p = rev_Beta(परीक्षण-सफलताएं| */ डबल बिनोम_लेफ्टसीआई (डबल ट्रायल, डबल सक्सेस, डबल लेवल); /* स्वतंत्र टिप्पणियों के "परीक्षण" होने दें * प्रत्येक में सफलता की संभावना "पी" के साथ * और सफलताओं की संख्या "सफलताओं" के बराबर होती है। * दो तरफा विश्वास अंतराल की बाईं सीमा * की गणना महत्व स्तर के स्तर से की जाती है। */ डबल बिनोम_राइटसीआई (डबल एन, डबल सक्सेस, डबल लेवल); /* स्वतंत्र टिप्पणियों के "परीक्षण" होने दें * प्रत्येक में सफलता की संभावना "पी" के साथ * और सफलताओं की संख्या "सफलताओं" के बराबर होती है। *दो तरफा विश्वास अंतराल की दाहिनी सीमा* की गणना महत्व स्तर के स्तर से की जाती है। */ #endif /* समाप्त होता है #ifndef __BINOMIAL_H__ */

binomialDF.cpp फ़ाइल

/********************************* **** ***********//* द्विपद वितरण *//**************************** **** *****************************/ #शामिल करें #शामिल #include "betaDF.h" ENTRY double binomialDF(double n, double m, double p) /* * प्रत्येक में सफलता की प्रायिकता "p" के साथ "n" स्वतंत्र अवलोकन * होने दें। * प्रायिकता B(m|n,p) की गणना करें कि सफलताओं की संख्या * 0 और "m" (समावेशी) के बीच है, अर्थात। * 0 से m तक द्विपद प्रायिकताओं का योग: * * m * -- (n) j n-j * > () p (1-p) * -- (j) * j=0 * * गणना का अर्थ गूंगा योग नहीं है - * केंद्रीय बीटा वितरण के साथ निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है: * * B(m|n,p) = Beta(1-p|n-m,m+1)। * *तर्क सकारात्मक होने चाहिए, 0 . के साथ<= p <= 1. */ { assert((n >0) && (पी >= 0) && (पी<= 1)); if (m < 0) return 0; else if (m == 0) return pow(1-p, n); else if (m >= एन) वापसी 1; और बीटाडीएफ (एनएम, एम + 1) लौटाएं। मूल्य (1-पी); )/* binomialDF */ ENTRY double rev_binomialDF(double n, double m, double y) /* * बर्नौली योजना के n परीक्षणों में कम से कम m सफलताओं की प्रायिकता y ज्ञात होने दें। फ़ंक्शन एकल परीक्षण में सफलता की संभावना p * पाता है। * *निम्नलिखित संबंध का उपयोग गणनाओं में किया जाता है * * 1 - p = rev_Beta(y|n-m,m+1)। */ ( जोर दें ((एन > 0) && (एम >= 0) && (एम<= n) && (y >= 0) && (वाई<= 1)); return 1-BetaDF(n-m, m+1).inv(y); }/*rev_binomialDF*/ ENTRY double binom_leftCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется левая граница двухстороннего доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (एम >= 0) && (एम<= n) && (y >= 0.5) && (y< 1)); return BetaDF(m, n-m+1).inv((1-y)/2); }/*binom_leftCI*/ ENTRY double binom_rightCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется правая граница доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (एम >= 0) && (एम<= n) && (y >= 0.5) && (y< 1)); return BetaDF(m+1, n-m).inv((1+y)/2); }/*binom_rightCI*/

असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण। द्विपद वितरण। पॉसों वितरण। ज्यामितीय वितरण। जनरेटिंग फंक्शन।

6. असतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता वितरण

6.1. द्विपद वितरण

इसे उत्पादित होने दें एनस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में एक घटना एप्रकट हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। संभावना पीकिसी घटना का घटित होना एसभी परीक्षणों में स्थिर है और परीक्षण से परीक्षण में नहीं बदलता है। एक यादृच्छिक चर X के रूप में घटना की घटनाओं की संख्या पर विचार करें एइन परीक्षणों में। किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र एचिकना कएक बार एनपरीक्षण, जैसा कि ज्ञात है, वर्णित है बर्नौली सूत्र

बर्नौली सूत्र द्वारा परिभाषित प्रायिकता बंटन कहलाता है द्विपद .

इस नियम को "द्विपद" कहा जाता है क्योंकि न्यूटन द्विपद के विस्तार में दाईं ओर को एक सामान्य शब्द माना जा सकता है

हम द्विपद नियम को तालिका के रूप में लिखते हैं

	पी एन	एनपी एन –1 क्यू				क्यू एन

आइए हम इस वितरण की संख्यात्मक विशेषताओं को खोजें।

परिभाषा से गणितीय अपेक्षा DSW के लिए हमारे पास है

.

आइए हम समानता लिखते हैं, जो न्यूटन बिन है

.

और पी के संबंध में इसे अलग करें। परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है

.

बाईं ओर गुणा करें और दाईं ओरपर पी:

.

मान लें कि पी+ क्यू= 1, हमारे पास है

(6.2)

इसलिए, घटनाओं की घटनाओं की संख्या की गणितीय अपेक्षाएन स्वतंत्र परीक्षणपरीक्षणों की संख्या के उत्पाद के बराबर हैएनसंभावना परपीप्रत्येक परीक्षण में एक घटना की घटना.

