1 و 2 محدودیت فوق العاده. محدودیت قابل توجه دوم: نمونه هایی از یافتن، مشکلات و راه حل های دقیق

اولین حد قابل توجه برابری زیر نامیده می شود:

\begin(معادله)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله)

از آنجایی که برای $\alpha\to(0)$ ما $\sin\alpha\to(0)$ داریم، می گوییم که اولین حد فوق العادهعدم قطعیت فرم $\frac(0)(0)$ را نشان می دهد. به طور کلی، در فرمول (1)، به جای متغیر $\alpha$، در زیر علامت سینوس و در مخرج، هر عبارتی را می توان قرار داد، تا زمانی که دو شرط وجود داشته باشد:

عبارات زیر علامت سینوس و مخرج به طور همزمان به صفر تمایل دارند، یعنی. عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ وجود دارد.
عبارات زیر علامت سینوس و مخرج یکسان است.

نتایج حاصل از اولین حد قابل توجه نیز اغلب استفاده می شود:

\begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله) \begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله) \begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \پایان (معادله)

یازده مثال در این صفحه حل شده است. مثال شماره 1 به اثبات فرمول های (2)-(4) اختصاص دارد. مثال های #2، #3، #4 و #5 حاوی راه حل هایی با نظرات دقیق هستند. مثال‌های 6-10 حاوی راه‌حل‌هایی هستند که نظر کمی دارند یا بدون اظهار نظر هستند، همانطور که توضیحات مفصل در مثال‌های قبلی ارائه شد. هنگام حل، از برخی فرمول های مثلثاتی استفاده می شود که می توان آنها را یافت.

توجه دارم که وجود توابع مثلثاتی، همراه با عدم قطعیت $\frac (0) (0)$، به این معنی نیست که اولین حد قابل توجه باید اعمال شود. گاهی اوقات تبدیل های مثلثاتی ساده کافی است - برای مثال، ببینید.

مثال شماره 1

ثابت کنید $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

الف) از آنجایی که $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$، پس:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

از آنجایی که $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ و $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$، سپس:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

ب) بیایید جایگزین $\alpha=\sin(y)$ را بسازیم. از آنجایی که $\sin(0)=0$، پس از شرط $\alpha\to(0)$، $y\to(0)$ داریم. علاوه بر این، یک همسایگی صفر وجود دارد که $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$، بنابراین:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

برابری $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ثابت شده است.

ج) جایگزین $\alpha=\tg(y)$ را بسازیم. از آنجایی که $\tg(0)=0$، شرایط $\alpha\to(0)$ و $y\to(0)$ معادل هستند. علاوه بر این، یک همسایگی صفر وجود دارد که در آن $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ وجود دارد، بنابراین با تکیه بر نتایج نقطه a، خواهیم داشت:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

برابری $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ثابت شده است.

برابری های a)، b)، c) اغلب همراه با اولین حد قابل توجه استفاده می شود.

مثال شماره 2

حد محاسبه $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

از آنجایی که $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ و $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$، یعنی. و صورت و مخرج کسر به طور همزمان به صفر میل می کنند، پس در اینجا با عدم قطعیتی از شکل $\frac(0)(0)$ سروکار داریم، یعنی. انجام. علاوه بر این، مشاهده می شود که عبارات زیر علامت سینوس و مخرج یکسان است (یعنی و راضی است):

بنابراین، هر دو شرط ذکر شده در ابتدای صفحه وجود دارد. از این نتیجه می شود که فرمول قابل اجرا است، یعنی. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = 1 دلار.

پاسخ: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\راست))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 دلار.

مثال شماره 3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ و $\lim_(x\to(0))x=0$، با عدم قطعیت شکل $\frac( سر و کار داریم 0 )(0)$، یعنی، انجام. با این حال، عبارات زیر علامت سینوس و در مخرج مطابقت ندارند. در اینجا لازم است عبارت در مخرج را به شکل دلخواه تنظیم کنید. ما نیاز داریم که عبارت $9x$ در مخرج باشد - سپس درست می شود. اساساً فاکتور $9$ را در مخرج از دست می دهیم که وارد کردن آن چندان سخت نیست، فقط عبارت موجود در مخرج را در $9$ ضرب کنید. به طور طبیعی، برای جبران ضرب در 9 دلار، باید بلافاصله بر 9 دلار تقسیم کنید و تقسیم کنید:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x)) (9x) $$

حال عبارات مخرج و زیر علامت سینوس یکسان است. هر دو شرط برای محدودیت $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ برآورده می شود. بنابراین $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. و این بدان معنی است که:

$9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

مثال شماره 4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ و $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$، در اینجا با نامعین بودن $\frac(0)(0)$ را تشکیل دهید. با این حال، شکل اولین حد قابل توجه شکسته شده است. یک عدد شامل $\sin(5x)$ به $5x$ در مخرج نیاز دارد. در این شرایط، ساده‌ترین راه این است که صورت‌گر را بر 5x$ تقسیم کرده و بلافاصله در 5x$ ضرب کنیم. علاوه بر این، عملیات مشابهی را با مخرج انجام خواهیم داد و $\tg(8x)$ را در $8x$ ضرب و تقسیم می کنیم:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\چپ|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

