Open Library - отворена библиотека с образователна информация. Прогнозиране Доверителен интервал на прогнозата

Един от най-разпространените методи за прогнозиране е екстраполацията, т.е. в разширяването в бъдещето на тенденцията, наблюдавана в миналото. Екстраполацията на тенденции в динамични серии се използва сравнително широко в практическите изследвания поради своята простота, възможността за прилагане на базата на сравнително малко количество информация и накрая, яснотата на направените допускания. Липса на информация, различна от отделно разглеждана динамичен сериалчесто се оказва решаващ аргумент при избора на този метод за прогнозиране.

При този подход към прогнозирането се предполага, че размерът на характеристиката, характеризираща явлението, се формира под въздействието на много фактори и не е възможно да се отдели тяхното влияние отделно. В тази връзка ходът на развитие не е свързан с някакви специфични фактори, а с течение на времето.

Екстраполацията се основава на следните предположения:

1) развитието на явлението може разумно да се характеризира с гладка (еволюционна) траектория - тенденция;

2) общите условия, които определят тенденцията на развитие в миналото, няма да претърпят значителни променив бъдеще.

По този начин екстраполацията дава описание на някакво общо бъдещо развитие на обекта на прогнозиране. Освен това, ако развитието в миналото е имало трайно спазматичен характер, то при достатъчно дълъг период на наблюдение скоковете се оказват „фиксирани“ в самия тренд и последният отново може да се използва при прогнозиране.

По-горе бяха формулирани основните условия, наличието на които позволява да се екстраполира тенденцията. В практиката на прогнозиране може да възникне въпросът какво да направите, ако условията за формиране на тенденция се променят забележимо и това трябва да се очаква в бъдеще? В този случай са възможни различни подходи за решаване на проблема. По-специално, в редица случаи тенденцията може да бъде „коригирана“ чрез съкращаване на периода на наблюдение, отрязване на членовете на серията, които са се образували при очевидно различни условия и изкривяват новата тенденция. Въпреки това, далеч не винаги е възможно да се направи ясна граница във времето, разделяща новите и старите условия за развитие на изследваното явление. В този случай е целесъобразно да се оценят параметрите, като се вземе предвид стареенето на данните. Такава техника е възможна, когато преходът към нови условия няма рязка граница и в същото време има основания да се счита влиянието на този преход за достатъчно ефективно. И накрая, възможно е да се коригират параметрите на уравненията, характеризиращи тенденцията. Например, промяната на постоянния член в полиномно уравнение измества тенденцията по оста y, без да променя формата на кривата. Тази техника е приложима, когато се предполага, че развитието ще следва миналата тенденция, но има причина да се премине към някакво базово ниво, което се различава от нивото, получено от уравнението на тренда.

Други параметри (в допълнение към постоянния термин) могат да бъдат коригирани. Корекции от този вид променят формата на тренда. Например, те променят ъгъла на наклона на права линия, разтягат или компресират крива и т.н. Такива изкривявания на тенденцията, разбира се, трябва да имат достатъчно основания.

Очевидно би било най-правилно да се разглежда екстраполацията не като краен резултат от прогнозата, а като някаква отправна точка, въз основа на която с участието на Допълнителна информация, които не се съдържат в самия времеви ред, разработване на прогноза. В същото време често неговият резултат, със или без подходяща корекция, също се счита за крайна прогноза.

Ако при анализиране на развитието на прогнозния обект има основания да се приемат двете основни предположения за екстраполация, споменати по-горе, тогава процесът на прогнозиране се състои в заместване на съответната стойност на изпреварващия период във формулата, описваща тенденцията.

Нека направим прогноза въз основа на екстраполация на най-добрата форма на тенденция (полином от 3-та степен) за третия период на първоначалния динамичен ред:

за износ,

За внос.

Съответно прогнозният обем на износа и вноса за 2006 г. (t=13) ще бъде:

Износ: милиарди щатски долара,

Внос: милиарди щатски долара.

Съответно прогнозният обем на износа и вноса за 2007 г. (t=14) ще бъде:

Износ: милиарди щатски долара,

Внос: милиарди щатски долара.

Екстраполацията дава възможност да се получи точкова стойност на прогнозата, която може да се счита за задоволителна само ако има функционална зависимост. Икономическите явления обаче се характеризират с корелация и променливите като правило са непрекъснати. Следователно посочването на точковите стойности на прогнозата, строго погледнато, е лишено от съдържание, тъй като „попадането“ на точката има нулева вероятност. От това следва, че прогнозата трябва да се даде като интервал от стойности, т.е. необходимо определение доверителен интервалпрогноза.