हम सूत्र द्वारा फैलाव की गणना करते हैं

.

इसके लिए हम पाते हैं

.

सबसे पहले, हम न्यूटन के द्विपद सूत्र में दो बार अंतर करते हैं पी:

और समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें पी 2:

फलस्वरूप,

अतः द्विपद बंटन का प्रसरण है

. (6.3)

ये परिणाम विशुद्ध रूप से गुणात्मक तर्क से भी प्राप्त किए जा सकते हैं। सभी परीक्षणों में घटना ए की कुल एक्स घटनाओं को व्यक्तिगत परीक्षणों में घटना की घटनाओं की संख्या में जोड़ा जाता है। इसलिए, यदि एक्स 1 पहले परीक्षण में घटना की घटनाओं की संख्या है, दूसरे में एक्स 2, आदि, तो कुल गणनासभी परीक्षणों में घटना A का घटित होना X=X 1 +X 2 +…+X . के बराबर है एन. गणितीय अपेक्षा की संपत्ति के अनुसार:

समानता के दाईं ओर प्रत्येक पद एक परीक्षण में घटनाओं की संख्या की गणितीय अपेक्षा है, जो घटना की संभावना के बराबर है। इस तरह,

फैलाव संपत्ति के अनुसार:

चूँकि , और एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा , जो केवल दो मान ले सकता है, अर्थात् 1 2 प्रायिकता के साथ पीऔर 0 2 प्रायिकता के साथ क्यू, फिर
. इस तरह,
परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है

प्रारंभिक और केंद्रीय क्षणों की अवधारणा का उपयोग करते हुए, कोई व्यक्ति तिरछापन और कर्टोसिस के लिए सूत्र प्राप्त कर सकता है:

. (6.4)

चावल। 6.1

द्विपद बंटन के बहुभुज का निम्न रूप होता है (देखिए आकृति 6.1)। प्रायिकता पी एन (क) पहले बढ़ने के साथ बढ़ता है क, पहुँचती है सबसे बड़ा मूल्यऔर फिर घटने लगती है। मामले को छोड़कर द्विपद वितरण विषम है पी=0.5. ध्यान दें कि जब बड़ी संख्यापरीक्षण एनद्विपद वितरण सामान्य के बहुत करीब है। (इस प्रस्ताव का औचित्य स्थानीय मोइवर-लाप्लास प्रमेय से संबंधित है।)

संख्याएम 0 किसी घटना के घटित होने को कहते हैंसबसे अधिक संभावना , यदि परीक्षणों की इस श्रृंखला में दी गई संख्या में घटना की संभावना सबसे बड़ी है (वितरण बहुभुज में अधिकतम). द्विपद वितरण के लिए

टिप्पणी। द्विपद संभावनाओं के लिए आवर्तक सूत्र का उपयोग करके इस असमानता को सिद्ध किया जा सकता है:

(6.6)

उदाहरण 6.1.इस उद्यम में प्रीमियम उत्पादों की हिस्सेदारी 31% है। 75 मदों के यादृच्छिक रूप से चयनित बैच में माध्य और विचरण, प्रीमियम मदों की सर्वाधिक संभावित संख्या क्या है?

समाधान। क्यों कि पी=0,31, क्यू=0,69, एन=75, तब

एम[ एक्स] = एनपी= 750.31 = 23.25; डी[ एक्स] = एनपीक्यू = 750,310,69 = 16,04.

सबसे संभावित संख्या खोजने के लिए एम 0 , हम एक दोहरी असमानता की रचना करते हैं

इसलिए यह इस प्रकार है कि एम 0 = 23.

अध्याय 7

यादृच्छिक चर के वितरण के विशिष्ट नियम

असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियमों के प्रकार

असतत होने दें यादृच्छिक मूल्यमान ले सकते हैं एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन,… . इन मूल्यों की संभावनाओं की गणना विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है, उदाहरण के लिए, संभाव्यता सिद्धांत के मूल प्रमेय, बर्नौली के सूत्र, या कुछ अन्य सूत्रों का उपयोग करना। इनमें से कुछ सूत्रों के लिए, वितरण कानून का अपना नाम है।

असतत यादृच्छिक चर के वितरण के सबसे सामान्य नियम द्विपद, ज्यामितीय, हाइपरजोमेट्रिक, पॉइसन के वितरण कानून हैं।

द्विपद वितरण कानून

इसे उत्पादित होने दें एनस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में एक घटना हो सकती है या नहीं हो सकती है लेकिन. प्रत्येक एकल परीक्षण में इस घटना की घटना की संभावना स्थिर है, परीक्षण संख्या पर निर्भर नहीं है और बराबर है आर=आर(लेकिन) इसलिए संभावना है कि घटना घटित नहीं होगी लेकिनप्रत्येक परीक्षण में भी स्थिर और बराबर होता है क्यू=1–आर. एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्सघटना की घटनाओं की संख्या के बराबर लेकिनमें एनपरीक्षण। जाहिर है कि इस मात्रा के मान बराबर हैं

एक्स 1 = 0 - घटना लेकिनमें एनपरीक्षण प्रकट नहीं हुए;

एक्स 2 = 1 - घटना लेकिनमें एनपरीक्षण एक बार दिखाई दिए;

एक्स 3 =2 - घटना लेकिनमें एनपरीक्षण दो बार दिखाई दिए;

…………………………………………………………..