با کاهش $x$ و خارج کردن ثابت $\frac(5)(8)$ از علامت حد، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

توجه داشته باشید که $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ به طور کامل الزامات اولین حد قابل توجه را برآورده می کند. برای پیدا کردن $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ فرمول زیر قابل استفاده است:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

مثال شماره 5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (به یاد بیاورید که $\cos(0)=1$) و $\ lim_(x\to(0))x^2=0$، پس با نامعین بودن شکل $\frac(0)(0)$ روبرو هستیم. با این حال، برای اعمال اولین حد شگفت‌انگیز، باید با رفتن به سینوس (به منظور اعمال فرمول) یا مماس (برای اعمال فرمول) از کسینوس در صورت خلاص شوید. شما می توانید این کار را با تبدیل زیر انجام دهید:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\راست)$$$$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

بیایید به حد مجاز برگردیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\راست) $$

کسر $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ در حال حاضر به شکل مورد نیاز برای اولین حد قابل توجه نزدیک است. بیایید کمی با کسری $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ کار کنیم و آن را به اولین حد شگفت‌انگیز تنظیم کنیم (توجه داشته باشید که عبارات در عدد و زیر سینوس باید مطابقت داشته باشند):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\راست)^2$$

بیایید به حد در نظر گرفته شده برگردیم:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\راست)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

مثال شماره 6

حد $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ و $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$، پس ما با عدم قطعیت $\frac(0)(0)$ روبرو هستیم. بیایید با کمک اولین حد قابل توجه آن را باز کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید از کسینوس به سینوس حرکت کنیم. از آنجایی که $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$، پس:

$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

با عبور از حد داده شده به سینوس ها، خواهیم داشت:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\چپ|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\راست)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

مثال شماره 7

محاسبه حد $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ با توجه به $\alpha\neq\ beta $.

توضیحات مفصلی قبلا داده شد، اما در اینجا به سادگی توجه می کنیم که باز هم عدم تعینی $\frac(0)(0)$ وجود دارد. بیایید با استفاده از فرمول از کسینوس به سینوس حرکت کنیم

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

با استفاده از فرمول فوق به دست می آوریم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ بتا(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to (0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ آلفا^2)(2)$.

مثال شماره 8

حد $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (به یاد بیاورید که $\sin(0)=\tg(0)=0$) و $\ lim_(x\to(0))x^3=0$، پس در اینجا با نامعین بودن شکل $\frac(0)(0)$ سروکار داریم. بیایید آن را اینطور تجزیه کنیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\راست))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\راست))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

مثال شماره 9

حد $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2)) را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ و $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$، سپس نامشخصی به شکل $\frac(0)(0)$ وجود دارد. قبل از ادامه گسترش آن، راحت است که متغیر را طوری تغییر دهید که متغیر جدید به صفر برسد (توجه داشته باشید که متغیر $\alpha \ به 0$ در فرمول ها). ساده ترین راه معرفی متغیر $t=x-3$ است. با این حال، برای راحتی تغییرات بیشتر (این مزیت را می توان در مسیر راه حل زیر مشاهده کرد)، ارزش جایگزینی زیر را دارد: $t=\frac(x-3)(2)$. توجه داشته باشم که هر دو تعویض در این مورد قابل اجرا هستند، فقط تعویض دوم به شما امکان می دهد کمتر با کسری کار کنید. از $x\to(3)$، سپس $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\چپ|\frac (0)(0)\right| =\چپ|\begin(تراز شده)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(تراز شده)\راست| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\راست) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

مثال شماره 10

حد $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right) را پیدا کنید. 2) دلار.

باز هم با عدم قطعیت $\frac(0)(0)$ سروکار داریم. قبل از ادامه بسط آن، راحت است که یک تغییر متغیر را طوری ایجاد کنید که متغیر جدید به سمت صفر گرایش پیدا کند (توجه داشته باشید که در فرمول ها متغیر $\alpha\to(0)$ است). ساده ترین راه معرفی متغیر $t=\frac(\pi)(2)-x$ است. از $x\to\frac(\pi)(2)$، سپس $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\راست)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\چپ|\begin(تراز شده)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(تراز شده)\راست| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\راست)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

پاسخ: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

مثال شماره 11

یافتن محدودیت $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

در این صورت مجبور نیستیم از اولین حد فوق العاده استفاده کنیم. لطفا توجه داشته باشید: در هر دو حد اول و دوم، فقط توابع و اعداد مثلثاتی وجود دارد. اغلب، در نمونه هایی از این نوع، می توان عبارت واقع در زیر علامت حد را ساده کرد. در این صورت پس از ساده سازی مذکور و کاهش برخی عوامل، عدم قطعیت از بین می رود. من این مثال را تنها با یک هدف ارائه کردم: نشان دادن اینکه وجود توابع مثلثاتی در زیر علامت حد لزوماً به معنای اعمال اولین حد قابل توجه نیست.

