Будуть і завдання для самостійного вирішення, до яких можна переглянути відповіді.

Якщо в задачі і довжини векторів, і кут між ними подано "на блюдечку з блакитною облямівкою", то умова задачі та її вирішення виглядають так:

приклад 1.Дано вектори. Знайти скалярний добуток векторів, якщо їх довжини та кут між ними представлені такими значеннями:

Справедливе та інше визначення, повністю рівносильне визначенню 1.

Визначення 2. Скалярним твором векторів називається число (скаляр), рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, що визначається першим із зазначених векторів. Формула згідно з визначенням 2:

Завдання із застосуванням цієї формули вирішимо після наступного важливого теоретичного пункту.

Визначення скалярного твору векторів через координати

Те саме число можна отримати, якщо вектори, що перемножуються, задані своїми координатами.

Визначення 3. Скалярний твірвекторів - це число, що дорівнює сумі попарних творів їх відповідних координат.

На площині

Якщо два вектори та на площині визначені своїми двома декартовими прямокутними координатами

то скалярний добуток цих векторів дорівнює сумі попарних творів їх відповідних координат:

.

приклад 2.Знайти чисельну величину векторної проекції на вісь, паралельну вектору .

Рішення. Знаходимо скалярне твір векторів, складаючи попарні твори їх координат:

Тепер нам потрібно прирівняти отриманий скалярний добуток до довжини вектора на проекцію вектора на вісь, паралельну вектору (відповідно до формули ).

Знаходимо довжину вектора як квадратний коріньіз суми квадратів його координат:

.

Складаємо рівняння та вирішуємо його:

Відповідь. Чисельна величина, що шукається, дорівнює мінус 8.

В просторі

Якщо два вектори та у просторі визначені своїми трьома декартовими прямокутними координатами

,

то скалярний добуток цих векторів також дорівнює сумі попарних творів їх відповідних координат, лише координат вже три:

.

Завдання перебування скалярного твору розглянутим способом - після розбору властивостей скалярного произведения. Тому що в задачі потрібно визначити, який кут утворюють вектори, що перемножуються.

Властивості скалярного твору векторів

Алгебраїчні властивості

1. (переміщувальна властивість: від зміни місцями векторів, що перемножуються, величина їх скалярного твору не змінюється).

2. (сполучна щодо числового множника властивість: скалярний добуток вектора, помноженого на деякий множник, та іншого вектора, дорівнює скалярному добутку цих векторів, помноженому на той самий множник).

3. (розподільна щодо суми векторів властивість: скалярний добуток суми двох векторів на третій вектор дорівнює сумі скалярних творів першого вектора на третій вектор і другого вектора на третій вектор).

4. (скалярний квадрат вектор більше нуля), якщо - ненульовий вектор, і якщо - нульовий вектор.

Геометричні властивості

У визначеннях досліджуваної операції ми вже стосувалися поняття кута між двома векторами. Настав час уточнити це поняття.

На малюнку вище видно два вектори, які наведені до спільному початку. І перше, на що потрібно звернути увагу: між цими векторами існують два кути. φ 1 і φ 2 . Який із цих кутів фігурує у визначеннях та властивостях скалярного твору векторів? Сума розглянутих кутів дорівнює 2 π і тому косинуси цих кутів рівні. У визначення скалярного твору входить лише косинус кута, а чи не значення його висловлювання. Але у властивостях розглядається лише один кут. І це той із двох кутів, який не перевищує π , тобто 180 градусів. На малюнку цей кут позначений як φ 1 .

1. Два вектори називають ортогональними і кут між цими векторами - прямий (90 градусів або π /2), якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю :

.

Ортогональністю у векторній алгебрі називається перпендикулярність двох векторів.

2. Два ненульові вектори складають гострий кут (від 0 до 90 градусів, або, що те саме - менше π скалярний твір позитивно .

3. Два ненульові вектори складають тупий кут (від 90 до 180 градусів, або, що те саме - більше π /2 ) тоді й тільки тоді, коли їх скалярний твір негативно .

приклад 3.У координатах дано вектори:

.