एक्स एन +1 = एन- प्रतिस्पर्धा लेकिनमें एनपरीक्षण सब कुछ दिखाई दिया एनएक बार।

इन मूल्यों की संभावनाओं की गणना बर्नौली सूत्र (4.1) का उपयोग करके की जा सकती है:

कहाँ पे प्रति=0, 1, 2, …,एन .

द्विपद वितरण कानून एक्ससफलताओं की संख्या के बराबर एनबर्नौली परीक्षण, सफलता की संभावना के साथ आर.

तो, एक असतत यादृच्छिक चर का द्विपद वितरण होता है (या के अनुसार वितरित किया जाता है द्विपद नियम) यदि इसके संभावित मान 0, 1, 2,…, एन, और संबंधित संभावनाओं की गणना सूत्र (7.1) द्वारा की जाती है।

द्विपद बंटन दो पर निर्भर करता है मापदंडों आरतथा एन.

द्विपद नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला का रूप है:

एक्स			…	क	…	एन
आर			…		…

उदाहरण 7.1 . लक्ष्य पर तीन स्वतंत्र शॉट दागे जाते हैं। प्रत्येक शॉट मारने की संभावना 0.4 है। यादृच्छिक मूल्य एक्स- लक्ष्य पर हिट की संख्या। इसकी वितरण श्रृंखला की रचना कीजिए।

समाधान। यादृच्छिक चर के संभावित मान एक्सहैं एक्स 1 =0; एक्स 2 =1; एक्स 3 =2; एक्स 4=3. बर्नौली सूत्र का उपयोग करके संगत प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए। यह दिखाना आसान है कि यहां इस सूत्र का आवेदन पूरी तरह से उचित है। ध्यान दें कि एक शॉट से लक्ष्य को न मारने की संभावना 1-0.4=0.6 के बराबर होगी। प्राप्त

वितरण श्रृंखला के निम्नलिखित रूप हैं:

एक्स
आर	0,216	0,432	0,288	0,064

यह जांचना आसान है कि सभी संभावनाओं का योग 1 के बराबर है। यादृच्छिक चर ही एक्सद्विपद कानून के अनुसार वितरित। मैं

आइए द्विपद नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता का पता लगाएं।

उदाहरण 6.5 को हल करते समय, यह दिखाया गया था कि किसी घटना के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा लेकिनमें एनस्वतंत्र परीक्षण, यदि घटना की संभावना लेकिनप्रत्येक परीक्षण में स्थिर और बराबर है आर, बराबर एन· आर

इस उदाहरण में, द्विपद नियम के अनुसार वितरित, एक यादृच्छिक चर का उपयोग किया गया था। इसलिए, उदाहरण 6.5 का हल वास्तव में निम्नलिखित प्रमेय का प्रमाण है।

प्रमेय 7.1.द्विपद नियम के अनुसार वितरित असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा परीक्षणों की संख्या और "सफलता" की संभावना के उत्पाद के बराबर है, अर्थात। एम(एक्स)=एन· आर।

प्रमेय 7.2.द्विपद नियम के अनुसार वितरित असतत यादृच्छिक चर का विचरण "सफलता" की संभावना और "विफलता" की संभावना से परीक्षणों की संख्या के उत्पाद के बराबर है, अर्थात। डी(एक्स)=एनपीक्यू

द्विपद नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर का तिरछापन और कुर्टोसिस सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है

इन सूत्रों को प्रारंभिक और केंद्रीय क्षणों की अवधारणा का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

द्विपद वितरण कानून कई वास्तविक स्थितियों को रेखांकित करता है। बड़े मूल्यों के लिए एनद्विपद वितरण का अनुमान अन्य वितरणों द्वारा लगाया जा सकता है, विशेष रूप से पॉइसन वितरण।

पॉसों वितरण

उसको रहनो दो एनपरीक्षणों की संख्या के साथ बर्नौली परीक्षण एनकाफी बडा। पहले, यह दिखाया गया था कि इस मामले में (यदि, इसके अलावा, प्रायिकता आरघटनाक्रम लेकिनबहुत छोटा) किसी घटना के होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए लेकिनउपस्थित होना टीएक बार परीक्षणों में, आप पॉसों सूत्र (4.9) का उपयोग कर सकते हैं। यदि यादृच्छिक चर एक्समतलब घटना की घटनाओं की संख्या लेकिनमें एनबर्नौली परीक्षण, तो संभावना है कि एक्सअर्थ पर ले जाएगा कसूत्र द्वारा गणना की जा सकती है

, (7.2)

कहाँ पे λ = एन.आर..