6.1. Прогнозни доверителни интервали

При определяне на прогностичните стойности на определено явление с помощта на екстраполация, най-интересното е, очевидно, не самата екстраполация - това е повече или по-малко механична техника, а определянето на доверителните интервали на прогнозата.

Доверителните интервали могат да бъдат определени по два начина: официално и неофициално. Що се отнася до последното, това е въпрос на експертна преценка, която се прави при качествено осмисляне на резултатите от прогнозата, съпоставянето им с други данни, с които експертът разполага. В същото време, разбира се, експертът трябва да вземе предвид не само степента на колебание на действителните нива около тенденцията в миналото, но и възможността за деформация на тенденцията в бъдеще (съответно, различни опциипрогноза).

Официалният доверителен интервал отчита само несигурността, свързана с ограничения брой наблюдения и съответната неточност на установените оценки на параметрите на кривата. Основният въпрос - до каква степен откритата тенденция ще продължи в бъдеще - естествено не може да бъде решен с помощта на такива доверителни интервали. Това е въпрос на съдържание икономически анализи партньорска проверка. Основният акцент в това учебно ръководствоНека се съсредоточим върху изчисляването на официалните доверителни интервали въз основа на Статистически анализ. Имайте предвид, че официалните доверителни интервали не могат да бъдат получени във всички случаи. По-специално, за сложни криви, които се различават от полиноми, ако те могат да бъдат определени, доверителните интервали са доста произволни.Както бе споменато по-горе, точно съвпадение между действителните данни и прогнозните точкови оценкиполучен чрез екстраполиране на кривите на тренда е малко вероятно събитие. Съответната грешка има следните източници:

1) изборът на формата на кривата, характеризираща тенденцията, съдържа елемент на субективност. Във всеки случай често няма твърда основа да се твърди, че избраната форма на кривата е единствената възможна, още по-малко най-добрата за екстраполация при дадени специфични условия;

2) оценката на параметрите на кривата (с други думи, оценката на тенденцията) се основава на ограничен набор от наблюдения, всяко от които съдържа случаен компонент. Поради това параметрите на кривата и следователно нейното положение в пространството се характеризират с известна несигурност;

3) тенденцията характеризира средното ниво на серията във всеки момент от време. Индивидуалните наблюдения са имали тенденция да се отклоняват от него в миналото. Естествено е да се очаква, че такива отклонения ще има и в бъдеще.

Напълно възможно е формата на кривата, описваща тенденцията, да е избрана неправилно или когато тенденцията на развитие в бъдеще може да се промени значително и да не следва вида на кривата, който е приет по време на подравняването. В последния случай основното предположение за екстраполация не съответства на действителното състояние на нещата. Намерената крива само изравнява динамичния ред и характеризира тенденцията само в рамките на периода, обхванат от наблюдението. Екстраполирането на такава тенденция неизбежно ще доведе до грешен резултат, а грешка от този вид не може да бъде оценена предварително. В тази връзка можем само да отбележим, че очевидно трябва да се очаква увеличаване на такава грешка (или вероятността за нейното възникване) с увеличаване на периода на изпреварване.

Грешката, свързана с втория и третия източник, може да бъде отразена под формата на доверителен интервал на прогнозата, когато се правят определени допускания за свойствата на серията. С помощта на такъв интервал точковата прогноза се преобразува в интервална.

Интуитивно е ясно, че изчисляването на доверителния интервал на прогнозата трябва да се основава на метъра на колебание на редица наблюдавани стойности на характеристиката. Колкото по-висока е тази флуктуация, толкова по-малко сигурна е позицията на тренда в пространството „ниво – време“ и толкова по-широк трябва да бъде интервалът за прогнозни опции със същата степен на увереност. Традиционно като такава мярка за променливост се използва средното квадратно (стандартно) отклонение на действителните наблюдения от изчислените, получени чрез изравняване на динамичните серии. AT общ изгледсредно аритметично стандартно отклонениеот тенденцията може да се изрази като

където ¾, съответно действителните и изчислените стойности на нивото на серията;

f¾брой степени на свобода, f = n - t,където t ¾брой оценени параметри; n¾брой наблюдения. Така че, ако подравняването се извършва в права линия, тогава f = n - 2,за парабола от втора степен f = n- 3 и т.н.

Сумата от квадратните отклонения от тенденцията (нека вземем линейна тенденция за простота) очевидно може да се разложи, както следва:

Този израз може да бъде опростен. Да приемем, че началото на времето е в средата на реда, тогава S t = 0. Настроики аи б,както видяхме по-рано, в този случай са равни:

От тук, след опростяване, получаваме:

Разликата на първите два члена от дясната страна на това равенство е равна на сумата от квадратите на отклоненията от средното аритметично, т.е. По този начин,

Изразът показва, че сумата от квадратите на отклоненията от линейния тренд е по-малка от тази от средната аритметична стойност. Този израз може да се използва в случаите, когато характеристиката на колебанията около дадена тенденция се определя преди определянето на самата тенденция.

