एक मैट्रिक्स समीकरण फॉर्म का एक समीकरण है

ए ⋅ एक्स = बी

एक्स ⋅ ए = बी ,

कहाँ पे एतथा बी- ज्ञात मैट्रिक्स, एक्सपाया जाने वाला अज्ञात मैट्रिक्स है।

पहले मामले में मैट्रिक्स समीकरण को कैसे हल करें? फॉर्म के मैट्रिक्स समीकरण को हल करने के लिए ए ⋅ एक्स = बी , इसके दोनों भागों को के व्युत्क्रम से गुणा किया जाना चाहिए एबाईं ओर मैट्रिक्स:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा के अनुसार, एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स और दिए गए मूल मैट्रिक्स का उत्पाद पहचान मैट्रिक्स के बराबर है: इसलिए

.

इसलिये इपहचान मैट्रिक्स है, तो इ ⋅ एक्स = एक्स . नतीजतन, हम पाते हैं कि अज्ञात मैट्रिक्स एक्समैट्रिक्स के विपरीत मैट्रिक्स के उत्पाद के बराबर है ए, बाईं ओर, मैट्रिक्स पर बी :

दूसरे मामले में मैट्रिक्स समीकरण को कैसे हल करें? समीकरण को देखते हुए

एक्स ⋅ ए = बी ,

वह है, जिसमें एक अज्ञात मैट्रिक्स के उत्पाद में एक्सऔर ज्ञात मैट्रिक्स एआव्यूह एदाईं ओर है, तो आपको इसी तरह कार्य करने की आवश्यकता है, लेकिन मैट्रिक्स द्वारा गुणा की दिशा बदलना, मैट्रिक्स उलटा ए, और मैट्रिक्स गुणा करें बीउसके दाईं ओर:

,

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि किस तरफ से व्युत्क्रम मैट्रिक्स से गुणा करना है, क्योंकि . वापस एमैट्रिक्स मैट्रिक्स द्वारा गुणा किया गया बीजिस तरफ से मैट्रिक्स एएक अज्ञात मैट्रिक्स द्वारा गुणा किया गया एक्स. यानी, उस तरफ से जहां अज्ञात मैट्रिक्स वाले उत्पाद में मैट्रिक्स होता है ए .

तीसरे मामले में मैट्रिक्स समीकरण को कैसे हल करें? ऐसे मामले होते हैं जब अज्ञात मैट्रिक्स समीकरण के बाईं ओर होता है एक्सकाम के बीच में है तीन मैट्रिक्स. फिर समीकरण के दाईं ओर से ज्ञात मैट्रिक्स को मैट्रिक्स द्वारा बाईं ओर गुणा किया जाना चाहिए, जो ऊपर वर्णित तीन मैट्रिक्स के उत्पाद में बाईं ओर था, और मैट्रिक्स के विपरीत मैट्रिक्स द्वारा दाईं ओर गुणा किया जाना चाहिए कि दाईं ओर स्थित था। इस प्रकार, मैट्रिक्स समीकरण को हल करके

ए ⋅ एक्स ⋅ बी = सी ,

है

.

मैट्रिक्स समीकरणों को हल करना: उदाहरण

उदाहरण 1मैट्रिक्स समीकरण हल करें

.

ए ⋅ एक्स = बी एऔर अज्ञात मैट्रिक्स एक्सआव्यूह ए बी एए .

ए :

.

ए :

.

ए :

अब हमारे पास मैट्रिक्स का उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए सब कुछ है ए :

.

अंत में, हम अज्ञात मैट्रिक्स पाते हैं:

उदाहरण 3मैट्रिक्स समीकरण हल करें

.

समाधान। इस समीकरण का रूप है एक्स ⋅ ए = बी , अर्थात्, मैट्रिक्स के उत्पाद में एऔर अज्ञात मैट्रिक्स एक्सआव्यूह ए बीमैट्रिक्स के मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के लिए एए .

पहले हम मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाते हैं ए :

.