पॉइज़न वितरण कानूनअसतत यादृच्छिक चर का वितरण कहा जाता है एक्स, जिसके लिए संभावित मान गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, और संभावनाएं पी टीये मान सूत्र (7.2) द्वारा पाए जाते हैं।

मूल्य λ = एन.आर.बुलाया पैरामीटरपॉसों वितरण।

पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर अनंत संख्या में मान ले सकता है। चूँकि इस बंटन की प्रायिकता आरप्रत्येक परीक्षण में एक घटना की घटना छोटी होती है, तो इस वितरण को कभी-कभी दुर्लभ घटना का नियम कहा जाता है।

पॉइसन कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला का रूप है

एक्स					…	टी	…
आर					…		…

यह सत्यापित करना आसान है कि दूसरी पंक्ति की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है। ऐसा करने के लिए, हमें यह याद रखना होगा कि फ़ंक्शन को मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, जो किसी भी के लिए अभिसरण करता है एक्स. इस मामले में हमारे पास है

. (7.3)

जैसा कि उल्लेख किया गया है, कुछ सीमित मामलों में पॉइसन का कानून द्विपद कानून की जगह लेता है। एक उदाहरण एक यादृच्छिक चर है एक्स, जिनमें से मान एक तकनीकी उपकरण के बार-बार उपयोग के साथ एक निश्चित अवधि के लिए विफलताओं की संख्या के बराबर होते हैं। यह माना जाता है कि यह उपकरण उच्च विश्वसनीयता का है, अर्थात। एक आवेदन में विफलता की संभावना बहुत कम है।

ऐसे सीमित मामलों के अलावा, व्यवहार में पॉइसन कानून के अनुसार यादृच्छिक चर वितरित किए जाते हैं, द्विपद वितरण से संबंधित नहीं। उदाहरण के लिए, पॉइसन वितरण का उपयोग अक्सर समय की अवधि में होने वाली घटनाओं की संख्या से निपटने के लिए किया जाता है (घंटे के दौरान टेलीफोन एक्सचेंज में कॉल की संख्या, दिन के दौरान कार धोने में आने वाली कारों की संख्या, प्रति सप्ताह मशीन स्टॉप की संख्या, आदि।) इन सभी घटनाओं को घटनाओं के तथाकथित प्रवाह का निर्माण करना चाहिए, जो सिद्धांत की मूल अवधारणाओं में से एक है कतार. पैरामीटर λ घटनाओं के प्रवाह की औसत तीव्रता की विशेषता है।

इसमें और अगले कुछ नोट्स में, हम यादृच्छिक घटनाओं के गणितीय मॉडल पर विचार करेंगे। गणित का मॉडल- ये है गणितीय अभिव्यक्ति, एक यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व। असतत यादृच्छिक चर के लिए, इस गणितीय अभिव्यक्ति को वितरण फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है।

यदि समस्या आपको एक यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने वाले गणितीय अभिव्यक्ति को स्पष्ट रूप से लिखने की अनुमति देती है, तो आप इसके किसी भी मान की सटीक संभावना की गणना कर सकते हैं। इस मामले में, आप वितरण फ़ंक्शन के सभी मानों की गणना और सूची कर सकते हैं। व्यवसाय, समाजशास्त्रीय और चिकित्सा अनुप्रयोगों में, यादृच्छिक चर के विभिन्न वितरण होते हैं। सबसे उपयोगी वितरणों में से एक द्विपद है।

द्विपद वितरणनिम्नलिखित विशेषताओं की विशेषता वाली स्थितियों को मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

• नमूने में निश्चित संख्या में तत्व होते हैं एनकिसी परीक्षण के परिणाम का प्रतिनिधित्व करना।
• प्रत्येक नमूना तत्व दो परस्पर अनन्य श्रेणियों में से एक से संबंधित है जो संपूर्ण नमूना स्थान को कवर करता है। आमतौर पर, इन दो श्रेणियों को सफलता और विफलता कहा जाता है।
• सफलता की संभावना आरस्थिर है। इसलिए, विफलता की संभावना है 1 - पी.
• किसी भी परीक्षण का परिणाम (अर्थात सफलता या विफलता) दूसरे परीक्षण के परिणाम से स्वतंत्र होता है। परिणामों की स्वतंत्रता सुनिश्चित करने के लिए, नमूना आइटम आमतौर पर दो अलग-अलग तरीकों का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं। नमूने के प्रत्येक तत्व को अनंत से यादृच्छिक रूप से खींचा जाता है आबादीवापसी के बिना या वापसी के साथ एक सीमित आबादी से।

नोट या प्रारूप में डाउनलोड करें, प्रारूप में उदाहरण

द्विपद बंटन का प्रयोग एक नमूने में सफलताओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है जिसमें एनअवलोकन। आइए एक उदाहरण के रूप में आदेश दें। सैक्सन कंपनी के ग्राहक ऑर्डर देने और कंपनी को भेजने के लिए एक इंटरैक्टिव इलेक्ट्रॉनिक फॉर्म का उपयोग कर सकते हैं। फिर सूचना प्रणाली जांच करती है कि क्या आदेशों में कोई त्रुटि है, साथ ही अधूरी या गलत जानकारी है। संदेह में किसी भी आदेश को चिह्नित किया जाता है और दैनिक अपवाद रिपोर्ट में शामिल किया जाता है। कंपनी द्वारा एकत्र किया गया डेटा इंगित करता है कि ऑर्डर में त्रुटियों की संभावना 0.1 है। कंपनी यह जानना चाहेगी कि दिए गए नमूने में एक निश्चित संख्या में गलत ऑर्डर मिलने की प्रायिकता क्या है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि ग्राहकों ने चार पूरे कर लिए हैं इलेक्ट्रॉनिक रूप. इसकी क्या प्रायिकता है कि सभी आर्डर त्रुटिरहित होंगे? इस संभावना की गणना कैसे करें? सफलता से हमारा तात्पर्य फॉर्म भरते समय एक त्रुटि से है, और हम अन्य सभी परिणामों को विफलता मानेंगे। याद रखें कि हम दिए गए नमूने में गलत आदेशों की संख्या में रुचि रखते हैं।