Сумата от квадратите на отклоненията от линиите на тенденцията, т.е. и стандартното отклонение от тенденцията Syса основата за определяне на средната квадратична грешка на отделните параметри на уравнението на тренда и техните доверителни интервали, както и на грешките и доверителните интервали на тренда и прогнозата.

Преди да се пристъпи към определяне на доверителния интервал на прогнозата, е необходимо да се направи резервация за известна условност на изчислението, разгледано по-долу. Това, което следва, е до известна степен произволно разширение на резултатите, намерени за регресия на примерни мерки към анализ на времеви редове. Факт е, че предположението на регресионния анализ за нормалното разпределение на отклоненията около линията на регресия по същество не може да бъде безусловно потвърдено при анализа на времеви редове.

Параметрите, получени в хода на статистическата оценка, не са лишени от грешка, свързана с факта, че количеството информация, въз основа на която е направена оценката, е ограничено и в известен смисъл тази информация може да се разглежда като извадка. Във всеки случай изместването на периода на наблюдение само с една стъпка или добавянето или елиминирането на членове на серията поради факта, че всеки член на серията съдържа случаен компонент, води до промяна в числените оценки на параметрите. Следователно изчислените стойности носят тежестта на несигурността, свързана с грешки в стойността на параметрите.

Най-общо доверителният интервал за тенденция се определя като:

където ¾ е средната стойност квадратична грешкатенденция;

¾ изчислена стойност y t;

¾ значение T- Статистика на студентите.

В практиката има случаи, когато няколко типа криви могат да бъдат приложени повече или по-малко разумно за екстраполация. В този случай разсъжденията понякога се свеждат до следното. Тъй като всяка от кривите характеризира една от алтернативните тенденции, очевидно е, че пространството между екстраполираните тенденции е определена „естествена област на доверие“ за прогнозираната стойност. Човек не може да се съгласи с подобно твърдение. На първо място, защото всяка от възможните трендови линии отговаря на някаква предварително приета хипотеза за развитие. Пространството между тенденциите не е свързано с никоя от тях - през него могат да бъдат начертани неограничен брой тенденции. Трябва също да се добави, че доверителният интервал е свързан с определено ниво на вероятност за излизане извън неговите граници. Пространството между тенденциите не е свързано с никакво ниво на вероятност, а зависи от избора на типове криви. Освен това, с достатъчно дълго време за изпълнение, това пространство, като правило, става толкова значимо, че такъв „доверителен интервал“ губи всякакъв смисъл.

В STATISTICA, при изчисляване на доверителните интервали на прогнозата, стойността на стандартното отклонение Syможе да се определи с помощта на таблицата дисперсионен анализ. Стойността, изчислена в клетката Residual Mean Squares, съответства на основния израз във формулата за Sy, това е остатъчна дисперсия.Остава само да извлечем квадратния корен от него. Трябва обаче да се помни, че използвахме линеаризация и съответно този показател също трябва да бъде преизчислен.

При определяне на прогнозните стойности на конкретно явление с помощта на екстраполация, най-големият интерес, очевидно, не е самата екстраполация - това е повече или по-малко механична техника, а определянето на доверителните интервали на прогнозата.

Доверителните интервали могат да бъдат определени по два начина: официално и неофициално. Що се отнася до последното, това е въпрос на експертна преценка, която се прави при качествено осмисляне на резултатите от прогнозата, съпоставянето им с други данни, с които експертът разполага. В този случай, разбира се, експертът трябва да вземе предвид не само степента на колебание на действителните нива около тенденцията в миналото, но и възможността за деформация на тенденцията в бъдеще (съответно могат да бъдат получени различни прогнозни опции).

Фокусът на този урок ще бъде върху оценката на официалните доверителни интервали въз основа на статистически анализ.

Съответната грешка има следните източници:

Интуитивно е ясно, че изчисляването на доверителния интервал на прогнозата трябва да се основава на метъра на колебание на редица наблюдавани стойности на характеристиката. Колкото по-висока е тази флуктуация, толкова по-малко сигурна е позицията на тренда в пространството „ниво – време“ и толкова по-широк трябва да бъде интервалът за прогнозни опции със същата степен на увереност. Традиционно като такъв осцилатор се използва средното квадратично (стандартно) отклонение (3.11).