از آنجایی که $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (به یاد بیاورید که $\sin\frac(\pi)(2)=1$) و $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (به یاد بیاورید که $\cos\frac(\pi)(2)=0$)، سپس با عدم قطعیت سروکار داریم از شکل $\frac(0)(0)$. با این حال، این به هیچ وجه به این معنی نیست که ما باید از اولین محدودیت قابل توجه استفاده کنیم. برای آشکار کردن عدم قطعیت، توجه به این نکته کافی است که $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

در کتاب حل دمیدویچ (شماره 475) راه حل مشابهی وجود دارد. در مورد محدودیت دوم، مانند مثال های قبلی این بخش، عدم قطعیت به شکل $\frac(0)(0)$ داریم. چرا بوجود می آید؟ به این دلیل به وجود می آید که $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ و $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. ما از این مقادیر برای تبدیل عبارات در صورت و مخرج استفاده می کنیم. هدف از اقدامات ما: جمع را در صورت و مخرج به عنوان حاصلضرب بنویسید. به هر حال، اغلب راحت است که یک متغیر را در یک فرم مشابه تغییر دهید تا متغیر جدید به سمت صفر گرایش پیدا کند (برای مثال به مثال های شماره 9 یا 10 در این صفحه مراجعه کنید). با این حال، در این مثال، جایگزین کردن متغیر هیچ فایده ای ندارد، اگرچه در صورت تمایل می توان جایگزینی متغیر $t=x-\frac(2\pi)(3)$ را آسان کرد.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\راست )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\راست)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

همانطور که می بینید، ما مجبور نبودیم اولین محدودیت فوق العاده را اعمال کنیم. البته در صورت تمایل می توان این کار را انجام داد (به یادداشت زیر مراجعه کنید) اما ضروری نیست.

راه حل با استفاده از اولین حد قابل توجه چه خواهد بود؟ نمایش/پنهان کردن

با استفاده از اولین حد قابل توجه، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ راست))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\راست) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

پاسخ: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3)\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) دلار.

محدودیت های شگفت انگیز را پیدا کنیدنه تنها برای بسیاری از دانش آموزان سال اول و دوم تحصیلی که تئوری حدود را مطالعه می کنند، بلکه برای برخی از معلمان نیز دشوار است.

فرمول اولین حد قابل توجه

پیامدهای اولین حد قابل توجه فرمول ها را بنویسید
1. 2. 3. 4. اما به خودی خود، فرمول های کلی حدود قابل توجه به کسی در یک امتحان یا آزمون کمک نمی کند. نکته اصلی این است که وظایف واقعی به گونه‌ای ساخته می‌شوند که فرمول‌های نوشته شده در بالا هنوز نیاز به دستیابی دارند. و اکثر دانش‌آموزانی که کلاس‌ها را رها می‌کنند، این درس را به صورت مکاتبه‌ای مطالعه می‌کنند یا معلمانی دارند که خودشان همیشه نمی‌دانند درباره چه چیزی توضیح می‌دهند، نمی‌توانند ابتدایی‌ترین مثال‌ها را تا حد قابل توجه محاسبه کنند. از فرمول های اولین حد قابل توجه، می بینیم که می توان از آنها برای بررسی عدم قطعیت هایی مانند صفر تقسیم بر صفر برای عبارات با توابع مثلثاتی استفاده کرد. اجازه دهید ابتدا یک سری مثال در مورد حد قابل توجه اول در نظر بگیریم و سپس به بررسی حد قابل توجه دوم خواهیم پرداخت.

مثال 1. حد تابع sin(7*x)/(5*x) را بیابید.
راه حل: همانطور که می بینید، تابع زیر حد به اولین حد قابل توجه نزدیک است، اما حد خود تابع قطعا برابر با یک نیست. در چنین تخصیصی به حدود، باید در مخرج متغیری با همان ضریب موجود در متغیر زیر سینوس مشخص شود. در این صورت تقسیم و ضرب در 7 کنید

برای برخی، چنین جزئیاتی اضافی به نظر می رسد، اما برای بسیاری از دانش آموزانی که برای آنها محدودیت قائل نیستند، به درک بهتر قوانین و یادگیری مطالب نظری کمک می کند.
همچنین اگر وجود داشته باشد نمای معکوستوابع نیز اولین محدودیت قابل توجه است. و همه به این دلیل که حد شگفت انگیز برابر با یک است

همین قانون در مورد پیامدهای 1 حد قابل توجه نیز صدق می کند. بنابراین، اگر از شما بپرسند "اولین حد شگفت انگیز چیست؟" شما باید بدون تردید پاسخ دهید که یک واحد است.

