حل سیستم معادلات با روش جمع. ماشین حساب آنلاین

سیستم های معادلات به طور گسترده ای در صنعت اقتصادی در مدل سازی ریاضی فرآیندهای مختلف استفاده می شود. به عنوان مثال، هنگام حل مشکلات مدیریت تولید و برنامه ریزی، مسیرهای لجستیک (مشکل حمل و نقل) یا قرار دادن تجهیزات.

سیستم های معادله نه تنها در زمینه ریاضیات، بلکه در فیزیک، شیمی و زیست شناسی، هنگام حل مسائل مربوط به یافتن اندازه جمعیت مورد استفاده قرار می گیرند.

سیستم معادلات خطیدو یا چند معادله با چندین متغیر که پیدا کردن آنها ضروری است نام ببرید تصمیم مشترک. چنین دنباله ای از اعداد که برای آن همه معادلات به برابری های واقعی تبدیل می شوند یا ثابت می کنند که دنباله وجود ندارد.

معادله خطی

معادلات شکل ax+by=c را خطی می نامند. عناوین x، y مجهولاتی هستند که مقدار آنها را باید پیدا کرد، b، a ضرایب متغیرها، c عبارت آزاد معادله است.
حل معادله با رسم نمودار آن مانند یک خط مستقیم به نظر می رسد که همه نقاط آن حل چند جمله ای هستند.

انواع سیستم های معادلات خطی

ساده ترین نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی با دو متغیر X و Y هستند.

F1(x,y) = 0 و F2(x,y) = 0 که در آن F1,2 توابع و (x,y) متغیرهای تابع هستند.

حل یک سیستم معادلات - یعنی یافتن مقادیری (x,y) که در آن سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می شود یا اینکه مقادیر مناسب x و y وجود ندارند.

یک جفت مقدار (x, y) که به صورت مختصات نقطه نوشته می شود، راه حل یک سیستم معادلات خطی نامیده می شود.

اگر سیستم ها یک راه حل مشترک داشته باشند یا راه حلی وجود نداشته باشد، معادل نامیده می شوند.

سیستم های همگن معادلات خطی سیستم هایی هستند قسمت راستکه برابر با صفر است. اگر قسمت سمت راست بعد از علامت "برابر" مقداری داشته باشد یا با یک تابع بیان شود، چنین سیستمی همگن نیست.

تعداد متغیرها می تواند بسیار بیشتر از دو باشد، پس باید در مورد مثالی از یک سیستم معادلات خطی با سه متغیر یا بیشتر صحبت کنیم.

در مواجهه با سیستم‌ها، دانش‌آموزان تصور می‌کنند که تعداد معادلات لزوماً باید با تعداد مجهول‌ها منطبق باشد، اما اینطور نیست. تعداد معادلات در سیستم به متغیرها بستگی ندارد، ممکن است تعداد زیادی از آنها وجود داشته باشد.

روش های ساده و پیچیده برای حل سیستم معادلات

هیچ روش تحلیلی کلی برای حل چنین سیستم هایی وجود ندارد، همه روش ها بر اساس آن هستند راه حل های عددی. درس ریاضیات مدرسه به تفصیل روش هایی مانند جایگشت، جمع جبری، جایگزینی و همچنین گرافیکی و روش ماتریسی، حل به روش گاوس.

وظیفه اصلی در آموزش روش های حل، آموزش نحوه تجزیه و تحلیل صحیح سیستم و یافتن است الگوریتم بهینهراه حل برای هر مثال نکته اصلی حفظ سیستمی از قوانین و اقدامات برای هر روش نیست، بلکه درک اصول به کارگیری یک روش خاص است.

حل نمونه سیستم های معادلات خطی کلاس هفتم برنامه مدرسه راهنماییبسیار ساده و با جزئیات زیاد توضیح داده شده است. در هر کتاب درسی ریاضی به این بخش توجه کافی شده است. حل نمونه‌هایی از سیستم‌های معادلات خطی به روش گاوس و کرامر در اولین دوره‌های موسسات آموزش عالی با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار می‌گیرد.

حل سیستم ها به روش جایگزینی

اقدامات روش جایگزینی با هدف بیان مقدار یک متغیر از طریق متغیر دوم است. این عبارت در معادله باقیمانده جایگزین می شود، سپس به یک فرم متغیر منفرد کاهش می یابد. این عمل بسته به تعداد مجهولات در سیستم تکرار می شود

بیایید یک سیستم معادلات خطی کلاس هفتم را با روش جایگزینی مثال بزنیم:

همانطور که از مثال مشخص است، متغیر x از طریق F(X) = 7 + Y بیان شد. . راه حل این مثال مشکلی ایجاد نمی کند و به شما امکان می دهد مقدار Y را بدست آورید. آخرین مرحلهاین یک تست از مقادیر دریافتی است.

همیشه نمی توان نمونه ای از یک سیستم معادلات خطی را با جایگزینی حل کرد. معادلات می توانند پیچیده باشند و بیان متغیر بر حسب مجهول دوم برای محاسبات بیشتر دست و پا گیر خواهد بود. هنگامی که بیش از 3 مجهول در سیستم وجود دارد، راه حل جایگزینی نیز غیرعملی است.

حل یک مثال از سیستم معادلات ناهمگن خطی:

حل با استفاده از جمع جبری

هنگام جستجوی راه حل برای سیستم ها با روش جمع، جمع ترم به ترم و ضرب معادلات در اعداد مختلف انجام می شود. هدف نهایی عملیات ریاضی معادله ای با یک متغیر است.