Най-общо доверителният интервал за тенденция се определя като:

, (4.1)

където е средната квадратична грешка на тренда; е изчислената стойност на нивото на серията; -смисъл T- Статистика на студентите.

В STATISTICA, при изчисляване на доверителните интервали на прогнозата, стойността на стандартното отклонение Syможе да се определи с помощта на таблицата за анализ на дисперсията (виж фиг. 3.17). Изчислява се на клетка Остатъчни средни квадрати стойност съответства на радикалния израз във формула (3.11) за Sy, тоест остатъчната дисперсия.Остава само да извлечем корен квадратен от него ( хиляди души).

Един от най-разпространените методи за прогнозиране е екстраполацията, т.е. в прогнозирането на бъдещето въз основа на минали данни.

Екстраполацията се основава на следните предположения:

§ развитието на явлението може обосновано да се характеризира с плавна траектория – тенденция;

§ общите условия, които определят тенденцията на развитие в миналото, няма да претърпят значителни промени в бъдеще.

Нека направим прогноза въз основа на екстраполация на най-добрата форма на тенденция (линейна) за износа за периода 2001-2007 г.:

Спомнете си, че текущата променлива има 7 нива на реда, означени естествени числа. Съответно прогнозата за динамиката на износа през 2008 г. (t=8) ще бъде:

(милиарда долара)

Нека направим прогноза въз основа на екстраполация на най-добрата форма на тенденция (линейна) за вноса за периода 2001-2007 г.:

Спомнете си, че текущата променлива има 7 нива на серията, обозначени с естествени числа. Съответно прогнозата за динамиката на вноса през 2008 г. (t=8) ще бъде:

(милиарда долара)

Екстраполацията дава възможност да се получи точкова стойност на прогнозата, която може да се счита за задоволителна само ако има функционална зависимост. Икономическите явления обаче се характеризират с корелация и променливите като правило са непрекъснати. Следователно посочването на точковите стойности на прогнозата, строго погледнато, е лишено от съдържание. От това следва, че прогнозата трябва да се даде като интервал от стойности, т.е. необходимо е да се определи доверителният интервал на прогнозата.

Прогнозни доверителни интервали

Когато правите прогноза, грешката има следните източници:

§ Изборът на формата на кривата, характеризираща тенденцията, съдържа елемент на субективност. Във всеки случай често няма твърда основа да се твърди, че избраната форма на кривата е единствената възможна, още по-малко най-добрата за екстраполация при дадени специфични условия;

§ оценката на параметрите на кривата (с други думи, оценката на тенденцията) се основава на ограничен набор от наблюдения, всяко от които съдържа случаен компонент. Поради това параметрите на кривата и следователно нейното положение в пространството се характеризират с известна несигурност;

§ Трендът характеризира средното ниво на серията във всеки момент от време. Индивидуалните наблюдения са имали тенденция да се отклоняват от него в миналото.

Естествено е да се очаква, че такива отклонения ще има и в бъдеще.

Във всеки случай изместването на периода на наблюдение само с една стъпка или добавянето или елиминирането на членове на серията поради факта, че всеки член на серията съдържа случаен компонент, води до промяна в числените оценки на параметрите. Следователно изчислените стойности носят тежестта на несигурността, свързана с грешки в стойността на параметрите.

Най-общо доверителният интервал за тенденция се определя като:

където е средната квадратична грешка на тренда;

Прогнозна стойност y t ;

t-статистическа стойност на Student.

В STATISTICA, когато се изчисляват доверителните интервали на прогнозата, стойността на стандартното отклонение S y може да се определи с помощта на таблицата за анализ на дисперсията. Стойността, изчислена в клетката Residual Mean Squares, съответства на радикалния израз във формулата за S y , тоест остатъчната дисперсия. Остава само да се извади корен квадратен от него.

За износ (виж таблица 77), за импорт (виж таблица 80).

И така, за износ S y = 18,11, за внос S y = 25,45.

Стойността на коефициента на доверие t се намира съгласно таблицата на Стюдънт, като се вземе предвид нивото на доверие от 95%. При използване на линейни и мощностни функцииброят на степените на свобода е 4, съответно стойността на критерия е 2,776.

По този начин доверителният интервал на прогнозата за износа за 2008 г. се определя като:

Тази прогноза може да се тълкува по следния начин: размерът на японския износ през 2008 г. с вероятност от 95% ще бъде от 704,542 милиарда долара до 805,089 милиарда долара.

Доверителният интервал на прогнозата за вноса за 2008 г. се определя като:

Тази прогноза може да се тълкува по следния начин: размерът на вноса на Япония през 2008 г. с вероятност от 95% ще бъде от 596,072 милиарда долара до 737,371 милиарда долара.

