Моделювання динамічних систем (метод Лагранжа та Bond graph approach). Умовні екстремуми та метод множників лагранжу

Зуть методу Лагранжа полягає у зведенні завдання на умовний екстремум до вирішення задачі безумовного екстремуму. Розглянемо модель нелінійного програмування:

(5.2)

де
- Відомі функції,

а
- Задані коефіцієнти.

Зазначимо, що у цій постановці завдання обмеження задані рівностями, відсутня умова невід'ємності змінних. Крім того, вважаємо, що функції
безперервні зі своїми першими приватними похідними.

Перетворюємо умови (5.2) таким чином, щоб у лівих чи правих частинах рівностей стояв нуль:

(5.3)

Складемо функцію Лагранжа. До неї входить цільова функція (5.1) та праві частини обмежень (5.3), взяті відповідно до коефіцієнтів
. Коефіцієнтів Лагранжа буде стільки, скільки обмежень у завданні.

Точки екстремуму функції (5.4) є точками екстремуму вихідної задачі та навпаки: оптимальний план задачі (5.1)-(5.2) є точкою глобального екстремуму функції Лагранжа.

Справді, хай знайдено рішення
Завдання (5.1)-(5.2), тоді виконуються умови (5.3). Підставимо план
у функцію (5.4) і переконаємось у справедливості рівності (5.5).

Таким чином, щоб знайти оптимальний план вихідного завдання, необхідно дослідити на екстремум функцію Лагранжа. Функція має екстремальні значення у точках, де її приватні похідні рівні нулю. Такі точки називаються стаціонарними.

Визначимо приватні похідні функції (5.4)

,

.

Після прирівнювання нулюпохідних отримаємо систему m+nрівнянь з m+nневідомими

,(5.6)

У випадку система (5.6)-(5.7) матимемо кілька рішень, куди увійдуть всі максимуми і мінімуми функції Лагранжа. Щоб виділити глобальний максимум чи мінімум, у всіх знайдених точках обчислюють значення цільової функції. Найбільше цих значень буде глобальним максимумом, а найменше – глобальним мінімумом. У деяких випадках можливе використання достатніх умов суворого екстремумубезперервних функцій (див. нижче завдання 5.2):

нехай функція
безперервна і двічі диференційована в околиці своєї стаціонарної точки (Тобто.
)). Тоді:

а ) якщо
, (5.8)

то - Точка суворого максимуму функції
;

б) якщо
, (5.9)

то - Точка суворого мінімуму функції
;

г ) якщо
,

то питання про наявність екстремуму залишається відкритим.

Крім того, деякі рішення системи (5.6)-(5.7) можуть бути негативними. Що не узгоджується з економічним змістом змінних. І тут слід проаналізувати можливість заміни негативних значень нульовими.

Економічний сенс множників Лагранжа.Оптимальне значення множника
вказує на скільки зміниться значення критерію Z при збільшенні чи зменшенні ресурсу jна одну одиницю, оскільки

Метод Лагранжа можна застосовувати й у тому випадку, коли обмеження є нерівністю. Так, знаходження екстремуму функції
за умов

,

виконують у кілька етапів:

1. Визначають стаціонарні точки цільової функції, навіщо вирішують систему рівнянь

.

2. Зі стаціонарних точок відбирають ті, координати яких задовольняють умовам

3. Методом Лагранжа вирішують завдання з обмеженнями-рівностями (5.1)-(5.2).

4. Досліджують на глобальний максимум точки, знайдені на другому та третьому етапах: порівнюють значення цільової функціїу цих точках – найбільше значеннявідповідає оптимальному плану.

Завдання 5.1Розв'яжемо методом Лагранжа задачу 1.3, розглянуту в першому розділі. Оптимальний розподіл водних ресурсів описується математичною моделлю

.

Складемо функцію Лагранжа

Знайдемо безумовний максимум цієї функції. Для цього обчислимо приватні похідні та прирівняємо їх до нуля

,

Таким чином, отримали систему лінійних рівнянь виду

Рішення системи рівнянь є оптимальним планом розподілу водних ресурсів по зрошуваних ділянках.