हम क्या परिणाम देख सकते हैं? यदि नमूने में चार आदेश हैं, तो एक, दो, तीन या सभी चार गलत हो सकते हैं, इसके अलावा, वे सभी सही ढंग से भरे जा सकते हैं। क्या गलत तरीके से भरे गए फॉर्मों की संख्या का वर्णन करने वाला यादृच्छिक चर किसी अन्य मूल्य पर ले सकता है? यह संभव नहीं है क्योंकि गलत तरीके से भरे गए फॉर्मों की संख्या नमूना आकार से अधिक नहीं हो सकती है एनया नकारात्मक हो। इस प्रकार, द्विपद वितरण नियम का पालन करने वाला एक यादृच्छिक चर 0 से . तक मान लेता है एन.

मान लीजिए कि चार आदेशों के नमूने में निम्नलिखित परिणाम देखे गए हैं:

चार ऑर्डर के नमूने में और निर्दिष्ट क्रम में तीन गलत ऑर्डर मिलने की प्रायिकता क्या है? चूंकि प्रारंभिक अध्ययनों से पता चला है कि फॉर्म को पूरा करने में त्रुटि की संभावना 0.10 है, उपरोक्त परिणामों की संभावनाओं की गणना निम्नानुसार की जाती है:

चूंकि परिणाम एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं, इसलिए परिणामों के संकेतित अनुक्रम की प्रायिकता बराबर होती है: p*p*(1-p)*p = 0.1*0.1*0.9*0.1 = 0.0009। यदि विकल्पों की संख्या की गणना करना आवश्यक है एक्स एनतत्वों, आपको संयोजन सूत्र (1) का उपयोग करना चाहिए:

जहां एन! \u003d n * (n -1) * (n - 2) * ... * 2 * 1 - संख्या का भाज्य एन, और 0! = 1 और 1! = 1 परिभाषा के अनुसार।

इस अभिव्यक्ति को अक्सर कहा जाता है। इस प्रकार, यदि n = 4 और X = 3, आकार 4 के नमूने से निकाले गए तीन तत्वों से युक्त अनुक्रमों की संख्या निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

इसलिए, तीन गलत ऑर्डर मिलने की संभावना की गणना निम्नानुसार की जाती है:

(संभावित अनुक्रमों की संख्या) *
(किसी विशेष क्रम की प्रायिकता) = 4 * 0.0009 = 0.0036

इसी तरह, हम इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि चार आदेशों में से एक या दो गलत हैं, साथ ही संभावना है कि सभी आदेश गलत हैं या सभी सही हैं। हालाँकि, जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है एनपरिणामों के किसी विशेष अनुक्रम की प्रायिकता निर्धारित करना अधिक कठिन हो जाता है। इस मामले में, उपयुक्त लागू करें गणित का मॉडलविकल्पों की संख्या के द्विपद वितरण का वर्णन करना एक्सयुक्त नमूने से वस्तुएं एनतत्व

द्विपद वितरण

कहाँ पे पी (एक्स)- संभावना एक्सकिसी दिए गए नमूना आकार के लिए सफलता एनऔर सफलता की संभावना आर, एक्स = 0, 1, … एन.

इस तथ्य पर ध्यान दें कि सूत्र (2) सहज निष्कर्षों का औपचारिककरण है। यादृच्छिक मूल्य एक्स, द्विपद बंटन का पालन करते हुए, 0 से . तक की सीमा में कोई भी पूर्णांक मान ले सकता है एन. काम आरएक्स(1 - पी)एन – एक्सएक विशेष अनुक्रम की संभावना है जिसमें एक्सनमूने में सफलता, जिसका आकार बराबर है एन. मान से मिलकर संभव संयोजनों की संख्या निर्धारित करता है एक्समें सफलता एनपरीक्षण। इसलिए, दिए गए परीक्षणों की संख्या के लिए एनऔर सफलता की संभावना आरसे मिलकर बने अनुक्रम की प्रायिकता एक्ससफलता के बराबर है

P(X) = (संभावित अनुक्रमों की संख्या) * (किसी विशेष अनुक्रम की प्रायिकता) =

सूत्र (2) के अनुप्रयोग को दर्शाने वाले उदाहरणों पर विचार करें।

1. मान लेते हैं कि गलत फॉर्म भरने की प्रायिकता 0.1 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि भरे गए चार में से तीन फॉर्म गलत होंगे? सूत्र (2) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं कि चार आदेशों के नमूने में तीन गलत आदेशों को खोजने की संभावना बराबर है

2. मान लें कि फॉर्म को गलत तरीके से भरने की प्रायिकता 0.1 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि भरे गए चार में से कम से कम तीन फॉर्म गलत होंगे? जैसा कि पिछले उदाहरण में दिखाया गया है, चार भरे हुए फॉर्मों में से तीन के गलत होने की प्रायिकता 0.0036 है। इस संभावना की गणना करने के लिए कि चार भरे हुए फॉर्मों में से कम से कम तीन गलत तरीके से भरे जाएंगे, आपको इस संभावना को जोड़ना होगा कि चार भरे हुए फॉर्मों में से तीन गलत होंगे, और संभावना है कि चार पूर्ण फॉर्मों में से सभी गलत होंगे। दूसरी घटना की संभावना है

