Існує безліч способів знайти площу трапеції. Зазвичай репетитор з математики володіє кількома прийомами її обчислення, зупинимося на них.
1) де AD і BC основи, а BH-висота трапеції. Доказ: проведемо діагональ BD і виразимо площі трикутників ABD і CDB через напіввитвор їх підстав на висоту:

, де DP - зовнішня висота в

Складемо почленно ці рівності та враховуючи, що висоти BH та DP рівні, отримаємо:

Винесемо за дужку

Що і потрібно було довести.

Наслідок із формули площі трапеції:
Так як напівсума основ дорівнює MN - середньої лінії трапеції, то

2) Застосування загальної формули площі чотирикутника.
Площа чотирикутника дорівнює половині твору діагоналей, помноженої на синус кута між ними.
Для доказу достатньо розбити трапецію на 4 трикутники, висловити площу кожного через «половину твору діагоналей на синус кута між ними» (як кут береться, скласти вирази, винести за дужку і розкладаю цю дужку на множники методом угруповання отримати її рівність виразу.

3) Метод зсуву діагоналі
Це моя назва. У шкільних підручникахрепетитор з математики не зустріне такого заголовка. Опис прийому можна знайти лише у додаткових навчальних посібникахяк приклад розв'язання якогось завдання. Зазначу, що більшість цікавих та корисних фактівпланиметрії репетитори з математики відкривають учням у процесі виконання практичної роботи. Це вкрай неоптимально, бо школяру треба виділяти в окремі теореми і називати «гучними іменами». Одне з таких – «зсув діагоналі». Про що йде мова?Проведемо через вершину B пряму паралельну до АС до перетину з нижньою основою в точці E. У такому разі чотирикутник EBCA буде паралелограмом (за визначенням) і тому BC=EA та EB=AC. Нам зараз важлива перша рівність. Маємо:

Зауважимо, що трикутник BED, площа якого дорівнює площі трапеції, має ще кілька чудових властивостей:
1) Його площа дорівнює площі трапеції
2) Його рівнобедреність відбувається одночасно з рівнобедреністю самої трапеції
3) Верхній кут при вершині B дорівнює куту між діагоналями трапеції (що дуже часто використовується в задачах)
4) Його медіана BK дорівнює відстані QS між серединами основ трапеції. Із застосуванням цієї властивості я нещодавно зіткнувся при підготовці учня на мехмат МДУ за підручником Ткачука, варіант 1973 (завдання наводиться внизу сторінки).

Спеціальні прийоми репетитора з математики.

Іноді я пропоную завдання на дуже хитрий шлях знаходження я площі трапеції. Я відношу його до спецприйомів, бо на практиці репетитор їх використовує вкрай рідко. Якщо вам потрібна підготовка до ЄДІ з математики тільки в частині B, можна про них не читати. Для решти розповідаю далі. Виявляється площа трапеції вдвічі більша за площу трикутника з вершинами в кінцях однієї бічної сторони і серединою іншої, тобто трикутника ABS на малюнку:
Доказ: проведемо висоти SM та SN у трикутниках BCS та ADS і виразимо суму площ цих трикутників:

Оскільки точка S – середина CD, то (доведіть це самі).Знайдемо суму площ трикутників:

Так як ця сума дорівнювала половині площі трапеції, то — друга її половина. Ч.т.д.

У скарбничку спецприйомів репетитора я відніс форму обчислення площі рівнобедреної трапеції по її сторонах: де p - напівпериметр трапеції. Доказ я наводити не буду. Інакше ваш репетитор з математики залишиться без роботи:). Приходьте на заняття!

Завдання на площу трапеції:

Зауваження репетитора з математики: Нижченаведений список не є методичним супроводом до теми, це лише невелика добірка цікавих завданьна вищерозглянуті прийоми.