Обчислити скалярні добутки всіх пар даних векторів. Який кут (гострий, прямий, тупий) утворюють ці пари векторів?

Рішення. Обчислюватимемо шляхом складання творів відповідних координат.

Отримали негативне число, тому вектори утворюють тупий кут.

Отримали позитивну кількість, тому вектори утворюють гострий кут.

Отримали нуль, тому вектори утворюють прямий кут.

Отримали позитивну кількість, тому вектори утворюють гострий кут.

.

Отримали позитивну кількість, тому вектори утворюють гострий кут.

Для самоперевірки можна використовувати онлайн калькулятор Скалярне твір векторів і косинус кута між ними .

приклад 4.Дані довжини двох векторів та кут між ними:

.

Визначити, при якому значенні числа вектори та ортогональні (перпендикулярні).

Рішення. Перемножимо вектори за правилом множення багаточленів:

Тепер обчислимо кожне доданок:

.

Складемо рівняння (рівність добутку нулю), наведемо подібні члени і розв'яжемо рівняння:

Відповідь: ми отримали значення λ = 1,8 при якому вектори ортогональні.

Приклад 5.Довести, що вектор ортогональний (перпендикулярний) вектор

Рішення. Щоб перевірити ортогональність, перемножимо вектори і як багаточлени, підставляючи замість його вираз, дане за умови завдання:

.

Для цього потрібно кожен член (доданок) першого багаточлена помножити на кожен член другого та отримані твори скласти:

.

В отриманому результаті дріб за рахунок скорочується. Виходить наступний результат:

Висновок: в результаті множення набули нуль, отже, ортогональність (перпендикулярність) векторів доведена.

Вирішити завдання самостійно, а потім переглянути рішення

Приклад 6.Дані довжини векторів і , a кут між цими векторами дорівнює π /4. Визначити, за якого значення μ вектори та взаємно перпендикулярні.

Для самоперевірки можна використовувати онлайн калькулятор Скалярне твір векторів і косинус кута між ними .

Матричне уявлення скалярного твору векторів та добуток n-мірних векторів

Іноді виграшним для наочності є уявлення двох векторів, що перемножуються, у вигляді матриць. Тоді перший вектор представлений у вигляді матриці-рядка, а другий - у вигляді матриці-стовпця:

Тоді скалярний добуток векторів буде твором цих матриць :

Результат той самий, як і отриманий способом, який ми вже розглянули. Отримали одне однину, і добуток матриці-рядки на матрицю-стовпець також є одним одниною.

У матричній формі зручно представляти добуток абстрактних n-мірних векторів. Так, добуток двох чотиривимірних векторів буде добутком матриці-рядка з чотирма елементами на матрицю-стовпець також з чотирма елементами, добуток двох п'ятивимірних векторів - добутком матриці-рядка з п'ятьма елементами на матрицю-стовпець також з п'ятьма елементами і так далі.

Приклад 7.Знайти скалярні твори пар векторів

,

використовуючи матричну виставу.

Рішення. Перша пара векторів. Представляємо перший вектор у вигляді матриці-рядка, а другий - у вигляді матриці-стовпця. Знаходимо скалярний добуток цих векторів як добуток матриці-рядка на матрицю-стовпець:

Аналогічно представляємо другу пару та знаходимо:

Як бачимо, результати вийшли ті ж, що й у тих самих пар з прикладу 2.

Кут між двома векторами

Висновок формули косинуса кута між двома векторами дуже гарний і короткий.

Щоб висловити скалярний твір векторів

(1)

у координатній формі, попередньо знайдемо скалярні добутки ортів. Скалярне твір вектора на себе за визначенням:

Те, що записано у формулі вище, означає: скалярний добуток вектора на самого себе дорівнює квадрату його довжини. Косинус нуля дорівнює одиниці, тому квадрат кожного орта дорівнюватиме одиниці:

Оскільки вектори

попарно перпендикулярні, то попарні твори ортів дорівнюватимуть нулю:

Тепер виконаємо множення векторних багаточленів:

Підставляємо в праву частинурівності значення відповідних скалярних творів ортів:

Отримуємо формулу косинуса кута між двома векторами:

Приклад 8.Дано три точки A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Знайти кут.

