Таблицата на противопроизводните е пълна за студенти. Основни формули и методи на интегриране

Главни интеграли, които всеки ученик трябва да знае

Изброените интеграли са основата, основата на основите. Тези формули, разбира се, трябва да се запомнят. Когато изчислявате по-сложни интеграли, ще трябва да ги използвате постоянно.

Обърнете специално внимание на формули (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забравяйте да добавите произволна константа C към отговора, когато интегрирате!

Интеграл от константа

Интегриране на мощностна функция

Всъщност човек може да се ограничи до формули (5) и (7), но останалите интеграли от тази група са толкова често срещани, че си струва да им се обърне малко внимание.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Интеграли на експоненциалната функция и на хиперболичните функции

Разбира се, формула (8) (може би най-удобната за запомняне) може да се разглежда като специален случай на формула (9). Формули (10) и (11) за интегралите на хиперболичния синус и хиперболичния косинус се извличат лесно от формула (8), но е по-добре просто да запомните тези отношения.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Основни интеграли на тригонометрични функции

Грешка, която учениците често правят: бъркат знаците във формули (12) и (13). Спомняйки си, че производната на синуса е равна на косинуса, по някаква причина много хора вярват, че интегралът на функцията sinx е равен на cosx. Това не е вярно! Интегралът от синус е "минус косинус", но интегралът от cosx е "само синус":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Редуциране на интеграли до обратни тригонометрични функции

Формула (16), която води до аркутангенса, естествено е частен случай на формула (17) за a=1. По същия начин (18) е специален случай на (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

По-сложни интеграли

Тези формули също е желателно да запомните. Те също се използват доста често и изходът им е доста досаден.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Общи правила за интегриране

1) Интеграл от сумата на две функции е равно на суматасъответни интеграли: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Интегралът на разликата на две функции е равен на разликата на съответните интеграли: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Константата може да бъде извадена от интегралния знак: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Лесно е да се види, че свойство (26) е просто комбинация от свойства (25) и (27).

4) Интеграл на сложна функция, ако вътрешната функция е линейна: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Тук F(x) е първоизводната за функцията f(x). Имайте предвид, че тази формула работи само когато вътрешната функция е Ax + B.

Важно: няма универсална формула за интеграл от произведението на две функции, както и за интеграл от дроб:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (тридесет)

Това, разбира се, не означава, че фракция или продукт не могат да бъдат интегрирани. Просто всеки път, когато видите интеграл като (30), трябва да измислите начин да се "борите" с него. В някои случаи интегрирането по части ще ви помогне, някъде ще трябва да направите промяна на променлива, а понякога дори "училищните" формули на алгебра или тригонометрия могат да помогнат.

Прост пример за изчисляване на неопределен интеграл

Използваме формули (25) и (26) (интегралът на сбора или разликата на функциите е равен на сбора или разликата на съответните интеграли. Получаваме: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Спомнете си, че константата може да бъде извадена от интегралния знак (формула (27)). Изразът се преобразува във формата

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Сега нека просто използваме таблицата на основните интеграли. Ще трябва да приложим формули (3), (12), (8) и (1). Да се ​​интегрираме степенна функция, синус, експонента и константа 1. Не забравяйте да добавите произволна константа C в края:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

След елементарни трансформацииполучаваме окончателния отговор:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Тествайте се с диференциране: вземете производната на получената функция и се уверете, че тя е равна на оригиналния интегранд.

Обобщена таблица на интегралите

Изтеглете таблицата на интегралите (част II) от този линк

Ако учите в университет, ако имате затруднения с висшата математика (математически анализ, линейна алгебра, теория на вероятностите, статистика), ако имате нужда от услугите на квалифициран преподавател, отидете на страницата на преподавател по висша математика. Нека решим проблемите ви заедно!

Може също да се интересувате

Изброяваме интегралите на елементарни функции, които понякога се наричат ​​таблични:

Всяка от горните формули може да бъде доказана, като се вземе производната на дясната страна (в резултат на това ще се получи интеграндът).

Интеграционни методи

Нека разгледаме някои основни методи за интеграция. Те включват:

1. Метод на разлагане(директна интеграция).

Този метод се основава на директното прилагане на таблични интеграли, както и на прилагането на свойства 4 и 5 на неопределения интеграл (т.е. изваждане на постоянния фактор извън скобите и/или представяне на интегранта като сума от функции - разширяване на интегранта в членове).