1) Нижня основа рівнобедреної трапеції дорівнює 13, а верхня дорівнює 5. Знайдіть площу трапеції, якщо її діагональ перпендикулярна бічній стороні.
2) Знайдіть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють 2см і 5см, а бічні сторони 2см і 3см.
3) У рівнобокій трапеції більша основа дорівнює 11, бічна сторона дорівнює 5, а діагональ дорівнює Знайти площу трапеції.
4) Діагональ рівнобічної трапеції дорівнює 5, а середня лінія дорівнює 4. Знайти площу.
5) У рівнобедреній трапеції основи дорівнюють 12 і 20, а діагоналі взаємно перпендикулярні. Обчислити площу трапеції
6) Діагональ рівнобічної трапеції складає з її нижньою основою кут. Знайти площу трапеції, якщо її висота дорівнює 6см.
7) Площа трапеції дорівнює 20, а одна з її бічних сторін дорівнює 4 см. Знайдіть відстань до неї від середини протилежної бічної сторони.
8) Діагональ рівнобічної трапеції ділить її на трикутники з площами 6 та 14. Знайти висоту, якщо бічна сторона дорівнює 4.
9) У трапеції діагоналі дорівнюють 3 і 5, а відрізок, що з'єднує середини основ дорівнює 2. Знайти площу трапеції (Мехмат МДУ, 1970р).

Я вибирав не найскладніші завдання (не варто лякатися мехмата!) з розрахунком на можливість самостійного їх вирішення. Вирішуйте на здоров'я! Якщо вам потрібна підготовка до ЄДІ з математики, то без участі у цьому формули площі трапеції можуть виникнути серйозні проблеми навіть із завданням B6 і тим більше з C4. Не запускайте тему та у разі будь-яких труднощів звертайтеся за допомогою. Репетитор з математики завжди радий вам допомогти.

Ковпаков О.М.
Репетитор з математики у Москві, підготовка до ЄДІ у Строгіному.

Інструкція

Для того, щоб обидва способи були зрозумілішими, можна навести пару прикладів.

Приклад 1: Довжина середньої лінії трапеції 10 см, її площа 100 см². Для знаходження висоти цієї трапеції треба зробити:

h = 100/10 = 10 см

Відповідь: висота цієї трапеції 10 см

Приклад 2: площа трапеції 100 см², довжини основ дорівнює 8 см і 12 см. Для знаходження висоти цієї трапеції потрібно виконати дію:

h = (2 * 100) / (8 + 12) = 200/20 = 10 см

Відповідь: висота цієї трапеції 20 см

Зверніть увагу

Існує кілька видів трапецій:
Рівностегнова трапеція – це така трапеція, у якій бічні сторони рівні між собою.
Прямокутна трапеція - це трапеція, у якої один із внутрішніх кутів дорівнює 90 градусам.
Варто зазначити, що в прямокутної трапеціївисота збігається з довжиною сторони при прямому вугіллі.
Навколо трапеції можна описати коло, або вписати її всередину цієї фігури. Вписати коло можна лише тому випадку, якщо сума підстав її дорівнює сумі протилежних сторін. Описати ж коло можна лише навколо рівнобедреної трапеції.

Корисна порада

Паралелограм є окремим випадком трапеції, то визначення трапеції не суперечить визначенню паралелограма. Паралелограм – це чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні між собою. У трапеції ж у визначенні йдеться лише про пару його сторін. Тому будь-який паралелограм є і трапецією. Зворотне твердження не так.

Джерела:

• як знайти площу трапеції формула

Порада 2: Як знайти висоту трапеції, якщо відома площа

Під трапецією мається на увазі чотирикутник, у якого дві з чотирьох його сторін паралельні між собою. Паралельні сторони є підставами даної, дві інші ж є бічними сторонами даної. трапеції. Знайти висоту трапеціїякщо відома її площабуде дуже легко.

Інструкція

Необхідно розібратися, як можна обчислити площавихідний трапеції. Для цього кілька формул, залежно від вихідних даних: S = ((a+b)*h)/2, де a та b - основ трапеції, а h - її висота (Висота трапеції- перпендикуляр, опущений від однієї основи трапеціїдо іншого);
S = m*h, де m – лінія трапеції(Середня лінія - відрізок, основами трапеціїі що з'єднує середини її бокових сторін).