Рішення. Знаходимо координати векторів:

,

.

За формулою косинуса кута отримуємо:

Отже, .

Для самоперевірки можна використовувати онлайн калькулятор Скалярне твір векторів і косинус кута між ними .

Приклад 9.Дано два вектори

Знайти суму, різницю, довжину, скалярний твір та кут між ними.

2.Різниця

Скалярний добуток векторів

Продовжуємо розбиратися із векторами. На першому уроці Вектори для чайниківми розглянули поняття вектора, дії з векторами, координати вектора та найпростіші завдання із векторами. Якщо ви зайшли на цю сторінку вперше з пошуковика, настійно рекомендую прочитати вищезгадану вступну статтю, оскільки для засвоєння матеріалу необхідно орієнтуватися в термінах, позначеннях, що використовуються мною, володіти базовими знаннями про вектори і вміти вирішувати елементарні завдання. Цей урок є логічним продовженням теми, і на ньому я докладно розберу типові завдання, в яких використовується скалярний твір векторів. Це ДУЖЕ ВАЖЛИВЕ заняття. Намагайтеся не пропускати приклади, до них додається корисний бонус – практика допоможе вам закріпити пройдений матеріал і «набити руку» на вирішенні поширених завдань аналітичної геометрії.

Додавання векторів, множення вектора на число…. Було б наївним думати, що математики не вигадали щось ще. Крім уже розглянутих дій, існує низка інших операцій із векторами, а саме: скалярний добуток векторів, векторний добуток векторіві змішаний твір векторів. Скалярний твір векторів знайомий нам зі школи, два інших твори традиційно ставляться до курсу вищої математики. Теми нескладні, алгоритм вирішення багатьох завдань трафаретний і зрозумілий. Єдине. Інформації пристойно, тому небажано намагатися освоїти-вирішувати ВСЕ І ВІДРАЗУ. Особливо це стосується чайників, повірте, автор зовсім не хоче почувати себе Чікатіло від математики. Ну і не від математики, звичайно, теж =) Більше підготовлені студенти можуть використовувати матеріали вибірково, у певному сенсі, «добирати» знання, що бракують, для вас я буду невинним графом Дракулою =)

Прочинимо ж, нарешті, двері і захоплено подивимося, що відбувається, коли два вектори зустрічають один одного….

Визначення скалярного добутку векторів.
Властивості скалярного твору. Типові завдання

Поняття скалярного твору

Спочатку про кут між векторами. Думаю, всім інтуїтивно зрозуміло, що таке кут між векторами, але про всяк випадок трохи докладніше. Розглянемо вільні ненульові вектори та . Якщо відкласти ці вектори від довільної точки, то вийде картинка, яку багато хто вже представив подумки:

Зізнаюся, тут я описав ситуацію лише на рівні розуміння. Якщо необхідно суворе визначення кута між векторами, будь ласка, зверніться до підручника, для практичних завдань воно нам, в принципі, ні до чого. Також ТУТ І ДАЛІ я місцями ігноруватиму нульові вектори через їх малу практичну значущість. Застереження зробив спеціально для просунутих відвідувачів сайту, які можуть мені дорікнути за теоретичну неповноту деяких наступних тверджень.

може набувати значення від 0 до 180 градусів (від 0 до радіан) включно. Аналітично даний фактзаписується у вигляді подвійної нерівності: або (У радіанах).

У літературі значок кута часто пропускають і пишуть просто.

Визначення:Скалярним твором двох векторів і називається ЧИСЛО, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

Ось це вже цілком суворе визначення.

Акцентуємо увагу на суттєвій інформації:

Позначення:скалярний твір позначається через або просто.

Результат операції є ЧИСЛОМ: Помножується вектор на вектор, а виходить число Справді, якщо довжини векторів – це числа, косинус кута – число, їхній твір теж буде числом.

Відразу пара прикладів розминки:

Приклад 1

Рішення:Використовуємо формулу . В даному випадку:

Відповідь:

Значення косинуса можна знайти в тригонометричної таблиці. Рекомендую її роздрукувати - знадобиться практично у всіх розділах вежі і знадобиться багато разів.