مثال 2. حد تابع sin(6x)/tan(11x) را بیابید.
راه حل: برای فهمیدن نتیجه نهایی تابع را در فرم می نویسیم

برای اعمال قوانین حد قابل توجه ضرب و تقسیم بر عوامل

در ادامه حد حاصلضرب توابع را بر حسب حاصلضرب حد می نویسیم

بدون فرمول های پیچیده، حد چند تابع مثلثاتی را پیدا کردیم. برای جذب فرمول های سادهسعی کنید حد 2 و 4 را پیدا کنید، فرمول نتیجه 1 از حد فوق العاده. ما وظایف پیچیده تری را در نظر خواهیم گرفت.

مثال 3. حد (1-cos(x))/x^2 را محاسبه کنید
راه حل: هنگام بررسی با تعویض، عدم قطعیت 0/0 را دریافت می کنیم. بسیاری نمی دانند چگونه چنین مثالی را به 1 حد شگفت انگیز کاهش دهند. در اینجا شما باید استفاده کنید فرمول مثلثاتی

در این صورت حد به شکل واضح تبدیل می شود

ما موفق شده ایم تابع را به مربع یک حد قابل توجه کاهش دهیم.

مثال 4. حد را پیدا کنید
راه حل: هنگام جایگزینی، ویژگی آشنا 0/0 را دریافت می کنیم. با این حال، متغیر به پی نزدیک می شود، نه به صفر. بنابراین، برای اعمال اولین حد قابل توجه، چنین تغییری را در متغیر x انجام می دهیم، به طوری که متغیر جدید به صفر می رسد. برای انجام این کار، مخرج را به عنوان متغیر جدید Pi-x=y نشان می دهیم

بنابراین، با استفاده از فرمول مثلثاتی، که در کار قبلی داده شده است، مثال به 1 حد قابل توجه کاهش می یابد.

مثال 5 محاسبه حد
راه حل: در ابتدا مشخص نیست که چگونه می توان محدودیت ها را ساده کرد. اما اگر مثالی وجود دارد، پس باید پاسخ داده شود. این واقعیت که متغیر به واحد می رود، هنگام جایگزینی، یک تکینگی از شکل صفر ضرب در بی نهایت می دهد، بنابراین مماس باید با فرمول جایگزین شود.

پس از آن، عدم قطعیت مورد نظر 0/0 را بدست می آوریم. در مرحله بعد، تغییر متغیرها را در حد انجام می دهیم و از تناوب کوتانژانت استفاده می کنیم

آخرین تعویض‌ها به ما امکان می‌دهد از نتیجه 1 از حد قابل توجه استفاده کنیم.

دومین حد قابل توجه برابر با توان است

این یک کلاسیک است که در مشکلات واقعی همیشه رسیدن به محدودیت ها آسان نیست.
برای محاسبات شما نیاز دارید محدودیت ها پیامدهای دومین حد قابل توجه است:
1. 2. 3. 4.
به لطف دومین حد قابل توجه و پیامدهای آن، می توان عدم قطعیت هایی مانند صفر تقسیم بر صفر، یک به توان بی نهایت و بی نهایت تقسیم بر بی نهایت و حتی به همان درجه را بررسی کرد.

بیایید شروع به آشنایی کنیم مثال های ساده.

مثال 6 حد یک تابع را پیدا کنید
راه حل: به طور مستقیم اعمال 2 محدودیت فوق العاده کار نخواهد کرد. ابتدا باید نشانگر را بچرخانید تا شکل آن برعکس عبارت داخل پرانتز باشد

این تکنیک کاهش به 2 حد قابل توجه و در واقع اشتقاق فرمول 2 پیامد حد است.

مثال 7 حد یک تابع را پیدا کنید
راه حل: ما برای فرمول 3 نتیجه 2 حد قابل توجه وظایف داریم. جایگزینی صفر تکینگی به شکل 0/0 می دهد. برای بالا بردن حد زیر قانون، مخرج را می‌چرخانیم تا متغیر ضریب مشابهی در لگاریتم داشته باشد.

همچنین درک و اجرای آن در امتحان آسان است. مشکلات دانش آموزان در محاسبه حدود با کارهای زیر شروع می شود.

مثال 8 محاسبه حد تابع[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
راه حل: یک تکینگی از نوع 1 به توان بی نهایت داریم. اگر من را باور ندارید، می توانید بی نهایت را به جای "x" در همه جا جایگزین کنید و خودتان ببینید. برای افزایش بر اساس قانون، صورت را بر مخرج داخل پرانتز تقسیم می کنیم، برای این کار ابتدا دستکاری ها را انجام می دهیم.