برای برنامه های کاربردی این روشاین نیاز به تمرین و مشاهده دارد. حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جمع با تعداد متغیرهای 3 یا بیشتر آسان نیست. جمع جبری زمانی مفید است که معادلات دارای کسر و اعداد اعشاری باشند.

الگوریتم عمل حل:

دو طرف معادله را در یک عدد ضرب کنید. در نتیجه عملیات حسابی باید یکی از ضرایب متغیر برابر با 1 شود.
عبارت حاصل را ترم به ترم اضافه کنید و یکی از مجهولات را پیدا کنید.
مقدار حاصل را در معادله دوم سیستم جایگزین کنید تا متغیر باقیمانده را پیدا کنید.

روش حل با معرفی یک متغیر جدید

اگر سیستم نیاز به یافتن راه حلی برای بیش از دو معادله نداشته باشد، می توان یک متغیر جدید معرفی کرد، تعداد مجهولات نیز نباید بیش از دو باشد.

این روش برای ساده سازی یکی از معادلات با معرفی یک متغیر جدید استفاده می شود. معادله جدید با توجه به مجهول وارد شده حل می شود و مقدار حاصل برای تعیین متغیر اصلی استفاده می شود.

از مثال می توان دریافت که با معرفی متغیر جدید t، می توان معادله 1 سیستم را به یک مثلث مربع استاندارد کاهش داد. شما می توانید یک چند جمله ای را با پیدا کردن ممیز حل کنید.

لازم است مقدار ممیز را با استفاده از فرمول معروف بدست آوریم: D = b2 - 4*a*c، که در آن D ممیز مورد نظر است، b، a، c ضرب کننده های چند جمله ای هستند. در مثال داده شده، a=1، b=16، c=39، بنابراین D=100. اگر ممیز بزرگتر از صفر باشد، دو راه حل وجود دارد: t = -b±√D / 2*a، اگر ممیز کمتر از صفر باشد، تنها یک راه حل وجود دارد: x= -b / 2*a.

راه حل برای سیستم های حاصل با روش جمع یافت می شود.

یک روش بصری برای حل سیستم ها

مناسب برای سیستم های دارای 3 معادله. این روش شامل ترسیم نمودارهای هر معادله موجود در سیستم بر روی محور مختصات است. مختصات نقاط تقاطع منحنی ها راه حل کلی سیستم خواهد بود.

روش گرافیکی دارای تعدادی تفاوت ظریف است. چندین مثال از حل سیستم معادلات خطی را به صورت تصویری در نظر بگیرید.

همانطور که از مثال مشخص است، دو نقطه برای هر خط ساخته شده است، مقادیر متغیر x به صورت دلخواه انتخاب شده اند: 0 و 3. بر اساس مقادیر x، مقادیر y پیدا شده است: 3 و 0. نقاط با مختصات (0، 3) و (3، 0) روی نمودار مشخص شده و با یک خط به هم متصل شدند.

مراحل باید برای معادله دوم تکرار شوند. نقطه تلاقی خطوط راه حل سیستم است.

مثال زیر باید پیدا شود راه حل گرافیکیسیستم های معادلات خطی: 0.5x-y+2=0 و 0.5x-y-1=0.

همانطور که از مثال مشخص است، سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا نمودارها موازی هستند و در تمام طول خود قطع نمی کنند.

سیستم‌های مثال‌های 2 و 3 مشابه هستند، اما وقتی ساخته می‌شوند، مشخص می‌شود که راه‌حل‌های آنها متفاوت است. باید به خاطر داشت که همیشه نمی توان گفت که آیا سیستم راه حلی دارد یا خیر، همیشه باید یک نمودار ساخت.

ماتریس و انواع آن

از ماتریس ها برای نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی استفاده می شود. یک جدول ماتریس نامیده می شود. نوع خاصپر از اعداد n*m دارای n - سطر و m - ستون است.

یک ماتریس زمانی مربع است که تعداد ستون ها و سطرها برابر باشد. ماتریس-بردار یک ماتریس تک ستونی با تعداد بی نهایت ممکن سطر است. ماتریسی با واحدهایی در امتداد یکی از مورب ها و سایر عناصر صفر را هویت می نامند.

ماتریس معکوس چنین ماتریسی است که وقتی در آن ضرب شود ماتریس اصلی به واحد یک تبدیل می شود، چنین ماتریسی فقط برای مربع اصلی وجود دارد.

قوانین تبدیل یک سیستم معادلات به یک ماتریس

با توجه به سیستم معادلات، ضرایب و اعضای آزاد معادلات به صورت اعداد ماتریس نوشته می شوند، یک معادله یک ردیف از ماتریس است.

یک ردیف ماتریسی غیر صفر نامیده می شود اگر حداقل یک عنصر از سطر برابر با صفر نباشد. بنابراین، اگر در هر یک از معادلات تعداد متغیرها متفاوت باشد، باید به جای مجهول گمشده، صفر وارد شود.

ستون های ماتریس باید کاملاً با متغیرها مطابقت داشته باشند. این بدان معنی است که ضرایب متغیر x را فقط می توان در یک ستون نوشت، برای مثال اولی، ضریب مجهول y - فقط در ستون دوم.

هنگام ضرب یک ماتریس، تمام عناصر ماتریس به صورت متوالی در یک عدد ضرب می شوند.

گزینه هایی برای یافتن ماتریس معکوس

فرمول برای یافتن ماتریس معکوس بسیار ساده است: K -1 = 1 / |K|، که در آن K -1 - ماتریس معکوسو |K| - تعیین کننده ماتریس |K| نباید برابر با صفر باشد، پس سیستم یک راه حل دارد.

