• Tutorial

Вступ

Я математик-програміст. Найбільший стрибок у своїй кар'єрі я зробив, коли навчився говорити: "Я нічого не розумію!"Зараз мені не соромно сказати світилу науки, що читає лекцію, що я не розумію, про що воно, світило, мені говорить. І це дуже складно. Так, зізнатися у своєму незнанні складно та соромно. Кому сподобається визнаватись у тому, що він не знає азів чогось там. Через свою професію я повинен бути присутнім на великій кількості презентацій та лекцій, де, зізнаюся, в переважній більшості випадків мені хочеться спати, бо я нічого не розумію. А я не розумію тому, що величезна проблема поточної ситуації в науці криється в математиці. Вона припускає, що всі слухачі знайомі з усіма областями математики (що абсурдно). Зізнатися в тому, що ви не знаєте, що таке похідна (про те, що це трохи пізніше) - соромно.

Але я навчився говорити, що не знаю, що таке множення. Так, я не знаю, що таке подалгебра над алгеброю Лі. Так, я не знаю, навіщо потрібні в житті квадратні рівняння. До речі, якщо ви впевнені, що ви знаєте, то нам є над чим поговорити! Математика – це серія фокусів. Математики намагаються заплутати та залякати публіку; там, де немає збентеження, немає репутації, немає авторитету. Так, це престижно говорити якомога абстрактнішою мовою, що є по собі повна нісенітниця.

Чи знаєте ви, що таке похідна? Найімовірніше ви мені скажете про межу різницевого відношення. На першому курсі матуху СПбГУ Віктор Петрович Хавін мені визначивпохідну як коефіцієнт першого члена ряду Тейлора функції у точці (це була окрема гімнастика, щоб визначити ряд Тейлора без похідних). Я довго сміявся над таким визначенням, поки не зрозумів, про що воно. Похідна не що інше, як просто міра того, наскільки функція, яку ми диференціюємо, схожа на функцію y=x, y=x^2, y=x^3.

Я зараз маю честь читати лекції студентам, які боятьсяматематики. Якщо ви боїтеся математики – нам з вами по дорозі. Як тільки ви намагаєтеся прочитати якийсь текст, і вам здається, що він надмірно складний, то знайте, що він написано хронічно. Я стверджую, що немає жодної галузі математики, про яку не можна говорити «на пальцях», не втрачаючи при цьому точності.

Завдання найближчим часом: я доручив своїм студентам зрозуміти, що таке лінійно-квадратичний регулятор. Не посоромтеся, витратите три хвилини свого життя, сходіть на заслання. Якщо ви нічого не зрозуміли, то нам з вами по дорозі. Я (професійний математик-програміст) також нічого не зрозумів. І я запевняю, що в цьому можна розібратися «на пальцях». На даний момент я не знаю, що це таке, але я запевняю, що ми зможемо розібратися.

Отже, перша лекція, яку я збираюся прочитати своїм студентам після того, як вони з жахом вдадуться до мене зі словами, що лінійно-квадратичний регулятор - це страшна бяка, яку ніколи в житті не подужати, це методи найменших квадратів . Чи вмієте ви вирішувати лінійні рівняння? Якщо ви читаєте цей текст, то, швидше за все, ні.

Отже, дано дві точки (x0, y0), (x1, y1), наприклад, (1,1) і (3,2), завдання знайти рівняння прямої, що проходить через ці дві точки:

ілюстрація

Ця пряма повинна мати рівняння наступного типу:

Тут альфа і бета нам невідомі, але відомі дві точки цієї прямої:

Можна записати це рівняння у матричному вигляді:

Тут слід зробити ліричний відступ: що таке матриця? Матриця це не що інше, як двовимірний масив. Це спосіб зберігання даних, більше ніяких значень йому не варто надавати. Це залежить від нас, як саме інтерпретувати якусь матрицю. Періодично я її інтерпретуватиму як лінійне відображення, періодично як квадратичну форму, а ще іноді просто як набір векторів. Це все буде уточнено у контексті.

Давайте замінимо конкретні матриці на їхнє символьне уявлення:

Тоді (alpha, beta) може бути легко знайдено:

Більш конкретно для наших попередніх даних:

Що веде до наступного рівняння прямої, що проходить через точки (1,1) та (3,2):

Окей, тут зрозуміло. А давайте знайдемо рівняння прямої, що проходить через триточки: (x0, y0), (x1, y1) та (x2, y2):

Ой-ой-ой, але ж у нас три рівняння на дві невідомі! Стандартний математик скаже, що рішення немає. А що скаже програміст? А він спершу перепише попередню систему рівнянь у наступному вигляді:

У нашому випадку вектори i,j,bтривимірні, отже, (у загальному випадку) рішення цієї системи немає. Будь-який вектор (alpha i i beta i j) лежить у площині, натягнутій на вектори (i, j). Якщо b не належить цій площині, то рішення немає (рівності у рівнянні не досягти). Що робити? Давайте шукати компроміс. Давайте позначимо через e(alpha, beta)наскільки саме ми не досягли рівності:

І намагатимемося мінімізувати цю помилку:

Чому квадрат?

Ми шукаємо не просто мінімум норми, а мінімум квадрата норми. Чому? Сама точка мінімуму збігається, а квадрат дає гладку функцію (квадратичну функцію від агрументів (alpha, beta)), тоді як просто довжина дає функцію як конуса, недиференційовану в точці мінімуму. Брр. Квадрат зручніший.

Очевидно, що помилка мінімізується, коли вектор eортогональний площині, натягнутій на вектори. iі j.

Ілюстрація

Іншими словами: ми шукаємо таку пряму, що сума квадратів довжин відстаней від усіх точок до цієї прямої мінімальна:

UPDATE: тут у мене одвірок, відстань до прямої має вимірюватися по вертикалі, а не ортогональною проекцією. Ось цей коментатор має рацію.

Ілюстрація

Зовсім іншими словами (обережно, погано формалізовано, але на пальцях має бути ясно): ми беремо всі можливі прямі між усіма парами точок і шукаємо середню пряму між усіма:

Ілюстрація

Інше пояснення на пальцях: ми прикріплюємо пружинку між усіма точками даних (тут у нас три) і пряме, що ми шукаємо, і пряма рівноважного стану є саме те, що ми шукаємо.