Графично представяне на резултатите от прогнозата

Последният етап от прогнозирането е строителството графични изображения, които дават представа за точността на прогнозата и ясно демонстрират обхвата на доверителните интервали.

Таблица 89. Прогнозни данни за експортиране

Ориз. 63.

Таблица 90. Прогнозни данни за експорт

Ориз. 64.

За съжаление, в нашия случай реалните стойности надхвърлиха доверителния интервал на прогнозата, което още веднъж подчертава трудността при избора на модел на тенденция.

Екстраполация въз основа на среден темп на растеж и среден абсолютен растеж

В този параграф разглеждаме прогнозирането въз основа на средния темп на растеж. Стойностите на бъдещите периоди се получават, ръководени от формулата:

където - средно темпорастеж; - нивото, взето като база за екстраполация.

Средният темп на растеж се определя като:

където y n - данни за Миналата годинапериод, а y 1 - данни за първата година от разглеждания период.

Нека изчислим за износ:

Доверителен интервал:

Таблица 91. Изчисления по формула, среден темп на растеж на японския износ

Идеята за икономическо прогнозиране се основава на предположението, че моделът на развитие, действал в миналото (в рамките на поредица от икономическа динамика), ще продължи в прогнозираното бъдеще. В този смисъл прогнозата се базира на екстраполация.Екстраполация към бъдещето се нарича перспектива,и в миналото ретроспекция.

Екстраполационното прогнозиране се основава на следните предположения:

а) развитието на изследваното явление като цяло се описва с гладка крива;
б) общата тенденция в развитието на явлението в миналото и настоящето не показва сериозни промени в бъдещето;
в) отчитането на случайността позволява да се оцени вероятността от отклонение от нормалното развитие.

Надеждността и точността на прогнозата зависи от това колко близки до реалността се оказват тези предположения и колко точно е било възможно да се характеризира закономерността, разкрита в миналото.

Въз основа на изградения модел се изчисляват точкови и интервални прогнози.

Точкова прогноза за времевите модели се получава чрез заместване в модела (уравнение на тренда) на съответната стойност на фактора време, т.е. t= n + 1, n+ 2,..., П + да се,където да се -период на преференция.

Точно съвпадение между действителните данни и прогнозните точкови оценки, получени чрез екстраполация, е малко вероятно. Появата на съответните отклонения се обяснява със следните причини:

1) кривата, избрана за прогнозиране, не е единствената възможна за описание на тенденцията. Можете да изберете крива, която дава по-точни резултати;
2) прогнозата се извършва на базата на ограничен брой изходни данни. В допълнение, всяко начално ниво също има случаен компонент; следователно кривата, по която се извършва екстраполацията, също ще съдържа случаен компонент;
3) трендът характеризира движението на средното ниво на динамичния ред, така че отделните наблюдения могат да се отклоняват от него. Ако такива отклонения са били наблюдавани в миналото, те ще бъдат наблюдавани и в бъдеще.

Интервалните прогнози се основават на точкови прогнози. Доверителен интервалсе нарича такъв интервал, по отношение на който е възможно да се твърди с предварително избрана вероятност, че съдържа стойността на прогнозирания индикатор. Ширината на интервала зависи от качеството на модела (т.е. колко близо е до действителните данни), броя на наблюденията, прогнозния хоризонт, нивото на вероятност, избрано от потребителя, и други фактори.

При конструирането на доверителния интервал на прогнозата се изчислява стойността U(k),който за линейния модел има формата

където о, д-стандартна грешка (стандартно отклонение от тренд линията); и т.н.брой степени на свобода (за линеен модел при = a Q + a ( tброй параметри Р = 2).

Коефициент / е таблична стойност на ^-статистиката на Стюдънт при дадено ниво на значимост и брой наблюдения. (Забележка: Таблица стойност Tможе да се получи с помощта на Функции на Excel steudrasp.)

За други модели стойността кв)се изчислява по подобен начин, но има по-тромава форма. Както се вижда от формула (3.5.21), стойността U(k)зависи пряко от точността на модела коефициент на доверие / , степента на задълбочаване в бъдещето от да секрачки напред, т.е. в момента t=p + k,и обратно пропорционална на обема на наблюденията.

Доверителен интервал на прогнозатаще има следните граници:

Ако изграденият модел е адекватен, тогава с вероятността, избрана от потребителя, може да се твърди, че при запазване на установените модели на развитие предвидената стойност попада в интервала, образуван от горната и долната граница.

След получаване на прогнозни оценки е необходимо да се уверите, че те са разумни и съвместими с оценки, получени по различен начин.