इस प्रकार, चार पूर्ण रूपों में से कम से कम तीन के गलत होने की प्रायिकता बराबर है

पी (एक्स> 3) = पी (एक्स = 3) + पी (एक्स = 4) = 0.0036 + 0.0001 = 0.0037

3. मान लें कि फॉर्म को गलत तरीके से भरने की संभावना 0.1 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि भरे गए चार में से तीन से कम फॉर्म गलत होंगे? इस घटना की संभावना

पी(एक्स< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

सूत्र (2) का उपयोग करके, हम इनमें से प्रत्येक संभावना की गणना करते हैं:

इसलिए, पी(एक्स< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

प्रायिकता P(X .)< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. तब P(X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है एनउदाहरण 3 में की गई गणनाओं के समान गणना कठिन हो जाती है। इन जटिलताओं से बचने के लिए, कई द्विपद संभावनाओं को समय से पहले सारणीबद्ध किया जाता है। इनमें से कुछ संभावनाओं को अंजीर में दिखाया गया है। 1. उदाहरण के लिए, प्रायिकता प्राप्त करने के लिए कि एक्स= 2 पर एन= 4 और पी= 0.1, आपको तालिका से रेखा के प्रतिच्छेदन की संख्या निकालनी चाहिए एक्स= 2 और कॉलम आर = 0,1.

चावल। 1. द्विपद प्रायिकता पर एन = 4, एक्स= 2 और आर = 0,1

द्विपद वितरण की गणना का उपयोग करके की जा सकती है एक्सेल फ़ंक्शन=BINOM.DIST() (चित्र 2), जिसमें 4 पैरामीटर हैं: सफलताओं की संख्या - एक्स, परीक्षणों की संख्या (या नमूना आकार) - एन, सफलता की संभावना है आर, पैरामीटर अभिन्न, जो मान लेता है TRUE (इस मामले में, संभावना की गणना की जाती है कम से कम एक्सघटनाएँ) या FALSE (इस मामले में, की प्रायिकता बिल्कुल एक्सआयोजन)।

चावल। 2. फ़ंक्शन पैरामीटर = बिनोम.डिस्ट ()

उपरोक्त तीन उदाहरणों के लिए, गणना अंजीर में दिखाई गई है। 3 (एक्सेल फ़ाइल भी देखें)। प्रत्येक कॉलम में एक सूत्र होता है। संख्याएँ संबंधित संख्या के उदाहरणों के उत्तर दिखाती हैं)।

चावल। 3. एक्सेल में द्विपद वितरण की गणना एन= 4 और पी = 0,1

द्विपद वितरण के गुण

द्विपद वितरण मापदंडों पर निर्भर करता है एनतथा आर. द्विपद बंटन सममित या असममित हो सकता है। यदि पी = 0.05, द्विपद वितरण सममित है, पैरामीटर मान की परवाह किए बिना एन. हालांकि, अगर पी 0.05, वितरण विषम हो जाता है। पैरामीटर मान जितना करीब होगा आर 0.05 और बड़ा नमूना आकार एन, कमजोर वितरण की विषमता है। इस प्रकार, गलत तरीके से भरे गए फॉर्मों की संख्या का वितरण दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया गया है, क्योंकि पी= 0.1 (चित्र 4)।

चावल। 4. द्विपद बंटन का आयत चित्र एन= 4 और पी = 0,1

द्विपद बंटन की गणितीय अपेक्षानमूना आकार के उत्पाद के बराबर है एनसफलता की संभावना पर आर:

(3) एम = ई (एक्स) =एनपी

औसतन, चार आदेशों के नमूने में परीक्षणों की पर्याप्त लंबी श्रृंखला के साथ, p \u003d E (X) \u003d 4 x 0.1 \u003d 0.4 गलत तरीके से भरे गए फॉर्म हो सकते हैं।

द्विपद वितरण मानक विचलन

उदाहरण के लिए, लेखांकन में गलत तरीके से भरे गए फॉर्मों की संख्या का मानक विचलन सूचना प्रणालीबराबर:

लेविन एट अल पुस्तक से सामग्री प्रबंधकों के लिए सांख्यिकी का उपयोग किया जाता है। - एम .: विलियम्स, 2004. - पी। 307–313

द्विपद वितरण पर विचार करें, इसकी गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक की गणना करें। MS EXCEL फ़ंक्शन BINOM.DIST () का उपयोग करके, हम वितरण फ़ंक्शन और संभाव्यता घनत्व ग्राफ़ प्लॉट करेंगे। आइए हम वितरण पैरामीटर p का अनुमान लगाएं, वितरण की गणितीय अपेक्षा, और मानक विचलन. बर्नौली वितरण पर भी विचार करें।

परिभाषा. उन्हें आयोजित होने दें एनपरीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में केवल 2 घटनाएं हो सकती हैं: घटना "सफलता" एक संभावना के साथ पी या घटना "विफलता" संभावना के साथ क्यू = 1-पी (तथाकथित बरनौली योजना,Bernoulliपरीक्षणों).