عبارت را با حد جایگزین کنید و آن را به حد قابل توجه 2 تبدیل کنید

حد، توان 10 است. ثابت‌هایی که هم در پرانتز و هم در درجه دارای یک متغیر هستند، هیچ "آب و هوا" ندارند - این را باید به خاطر داشت. و اگر معلمان از شما بپرسند - "چرا نشانگر را نمی چرخانید؟" (برای این مثال در x-3)، سپس بگویید که "وقتی متغیری به سمت بی نهایت میل می کند، سپس 100 را به آن اضافه کنید، یا 1000 را کم کنید، و حد ثابت می ماند!".
راه دومی برای محاسبه محدودیت های این نوع وجود دارد. در کار بعدی در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

مثال 9 حد را پیدا کنید
راه حل: حالا متغیر را در صورت و مخرج خارج می کنیم و یک ویژگی را به ویژگی دیگر تبدیل می کنیم. برای بدست آوردن مقدار نهایی از فرمول نتیجه 2 حد قابل توجه استفاده می کنیم

مثال 10 حد یک تابع را پیدا کنید
راه حل: حد را تنظیم کنیدبرای همه پیدا نمی شود برای افزایش حد به 2، تصور کنید که sin (3x) یک متغیر است و شما باید توان را بچرخانید.

سپس اندیکاتور را به صورت درجه در یک درجه می نویسیم

آرگومان های میانی در پرانتز توضیح داده شده اند. در نتیجه استفاده از حد فوق العاده اول و دوم، به توان مکعبی رسیدیم.

مثال 11. محاسبه حد تابع sin(2*x)/log(3*x+1)
راه حل: ما یک عدم قطعیت از فرم 0/0 داریم. علاوه بر این، می بینیم که تابع باید به استفاده از هر دو محدودیت فوق العاده تبدیل شود. اجازه دهید تبدیل های ریاضی قبلی را انجام دهیم

علاوه بر این، بدون مشکل، محدودیت مقدار را می گیرد

اگر یاد بگیرید که چگونه به سرعت توابع را رنگ آمیزی کنید و آنها را به اولین یا دومین حد فوق العاده کاهش دهید، به این ترتیب در تست ها، تست ها، ماژول ها احساس راحتی خواهید کرد. اگر به خاطر سپردن روش های بالا برای یافتن محدودیت برای شما دشوار است، همیشه می توانید سفارش دهید تستبه محدودیت های ما
برای انجام این کار، فرم را پر کنید، داده ها را مشخص کنید و یک فایل را با مثال ضمیمه کنید. ما به دانش آموزان زیادی کمک کرده ایم - ما نیز می توانیم به شما کمک کنیم!

اصطلاح "محدودیت قابل توجه" به طور گسترده در کتاب های درسی و وسایل کمک آموزشیبرای نشان دادن هویت های مهم که کمک قابل توجهی می کند کار را ساده کنیدبرای یافتن محدودیت ها

اما به بتواند بیاوردمحدودیت آن در حد قابل توجه است، باید به خوبی به آن نگاه کنید، زیرا آنها به طور مستقیم رخ نمی دهند، بلکه اغلب به شکل پیامدهایی هستند که با شرایط و عوامل اضافی مجهز شده اند. با این حال، اول تئوری، سپس مثال ها، و شما موفق خواهید شد!

اولین حد فوق العاده

دوست داشت؟ نشانک

اولین حد قابل توجه به صورت زیر نوشته شده است (عدم قطعیت از فرم $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

پیامدهای اولین حد قابل توجه

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

مثال های راه حل: 1 حد فوق العاده

مثال 1 حد محاسبه $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

راه حل.اولین مرحله همیشه یکسان است - مقدار حدی $x=0$ را در تابع جایگزین می کنیم و دریافت می کنیم:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

ما یک عدم قطعیت از فرم $\left[\frac(0)(0)\right]$ دریافت کردیم که باید حل شود. اگر دقت کنید، حد اصلی بسیار شبیه به اولین مورد قابل توجه است، اما با آن منطبق نیست. وظیفه ما ایجاد شباهت است. بیایید آن را به این شکل تبدیل کنیم - به عبارت زیر سینوس نگاه کنید، همین کار را در مخرج انجام دهید (به طور نسبی، ضرب و تقسیم بر $3x$)، بیشتر کاهش و ساده سازی کنید:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

در بالا، اولین محدودیت فوق العاده به دست آمد: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1، \text( یک جایگزین شرطی کرد) y=3x. $$ پاسخ: $3/8$.

مثال 2 حد محاسبه $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

راه حل.مقدار حدی $x=0$ را جایگزین تابع می کنیم و می گیریم:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)(0\cdot 0)\right] = \چپ [\frac(0)(0)\right].$$

ما یک عدم قطعیت از فرم $\left[\frac(0)(0)\right]$ دریافت کردیم. بیایید با استفاده از اولین حد فوق العاده در ساده سازی (سه بار!) حد را تغییر دهیم:

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

پاسخ: $9/16$.

مثال 3 حد $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5) را پیدا کنید.$$

راه حل.اما اگر یک عبارت پیچیده در زیر تابع مثلثاتی وجود داشته باشد چه؟ فرقی نمی کند و اینجا هم به همین صورت عمل می کنیم. ابتدا نوع عدم قطعیت را بررسی کنید، $x=0$ را جایگزین تابع کنید و دریافت کنید:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

ما یک عدم قطعیت از فرم $\left[\frac(0)(0)\right]$ دریافت کردیم. ضرب و تقسیم بر $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \چپ[\frac(0)(0)\راست] = $$

باز هم عدم قطعیت وجود دارد، اما در این مورد فقط یک کسری است. بیایید صورت و مخرج را x$ کاهش دهیم:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\راست] =\ frac (3) (5). $$

پاسخ: $3/5$.