Для того, щоб було зрозуміліше, подібні завдання, можна розглянути: Приклад 1: Дана трапеція, у якої площа 68 см², середня лінія якої дорівнює 8 см, потрібно знайти висотуданої трапеції. Для того, щоб вирішити це завдання, потрібно скористатися раніше виведеною формулою:
h = 68/8 = 8.5 см Відповідь: висота даної трапеціїскладає 8.5 смПриклад 2: Нехай у трапеції площадорівнює 120 см², довжини підстав даної трапеції 8 см та 12 см відповідно, потрібно знайти висотуцією трапеції. Для цього треба застосувати одну з виведених формул:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 см Відповідь: висота заданої трапеціїдорівнює 12 см

Відео на тему

Зверніть увагу

Будь-яка трапеція має ряд властивостей:

Середня лінія трапеції дорівнює напівсумі її основ;

Відрізок, який з'єднує між собою діагоналі трапеції, дорівнює половині різниці його основ;

Якщо через середини підстав провести пряму, вона перетне точку перетину діагоналей трапеції;

У трапецію можна вписати коло у тому випадку, якщо сума підстав цієї трапеції дорівнює сумі її бічних сторін.

Використовуйте ці властивості при вирішенні завдань.

Порада 3: Як знайти площу трапеції, якщо відомі підстави

За геометричним визначенням трапецією є чотирикутник, у якого лише одна пара сторін паралельна. Ці сторони є її підставами. Відстань між підставаминазивається висотою трапеції. Знайти площа трапеціїможна, використовуючи геометричні формули.

Інструкція

Виміряйте підстави та трапеціїАВСД. Зазвичай їх дається у завдання. Нехай у цьому прикладі завдання основа АD (а) трапеціїдорівнюватиме 10 см, основа BC (b) - 6 см, висота трапеції BK (h) - 8 см. Застосуйте геометричну для знаходження площі трапеціїякщо відомі довжини її основ і висоти - S= 1/2 (a+b)*h, де: - a - величина основи AD трапеції ABCD, b - величина основи BC, h - величина висоти BK.

Цей калькулятор розрахував 2192 завдання на тему "Площа трапеції"

ПЛОЩА ТРАПЕЦІЇ

Виберіть формулу обчислення площі трапеції, яку Ви плануєте застосувати для вирішення поставленої перед Вами задачі:

Загальна теорія обчислення площі трапеції.

Трапеція - це плоска фігура, що складається з чотирьох точок, три з яких не лежать на одній прямій, і чотирьох відрізків (сторон), що попарно з'єднують ці чотири точки, у якої дві протилежні сторони паралельні (лежать на паралельних прямих), а дві інші не паралельні.

Крапки називаються вершинами трапеції і позначаються великими латинськими літерами.

Відрізки називаються сторонами трапеції і позначаються парою великих латинських букввідповідно вершин, які відрізки з'єднують.

Дві паралельні сторони трапеції називаються основами трапеції .

Дві не паралельні сторони трапеції називаються бічними сторонами трапеції .

Малюнок №1: Трапеція ABCD

На малюнку №1 представлена ​​трапеція ABCD з вершинами A,B, C, D та сторонами AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - основи трапеції ABCD.

AD, BC – бічні сторони трапеції ABCD.

Кут, утворений променями AB і AD, називається кутом при вершині A. Позначається він як ÐA або ÐBAD, або ÐDAB.

Кут, утворений променями BA і BC, називається кутом при вершині B. Позначається він як B або BBC, або CBA.

Кут, утворений променями CB і CD, називається кутом при вершині C. Позначається він як ?C або ?DCB, або ?BCD.

Кут, утворений променями AD і CD, називається кутом при вершині D. Позначається він як D або DAC, або CDA.

Малюнок №2: Трапеція ABCD

На малюнку №2 відрізок MN, що з'єднує середини бічних сторін, називається середньої лінії трапеції.