Мінімум квадратичної форми

Отже, маючи цей вектор bта площину, натягнуту на стовпці-вектори матриці A(в даному випадку (x0,x1,x2) та (1,1,1)), ми шукаємо вектор eз мінімуму квадрата довжини. Очевидно, що мінімум можна досягти тільки для вектора. e, ортогональної площини, натягнутої на стовпці-вектори матриці. A:

Інакше кажучи, ми шукаємо такий вектор x=(alpha, beta), що:

Нагадую, цей вектор x=(alpha, beta) є мінімумом квадратичні функції| | e (alpha, beta) | | ^2:

Тут не зайвим буде згадати, що матрицю можна інтерпретувати у тому числі як і квадратичну форму, наприклад, одинична матриця ((1,0),(0,1)) може бути інтерпретована як функція x^2 + y^2:

квадратична форма

Вся ця гімнастика відома під ім'ям лінійної регресії.

Рівняння Лапласа з граничною умовою Діріхле

Тепер найпростіше реальне завдання: є якась тріангульована поверхня, необхідно її згладити. Наприклад, давайте завантажимо модель моєї особи:

Початковий коміт доступний. Для мінімізації зовнішніх залежностей я взяв код свого софтверного рендерера вже на хабрі. Для вирішення лінійної системия користуюся OpenNL , це чудовий солвер, який, щоправда, дуже складно встановити: потрібно скопіювати два файли (.h+.c) у папку з вашим проектом. Все згладжування робиться наступним кодом:

For (int d=0; d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i&face = faces[i]; for (int j = 0; j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

X, Y та Z координати відокремлені, я їх згладжую окремо. Тобто, я вирішую три системи лінійних рівнянь, кожне має кількість змінних рівною кількістю вершин у моїй моделі. Перші n рядків матриці A мають лише одну одиницю на рядок, а перші n рядків вектора b мають оригінальні координати моделі. Тобто, я прив'язую по пружинці між новим становищем вершини і старим становищем вершини - нові не повинні занадто далеко йти від старих.

Всі наступні рядки матриці A (faces.size()*3 = кількості ребер всіх трикутників у сітці) мають одне входження 1 та одне входження -1, причому вектор b має нульові компоненти навпаки. Це означає, що я вішаю пружинку на кожне ребро нашої трикутної сітки: всі ребра намагаються отримати одну й ту саму вершину як відправну та фінальну точку.

Ще раз: змінними є всі вершини, причому вони можуть далеко відходити від початкового становища, але заодно намагаються стати схожими друг на друга.

Ось результат:

Все було б добре, модель дійсно згладжена, але вона відійшла від свого початкового краю. Давайте трохи змінимо код:

For (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

У нашій матриці A я для вершин, що знаходяться на краю, не додаю рядок з розряду v_i = verts[i][d], а 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. Що це змінює? А змінює це нашу квадратичну форму помилки. Тепер одиничне відхилення від вершини краю коштуватиме не одну одиницю, як раніше, а 1000*1000 одиниць. Тобто, ми повісили сильнішу пружинку на крайні вершини, рішення воліє розтягнути інші. Ось результат:

Давайте вдвічі посилимо пружинки між вершинами:
nlCoefficient (face [j], 2); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -2);

Логічно, що поверхня стала гладкішою:

А тепер ще в сто разів сильніше:

Що це? Уявіть, що ми вмочили дротяне кільце в мильну воду. У результаті мильна плівка, що утворилася, буде намагатися мати найменшу кривизну, наскільки це можливо, торкаючись-таки кордону - нашого дротяного кільця. Саме це ми й отримали, зафіксувавши кордон та попросивши отримати гладку поверхню всередині. Вітаю вас, ми тільки-но вирішили рівняння Лапласа з граничними умовами Діріхле. Круто звучить? А насправді лише одну систему лінійних рівнянь вирішити.

Рівняння Пуассона

Давайте ще круте ім'я згадаємо.

Припустимо, що у мене є така картинка:

Всім гарна, тільки стілець мені не подобається.

Розріжу картинку навпіл:

І виділю руками стілець:

Потім все, що біле в масці, притягну до лівої частини картинки, а заразом по всій картинці скажу, що різниця між двома сусідніми пікселями повинна дорівнювати різниці між двома сусідніми пікселями правої картинки:

For (int i=0; i

Ось результат:

Код та зображення доступні

Він має безліч застосувань, оскільки дозволяє здійснювати наближене уявлення заданої функції іншими більш простими. МНК може виявитися надзвичайно корисним при обробці спостережень і його активно використовують для оцінки одних величин за результатами вимірювань інших, що містять випадкові помилки. З цієї статті ви дізнаєтеся, як реалізувати обчислення методом найменших квадратів в Excel.

Постановка задачі на конкретному прикладі

Припустимо, є два показника X і Y. Причому Y залежить від X. Так як МНК цікавить нас з погляду регресійного аналізу (в Excel його методи реалізуються за допомогою вбудованих функцій), то відразу ж перейти до розгляду конкретної задачі.

Отже, нехай X — торгова площа продовольчого магазину, яка вимірюється у квадратних метрах, а Y — річний товарообіг, який визначається мільйонами рублів.

Потрібно зробити прогноз, який товарообіг (Y) матиме магазин, якщо в нього та чи інша торгова площа. Очевидно, що функція Y = f(X) зростаюча, оскільки гіпермаркет продає більше товарів, ніж ларьок.

Декілька слів про коректність вихідних даних, що використовуються для передбачення

Припустимо, ми маємо таблицю, побудовану за даними для n магазинів.

Відповідно до математичної статистики, результати будуть більш-менш коректними, якщо досліджуються дані щодо хоча б 5-6 об'єктів. Крім того, не можна використовувати "аномальні" результати. Зокрема, невеликий елітний бутік може мати товарообіг у рази більший, ніж товарообіг великих торгових точок класу «масмаркет».

Суть методу

Дані таблиці можна зобразити на декартовій площині у вигляді точок M 1 (x 1 y 1), … M n (x n y n). Тепер розв'язання задачі зведеться до підбору апроксимуючої функції y = f(x), що має графік, що проходить якомога ближче до точок M1, M2,.. Mn.

Звичайно, можна використовувати багаточлен високого ступеня, але такий варіант не тільки важко реалізувати, а й просто некоректний, тому що не відображатиме основну тенденцію, яку і потрібно виявити. Найрозумнішим рішенням є пошук прямої у = ax + b, яка найкраще наближає експериментальні дані, a точніше, коефіцієнтів – a та b.

Оцінка точності

При будь-якій апроксимації особливої ​​важливості набуває оцінка її точності. Позначимо через e i різницю (відхилення) між функціональними та експериментальними значеннями для точки x i , тобто e i = y i - f (x i).