Чисто з математичної погляду скалярне твір безрозмірно, тобто результат, у разі , просто число і все. З точки зору завдань фізики скалярний твір завжди має певний фізичний зміст, тобто після результату потрібно вказати ту чи іншу фізичну одиницю. Канонічний приклад з обчислення роботи сили можна знайти в будь-якому підручнику (формула в точності є скалярним твіром). Робота сили вимірюється в Джоулях, тому і відповідь запишеться цілком конкретно, наприклад, .

Приклад 2

Знайти , якщо , а кут між векторами дорівнює.

Це приклад самостійного рішення, відповідь наприкінці уроку.

Кут між векторами та значення скалярного твору

У Прикладі 1 скалярне твір вийшло позитивним, а Прикладі 2 – негативним. З'ясуймо, від чого залежить знак скалярного твору. Дивимося на формулу: . Довжини ненульових векторів завжди позитивні: тому знак може залежати тільки від значення косинуса.

Примітка: Для більш якісного розуміння наведеної нижче інформації краще вивчити графік косинуса в методичці Графіки та властивості функції. Подивіться, як поводиться косинус на відрізку.

Як уже зазначалося, кут між векторами може змінюватись у межах , і при цьому можливі такі випадки:

1) Якщо кутміж векторами гострий: (від 0 до 90 градусів), то , і скалярний твір буде позитивним співспрямовані, то кут між ними вважається нульовим, і скалярне твір також буде позитивним. Оскільки , формула спрощується: .

2) Якщо кутміж векторами тупий: (від 90 до 180 градусів), то , і відповідно, скалярний твір негативно: . Особливий випадок: якщо вектори спрямовані протилежно, то кут між ними вважається розгорнутим: (180 градусів). Скалярне твір теж негативно, оскільки

Справедливі та зворотні твердження:

1) Якщо , то кут між цими векторами гострий. Як варіант вектори сонаправлены.

2) Якщо , то кут між цими векторами тупий. Як варіант вектори спрямовані протилежно.

Але особливий інтерес становить третій випадок:

3) Якщо кутміж векторами прямий: (90 градусів), то й скалярний добуток дорівнює нулю: . Назад теж вірно: якщо , то . Компактне твердження формулюється так: Скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори ортогональні.. Короткий математичний запис:

! Примітка : повторимо основи математичної логіки: двосторонній значок логічного слідства зазвичай читають «тоді й тільки тоді», «у тому й лише в тому випадку». Як бачите, стрілки направлені в обидві сторони – «з цього випливає це, і назад – з того, випливає це». У чому, до речі, на відміну від одностороннього значка слідування? Значок стверджує, тільки те, Що «з цього випливає це», і не факт, що протилежне справедливе. Наприклад: , але не кожен звір є пантерою, тому в цьому випадку не можна використовувати . У той же час замість значка можна, можливовикористовувати односторонній значок. Наприклад, вирішуючи завдання, ми з'ясували, що й зробили висновок, що вектори ортогональні: – такий запис буде коректним, і навіть доречнішим, ніж .

Третій випадок має велику практичну значимість оскільки дозволяє перевірити, ортогональні вектори чи ні. Це завдання ми вирішимо у другому розділі уроку.

Властивості скалярного твору

Повернемося до ситуації, коли два вектори співспрямовані. І тут кут з-поміж них дорівнює нулю, , і формула скалярного твори набуває вигляду: .

А що буде, якщо вектор помножити на себе? Зрозуміло, що вектор спрямований сам із собою, тому користуємося вищезгаданою спрощеною формулою:

Число називається скалярним квадратомвектора і позначаться як .

Таким чином, скалярний квадрат вектор дорівнює квадратудовжини даного вектора:

З цієї рівності можна отримати формулу для обчислення довжини вектора:

Поки що вона здається малозрозумілою, але завдання уроку все розставлять на свої місця. Для вирішення завдань нам також знадобляться властивості скалярного твору.

