Да разгледаме функцията u(x, y, z) в точката М(x, y, z) и точката М 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Нека начертаем вектор през точките M и M 1 . Ъглите на наклона на този вектор спрямо посоката на координатните оси x, y, z ще бъдат означени съответно с a, b, g. Косинусите на тези ъгли се наричат насочващи косинусивектор .

Разстоянието между точките M и M 1 на вектора ще означим с DS.

където величините e 1 , e 2 , e 3 са безкрайно малки при .

От геометрични съображения е очевидно:

Така горните равенства могат да бъдат представени по следния начин:

Обърнете внимание, че s е скаларна стойност. Той само определя посоката на вектора.

От това уравнение следва следното определение:

Лимитът се нарича производна на функцията u(x, y, z) по посока на векторав точката с координати (x, y, z).

Нека обясним значението на горните равенства с пример.

Пример 9.1. Изчислете производната на функцията z \u003d x 2 + y 2 x в точка A (1, 2) по посока на вектора. В (3, 0).

Решение.На първо място е необходимо да се определят координатите на вектора.

Намираме частните производни на функцията z в общ изглед:

Стойностите на тези количества в точка А:

За да намерим насочващите косинуси на вектора, извършваме следните трансформации:

=

Произволен вектор, насочен по дължина даден вектор, т.е. определяне посоката на диференциация.

От тук получаваме стойностите на косинусите на посоката на вектора:

cosa = ; cosb=-

Накрая получаваме: - стойността на деривата дадена функцияпо посока на вектора.

Ако функция u = u(x, y, z) е дадена в някаква област D и някакъв вектор, чиито проекции върху координатните оси са равни на стойностите на функцията u в съответната точка

,

тогава този вектор се нарича градиентфункции u.

В този случай казваме, че в областта D е дадено поле от градиенти.

Теорема: Нека е дадена функцията u = u(x, y, z) и градиентното поле

.

Тогава производната по отношение на посоката на някакъв вектор е равна на проекцията на вектора gradu върху вектора .

Доказателство: Помислете за единичен вектор и някаква функция u = u(x, y, z) и намерете скаларното произведение на векторите и степени.

Изразът от дясната страна на това равенство е производната на функцията u по посока s.

Тези. . Ако ъгълът между векторите степении се обозначава с j, тогава скаларното произведение може да се запише като произведението на модулите на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях. Отчитайки факта, че векторът е единичен, т.е. неговият модул е ​​равен на единица, можем да напишем:

Изразът от дясната страна на това равенство е проекцията на вектора град укъм вектор.

Теоремата е доказана.

За да илюстрираме геометричния и физически смисъл на градиента, нека кажем, че градиентът е вектор, показващ посоката на най-бързата промяна на някакво скаларно поле u в дадена точка. Във физиката има такива понятия като температурен градиент, градиент на налягане и др. Тези. посоката на градиента е посоката на най-бързия растеж на функцията.

По отношение на геометричното представяне, градиентът е перпендикулярен на повърхността на нивото на функцията.

1) Случаят на функция на две променливи. Посоката се дава от вектор. Избираме единичен вектор, който определя посоката в равнината: . Този вектор образува ъгъл с положителната посока на оста OX. Производната по посока на функция на две променливи се нарича израз .

2) Случаят на функция на три променливи. Нека е даден единичен вектор, който образува ъгли съответно с осите OX, OY и OZ. Ако обозначим координатите на вектора като , тогава по формулата за косинус на ъгъла между два вектора и получаваме . По същия начин,. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, единичният вектор, сключващ ъгли с осите OX, OY и OZ, има координати . Производната по посока на функция на три променливи се нарича израз

.

Определение.Градиентфункции обикновено се наричат ​​вектор . Поради тази причина производната на функция в посоката, дадена от единичния вектор, може да се изчисли по формулата , където вдясно във формулата е скаларното произведение на градиента на функцията и единичния вектор на посоката.

Основното свойство на градиента: сред всички възможни посоки най-голямата и положителна стойност на производната в посоката приема посоката на градиента. Това свойство следва от определението точков продукт. Тъй като положителността на производната означава растеж на функцията, посоката на градиента в точката е ϶ᴛᴏ посоката на най-голямото нарастване на функцията.

