اثبات:

اجازه دهید ابتدا قضیه را برای مورد دنباله اثبات کنیم

طبق فرمول دوجمله ای نیوتن:

با فرض اینکه بگیریم

از این برابری (1) نتیجه می شود که با افزایش n، تعداد جمله های مثبت سمت راست افزایش می یابد. علاوه بر این، با افزایش n، تعداد کاهش می یابد، بنابراین مقادیر در حال افزایش. بنابراین دنباله افزایش می یابد، و (2) * نشان می دهیم که محدود است. هر پرانتز سمت راست برابری را با یک پرانتز جایگزین کنید، قسمت راستافزایش می یابد، نابرابری می گیریم

بیایید نابرابری حاصل را تقویت کنیم، 3،4،5، ... را که در مخرج کسرها ایستاده ایم، با عدد 2 جایگزین کنیم: با استفاده از فرمول مجموع عبارت، مجموع را در پرانتز پیدا می کنیم. پیشرفت هندسی: از همین رو (3)*

بنابراین، دنباله از بالا محدود می شود و نابرابری های (2) و (3) برآورده می شوند: بنابراین، بر اساس قضیه وایرشتراس (معیار همگرایی یک دنباله)، دنباله یکنواخت افزایش می یابد و محدود می شود، به این معنی که حدی دارد که با حرف e نشان داده می شود. آن ها

با دانستن اینکه حد قابل توجه دوم برای مقادیر طبیعی x صادق است، حد قابل توجه دوم را برای x واقعی ثابت می کنیم، یعنی ثابت می کنیم که . بیایید دو مورد را در نظر بگیریم:

1. بگذارید هر مقدار x بین دو عدد صحیح مثبت باشد: ,where is کل بخشایکس. => =>

اگر، پس بنابراین، با توجه به حد ما داریم

با توجه به معیار (در مورد حد عملکرد میانی) وجود حدود

2. اجازه دهید. اجازه دهید جایگزینی - x = t را انجام دهیم، سپس

از این دو مورد چنین بر می آید که برای x واقعی

عواقب:

9 .) مقایسه بینهایت کوچک. قضیه جایگزینی بینهایت کوچک با معادل در حد و قضیه قسمت اصلی بینهایت کوچک.

اجازه دهید توابع a( ایکس) و ب( ایکس) – ب.م. در ایکس ® ایکس 0 .

تعاریف.

1) الف( ایکس) تماس گرفت بی نهایت کوچک بیشتر نظم بالاچگونه ب (ایکس) اگر

بنویسید: الف( ایکس) = o(b( ایکس)) .

2) الف( ایکس) وب( ایکس)نامیده می شوند بینهایت کوچک از همان ترتیب، اگر

جایی که سیÎℝ و سی¹ 0 .

بنویسید: الف( ایکس) = O(ب( ایکس)) .

3) الف( ایکس) وب( ایکس) نامیده می شوند معادل , اگر

بنویسید: الف( ایکس) ~ ب( ایکس).

4) الف( ایکس) نامتناهی کوچک از مرتبه k نسبی نامیده می شود
کاملا بی نهایت کوچکب( ایکس), اگر بی نهایت کوچک باشدآ( ایکس)و(ب( ایکس)) ک همین ترتیب را داشته باشند، یعنی اگر

جایی که سیÎℝ و سی¹ 0 .

قضیه 6 (در مورد جایگزینی بینهایت کوچک با موارد معادل).

اجازه دهیدآ( ایکس), ب( ایکس), یک 1 ( ایکس), b 1 ( ایکس)- b.m. در x ® ایکس 0 . اگرآ( ایکس) ~ یک 1 ( ایکس), ب( ایکس) ~ b 1 ( ایکس),

که

اثبات: اجازه دهید a( ایکس) ~ یک 1 ( ایکس), ب( ایکس) ~ b 1 ( ایکس)، سپس

قضیه 7 (در مورد قسمت اصلی بینهایت کوچک).

اجازه دهیدآ( ایکس)وب( ایکس)- b.m. در x ® ایکس 0 ، وب( ایکس)- b.m. مرتبه بالاتر ازآ( ایکس).

= , a از آنجایی که b( ایکس) – مرتبه بالاتر از a( ایکس)، سپس، یعنی. از جانب واضح است که یک ( ایکس) + ب( ایکس) ~ a( ایکس)

10) پیوستگی یک تابع در یک نقطه (به زبان اپسیلون-دلتا، حدود هندسی) پیوستگی یک طرفه. تداوم در یک بازه، در یک بخش. خواص توابع پیوسته

1. تعاریف اساسی

اجازه دهید f(ایکس) در برخی از همسایگی های نقطه تعریف شده است ایکس 0 .