आइए मैट्रिक्स के बीजीय पूरक खोजें ए :

आइए बीजीय योगों का एक मैट्रिक्स बनाएं:

.

बीजीय योगों के मैट्रिक्स को स्थानांतरित करते हुए, हम मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के साथ संयुग्मित पाते हैं ए :

ए :

.

अज्ञात मैट्रिक्स ढूँढना:

अब तक, हम दूसरे कोटि के आव्यूहों के साथ समीकरणों को हल करते रहे हैं, और अब तीसरे क्रम के आव्यूहों की बारी है।

उदाहरण 4मैट्रिक्स समीकरण हल करें

.

समाधान। यह पहली तरह का समीकरण है: ए ⋅ एक्स = बी , अर्थात्, मैट्रिक्स के उत्पाद में एऔर अज्ञात मैट्रिक्स एक्सआव्यूह एबाईं तरफ है। इसलिए, समाधान के रूप में मांगा जाना चाहिए, अर्थात अज्ञात मैट्रिक्स मैट्रिक्स के उत्पाद के बराबर है बीमैट्रिक्स के मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के लिए एबाएं। मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के विपरीत खोजें ए .

पहले हम मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाते हैं ए :

आइए मैट्रिक्स के बीजीय पूरक खोजें ए :

आइए बीजीय योगों का एक मैट्रिक्स बनाएं:

बीजीय योगों के मैट्रिक्स को स्थानांतरित करते हुए, हम मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के साथ संयुग्मित पाते हैं ए :

.

मैट्रिक्स के विपरीत एक मैट्रिक्स ढूँढना ए, और मैट्रिक्स के निर्धारक के बाद से हम इसे आसानी से करते हैं एएक के बराबर है:

.

अज्ञात मैट्रिक्स ढूँढना:

उदाहरण 5मैट्रिक्स समीकरण हल करें

.

समाधान। इस समीकरण का रूप है एक्स ⋅ ए = बी , अर्थात्, मैट्रिक्स के उत्पाद में एऔर अज्ञात मैट्रिक्स एक्सआव्यूह एदायी आेर है। इसलिए, समाधान के रूप में मांगा जाना चाहिए, अर्थात अज्ञात मैट्रिक्स मैट्रिक्स के उत्पाद के बराबर है बीमैट्रिक्स के मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के लिए एदायी ओर। मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के विपरीत खोजें ए .

पहले हम मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाते हैं ए :

आइए मैट्रिक्स के बीजीय पूरक खोजें ए :

आइए बीजीय योगों का एक मैट्रिक्स बनाएं:

.

बीजीय योगों के मैट्रिक्स को स्थानांतरित करते हुए, हम मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के साथ संयुग्मित पाते हैं ए .

मैट्रिक्स निर्धारक अक्सर गणना में, रैखिक बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति में उपयोग किए जाते हैं। अकादमिक दुनिया के बाहर, इंजीनियरों और प्रोग्रामर द्वारा मैट्रिक्स निर्धारकों की लगातार आवश्यकता होती है, खासकर उनके साथ जो काम करते हैं कंप्यूटर ग्राफिक्स. यदि आप पहले से ही जानते हैं कि 2x2 मैट्रिक्स के निर्धारक को कैसे खोजना है, तो केवल 3x3 मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजने के लिए आपको केवल उपकरण जोड़ना, घटाव और गुणा करना है।

कदम

एक निर्धारक के लिए खोजें

एक 3 x 3 मैट्रिक्स लिखिए।आइए एक 3 x 3 मैट्रिक्स लिखें, जिसे हम M से निरूपित करते हैं, और इसके सारणिक |M| को खोजें। हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले मैट्रिक्स के लिए सामान्य संकेतन और हमारे उदाहरण के लिए मैट्रिक्स निम्नलिखित है:

• एम = (ए 11 ए 12 ए 13 ए 21 ए 22 ए 23 ए 31 ए 32 ए 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) (\displaystyle एम=(\begin(pmatrix)a_(11)&a_ (12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33)\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)1&5&3\ \2&4&7\\4&6&2\end(pmatrix)))

1. मैट्रिक्स की एक पंक्ति या स्तंभ का चयन करें।यह पंक्ति (या स्तंभ) धुरी होगी। परिणाम वही होगा चाहे आप किसी भी पंक्ति या कॉलम का चयन करें। इस उदाहरण में, आइए पहली पंक्ति लेते हैं। थोड़ी देर बाद, आपको गणनाओं को सरल बनाने के लिए एक पंक्ति या स्तंभ का चयन करने के बारे में कुछ सुझाव मिलेंगे।

   • आइए हमारे उदाहरण में मैट्रिक्स एम की पहली पंक्ति का चयन करें। संख्या 1 5 3 पर गोला बनाएं। बी सामान्य फ़ॉर्मएक 11 ए 12 ए 13 सर्कल करें।

2. पहले तत्व के साथ पंक्ति या स्तंभ को पार करें।संदर्भ पंक्ति (या संदर्भ स्तंभ) का संदर्भ लें और पहले तत्व का चयन करें। इस तत्व के माध्यम से एक क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें, इस प्रकार इस तत्व के साथ स्तंभ और पंक्ति को पार करें। चार नंबर बचे होने चाहिए। हम इन तत्वों को एक नया 2 x 2 मैट्रिक्स मानेंगे।

   • हमारे उदाहरण में, संदर्भ पंक्ति 1 5 3 होगी। पहला तत्व पहले कॉलम और पहली पंक्ति के चौराहे पर है। इस तत्व के साथ पंक्ति और स्तंभ को पार करें, अर्थात पहला पद और पहला स्तंभ। शेष तत्वों को 2 x 2 मैट्रिक्स के रूप में लिखें:
   • 1 5 3
   • 2 4 7
   • 4 6 2

3. 2 x 2 आव्यूह का सारणिक ज्ञात कीजिए।याद रखें कि मैट्रिक्स निर्धारक (ए बी सी डी) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&b\\c&d\end(pmatrix)))के रूप में गणना की जाती है विज्ञापन-बीसी. इसके आधार पर, आप परिणामी 2 x 2 मैट्रिक्स के सारणिक की गणना कर सकते हैं, जिसे आप चाहें तो एक्स के रूप में निरूपित कर सकते हैं। एक्स मैट्रिक्स के दो नंबरों को तिरछे से बाएं से दाएं से गुणा करें (अर्थात, इस तरह: \) . फिर अन्य दो संख्याओं को दाईं से बाईं ओर तिरछे गुणा करने का परिणाम घटाएं (अर्थात, इस तरह: /)। मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करें जो आपको अभी मिला है।

   परिणामी उत्तर को मैट्रिक्स M के चयनित तत्व से गुणा करें।याद रखें कि संदर्भ पंक्ति (या कॉलम) से किस तत्व का उपयोग हमने एक नया मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए पंक्ति और कॉलम के अन्य तत्वों को पार करते समय किया था। इस तत्व को परिणामी नाबालिग (2x2 मैट्रिक्स का निर्धारक, जिसे हमने एक्स लेबल किया है) से गुणा करें।

   • हमारे उदाहरण में, हमने तत्व a 11 चुना, जो 1 के बराबर था। इसे -34 (एक 2x2 मैट्रिक्स का निर्धारक) से गुणा करें, और हमें 1*-34 = -34 .