Частични производни от по-високи разряди.

Всяка частна производна на функция от променливи сама по себе си също е функция на променливи. Частната производна на частната производна на функция на много променливи се нарича частична производна от втори редфункции . В този случай, ако променливите, по отношение на които производните се вземат първо от функцията и след това от функцията, не съвпадат, такава частична производна обикновено се нарича смесена. Частична производна от втори ред: . В случая, когато и са непрекъснати функции в околност на някаква точка, в тази точка.

По същия начин се въвеждат частни производни от всякакъв ред.

ПРИМЕР
Хостван на ref.rf
Намиране от функция. Ние имаме
.

За да изчислим същата производна с помощта на MAXIM, използваме командата разл.(log(x+3*y),x,2,y,1).

Диференциали от по-висок порядък.

По аналогия с производните се въвеждат диференциали от по-високи порядъци, тоест диференциали от диференциали. Да разгледаме функция на три променливи. Диференциалът на тази функция е изразът . Обърнете внимание, че производните, включени в последния израз, са функции на и диференциалите на променливите не зависят от. Поради тази причина, при условие на непрекъснатост на смесените производни, диференциалът от втори ред има формата

В последната формула сме използвали свойството за равенство на смесените производни. Лесно се вижда, че формулата за диференциал от втори ред е подобна на формулата за втора степен на сумата от три члена. Не е трудно да се изчислят диференциалите от втори и трети ред на функцията на две променливи: ,

Упражнение.намирам за функцията в точката (1,1).

Формула на Тейлър за функция на много променливи.

Както в случая с функции на една променлива, за функции на много формула за променливиТейлър дава връзка между нарастването на функция в точка и нейните диференциали в същата точка:

където .

По-специално, за функция на две променливи имаме:

Тук .

Производна по посока. - понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията "Посочена производна." 2017 г., 2018 г.

- Производна по посока. Градиент. Връзка между градиент и производна по посока.

Да разгледаме функцията u(x, y, z) в точката М(x, y, z) и точката М1(x + Dx, y + Dy, z + Dz). Нека начертаем вектор през точките M и M1. Ъглите на наклона на този вектор спрямо посоката на координатните оси x, y, z ще бъдат означени съответно с a, b, g. Косинусите на тези ъгли се наричат ​​насочващи косинуси на вектора. ... .

- Производна по посока

Да разгледаме функцията u(x, y, z) в точката М(x, y, z) и точката М1(x + Dx, y + Dy, z + Dz). Нека начертаем вектор през точките M и M1. Ъглите на наклона на този вектор спрямо посоката на координатните оси x, y, z ще бъдат означени съответно с a, b, g. Косинусите на тези ъгли се наричат ​​насочващи косинуси на вектора. ... .

Важна характеристика на скаларното поле U(M) е скоростта на изменение на функцията на полето в определената посока. Ако тази посока съвпада с посоката на една от координатните оси, тогава ще получим стойността на съответната частна производна. От векторната алгебра... .

- Производна по посока. Градиент.

Нека функцията U = F (X, Y, Z) е непрекъсната в някаква област D и има непрекъснати частни производни в тази област. Избираме точка M(X,Y,Z) в разглежданата област и от нея чертаем вектор S, чиито насочващи косинуси са cosA, cosB, cosG. Върху вектора S на разстояние DS от началото му... .

- Тема 11. Производна по посока. Градиент

Производната на функция в точка по направлението се нарича граница, където границата съществува. Ако функцията е диференцируема, тогава производната по посока се изчислява по формулата (1) където са насочващите косинуси на вектора. По-специално, ако е функция на две променливи,... .

- Производна по посока. Градиент

скаларно поле. Равни повърхности. ЕЛЕМЕНТИ НА МАТЕМАТИЧЕСКАТА ТЕОРИЯ НА ПОЛЕТО Основни етапи в развитието на математическата физика Математическата физика възниква като самостоятелна наука в края на XVIII - началото на XIXвек. Именно в това...

Производна по посока.