Середня лінія трапеціїпаралельна основам і дорівнює їх напівсумі. Тобто, .

Малюнок №3: Рівностегнова трапеція ABCD

На малюнку №3, AD=BC.

Трапеція називається рівностегновий (рівнобокий)якщо її бічні сторони рівні.

Малюнок №4: Прямокутна трапеція ABCD

На малюнку №4 кут D - прямий (рівний 90 о).

Трапеція називається прямокутної,якщо кут при бічній стороні прямий.

Площею S плоскоюфігури, до яких належить і трапеція, називається обмежений замкнутий простір на площині. Площа плоскої постаті показує величину цієї постаті.

Площа має кілька властивостей:

1. Вона може бути негативною.

2. Якщо дана деяка замкнута областьна площині, яка складена з декількох фігур, що не перетинаються одна з одною (тобто, фігури не мають загальних внутрішніх точок, але можуть стосуватися одна одної), то площа такої області дорівнює сумі площ складових її фігур.

3. Якщо дві фігури рівні, то й площі їх рівні.

4. Площа квадрата, який побудований на одиничному відрізку, дорівнює одиниці.

За одиницю вимірювання площіприймають площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці вимірюваннявідрізків.

При розв'язанні задач часто використовуються такі формули обчислення площі трапеції:

1. Площа трапеції дорівнює напівсумі її основ помноженої на висоту:

2. Площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту:

3. При відомих довжинахоснов та бічних сторін трапеції її площу можна обчислити за формулою:

4. Можливо обчислити площу рівнобедреної трапеції за відомої довжини радіусу вписаного в трапецію кола і відомому значеннікута при підставі за такою формулою:

Приклад 1:Обчислити площу трапеції з основами a=7, b=3 та висотою h=15.

Рішення:

Відповідь:

Приклад 2:Знайти бік основи трапеції з площею S=35 см 2 , висотою h=7см і другою основою b = 2 см.

Рішення:

Для знаходження сторони підстави трапеції скористаємося формулою обчислення площі:

Виразимо з цієї формули бік основи трапеції:

Таким чином, маємо таке:

Відповідь:

Приклад 3:Знайти висоту трапеції з площею S=17 см 2 та основами a=30 см, b = 4 см.

Рішення:

Для знаходження висоти трапеції скористаємося формулою обчислення площі:

Таким чином, маємо таке:

Відповідь:

Приклад 4:Обчислити площу трапеції з висотою h=24 та середньою лінією m=5.

Рішення:

Для знаходження площі трапеції скористаємося такою формулою обчислення площі:

Таким чином, маємо таке:

Відповідь:

Приклад 5:Знайти висоту трапеції з площею S = 48 см 2 та середньою лінією m = 6 см.

Рішення:

Для знаходження висоти трапеції скористаємося формулою обчислення площі трапеції:

Виразимо з цієї формули висоту трапеції:

Таким чином, маємо таке:

Відповідь:

Приклад 6:Знайти середню лінію трапеції із площею S = 56 і заввишки h=4.

Рішення:

Для знаходження середньої лінії трапеції скористаємося формулою обчислення площі трапеції:

Виразимо з цієї формули середню лінію трапеції:

Отже, маємо таке.

У математиці відомо кілька видів чотирикутників: квадрат, прямокутник, ромб, паралелограм. Серед них і трапеція - вид опуклого чотирикутника, який має дві сторони паралельні, а дві інші немає. Паралельні протилежні сторони називаються основами, а дві інші – бічними сторонами трапеції. Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін, називається середньою лінією. Існує кілька видів трапецій: рівнобедрений, прямокутний, криволінійний. Для кожного виду трапеції є формули для знаходження площі.

Площа трапеції

Щоб знайти площу трапеції, потрібно знати довжину її основ та висоту. Висота трапеції - це відрізок, перпендикулярний до основ. Нехай верхня основа - a, нижня основа - b, а висота - h. Тоді обчислити площу S можна за формулою:

S = ½ * (a+b) * h

тобто. взяти напівсуму підстав, помножену на висоту.