Очевидно, що для оцінки точності апроксимації можна використовувати суму відхилень, тобто при виборі прямої для наближеного уявлення залежності X від Y потрібно віддавати перевагу тій, у якої найменше значення суми e i у всіх точках. Однак, не все так просто, тому що поряд із позитивними відхиленнями практично будуть присутні і негативні.

Вирішити питання можна, використовуючи модулі відхилень або їх квадрати. Останній метод набув найбільш широкого поширення. Він використовується в багатьох областях, включаючи регресійний аналіз (в Excel його реалізація здійснюється за допомогою двох вбудованих функцій) і давно довів свою ефективність.

Метод найменших квадратів

В Excel, як відомо, існує вбудована функція автосуми, що дозволяє обчислити значення всіх значень, які розташовані у виділеному діапазоні. Таким чином, ніщо не завадить нам розрахувати значення виразу (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

У математичному записі це має вигляд:

Оскільки спочатку було прийнято рішення про апроксимування за допомогою прямої, то маємо:

Таким чином, завдання знаходження прямої, яка найкраще описує конкретну залежність величин X та Y, зводиться до обчислення мінімуму функції двох змінних:

Для цього потрібно прирівняти до нуля приватні похідні за новими змінними a і b, і вирішити примітивну систему, що складається з двох рівнянь з двома невідомими видами:

Після нехитрих перетворень, включаючи поділ на 2 та маніпуляції із сумами, отримаємо:

Вирішуючи її, наприклад, методом Крамера, отримуємо стаціонарну точку з деякими коефіцієнтами a* та b*. Це і є мінімум, тобто для передбачення, який товарообіг буде у магазину при певній площі, підійде пряма y = a * x + b * , Що являє собою регресійну модель для прикладу, про який йдеться. Звичайно, вона не дозволить знайти точний результат, але допоможе одержати уявлення про те, чи окупиться покупка в кредит магазину конкретної площі.

Як реалізувати метод найменших квадратів в Excel

У "Ексель" є функція для розрахунку значення МНК. Вона має такий вигляд: «ТЕНДЕНЦІЯ» (відоме значення Y; відоме значення X; нові значення X; конст.). Застосуємо формулу розрахунку МНК Excel до нашої таблиці.

Для цього в комірку, в якій має бути відображено результат розрахунку за методом найменших квадратів в Excel, введемо знак = і виберемо функцію ТЕНДЕНЦІЯ. У вікні заповнимо відповідні поля, виділяючи:

• діапазон відомих значень для Y (у разі дані для товарообігу);
• діапазон x 1, … x n, тобто величини торгових площ;
• і відомі, і невідомі значення x, для якого потрібно з'ясувати розмір товарообігу (інформацію про їхнє розташування на робочому аркуші див. далі).

Крім того, у формулі є логічна змінна «Конст». Якщо ввести у відповідне їй поле 1, це означатиме, що слід здійснити обчислення, вважаючи, що b = 0.

Якщо потрібно дізнатися прогноз більш ніж одного значення x, то після введення формули слід натиснути не на «Введення», а потрібно набрати на клавіатурі комбінацію «Shift» + «Control» + «Enter» («Введення»).

Деякі особливості

Регресійний аналіз може бути доступним навіть чайникам. Формула Excel для передбачення значення масиву невідомих змінних – «ТЕНДЕНЦІЯ» – може використовуватися навіть тими, хто ніколи не чув про метод найменших квадратів. Достатньо просто знати деякі особливості її роботи. Зокрема:

• Якщо розташувати діапазон відомих значень змінної y в одному рядку або стовпці, то кожен рядок (стовпець) з відомими значеннями x сприйматиметься програмою як окрема змінна.
• Якщо у вікні «ТЕНДЕНЦІЯ» не вказаний діапазон з відомими x, то у разі використання функції Excel програма буде розглядати його як масив, що складається з цілих чисел, кількість яких відповідає діапазону із заданими значеннями змінної y.
• Щоб отримати на виході масив "передбачених" значень, вираз для обчислення тенденції потрібно вводити як формулу масиву.
• Якщо не вказано нових значень x, то функція «ТЕНДЕНЦІЯ» вважає їх рівним відомим. Якщо вони не задані, то як аргумент береться масив 1; 2; 3; 4;…, який пропорційний діапазону з вже заданими параметрами y.
• Діапазон, що містить нові значення x, повинен складатися з такої ж чи більшої кількості рядків або стовпців, як діапазон із заданими значеннями y. Іншими словами він має бути пропорційним незалежним змінним.
• У масиві з відомими значеннями x може бути кілька змінних. Однак якщо йдеться лише про одну, то потрібно, щоб діапазони із заданими значеннями x та y були пропорційні. У випадку кількох змінних потрібно, щоб діапазон із заданими значеннями y містився в одному стовпчику або в одному рядку.

Функція «ПЕРЕДСКАЗ»

Реалізується за допомогою кількох функцій. Одна з них називається «Предказ». Вона аналогічна «ТЕНДЕНЦІЇ», тобто видає результат обчислень методом найменших квадратів. Однак лише для одного X, для якого невідомо значення Y.

Тепер ви знаєте формули в Excel для чайників, що дозволяють спрогнозувати величину майбутнього значення того чи іншого показника згідно з лінійним трендом.

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів ( МНК, OLS, Ordinary Least Squares) - один із базових методів регресійного аналізу для оцінки невідомих параметрів регресійних моделей за вибірковими даними. Метод ґрунтується на мінімізації суми квадратів залишків регресії.

Необхідно відзначити, що власне методом найменших квадратів можна назвати метод розв'язання задачі в будь-якій області, якщо рішення полягає або задовольняє деякий критерій мінімізації суми квадратів деяких функцій від змінних, що шукаються. Тому метод найменших квадратів може застосовуватися також для наближеного представлення (апроксимації) заданої функції іншими (простішими) функціями, при знаходженні сукупності величин, що задовольняють рівнянь або обмежень, кількість яких перевищує кількість цих величин і т.д.

Сутність МНК

Нехай задана деяка (параметрична) модель імовірнісної (регресійної) залежності між (з'ясованою) змінною yі безліччю факторів (що пояснюють змінних) x

де - вектор невідомих параметрів моделі

- Випадкова помилка моделі.

Нехай також є вибіркові спостереження значень вказаних змінних. Нехай – номер спостереження (). Тоді - значення змінних у спостереженні. Тоді при заданих значеннях параметрів b можна розрахувати теоретичні (модельні) значення змінної, що пояснюється y:

Розмір залишків залежить від значень параметрів b.