4. परिणाम का संकेत निर्धारित करें।इसके बाद, आपको परिणाम प्राप्त करने के लिए 1 या -1 से गुणा करना होगा बीजीय जोड़(सहकारक)चयनित तत्व। कोफ़ेक्टर का चिन्ह इस बात पर निर्भर करेगा कि तत्व 3x3 मैट्रिक्स में कहाँ है। यह याद रखना एक साधारण सर्किटसहसंयोजक के संकेत को जानने के लिए संकेत:

5. उपरोक्त सभी चरणों को संदर्भ पंक्ति (या कॉलम) के दूसरे तत्व के साथ दोहराएं।मूल 3x3 मैट्रिक्स और उस रेखा पर लौटें जिसे हमने गणना की शुरुआत में ही परिचालित किया था। इस तत्व के साथ सभी क्रियाओं को दोहराएं:

   • इस तत्व के साथ पंक्ति और स्तंभ को पार करें।हमारे उदाहरण में, हमें तत्व a 12 (5 के बराबर) का चयन करना होगा। पहली पंक्ति (1 5 3) और दूसरे कॉलम को पार करें (5 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)5\\4\\6\end(pmatrix)))मैट्रिक्स
   • शेष तत्वों को 2x2 मैट्रिक्स में लिखें।हमारे उदाहरण में, मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा (2 7 4 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&7\\4&2\end(pmatrix)))
   • इस नए 2x2 आव्यूह का सारणिक ज्ञात कीजिए।ऊपर दिए गए विज्ञापन-बीसी फॉर्मूले का प्रयोग करें। (2*2 - 7*4 = -24)
   • परिणामी सारणिक को 3x3 मैट्रिक्स के चयनित तत्व से गुणा करें। -24 * 5 = -120
   • जांचें कि क्या आपको परिणाम को -1 से गुणा करने की आवश्यकता है।आइए बीजीय पूरक के चिह्न को निर्धारित करने के लिए सूत्र (-1) ij का उपयोग करें। तत्व 12 के लिए हमने चुना है, तालिका में "-" चिह्न इंगित किया गया है, और सूत्र एक समान परिणाम देता है। यानी हमें चिन्ह बदलना होगा: (-1)*(-120) = 120 .

6. तीसरे तत्व के साथ दोहराएं।इसके बाद, आपको एक और बीजीय जोड़ खोजने की जरूरत है। पिवट पंक्ति या पिवट कॉलम के अंतिम तत्व के लिए इसकी गणना करें। निम्नलिखित है: संक्षिप्त वर्णनहमारे उदाहरण में 13 के लिए बीजीय पूरक की गणना कैसे की जाती है:

   • मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम को पार करें (2 4 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&4\\4&6\end(pmatrix)))
   • इसका सारणिक 2*6 - 4*4 = -4 है।
   • परिणाम को 13: -4 * 3 = -12 के तत्व से गुणा करें।
   • उपरोक्त तालिका में तत्व a 13 का + चिन्ह है, तो उत्तर होगा -12 .

7. परिणाम जोड़ें।यह अंतिम चरण. आपको संदर्भ पंक्ति (या संदर्भ स्तंभ) के तत्वों के प्राप्त बीजीय पूरक जोड़ने की आवश्यकता है। उन्हें एक साथ जोड़ें और आपको 3x3 मैट्रिक्स के सारणिक का मान मिलता है।

   • हमारे उदाहरण में, सारणिक है -34 + 120 + -12 = 74 .

   चीजों को आसान कैसे बनाएं

   1. एक संदर्भ पंक्ति (या कॉलम) के रूप में चुनें जिसमें अधिक शून्य हो।याद रखें कि आप संदर्भ के रूप में चुन सकते हैं कोईपंक्ति या स्तंभ। संदर्भ पंक्ति या स्तंभ का चयन परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। यदि आप सबसे अधिक शून्य वाली पंक्ति चुनते हैं, तो आपको कम गणना करनी होगी, क्योंकि आपको केवल गैर-शून्य तत्वों के लिए बीजीय पूरक की गणना करने की आवश्यकता होगी। इसीलिए:

      • मान लें कि आपने 21 , a 22 , और 23 तत्वों के साथ पंक्ति 2 का चयन किया है। सारणिक ज्ञात करने के लिए, आपको तीन भिन्न 2x2 आव्यूहों के सारणिक ज्ञात करने होंगे। आइए उन्हें A 21 , A 22 , और A 23 कहते हैं।
      • अर्थात्, 3x3 मैट्रिक्स का निर्धारक एक 21 है|ए 21 | - ए 22 |ए 22 | + ए 23 |ए 23 |।
      • यदि 22 और 23 दोनों 0 हैं, तो हमारा सूत्र 21 से बहुत छोटा हो जाता है |A 21 | - 0*|ए 22 | + 0*|ए 23 | = ए 21 |ए 21 | - 0 + 0 = ए 21 |ए 21 |। अर्थात्, केवल एक तत्व के बीजीय पूरक की गणना करना आवश्यक है।

   2. मैट्रिक्स को सरल बनाने के लिए पंक्ति जोड़ का उपयोग करें।यदि आप एक पंक्ति लेते हैं और उसमें दूसरी जोड़ते हैं, तो मैट्रिक्स का निर्धारक नहीं बदलेगा। कॉलम के लिए भी यही सच है। आप इसे कई बार कर सकते हैं, और आप अधिक से अधिक शून्य प्राप्त करने के लिए स्ट्रिंग मानों को एक स्थिरांक (जोड़ने से पहले) से गुणा कर सकते हैं। ये कदम आपका काफी समय बचा सकते हैं।

      • उदाहरण के लिए, हमारे पास तीन पंक्तियों वाला एक मैट्रिक्स है: (9 - 1 2 3 1 0 7 5 - 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix)))
      • तत्व a 11 के स्थान पर 9 से छुटकारा पाने के लिए, हम दूसरी पंक्ति को -3 से गुणा कर सकते हैं और परिणाम को पहले में जोड़ सकते हैं। नई पहली पंक्ति + [-9 -3 0] = होगी।
      • यानी हमें एक नया मैट्रिक्स मिलता है (0 - 4 2 3 1 0 7 5 - 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix)))तत्व a 12 के बजाय शून्य प्राप्त करने के लिए कॉलम के साथ भी ऐसा ही करने का प्रयास करें।

   3. याद रखें कि त्रिकोणीय मैट्रिक्स के सारणिक की गणना करना बहुत आसान है।त्रिकोणीय मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना मुख्य विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के रूप में की जाती है, ऊपरी बाएं कोने में 11 से निचले दाएं कोने में 33 तक। इस मामले में, हम 3x3 आयाम के त्रिकोणीय मैट्रिक्स के बारे में बात कर रहे हैं। स्थान के आधार पर त्रिकोणीय मैट्रिक्स निम्न प्रकार के हो सकते हैं गैर-शून्यमान:

      • ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स: सभी गैर-शून्य तत्व मुख्य विकर्ण पर और ऊपर होते हैं। मुख्य विकर्ण के नीचे के सभी अवयव शून्य हैं।
      • निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स: सभी गैर-शून्य तत्व नीचे और मुख्य विकर्ण पर हैं।
      • विकर्ण मैट्रिक्स: सभी गैर-शून्य तत्व मुख्य विकर्ण पर हैं। यह उपरोक्त मैट्रिक्स का एक विशेष मामला है।
      • वर्णित विधि किसी भी रैंक के वर्ग मैट्रिक्स तक फैली हुई है। उदाहरण के लिए, यदि आप इसे 4x4 मैट्रिक्स के लिए उपयोग करते हैं, तो "स्ट्रिपिंग आउट" के बाद 3x3 मैट्रिक्स होंगे, जिसके लिए निर्धारक की गणना उपरोक्त तरीके से की जाएगी। इस तथ्य के लिए तैयार रहें कि ऐसे आयामों के मैट्रिक्स के लिए निर्धारक की मैन्युअल रूप से गणना करना एक बहुत ही श्रमसाध्य कार्य है!
      • यदि किसी पंक्ति या स्तंभ के सभी तत्व 0 हैं, तो मैट्रिक्स का निर्धारक भी 0 है।