تعیین کننده به راحتی برای یک ماتریس دو در دو محاسبه می شود، فقط لازم است عناصر به صورت مورب در یکدیگر ضرب شوند. برای گزینه "سه در سه" فرمولی وجود دارد |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . می توانید از فرمول استفاده کنید یا می توانید به یاد داشته باشید که باید از هر سطر و هر ستون یک عنصر بگیرید تا شماره ستون و ردیف عناصر در محصول تکرار نشود.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی به روش ماتریسی

روش ماتریسی برای یافتن راه حل، کاهش نمادهای دست و پا گیر را در هنگام حل سیستم با مقدار زیادمتغیرها و معادلات

در مثال، a nm ضرایب معادلات، ماتریس یک بردار است x n متغیرها، و b n عبارت‌های آزاد هستند.

حل سیستم ها به روش گاوس

در ریاضیات عالی، روش گاوس همراه با روش کرامر مطالعه می شود و فرآیند یافتن راه حل برای سیستم ها، روش حل گاوس-کرامر نامیده می شود. از این روش ها برای یافتن متغیرهای سیستم هایی با تعداد معادلات خطی زیاد استفاده می شود.

روش گاوسی بسیار شبیه به راه حل های جایگزینی و جمع جبری است، اما سیستماتیک تر است. در دوره مدرسه از حل گاوسی برای سیستم های معادله 3 و 4 استفاده می شود. هدف از این روش، آوردن سیستم به شکل ذوزنقه معکوس است. با تبدیل ها و جانشینی های جبری، مقدار یک متغیر در یکی از معادلات سیستم پیدا می شود. معادله دوم عبارتی است با 2 مجهول و 3 و 4 - با 3 و 4 متغیر.

پس از آوردن سیستم به شکل توصیف شده، راه حل بعدی به جایگزینی متوالی متغیرهای شناخته شده در معادلات سیستم کاهش می یابد.

AT کتاب های درسی مدرسهبرای درجه 7، نمونه ای از راه حل با روش گاوس به شرح زیر است:

همانطور که از مثال مشخص است، در مرحله (3) دو معادله 3x 3 -2x 4 =11 و 3x 3 +2x 4 =7 به دست آمد. حل هر یک از معادلات به شما امکان می دهد یکی از متغیرهای x n را پیدا کنید.

قضیه 5 که در متن به آن اشاره شده است می گوید که اگر یکی از معادلات سیستم با معادلی جایگزین شود، سیستم حاصل نیز معادل معادل اولیه خواهد بود.

درک روش گاوس برای دانش آموزان دشوار است دبیرستان، اما یکی از بیشتر است راه های جالببرای توسعه نبوغ کودکانی که در برنامه تحصیلی پیشرفته در کلاس های ریاضی و فیزیک ثبت نام کرده اند.

برای سهولت در ثبت محاسبات، مرسوم است که موارد زیر را انجام دهید:

ضرایب معادله و عبارات آزاد به شکل ماتریس نوشته می شوند که هر ردیف از ماتریس با یکی از معادلات سیستم مطابقت دارد. سمت چپ معادله را از سمت راست جدا می کند. اعداد رومی بیانگر تعداد معادلات در سیستم هستند.

ابتدا ماتریسی را می نویسند که با آن کار می کنند، سپس تمام اقدامات انجام شده با یکی از ردیف ها. ماتریس حاصل پس از علامت "فلش" نوشته می شود و به انجام موارد ضروری ادامه می دهد اعمال جبریتا زمانی که نتیجه حاصل شود.

در نتیجه، ماتریسی باید به دست آید که در آن یکی از مورب ها 1 است و سایر ضرایب برابر با صفر هستند، یعنی ماتریس به یک شکل واحد کاهش می یابد. نباید فراموش کنیم که با اعداد دو طرف معادله محاسبات انجام دهیم.

این علامت گذاری کمتر دست و پا گیر است و به شما امکان می دهد با فهرست کردن مجهولات متعدد حواس شما پرت نشود.

استفاده رایگان از هر روش راه حلی نیاز به دقت و مقدار مشخصی تجربه دارد. همه روش ها اعمال نمی شوند. برخی از راه‌های یافتن راه‌حل در حوزه خاصی از فعالیت‌های انسانی ارجح‌تر هستند، در حالی که برخی دیگر به منظور یادگیری وجود دارند.

اغلب اوقات، انتخاب روشی برای حل سیستم معادلات برای دانش آموزان دشوار است.

در این مقاله یکی از راه های حل سیستم ها - روش جایگزینی را بررسی خواهیم کرد.

اگر جواب مشترک دو معادله پیدا شود، گفته می شود که این معادلات یک سیستم را تشکیل می دهند. در یک سیستم معادلات، هر مجهول بیانگر یک عدد در تمام معادلات است. برای نشان دادن اینکه این معادلات یک سیستم را تشکیل می‌دهند، معمولاً یکی زیر دیگری نوشته می‌شوند و مثلاً با یک براکت مجعد ترکیب می‌شوند.

توجه می کنیم که برای x = 15 و y = 5، هر دو معادله سیستم صحیح هستند. این جفت اعداد راه حل سیستم معادلات است. هر جفت مقدار مجهول که به طور همزمان هر دو معادله سیستم را برآورده کند، راه حل سیستم نامیده می شود.

یک سیستم می تواند یک راه حل (مانند مثال ما)، بی نهایت راه حل و هیچ راه حلی داشته باشد.