Сутність МНК (звичайного, класичного) у тому, щоб знайти такі параметри b, у яких сума квадратів залишків (англ. Residual Sum of Squares) буде мінімальною:

У випадку вирішення цього завдання може здійснюватися чисельними методами оптимізації (мінімізації). У цьому випадку говорять про нелінійному МНК(NLS або NLLS – англ. Non-Linear Least Squares). У багатьох випадках можна одержати аналітичне рішення. Для вирішення задачі мінімізації необхідно знайти стаціонарні точки функції, продиференціювавши її за невідомими параметрами b, прирівнявши похідні до нуля і вирішивши отриману систему рівнянь:

Якщо випадкові помилки моделі мають нормальний розподіл , мають однакову дисперсію і некорельовані між собою, МНК оцінки параметрів збігаються з оцінками методу максимальної правдоподібності (ММП).

МНК у разі лінійної моделі

Нехай регресійна залежність є лінійною:

Нехай y- Вектор-стовпець спостережень пояснюваної змінної, а - матриця спостережень факторів (рядки матриці - вектори значень факторів в даному спостереженні, по стовпцях - вектор значень даного фактора у всіх спостереженнях). Матричне уявлення лінійної моделі має вигляд:

Тоді вектор оцінок змінної, що пояснюється, і вектор залишків регресії дорівнюватимуть

відповідно сума квадратів залишків регресії дорівнюватиме

Диференціюючи цю функцію за вектором параметрів та прирівнявши похідні до нуля, отримаємо систему рівнянь (у матричній формі):

.

Вирішення цієї системи рівнянь і дає загальну формулу МНК-оцінок для лінійної моделі:

Для аналітичних цілей виявляється корисним останнє уявлення цієї формули. Якщо у регресійній моделі дані центровані, то цьому поданні перша матриця має сенс вибіркової ковариационной матриці чинників, а друга - вектор ковариаций чинників із залежною змінної. Якщо дані ще й нормованіна СКО (тобто зрештою стандартизовано), то перша матриця має сенс вибіркової кореляційної матриці факторів, другий вектор - вектора вибіркових кореляцій факторів із залежною змінною.

Важлива властивість МНК-оцінок для моделей з константою- лінія побудованої регресії проходить через центр тяжкості вибіркових даних, тобто виконується рівність:

Зокрема, у крайньому випадку, коли єдиним регресором є константа, отримуємо, що МНК-оцінка єдиного параметра (власне константи) дорівнює середньому значенню змінної, що пояснюється. Тобто середнє арифметичне, відоме своїми добрими властивостями із законів великих чисел, також є МНК-оцінкою – задовольняє критерію мінімуму суми квадратів відхилень від неї.

Приклад: найпростіша (парна) регресія

У разі парної лінійної регресіїформули розрахунку спрощуються (можна обійтися без матричної алгебри):

Властивості МНК-оцінок

Насамперед, зазначимо, що для лінійних моделей МНК-оцінки є лінійними оцінками, як це випливає з вищенаведеної формули. Для незміщеності МНК-оцінок необхідно і достатньо виконання найважливішої умови регресійного аналізу: умовне за факторами математичне очікування випадкової помилки має дорівнювати нулю. Ця умова, зокрема, виконана, якщо

1. математичне очікування випадкових помилок дорівнює нулю, та
2. фактори та випадкові помилки - незалежні випадкові величини.

Друга умова - умова екзогенності факторів - важлива. Якщо ця властивість не виконано, то можна вважати, що практично будь-які оцінки будуть вкрай незадовільними: вони не будуть навіть заможними (тобто дуже великий обсяг даних не дозволяє отримати якісні оцінки в цьому випадку). У класичному випадку робиться сильніша припущення про детермінованість факторів, на відміну від випадкової помилки, що автоматично означає виконання умови екзогенності. У випадку для спроможності оцінок досить виконання умови екзогенності разом із збіжністю матриці до деякої невиродженої матриці зі збільшенням обсягу вибірки до нескінченності.

Для того, щоб крім спроможності та незміщеності, оцінки (звичайного) МНК були ще й ефективними (найкращими в класі лінійних незміщених оцінок) необхідно виконання додаткових властивостей випадкової помилки:

Дані припущення можна сформулювати для матриці ковараційної вектора випадкових помилок

Лінійна модель, що задовольняє такі умови, називається класичною. МНК-оцінки для класичної лінійної регресії є незміщеними, заможними та найбільш ефективними оцінками в класі всіх лінійних незміщених оцінок (в англомовній літературі іноді вживають абревіатуру BLUE (Best Linear Unbaised Estimator) - найкраща лінійна незміщена оцінка; у вітчизняній літературі частіше наводиться теорема Гауса – Маркова). Як неважко показати, ковариационная матриця вектора оцінок коефіцієнтів дорівнюватиме:

Узагальнений МНК

Метод найменших квадратів припускає широке узагальнення. Замість мінімізації суми квадратів залишків можна мінімізувати деяку позитивно визначену квадратичну форму від вектора залишків де - деяка симетрична позитивно визначена вагова матриця. Звичайний МНК є окремим випадком даного підходу, коли вагова матриця пропорційна одиничній матриці. Як відомо з теорії симетричних матриць (або операторів) для таких матриць існує розкладання. Отже, зазначений функціонал можна уявити наступним чином , тобто цей функціонал можна як суму квадратів деяких перетворених «залишків». Отже, можна назвати клас методів найменших квадратів - LS-методи (Least Squares).

Доведено (теорема Айткена), що для узагальненої лінійної регресійної моделі (у якій на коварійну матрицю випадкових помилок не накладається жодних обмежень) найефективнішими (у класі лінійних незміщених оцінок) є оцінки т.з. узагальненого МНК (ОМНК, GLS - Generalized Least Squares)- LS-метода з ваговою матрицею, що дорівнює зворотній коварійній матриці випадкових помилок: .

Можна показати, що формула ОМНК оцінок параметрів лінійної моделі має вигляд

Коваріаційна матриця цих оцінок відповідно дорівнюватиме

Фактично сутність ОМНК полягає у певному (лінійному) перетворенні (P) вихідних даних та застосуванні звичайного МНК до перетворених даних. Ціль цього перетворення - для перетворених даних випадкові помилки вже задовольняють класичним припущенням.