Пример 1Например, за да намерите (dx/x 4), можете директно да използвате табличния интеграл за x n dx. Наистина, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Нека да разгледаме още няколко примера.

Пример 2За да намерим, използваме същия интеграл:

Пример 3За да намерите, трябва да вземете

Пример 4За да намерим, представяме интегранта във формата и използвайте табличния интеграл за експоненциална функция:

Помислете за използването на скоби на постоянния фактор.

Пример 5Да намерим например . Имайки предвид това, получаваме

Пример 6Да намерим. Тъй като , използваме табличния интеграл Вземете

Можете също да използвате скоби и таблични интеграли в следните два примера:

Пример 7

(ние използваме и );

Пример 8

(ние използваме и ).

Нека да разгледаме по-сложни примери, които използват сумарния интеграл.

Пример 9Например, да намерим
. За да приложим метода на разширение в числителя, ние използваме формулата на куба на сбора  и след това разделяме получения полином член по член на знаменателя.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Трябва да се отбележи, че в края на решението се записва една обща константа C (а не отделни при интегрирането на всеки член). В бъдеще се предлага също така да се пропуснат константите от интегрирането на отделните членове в процеса на решаване, стига изразът да съдържа поне един неопределен интеграл (ще запишем една константа в края на решението).

Пример 10Да намерим . За да разрешим този проблем, разлагаме числителя на множители (след това можем да намалим знаменателя).

Пример 11.Да намерим. Тук могат да се използват тригонометрични идентичности.

Понякога, за да разложите израз на термини, трябва да използвате по-сложни техники.

Пример 12.Да намерим . В интегранта избираме целочислената част от дробта . Тогава

Пример 13Да намерим

2. Метод на заместване на променливи (метод на заместване)

Методът се базира на следната формула: f(x)dx=f((t))`(t)dt, където x =(t) е функция, диференцируема на разглеждания интервал.

Доказателство. Нека намерим производните по отношение на променливата t отляво и десни частиформули.

Обърнете внимание, че от лявата страна има сложна функция, чийто междинен аргумент е x = (t). Следователно, за да го диференцираме по отношение на t, първо диференцираме интеграла по отношение на x и след това вземаме производната на междинния аргумент по отношение на t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Производна на дясната страна:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Тъй като тези производни са равни, по следствие от теоремата на Лагранж, лявата и дясната част на доказаната формула се различават с някаква константа. Тъй като самите неопределени интеграли са дефинирани до неопределен постоянен член, тази константа може да бъде пропусната в крайната нотация. Доказано.

Успешната промяна на променлива ни позволява да опростим първоначалния интеграл и в най-простите случаи да го намалим до табличен. При прилагането на този метод се разграничават методите на линейно и нелинейно заместване.

а) Метод на линейно заместваненека да разгледаме един пример.

Пример 1
. Тогава Lett= 1 – 2x

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Трябва да се отбележи, че новата променлива не трябва да се изписва изрично. В такива случаи се говори за преобразуване на функция под знака на диференциала или за въвеждане на константи и променливи под знака на диференциала, т.е. относно имплицитно заместване на променлива.

Пример 2Например, нека намерим cos(3x + 2)dx. По свойствата на диференциала dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), тогаваcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

И в двата разгледани примера за намиране на интегралите е използвано линейното заместване t=kx+b(k0).

В общия случай е вярна следната теорема.

Теорема за линейно заместване. Нека F(x) е някаква първоизводна за функцията f(x). Тогаваf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, където k и b са някои константи, k0.

Доказателство.

По дефиниция на интеграла f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Изваждаме постоянния фактор k за интегралния знак: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Сега можем да разделим лявата и дясната част на равенството на k и да получим твърдението, което трябва да се докаже с точност до записа на постоянен член.

Тази теорема гласи, че ако изразът (kx+b) се замести в дефиницията на интеграла f(x)dx= F(x) + C, тогава това ще доведе до появата на допълнителен фактор 1/k отпред на антипроизводното.

Използвайки доказаната теорема, решаваме следните примери.