Також вдасться обчислити площу трапеції, якщо відомо значення висоти та середньої лінії. Позначимо середню лінію – m. Тоді

Розв'яжемо завдання складніше: відомі довжини чотирьох сторін трапеції - a, b, c, d. Тоді площа знайдеться за такою формулою:

Якщо відомі довжини діагоналей та кут між ними, то площа шукається так:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

де d з індексами 1 та 2 - діагоналі. У цій формулі в розрахунку наводиться синус кута.

При відомих довжинах основ a і b і двох кутах при нижній підставіплоща обчислюється так:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Площа рівнобедреної трапеції

Рівностегнова трапеція – це окремий випадок трапеції. Її відмінність у тому, що така трапеція – це опуклий чотирикутник із віссю симетрії, що проходить через середини двох протилежних сторін. Її бічні сторони рівні.

Знайти площу рівнобедреної трапеції можна кількома способами.

• Через довжину трьох сторін. У цьому випадку довжини бічних сторін збігатимуться, тому позначені однією величиною - с, а і b - довжини основ:

• Якщо відома довжина верхньої основи, збоку і величина кута при нижній підставі, то площа обчислюється так:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

де а - верхня основа, з - бічна сторона.

• Якщо замість верхньої основи відома довжина нижньої – b, площа розраховується за такою формулою:

S = c * sin α * (b - c * cos α)

• Якщо коли відомі дві основи та кут при нижній підставі, площа обчислюється через тангенс кута:

S = ½ * (b2 - a2) * tg α

• Також площа розраховується через діагоналі та кут між ними. У цьому випадку діагоналі по довжині дорівнюють, тому кожну позначаємо буквою d без індексів:

S = ½ * d2 * sin α

• Обчислимо площу трапеції, знаючи довжину бічної сторони, середньої лінії та величину кута при нижній підставі.

Нехай бічна сторона – с, середня лінія – m, кут – a, тоді:

S = m * c * sin α

Іноді в рівносторонню трапецію можна вписати коло, радіус якого буде - r.

Відомо, що в будь-яку трапецію можна вписати коло, якщо сума довжин основ дорівнює сумі довжин її бокових сторін. Тоді площа знайдеться через радіус вписаного кола та кут при нижній підставі:

S = 4r2/sin α

Такий же розрахунок проводиться і через діаметр D вписаного кола (до речі, він збігається з висотою трапеції):

Знаючи основи та кут, площа рівнобедреної трапеції обчислюється так:

S = a * b / sin α

(Ця і наступні формули правильні тільки для трапецій з вписаним колом).

Через підстави та радіус кола площа шукається так:

Якщо відомі лише підстави, то площа вважається за формулою:

Через основи та бічну лінію площа трапеції з вписаним колом і через основи та середню лінію - m обчислюється так:

Площа прямокутної трапеції

Прямокутною називається трапеція, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ. І тут бічна сторона по довжині збігається з висотою трапеції.

Прямокутна трапеція є квадратом і трикутником. Знайшовши площу кожної з фігур, складіть отримані результати та отримайте загальну площу фігури.

Також для обчислення площі прямокутної трапеції підходять загальні формули розрахунку площі трапеції.

• Якщо відомі довжини основ та висота (або перпендикулярна бічна сторона), то площа розраховується за формулою:

S = (a + b) * h / 2

Як h (висоти) може виступати бічна сторона. Тоді формула виглядає так:

S = (a + b) * c / 2

• Інший спосіб розрахувати площу - перемножити довжину середньої лінії на висоту:

або на довжину бічної перпендикулярної сторони:

• Наступний спосіб обчислення - через половину твору діагоналей та синус кута між ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Якщо діагоналі перпендикулярні, формула спрощується до:

S = ½ * d1 * d2

• Ще один спосіб обчислення - через напівпериметр (сума довжин двох протилежних сторін) та радіус вписаного кола.