Пуснете в самолета XOYточка се намира М 0 (х 0 ,г 0 ). Задайте произволен ъгъл аи разгледайте множеството точки на една и съща равнина, чиито координати се определят от формулите

х = х 0 + T cos a, y = y 0 + Tгрях а. (1)

Тук T- параметър, който може да бъде равен на произволно число. От формули (1) следва:

(у-у 0)/(х-х 0) = tg а

Това означава, че всички точки М(x,y), чиито координати удовлетворяват равенства (1), лежат на правата, минаваща през точката М 0 (х 0 ,г 0) и съставляващи ъгъла ас ос ОХ. Всяка стойност Tсъответства на една точка М(x,y), лежаща на тази права, и съгласно формула (1) от разстоянието между точките М 0 (х 0 ,г 0) и М(x,y) се равнява T. Можем да разглеждаме тази права като цифрова ос с положителна посока, определена от нарастването на параметъра T. Нека означим положителната посока на тази ос със символа л.

л.Производна функция z = f(x,y) в точката М 0 (х 0 ,г 0)към л нарече номер

Производната на функция по отношение на посоката може да получи геометрична интерпретация. Ако през права линия лопределени от формули (1), начертайте вертикална равнина П(всъщност в триизмерното пространство уравнения (1) дефинират същата тази равнина), тогава тази равнина ще пресича повърхността на графиката на функцията z = f(x,y) заедно

някаква пространствена крива Л. Тангенса на ъгъла между хоризонталната равнина и допирателната към тази крива в точка М 0 (х 0 ,г 0) е равно на производната на функцията в тази точка на посоката л.

Във всеки курс математически анализдоказано е, че производната по посока, дефинирана с формула (2), може да бъде представена като

Обърнете внимание, че частната производна по отношение на хсъщо е производна по посока. Тази посока се определя от равенствата: cos а =един; грях а = 0. По същия начин, частната производна по отношение на ге производната по отношение на посоката, която може да бъде дадена от условията cos а = 0; грях а = 1.

Преди да анализираме формула (3), представяме някои понятия и факти от курса по векторна алгебра. Пуснете в равнината с координатната система XOYдадена е насочена отсечка или (което е същото) вектор и точката М 0 (х 0 ,г 0) е неговата начална точка и М 1 (х 1 ,г 1) е крайната точка. Определете координатата на вектора по оста ОХкато число равно на х 1 ‑ х 0 , а координатата по оста като число равно на г 1 ‑ г 0 . Дадена е подредена двойка произволни числа аи b, тогава тези числа могат да се разглеждат като координати на някакъв вектор в равнината XOY, а дължината на този вектор се определя от формулата

,

и тангентата на наклона жвектор към ос ОХсе определя от формулата tg g = b/a(обърнете внимание, че знаейки стойността на tg ж, както и знака на някое от числата аи b, можем да определим ъгъла ждо 2 стр).

Представянето на вектор като двойка от неговите координати ще бъде записано като . Това представяне има един забележителна характеристика: то не определя местоположението на вектора върху равнината XOY. За да го определите, заедно с координатите на вектора, трябва да посочите например координатите на началната му точка или, както може да се нарече, точката на приложение на вектора.

Ако са дадени два вектора: и , тогава скаларно произведениеот тези вектори се нарича числото ( йе ъгълът между векторите).

Във всеки курс по векторна алгебра се доказва, че скаларното произведение на векторите и е равно на сумата от продуктите на координатите на тези вектори със същото име:

= а 1 b 1 + а 2 b 2 . (4)

Нека в някаква област Жсамолет XOYе дадена функция z = f(x,y) , което има непрекъснати частни производни по отношение на двата аргумента.

Градиентили градиентен вектор функции f(x,y)в точка (x,y) О G е вектор, който се дава с формулата

.

функция fопределя за всяка точка от областта Жградиентният вектор, излизащ от тази точка.

Нека сега се върнем към формула (3). нея правилната странаможем да мислим за скаларно произведение на вектори. Първият е градиентният вектор на функцията z = f(x,y) в точката М 0 (х 0 ,г 0):

.

Вторият е вектор . Това е вектор с дължина 1 и ъгъл на наклон към оста Ox равен на а.

Сега можем да заключим, че производната на функцията z = f(x,y) в посоката, определена от ъгъла анаклон към оста ОХ, в точката М 0 (х 0 ,г 0) може да се изчисли по формулата

. (5)

Тук b- ъгълът между вектора и вектора , който определя посоката, по която се взема производната. Тук се отчита и че

скаларно поленарича част от пространството (или цялото пространство), всяка точка, която съответства на числовата стойност на някаква скаларна величина.