पाठ संख्या 1. मैट्रिक्स। मैट्रिसेस पर संचालन।

1. मैट्रिक्स क्या कहलाता है।

2. किन दो आव्यूहों को समान कहा जाता है।

3. किस मैट्रिक्स को वर्ग, विकर्ण, पहचान कहते हैं।

4. मैट्रिक्स जोड़ और मैट्रिक्स गुणन संचालन कैसे करें।

5. जिसके लिए मैट्रिसेस गुणन संक्रिया और उसके क्रियान्वयन का नियम पेश किया जाता है।

6. मैट्रिक्स पर कौन से परिवर्तन प्राथमिक हैं।

7. किस मैट्रिक्स को विहित कहा जाता है।

विशिष्ट उदाहरण मैट्रिसेस पर क्रियाएँ

टास्क नंबर 1.मैट्रिक्स डेटा

मैट्रिक्स खोजें डी =
(1)

समाधान।मैट्रिक्स और संख्या के उत्पाद की परिभाषा से, हम प्राप्त करते हैं:

डी =

कार्य #2. दो वर्ग आव्यूहों का गुणनफल AB ज्ञात कीजिए:

समाधान।दोनों आव्यूह द्वितीय कोटि के वर्ग आव्यूह हैं। इस तरह के मैट्रिक्स को सूत्र का उपयोग करके गुणा किया जा सकता है

सूत्र (2) का निम्नलिखित अर्थ है: मैट्रिक्स तत्व C = AB प्राप्त करना, चौराहे पर खड़ा होना रेखाएं और कॉलम आपको तत्वों के उत्पादों का योग लेने की आवश्यकता है संबंधित तत्वों में मैट्रिक्स ए की वीं पंक्ति मैट्रिक्स बी का वां कॉलम।

सूत्र (2) के अनुसार, हम पाते हैं:

इसलिए, उत्पाद C \u003d AB इस तरह दिखेगा:

टास्क नंबर 3. AB और BA आव्यूहों का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

समाधान।सूत्र (2) के अनुसार, आव्यूह AB और BA के अवयव इस प्रकार दिखाई देंगे:

निष्कर्ष:मैट्रिक्स AB और BA की तुलना और मैट्रिक्स समानता की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ABBA, यानी मैट्रिक्स गुणन कम्यूटेटिव कानून का पालन नहीं करता है।

टास्क #4(मौखिक रूप से)। मैट्रिक्स डेटा
क्या कार्य हैं (सही उत्तर कोष्ठक में दिए गए हैं): AB (हाँ), BA (नहीं), AC (हाँ), CA (नहीं), ABC (नहीं), DIA (हाँ), CBA (नहीं)।

टास्क नंबर 5.प्रपत्र के दो आव्यूहों के AB और BA का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

समाधान।फॉर्म के कम किए गए मैट्रिक्स
इसलिए, इन आव्यूहों के AB और BA के गुणनफल हैं, जिनका रूप होगा:

टास्क नंबर 6. AB मैट्रिक्स का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

उत्तर:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

मैट्रिक्स डेटा

मैट्रिक्स खोजें D=2A-4B+3C।

2. AB और BA वर्ग आव्यूहों के गुणनफल ज्ञात कीजिए:

मैट्रिक्स का उत्पाद खोजें:

मैट्रिक्स का उत्पाद खोजें:

7. आव्यूहों का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

8. मैट्रिक्स खोजें: B=6A 2 +8A यदि
.

9. एक मैट्रिक्स दिया गया है
सभी मैट्रिक्स बी खोजें जो मैट्रिक्स ए के साथ यात्रा करते हैं।

10. सिद्ध कीजिए कि यदि A एक विकर्ण आव्यूह है और इसके मुख्य विकर्ण के सभी अवयव एक-दूसरे से भिन्न हैं, तो A के साथ आने वाला कोई भी आव्यूह भी विकर्ण होता है।

पाठ 2. वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक और उनकी गणना। उलटा मैट्रिक्स।

व्यावहारिक सामग्री में महारत हासिल करने के लिए, आपको निम्नलिखित सैद्धांतिक प्रश्नों के उत्तर देने होंगे:

वां क्रम निर्धारक क्या है? एन = 1,2,3 के लिए गणना नियम।

निर्धारकों के गुण।

किस मैट्रिक्स को नॉनडिजेनरेट कहा जाता है?

