एक सही समांतर चतुर्भुज की तरह। बॉक्स के प्रकार

इस पाठ में, हर कोई "आयताकार बॉक्स" विषय का अध्ययन करने में सक्षम होगा। पाठ की शुरुआत में, हम दोहराएंगे कि एक मनमाना और सीधा समांतर चतुर्भुज क्या है, उनके विपरीत चेहरों और समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुणों को याद करें। फिर हम विचार करेंगे कि घनाभ क्या है और इसके मुख्य गुणों पर चर्चा करें।

विषय: रेखाओं और तलों की लम्बवतता

पाठ: घनाभ

दो समान समांतर चतुर्भुज ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 और चार समांतर चतुर्भुज ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 से बनी सतह कहलाती है समानांतर खात(चित्र .1)।

चावल। 1 समानांतर

यही है: हमारे पास दो समान समांतर चतुर्भुज ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 (आधार) हैं, वे समानांतर विमानों में स्थित हैं ताकि पार्श्व किनारे AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 समानांतर हों। इस प्रकार, समांतर चतुर्भुजों से बनी सतह कहलाती है समानांतर खात.

इस प्रकार, एक समांतर चतुर्भुज की सतह उन सभी समांतर चतुर्भुजों का योग है जो समांतर चतुर्भुज बनाते हैं।

1. समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समांतर और समान होते हैं।

(आंकड़े बराबर हैं, यानी उन्हें ओवरले द्वारा जोड़ा जा सकता है)

उदाहरण के लिए:

एबीसीडी \u003d ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 (परिभाषा के अनुसार समान समानांतर चतुर्भुज),

एए 1 बी 1 बी \u003d डीडी 1 सी 1 सी (चूंकि एए 1 बी 1 बी और डीडी 1 सी 1 सी समांतर चतुर्भुज के विपरीत चेहरे हैं),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (चूंकि AA 1 D 1 D और BB 1 C 1 C समांतर चतुर्भुज के विपरीत चेहरे हैं)।

2. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और उस बिंदु को समद्विभाजित करते हैं।

समांतर चतुर्भुज AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B के विकर्ण एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, और प्रत्येक विकर्ण को इस बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है (चित्र 2)।

चावल। 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद बिंदु को काटते और समद्विभाजित करते हैं।

3. समांतर चतुर्भुज के समान और समानांतर किनारों के तीन चौगुने हैं: 1 - एबी, ए 1 बी 1, डी 1 सी 1, डीसी, 2 - एडी, ए 1 डी 1, बी 1 सी 1, बीसी, 3 - एए 1, बीबी 1, एसएस 1, डीडी 1।

परिभाषा। एक समानांतर चतुर्भुज को सीधा कहा जाता है यदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत होते हैं।

साइड एज AA 1 को आधार के लंबवत होने दें (चित्र 3)। इसका अर्थ है कि रेखा AA 1 रेखाओं AD और AB के लंबवत है, जो आधार के तल में स्थित हैं। और, इसलिए, आयतें पार्श्व फलकों में स्थित होती हैं। और आधार मनमाने समांतर चतुर्भुज हैं। निरूपित करें, ∠BAD = φ, कोण φ कोई भी हो सकता है।

चावल। 3 राइट बॉक्स

तो, एक सही बॉक्स एक ऐसा बॉक्स होता है जिसमें साइड किनारे बॉक्स के आधारों के लंबवत होते हैं।

परिभाषा। समांतर चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है,यदि इसके पार्श्व किनारे आधार के लंबवत हैं। आधार आयत हैं।

समांतर चतुर्भुज АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 आयताकार है (चित्र 4) यदि:

1. एए 1 ⊥ एबीसीडी (पार्श्व किनारे आधार के विमान के लंबवत है, जो कि एक सीधा समांतर चतुर्भुज है)।

2. ∠BAD = 90°, अर्थात् आधार एक आयत है।

चावल। 4 घनाभ

एक आयताकार बॉक्स में एक मनमाना बॉक्स के सभी गुण होते हैं।लेकिन ऐसे अतिरिक्त गुण हैं जो घनाभ की परिभाषा से प्राप्त हुए हैं।

इसलिए, घनाभएक समानांतर चतुर्भुज है जिसके पार्श्व किनारे आधार के लंबवत हैं। एक घनाभ का आधार एक आयत होता है.