Зважений МНК

У випадку діагональної вагової матриці (а значить і матриці коварійної випадкових помилок) маємо так званий зважений МНК (WLS - Weighted Least Squares). У разі мінімізується зважена сума квадратів залишків моделі, тобто кожне спостереження отримує «вага», зворотно пропорційний дисперсії випадкової помилки у цьому спостереженні: . Фактично дані перетворюються зважуванням спостережень (розподілом на величину, пропорційну передбачуваному стандартному відхилення випадкових помилок), а зваженим даним застосовується звичайний МНК.

Деякі окремі випадки застосування МНК на практиці

Апроксимація лінійної залежності

Розглянемо випадок, коли в результаті вивчення залежності деякої скалярної величини від деякої скалярної величини (Це може бути, наприклад, залежність напруги від сили струму : де - постійна величина, опір провідника) було проведено вимірювань цих величин, в результаті яких були отримані значення і відповідні їм значення. Дані вимірювань мають бути записані у таблиці.

Таблиця. Результати вимірів.

№ виміру
1
2
3
4
5
6

Питання звучить так: яке значення коефіцієнта можна підібрати, щоб якнайкраще описати залежність? Згідно з МНК це значення має бути таким, щоб сума квадратів відхилень величин від величин

була мінімальною

Сума квадратів відхилень має один екстремум – мінімум, що дозволяє нам використовувати цю формулу. Знайдемо з цієї формули значення коефіцієнта. І тому перетворимо її ліву частину так:

Остання формула дозволяє знайти значення коефіцієнта , що й потрібно завдання.

Історія

На початок ХІХ ст. вчені у відсутності певних правил на вирішення системи рівнянь , у якій число невідомих менше, ніж число рівнянь; До цього часу використовувалися приватні прийоми, залежали від виду рівнянь і від дотепності обчислювачів, і тому різні обчислювачі, з тих самих даних спостережень, дійшли різних висновків. Гаусс (1795) належить перше застосування методу, а Лежандр (1805) незалежно відкрив і опублікував його під сучасною назвою (фр. Méthode des moindres quarrés ). Лаплас пов'язав метод з теорією ймовірностей, а американський математик Едрейн (1808) розглянув його теоретико-імовірнісні додатки. Метод поширений і вдосконалений подальшими дослідженнями Енке, Бесселя, Ганзена та інших.

Альтернативне використання МНК

Ідея методу найменших квадратів може бути використана також в інших випадках, які не пов'язані безпосередньо з регресійним аналізом. Справа в тому, що сума квадратів є одним із найпоширеніших заходів близькості для векторів (евклідова метрика в кінцевомірних просторах).

Одне із застосувань - «вирішення» систем лінійних рівнянь, у яких кількість рівнянь більша за кількість змінних

де матриця не квадратна, а прямокутна розміру.

Така система рівнянь, у випадку немає рішення (якщо ранг насправді більше числа змінних). Тому цю систему можна «вирішити» тільки в сенсі вибору такого вектора, щоб мінімізувати «відстань» між векторами та . І тому можна застосувати критерій мінімізації суми квадратів різниць лівої та правої частин рівнянь системи, тобто . Неважко показати, що вирішення цього завдання мінімізації призводить до вирішення наступної системи рівнянь

Програмування

• Tutorial

Вступ

Я математик-програміст. Найбільший стрибок у своїй кар'єрі я зробив, коли навчився говорити: "Я нічого не розумію!"Зараз мені не соромно сказати світилу науки, що читає лекцію, що я не розумію, про що воно, світило, мені говорить. І це дуже складно. Так, зізнатися у своєму незнанні складно та соромно. Кому сподобається визнаватись у тому, що він не знає азів чогось там. Через свою професію я повинен бути присутнім на великій кількості презентацій та лекцій, де, зізнаюся, в переважній більшості випадків мені хочеться спати, бо я нічого не розумію. А я не розумію тому, що величезна проблема поточної ситуації в науці криється в математиці. Вона припускає, що всі слухачі знайомі з усіма областями математики (що абсурдно). Зізнатися в тому, що ви не знаєте, що таке похідна (про те, що це трохи пізніше) - соромно.

Але я навчився говорити, що не знаю, що таке множення. Так, я не знаю, що таке подалгебра над алгеброю Лі. Так, я не знаю, навіщо потрібні у житті квадратні рівняння. До речі, якщо ви впевнені, що ви знаєте, то нам є над чим поговорити! Математика – це серія фокусів. Математики намагаються заплутати та залякати публіку; там, де немає збентеження, немає репутації, немає авторитету. Так, це престижно говорити якомога абстрактнішою мовою, що є по собі повна нісенітниця.

Чи знаєте ви, що таке похідна? Найімовірніше ви мені скажете про межу різницевого відношення. На першому курсі матуху СПбГУ Віктор Петрович Хавін мені визначивпохідну як коефіцієнт першого члена ряду Тейлора функції у точці (це була окрема гімнастика, щоб визначити ряд Тейлора без похідних). Я довго сміявся над таким визначенням, поки не зрозумів, про що воно. Похідна не що інше, як просто міра того, наскільки функція, яку ми диференціюємо, схожа на функцію y=x, y=x^2, y=x^3.

Я зараз маю честь читати лекції студентам, які боятьсяматематики. Якщо ви боїтеся математики – нам з вами по дорозі. Як тільки ви намагаєтеся прочитати якийсь текст, і вам здається, що він надмірно складний, то знайте, що він написано хронічно. Я стверджую, що немає жодної галузі математики, про яку не можна говорити «на пальцях», не втрачаючи при цьому точності.

Завдання найближчим часом: я доручив своїм студентам зрозуміти, що таке лінійно-квадратичний регулятор. Не посоромтеся, витратите три хвилини свого життя, сходіть на заслання. Якщо ви нічого не зрозуміли, то нам з вами по дорозі. Я (професійний математик-програміст) також нічого не зрозумів. І я запевняю, що в цьому можна розібратися «на пальцях». На даний момент я не знаю, що це таке, але я запевняю, що ми зможемо розібратися.

Отже, перша лекція, яку я збираюся прочитати своїм студентам після того, як вони з жахом вдадуться до мене зі словами, що лінійно-квадратичний регулятор - це страшна бяка, яку ніколи в житті не подужати, це методи найменших квадратів. Чи вмієте ви розв'язувати лінійні рівняння? Якщо ви читаєте цей текст, то, швидше за все, ні.