Для довільних векторів та будь-якого числа справедливі такі властивості:

1) - переміщувальний або комутативнийзакон скалярного твору

2) - Розподільчий або дистрибутивнийзакон скалярного твору Просто можна розкривати дужки.

3) - Сполучний або асоціативнийзакон скалярного твору Константу можна винести із скалярного твору.

Найчастіше, всілякі властивості (які ще й доводити треба!) сприймаються студентами як непотрібний мотлох, який лише необхідно визубрити і відразу після іспиту благополучно забути. Здавалося б, чого тут важливого, всі й так з першого класу знають, що з перестановки множників твір змінюється: . Повинен застерегти, що у вищій математиці з подібним підходом легко наламати дров. Так, наприклад, переміщувальна властивість не є справедливою для алгебраїчних матриць. Невірно воно і для векторного твору векторів. Тому, будь-які властивості, які вам зустрінуться в курсі вищої математики, як мінімум, краще вникати, щоб зрозуміти, що можна робити, а чого не можна.

Приклад 3

.

Рішення:Спочатку прояснимо ситуацію з вектором. Що це взагалі таке? Сума векторів і є цілком певним вектором, який і позначений через . Геометричну інтерпретацію дій із векторами можна знайти у статті Вектори для чайників. Та ж петрушка з вектором – це сума векторів та .

Отже, за умовою потрібно знайти скалярний твір. За ідеєю, потрібно застосувати робочу формулу Але біда в тому, що нам невідомі довжини векторів і кут між ними. Зате в умові дано аналогічні параметри для векторів, тому ми підемо іншим шляхом:

(1) Підставляємо вирази векторів.

(2) Розкриваємо дужки за правилом множення багаточленів, вульгарну скоромовку можна знайти в статті Комплексні числаабо Інтегрування дробово-раціональної функції. Повторюватися вже не буду До речі, розкрити дужки нам дозволяє дистрибутивна властивість скалярного твору. Маємо право.

(3) У першому та останньому доданку компактно записуємо скалярні квадрати векторів: . У другому доданку використовуємо перестановочність скалярного произведения: .

(4) Наводимо такі доданки: .

(5) У першому доданку використовуємо формулу скалярного квадрата , яку недавно згадувалося. В останньому доданку, відповідно, працює та сама штука: . Другий доданок розкладаємо за стандартною формулою .

(6) Підставляємо ці умови , та УВАЖНО проводимо остаточні обчислення.

Відповідь:

Негативне значенняскалярного твору констатує те що, що кут між векторами є тупим.

Завдання типове, ось приклад для самостійного вирішення:

Приклад 4

Знайти скалярний добуток векторів і, якщо відомо, що .

Тепер ще одне поширене завдання, саме на нову формулу довжини вектора . Позначення тут трохи співпадатимуть, тому для ясності я перепишу її з іншою літерою:

Приклад 5

Знайти довжину вектора, якщо .

Рішеннябуде наступним:

(1) Поставляємо вираз вектора.

(2) Використовуємо формулу довжини: , при цьому як вектор «ве» у нас виступає ціле вираз .

(3) Використовуємо шкільну формулу квадрата суми. Зверніть увагу, як вона тут цікаво працює: - Це квадрат різниці, і, по суті, так воно і є. Бажаючі можуть переставити вектори місцями: – вийшло те саме з точністю до перестановки доданків.

(4) Подальше вже знайоме із двох попередніх завдань.

Відповідь:

Якщо йдеться про довжину, не забуваємо вказати розмірність - «одиниці».

Приклад 6

Знайти довжину вектора, якщо .

Це приклад самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Продовжуємо вичавлювати корисні речі із скалярного твору. Знову подивимося на нашу формулу . За правилом пропорції скинемо довжини векторів у знаменник лівої частини:

А частини поміняємо місцями:

У чому зміст цієї формули? Якщо відомі довжини двох векторів та його скалярне твір, можна обчислити косинус кута між даними векторами, отже, і сам кут.

Скалярне твір – це число? Число. Довжини векторів – числа? Числа. Значить, дріб також є деяким числом . А якщо відомий косинус кута: , то за допомогою зворотної функції легко знайти і сам кут: .

Приклад 7

Знайти кут між векторами і якщо відомо, що .