تعریف 1. تابع f(ایکس) تماس گرفت پیوسته در یک نقطه ایکس 0 اگر برابری درست باشد

یادداشت.

1) به موجب قضیه 5 §3، برابری (1) را می توان به شکل نوشت

شرایط (2) - تعریف تداوم یک تابع در یک نقطه از زبان محدودیت های یک طرفه.

2) برابری (1) را می توان به صورت زیر نیز نوشت:

می گویند: «اگر تابعی در نقطه ای پیوسته باشد ایکس 0، سپس علامت حد و تابع را می توان با هم عوض کرد."

تعریف 2 (به زبان e-d).

تابع f(ایکس) تماس گرفت پیوسته در یک نقطه ایکس 0 اگر"e>0 $d>0 چنین, چی

اگر xОU( ایکس 0، د) (یعنی | ایکس – ایکس 0 | < d),

سپس f(ایکس)ÎU( f(ایکس 0)، ه) (یعنی | f(ایکس) – f(ایکس 0) | < e).

اجازه دهید ایکس, ایکس 0 Î دی(f) (ایکس 0 - ثابت، ایکس -دلخواه)

نشان می دهیم: D ایکس= x – x 0 – افزایش آرگومان

دی f(ایکس 0) = f(ایکس) – f(ایکس 0) – افزایش تابع در نقطه ایکس 0

تعریف 3 (هندسی).

تابع f(ایکس) بر تماس گرفت پیوسته در یک نقطه ایکس 0 اگر در این مرحله یک افزایش بی نهایت کوچک در آرگومان با یک افزایش بی نهایت کوچک در تابع مطابقت داشته باشد، یعنی

اجازه دهید تابع f(ایکس) در بازه [ ایکس 0 ; ایکس 0 + d) (در بازه ( ایکس 0 - d; ایکس 0 ]).

تعریف. تابع f(ایکس) تماس گرفت پیوسته در یک نقطه ایکس 0 سمت راست (ترک کرد ), اگر برابری درست باشد

بدیهی است که f(ایکس) در نقطه ممتد است ایکس 0 Û f(ایکس) در نقطه ممتد است ایکس 0 راست و چپ

تعریف. تابع f(ایکس) تماس گرفت پیوسته برای یک بازه e ( آ; ب) اگر در هر نقطه از این بازه پیوسته باشد.

تابع f(ایکس) پیوسته روی قطعه نامیده می شود [آ; ب] اگر در بازه پیوسته باشد (آ; ب) و در نقاط مرزی تداوم یک طرفه دارد(یعنی پیوسته در نقطه آدر سمت راست، در نقطه ب- ترک کرد).

11) نقاط شکست، طبقه بندی آنها

تعریف. اگر تابع f(ایکس) در نزدیکی نقطه x تعریف شده است 0 , اما در این مرحله پیوسته نیست f(ایکس) در نقطه x ناپیوسته نامیده می شود 0 , و خود نکته ایکس 0 نقطه شکست نامیده می شود توابع f(ایکس) .

یادداشت.

1) f(ایکس) را می توان در یک همسایگی ناقص نقطه تعریف کرد ایکس 0 .

سپس پیوستگی یک طرفه مربوط به تابع را در نظر بگیرید.

2) از تعریف نقطه Þ ایکس 0 نقطه شکست تابع است f(ایکس) در دو مورد:

الف) U( ایکس 0، د)О دی(f) ، اما برای f(ایکس) برابری برقرار نیست

ب) U * ( ایکس 0، د)О دی(f) .

برای توابع ابتدایی، فقط مورد ب) امکان پذیر است.

اجازه دهید ایکس 0 - نقطه شکست تابع f(ایکس) .

تعریف. نقطه x 0 تماس گرفت نقطه شکست من به نوعی اگر تابع f(ایکس)در این نقطه محدودیت های محدودی در سمت چپ و راست دارد.

اگر این حدود مساوی هستند، نقطه x 0 تماس گرفت نقطه شکست قابل جابجایی , در غیر این صورت - نقطه پرش .

تعریف. نقطه x 0 تماس گرفت نقطه شکست II به نوعی اگر حداقل یکی از حدود یک طرفه تابع f باشد(ایکس)در این مرحله برابر است¥ یا وجود ندارد.