Отже, дано дві точки (x0, y0), (x1, y1), наприклад, (1,1) і (3,2), завдання знайти рівняння прямої, що проходить через ці дві точки:

ілюстрація

Ця пряма повинна мати рівняння наступного типу:

Тут альфа і бета нам невідомі, але відомі дві точки цієї прямої:

Можна записати це рівняння у матричному вигляді:

Тут слід створити ліричний відступ: що таке матриця? Матриця це не що інше, як двовимірний масив. Це спосіб зберігання даних, більше ніяких значень йому не варто надавати. Це залежить від нас, як саме інтерпретувати якусь матрицю. Періодично я її інтерпретуватиму як лінійне відображення, періодично як квадратичну форму, а ще іноді просто як набір векторів. Це все буде уточнено у контексті.

Давайте замінимо конкретні матриці на їхнє символьне уявлення:

Тоді (alpha, beta) може бути легко знайдено:

Більш конкретно для наших попередніх даних:

Що веде до наступного рівняння прямої, що проходить через точки (1,1) та (3,2):

Окей, тут зрозуміло. А давайте знайдемо рівняння прямої, що проходить через триточки: (x0, y0), (x1, y1) та (x2, y2):

Ой-ой-ой, але ж у нас три рівняння на дві невідомі! Стандартний математик скаже, що рішення немає. А що скаже програміст? А він спершу перепише попередню систему рівнянь у наступному вигляді:

У нашому випадку вектори i,j,b тривимірні, отже, (загалом) рішення цієї системи немає. Будь-який вектор (alpha i i beta i j) лежить у площині, натягнутій на вектори (i, j). Якщо b не належить цій площині, то рішення немає (рівності у рівнянні не досягти). Що робити? Давайте шукати компроміс. Давайте позначимо через e(alpha, beta)наскільки саме ми не досягли рівності:

І намагатимемося мінімізувати цю помилку:

Чому квадрат?

Ми шукаємо не просто мінімум норми, а мінімум квадрата норми. Чому? Сама точка мінімуму збігається, а квадрат дає гладку функцію (квадратичну функцію від агрументів (alpha, beta)), тоді як просто довжина дає функцію як конуса, недиференційовану в точці мінімуму. Брр. Квадрат зручніший.

Очевидно, що помилка мінімізується, коли вектор eортогональний площині, натягнутій на вектори. iі j.

Ілюстрація

Іншими словами: ми шукаємо таку пряму, що сума квадратів довжин відстаней від усіх точок до цієї прямої мінімальна:

UPDATE: тут у мене одвірок, відстань до прямої має вимірюватися по вертикалі, а не ортогональною проекцією. коментатор прав.

Ілюстрація

Зовсім іншими словами (обережно, погано формалізовано, але на пальцях має бути ясно): ми беремо всі можливі прямі між усіма парами точок і шукаємо середню пряму між усіма:

Ілюстрація

Інше пояснення на пальцях: ми прикріплюємо пружинку між усіма точками даних (тут у нас три) і пряме, що ми шукаємо, і пряма рівноважного стану є саме те, що ми шукаємо.

Мінімум квадратичної форми

Отже, маючи цей вектор bта площину, натягнуту на стовпці-вектори матриці A(в даному випадку (x0,x1,x2) та (1,1,1)), ми шукаємо вектор eз мінімуму квадрата довжини. Очевидно, що мінімум можна досягти тільки для вектора. e, ортогональної площини, натягнутої на стовпці-вектори матриці. A:

Інакше кажучи, ми шукаємо такий вектор x=(alpha, beta), що:

Нагадую, цей вектор x=(alpha, beta) є мінімумом квадратичної функції ||e(alpha, beta)||^2:

Тут не зайвим буде згадати, що матрицю можна інтерпретувати у тому числі як і квадратичну форму, наприклад, одинична матриця ((1,0),(0,1)) може бути інтерпретована як функція x^2 + y^2:

квадратична форма

Вся ця гімнастика відома під ім'ям лінійної регресії.

Рівняння Лапласа з граничною умовою Діріхле

Тепер найпростіше реальне завдання: є якась тріангульована поверхня, необхідно її згладити. Наприклад, давайте завантажимо модель моєї особи:

Початковий коміт доступний. Для мінімізації зовнішніх залежностей я взяв код свого софтверного рендерера вже на хабрі. Для вирішення лінійної системи я користуюся OpenNL, це чудовий солвер, який, щоправда, дуже складно встановити: потрібно скопіювати два файли (.h+.c) у папку з вашим проектом. Все згладжування робиться наступним кодом:

For (int d=0; d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i&face = faces[i]; for (int j = 0; j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

X, Y та Z координати відокремлені, я їх згладжую окремо. Тобто, я вирішую три системи лінійних рівнянь, кожне має кількість змінних рівною кількістю вершин у моїй моделі. Перші n рядків матриці A мають лише одну одиницю на рядок, а перші n рядків вектора b мають оригінальні координати моделі. Тобто, я прив'язую по пружинці між новим становищем вершини і старим становищем вершини - нові не повинні занадто далеко йти від старих.

Всі наступні рядки матриці A (faces.size()*3 = кількості ребер всіх трикутників у сітці) мають одне входження 1 та одне входження -1, причому вектор b має нульові компоненти навпаки. Це означає, що я вішаю пружинку на кожне ребро нашої трикутної сітки: всі ребра намагаються отримати одну й ту саму вершину як відправну та фінальну точку.

Ще раз: змінними є всі вершини, причому вони можуть далеко відходити від початкового становища, але заодно намагаються стати схожими друг на друга.

Ось результат:

Все було б добре, модель дійсно згладжена, але вона відійшла від свого початкового краю. Давайте трохи змінимо код:

For (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

У нашій матриці A я для вершин, що знаходяться на краю, не додаю рядок з розряду v_i = verts[i][d], а 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. Що це змінює? А змінює це нашу квадратичну форму помилки. Тепер одиничне відхилення від вершини краю коштуватиме не одну одиницю, як раніше, а 1000*1000 одиниць. Тобто, ми повісили сильнішу пружинку на крайні вершини, рішення воліє розтягнути інші. Ось результат:

Давайте вдвічі посилимо пружинки між вершинами:
nlCoefficient (face [j], 2); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -2);

Логічно, що поверхня стала гладкішою:

А тепер ще в сто разів сильніше:

Що це? Уявіть, що ми вмочили дротяне кільце в мильну воду. У результаті мильна плівка, що утворилася, буде намагатися мати найменшу кривизну, наскільки це можливо, торкаючись-таки кордону - нашого дротяного кільця. Саме це ми й отримали, зафіксувавши кордон та попросивши отримати гладку поверхню всередині. Вітаю вас, ми тільки-но вирішили рівняння Лапласа з граничними умовами Діріхле. Круто звучить? А насправді лише одну систему лінійних рівнянь вирішити.