چگونه سیستم ها را با استفاده از روش جایگزینی حل کنیم؟ اگر ضرایب برخی مجهولات در هر دو معادله از نظر قدر مطلق برابر باشند (اگر مساوی نباشند، آنگاه مساوی می کنیم)، با جمع کردن هر دو معادله (یا کم کردن یکی از دیگری)، می توانید معادله ای با یک مجهول به دست آورید. سپس این معادله را حل می کنیم. ما یک ناشناخته را تعریف می کنیم. مقدار مجهول به دست آمده را با یکی از معادلات سیستم (در اول یا در دوم) جایگزین می کنیم. ناشناخته دیگری پیدا می کنیم. بیایید نمونه هایی از کاربرد این روش را بررسی کنیم.

مثال 1حل سیستم معادلات

در اینجا ضرایب در y از نظر قدر مطلق برابر هستند، اما در علامت مخالف هستند. بیایید ترم به ترم سعی کنیم معادلات سیستم را اضافه کنیم.

مقدار حاصل x \u003d 4 را در برخی از معادلات سیستم (به عنوان مثال، در اولین) جایگزین می کنیم و مقدار y را پیدا می کنیم:

2 * 4 + y \u003d 11، y \u003d 11 - 8، y \u003d 3.

سیستم ما یک راه حل x = 4، y = 3 دارد. یا پاسخ را می توان در پرانتز، به عنوان مختصات یک نقطه، در وهله اول x، در y دوم نوشت.

پاسخ: (4؛ 3)

مثال 2. حل یک سیستم معادلات

ضرایب متغیر x را با هم برابر می کنیم، برای این معادله اول را در 3 ضرب می کنیم و معادله دوم را در (2-) ضرب می کنیم، به دست می آید.

هنگام اضافه کردن معادلات مراقب باشید

سپس y \u003d - 2. عدد (-2) را به جای y در معادله اول جایگزین می کنیم.

4x + 3 (-2) \u003d - 4. ما این معادله را 4x \u003d - 4 + 6، 4x \u003d 2، x \u003d ½ حل می کنیم.

پاسخ: (1/2؛ - 2)

مثال 3حل سیستم معادلات

معادله اول را در (2-) ضرب کنید

حل سیستم

0 = - 13 می گیریم.

هیچ سیستم حلی وجود ندارد، زیرا 0 برابر با (13-) نیست.

پاسخ: هیچ راه حلی وجود ندارد.

مثال 4حل سیستم معادلات

توجه داشته باشید که تمام ضرایب معادله دوم بر 3 بخش پذیرند.

بیایید معادله دوم را بر سه تقسیم کنیم و سیستمی بدست آوریم که از دو معادله یکسان تشکیل شده است.

این سیستم بی نهایت راه حل دارد، زیرا معادلات اول و دوم یکسان هستند (ما فقط یک معادله با دو متغیر دریافت کردیم). چگونه راه حل این سیستم را ارائه کنیم؟ بیایید متغیر y را از معادله x + y = 5 بیان کنیم. y = 5 - x را بدست می آوریم.

سپس پاسخبه این صورت نوشته خواهد شد: (x؛ 5-x)، x هر عددی است.

حل سیستم معادلات را با روش جمع در نظر گرفتیم. اگر سوالی دارید یا چیزی واضح نیست، در یک درس ثبت نام کنید و ما تمام مشکلات را با شما برطرف خواهیم کرد.

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

با این ویدیو، من یک سری درس در مورد سیستم های معادلات را شروع می کنم. امروز در مورد حل سیستم معادلات خطی صحبت خواهیم کرد روش اضافه کردن- یکی از بیشترین است راه های سادهبلکه یکی از موثرترین هاست.

روش جمع شامل سه مرحله ساده است:

به سیستم نگاه کنید و متغیری را انتخاب کنید که دارای ضرایب یکسان (یا مخالف) در هر معادله باشد.
تفریق جبری (برای اعداد مخالف - جمع) معادلات را از یکدیگر انجام دهید و سپس عبارت های مشابه را بیاورید.
معادله جدیدی که بعد از مرحله دوم به دست می آید را حل کنید.

اگر همه چیز به درستی انجام شود، در خروجی یک معادله واحد خواهیم داشت با یک متغیر- حل کردنش سخت نخواهد بود. سپس فقط باید ریشه یافت شده را جایگزین سیستم اصلی کنید و پاسخ نهایی را دریافت کنید.

با این حال، در عمل آنقدر ساده نیست. چندین دلیل برای این وجود دارد:

حل معادلات با جمع به این معنی است که همه سطرها باید دارای متغیرهایی با ضرایب یکسان/متضاد باشند. اگر این الزام برآورده نشد چه؟
نه همیشه، پس از جمع / تفریق معادلات به این ترتیب، ساختار زیبایی به دست می آوریم که به راحتی قابل حل است. آیا می توان محاسبات را به نحوی ساده کرد و محاسبات را تسریع کرد؟

برای دریافت پاسخ به این سؤالات، و در عین حال برای مقابله با چند نکته ظریف اضافی که بسیاری از دانش‌آموزان به آنها دست می‌زنند، آموزش ویدیویی من را تماشا کنید:

با این درس، ما مجموعه ای از سخنرانی ها را در مورد سیستم های معادلات آغاز می کنیم. و ما با ساده ترین آنها شروع می کنیم، یعنی آنهایی که شامل دو معادله و دو متغیر هستند. هر یک از آنها خطی خواهد بود.

سیستم‌ها یک ماده پایه هفتم است، اما این درس برای دانش‌آموزان دبیرستانی که می‌خواهند دانش خود را در مورد این موضوع تقویت کنند نیز مفید خواهد بود.