12) ویژگی های توابع پیوسته روی یک بازه (قضیه های وایرشتراس (بدون اثبات) و کوشی

قضیه وایرشتراس

پس اجازه دهید تابع f(x) در بازه پیوسته باشد

1)f(x) محدود به

2)f(x) کوچکترین مقدار خود را در بازه و می گیرد بالاترین ارزش

تعریف: مقدار تابع m=f کوچکترین مقدار اگر m≤f(x) برای هر x€ D(f) نامیده می شود.

مقدار تابع m=f اگر m≥f(x) برای هر x € D(f) بزرگترین باشد.

تابع می تواند کوچکترین/بزرگترین مقدار را در چندین نقطه از بخش به خود بگیرد.

f(x 3) = f(x 4) = حداکثر

قضیه کوشی.

فرض کنید تابع f(x) بر روی قطعه پیوسته باشد و x عدد موجود بین f(a) و f(b) باشد، پس حداقل یک نقطه x 0 € وجود دارد به طوری که f(x 0) = g

این مقاله: «دومین حد قابل توجه» به افشا در محدوده عدم قطعیت های شکل اختصاص دارد:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ و $^\infty $.

همچنین، چنین عدم قطعیت هایی را می توان با استفاده از لگاریتم تابع نمایی آشکار کرد، اما این روش حل دیگری است که در مقاله دیگری به آن پرداخته خواهد شد.

فرمول و پیامدها

فرمولدومین حد فوق العادهبه صورت زیر نوشته شده است: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \حدود 2.718 $$

از فرمول بر می آید عواقب، که برای حل مثال هایی با محدودیت ها بسیار راحت هستند: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( کجا ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $ $ \lim_(x \ به 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

شایان ذکر است که حد قابل توجه دوم را نمی توان همیشه برای یک تابع نمایی اعمال کرد، بلکه فقط در مواردی که پایه به وحدت تمایل دارد. برای این کار ابتدا حد پایه را به صورت ذهنی محاسبه کنید و سپس نتیجه گیری کنید. همه اینها در راه حل های مثال مورد بحث قرار خواهند گرفت.

نمونه هایی از راه حل ها

بیایید به نمونه هایی از راه حل ها با استفاده از فرمول مستقیم و پیامدهای آن نگاه کنیم. ما همچنین مواردی را که در آن فرمول مورد نیاز نیست، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. فقط کافی است یک پاسخ آماده را یادداشت کنید.

مثال 1

حد $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ را پیدا کنید

راه حل

بیایید بی نهایت را به حد جایگزین کنیم و به عدم قطعیت نگاه کنیم: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ بیایید حد پایه را پیدا کنیم: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ ما پایه ای برابر با یک به دست آورده ایم، به این معنی که می توانیم از قبل محدودیت قابل توجه دوم را اعمال کنیم. برای انجام این کار، بیایید پایه تابع را با تفریق و اضافه کردن یک به فرمول تنظیم کنیم: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ big(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ بیایید نتیجه دوم را بررسی کنیم و پاسخ را بنویسیم: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما تهیه خواهیم کرد راه حل دقیق. شما می توانید پیشرفت محاسبات را مشاهده کرده و اطلاعاتی به دست آورید. این به شما کمک می کند نمره خود را به موقع از معلم خود بگیرید!

پاسخ

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

مثال 4

حل محدودیت $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

راه حل

حد پایه را پیدا می کنیم و می بینیم که $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $، یعنی می توانیم محدودیت قابل توجه دوم را اعمال کنیم. طبق طرح استاندارد، یک عدد را از پایه مدرک جمع و کم می کنیم: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ کسر را با فرمول نت دوم تنظیم می کنیم. حد: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ حالا بیایید درجه را تنظیم کنیم. توان باید دارای کسری برابر با مخرج پایه $ \frac(3x^2-2)(6) $ باشد. برای این کار، درجه را ضرب و تقسیم بر آن کنید و به حل ادامه دهید: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ حد موجود در توان در $ e $ برابر است با: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. بنابراین، در ادامه راه حل داریم:

پاسخ

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

اجازه دهید مواردی را بررسی کنیم که مشکل مشابه محدودیت قابل توجه دوم است، اما بدون آن قابل حل است.

