Матричното уравнение е уравнение на формата

А ⋅ х = б

х ⋅ А = б ,

където Аи б- известни матрици, хе неизвестната матрица, която трябва да се намери.

Как да решим матричното уравнение в първия случай? За да се реши матрично уравнение от формата А ⋅ х = б , и двете му части трябва да се умножат по обратното на Аматрица отляво:

По дефиниция на обратна матрица, произведението на обратна матрица и дадена оригинална матрица е равно на единичната матрица: , следователно

.

защото дтогава е матрицата на идентичността д ⋅ х = х . В резултат на това получаваме неизвестната матрица хе равно на произведението на матрицата, обратна на матрицата А, отляво, върху матрицата б :

Как да решим матричното уравнение във втория случай? Като се има предвид уравнението

х ⋅ А = б ,

тоест такъв, в който в произведението на неизвестна матрица хи известната матрица Аматрица Ае отдясно, тогава трябва да действате по подобен начин, но променяйки посоката на умножение по матрицата, обратна матрица А, и умножете матрицата бот дясната й страна:

,

Както можете да видите, много е важно от коя страна да се умножи по обратната матрица, тъй като . Обратно към Аматрица, умножена по матрица бот страната на която матрицата Аумножено по неизвестна матрица х. Тоест от страната, където продуктът с неизвестна матрица съдържа матрицата А .

Как да решим матричното уравнение в третия случай? Има случаи, когато неизвестната матрица е от лявата страна на уравнението хе в средата на работата три матрици. След това известната матрица от дясната страна на уравнението трябва да се умножи отляво по матрицата, обратна на тази, която беше отляво в произведението на три матрици, споменати по-горе, и отдясно по матрицата, обратна на матрицата, която се намираше вдясно. По този начин, чрез решаване на матричното уравнение

А ⋅ х ⋅ б = ° С ,

е

.

Решаване на матрични уравнения: Примери

Пример 1Решаване на матрично уравнение

.

А ⋅ х = б Аи неизвестна матрица хматрица А б АА .

А :

.

А :

.

А :

Сега имаме всичко, за да намерим матрицата, обратна на матрицата А :

.

Накрая намираме неизвестната матрица:

Пример 3Решаване на матрично уравнение

.

Решение. Това уравнение има формата х ⋅ А = б , тоест в произведението на матрицата Аи неизвестна матрица хматрица А бкъм матрицата, обратна на матрицата АА .

Първо намираме детерминантата на матрицата А :

.

Нека намерим алгебричните допълнения на матрицата А :

Нека направим матрица от алгебрични добавки:

.

Транспонирайки матрицата на алгебричните добавки, ние намираме матрицата, конюгирана с матрицата А :

А :

.

Намиране на неизвестната матрица:

Досега решавахме уравнения с матрици от втори ред, а сега е ред на матрици от трети ред.

Пример 4Решаване на матрично уравнение

.

Решение. Това е първият вид уравнение: А ⋅ х = б , тоест в произведението на матрицата Аи неизвестна матрица хматрица Ае отляво. Следователно решението трябва да се търси във формата , тоест неизвестната матрица е равна на произведението на матрицата бкъм матрицата, обратна на матрицата Аналяво. Намерете матрицата, обратна на матрицата А .

Първо намираме детерминантата на матрицата А :

Нека намерим алгебричните допълнения на матрицата А :

Нека направим матрица от алгебрични добавки:

Транспонирайки матрицата на алгебричните добавки, ние намираме матрицата, конюгирана с матрицата А :

.

Намиране на матрица, обратна на матрица А, и го правим лесно, тъй като детерминантата на матрицата Ае равно на едно:

.

Намиране на неизвестната матрица:

Пример 5Решаване на матрично уравнение

.

Решение. Това уравнение има формата х ⋅ А = б , тоест в произведението на матрицата Аи неизвестна матрица хматрица Ае отдясно. Следователно решението трябва да се търси във формата , тоест неизвестната матрица е равна на произведението на матрицата бкъм матрицата, обратна на матрицата Ана дясно. Намерете матрицата, обратна на матрицата А .