به طور کلی دو روش برای حل چنین سیستم هایی وجود دارد:

روش جمع؛
روشی برای بیان یک متغیر بر حسب متغیر دیگر.

امروز به روش اول خواهیم پرداخت - از روش تفریق و جمع استفاده خواهیم کرد. اما برای این باید واقعیت زیر را درک کنید: هنگامی که دو یا چند معادله دارید، می توانید هر دو از آنها را بگیرید و آنها را با هم جمع کنید. آنها ترم به ترم اضافه می شوند، یعنی. «X» به «X» افزوده می شود و مشابه آن داده می شود، «بازی» به «بازی» - مشابه ها دوباره داده می شوند و آنچه در سمت راست علامت مساوی است نیز به یکدیگر اضافه می شود و مشابه ها نیز در آنجا داده شده است.

نتایج این گونه ماشینکاری ها معادله جدیدی خواهد بود که اگر ریشه داشته باشد قطعا جزو ریشه های معادله اصلی خواهد بود. بنابراین وظیفه ما این است که تفریق یا جمع را به گونه ای انجام دهیم که $x$ یا $y$ ناپدید شوند.

چگونه می توان به این امر رسید و از چه ابزاری برای این کار استفاده کرد - اکنون در مورد این صحبت خواهیم کرد.

حل مسائل آسان با استفاده از روش جمع

بنابراین، ما در حال یادگیری استفاده از روش جمع با استفاده از مثال دو عبارت ساده هستیم.

وظیفه شماره 1

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\پایان(تراز) \راست.\]

توجه داشته باشید که $y$ دارای ضریب $-4$ در معادله اول و $+4$ در معادله دوم است. آنها متقابل یکدیگر هستند، بنابراین منطقی است که فرض کنیم اگر آنها را جمع کنیم، در مقدار حاصل، "بازی ها" متقابلاً نابود می شوند. اضافه می کنیم و می گیریم:

ما ساده ترین ساخت و ساز را حل می کنیم:

عالی، ما X را پیدا کردیم. حالا با او چه کنیم؟ می توانیم آن را با هر یک از معادلات جایگزین کنیم. بیایید آن را در مورد اول قرار دهیم:

\[-4y=12\ چپ| :\left(-4 \right) \right.\]

پاسخ: $\left(2;-3\right)$.

وظیفه شماره 2

\[\چپ\( \شروع(تراز)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\پایان (تراز) \راست.\]

در اینجا، وضعیت کاملاً مشابه است، فقط در مورد Xs. بیایید آنها را کنار هم بگذاریم:

ساده ترین معادله خطی را به دست آوردیم، بیایید آن را حل کنیم:

حالا بیایید $x$ را پیدا کنیم:

پاسخ: $\left(-3;3\right)$.

نکات مهم

بنابراین، ما فقط دو سیستم ساده معادلات خطی را با استفاده از روش جمع حل کردیم. یک بار دیگر نکات کلیدی:

اگر برای یکی از متغیرها ضرایب مخالف وجود داشته باشد، باید تمام متغیرهای معادله را جمع کرد. در این صورت یکی از آنها از بین می رود.
متغیر پیدا شده را با هر یک از معادلات سیستم جایگزین می کنیم تا معادله دوم را پیدا کنیم.
رکورد نهایی پاسخ را می توان به روش های مختلفی ارائه کرد. به عنوان مثال، مانند این - $x=...,y=...$، یا به صورت مختصات نقاط - $\left(...;... \right)$. گزینه دوم ارجح است. نکته اصلی که باید به خاطر داشته باشید این است که مختصات اول $x$ و دومی $y$ است.
قانون نوشتن پاسخ به صورت مختصات نقطه همیشه قابل اجرا نیست. به عنوان مثال، زمانی که نقش متغیرها $x$ و $y$ نیستند، بلکه به عنوان مثال، $a$ و $b$ باشند، نمی توان از آن استفاده کرد.

در مسائل زیر تکنیک تفریق را زمانی در نظر می گیریم که ضرایب مخالف هم نباشند.

حل مسائل آسان با استفاده از روش تفریق

وظیفه شماره 1

\[\چپ\( \شروع (تراز)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

توجه داشته باشید که در اینجا ضرایب مخالف وجود ندارد، اما ضرایب یکسانی وجود دارد. بنابراین، معادله دوم را از معادله اول کم می کنیم:

اکنون مقدار $x$ را در هر یک از معادلات سیستم جایگزین می کنیم. اول بریم:

پاسخ: $\چپ(2;5\راست)$.

وظیفه شماره 2

\[\چپ\( \شروع (تراز)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

ما دوباره همان ضریب $5$ برای $x$ را در معادلات اول و دوم مشاهده می کنیم. بنابراین، منطقی است که فرض کنیم باید دومی را از معادله اول کم کنید:

ما یک متغیر را محاسبه کرده ایم. حالا بیایید مورد دوم را پیدا کنیم، برای مثال، با جایگزین کردن مقدار $y$ در ساختار دوم:

پاسخ: $\left(-3;-2 \right)$.

تفاوت های ظریف راه حل

پس ما چه می بینیم؟ در اصل، این طرح با راه حل سیستم های قبلی تفاوتی ندارد. تنها تفاوت این است که ما معادلات را جمع نمی کنیم، بلکه آنها را کم می کنیم. ما در حال تفریق جبری هستیم.

به عبارت دیگر، به محض مشاهده یک سیستم متشکل از دو معادله با دو مجهول، اولین چیزی که باید به آن نگاه کنید ضرایب است. اگر در هر جایی یکسان باشند، معادلات کم می شوند و اگر مخالف باشند، از روش جمع استفاده می شود. این کار همیشه طوری انجام می شود که یکی از آنها ناپدید شود و در معادله نهایی که پس از تفریق باقی می ماند فقط یک متغیر باقی بماند.