Пример 3.5.4. Финансовият директор на Веста АД разглежда възможността за месечно финансиране на инвестиционен проект със следните обеми на нетни плащания, хиляди рубли:

1. Определете линейния модел на зависимостта на обема на плащанията от условията (времето).
2. Оценете качеството (т.е. адекватност и точност) на изградения модел въз основа на изследването:
- а) случайност на остатъчния компонент по критерия "пикове";
- б) независимост на нивата на редица остатъци според ^w-критерия (използвайте нивата като критични стойности d x= 1,08 и d2= 1.36) и според първия автокорелационен коефициент, чието критично ниво е r(1) = 0.36;
- в) нормалността на разпределението на остатъчния компонент по t-критерия с критични нива 2,7-3,7;
- г) относителна грешка средна по модул.
3. Определете размера на плащанията за следващите три месеца (изградете прогнози за точки и интервали три стъпки напред (при ниво на значимост 0,1), покажете действителните данни, резултатите от изчисленията и прогнозите на диаграмата).

Оценете осъществимостта на финансирането на този проект, ако през следващото тримесечие компанията може да отдели само 120 хиляди рубли за тези цели.

1. Изграждане на модел
1) Оценка на параметрите на модела с помощта на добавка Анализ на Excelданни. Нека изградим линеен регресионен модел Yот /. За да извършите регресионен анализ, изпълнете следните стъпки:
- ? Изберете командата Инструменти => Анализ на данни.
- ? В диалоговия прозорец за анализ на данни изберете инструмента за регресия и след това щракнете върху OK.
- ? В диалоговия прозорец Регресия, в полето Интервал на въвеждане Y, въведете адреса на един диапазон от клетки, който представлява зависимата променлива. В полето Интервал на въвеждане хвъведете адреса на диапазона, който съдържа стойностите на независимата променлива T.Ако заглавията на колоните също са избрани, поставете отметка в квадратчето Етикети в първия ред.
- ? Изберете опциите за изход (в този пример Нова работна книга).
- ? Изберете квадратчето за отметка в полето График.
- ? В полето Remains поставете отметка в необходимите квадратчета и щракнете върху OK.

Резултатът от регресионния анализ ще бъде получен във формата, показана на фиг. 3.5.11 и 3.5.12.

Ориз. 3.5.11.

Втората колона на фиг. 3.5.11 съдържа коефициентите на регресионното уравнение a 0 , a v

Кривата на нарастване на зависимостта на обема на плащанията от условията (времето) има формата

2) Оценка на параметрите на модела "ръчно". В табл. 3.5.8 показва междинни изчисления на параметрите на линейния модел по формули (3.5.16). В резултат на изчисленията получаваме същите стойности:

Ориз. 3.5.12.

Таблица 3.5.8

y t	(t-T)(y,-y)	y, \u003d a 0 + a x t

Понякога е полезно да проверите въведените формули, за да проверите изчисленията. За да направите това, изберете командата Услуга => Опциии поставете отметка в квадратчето в прозореца на формулата (фиг. 3.5.13).

Ориз. 3.5.13.

След това в листа на Excel изчислените стойности ще бъдат заменени от съответните формули и функции (Таблица 3.5.9).

2. Оценка на качеството на модела
1) За оценка на адекватносттаконструирани модели се изследват свойствата на остатъчния компонент, т.е. несъответствия между нивата, изчислени от модела, и действителните наблюдения (Таблица 3.5.10).

При тест за независимост(липса на автокорелация) липсата на систематичен компонент в редица остатъци се определя, например, като се използва ^w-тест на Durbin-Watson съгласно формулата (3.4.8):


		0t-T)(y t-y)	9t= ао + a x t
			=$C$18 + $C$16*A2
=(AZ - $14)	=(VZ - $V$14)		=$C$18 + $C$16*AZ
			=$C$18 + $C$16*A4
			=$C$18 + $C$16*A5
			=$C$18 + $C$16*A6
			=$C$18 + $C$16*A7
			=$C$18 + $C$16*A8
			=$C$18 + $C$16*A9
=(A10 - $14)	=(B10 - $B$14)		=$C$18 + $C$16*A10
			=$C$18 + $C$16*A11
=(A12 - $14)	=(B12 - $B$14)		=$C$18 + $C$16*A12
			=$C$18 + $C$16*A13
	СРЕДНО(E2:E13)

Номер наблюдения	точки обръщане	д]	(e G e, -) 2

защото dw" = 1,88 попада в интервала от d2 до 2, тогава според този критерий можем да заключим, че свойството за независимост е изпълнено (виж таблица 3.4.1). Това означава, че няма автокорелация в серията от динамика, следователно моделът е адекватен по този критерий.