Първо намираме детерминантата на матрицата А :

Нека намерим алгебричните допълнения на матрицата А :

Нека направим матрица от алгебрични добавки:

.

Транспонирайки матрицата на алгебричните добавки, ние намираме матрицата, конюгирана с матрицата А .

Матричните детерминанти често се използват в изчисленията, в линейната алгебра и аналитичната геометрия. Извън академичния свят матричните детерминанти са постоянно изисквани от инженери и програмисти, особено тези, които работят с компютърна графика. Ако вече знаете как да намерите детерминантата на матрица 2x2, тогава единствените инструменти, от които се нуждаете, за да намерите детерминантата на матрица 3x3, са събиране, изваждане и умножение.

стъпки

Търсене на определител

Запишете матрица 3 x 3.Нека напишем матрица 3 x 3, която означаваме с M, и да намерим детерминантата й |M|. Следното е общата нотация за матрицата, която ще използваме, и матрицата за нашия пример:

• M = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) (\displaystyle M=(\begin(pmatrix)a_(11)&a_ (12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33)\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)1&5&3\ \2&4&7\\4&6&2\end(pmatrix)))

1. Изберете ред или колона от матрицата.Този ред (или колона) ще бъде опорната точка. Резултатът ще бъде същият, независимо кой ред или коя колона изберете. В този пример нека вземем първия ред. Малко по-късно ще намерите някои съвети как да изберете ред или колона, за да опростите изчисленията.

   • Нека изберем първия ред на матрица M в нашия пример. Оградете числата 1 5 3. Б обща формакръгче a 11 a 12 a 13 .

2. Зачертайте реда или колоната с първия елемент.Обърнете се към референтния ред (или референтна колона) и изберете първия елемент. Начертайте хоризонтална и вертикална линия през този елемент, като по този начин зачеркнете колоната и реда с този елемент. Трябва да останат четири числа. Ще разглеждаме тези елементи като нова матрица 2 x 2.

   • В нашия пример референтният ред ще бъде 1 5 3. Първият елемент е в пресечната точка на първата колона и първия ред. Задраскайте реда и колоната с този елемент, тоест първия термин и първата колона. Запишете останалите елементи като матрица 2 x 2:
   • 1 5 3
   • 2 4 7
   • 4 6 2

3. Намерете детерминантата на матрица 2 x 2.Запомнете, че матричната детерминанта (a b c d) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&b\\c&d\end(pmatrix)))се изчислява като ad-bc. Въз основа на това можете да изчислите детерминантата на получената матрица 2 x 2, която можете да означите като X, ако желаете. Умножете двете числа на матрицата X, свързани по диагонал отляво надясно (т.е. така: \) . След това извадете резултата от умножението на другите две числа по диагонал отдясно наляво (тоест така: /). Използвайте тази формула, за да изчислите детерминантата на матрицата, която току-що получихте.

   Умножете получения отговор по избрания елемент от матрицата M.Спомнете си кой елемент от референтния ред (или колона) използвахме, когато задраскахме други елементи от реда и колоната, за да получим нова матрица. Умножете този елемент по получения минор (детерминантата на матрицата 2x2, която обозначихме с X).

   • В нашия пример избрахме елемент a 11, който беше равен на 1. Умножете го по -34 (детерминантата на матрица 2x2) и получаваме 1*-34 = -34 .

4. Определете знака на резултата.След това трябва да умножите резултата по 1 или -1, за да получите алгебрично събиране(кофактор)избран елемент. Знакът на кофактора ще зависи от това къде е елементът в матрицата 3x3. Запомни това проста веригазнаци за познаване на знака на кофактора:

5. Повторете всички горни стъпки с втория елемент от референтния ред (или колона).Върнете се към оригиналната матрица 3x3 и линията, която оградихме в самото начало на изчисленията. Повторете всички действия с този елемент:

   • Зачертайте реда и колоната с този елемент.В нашия пример трябва да изберем елемент a 12 (равен на 5). Задраскайте първия ред (1 5 3) и втората колона (5 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)5\\4\\6\end(pmatrix)))матрици.
   • Запишете останалите елементи в матрица 2x2.В нашия пример матрицата ще изглежда така (2 7 4 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&7\\4&2\end(pmatrix)))
   • Намерете детерминантата на тази нова матрица 2x2.Използвайте формулата ad - bc по-горе. (2*2 - 7*4 = -24)
   • Умножете получената детерминанта по избрания елемент от матрицата 3x3. -24 * 5 = -120
   • Проверете дали трябва да умножите резултата по -1.Нека използваме формулата (-1) ij, за да определим знака на алгебричното допълнение. За елемента a 12, който сме избрали, в таблицата е посочен знакът “-” и формулата дава подобен резултат. Тоест трябва да променим знака: (-1)*(-120) = 120 .

6. Повторете с третия елемент.След това трябва да намерите още едно алгебрично допълнение. Изчислете го за последния елемент на осевия ред или осевата колона. Следното е Кратко описаниекак се изчислява алгебричното допълнение за 13 в нашия пример:

   • Задраскайте първия ред и третата колона, за да получите матрица (2 4 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&4\\4&6\end(pmatrix)))
   • Детерминантата му е 2*6 - 4*4 = -4.
   • Умножете резултата по елемент a 13: -4 * 3 = -12.
   • Елементът a 13 има знак + в горната таблица, така че отговорът ще бъде -12 .

7. Съберете резултатите.то последна стъпка. Трябва да добавите получените алгебрични допълнения на елементите на референтния ред (или референтната колона). Съберете ги заедно и ще получите стойността на детерминантата на матрица 3x3.

   • В нашия пример детерминантата е -34 + 120 + -12 = 74 .

   Как да направим нещата по-лесни

   1. Изберете като референтен ред (или колона) такъв, който има повече нули.Не забравяйте, че можете да изберете като референция всякаквиред или колона. Избирането на референтен ред или колона не влияе на резултата. Ако изберете реда с най-много нули, ще трябва да извършите по-малко изчисления, защото ще трябва да изчислите само алгебрични добавки за ненулеви елементи. Ето защо:

      • Да приемем, че сте избрали ред 2 с елементи a 21 , a 22 и a 23 . За да намерите детерминантата, ще трябва да намерите детерминантите на три различни матрици 2x2. Нека ги наречем A 21, A 22 и A 23.
      • Тоест, детерминантата на матрица 3x3 е 21 |A 21 | - a 22 | A 22 | + a 23 | A 23 |.
      • Ако и 22, и 23 са 0, тогава нашата формула става много по-къса от 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = a 21 | A 21 | - 0 + 0 = a 21 | A 21 |. Тоест, необходимо е да се изчисли само алгебричното допълнение на един елемент.

   2. Използвайте добавяне на редове, за да опростите матрицата.Ако вземете един ред и добавите друг към него, детерминантата на матрицата няма да се промени. Същото важи и за колоните. Можете да направите това няколко пъти и можете да умножите стойностите на низа по константа (преди добавяне), за да получите възможно най-много нули. Тези стъпки могат да ви спестят много време.

      • Например, имаме матрица с три реда: (9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix)))
      • За да се отървем от 9 на мястото на елемента a 11, можем да умножим втория ред по -3 и да добавим резултата към първия. Новият първи ред ще бъде + [-9 -3 0] = .
      • Тоест получаваме нова матрица (0 − 4 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix)))Опитайте се да направите същото с колони, за да получите нула вместо елемент a 12.

   3. Не забравяйте, че изчисляването на детерминанта на триъгълни матрици е много по-лесно.Детерминантата на триъгълните матрици се изчислява като произведението на елементите на главния диагонал, от 11 в горния ляв ъгъл до 33 в долния десен ъгъл. В този случай говорим за триъгълни матрици с размери 3x3. Триъгълните матрици могат да бъдат от следните видове, в зависимост от местоположението ненулевстойности:

      • Горна триъгълна матрица: Всички ненулеви елементи са върху и над главния диагонал. Всички елементи под главния диагонал са нула.
      • Долна триъгълна матрица: Всички ненулеви елементи са под и на главния диагонал.
      • Диагонална матрица: Всички ненулеви елементи са на главния диагонал. Това е частен случай на горните матрици.
      • Описаният метод се простира до квадратни матрици от всякакъв ранг. Например, ако го използвате за матрица 4x4, тогава след "изчистване" ще има матрици 3x3, за които детерминантата ще бъде изчислена по горния начин. Бъдете подготвени за факта, че ръчното изчисляване на детерминанта за матрици с такива размери е много трудоемка задача!
      • Ако всички елементи на ред или колона са 0, тогава детерминантата на матрицата също е 0.