دومین حد فوق العاده

دومین محدودیت قابل توجه به صورت زیر نوشته شده است (عدم قطعیت شکل $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(یا) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

پیامدهای دومین حد قابل توجه

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

مثال های راه حل: 2 حد فوق العاده

مثال 4 حد $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) را پیدا کنید.$$

راه حل.بیایید نوع عدم قطعیت را بررسی کنیم، $x=\infty$ را جایگزین تابع کنیم و دریافت کنیم:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \راست] = \چپ.$$

ما یک عدم قطعیت از فرم $\left$ دریافت کردیم. این محدودیت را می توان به دومین مورد قابل توجه کاهش داد. بیایید تبدیل کنیم:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\راست)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

عبارت داخل پرانتز در واقع دومین حد فوق العاده است $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$، فقط $t=- 3x/2$، بنابراین

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

پاسخ:$e^(-2/3)$.

مثال 5 حد $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) را پیدا کنید. $

راه حل.$x=\infty$ را جایگزین تابع کنید و عدم قطعیت فرم $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ را بدست آورید. و ما به $\left$ نیاز داریم. پس بیایید با تبدیل عبارت پرانتز شده شروع کنیم:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\راست)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\راست)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

عبارت داخل پرانتز در واقع دومین حد فوق العاده است $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$، فقط $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \به \infty$، بنابراین

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

این مقاله: "دومین حد قابل توجه" به افشای عدم قطعیت گونه ها اختصاص دارد:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ و $^\infty $.

همچنین، چنین عدم قطعیت هایی را می توان با استفاده از لگاریتم تابع توان نمایی آشکار کرد، اما این روش حل دیگری است که در مقاله دیگری به آن پرداخته خواهد شد.

فرمول و پیامدها

فرمولمحدودیت قابل توجه دوم به صورت زیر نوشته شده است: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \حدود 2.718 $ $

از فرمول پیروی کنید عواقب، که برای حل مثال هایی با محدودیت بسیار راحت هستند: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( where ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $ \lim_(x \ تا 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

لازم به ذکر است که حد قابل توجه دوم را نمی توان همیشه برای یک تابع توان نمایی اعمال کرد، بلکه فقط در مواردی که پایه به وحدت تمایل دارد. برای این کار ابتدا حد پایه را در ذهن محاسبه کنید و سپس نتیجه بگیرید. همه اینها در راه حل های مثال مورد بحث قرار خواهند گرفت.

نمونه های راه حل

نمونه هایی از راه حل ها را با استفاده از فرمول مستقیم و پیامدهای آن در نظر بگیرید. ما همچنین مواردی را که در آن فرمول مورد نیاز نیست، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. فقط کافی است پاسخ آماده را یادداشت کنید.

مثال 1
یافتن حد $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $
راه حل
جایگزینی بی نهایت به حد و نگاه کردن به عدم قطعیت: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg( \frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ حد پایه را پیدا کنید: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac( 4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1$$ ما یک پایه برابر با یک گرفتیم، به این معنی که می توانید از قبل محدودیت فوق العاده دوم را اعمال کنید. برای انجام این کار، پایه تابع را با تفریق و اضافه کردن یک به فرمول برازش می کنیم: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ big(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ ما به نتیجه دوم نگاه می کنیم و پاسخ را می نویسیم: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما یک راه حل دقیق ارائه خواهیم کرد. شما می توانید با پیشرفت محاسبات آشنا شوید و اطلاعات را جمع آوری کنید. این به شما کمک می کند تا به موقع از معلم امتیاز بگیرید!
پاسخ
$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

مثال 4
حل محدودیت $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $
راه حل
حد پایه را پیدا می کنیم و می بینیم که $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $، بنابراین می توانیم محدودیت فوق العاده دوم را اعمال کنیم. به عنوان یک استاندارد، طبق برنامه، یک عدد را از پایه درجه اضافه و کم می کنیم: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ ما کسر را تحت فرمول تبصره 2 تنظیم می کنیم. حد: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ حالا درجه را تنظیم کنید. توان باید دارای کسری برابر با مخرج پایه $ \frac(3x^2-2)(6) $ باشد. برای این کار، درجه را ضرب و تقسیم بر آن کنید و به حل ادامه دهید: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ حد موجود در توان در $ e $ این است: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. بنابراین، در ادامه راه حل داریم:
پاسخ
$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

اجازه دهید مواردی را تحلیل کنیم که مشکل مشابه حد قابل توجه دوم است، اما بدون آن حل می شود.

در مقاله: "محدودیت قابل توجه دوم: نمونه هایی از راه حل ها"، فرمول مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت، پیامدهای آن و انواع مکرر مشکلات در این موضوع ارائه شد.