Примери

Тяло, което има определена стойност на температурата във всяка точка, е скаларно поле.

Нееднородно тяло, всяка точка от което отговаря на определена плътност - скаларно поле на плътност.

Във всички тези случаи скаларен U не зависи от времето, а зависи от позицията (координатите) на точката M в пространството, тоест е функция на три променливи, нарича се полева функция. И обратно, всяка функция на три променливи u=f(x, y, z)дефинира някакво скаларно поле.

Функцията на планарното скаларно поле зависи от две променливи z=f(x, y).

Помислете за скаларно поле u=f(x, y, z).

Извиква се вектор, чиито координати са частни производни на функция, изчислена в дадена точка градиентфункция в тази точка или градиента на скаларното поле.

Помислете за вектор с две точки върху него M 0 (x 0, y 0, z 0)и . Нека намерим нарастването на функцията в посока:

Производна по посокаследващото ограничение се извиква, ако съществува:

където са насочващите косинуси на вектора ; α, β, γ са ъглите, които векторът образува с координатните оси, ако .

За функция на две променливи тези формули приемат формата:

или ,

защото .

Има връзка между градиента и производната на посоката в една и съща точка.

Теорема.Скаларното произведение на градиента на функция и вектор с някаква посока е равно на производната на дадената функция по посока на този вектор:

.

Последица.Производната по посока има най-висока стойност, ако тази посока съвпада с посоката на градиента (обосновете се с дефиницията на точковия продукт и приемете, че ).

Изводи:

1. Градиентът е вектор, показващ посоката на най-голямото увеличение на функцията в дадена точка и имащ модул, числено равно на скоросттатова увеличение:

.

2. Производната по посока е скоростта на промяна на функцията по посока: ако , тогава функцията в тази посока нараства, ако , тогава функцията намалява.

3. Ако векторът съвпада с един от векторите, то производната по посока на този вектор съвпада със съответната частна производна.

Например, ако , тогава .

Пример

Дадена функция , точка A(1, 2)и вектор.

Намерете: 1) ;

Решение

1) Намерете частните производни на функцията и ги изчислете в точка А.

, .

Тогава .

2) Намерете насочващите косинуси на вектора:

Отговор: ; .

Литература [ 1,2]

Въпроси за самопроверка:

1. Какво се нарича функция на две променливи, нейната област на дефиниране?

2. Как се определят частните производни?

3. Какво е геометричен смисълчастни деривати?

4. Какво се нарича градиент на скаларно поле в дадена точка?

5. Какво се нарича производна по посока?

6. Формулирайте правилата за намиране на екстремуми на функция на две променливи.

Опция 1

Задача номер 1

а) ; б) ;

в) ; G) .

Задача номер 2Изследвайте функция за непрекъснатост: намерете точки на прекъсване на функцията и определете техния тип. Постройте схематична графика на функцията.

Номер на задачатададени комплексно число Z. Задължително: запишете числото Z в алгебрична и тригонометрична форма. .

Задача номер 4.

1) y \u003d 3x 5 - sinx, 2) y \u003d tgx, 3) y \u003d, 4) .

Задача номер 5.Изследвайте функцията с помощта на методите на диференциалното смятане и, като използвате резултатите от изследването, изградете графика. .

Задача номер 6.Дадена е функцията z=f(x,y). Проверете дали идентичността F≡0 е изпълнена?

Задача номер 7Дадена функция Z=x2+xy+y2, точка и вектор . Намирам:

1) gradzв точката НО;

2) производна в точка НОпо посока на вектора .

Вариант 2

Задача номер 1Изчислете границите на функциите, без да използвате правилото на L'Hopital.

а) ; б) ;

в) ; G) .

Задача номер 2Изследвайте функция за непрекъснатост: намерете точки на прекъсване на функцията и определете техния тип. Постройте схематична графика на функцията.

Задача номер 3Дадено е комплексно число Z. Задължително: запишете числото Z в алгебрична и тригонометрична форма.

Задача номер 4.Намерете производните от първи ред на тези функции.