در مقاله: «دومین حد قابل توجه: نمونه‌هایی از راه‌حل‌ها» فرمول، پیامدهای آن مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت و انواع مشکلات رایج در این موضوع ارائه شد.

از مقاله بالا می توانید دریابید که محدودیت چیست و با چه چیزی خورده می شود - این بسیار مهم است. چرا؟ ممکن است متوجه نشوید که تعیین کننده ها چیست و آنها را با موفقیت حل کنید؛ ممکن است اصلاً درک نکنید که مشتق چیست و آنها را با "A" بیابید. اما اگر نمی دانید محدودیت چیست، حل وظایف عملی دشوار خواهد بود. همچنین ایده خوبی خواهد بود که با نمونه راه حل ها و توصیه های طراحی من آشنا شوید. تمام اطلاعات به صورت ساده و در دسترس ارائه شده است.

و برای اهداف این درس به مواد آموزشی زیر نیاز داریم: محدودیت های شگفت انگیزو فرمول های مثلثاتی. آنها را می توان در صفحه پیدا کرد. بهتر است کتابچه ها را چاپ کنید - بسیار راحت تر است، و علاوه بر این، اغلب مجبور خواهید بود به آنها به صورت آفلاین مراجعه کنید.

چه چیزی در مورد محدودیت های قابل توجه خاص است؟ نکته قابل توجه در مورد این محدودیت ها این است که آنها توسط بزرگترین ذهن های ریاضیدانان مشهور ثابت شده اند و فرزندان سپاسگزار مجبور نیستند از محدودیت های وحشتناکی با انبوهی از توابع مثلثاتی، لگاریتم ها و قدرت ها رنج ببرند. یعنی در زمان یافتن حدود از نتایج آماده ای که به صورت تئوری ثابت شده است استفاده می کنیم.

چندین محدودیت فوق العاده وجود دارد، اما در عمل، در 95٪ موارد، دانش آموزان پاره وقت دو محدودیت فوق العاده دارند: اولین حد فوق العاده, دومین محدودیت فوق العاده. لازم به ذکر است که اینها اسامی تثبیت شده تاریخی هستند و وقتی مثلاً از "نخستین حد قابل توجه" صحبت می کنند ، منظور آنها یک چیز کاملاً خاص است و نه محدودیت تصادفی از سقف.

اولین حد فوق العاده

محدودیت زیر را در نظر بگیرید: (به جای حرف بومی "او" استفاده خواهم کرد حرف یونانی"آلفا"، این از نظر ارائه مطالب راحت تر است).

طبق قانون ما برای یافتن محدودیت ها (به مقاله مراجعه کنید محدودیت ها. نمونه هایی از راه حل ها) سعی می کنیم صفر را جایگزین تابع کنیم: در صورت حساب صفر می شود (سینوس صفر صفر است) و در مخرج بدیهی است که صفر نیز وجود دارد. بنابراین با عدم قطعیت شکل مواجه هستیم که خوشبختانه نیازی به افشای آن نیست. میدانم تجزیه و تحلیل ریاضی، ثابت می شود که:

این واقعیت ریاضی نامیده می شود اولین حد فوق العاده. من یک مدرک تحلیلی از حد ارائه نمی کنم، اما اینجاست: معنی هندسیما در کلاس به آن نگاه خواهیم کرد توابع بی نهایت کوچک.

اغلب در وظایف عملی، توابع را می توان به طور متفاوتی مرتب کرد، این چیزی را تغییر نمی دهد:

- همان حد فوق العاده اول.

اما شما نمی توانید صورت و مخرج را دوباره مرتب کنید! اگر محدودیتی در فرم داده شده باشد، باید به همان شکل حل شود، بدون اینکه چیزی دوباره تنظیم شود.

در عمل، نه تنها یک متغیر، بلکه یک تابع ابتدایی نیز می تواند به عنوان یک پارامتر عمل کند. تابع پیچیده. تنها نکته مهم این است که به سمت صفر میل می کند.

مثال ها:
, , ,

اینجا ، ، ​​، ، و همه چیز خوب است - اولین محدودیت فوق العاده قابل اجرا است.

اما مدخل زیر بدعت است:

چرا؟ چون چندجمله ای به صفر تمایل ندارد، به پنج گرایش دارد.

به هر حال، یک سوال سریع: محدودیت چیست؟ ? پاسخ را می توان در انتهای درس یافت.