اثبات:

اجازه دهید ابتدا قضیه را برای مورد دنباله اثبات کنیم

طبق فرمول دوجمله ای نیوتن:

با فرض اینکه بگیریم

از این برابری (1) نتیجه می شود که با افزایش n، تعداد جمله های مثبت سمت راست افزایش می یابد. علاوه بر این، با افزایش n، تعداد کاهش می یابد، بنابراین کمیت ها افزایش دادن. بنابراین دنباله افزایش می یابد، در حالی که (2)* اجازه دهید نشان دهیم که محدود است. بیایید هر پرانتز سمت راست برابری را با یکی جایگزین کنیم، قسمت راستافزایش می یابد، نابرابری را دریافت می کنیم

نابرابری حاصل را تقویت می کنیم، 3،4،5، ... را در مخرج کسرها با عدد 2 جایگزین می کنیم: با استفاده از فرمول مجموع عبارت ها، مجموع را در پرانتز پیدا می کنیم. پیشرفت هندسی: از همین رو (3)*

بنابراین، دنباله از بالا محدود می شود، در حالی که نابرابری های (2) و (3) برقرار هستند: بنابراین، بر اساس قضیه وایرشتراس (معیاری برای همگرایی یک دنباله)، دنباله به صورت یکنواخت افزایش می یابد و محدود می شود، به این معنی که حدی دارد که با حرف e نشان داده می شود. آن ها

با دانستن اینکه حد قابل توجه دوم برای مقادیر طبیعی x صادق است، حد قابل توجه دوم را برای x واقعی ثابت می کنیم، یعنی ثابت می کنیم که . دو مورد را در نظر بگیرید:

1. اجازه دهید هر مقدار x بین دو عدد صحیح مثبت محصور شود: , Where is کل بخشایکس. => =>

اگر، پس بنابراین، با توجه به حد ما داریم

با علامت (در مورد حد عملکرد میانی) وجود حدود

2. اجازه دهید. بیایید یک جایگزینی ایجاد کنیم - x = t، سپس

از این دو مورد چنین بر می آید که برای x واقعی

عواقب:

9 .) مقایسه بینهایت کوچک. قضیه جایگزینی بینهایت کوچک با معادل در حد و قضیه قسمت اصلی بینهایت کوچک.

اجازه دهید توابع a( ایکس) و ب( ایکس) – ب.م. در ایکس ® ایکس 0 .

تعاریف.

1) الف( ایکس) تماس گرفت بی نهایت کوچک بیشتر نظم بالاچگونه ب (ایکس) اگر

بنویسید: الف( ایکس) = o(b( ایکس)) .

2) الف( ایکس) وب( ایکس)تماس گرفت بینهایت کوچک از همان ترتیب، اگر

جایی که سیℝ و سی¹ 0 .

بنویسید: الف( ایکس) = O(ب( ایکس)) .

3) الف( ایکس) وب( ایکس) تماس گرفت معادل , اگر

بنویسید: الف( ایکس) ~ ب( ایکس).

4) الف( ایکس) مرتبه بی نهایت کوچک k نسبت به
بسیار بی نهایت کوچکب( ایکس), اگر بی نهایت کوچک باشدآ( ایکس)و(ب( ایکس)) ک همین ترتیب را داشته باشند، یعنی اگر

جایی که سیℝ و سی¹ 0 .

قضیه 6 (در مورد جایگزینی بینهایت کوچک با موارد معادل).

اجازه دهیدآ( ایکس), ب( ایکس), یک 1 ( ایکس), b 1 ( ایکس)- b.m. در x ® ایکس 0 . اگر یکآ( ایکس) ~ یک 1 ( ایکس), ب( ایکس) ~ b 1 ( ایکس),

سپس

اثبات: اجازه دهید a( ایکس) ~ یک 1 ( ایکس), ب( ایکس) ~ b 1 ( ایکس)، سپس

قضیه 7 (در مورد بخش اصلی بی نهایت کوچک).

اجازه دهیدآ( ایکس)وب( ایکس)- b.m. در x ® ایکس 0 ، وب( ایکس)- b.m. مرتبه بالاتر ازآ( ایکس).

= , a از آنجایی که b( ایکس) – مرتبه بالاتر از a( ایکس) ، سپس، i.e. از جانب واضح است که یک ( ایکس) + ب( ایکس) ~ a( ایکس)

10) پیوستگی تابع در یک نقطه (به زبان حدود اپسیلون-دلتا، هندسی) پیوستگی یک طرفه. تداوم در یک بازه، در یک بخش. خواص توابع پیوسته

1. تعاریف اساسی

اجازه دهید f(ایکس) در برخی از همسایگی های نقطه تعریف شده است ایکس 0 .

تعریف 1. تابع f(ایکس) تماس گرفت پیوسته در یک نقطه ایکس 0 اگر برابری درست باشد

ملاحظات.

1) با قضیه 5 از §3، برابری (1) را می توان به صورت نوشتاری نوشت

شرایط (2) - تعریف تداوم یک تابع در یک نقطه از زبان محدودیت های یک طرفه.