, .

Величини
вимірюються у сотнях тисяч кубічних метрів.
- величина чистого доходу одну сотню тисяч кубічних метрів поливної води. Отже, гранична ціна 1 м 3 зрошувальної води дорівнює
ден. од.

Максимальний додатковий чистий прибуток від зрошення складе

160 · 12,26 2 +7600 · 12,26-130 · 8,55 2 +5900 · 8,55-10 · 16,19 2 +4000 · 16,19 =

172391,02 (ден. од.)

Завдання 5.2Розв'язати задачу нелінійного програмування

Обмеження представимо у вигляді:

.

Складемо функцію Лагранжа та визначимо її приватні похідні

.

Щоб визначити стаціонарні точки функції Лагранжа, слід прирівняти її нулю похідні. В результаті отримаємо систему рівнянь

.

З першого рівняння випливає

. (5.10)

Вираз підставимо на друге рівняння

,

звідки випливають два рішення для :

і
. (5.11)

Підставивши ці рішення до третього рівняння, отримаємо

,
.

Значення множника Лагранжа та невідомої обчислимо за виразами (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Таким чином, отримали дві точки екстремуму:

;
.

Для того щоб дізнатися чи є ці точки точками максимуму або мінімум, скористаємося достатніми умовами суворого екстремуму (5.8)-(5.9). Попередній вираз для , отримане з обмеження математичної моделі, підставимо на цільову функцію

,

. (5.12)

Для перевірки умов суворого екстремуму слід визначити знак другої похідної функції (5.11) у знайдених нами екстремальних точках
і
.

,
;

.

Таким чином, (·)
є точкою мінімуму вихідного завдання (
), а (·)
- точкою максимуму.

Оптимальний план:

,
,
,

.

Метод Лагранжа─ це метод вирішення задачі умовної оптимізації, при якому обмеження, що записуються як неявні функції, поєднуються з цільовою функцією у формі нового рівняння, що називається лагранжіаном.

Розглянемо окремий випадок загального завдання нелінійного програмування:

Дана система нелінійних рівнянь (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Знайти найменше (або найбільше) значення функції (2)

(2) f (х1, х2, ..., хn),

якщо відсутні умови невід'ємності змінних і f(х1, х2, ..., хn) і gi (x1, x2, ..., xn) - функції, безперервні разом зі своїми приватними похідними.

Щоб знайти розв'язання цього завдання, можна застосувати наступний метод: 1. Вводять набір змінних λ1, λ2,…, λm, які називаються множниками Лагранжа, складають функцію Лагранжа (3)

(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.

2. Знаходять приватні похідні від функції Лагранжа за змінними xi та λi та прирівнюють їх нулю.

3. Вирішуючи систему рівнянь, знаходять точки, у яких цільова функція завдання може мати екстремум.

4. Серед точок, підозрілих не екстремум, знаходять такі, в яких досягається екстремум, і обчислюють значення функції в цих точках .

4. Порівняти отримані значення функції f та вибрати найкраще.

За планом виробництва продукції підприємству необхідно виготовити 180 виробів. Ці вироби можуть бути виготовлені двома технологічними методами. При виробництві х1 виробу I способом витрати дорівнюють 4*х1+х1^2 руб., а при виготовленні х2 виробів II способом вони становлять 8*х2+х2^2 руб. Визначити скільки виробів кожним із способів слід виготовити, так щоб загальні витрати на виробництво продукції були мінімальними.

Рішення: Математична постановка завдання полягає у визначенні найменшого значенняфункції двох змінних:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, за умови x1 +x2 = 180.

Складемо функцію Лагранжа:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Обчислимо її похідні по х1,х2, λ і прирівняємо їх до 0:

Перенесемо в праві частини перших двох рівнянь і прирівняємо їх ліві частини, отримаємо 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, або x1 − x2 = 2.