ठीक-ठीक आने की प्रायिकता एक्स इनमें सफलता एन परीक्षण के बराबर है:

नमूने में सफलताओं की संख्या एक्स एक यादृच्छिक चर है जिसमें द्विपद वितरण(अंग्रेज़ी) द्विपदवितरण) पीतथा एन– इस वितरण के पैरामीटर हैं।

याद रखें कि आवेदन करने के लिए बर्नौली योजनाएंऔर तदनुसार द्विपद वितरण,निम्नलिखित शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए:

• प्रत्येक परीक्षण के ठीक दो परिणाम होने चाहिए, जिन्हें सशर्त रूप से "सफलता" और "विफलता" कहा जाता है।
• प्रत्येक परीक्षण का परिणाम पिछले परीक्षणों (परीक्षण स्वतंत्रता) के परिणामों पर निर्भर नहीं होना चाहिए।
• सफलता दर पी सभी परीक्षणों के लिए स्थिर होना चाहिए।

एमएस एक्सेल में द्विपद वितरण

MS EXCEL में, संस्करण 2010 से शुरू, के लिए द्विपद वितरणएक फ़ंक्शन है BINOM.DIST() , अंग्रेजी शीर्षक- BINOM.DIST (), जो आपको इस संभावना की गणना करने की अनुमति देता है कि नमूना बिल्कुल होगा एक्स"सफलताएं" (यानी। संभाव्यता घनत्व कार्य p(x), ऊपर सूत्र देखें), और अभिन्न वितरण समारोह(संभावना है कि नमूना होगा एक्सया कम "सफलताएं", 0 सहित)।

MS EXCEL 2010 से पहले, EXCEL में BINOMDIST () फ़ंक्शन था, जो आपको गणना करने की भी अनुमति देता है वितरण समारोहतथा संभावित गहराईपी (एक्स)। अनुकूलता के लिए BINOMDIST () को MS EXCEL 2010 में छोड़ दिया गया है।

उदाहरण फ़ाइल में ग्राफ़ हैं संभाव्यता वितरण घनत्वतथा .

द्विपद वितरणपदनाम है बी(एन; पी) .

टिप्पणी: भवन निर्माण के लिए अभिन्न वितरण समारोहसही फिट चार्ट प्रकार अनुसूची, के लिये वितरण घनत्व – समूहन के साथ हिस्टोग्राम. चार्ट बनाने के बारे में अधिक जानकारी के लिए आलेख मुख्य प्रकार के चार्ट पढ़ें।

टिप्पणी: उदाहरण फ़ाइल में सूत्र लिखने की सुविधा के लिए, मापदंडों के लिए नाम बनाए गए हैं द्विपद वितरण: एन और पी।

उदाहरण फ़ाइल MS EXCEL फ़ंक्शंस का उपयोग करके विभिन्न संभाव्यता गणनाएँ दिखाती है:

जैसा कि ऊपर की तस्वीर में देखा गया है, यह माना जाता है कि:

• जिस अनंत जनसंख्या से नमूना बनाया गया है उसमें 10% (या 0.1) अच्छे तत्व (पैरामीटर .) हैं पी, तीसरा फ़ंक्शन तर्क =BINOM.DIST() )
• प्रायिकता की गणना करने के लिए कि 10 तत्वों के नमूने में (पैरामीटर .) एन, फ़ंक्शन का दूसरा तर्क) ठीक 5 मान्य तत्व होंगे (पहला तर्क), आपको सूत्र लिखने की आवश्यकता है: =BINOM.DIST(5, 10, 0.1, FALSE)
• अंतिम, चौथा तत्व सेट है = FALSE, यानी। फ़ंक्शन मान लौटाया जाता है वितरण घनत्व.

यदि चौथे तर्क का मान = TRUE है, तो BINOM.DIST() फ़ंक्शन मान लौटाता है अभिन्न वितरण समारोहया केवल वितरण समारोह. इस मामले में, आप इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि नमूने में अच्छी वस्तुओं की संख्या एक निश्चित सीमा से होगी, उदाहरण के लिए, 2 या उससे कम (0 सहित)।

ऐसा करने के लिए, आपको सूत्र लिखना होगा:
= BINOM.DIST(2, 10, 0.1, TRUE)

टिप्पणी: x के गैर-पूर्णांक मान के लिए, . उदाहरण के लिए, निम्न सूत्र समान मान लौटाएंगे:
= बिनोम। जिला ( 2 ; दस; 0.1; सच)
= बिनोम। जिला ( 2,9 ; दस; 0.1; सच)

टिप्पणी: उदाहरण फ़ाइल में संभावित गहराईतथा वितरण समारोहपरिभाषा और COMBIN () फ़ंक्शन का उपयोग करके भी गणना की जाती है।

वितरण संकेतक

पर शीट पर उदाहरण फ़ाइल उदाहरणकुछ वितरण संकेतकों की गणना के लिए सूत्र हैं:

• = एन * पी;
• (वर्ग मानक विचलन) = n*p*(1-p);
• = (एन+1)*पी;
• =(1-2*p)*रूट(n*p*(1-p)).

हम सूत्र प्राप्त करते हैं गणितीय अपेक्षा द्विपद वितरणका उपयोग करते हुए बर्नौली योजना.

परिभाषा के अनुसार, एक यादृच्छिक चर X in बर्नौली योजना(बर्नौली यादृच्छिक चर) है वितरण समारोह:

इस वितरण को कहा जाता है बर्नौली वितरण.