Проверка на случайността на нивата на поредица от остатъцище извършим въз основа на критерия за повратните точки [вж. формула (3.5.18)]. Брой повратни точки Р при П = 12 е равно на 5 (фиг. 3.5.14):

Неравенството е изпълнено (5 > 4). Следователно свойството на случайност е изпълнено. Моделът отговаря на този критерий.

Съпоставяне на редица остатъци нормален законразпространениение определяме с помощта на критерия:

където е максималното ниво на поредица от остатъци e max = 4,962, минималното ниво на серия от остатъци em = -5,283 (виж таблица 3.5.10) и стандартното отклонение

Ориз. 3.5.14.

Получаваме

Изчислената стойност попада в интервала (2,7-3,7), следователно свойството за нормалност на разпределението е изпълнено. Моделът отговаря на този критерий.

Проверка за равенство на нула математическо очакваненива на редица остатъчни вещества.В нашия случай e = 0, така че хипотезата за равенството на математическото очакване на стойностите на остатъчната серия на нула е изпълнена.

Анализът на данните за редица остатъци е даден в табл. 3.5.11.

2) За оценки на точносттамоделите са изчислими средата относителна грешкаприближения Е oti (Таблица 3.5.12).

Получаваме

Заключение: - добро нивоточност на модела.

проверими Имот	Използвани статистика		Границата		Заключение
проверими Имот	Наменова	Значение		Горна част	Заключение
Независимост	^-тест Дърбин - Уотсън	dw=2,12 dw"=4-2,12== 1,88			Адекватен
Злополука	Критерий (въртящ се				Адекватен
Нормалност	/^-критерии				Адекватен
Средно e, = 0	/-статистика Студент				Адекватен
Заключение: моделът е статистически адекватен

Таблица 3.5.12

Номер наблюдавайте отричане				Номер наблюдавайте отричане

3. Изграждане на точкови и интервални прогнози три стъпки напред

За да изчислим точкова прогноза в конструирания модел, заместваме съответните стойности на фактора t = n + k:

За да изградим интервална прогноза, изчисляваме доверителния интервал. При ниво на значимост a = 0,1 ниво на увереносте равно на 90%, а критерият на Стюдънт при v = П - 2 = 10 е равно на 1,812. Изчисляваме ширината на доверителния интервал по формулата (3.5.21):

където (може да се вземе от протокола за регресионен анализ), / = 1,812 (стойността на таблицата може да бъде получена в Excel с помощта на функцията steudraspobr), T = 6,5,

(намираме от таблица 3.5.8);

Таблица 3.5.13

	Прогноза	Горна граница	Долен ред
U( 1) = 6,80
W2) = 7,04

Отговор. Моделът изглежда така Y(t)= 38,23 + 1,81/. Размерът на плащанията ще бъде 61,77; 63,58; 65,40 хиляди рубли Следователно парични средства в размер на 120 хиляди рубли. за финансиране на тази инвестиция

Ориз. 3.5.15.

Проектът няма да е достатъчен за следващите три месеца, така че трябва или да намерите допълнителни средства, или да се откажете от този проект.

Ако, когато се анализира развитието на прогнозния обект, има причини да се приемат двете основни предположения за екстраполация, които обсъдихме по-горе, тогава процесът на екстраполация се състои в заместване на съответната стойност на изпреварващия период във формулата, описваща тенденцията.

Екстраполацията, най-общо казано, дава точкова прогнозна оценка. Интуитивно е налице недостатъчност на такава оценка и необходимост от получаване интервална оценкатака че прогнозата, обхващаща определен диапазон от стойности на прогнозираната променлива, да бъде по-надеждна. Както бе споменато по-горе, точно съвпадение между действителните данни и прогнозните точкови оценки, получени чрез екстраполиране на кривите на тренда, е малко вероятно. Съответната грешка има следните източници:

1) изборът на формата на кривата, характеризираща тенденцията, съдържа елемент на субективност. Във всеки случай често няма твърда основа за твърдението, че избраната форма на кривата е единствената възможна или дори най-добрата за екстраполация при дадени специфични условия;

3) тенденцията характеризира някакво средно ниво на серията за всеки момент от време. Индивидуалните наблюдения са имали тенденция да се отклоняват от него в миналото. Естествено е да се очаква, че такива отклонения ще има и в бъдеще.

Грешката, свързана с нейния втори и трети източник, може да бъде отразена под формата на доверителен интервал на прогнозата, когато се правят определени допускания относно свойствата на серията. С помощта на такъв интервал точковата екстраполационна прогноза се преобразува в интервална.