در عمل، همه چیز چندان هموار نیست؛ تقریباً هرگز به دانش آموز پیشنهاد نمی شود که یک محدودیت رایگان را حل کند و یک پاس آسان دریافت کند. هوم... من دارم این سطرها را می نویسم و ​​یک فکر بسیار مهم به ذهنم خطور کرد - بالاخره بهتر است تعاریف و فرمول های ریاضی «رایگان» را به خاطر بسپارید، این می تواند کمک ارزشمندی در آزمون ارائه کند، زمانی که این سؤال انجام شود. بین «دو» و «سه» تصمیم گیری شود، و معلم تصمیم می گیرد از دانش آموز سؤال ساده یا پیشنهادی برای حل آن بپرسد. ساده ترین مثال(«شاید او (ها) هنوز چه چیزی را بداند؟!»).

بیایید به بررسی ادامه دهیم نمونه های عملی:

مثال 1

حد را پیدا کنید

اگر متوجه یک سینوس در حد شدیم، باید بلافاصله ما را به فکر کردن در مورد امکان اعمال اولین حد قابل توجه بیندیشیم.

ابتدا سعی می کنیم 0 را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنیم (این کار را به صورت ذهنی یا به صورت پیش نویس انجام می دهیم):

بنابراین ما یک عدم قطعیت در فرم داریم حتما نشان دهیددر تصمیم گیری عبارت زیر علامت حد شبیه به اولین حد فوق العاده است، اما این دقیقاً آن نیست، زیر سینوس است، اما در مخرج است.

در چنین مواردی، ما باید اولین محدودیت قابل توجه را خودمان با استفاده از یک تکنیک مصنوعی سازماندهی کنیم. خط استدلال می تواند به شرح زیر باشد: "تحت سینوس ما داریم ، به این معنی که ما نیز باید مخرج را وارد کنیم."
و این کار بسیار ساده انجام می شود:

یعنی مخرج به طور مصنوعی در این مورد در 7 ضرب و بر همان هفت تقسیم می شود. حالا ضبط ما شکلی آشنا به خود گرفته است.
هنگامی که یک کار با دست ترسیم می شود، توصیه می شود اولین محدودیت قابل توجه را مشخص کنید با یک مداد ساده:

چی شد؟ در واقع، بیان دایره ای ما به یک واحد تبدیل شد و در کار ناپدید شد:

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند خلاص شدن از شر کسری سه طبقه است:

چه کسی ساده سازی کسرهای چند سطحی را فراموش کرده است، لطفاً مطالب را در کتاب مرجع تجدید کنید. فرمول های داغ برای درس ریاضی مدرسه .

آماده. جواب نهایی:

اگر نمی خواهید از علامت مداد استفاده کنید، راه حل را می توان به این صورت نوشت:

“

بیایید از اولین محدودیت فوق العاده استفاده کنیم

“

مثال 2

حد را پیدا کنید

باز هم کسری و سینوس را در حد می بینیم. بیایید سعی کنیم صفر را با صورت و مخرج جایگزین کنیم:

در واقع، ما عدم اطمینان داریم و بنابراین، باید سعی کنیم اولین حد شگفت انگیز را سازماندهی کنیم. در درس محدودیت ها. نمونه هایی از راه حل هاما این قاعده را در نظر گرفتیم که وقتی عدم قطعیت داریم، باید صورت و مخرج را فاکتور بگیریم. در اینجا هم همین است، ما درجات را به عنوان یک محصول (ضریب) نشان خواهیم داد:

مشابه مثال قبلی، ما یک مداد در اطراف حدود قابل توجه می کشیم (در اینجا دو مورد از آنها وجود دارد)، و نشان می دهیم که آنها تمایل به وحدت دارند:

در واقع، پاسخ آماده است:

در مثال‌های زیر، من در Paint هنر انجام نمی‌دهم، فکر می‌کنم چگونه یک راه‌حل را به درستی در یک نوت بوک ترسیم کنم - قبلاً متوجه شده‌اید.

مثال 3

حد را پیدا کنید

صفر را به عبارت زیر علامت حد جایگزین می کنیم:

یک عدم قطعیت به دست آمده است که باید افشا شود. اگر یک مماس در حد وجود داشته باشد، تقریباً همیشه با استفاده از فرمول مثلثاتی شناخته شده به سینوس و کسینوس تبدیل می‌شود (به هر حال، آنها تقریباً همان کار را با کوتانژانت انجام می‌دهند، به شکل 1.3.1 مراجعه کنید). مواد روش شناختی فرمول های مثلثاتی داغدر صفحه فرمول های ریاضی، جداول و مواد مرجع).