पहचान मैट्रिक्स क्या है?

दिए गए मैट्रिक्स का विलोम किसे कहते हैं?

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त क्या है?

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक नियम तैयार करें।

मैट्रिक्स रैंक। नियम ढूँढना।

विशिष्ट उदाहरण निर्धारकों की गणना

टास्क नंबर 1.गणना निर्धारक
:

क) त्रिभुज नियम के अनुसार;

बी) पहली पंक्ति पर अपघटन की मदद से;

ग) निर्धारकों के गुणों का उपयोग करके परिवर्तन।

में)

कार्य #2. 23 निर्धारक तत्व के लघु और बीजगणितीय पूरक खोजें
और पंक्ति या स्तंभ के तत्वों पर विस्तार करके इसकी गणना करें।

समाधान।

एम 23
; ए 23

टास्क नंबर 3. 2-लाइन विस्तार का उपयोग करके निर्धारक की गणना करें:

उत्तर:

टास्क नंबर 4.प्रश्न हल करें

टास्क नंबर 5.एक पंक्ति या स्तंभ के तत्वों का विस्तार करके चौथे क्रम के निर्धारक की गणना करें:

प्रथम वर्ष, उच्च गणित, अध्ययन मैट्रिक्सऔर उन पर बुनियादी कार्रवाई। यहां हम उन मुख्य कार्यों को व्यवस्थित करते हैं जिन्हें मैट्रिस के साथ किया जा सकता है। मैट्रिसेस के साथ शुरुआत कैसे करें? बेशक, सबसे सरल से - परिभाषाएं, बुनियादी अवधारणाएं और सरलतम संचालन। हम आपको विश्वास दिलाते हैं कि मैट्रिक्स को हर कोई समझेगा जो उन्हें कम से कम थोड़ा समय देता है!

मैट्रिक्स परिभाषा

आव्यूहतत्वों की एक आयताकार तालिका है। ठीक है, अगर सरल शब्दों में - संख्याओं की एक तालिका।

मैट्रिक्स को आमतौर पर बड़े अक्षरों से दर्शाया जाता है। लैटिन अक्षरों के साथ. उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स ए , आव्यूह बी और इसी तरह। मैट्रिसेस विभिन्न आकारों के हो सकते हैं: आयताकार, वर्गाकार, पंक्ति मैट्रिसेस और कॉलम मैट्रिसेस भी होते हैं जिन्हें वैक्टर कहा जाता है। मैट्रिक्स का आकार पंक्तियों और स्तंभों की संख्या से निर्धारित होता है। उदाहरण के लिए, आइए लिखते हैं आयताकार मैट्रिक्सआकार एम पर एन , कहाँ पे एम लाइनों की संख्या है, और एन स्तंभों की संख्या है।

तत्व जिसके लिए मैं = जे (ए 11, ए 22, .. ) मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण बनाते हैं, और विकर्ण कहलाते हैं।

मैट्रिक्स के साथ क्या किया जा सकता है? जोड़ें/घटाना, एक संख्या से गुणा करें, आपस में गुणा करें, पक्षांतरित. अब मैट्रिसेस पर इन सभी बुनियादी कार्यों के क्रम में।

मैट्रिक्स जोड़ और घटाव संचालन

हम आपको तुरंत चेतावनी देते हैं कि आप केवल उसी आकार के मैट्रिस जोड़ सकते हैं। परिणाम एक ही आकार का एक मैट्रिक्स है। मैट्रिक्स जोड़ना (या घटाना) आसान है - बस उनके संबंधित तत्व जोड़ें . आइए एक उदाहरण लेते हैं। आइए दो बटा दो आकार के दो आव्यूह A और B का योग करें।