Една от основните задачи, които възникват при екстраполиране на тенденция, е да се определят доверителните интервали на прогнозата. Интуитивно е ясно, че изчисляването на доверителния интервал на прогнозата трябва да се основава на метъра на колебание на редица наблюдавани стойности на характеристиката. Колкото по-висока е тази флуктуация, толкова по-малко сигурна е позицията на тренда в пространството „ниво – време“ и толкова по-широк трябва да бъде интервалът за прогнозни опции със същата степен на увереност. Следователно, когато се конструира доверителен интервал за прогнозата, трябва да се вземе предвид оценката на колебанието или вариацията в нивата на серията. Обикновено такава оценка е стандартното отклонение ( стандартно отклонение) действителни наблюдения от изчислените, получени чрез изравняване на динамичните редове.

Най-общо доверителният интервал за тенденция се определя като

където ¾ стандартна грешка на тенденцията;

¾ изчислена стойност yt;

¾ значение T- Статистика на студентите.

Ако t = i+ Лтогава уравнението ще определи стойността на доверителния интервал за тенденцията, разширена с Лединици време.

Доверителният интервал за прогнозата, очевидно, трябва да вземе предвид не само несигурността, свързана с позицията на тенденцията, но и възможността за отклонение от тази тенденция. В практиката има случаи, когато няколко типа криви могат да бъдат приложени повече или по-малко разумно за екстраполация. В този случай разсъжденията понякога се свеждат до следното. Тъй като всяка от кривите характеризира една от алтернативните тенденции, очевидно е, че пространството между екстраполираните тенденции е определена „естествена област на доверие“ за прогнозираната стойност. Човек не може да се съгласи с подобно твърдение. На първо място, защото всяка от възможните трендови линии отговаря на някаква предварително приета хипотеза за развитие. Пространството между тенденциите не е свързано с никоя от тях - през него могат да бъдат начертани неограничен брой тенденции. Трябва също да се добави, че доверителният интервал е свързан с определено ниво на вероятност за излизане извън неговите граници. Пространството между тенденциите не е свързано с никакво ниво на вероятност, а зависи от избора на типове криви. Освен това, с достатъчно дълго време за изпълнение, това пространство, като правило, става толкова значимо, че такъв „доверителен интервал“ губи всякакъв смисъл.

Ако се вземат предвид стандартните грешки на оценките на параметрите на уравнението на тенденцията (които по дефиниция са селективни и следователно може да не са оценки на неизвестни общи параметри поради проявата на случайна грешка на представителност), и без да отчитаме последователността на трансформациите, получаваме обща формула за доверителния интервал на прогнозата.

където - стойността на прогнозата, изчислена по уравнението на тренда за периода t+L

¾ стандартна грешка на тренда;

K - коефициент, отчитащ грешките на коефициентите на уравнението на тенденцията

¾ значение T- Статистика на студентите.

Коефициент Да сеизчислено по следния начин

n ¾ броя на наблюденията (дължината на серията от динамика);

L е броят на прогнозите

Стойността на K зависи само от n и L, т.е. продължителността на наблюдението и периода на прогнозиране.

Пример за изчисляване на прогнозата и конструиране на доверителния интервал на прогнозата.

Оптималната тенденция е линейна тенденция . Необходимо е да се изчислят прогнозите за обема на вноса в Германия за 1996 и 1997 г. За да направите това, е необходимо да се определят стойностите на нивата на тренда за стойностите на времевия фактор 14 и 15.

Обем на вноса през 1996 г.:

Обем на вноса през 1997 г.:

Стандартната грешка на тренда е Sy = 30,727. Коефициентът на достоверност на разпределението на Стюдънт при ниво на значимост 0,05 и брой степени на свобода е 2,16. Коефициентът K е 1,428:

Така долната граница на първия доверителен интервал е 378,62: 473,452-30,727*2,16*1,428.

Горната граница е 568.28: 473.452+30.727*2.16*1.428.

Резултатите от изчисленията трябва да бъдат представени под формата на таблица и графично.

	Действителната стойност на обема на вноса в Германия за 1996г	Прогнозна стойност на обема на вноса в Германия за 1996г

Долна граница на 95% доверителен интервал	Действителната стойност на обема на вноса в Германия за 1997г	Прогнозна стойност на обема на вноса в Германия за 1997г	Горна граница на 95% доверителен интервал

Тази графика е начертана, както следва:

1) необходимо е да се направи копие на вече съществуващата графика за изглаждане на динамичната серия с линеен тренд

2) попълнете липсващите стойности (действителните нива на серията за 1996 и 1997 г., прогнозите за 1996 и 1997 г., както и границите на доверителните интервали).

Графикът е до известна степен условен, тъй като едва ли може да се определи точен мащаб. Можете да рисувате както на ръка, така и с инструменти за рисуване на Excel.