در این مورد:

کسینوس صفر برابر است با یک، و خلاص شدن از شر آن آسان است (فراموش نکنید که علامت بزنید که به یک میل دارد):

بنابراین، اگر کسینوس در حد یک MULTIPLIER باشد، به طور تقریبی، باید به یک واحد تبدیل شود که در محصول ناپدید می شود.

در اینجا همه چیز ساده تر شد، بدون هیچ ضرب و تقسیم. اولین محدودیت قابل توجه نیز به یک تبدیل می شود و در محصول ناپدید می شود:

در نتیجه بی نهایت به دست می آید و این اتفاق می افتد.

مثال 4

حد را پیدا کنید

بیایید سعی کنیم صفر را با صورت و مخرج جایگزین کنیم:

عدم قطعیت به دست می آید (کسینوس صفر همانطور که به یاد داریم برابر با یک است)

ما استفاده می کنیم فرمول مثلثاتی. یادداشت بردار! به دلایلی، محدودیت های استفاده از این فرمول بسیار رایج است.

اجازه دهید عوامل ثابت را فراتر از نماد حد انتقال دهیم:

بیایید اولین محدودیت فوق العاده را سازماندهی کنیم:

در اینجا ما فقط یک محدودیت قابل توجه داریم که به یکی تبدیل می شود و در محصول ناپدید می شود:

بیایید از ساختار سه طبقه خلاص شویم:

حد در واقع حل شده است، ما نشان می دهیم که سینوس باقی مانده به صفر میل دارد:

مثال 5

حد را پیدا کنید

این مثال پیچیده تر است، سعی کنید خودتان آن را بفهمید:

برخی از محدودیت ها را می توان با تغییر یک متغیر به اولین حد قابل توجه کاهش داد، می توانید در این مورد کمی بعد در مقاله بخوانید. روش های حل حدود.

دومین محدودیت فوق العاده

در تئوری تحلیل ریاضی ثابت شده است که:

این حقیقتنامیده میشود دومین محدودیت فوق العاده.

ارجاع: یک عدد غیر منطقی است

پارامتر می تواند نه تنها یک متغیر، بلکه یک تابع پیچیده باشد. تنها نکته مهم این است که برای بی نهایت تلاش می کند.

مثال 6

حد را پیدا کنید

وقتی عبارت زیر علامت حد در یک درجه باشد، این اولین علامتی است که باید سعی کنید دومین حد فوق العاده را اعمال کنید.

اما اول، مثل همیشه، سعی می کنیم بی پایان جایگزین کنیم عدد بزرگدر بیان اینکه این کار بر اساس چه اصولی انجام می شود، در درس بحث شده است محدودیت ها. نمونه هایی از راه حل ها.

به راحتی می توان متوجه شد که وقتی پایه درجه است و توان آن است ، یعنی عدم قطعیت شکل وجود دارد:

این عدم قطعیت دقیقاً با کمک دومین حد قابل توجه آشکار می شود. اما، همانطور که اغلب اتفاق می افتد، دومین حد شگفت انگیز روی یک بشقاب نقره ای قرار نمی گیرد و باید به طور مصنوعی سازماندهی شود. شما می توانید به صورت زیر دلیل کنید: در این مثال پارامتر . برای این کار، پایه را به پاور می بریم و برای اینکه عبارت تغییر نکند، آن را به پاور می بریم:

وقتی کار با دست کامل شد، با مداد علامت می زنیم:

تقریباً همه چیز آماده است، درجه وحشتناک به یک نامه زیبا تبدیل شده است:

در این حالت خود آیکون حد را به نشانگر منتقل می کنیم:

مثال 7

حد را پیدا کنید

توجه! این نوع محدودیت اغلب اتفاق می افتد، لطفا این مثال را با دقت مطالعه کنید.

بیایید سعی کنیم یک عدد بی نهایت بزرگ را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنیم:

نتیجه عدم قطعیت است. اما محدودیت قابل توجه دوم در مورد عدم قطعیت فرم اعمال می شود. چه باید کرد؟ باید پایه مدرک را تبدیل کنیم. ما اینگونه استدلال می کنیم: در مخرج که داریم، به این معنی که در صورت نیز باید سازماندهی کنیم.