البته این همه ماجرا نیست. اکنون سیستم هایی را در نظر خواهیم گرفت که در آنها معادلات به طور کلی ناسازگار هستند. آن ها هیچ متغیری در آنها وجود ندارد که همسان یا مخالف باشد. در این مورد، برای حل چنین سیستم هایی، از یک تکنیک اضافی استفاده می شود، یعنی ضرب هر یک از معادلات در یک ضریب خاص. چگونه آن را پیدا کنیم و چگونه چنین سیستم هایی را به طور کلی حل کنیم، اکنون در مورد این صحبت خواهیم کرد.

حل مسائل با ضرب در یک ضریب

مثال شماره 1

\[\چپ\( \شروع (تراز)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

می بینیم که نه برای $x$ و نه برای $y$ ضرایب نه تنها متضاد یکدیگرند، بلکه به طور کلی به هیچ وجه با معادله دیگری همبستگی ندارند. این ضرایب به هیچ وجه از بین نمی روند، حتی اگر معادلات را از یکدیگر کم یا زیاد کنیم. بنابراین، اعمال ضرب ضروری است. بیایید سعی کنیم از متغیر $y$ خلاص شویم. برای این کار، بدون تغییر علامت، معادله اول را در ضریب y$ از معادله دوم و معادله دوم را در ضریب y$ از معادله اول ضرب می کنیم. ضرب می کنیم و یک سیستم جدید می گیریم:

\[\چپ\( \شروع (تراز)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

بیایید به آن نگاه کنیم: برای $y$، ضرایب مخالف. در چنین شرایطی استفاده از روش جمع ضروری است. اضافه کنیم:

اکنون باید $y$ را پیدا کنیم. برای انجام این کار، $x$ را در عبارت اول جایگزین کنید:

\[-9y=18\ چپ| :\left(-9 \راست) \راست.\]

پاسخ: $\left(4;-2\right)$.

مثال شماره 2

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

باز هم، ضرایب برای هیچ یک از متغیرها سازگار نیستند. بیایید در ضرایب در $y$ ضرب کنیم:

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 11x+4y=-18\چپ| 6 \راست. \\& 13x-6y=-32\چپ| 4 \راست. \\\پایان (تراز) \راست .\]

\[\چپ\( \شروع (تراز)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

ما سیستم جدیدمعادل ضرایب قبلی است، اما ضرایب $y$ متقابلا مخالف هستند، و بنابراین به راحتی می توان روش جمع را در اینجا اعمال کرد:

اکنون $y$ را با جایگزین کردن $x$ در معادله اول پیدا کنید:

پاسخ: $\left(-2;1\right)$.

تفاوت های ظریف راه حل

قانون کلیدی در اینجا به شرح زیر است: همیشه فقط با اعداد مثبت ضرب کنید - این شما را از اشتباهات احمقانه و توهین آمیز مرتبط با تغییر علائم نجات می دهد. به طور کلی، طرح راه حل بسیار ساده است:

ما به سیستم نگاه می کنیم و هر معادله را تجزیه و تحلیل می کنیم.
اگر ببینیم که نه برای $y$ و نه برای $x$، ضرایب سازگار نیستند، یعنی. آنها نه مساوی هستند و نه مخالف، سپس به صورت زیر عمل می کنیم: متغیری را که باید از شر آن خلاص شوید را انتخاب کنید و سپس به ضرایب موجود در این معادلات نگاه کنید. اگر معادله اول را در ضریب دومی ضرب کنیم و دومی را در ضریب اولی ضرب کنیم، در نهایت سیستمی کاملاً معادل قبلی و ضرایب برابر با $ بدست می آید. y$ سازگار خواهد بود. تمام اعمال یا تبدیل های ما فقط با هدف بدست آوردن یک متغیر در یک معادله انجام می شود.
یک متغیر پیدا می کنیم.
متغیر پیدا شده را جایگزین یکی از دو معادله سیستم می کنیم و دومی را پیدا می کنیم.
اگر متغیرهای $x$ و $y$ داشته باشیم پاسخ را به صورت مختصات نقاط می نویسیم.

اما حتی چنین الگوریتم ساده ای ظرافت های خاص خود را دارد، به عنوان مثال، ضرایب $x$ یا $y$ می تواند کسری و سایر اعداد "زشت" باشد. اکنون این موارد را جداگانه بررسی خواهیم کرد، زیرا در آنها می توانید به روشی کمی متفاوت از الگوریتم استاندارد عمل کنید.

حل مسائل با اعداد کسری

مثال شماره 1

\[\چپ\( \شروع (تراز)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\پایان (تراز) \راست.\]

ابتدا توجه داشته باشید که معادله دوم شامل کسری است. اما توجه داشته باشید که می توانید $4$ را بر $0.8$ تقسیم کنید. ما 5 دلار دریافت می کنیم. بیایید معادله دوم را در 5 دلار ضرب کنیم:

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\پایان (تراز) \راست.\]

معادلات را از یکدیگر کم می کنیم:

$n$ پیدا کردیم، اکنون $m$ را محاسبه می کنیم:

پاسخ: $n=-4;m=5$

مثال شماره 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \راست. \\& 2p-5k=2\left| 5 \راست. \\\end (تراز کردن)\ درست.\]

در اینجا، مانند سیستم قبلی، ضرایب کسری وجود دارد، با این حال، برای هیچ یک از متغیرها، ضرایب به تعداد صحیح بار در یکدیگر قرار نمی گیرند. بنابراین از الگوریتم استاندارد استفاده می کنیم. خلاص شدن از شر $p$:

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

بیایید از روش تفریق استفاده کنیم:

بیایید $p$ را با جایگزین کردن $k$ در ساختار دوم پیدا کنیم:

پاسخ: $p=-4;k=-2$.