Урок номер 1. Матрици. Операции с матрици.

1. Това, което се нарича матрица.

2. Кои две матрици се наричат ​​равни.

3. Каква матрица се нарича квадрат, диагонал, идентичност.

4. Как се извършват операциите събиране на матрици и умножение на матрици.

5. За кои матрици се въвежда операцията умножение и правилото за нейното изпълнение.

6. Кои трансформации над матрици са елементарни.

7. Каква матрица се нарича канонична.

Типични примери Действия върху матрици

Задача номер 1.Матрични данни

Намерете матрица D=
(1)

Решение.По дефиницията на произведението на матрица и число получаваме:

D=

Задача №2. Намерете произведението AB на две квадратни матрици:

Решение.И двете матрици са квадратни матрици от 2-ри ред. Такива матрици могат да бъдат умножени с помощта на формулата

Формула (2) има следното значение: да се получи матричният елемент C = AB, стоящ на пресечната точка линии и колона трябва да вземете сумата от продуктите на елементите ред на матрица A в съответните елементи та колона на матрица B.

В съответствие с формула (2) намираме:

Следователно продуктът C \u003d AB ще изглежда така:

Задача номер 3.Намерете произведението на матриците AB и BA:

Решение.Съгласно формула (2) елементите на матриците AB и BA ще изглеждат така:

Заключение:Сравнявайки матриците AB и BA и използвайки определението за равенство на матрицата, заключаваме, че ABBA, т.е. умножението на матрицата не се подчинява на комутативния закон.

Задача №4(устно). Матрични данни
Има ли работи (верните отговори са дадени в скоби): AB (да), BA (не), AC (да), CA (не), ABC (не), DIA (да), CBA (не).

Задача номер 5.Намерете произведението на AB и BA на две матрици от вида:

Решение.Редуцирани матрици на формата
следователно има продукти от AB и BA на тези матрици, които ще имат формата:

Задача номер 6. Намерете произведението на AB матрици:

Отговор:

Задачи за самостоятелно решаване:

Матрични данни

Намерете матрицата D=2A-4B+3C.

2. Намерете произведенията на квадратните матрици AB и BA:

Намерете произведение на матрици:

Намерете произведение на матрици:

7. Намерете произведението на матриците:

8. Намерете матрицата: B=6A 2 +8A if
.

9. Дадена е матрица
.Намерете всички матрици B, които комутират с матрица A.

10. Докажете, че ако A е диагонална матрица и всички елементи от нейния главен диагонал са различни един от друг, тогава всяка матрица, която комутира с A, също е диагонална.

Урок 2. Детерминанти на квадратни матрици и тяхното изчисляване. Обратна матрица.

За да усвоите практическия материал, трябва да отговорите на следните теоретични въпроси:

Какво представлява детерминантата от n-ти ред? Правила за изчисление за n=1,2,3.

Свойства на детерминантите.

Каква матрица се нарича неизродена?

Какво представлява матрицата на идентичността?

Коя матрица се нарича обратна на дадената?

Какво е необходимо и достатъчно условие за съществуването на обратна матрица?

Формулирайте правило за намиране на обратната матрица.

Ранг на матрицата. Намиране на правила.

Типични примери Изчисляване на детерминанти

Задача номер 1.Изчислителна детерминанта
:

а) по правилото на триъгълника;

б) с помощта на разлагане на първия ред;

в) преобразуване с помощта на свойствата на детерминантите.

в)

Задача №2. Намерете второстепенното и алгебричното допълнение на елемент a 23 детерминанти
и го изчислете чрез разширяване върху елементите на реда или колоната.

Решение.