Пример 3

Да намерим . Тук kx+b= 3 –x, т.е. k= -1,b= 3. Тогава

Пример 4

Да намерим. Тук kx+b= 4x+ 3, т.е. k= 4,b= 3. Тогава

Пример 5

Да намерим . Тук kx+b= -2x+ 7, т.е. k= -2,b= 7. Тогава

.

Пример 6Да намерим
. Тук kx+b= 2x+ 0, т.е. k= 2,b= 0.

.

Нека сравним получения резултат с пример 8, който беше решен чрез метода на разлагане. Решавайки същия проблем по друг метод, получихме отговора
. Нека сравним резултатите: По този начин тези изрази се различават един от друг с постоянен термин , т.е. получените отговори не си противоречат.

Пример 7Да намерим
. Избираме пълен квадрат в знаменателя.

В някои случаи промяната на променливата не редуцира интеграла директно до табличен, но може да опрости решението, като направи възможно прилагането на метода на разлагане на следващата стъпка.

Пример 8Например, да намерим . Заменете t=x+ 2, след това dt=d(x+ 2) =dx. Тогава

,

където C \u003d C 1 - 6 (при заместване вместо t на израза (x + 2), вместо първите два члена, получаваме ½x 2 -2x - 6).

Пример 9Да намерим
. Нека t= 2x+ 1, тогава dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Заменяме израза (2x + 1) вместо t, отваряме скобите и даваме подобни.

Имайте предвид, че в процеса на трансформации преминахме към друг постоянен член, защото групата на постоянните членове в процеса на трансформации може да бъде пропусната.

б) Метод на нелинейно заместваненека да разгледаме един пример.

Пример 1
. Нека t= -x 2 . Освен това, човек може да изрази x чрез t, след това да намери израз за dx и да приложи промяна на променлива в желания интеграл. Но в този случай е по-лесно да се направи друго. Намерете dt=d(-x 2) = -2xdx. Обърнете внимание, че изразът xdx е фактор на подинтегралната функция на желания интеграл. Изразяваме го от полученото равенство xdx= - ½dt. Тогава

Първопроизводна функция и неопределен интеграл

Факт 1. Интегрирането е обратното на диференцирането, а именно възстановяването на функция от известната производна на тази функция. Възстановената по този начин функция Е(х) е наречен примитивенза функция f(х).

Определение 1. Функция Е(х f(х) на някакъв интервал х, ако за всички стойности хот този интервал равенството Е "(х)=f(х), това е дадена функция f(х) е производната на антипроизводната функция Е(х). .

Например функцията Е(х) = грях х е първоизводната за функцията f(х) = cos х на цялата числова линия, тъй като за всяка стойност на x (грях х)" = (cos х) .

Определение 2. Неопределен интеграл на функция f(х) е колекцията от всички негови антипроизводни. Това използва нотацията

∫

f(х)dx

къде е табелата ∫ се нарича интегрален знак, функцията f(х) е интегрант и f(х)dx е интегрантът.

По този начин, ако Е(х) е някакво антипроизводно за f(х) , тогава

∫

f(х)dx = Е(х) +° С

където ° С - произволна константа (константа).

За да се разбере значението на множеството от първоизводни на функция като неопределен интеграл, е подходяща следната аналогия. Нека има врата (традиционна дървена врата). Функцията му е "да бъде врата". От какво е направена вратата? От дърво. Това означава, че наборът от антипроизводни на интегранта "да бъде врата", тоест неговият неопределен интеграл, е функцията "да бъде дърво + C", където C е константа, която в този контекст може да означава, за например дървесен вид. Точно както една врата е направена от дърво с някои инструменти, производната на функция е "направена" от антипроизводната функция с формула, която научихме чрез изучаване на производната .

Тогава таблицата на функциите на общите обекти и съответните им примитиви („да бъде врата“ – „да бъде дърво“, „да бъде лъжица“ – „да бъде метал“ и т.н.) е подобна на таблицата на основни неопределени интеграли, които ще бъдат дадени по-долу. Таблицата с неопределени интеграли изброява общи функции, като посочва антипроизводните, от които тези функции са "направени". Като част от задачите за намиране на неопределен интеграл са дадени такива интегранти, които могат да бъдат интегрирани директно без специални усилия, тоест според таблицата на неопределените интеграли. При по-сложни задачи интегралната функция трябва първо да се трансформира, за да могат да се използват таблични интеграли.

