Нелінійне програмування метод множників лагранжу. Метод Лагранжа (метод варіації довільних постійних)

Точка М називається внутрішньою для деякої множини G, якщо вона належить цій множині разом з деякою своєю околицею. Точка N називається граничною для множини G, якщо в будь-якій її повній околиці є точки, як належать G, так і не належать йому.

Сукупність всіх граничних точок множини G називається кордоном Г.

Безліч G буде називатися областю, якщо всі його точки – внутрішні (відкрите безліч). Безліч G із приєднаною межею Г називається замкнутою областю. Область називається обмеженою, якщо вона повністю міститься всередині кола досить великого радіусу.

Найменше та найбільше значенняфункції у цій галузі називаються абсолютними екстремумами функції у цій галузі.

Теорема Вейєрштрасса: функція, безперервна в обмеженій і замкнутій області, досягає у цій галузі свого найменшого та свого найбільшого значень.

Слідство. Абсолютний екстремум функції в цій галузі досягається або в критичній точці функції, що належить цій області, або для пошуку найбільшого і найменшого значень функції в замкнутій області G необхідно знайти всі її критичні точки в цій галузі, обчислити значення функції в цих точках (включаючи граничні) і шляхом порівняння отриманих чисел вибрати найбільше та найменше з них.

Приклад 4.1.Знайти абсолютний екстремум функції (найбільше та найменше значення)
у трикутній ділянціD з вершинами
,
,
(Рис.1).

;
,

тобто точка (0, 0) - критична точка, що належить області D. z (0,0) = 0.

Досліджуємо кордон:

а) ОА: y = 0
; z (x, 0) = 0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

б) ВВ: х = 0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

в) АВ:;
,

Приклад 4.2.Знайти найбільше та найменше значення функції у замкнутій області, обмеженій осями координат та прямою
.

1) Знайдемо критичні точки, що лежать в області:

,
,

.

Досліджуємо кордон. Т.к. межа складається з відрізка ОА осі Ох, відрізка ОВ осі Оу та відрізка АВ, то визначимо найбільше та найменше значення функції z на кожному з цих відрізків.

, z(0, 2)=-3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=-10/3.

Серед усіх знайдених значень вибираємо z найб = z (4, 0) = 13; z найм = z (1, 2) = -4.

5. Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа

Розглянемо задачу, специфічну для функцій кількох змінних, коли її екстремум шукається не на всій області визначення, а на множині, яка задовольняє певну умову.

Нехай розглядається функція
, аргументи і якої задовольняють умові
, Що називається рівнянням зв'язку.

Крапка
називається точкою умовного максимуму (мінімуму), якщо існує така околиця цієї точки, що для всіх точок
з цієї околиці задовольняють умові
, виконується нерівність
або
.

На рис.2 зображено точку умовного максимуму
. Очевидно, що вона не є точкою безумовного екстремуму функції
(На рис.2 це точка
).

Найбільш простим способом знаходження умовного екстремуму функції двох змінних є зведення завдання знайти екстремуму функції однієї змінної. Допустимо рівняння зв'язку
вдалося дозволити щодо однієї із змінних, наприклад, висловити через :
. Підставивши отриманий вираз у функцію двох змінних, отримаємо

тобто. функцію однієї змінної. Її екстремум і буде умовним екстремумом функції
.

Приклад 5.1.Знайти точки максимуму та мінімуму функції
за умови
.

Рішення. Виразимо з рівняння
змінну через змінну і підставимо отриманий вираз
у функцію . Отримаємо
або
. Ця функція має єдиний мінімум при
. Відповідне значення функції
. Таким чином,
- Точка умовного екстремуму (мінімуму).

У розглянутому прикладі рівняння зв'язку
виявилося лінійним, тому його легко вдалося дозволити щодо однієї зі змінних. Однак у складніших випадках зробити це не вдається.

Для пошуку умовного екстремуму в загальному випадкувикористовується метод множників Лагранжа. Розглянемо функцію трьох змінних. Ця функція називається функцією Лагранжа, а – множник Лагранжа. Вірна наступна теорема.

Теорема.Якщо точка
є точкою умовного екстремуму функції
за умови
, то існує значення таке, що крапка
є точкою екстремуму функції
.

Таким чином, для знаходження умовного екстремуму функції
за умови
потрібно знайти рішення системи

П останнє з цих рівнянь збігається з рівнянням зв'язку. Перші два рівняння системи можна переписати як, тобто. у точці умовного екстремуму градієнти функцій
і
колінеарні. На рис. 3 показаний геометричний зміст умов Лагранжа. Лінія
пунктирна, лінія рівня
функції
суцільні. З рис. слід, що у точці умовного екстремуму лінія рівня функції
стосується лінії
.

Приклад 5.2. Знайти точки екстремуму функції
за умови
за допомогою методу множників Лагранжа.

Рішення. Складаємо функцію Лагранжа. Прирівнюючи до нуля її похідні, отримаємо систему рівнянь:

Її єдине рішення. Таким чином, точкою умовного екстремуму може бути лише точка (3; 1). Неважко переконатися, що в цій точці функція
має умовний мінімум. Якщо кількість змінних більше двох, може розглядатися і кілька рівнянь зв'язку. Відповідно, у цьому випадку буде і кілька множників Лагранжа.

Завдання знаходження умовного екстремуму використовується під час вирішення таких економічних завдань, як перебування оптимального розподілу ресурсів, вибір оптимального портфеля цінних паперів та інших.

ЛАГРАНЖА МЕТОД

Метод приведення квадратичної форми до суми квадратів, зазначений у 1759 р. Ж. Лагранжем (J. Lagrange). Нехай дана

від змінних х 0 , x 1 ,..., х п. з коефіцієнтами з поля kПотрібно привести цю форму до каноніч. виду

за допомогою невиродженого лінійного перетворення змінних. Л. м. полягає в наступному. Можна вважати, що не всі коефіцієнти форми (1) дорівнюють нулю. Тому можливі два випадки.

1) При деякому g,діагональний Тоді

де форма f 1 (х). не містить змінну x g. 2) Якщо все але то

де форма f 2 (х). не містить двох змінних x gі x h.Форми, що стоять під знаками квадратів (4), лінійно незалежні. Застосуванням перетворень виду (3) та (4) форма (1) після кінцевого числа кроків наводиться до суми квадратів лінійно незалежних лінійних форм. За допомогою приватних похідних формули (3) та (4) можна записати у вигляді

Літ.: Гантмахер Ф. Р.,Теорія матриць, 2 видавництва, М., 1966; Курош А. Р., Курс вищої алгебри, 11 видавництво, М., 1975; Александров П. С., Лекції з аналітичної геометрії ..., М., 1968. І. В. Проскуряков.

Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.

Дивитись що таке "ЛАГРАНЖА МЕТОД" в інших словниках:

Лагранжа метод- Лагранжа метод — метод розв'язання низки класів завдань математичного програмування з допомогою знаходження сідлової точки (x*, λ*) функції Лагранжа., що досягається прирівнюванням нулю приватних похідних цієї функції по… Економіко-математичний словник

Лагранжа метод- Метод розв'язання низки класів завдань математичного програмування за допомогою знаходження сідлової точки (x*, ?*) функції Лагранжа. Див Лагранжіан. )