Рішення:Використовуємо формулу:

На заключному етапі обчислень використано технічний прийом – усунення ірраціональності у знаменнику. З метою усунення ірраціональності я примножив чисельник і знаменник на .

Отже, якщо , то:

Значення зворотних тригонометричних функцій можна знайти за тригонометричної таблиці. Хоча трапляється це рідко. У завданнях аналітичної геометрії значно частіше з'являється якийсь неповороткий ведмідь на кшталт , і значення кута доводиться знаходити приблизно, використовуючи калькулятор. Власне, таку картину ми ще неодноразово побачимо.

Відповідь:

Знову, не забуваємо вказувати розмірність – радіани та градуси. Особисто я, щоб свідомо «зняти всі питання», волію вказувати і те, і те (якщо за умовою, звичайно, не потрібно подати відповідь тільки в радіанах або лише в градусах).

Тепер ви зможете самостійно впоратися із складнішим завданням:

Приклад 7*

Дані - довжини векторів, і кут між ними. Знайти кут між векторами .

Завдання навіть не так складне, як багатоходове.
Розберемо алгоритм розв'язання:

1) За умовою потрібно знайти кут між векторами і тому потрібно використовувати формулу .

2) Знаходимо скалярне твір (див. приклади № 3, 4).

3) Знаходимо довжину вектора та довжину вектора (див. Приклади № 5, 6).

4) Кінцівка рішення збігається з Прикладом № 7 - нам відоме число, а значить, легко знайти і сам кут:

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Другий розділ уроку присвячений тому ж скалярному твору. Координати. Буде навіть простіше, ніж у першій частині.

Скалярний добуток векторів,
заданих координатами в ортонормованому базисі

Відповідь:

Що й казати, мати справу з координатами значно приємніше.

Приклад 14

Знайти скалярний добуток векторів і , якщо

Це приклад самостійного рішення. Тут можна використовувати асоціативність операції, тобто не брати до уваги, а відразу винести трійку за межі скалярного твору і примножити на неї в останню чергу. Рішення та відповідь наприкінці уроку.

На закінчення параграфа провокаційний приклад на обчислення довжини вектора:

Приклад 15

Знайти довжини векторів , якщо

Рішення:знову напрошується спосіб попереднього розділу: але існує й інша дорога:

Знайдемо вектор:

І його довжину за тривіальною формулою :

Скалярний твір тут взагалі не при справах!

Як не при справах воно і при обчисленні довжини вектора:
Стоп. А чи не скористатися очевидною властивістю довжини вектора? Що можна сказати про довжину вектора? Даний вектор довший за вектор у 5 разів. Напрямок протилежний, але це не відіграє ролі, адже розмова про довжину. Очевидно, що довжина вектора дорівнює добутку модулячисла на довжину вектора:
- Знак модуля «з'їдає» можливий мінус числа.

Таким чином:

Відповідь:

Формула косинуса кута між векторами, заданими координатами

Тепер у нас є повна інформація, щоб раніше виведену формулу косинуса кута між векторами виразити через координати векторів:

Косинус кута між векторами площини.та , заданими в ортонормованому базисі , виражається формулою:
.

Косинус кута між векторами простору, заданими в ортонормованому базисі , виражається формулою:

Приклад 16

Дано три вершини трикутника. Знайти (кут при вершині).

Рішення:За умовою креслення виконувати не потрібно, але все-таки:

Необхідний кут позначений зеленою дугою. Відразу згадуємо шкільне позначення кута: – особлива увага на середнюлітеру - це і є потрібна нам вершина кута. Для стислості можна було також записати просто.

З креслення цілком очевидно, що кут трикутника збігається з кутом між векторами і іншими словами: .

Проведений аналіз бажано навчитися виконувати подумки.

Знайдемо вектори:

Обчислимо скалярний твір:

І довжини векторів:

Косинус кута:

Саме такий порядок виконання завдання рекомендую чайникам. Більше підготовлені читачі можуть записувати обчислення «одним рядком»:

Ось і приклад поганого значення косинуса. Отримане значення не є остаточним, тому немає особливого сенсу позбавлятися ірраціональності у знаменнику.