تفاوت های ظریف راه حل

این همه بهینه سازی است. در معادله اول اصلاً در هیچ چیز ضرب نکردیم و معادله دوم در 5 دلار ضرب شد. در نتیجه، معادله ای ثابت و حتی یکسان برای متغیر اول به دست آورده ایم. در سیستم دوم طبق الگوریتم استاندارد عمل کردیم.

اما چگونه می توان اعدادی را که باید معادلات را در آنها ضرب کرد پیدا کرد؟ به هر حال، اگر در اعداد کسری ضرب کنیم، کسرهای جدیدی به دست می آید. بنابراین، کسرها باید در عددی ضرب شوند که یک عدد صحیح جدید به دست می‌دهد و پس از آن، با رعایت الگوریتم استاندارد، متغیرها را در ضرایب ضرب می‌کنیم.

در خاتمه، توجه شما را به فرمت ثبت پاسخ جلب می کنم. همانطور که قبلاً گفتم، از آنجایی که در اینجا ما $x$ و $y$ نداریم، بلکه مقادیر دیگری نداریم، از نماد غیر استاندارد فرم استفاده می کنیم:

حل سیستم های پیچیده معادلات

به عنوان آخرین لمس برای آموزش ویدیویی امروز، اجازه دهید به چند سیستم واقعا پیچیده نگاه کنیم. پیچیدگی آنها در این واقعیت است که دارای متغیرهایی در سمت چپ و راست خواهند بود. بنابراین، برای حل آنها، باید از پیش پردازش استفاده کنیم.

سیستم شماره 1

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 3\چپ(2x-y \راست)+5=-2\چپ(x+3y\راست)+4 \\& 6\چپ(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end (تراز کردن) \راست.\]

هر معادله دارای پیچیدگی خاصی است. بنابراین، با هر عبارت، مانند یک ساختار خطی معمولی عمل کنیم.

در مجموع، ما سیستم نهایی را دریافت می کنیم که معادل سیستم اصلی است:

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\پایان (تراز) \راست.\]

بیایید به ضرایب $y$ نگاه کنیم: $3$ دو بار در $6$ قرار می گیرد، بنابراین ما معادله اول را در $2$ ضرب می کنیم:

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\پایان (تراز) \راست.\]

ضرایب $y$ اکنون برابر است، بنابراین ما دومی را از معادله اول کم می کنیم: $$

حالا بیایید $y$ را پیدا کنیم:

پاسخ: $\left(0;-\frac(1)(3) \راست)$

سیستم شماره 2

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 4\چپ(a-3b \راست)-2a=3\چپ(b+4 \راست)-11 \\& -3\چپ(b-2a \راست )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end (تراز کردن) \راست.\]

بیایید عبارت اول را تبدیل کنیم:

بیایید به دومی بپردازیم:

\[-3\چپ(b-2a \راست)-12=2\چپ(a-5 \راست)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

در مجموع، سیستم اولیه ما به شکل زیر خواهد بود:

\[\چپ\( \شروع (تراز)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

با نگاهی به ضرایب $a$، می بینیم که معادله اول باید در $2$ ضرب شود:

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\پایان(تراز) \راست.\]

دومی را از ساخت اول کم می کنیم:

اکنون $a$ را پیدا کنید:

پاسخ: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

همین. امیدوارم این فیلم آموزشی به شما در درک این مبحث دشوار یعنی حل سیستم معادلات خطی ساده کمک کند. در ادامه درس های بیشتری در مورد این موضوع وجود خواهد داشت: ما بیشتر تجزیه و تحلیل خواهیم کرد نمونه های پیچیده، که در آن متغیرهای بیشتری وجود خواهد داشت و خود معادلات قبلاً غیرخطی خواهند بود. به زودی میبینمت!

در این درس به بررسی روش حل سیستم معادلات یعنی: روش جمع جبری می پردازیم. ابتدا کاربرد این روش را بر روی مثال معادلات خطی و ماهیت آن در نظر بگیرید. بیایید به یاد داشته باشیم که چگونه ضرایب را در معادلات برابر کنیم. و ما تعدادی از مشکلات در استفاده از این روش را حل خواهیم کرد.

موضوع: سیستم های معادلات

درس: روش جمع جبری

1. روش جمع جبری در مثال سیستم های خطی

در نظر گرفتن روش جمع جبریبه عنوان مثال سیستم های خطی

مثال 1. حل سیستم

اگر این دو معادله را جمع کنیم، y ها یکدیگر را خنثی می کنند و معادله x باقی می ماند.

اگر معادله دوم را از رابطه اول کم کنیم، x یکدیگر را خنثی می کنند و معادله ای برای y به دست می آید. این معنای روش جمع جبری است.

ما سیستم را حل کردیم و روش جمع جبری را به خاطر آوردیم. برای تکرار ماهیت آن: می‌توانیم معادلات را جمع و تفریق کنیم، اما باید اطمینان حاصل کنیم که معادله‌ای با تنها یک مجهول به دست می‌آوریم.

2. روش جمع جبری با تنظیم اولیه ضرایب

مثال 2. حل سیستم

این اصطلاح در هر دو معادله وجود دارد، بنابراین روش جمع جبری مناسب است. دومی را از معادله اول کم کنید.