2) برابری (1) را می توان به صورت زیر نیز نوشت:

می گویند: «اگر تابعی در نقطه ای پیوسته باشد ایکس 0، سپس علامت حد و تابع را می توان با هم عوض کرد.

تعریف 2 (به زبان e-d).

تابع f(ایکس) تماس گرفت پیوسته در یک نقطه ایکس 0 اگر"e>0 $d>0 چنین, چی

اگر xОU( ایکس 0 , د) (یعنی | ایکس – ایکس 0 | < d),

سپس f(ایکس)OU( f(ایکس 0)، ه) (یعنی | f(ایکس) – f(ایکس 0) | < e).

اجازه دهید ایکس, ایکس 0 Î دی(f) (ایکس 0 - ثابت، ایکس-دلخواه)

نشان دهید: D ایکس= x-x 0 – افزایش آرگومان

دی f(ایکس 0) = f(ایکس) – f(ایکس 0) – افزایش تابع در نقطه x 0

تعریف 3 (هندسی).

تابع f(ایکس) روی تماس گرفت پیوسته در یک نقطه ایکس 0 اگر در این مرحله یک افزایش بی نهایت کوچک آرگومان با افزایش بی نهایت کوچک تابع مطابقت داشته باشد، یعنی

اجازه دهید تابع f(ایکس) در بازه [ ایکس 0 ; ایکس 0 + d) (در بازه ( ایکس 0 - d; ایکس 0 ]).

تعریف. تابع f(ایکس) تماس گرفت پیوسته در یک نقطه ایکس 0 سمت راست (ترک کرد ), اگر برابری درست باشد

بدیهی است که f(ایکس) در نقطه ممتد است ایکس 0 Û f(ایکس) در نقطه ممتد است ایکس 0 راست و چپ

تعریف. تابع f(ایکس) تماس گرفت پیوسته در هر بازه e ( آ; ب) اگر در هر نقطه از این بازه پیوسته باشد.

تابع f(ایکس) پیوسته روی قطعه نامیده می شود [آ; ب] اگر در بازه پیوسته باشد (آ; ب) و در نقاط مرزی تداوم یک طرفه دارد(یعنی پیوسته در نقطه آدرست، نقطه ب- در سمت چپ).

11) نقاط شکست، طبقه بندی آنها

تعریف. اگر تابع f(ایکس) در برخی از همسایگی های نقطه x تعریف شده است 0 , اما در آن نقطه پیوسته نیست، پس f(ایکس) در نقطه x ناپیوسته نامیده می شود 0 , اما نکته ایکس 0 نقطه شکست نامیده می شود توابع f(ایکس) .

ملاحظات.

1) f(ایکس) را می توان در یک همسایگی ناقص نقطه تعریف کرد ایکس 0 .

سپس پیوستگی یک طرفه مربوط به تابع را در نظر بگیرید.

2) از تعریف z، نقطه ایکس 0 نقطه شکست تابع است f(ایکس) در دو مورد:

الف) U( ایکس 0 , d)н دی(f) ، اما برای f(ایکس) برابری ارضا نمی شود

ب) U * ( ایکس 0 , d)н دی(f) .

برای توابع ابتدایی، فقط مورد ب) امکان پذیر است.

اجازه دهید ایکس 0 - نقطه شکست تابع f(ایکس) .

تعریف. نقطه x 0 تماس گرفت نقطه شکست من نوع اگر تابع f(ایکس)دارای محدودیت های محدود در این نقطه در سمت چپ و در سمت راست.

اگر علاوه بر این، این حدود برابر باشند، نقطه x 0 تماس گرفت نقطه شکست , در غیر این صورت - نقطه پرش .

تعریف. نقطه x 0 تماس گرفت نقطه شکست II نوع اگر حداقل یکی از حدود یک طرفه تابع f باشد(ایکس)در این نقطه برابر است با¥ یا وجود ندارد.

12) ویژگی های توابع پیوسته روی یک قطعه (قضیه های وایرشتراس (بدون اثبات) و کوشی

قضیه وایرشتراس

اجازه دهید تابع f(x) روی قطعه پیوسته باشد، سپس

1)f(x) محدود به

2)f(x) کوچکترین مقدار خود را در بازه و می گیرد بالاترین ارزش

تعریف: مقدار تابع m=f را اگر m≤f(x) برای هر x ∈ D(f) حداقل می نامیم.

مقدار تابع m=f اگر m≥f(x) برای هر x ∈ D(f) بزرگترین نامیده می شود.

تابع می تواند کوچکترین \ بزرگترین مقدار را در چندین نقطه از بخش بگیرد.

f(x 3) = f(x 4) = حداکثر

قضیه کوشی.

فرض کنید تابع f(x) بر روی قطعه پیوسته باشد و x عدد محصور بین f(a) و f(b) باشد، سپس حداقل یک نقطه x 0 € وجود دارد به طوری که f(x 0) = g