Знайдемо сам кут:

Якщо подивитися на креслення, то результат цілком правдоподібний. Для перевірки кут можна виміряти і транспортиром. Не пошкодіть покриття монітора =)

Відповідь:

У відповіді не забуваємо, що питалося про кут трикутника(а не про кут між векторами), не забуваємо вказати точну відповідь: і наближене значення кута: знайдене за допомогою калькулятора.

Ті, хто отримав задоволення від процесу, можуть обчислити кути і переконатися в справедливості канонічної рівності

Приклад 17

У просторі заданий трикутник координатами своїх вершин. Знайти кут між сторонами та

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку

Невеликий заключний розділ буде присвячений проекціям, у яких також «замішано» скалярний твір:

Вектор проекції на вектор. Вектор проекції на координатні осі.
Напрямні косинуси вектор

Розглянемо вектори та:

Спроектуємо вектор на вектор, для цього з початку та кінця вектора опустимо перпендикулярина вектор (зелені пунктирні лінії). Уявіть, що вектор перпендикулярно падають промені світла. Тоді відрізок (червона лінія) буде «тінь» вектора. В даному випадку проекцією вектора на вектор є ДОВжина відрізка. Тобто ПРОЕКЦІЯ – ЦЕ ЧИСЛО.

Дане ЧИСЛО позначається так: «великим вектором» позначають вектор КОТРИЙпроектують, «маленьким підрядковим вектором» позначають вектор НАякий проектують.

Сам запис читається так: "проекція вектора "а" на вектор "бе"".

Що станеться, якщо вектор «бе» буде «надто коротким»? Проводимо пряму лінію, що містить вектор "бе". І вектор «а» проектуватиметься вже на напрям вектора «бе», Просто - на пряму, що містить вектор «бе». Те саме станеться, якщо вектор «а» відкласти в тридесятому царстві – він все одно легко спроектується на пряму вектор «бе».

Якщо кутміж векторами гострий(як на малюнку), то

Якщо вектори ортогональні, то (проекцією є точка, розміри якої вважаються нульовими).

Якщо кутміж векторами тупий(на малюнку подумки переставте стрілочку вектора), то (та сама довжина, але взята зі знаком мінус).

Відкладемо ці вектори від однієї точки:

Очевидно, що при переміщенні вектора його проекція не змінюється

I. Скалярний твір звертається в нуль у тому і тільки в тому випадку, коли Крайній міріодин із векторів є нульовим або якщо вектори перпендикулярні. Справді, якщо або , або .

Назад, якщо і вектори, що перемножуються, не є нульовими, то тому що з умови

при витікає:

Оскільки напрямок нульового вектора невизначений, то нульовий вектор можна вважати перпендикулярним до будь-якого вектора. Тому зазначена властивість скалярного твору може бути сформульована коротше: скалярний добуток звертається в нуль у тому і тільки тому випадку, коли вектори перпендикулярні.

ІІ. Скалярний твір має властивість переміщування:

Ця властивість безпосередньо випливає з визначення:

тому що різні позначення одного й того самого кута.

ІІІ. Винятково важливе значеннямає розподільчий закон. Його застосування так само велике, як і в звичайній арифметиці або алгебрі, де він формулюється так: щоб помножити суму, потрібно помножити кожен доданок і скласти отримані твори, тобто.

Очевидно, що множення багатозначних чисел в арифметиці або багаточленів в алгебрі ґрунтується на цій властивості множення.

Таке ж основне значення має цей закон і у векторній алгебрі, тому що на підставі його ми можемо застосовувати до векторів звичайне правило множення багаточленів.

Доведемо, що для будь-яких трьох векторів А, В, С справедлива рівність

За другим визначенням скалярного твору, що виражається формулою, отримаємо:

Застосувавши тепер властивість 2 проекцій § 5, знайдемо:

що і потрібно було довести.

IV. Скалярний добуток має властивість поєднаності щодо числового множника; ця властивість виражається такою формулою:

т. е. щоб помножити скалярний добуток векторів на число, достатньо помножити на це число один із співмножників.