М 23
; А 23

Задача номер 3.Изчислете детерминантата с помощта на разширение в 2 реда:

Отговор:

Задача номер 4.реши уравнението

Задача номер 5.Изчислете детерминанта от 4-ти ред чрез разширяване върху елементите на ред или колона:

1-ва година, висша математика, уч матриции основните действия върху тях. Тук систематизираме основните операции, които могат да се извършват с матрици. Как да започнете с матрици? Разбира се, от най-простите - определения, основни понятия и прости операции. Уверяваме ви, че матриците ще бъдат разбрани от всеки, който им отдели поне малко време!

Дефиниция на матрицата

Матрицае правоъгълна таблица от елементи. Е, ако с прости думи - таблица с числа.

Матриците обикновено се означават с главни букви. с латински букви. Например, матрица А , матрица б и така нататък. Матриците могат да бъдат с различни размери: правоъгълни, квадратни, има също редови матрици и колонни матрици, наречени вектори. Размерът на матрицата се определя от броя на редовете и колоните. Например, нека пишем правоъгълна матрицаразмер м на н , където м е броят на редовете и н е броят на колоните.

Елементи, за които i=j (a11, a22, .. ) образуват главния диагонал на матрицата и се наричат ​​диагонал.

Какво може да се направи с матрици? Добавяне/Изваждане, умножете по число, размножават помежду си, транспонирам. Сега за всички тези основни операции върху матрици по ред.

Операции събиране и изваждане на матрици

Веднага ви предупреждаваме, че можете да добавяте само матрици с еднакъв размер. Резултатът е матрица със същия размер. Добавянето (или изваждането) на матрици е лесно − просто добавете съответните им елементи . Да вземем пример. Нека извършим събирането на две матрици A и B с размер две по две.

Изваждането се извършва по аналогия, само с обратен знак.

Всяка матрица може да бъде умножена по произволно число. Да го направя, трябва да умножите по това число всеки от неговите елементи. Например, нека умножим матрицата A от първия пример по числото 5:

Операция умножение на матрица

Не всички матрици могат да се умножават една с друга. Например, имаме две матрици - A и B. Те могат да се умножават една по друга само ако броят на колоните на матрица A е равен на броя на редовете на матрица B. Освен това, всеки елемент от получената матрица в i-тия ред и j-та колона, ще бъде е равно на суматапродукти на съответните елементи в i-ти редпървия фактор и j-тата колона на втория. За да разберем този алгоритъм, нека напишем как се умножават две квадратни матрици:

И пример с реални числа. Нека умножим матриците:

Операция за транспониране на матрица

Транспонирането на матрицата е операция, при която съответните редове и колони се разменят. Например транспонираме матрицата A от първия пример:

Матрична детерминанта

Детерминантата, о детерминантата, е едно от основните понятия на линейната алгебра. След като хората измислиха линейни уравнения, а зад тях трябваше да измислим определител. В крайна сметка от вас зависи да се справите с всичко това, така че последният тласък!

Детерминантата е числена характеристика на квадратна матрица, която е необходима за решаване на много задачи.
За да изчислите детерминантата на най-простата квадратна матрица, трябва да изчислите разликата между продуктите на елементите на главния и второстепенния диагонал.

Детерминантата на матрица от първи ред, тоест състояща се от един елемент, е равна на този елемент.

Ами ако матрицата е три на три? Това е по-трудно, но може да се направи.

За такава матрица стойността на детерминантата е равна на сумата от продуктите на елементите на главния диагонал и продуктите на елементите, лежащи върху триъгълници с лице, успоредно на главния диагонал, от което произведението на елементите на вторичния диагонал и произведението на елементите, лежащи върху триъгълници с лице, успоредно на вторичния диагонал, се изваждат.

За щастие на практика рядко се налага да се изчисляват детерминантите на големи матрици.

Тук разгледахме основните операции върху матрици. Разбира се, в истинския животможе никога дори да не срещнете намек за матрична системауравнения, или обратното – да се сблъскваш с много по-сложни казуси, когато наистина трябва да си счупиш главата. Именно за такива случаи има професионален студентски сервиз. Поискайте помощ, получете качество и подробно решение, радват се на академичен успех и свободно време.