Рівняння Пуассона

Давайте ще круте ім'я згадаємо.

Припустимо, що у мене є така картинка:

Всім гарна, тільки стілець мені не подобається.

Розріжу картинку навпіл:

І виділю руками стілець:

Потім все, що біле в масці, притягну до лівої частини картинки, а заразом по всій картинці скажу, що різниця між двома сусідніми пікселями повинна дорівнювати різниці між двома сусідніми пікселями правої картинки:

For (int i=0; i

Ось результат:

Код та зображення доступні

Яке знаходить найширше застосування у різних галузях науки та практичної діяльності. Це може бути фізика, хімія, біологія, економіка, соціологія, психологія і таке інше. Волею долі мені часто доводиться мати справу з економікою, і тому сьогодні я оформлю вам путівку до дивовижної країни під назвою Економетрика=) …Як це не хочете?! Там дуже добре – треба тільки наважитися! …Але ось те, що ви, напевно, точно хочете – так це навчитися вирішувати завдання методом найменших квадратів. І особливо старанні читачі навчаться вирішувати їх не тільки безпомилково, але ще й ДУЖЕ ШВИДКО;-) Але спочатку загальна постановка задачі+ супутній приклад:

Нехай у деякій предметної області досліджуються показники, які мають кількісне вираз. У цьому є підстави вважати, що показник залежить від показника . Це може бути як наукової гіпотезою, і грунтуватися на елементарному здоровому глузді. Залишимо, проте, науку осторонь і досліджуємо більш апетитні області - зокрема, продовольчі магазини. Позначимо через:

– торгову площу продовольчого магазину, кв.м.,
- Річний товарообіг продовольчого магазину, млн. руб.

Цілком зрозуміло, що чим більша площа магазину, тим у більшості випадків буде більшим його товарообіг.

Припустимо, що після проведення спостережень/дослідів/підрахунків/танців з бубном у нашому розпорядженні виявляються числові дані:

З гастрономами, гадаю, все зрозуміло: - це площа 1-го магазину, - його річний товарообіг, - площа 2-го магазину, - його річний товарообіг і т.д. До речі, зовсім не обов'язково мати доступ до секретних матеріалів – досить точну оцінку товарообігу можна отримати засобами математичної статистики. Втім, не відволікаємось, курс комерційного шпигунства – він уже платний =)

Табличні дані також можна записати у вигляді точок та зобразити у звичній для нас декартовій системі .

Відповімо на важливе питання: скільки точок потрібно якісного дослідження?

Чим більше тим краще. Мінімально допустимий набір складається з 5-6 пікселів. Крім того, при невеликій кількості даних у вибірку не можна включати «аномальні» результати. Так, наприклад, невеликий елітний магазин може рятувати на порядки більше «своїх колег», спотворюючи тим самим загальну закономірність, яку потрібно знайти!

Якщо дуже просто – нам потрібно підібрати функцію, графікякою проходить якомога ближче до точок . Таку функцію називають апроксимуючою (апроксимація – наближення)або теоретичною функцією . Взагалі кажучи, тут одразу з'являється очевидний «претендент» – багаточлен високого ступеня, графік якого проходить через всі точки. Але цей варіант складний, а часто й просто некоректний (т.к. графік буде весь час «петляти» і погано відбиватиме головну тенденцію).

Таким чином, функція, що розшукується, повинна бути досить проста і в той же час відображати залежність адекватно. Як ви здогадуєтеся, один із методів знаходження таких функцій і називається методом найменших квадратів. Спочатку розберемо його суть у загальному вигляді. Нехай деяка функція наближає експериментальні дані:


Як оцінити точність наближення? Обчислимо і різниці (відхилення) між експериментальними та функціональними значеннями (Вивчаємо креслення). Перша думка, яка спадає на думку – це оцінити, наскільки велика сума, але проблема полягає в тому, що різниці можуть бути і негативні. (наприклад, ) та відхилення внаслідок такого підсумовування будуть взаємознищуватись. Тому як оцінка точності наближення напрошується прийняти суму модуліввідхилень:

або в згорнутому вигляді: (раптом хто не знає: – це значок суми, а – допоміжна змінна-«лічильник», яка набуває значення від 1 до ).

Наближаючи експериментальні точки різними функціями, ми отримуватимемо різні значення , і очевидно, де ця сума менша – та функція і точніше.

Такий метод існує і називається він методом найменших модулів. Однак на практиці набув значно більшого поширення метод найменших квадратів, В якому можливі негативні значення ліквідуються не модулем, а зведенням відхилень у квадрат:

, після чого зусилля спрямовані на підбір такої функції, щоб сума квадратів відхилень була якнайменше. Власне, звідси й назва методу.

І зараз ми повертаємося до іншого важливого моменту: як зазначалося вище, функція, що підбирається, повинна бути досить проста - але ж і таких функцій теж чимало: лінійна , гіперболічна, експоненційна, логарифмічна, квадратична і т.д. І, звичайно, тут одразу б хотілося «скоротити поле діяльності». Який клас функцій вибрати на дослідження? Примітивний, але ефективний прийом:

– Найпростіше зобразити точки на кресленні та проаналізувати їх розташування. Якщо вони мають тенденцію розташовуватися по прямій, слід шукати рівняння прямої з оптимальними значеннями та . Іншими словами, завдання полягає у знаходженні ТАКИХ коефіцієнтів – щоб сума квадратів відхилень була найменшою.

Якщо ж точки розташовані, наприклад, по гіперболі, то свідомо зрозуміло, що лінійна функція даватиме погане наближення. У цьому випадку шукаємо найбільш «вигідні» коефіцієнти для рівняння гіперболи – ті, що дають мінімальну суму квадратів .

А тепер зверніть увагу, що в обох випадках мова йде про функції двох змінних, аргументами якої є параметри залежностей, що розшукуються:

І по суті нам потрібно вирішити стандартне завдання – знайти мінімум функції двох змінних.