Факт 2. Възстановявайки функция като антипроизводна, трябва да вземем предвид произволна константа (константа) ° С, и за да не пишете списък от антипроизводни с различни константи от 1 до безкрайност, трябва да запишете набор от антипроизводни с произволна константа ° С, така: 5 х³+C. И така, произволна константа (константа) е включена в израза на антипроизводното, тъй като антипроизводното може да бъде функция, например 5 х³+4 или 5 х³+3 и при диференциране на 4 или 3 или друга константа изчезва.

Поставяме задачата за интегриране: за дадена функция f(х) намери такава функция Е(х), чиято производнае равно на f(х).

Пример 1Намерете множеството от първоизводни на функция

Решение. За тази функция антипроизводната е функцията

функция Е(х) се нарича първоизводна за функцията f(х), ако производната Е(х) е равно на f(х), или, което е същото нещо, диференциала Е(х) е равно на f(х) dx, т.е.

(2)

Следователно функцията е противопроизводна на функцията . Това обаче не е единственото антипроизводно на . Те също са функции

където ОТе произволна константа. Това може да се провери чрез диференциране.

По този начин, ако има една първоизводна за функция, тогава за нея има безкраен набор от първоизводни, които се различават с постоянно събираемо. Всички първоизводни за функция се записват в горната форма. Това следва от следната теорема.

Теорема (официално изложение на факт 2).Ако Е(х) е първоизводната за функцията f(х) на някакъв интервал х, след това всяка друга антипроизводна за f(х) на същия интервал могат да бъдат представени като Е(х) + ° С, където ОТе произволна константа.

В следващия пример вече се обръщаме към таблицата с интеграли, която ще бъде дадена в параграф 3, след свойствата на неопределения интеграл. Правим това, преди да се запознаем с цялата таблица, за да е ясна същността на горното. И след таблицата и свойствата ще ги използваме изцяло при интегрирането.

Пример 2Намерете набори от антипроизводни:

Решение. Намираме набори от антипроизводни функции, от които тези функции са "направени". Когато споменавате формули от таблицата на интегралите, засега просто приемете, че има такива формули и ще изучим изцяло таблицата на неопределените интеграли малко по-нататък.

1) Прилагайки формула (7) от таблицата на интегралите за н= 3, получаваме

2) Използвайки формула (10) от таблицата на интегралите за н= 1/3, имаме

3) Тъй като

тогава съгласно формула (7) при н= -1/4 намерете

Под знака за интеграл те не записват самата функция f, и неговото произведение от диференциала dx. Това се прави основно, за да се посочи коя променлива се търси антипроизводната. Например,

, ;

тук и в двата случая подинтегралната функция е равна на , но нейните неопределени интеграли в разглежданите случаи се оказват различни. В първия случай тази функция се разглежда като функция на променлива х, а във втория - като функция на z .

Процесът на намиране на неопределен интеграл на функция се нарича интегриране на тази функция.

Геометричният смисъл на неопределения интеграл

Нека се изисква да се намери крива y=F(x)и вече знаем, че тангенсът на наклона на допирателната във всяка от нейните точки е дадена функция f(x)абсцисата на тази точка.

Според геометричен смисълпроизводна, тангенс на наклона на допирателната в дадена точка на кривата y=F(x)равна на стойността на производната F"(x). И така, трябва да намерим такава функция F(x), за което F"(x)=f(x). Задължителна функция в задачата F(x)се извлича от f(x). Условието на задачата се изпълнява не от една крива, а от семейство криви. y=F(x)- една от тези криви и всяка друга крива може да бъде получена от нея чрез паралелно преместване по оста Ой.

Нека наречем графиката на първоизводната функция на f(x)интегрална крива. Ако F"(x)=f(x), след това графиката на функцията y=F(x)е интегрална крива.

Факт 3. Неопределеният интеграл е геометрично представен от семейството на всички интегрални криви като на снимката по-долу. Разстоянието на всяка крива от началото се определя от произволна константа (константа) на интегриране ° С.

Свойства на неопределения интеграл

Факт 4. Теорема 1. Производната на неопределен интеграл е равна на интегранта, а неговият диференциал е равен на интеграла.

Факт 5. Теорема 2. Неопределеният интеграл на диференциала на функция f(х) е равно на функцията f(х) до постоянен срок , т.е.