چندین محدودیت قابل توجه وجود دارد، اما معروف ترین آنها محدودیت های قابل توجه اول و دوم است. نکته قابل توجه در مورد این محدودیت ها این است که به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرند و با کمک آنها می توان محدودیت های دیگری را که در مشکلات متعدد با آن مواجه می شود، پیدا کرد. این همان کاری است که در بخش عملی این درس انجام خواهیم داد. برای حل مسائل با کاهش آنها به حد قابل توجه اول یا دوم، نیازی به آشکارسازی عدم قطعیت های موجود در آنها نیست، زیرا مقادیر این حدود مدت هاست که توسط ریاضیدانان بزرگ استنباط شده است.

اولین حد فوق العادهحد نسبت سینوس یک کمان بینهایت کوچک به همان قوس نامیده می شود که در اندازه رادیانی بیان می شود:

بیایید به حل مشکلات در اولین حد قابل توجه بپردازیم. توجه: اگر تابع مثلثاتی در زیر علامت حد وجود داشته باشد، این یک علامت تقریباً مطمئن است که این عبارت را می توان به اولین حد قابل توجه کاهش داد.

مثال 1.حد را پیدا کنید.

راه حل. در عوض تعویض ایکسصفر منجر به عدم قطعیت می شود:

.

مخرج سینوس است، بنابراین، عبارت را می توان به اولین حد قابل توجه رساند. بیایید تحول را شروع کنیم:

.

مخرج سینوس سه X است، اما صورتگر فقط یک X دارد، به این معنی که باید سه X را در صورت‌دهنده دریافت کنید. برای چی؟ برای معرفی 3 ایکس = آو بیان را بدست آورید.

و به تغییری از اولین حد قابل توجه می رسیم:

زیرا مهم نیست که کدام حرف (متغیر) در این فرمول به جای X باشد.

X را در سه ضرب می کنیم و بلافاصله تقسیم می کنیم:

.

مطابق با اولین محدودیت قابل توجه مشاهده شده، عبارت کسری را جایگزین می کنیم:

حالا بالاخره می توانیم این حد را حل کنیم:

.

مثال 2.حد را پیدا کنید.

راه حل. جایگزینی مستقیم دوباره منجر به عدم قطعیت "صفر تقسیم بر صفر" می شود:

.

برای به دست آوردن اولین حد قابل توجه، لازم است که x زیر علامت سینوس در صورت و فقط x در مخرج دارای ضریب یکسانی باشند. اجازه دهید این ضریب برابر با 2 باشد. برای انجام این کار، ضریب جریان x را به صورت زیر تصور کنید، با انجام عملیات با کسری، به دست می آوریم:

.

مثال 3.حد را پیدا کنید.

راه حل. هنگام جایگزینی، دوباره عدم قطعیت "صفر تقسیم بر صفر" را دریافت می کنیم:

.

احتمالاً قبلاً متوجه شده اید که از عبارت اصلی می توانید اولین حد شگفت انگیز ضرب در اولین حد شگفت انگیز را بدست آورید. برای این کار مربع های x در صورت و سینوس در مخرج را به ضرایب یکسان تجزیه می کنیم و برای اینکه ضرایب یکسانی برای x و سینوس بدست بیاوریم، x را بر 3 تقسیم می کنیم و بلافاصله ضرب می کنیم. توسط 3. دریافت می کنیم:

.

مثال 4.حد را پیدا کنید.

راه حل. یک بار دیگر عدم قطعیت "صفر تقسیم بر صفر" را دریافت می کنیم:

.

ما می توانیم نسبت دو حد قابل توجه اول را بدست آوریم. هم صورت و هم مخرج را بر x تقسیم می کنیم. سپس، به طوری که ضرایب سینوس و xes بر هم منطبق شوند، x بالایی را در 2 ضرب می کنیم و بلافاصله بر 2 تقسیم می کنیم، و x پایین را در 3 ضرب می کنیم و بلافاصله بر 3 تقسیم می کنیم.

مثال 5.حد را پیدا کنید.

راه حل. و دوباره عدم قطعیت "صفر تقسیم بر صفر":

از مثلثات به یاد داریم که مماس نسبت سینوس به کسینوس است و کسینوس صفر برابر با یک است. ما تحولات را انجام می دهیم و به دست می آوریم:

.

مثال 6.حد را پیدا کنید.

راه حل. تابع مثلثاتی در زیر علامت حد استفاده از اولین حد قابل توجه را پیشنهاد می کند. ما آن را به عنوان نسبت سینوس به کسینوس نشان می دهیم.