टिप्पणी: बर्नौली वितरण- विशेष मामला द्विपद वितरणपैरामीटर एन = 1 के साथ।

आइए सफलता की विभिन्न संभावनाओं के साथ 100 संख्याओं के 3 सरणियाँ उत्पन्न करें: 0.1; 0.5 और 0.9। ऐसा करने के लिए, विंडो में पीढ़ी यादृच्छिक संख्या प्रत्येक प्रायिकता p के लिए निम्नलिखित पैरामीटर सेट करें:

टिप्पणी: यदि आप विकल्प सेट करते हैं यादृच्छिक बिखराव (यादृच्छिक बीज), तो आप जेनरेट की गई संख्याओं का एक निश्चित यादृच्छिक सेट चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह विकल्प = 25 सेट करके, आप विभिन्न कंप्यूटरों पर यादृच्छिक संख्याओं के समान सेट उत्पन्न कर सकते हैं (यदि, निश्चित रूप से, अन्य वितरण पैरामीटर समान हैं)। विकल्प मान 1 से 32,767 तक पूर्णांक मान ले सकता है। विकल्प का नाम यादृच्छिक बिखरावभ्रमित कर सकते हैं। इसका अनुवाद करना बेहतर होगा यादृच्छिक संख्याओं के साथ संख्या सेट करें.

नतीजतन, हमारे पास 100 नंबरों के 3 कॉलम होंगे, जिनके आधार पर, उदाहरण के लिए, हम सफलता की संभावना का अनुमान लगा सकते हैं पीसूत्र के अनुसार: सफलताओं की संख्या/100(सेमी। उदाहरण फ़ाइल शीट बर्नौली उत्पन्न करना).

टिप्पणी: के लिये बर्नौली वितरण p=0.5 के साथ, आप सूत्र =RANDBETWEEN(0;1) का उपयोग कर सकते हैं, जो .

यादृच्छिक संख्या पीढ़ी। द्विपद वितरण

मान लीजिए नमूने में 7 दोषपूर्ण वस्तुएँ हैं। इसका मतलब है कि यह "बहुत संभावना है" कि दोषपूर्ण उत्पादों का अनुपात बदल गया है। पी, जो हमारी उत्पादन प्रक्रिया की एक विशेषता है। हालांकि यह स्थिति "बहुत संभावना" है, एक संभावना है (अल्फा जोखिम, टाइप 1 त्रुटि, "गलत अलार्म") कि पीअपरिवर्तित रहा, और दोषपूर्ण उत्पादों की बढ़ती संख्या यादृच्छिक नमूने के कारण थी।

जैसा कि आप नीचे दिए गए आंकड़े में देख सकते हैं, 7 दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या है जो समान मूल्य के साथ पी = 0.21 के साथ एक प्रक्रिया के लिए स्वीकार्य है अल्फा. यह दर्शाता है कि जब किसी नमूने में दोषपूर्ण वस्तुओं की सीमा पार हो जाती है, पी"शायद" बढ़ गया। वाक्यांश "संभावना" का अर्थ है कि केवल 10% संभावना (100% -90%) है कि दहलीज से ऊपर दोषपूर्ण उत्पादों के प्रतिशत का विचलन केवल यादृच्छिक कारणों से होता है।

इस प्रकार, नमूने में दोषपूर्ण उत्पादों की दहलीज से अधिक संख्या एक संकेत के रूप में काम कर सकती है कि प्रक्रिया खराब हो गई है और बी का उत्पादन शुरू हो गया है के बारे मेंदोषपूर्ण उत्पादों का उच्च प्रतिशत।

टिप्पणी: MS EXCEL 2010 से पहले, EXCEL का एक फंक्शन CRITBINOM() था, जो BINOM.INV() के बराबर है। CRITBINOM () को संगतता के लिए MS EXCEL 2010 और उच्चतर में छोड़ दिया गया है।

द्विपद वितरण का अन्य वितरणों से संबंध

यदि पैरामीटर एन द्विपद वितरणअनंत की ओर जाता है और पी 0 पर जाता है, तो इस मामले में द्विपद वितरणअनुमानित किया जा सकता है।
सन्निकटन होने पर स्थितियां बनाना संभव है पॉसों वितरणअच्छा काम करता है:

• पी<0,1 (कम पीऔर अधिक एन, अधिक सटीक सन्निकटन);
• पी>0,9 (उस पर विचार करना क्यू=1- पी, इस मामले में गणना का उपयोग करके किया जाना चाहिए क्यू(एक एक्सके साथ प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है एन- एक्स) इसलिए, कम क्यूऔर अधिक एन, अधिक सटीक सन्निकटन)।

0.1 . पर<=p<=0,9 и n*p>10 द्विपद वितरणअनुमानित किया जा सकता है।

इसकी बारी में, द्विपद वितरणजनसंख्या का आकार N होने पर एक अच्छे सन्निकटन के रूप में कार्य कर सकता है हाइपरज्यामितीय वितरणनमूना आकार n से बहुत बड़ा (यानी, N>>n या n/N<<1).

आप लेख में उपरोक्त वितरणों के संबंध के बारे में अधिक पढ़ सकते हैं। सन्निकटन के उदाहरण भी वहाँ दिए गए हैं, और शर्तों को समझाया गया है कि यह कब संभव है और किस सटीकता के साथ।

सलाह: आप लेख में एमएस एक्सेल के अन्य वितरणों के बारे में पढ़ सकते हैं।