(3)

Теореми 1 и 2 показват, че диференцирането и интегрирането са взаимно обратни операции.

Факт 6. Теорема 3. Постоянният множител в интегранта може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл , т.е.

Четирите основни метода за интегриране са изброени по-долу.

1) Правило за интегриране на сума или разлика.
.
Тук и по-долу u, v, w са функции на интеграционната променлива x.

2) Изваждане на константата от интегралния знак.
Нека c е константа, независима от x. Тогава може да се извади от интегралния знак.

3) Метод на променлива замяна.
Разгледайте неопределения интеграл.
Ако е възможно да се избере такава функция φ (х)от x, така че
,
тогава, след промяна на променливата t = φ(x) , имаме
.

4) Формулата за интегриране по части.
,
където u и v са функции на интеграционната променлива.

Крайната цел на изчисляването на неопределени интеграли е чрез трансформации даденият интеграл да се доведе до най-простите интеграли, които се наричат ​​таблични интеграли. Табличните интеграли се изразяват чрез елементарни функции с помощта на добре известни формули.
Вижте таблица с интеграли >>>

Пример

Изчисляване на неопределен интеграл

Решение

Обърнете внимание, че интегралната функция е сборът и разликата на три члена:
, и .
Ние прилагаме метода 1 .

Освен това отбелязваме, че интегрантите на новите интеграли се умножават по константите 5, 4, и 2 , съответно. Ние прилагаме метода 2 .

В таблицата на интегралите намираме формулата
.
Настройка n = 2 , намираме първия интеграл.

Нека пренапишем втория интеграл във формата
.
Забелязваме това. Тогава

Нека използваме третия метод. Правим промяната на променливата t = φ (x) = log x.
.
В таблицата на интегралите намираме формулата

Тъй като променливата на интегриране може да бъде обозначена с всяка буква, тогава

Нека пренапишем третия интеграл във формата
.
Прилагаме формулата за интегриране по части.
Позволявам .
Тогава
;
;

;
;
.

Най-накрая имаме
.
Съберете термини с x 3 .
.

Отговор

Препратки:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, Lan, 2003.

В училище мнозина не успяват да решат интеграли или имат затруднения с тях. Тази статия ще ви помогне да разберете, тъй като ще намерите всичко в нея. таблици на интегралите.

Интеграле едно от основните изчисления и концепция в математически анализ. Появата му се случи с две цели:
Първа цел- възстановяване на функцията, като се използва нейната производна.
Втори гол- изчисляване на площта, разположена на разстояние от графиката до функцията f (x) на права линия, където a е по-голямо или равно на x е по-голямо или равно на b и абсцисната ос.

Тези цели ни водят до определени и неопределени интеграли. Връзката между тези интеграли е в търсенето на свойства и изчислението. Но всичко тече и всичко се променя с времето, бяха открити нови решения, бяха разкрити допълнения, като по този начин се доведоха определени и неопределени интеграли към други форми на интеграция.

Какво неопределен интеграл ти питаш. то противопроизводна функция F(x) на една променлива x в интервала a, по-голям от x, по-голям от b. се нарича всяка функция F(x), в дадения интервал за всяка нотация x, производната е равна на F(x). Ясно е, че F(x) е първоизводна за f(x) в интервала a, по-голям от x, по-голям от b. Следователно F1(x) = F(x) + C. C - е всяка константа и първоизводна за f(x) в дадения интервал. Това твърдение е обратимо, за функцията f(x) - 2 първообразните се различават само по константа. Въз основа на теоремата на интегралното смятане се оказва, че всеки непрекъснат в интервала a

Определен интеграл се разбира като граница в интегрални суми или в ситуация дадена функция f(x), дефинирана върху някаква права (а,b), имаща върху себе си първоизводната F, която означава разликата на нейните изрази в краищата на дадения ред F(b) - F(a).

За по-голяма яснота, изучаването на тази тема, предлагам да гледате видеоклипа. Той обяснява подробно и показва как да намерите интеграли.

Всяка таблица с интеграли е много полезна сама по себе си, тъй като помага при решаването на определен вид интеграл.

Всички възможни видове канцеларски материали и др. Можете да закупите чрез онлайн магазина v-kant.ru. Или просто следвайте връзката Канцеларски материали Самара (http://v-kant.ru) Качеството и цените ще ви изненадат приятно.