Згадаймо про наш приклад: припустимо, що «магазинні» точки мають тенденцію розташовуватись по прямій лінії і є всі підстави вважати наявність лінійної залежностітоварообігу від торгової площі Знайдемо ТАКІ коефіцієнти «а» та «бе», щоб сума квадратів відхилень була найменшою. Все як завжди - спочатку приватні похідні 1-го порядку. Згідно правилу лінійностідиференціювати можна прямо під значком суми:

Якщо хочете використовувати цю інформацію для реферату або курсовика - буду дуже вдячний за посилання в списку джерел, такі докладні викладки знайдете мало де:

Складемо стандартну систему:

Скорочуємо кожне рівняння на «двійку» і, крім того, «розвалюємо» суми:

Примітка : самостійно проаналізуйте, чому «а» та «бе» можна винести за значок суми До речі, формально це можна зробити і із сумою

Перепишемо систему у «прикладному» вигляді:

після чого починає промальовуватися алгоритм розв'язання нашого завдання:

Координати точок ми знаємо? Знаємо. Суми знайти можемо? Легко. Складаємо найпростішу систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими(«а» та «бе»). Систему вирішуємо, наприклад, методом Крамера, у результаті отримуємо стаціонарну точку . Перевіряючи достатня умова екстремумуможна переконатися, що в даній точці функція досягає саме мінімуму. Перевірка пов'язана з додатковими викладками і тому залишимо її за кадром (при необхідності кадр, що бракує, можна подивитися ). Робимо остаточний висновок:

Функція найкращим чином (принаймні, порівняно з будь-якою іншою лінійною функцією)наближає експериментальні точки . Грубо кажучи, її графік відбувається максимально близько до цих точок. У традиціях економетрикиотриману апроксимуючу функцію також називають рівнянням парної лінійної регресії .

Розглянуте завдання має велике практичне значення. У ситуації з нашим прикладом, рівняння дозволяє прогнозувати, який товарообіг («Ігрек»)буде біля магазину при тому чи іншому значенні торгової площі (Тому чи іншому значенні «ікс»). Так, отриманий прогноз буде лише прогнозом, але у багатьох випадках він виявиться досить точним.

Я розберу лише одне завдання з «реальними» числами, оскільки жодних труднощів у ній немає – всі обчислення на рівні шкільної програми 7-8 класу. У 95 відсотків випадків вам буде запропоновано знайти лінійну функцію, але в самому кінці статті я покажу, що нітрохи не складніше знайти рівняння оптимальної гіперболи, експоненти та деяких інших функцій.

По суті, залишилося роздати обіцяні плюшки – щоб ви навчилися вирішувати такі приклади не лише безпомилково, а ще й швидко. Уважно вивчаємо стандарт:

Завдання

В результаті дослідження взаємозв'язку двох показників отримані такі пари чисел:

Методом найменших квадратів знайти лінійну функцію, яка найкраще наближає емпіричні (досвідчені)дані. Зробити креслення, на якому в декартовій прямокутній системі координат побудувати експериментальні точки та графік апроксимуючої функції . Знайти суму квадратів відхилень між емпіричними та теоретичними значеннями. З'ясувати, чи буде функція кращою (з погляду методу найменших квадратів)наближати експериментальні точки.

Зауважте, що «іксові» значення – натуральні, і це має характерний змістовний зміст, про який я розповім трохи згодом; але вони, зрозуміло, можуть і дробовими. Крім того, залежно від змісту того чи іншого завдання як «іксові», так і «ігрові» значення повністю або частково можуть бути негативними. Ну а у нас дане «безлике» завдання, і ми починаємо її Рішення:

Коефіцієнти оптимальної функції знайдемо як розв'язання системи:

З метою більш компактного запису змінну-«лічильник» можна опустити, оскільки і так зрозуміло, що підсумовування здійснюється від 1 до .

Розрахунок потрібних сум зручніше оформити у табличному вигляді:


Обчислення можна провести на мікрокалькуляторі, але краще використовувати Ексель - і швидше, і без помилок; дивимося короткий відеоролик:

Таким чином, отримуємо наступну систему:

Тут можна помножити друге рівняння на 3 та від 1-го рівняння почленно відняти 2-е. Але це везіння - на практиці системи частіше не подарункові, і в таких випадках рятує метод Крамера:
Отже, система має єдине рішення.

Виконаємо перевірку. Розумію, що не хочеться, але навіщо пропускати помилки там, де їх можна стовідсотково не пропустити? Підставимо знайдене рішення в ліву частину кожного рівняння системи:

Отримано праві частини відповідних рівнянь, отже система вирішена правильно.

Таким чином, шукана апроксимуюча функція: – з всіх лінійних функційекспериментальні дані найкраще наближає саме вона.

На відміну від прямий залежності товарообігу магазину від його площі, знайдена залежність є зворотній (Принцип «що більше – тим менше»), і цей факт відразу виявляється по негативному кутовому коефіцієнту. Функція повідомляє нам про те, що зі збільшення якогось показника на 1 одиницю значення залежного показника зменшується в середньомуна 0,65 одиниць. Як то кажуть, що вище ціна на гречку, то менше її продано.

Для побудови графіка апроксимуючої функції знайдемо два її значення:

і виконаємо креслення:


Побудована пряма називається лінією тренду (а саме – лінією лінійного тренду, тобто у загальному випадку тренд – це не обов'язково пряма лінія). Всім знайомий вислів «бути в тренді», і, гадаю, що цей термін не потребує додаткових коментарів.

Обчислимо суму квадратів відхилень між емпіричними та теоретичними значеннями. Геометрично – це сума квадратів довжин «малинових» відрізків (два з яких настільки малі, що їх навіть не видно).

Обчислення зведемо до таблиці:


Їх можна знову ж таки провести вручну, про всяк випадок наведу приклад для 1-ї точки:

але набагато ефективніше вчинити вже відомим чином:

Ще раз повторимо: у чому сенс отриманого результату?З всіх лінійних функційу функції показник є найменшим, тобто у своїй родині це найкраще наближення. І тут, до речі, невипадкове заключне питання завдання: а раптом запропонована експоненційна функція краще наближати експериментальні точки?

Знайдемо відповідну суму квадратів відхилень – щоб розрізняти, я позначу їх літерою «епсілон». Техніка така сама:


І знову на будь-який пожежний обчислення для 1-ї точки:

В Екселі користуємося стандартною функцією EXP (Синтаксис можна подивитися в екселевський Довідці).

Висновок: , отже, експоненційна функція наближає експериментальні точки гірше, ніж пряма .

Але тут слід зазначити, що «гірше» – це ще не означає, що погано. Зараз збудував графік цієї експоненційної функції – і він теж проходить близько до точок - Так, що без аналітичного дослідження і сказати важко, яка функція точніше.

На цьому рішення закінчено, і я повертаюся до питання про натуральні значення аргументу. У різних дослідженнях, зазвичай, економічних чи соціологічних, натуральними «іксами» нумерують місяці, роки чи інші рівні часові проміжки. Розглянемо, наприклад, таке завдання.