این ماشین حساب ریاضی آنلاین در صورت نیاز به شما کمک می کند حد یک تابع را محاسبه کنید. برنامه محدودیت های راه حلنه تنها پاسخ مشکل را می دهد، بلکه منجر می شود راه حل دقیق با توضیحات، یعنی روند محاسبه حد را نمایش می دهد.

این برنامه ممکن است برای دانش آموزان دبیرستانی مفید باشد مدارس متوسطهدر آماده سازی برای تست هاو امتحانات، هنگام آزمایش دانش قبل از آزمون دولتی واحد، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید آن را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ مشق شبدر ریاضیات یا جبر؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.

به این ترتیب شما می توانید آموزش و یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه حل مشکلات افزایش می یابد.

یک عبارت تابع را وارد کنید

محاسبه حد

مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید ثانیه...

اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

حد تابع در x->x 0

اجازه دهید تابع f(x) در مجموعه ای از X تعریف شود و اجازه دهید نقطه \(x_0 \در X\) یا \(x_0 \نه X\)

اجازه دهید از X دنباله ای از نقاط متفاوت از x 0 بگیریم:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
همگرا به x*. مقادیر تابع در نقاط این دنباله نیز یک دنباله عددی را تشکیل می دهند
f(x 1)، f(x 2)، f(x 3)، ...، f(x n)، ... (2)
و می توان بحث وجود حد آن را مطرح کرد.

تعریف. عدد A حد تابع f(x) در نقطه x = x 0 (یا در x -> x 0) نامیده می شود، اگر برای هر دنباله (1) از مقادیر آرگومان x با x 0 متفاوت باشد. با همگرا شدن به x 0، دنباله مربوطه (2) از تابع مقادیر به عدد A همگرا می شود.

$$ \lim_(x\to x_0)(f(x)) = یک $$

تابع f(x) فقط می تواند یک حد در نقطه x 0 داشته باشد. این نتیجه از این واقعیت است که دنباله
(f(xn)) فقط یک حد دارد.

تعریف دیگری از حد یک تابع وجود دارد.

تعریفعدد A حد تابع f(x) در نقطه x = x 0 نامیده می شود اگر برای هر عدد \(\varepsilon > 0\) یک عدد \(\delta > 0\) وجود داشته باشد به طوری که برای همه \( (x \در X, \; x \neq x_0 \)، با ارضای نابرابری \(|x-x_0| با استفاده از نمادهای منطقی، این تعریف را می توان به صورت نوشتاری
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \در X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| توجه داشته باشید که نابرابری‌های \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| تعریف اول بر اساس مفهوم حد است دنباله اعداد، به همین دلیل است که اغلب به آن تعریف "زبان توالی" می گویند. تعریف دوم، تعریف "در زبان \(\varepsilon - \delta \)" نامیده می شود.
این دو تعریف از حد یک تابع معادل هستند و بسته به اینکه کدام یک برای حل یک مشکل خاص راحت تر است، می توانید از هر یک از آنها استفاده کنید.

توجه داشته باشید که تعریف حد تابع "در زبان دنباله ها" را تعریف حد یک تابع از نظر هاینه و تعریف حد تابع "در زبان \(\varepsilon - نامیده می شود. \delta \)” به تعریف حد یک تابع مطابق کوشی نیز گفته می شود.

حد تابع در x->x 0 - و در x->x 0 +

در ادامه از مفاهیم حدود یک طرفه یک تابع استفاده خواهیم کرد که به صورت زیر تعریف می شوند.

تعریفعدد A حد راست (چپ) تابع f(x) در نقطه x 0 نامیده می شود اگر برای هر دنباله (1) که به x 0 همگرا می شود، که عناصر آن x n بزرگتر (کمتر از) x 0 هستند، دنباله مربوطه است. (2) به A همگرا می شود.

به طور نمادین اینگونه نوشته شده است:
$$ \lim_(x \ تا x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \راست) $$

ما می توانیم یک تعریف معادل از محدودیت های یک طرفه یک تابع "در زبان \(\varepsilon - \delta\)" ارائه دهیم:

تعریفیک عدد A حد راست (چپ) تابع f(x) در نقطه x 0 نامیده می شود اگر برای هر \(\varepsilon > 0\) یک \(\delta > 0\) وجود داشته باشد به طوری که برای همه x وجود داشته باشد. ارضای نابرابری ها \(x_0 ورودی های نمادین:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0