Ця формула дійсна для основ. Якщо брати довжини бічних сторін, то одна з них дорівнюватиме подвоєному радіусу. Формула виглядатиме так:

S = (2r + c) * r

• Якщо в трапецію вписано коло, то площа обчислюється так само:

де m – довжина середньої лінії.

Площа криволінійної трапеції

Криволінійна трапеція є плоскою фігурою, обмеженою графіком невід'ємною. безперервної функції y = f(x), визначеної на відрізку , віссю абсцис і прямими x = a, x = b. По суті, дві її сторони паралельні один одному (підстави), третя сторона перпендикулярна до підстав, а четверта являє собою криву, відповідну графіку функції.

Площа криволінійної трапеції шукають через інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца:

Так обчислюються площі різних видівтрапецій. Але, крім властивостей сторін, трапеції мають однакові властивості кутів. Як у всіх існуючих чотирикутників, сума внутрішніх кутів трапеції дорівнює 360 градусів. А сума кутів, що прилягають до бокової сторони, – 180 градусів.

Трапецієюназивається чотирикутник, у якого тільки двісторони паралельні між собою.

Вони називаються основами фігури, що залишилися – бічними сторонами. Окремими випадками фігури вважається паралелограм. Також існує криволінійна трапеція, яка включає графік функції. Формули площі трапеції включають практично всі її елементи, і краще рішення підбирається в залежності від заданих величин.
Основні ролі у трапеції відводяться висоті та середній лінії. Середня лінія- Це лінія, що з'єднує середини бічних сторін. Висотатрапеції проводиться під прямим кутом від верхнього кута до основи.
Площа трапеції через висоту дорівнює добутку напівсуми довжин основ, помноженому на висоту:

Якщо за умовами відома середня лінія, то ця формула значно спрощується, так як вона дорівнює напівсумі довжин основ:

Якщо за умовами дано довжини всіх сторін, можна розглянути приклад розрахунку площі трапеції через ці дані:

Припустимо, дана трапеція з основами a = 3 см, b = 7 см і бічними сторонами c = 5 см, d = 4 см. Знайдемо площу фігури:

Площа рівнобічної трапеції

Окремим випадком вважається рівнобока або, як її ще називають, рівностегна трапеція.
Особливим випадком є ​​і знаходження площі рівнобедреної (рівнобічної) трапеції. Формула виводиться у різний спосіб– через діагоналі, через кути, прилеглі до основи та радіус вписаного кола.
Якщо за умовами задана довжина діагоналей та відомий кут між ними можна використовувати таку формулу:

Пам'ятайте, що діагоналі рівнобічної трапеції рівні між собою!

Тобто, знаючи одну з підстав, бік і кут, можна легко розрахувати площу.

Площа криволінійної трапеції

Окремий випадок – це криволінійна трапеція. Вона знаходиться на осі координат і обмежується графіком безперервної позитивної функції.

Її основа розташовує на осі X і обмежується двома точками:
Інтеграли допомагають обчислити площу криволінійної трапеції.
Формула прописується так:

Розглянемо приклад розрахунку площі криволінійної трапеції. Формула вимагає певних знань для роботи з певними інтегралами. Для початку розберемо значення певного інтегралу:

Тут F(a) – це значення первісної функції f(x) у точці a , F(b) – значення цієї функції f(x) у точці b .

Тепер вирішимо завдання. На малюнку зображено криволінійну трапецію, обмежену функцією . Функція
Нам необхідно знайти площу виділеної фігури, яка є криволінійною трапецією, обмеженою зверху графіком, праворуч прямою x = (-8), зліва прямою x = (-10) і віссю OX знизу.
Площа цієї фігури ми будемо розраховувати за такою формулою:

Умовами завдання нам задано функцію. По ній ми знайдемо значення первісної у кожній з наших точок:


Тепер
Відповідь:площа заданої криволінійної трапеції дорівнює 4.

Нічого складного у розрахунках цього значення немає. Важлива лише гранична уважність у обчисленнях.