پاسخ: (2؛ -1).

بنابراین، پس از تجزیه و تحلیل سیستم معادلات، می توان دریافت که برای روش جمع جبری مناسب است و آن را اعمال می کند.

یک سیستم خطی دیگر را در نظر بگیرید.

3. حل سیستم های غیر خطی

مثال 3. حل سیستم

ما می خواهیم از شر y خلاص شویم، اما این دو معادله ضرایب متفاوتی برای y دارند. ما آنها را برابر می کنیم، برای این ما معادله اول را در 3 ضرب می کنیم، دومی را در 4 ضرب می کنیم.

مثال 4. حل سیستم

ضرایب را در x برابر کنید

شما می توانید آن را متفاوت انجام دهید - ضرایب را در y برابر کنید.

ما سیستم را با استفاده از روش جمع جبری دو بار حل کردیم.

روش جمع جبری در حل سیستم های غیرخطی نیز کاربرد دارد.

مثال 5. حل سیستم

بیایید این معادلات را اضافه کنیم و از شر y خلاص می شویم.

همین سیستم را می توان با دو بار استفاده از روش جمع جبری حل کرد. از یک معادله دیگر جمع و کم کنید.

مثال 6. حل سیستم

پاسخ:

مثال 7. حل سیستم

با استفاده از روش جمع جبری از شر عبارت xy خلاص می شویم. معادله اول را در ضرب کنید.

معادله اول بدون تغییر باقی می ماند، به جای معادله دوم، جمع جبری را یادداشت می کنیم.

پاسخ:

مثال 8. حل سیستم

معادله دوم را در 2 ضرب کنید تا یک مربع کامل پیدا کنید.

وظیفه ما به حل چهار سیستم ساده خلاصه شد.

4. نتیجه گیری

روش جمع جبری را با استفاده از مثال حل سیستم های خطی و غیرخطی در نظر گرفتیم. در درس بعدی به روش معرفی متغیرهای جدید خواهیم پرداخت.

1. Mordkovich A. G. و همکاران جبر کلاس 9: Proc. برای آموزش عمومی موسسات - ویرایش چهارم. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A. G. و همکاران جبر کلاس 9: کتاب وظیفه برای دانش آموزان موسسات آموزشی / A. G. Mordkovich، T. N. Mishustina و همکاران - ویرایش 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. یو.ن. ماکاریچف، جبر. پایه نهم: کتاب درسی. برای دانش آموزان آموزش عمومی مؤسسات / Yu. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، I. E. Feoktistov. - ویرایش هفتم، کشیش. و اضافی - M.: Mnemosyne، 2008.

4. Sh. A. Alimov، Yu. M. Kolyagin و Yu. V. Sidorov، جبر. درجه 9 ویرایش شانزدهم - م.، 2011. - 287 ص.

5. موردکوویچ A. G. جبر. درجه 9 در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - چاپ دوازدهم، پاک شد. - M.: 2010. - 224 p.: ill.

6. جبر. درجه 9 در 2 ساعت. قسمت 2. کتاب کار برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich، L. A. Aleksandrova، T. N. Mishustina و دیگران؛ اد. A. G. Mordkovich. - چاپ دوازدهم، Rev. - M.: 2010.-223 p.: ill.

1. بخش کالج. ru در ریاضیات

2. پروژه اینترنتی "وظایف".

3. پورتال آموزشی"من استفاده را حل خواهم کرد".

1. Mordkovich A. G. و همکاران جبر کلاس 9: کتاب وظیفه برای دانش آموزان موسسات آموزشی / A. G. Mordkovich، T. N. Mishustina و همکاران - ویرایش 4. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. شماره 125 - 127.

شما باید طرح درس در مورد موضوع را دانلود کنید » روش جمع جبری?

اغلب اوقات، انتخاب روشی برای حل سیستم معادلات برای دانش آموزان دشوار است.

در این مقاله یکی از راه های حل سیستم ها - روش جایگزینی را بررسی خواهیم کرد.

یک سیستم می تواند یک راه حل (مانند مثال ما)، بی نهایت راه حل و هیچ راه حلی داشته باشد.

مثال 1حل سیستم معادلات

مقدار حاصل x \u003d 4 را در برخی از معادلات سیستم (به عنوان مثال، در اولین) جایگزین می کنیم و مقدار y را پیدا می کنیم:

2 * 4 + y \u003d 11، y \u003d 11 - 8، y \u003d 3.

پاسخ: (4؛ 3)

مثال 2. حل یک سیستم معادلات

هنگام اضافه کردن معادلات مراقب باشید

سپس y \u003d - 2. عدد (-2) را به جای y در معادله اول جایگزین می کنیم.

4x + 3 (-2) \u003d - 4. ما این معادله را 4x \u003d - 4 + 6، 4x \u003d 2، x \u003d ½ حل می کنیم.

پاسخ: (1/2؛ - 2)

مثال 3حل سیستم معادلات

معادله اول را در (2-) ضرب کنید

حل سیستم

0 = - 13 می گیریم.

هیچ سیستم حلی وجود ندارد، زیرا 0 برابر با (13-) نیست.

پاسخ: هیچ راه حلی وجود ندارد.

مثال 4حل سیستم معادلات

توجه داشته باشید که تمام ضرایب معادله دوم بر 3 بخش پذیرند.

بیایید معادله دوم را بر سه تقسیم کنیم و سیستمی بدست آوریم که از دو معادله یکسان تشکیل شده است.

سپس پاسخبه این صورت نوشته خواهد شد: (x؛ 5-x)، x هر عددی است.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.