Вирішуючи останнє рівняння спільно з рівнянням x1 + x2 = 180, знаходимо x1 = 91, x2 = 89, тобто отримали рішення, що задовольняє умовам:

Знайдемо значення цільової функції f при цих змінних значеннях:

F(x1, x2) = 17278

Ця точка є підозрілою на екстремум. Використовуючи другі приватні похідні, можна показати, що у точці (91,89) функція f має мінімум.

Знайти поліном означає визначити значення його коефіцієнта . Для цього використовуючи умову інтерполяції можна сформувати систему лінійних алгебраїчних рівнянь(СЛАУ).

Визначник цієї СЛАУ прийнято називати визначником Вандермонда. Визначник Вандермонда не дорівнює нулю при , тобто в тому випадку, коли в інтерполяційній таблиці немає вузлів, що збігаються. Τᴀᴋᴋᴎᴩᴀᴈᴈᴏᴍ, можна стверджувати, що СЛАУ має рішення і це рішення єдине. Вирішивши СЛАУ та визначивши невідомі коефіцієнти можна побудувати інтерполяційний поліном.

Поліном, що задовольняє умовам інтерполяції, при інтерполяції методом Лагранжа будується у вигляді лінійної комбінації багаточленів n-ого ступеня:

Багаточлени прийнято називати базиснимибагаточленами. Для того щоб багаточлен Лагранжазадовольняв умовам інтерполяції вкрай важливо, щоб його базисних многочленів виконували такі условия:

для .

Якщо ці умови виконуються, то для кожного маємо:

Τᴀᴋᴎᴎᴩᴀᴈᴏᴍ, виконання заданих умов для базисних багаточленів означає, що виконуються і умови інтерполяції.

Визначимо вид базисних многочленів з накладених ними обмежень.

1-ша умова:при .

2-ге умова: .

Остаточно для базисного многочлена можна записати:

Тоді, підставляючи отриманий вираз для базисних багаточленів у вихідний поліном, отримуємо остаточний вид багаточлену Лагранжа:

Приватна форма многочлена Лагранжа прийнято називати формулою лінійної інтерполяції:

.

Багаточлен Лагранжа взятий при прийнято називати формулою квадратичної інтерполяції:

Метод Лагранжа. - Поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Метод Лагранжа." 2017, 2018.

ЛАГРАНЖА МЕТОД

Метод приведення квадратичної форми до суми квадратів, зазначений у 1759 р. Ж. Лагранжем (J. Lagrange). Нехай дана

від змінних х 0 , x 1 ,..., х п. з коефіцієнтами з поля kПотрібно привести цю форму до каноніч. виду

за допомогою невиродженого лінійного перетворення змінних. Л. м. полягає в наступному. Можна вважати, що не всі коефіцієнти форми (1) дорівнюють нулю. Тому можливі два випадки.

1) При деякому g,діагональний Тоді

де форма f 1 (х). не містить змінну x g. 2) Якщо все але то

де форма f 2 (х). не містить двох змінних x gі x h.Форми, що стоять під знаками квадратів (4), лінійно незалежні. Застосуванням перетворень виду (3) та (4) форма (1) після кінцевого числа кроків наводиться до суми квадратів лінійно незалежних лінійних форм. За допомогою приватних похідних формули (3) та (4) можна записати у вигляді

Літ.: Гантмахер Ф. Р.,Теорія матриць, 2 видавництва, М., 1966; Курош А. Р., Курс вищої алгебри, 11 видавництво, М., 1975; Александров П. С., Лекції з аналітичної геометрії ..., М., 1968. І. В. Проскуряков.

Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.

Дивитись що таке "ЛАГРАНЖА МЕТОД" в інших словниках:

Лагранжа метод- Лагранжа метод — метод розв'язання низки класів завдань математичного програмування з допомогою знаходження сідлової точки (x*, λ*) функції Лагранжа., що досягається прирівнюванням нулю приватних похідних цієї функції по… Економіко-математичний словник

Лагранжа метод- Метод розв'язання низки класів завдань математичного програмування за допомогою знаходження сідлової точки (x*, ?*) функції Лагранжа. Див Лагранжіан. )