घटाव सादृश्य द्वारा किया जाता है, केवल विपरीत संकेत के साथ।

किसी भी मैट्रिक्स को एक मनमाना संख्या से गुणा किया जा सकता है। यह करने के लिए, आपको इस संख्या से इसके प्रत्येक तत्व को गुणा करना होगा। उदाहरण के लिए, आइए पहले उदाहरण से मैट्रिक्स A को संख्या 5 से गुणा करें:

मैट्रिक्स गुणन ऑपरेशन

सभी आव्यूहों को एक दूसरे से गुणा नहीं किया जा सकता। उदाहरण के लिए, हमारे पास दो मैट्रिक्स हैं - ए और बी। उन्हें एक दूसरे से केवल तभी गुणा किया जा सकता है जब मैट्रिक्स ए के कॉलम की संख्या मैट्रिक्स बी की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो। इसके अलावा, i-वें पंक्ति में परिणामी मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व और जे-वें कॉलम, होगा योग के बराबर हैमें संबंधित तत्वों के उत्पाद आई-वें लाइनपहला कारक और दूसरे का jth कॉलम. इस एल्गोरिथम को समझने के लिए, आइए नीचे लिखें कि दो वर्ग मैट्रिसेस को कैसे गुणा किया जाता है:

और वास्तविक संख्याओं के साथ एक उदाहरण। आइए मैट्रिक्स को गुणा करें:

मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ ऑपरेशन

मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन एक ऑपरेशन है जहाँ संबंधित पंक्तियों और स्तंभों की अदला-बदली की जाती है। उदाहरण के लिए, हम मैट्रिक्स ए को पहले उदाहरण से स्थानांतरित करते हैं:

मैट्रिक्स निर्धारक

निर्धारक, ओह निर्धारक, रैखिक बीजगणित की मूल अवधारणाओं में से एक है। एक बार लोग साथ आए रेखीय समीकरण, और उनके पीछे हमें एक निर्धारक का आविष्कार करना था। अंत में, यह आप पर निर्भर है कि आप इस सब से निपटें, तो आखिरी धक्का!

सारणिक एक वर्ग मैट्रिक्स की एक संख्यात्मक विशेषता है, जो कई समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है।
सबसे सरल वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए, आपको मुख्य और माध्यमिक विकर्णों के तत्वों के उत्पादों के बीच अंतर की गणना करने की आवश्यकता है।

पहले क्रम के मैट्रिक्स का निर्धारक, यानी एक तत्व से मिलकर, इस तत्व के बराबर है।

क्या होगा यदि मैट्रिक्स तीन बटा तीन है? यह अधिक कठिन है, लेकिन यह किया जा सकता है।

ऐसे मैट्रिक्स के लिए, निर्धारक का मान मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर होता है और मुख्य विकर्ण के समानांतर चेहरे वाले त्रिभुजों पर स्थित तत्वों के उत्पाद, जिसमें से तत्वों का उत्पाद होता है द्वितीयक विकर्ण का और द्वितीयक विकर्ण के समांतर फलक वाले त्रिभुजों पर स्थित तत्वों का गुणनफल घटाया जाता है।

सौभाग्य से, व्यवहार में बड़े मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना करना शायद ही कभी आवश्यक होता है।

यहां हमने मैट्रिक्स पर बुनियादी संचालन पर विचार किया है। बेशक, में वास्तविक जीवनहो सकता है कभी एक संकेत भी न मिले मैट्रिक्स सिस्टमसमीकरण, या इसके विपरीत - बहुत अधिक जटिल मामलों का सामना करने के लिए जब आपको वास्तव में अपना सिर तोड़ना होता है। यह ऐसे मामलों के लिए है कि एक पेशेवर छात्र सेवा है। मदद मांगें, गुणवत्ता प्राप्त करें और विस्तृत समाधान, अकादमिक सफलता और खाली समय का आनंद लें।