1. एक घनाभ में, सभी छह फलक आयत होते हैं।

ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 परिभाषा के अनुसार आयत हैं।

2. पार्श्व पसलियां आधार के लंबवत होती हैं. इसका अर्थ है कि घनाभ के सभी पार्श्व फलक आयत होते हैं।

3. एक घनाभ के सभी द्वितल कोण समकोण होते हैं।

उदाहरण के लिए, एक किनारे AB के साथ एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का डायहेड्रल कोण, यानी विमानों ABB 1 और ABC के बीच डायहेड्रल कोण पर विचार करें।

एबी एक किनारा है, बिंदु ए 1 एक विमान में स्थित है - विमान एबीबी 1 में, और बिंदु डी दूसरे में - विमान ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 में। फिर माना डायहेड्रल कोण को निम्नानुसार भी निरूपित किया जा सकता है: ∠А 1 АВD।

बिंदु A को किनारे AB पर लें। AA 1 तल ABB-1 में किनारे AB के लंबवत है, AD समतल ABC में किनारे AB के लंबवत है। इसलिए, ∠A 1 AD दिए गए द्वितल कोण का रैखिक कोण है। ∠A 1 AD \u003d 90 °, जिसका अर्थ है कि किनारे AB पर डायहेड्रल कोण 90 ° है।

∠(एबीबी 1, एबीसी) = ∠(एबी) = ∠ए 1 एबीडी = ∠ए 1 एडी = 90 डिग्री।

यह इसी तरह सिद्ध होता है कि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का कोई भी डायहेड्रल कोण सही होता है।

घनाभ के विकर्ण का वर्ग योग के बराबर हैइसके तीन आयामों के वर्ग।

टिप्पणी। घनाभ के एक ही शीर्ष से निकलने वाले तीन किनारों की लम्बाई घनाभ की माप होती है। उन्हें कभी-कभी लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई कहा जाता है।

दिया गया है: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज (चित्र 5)।

सिद्ध करना: ।

चावल। 5 घनाभ

सबूत:

रेखा CC1 समतल ABC के लंबवत है, और इसलिए रेखा AC के लिए। अतः त्रिभुज CC 1 A एक समकोण त्रिभुज है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

विचार करना सही त्रिकोणएबीसी। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

लेकिन BC और AD आयत की विपरीत भुजाएँ हैं। तो बीसी = एडी। तब:

क्योंकि , ए , वह। चूंकि CC 1 = AA 1, तो सिद्ध करने के लिए क्या आवश्यक था।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।

आइए समानांतर एबीसी के आयामों को ए, बी, सी (चित्र 6 देखें) के रूप में नामित करें, फिर एसी 1 = सीए 1 = बी 1 डी = डीबी 1 =

परिभाषा

बहुतलहम बहुभुज से बनी एक बंद सतह कहेंगे और अंतरिक्ष के कुछ हिस्से को बांधेंगे।

वे खण्ड जो इन बहुभुजों की भुजाएँ कहलाते हैं पसलियांबहुफलक, और स्वयं बहुभुज - चेहरे के. बहुभुजों के शीर्षों को बहुफलक के शीर्ष कहते हैं।

हम केवल उत्तल पॉलीहेड्रा पर विचार करेंगे (यह एक पॉलीहेड्रॉन है जो प्रत्येक विमान के एक तरफ होता है जिसमें इसका चेहरा होता है)।

पॉलीहेड्रॉन बनाने वाले बहुभुज इसकी सतह बनाते हैं। किसी दिए गए पॉलीहेड्रॉन से घिरे अंतरिक्ष के हिस्से को इसका इंटीरियर कहा जाता है।

परिभाषा: प्रिज्म

दो बराबर बहुभुजों \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) पर विचार करें जो समांतर तल में स्थित हैं ताकि खंड \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)समानांतर हैं। बहुफलक बहुभुज \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) के साथ-साथ समांतर चतुर्भुजों से बना है \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), कहा जाता है (\(n\)-कोयला) चश्मे.

बहुभुज \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) प्रिज्म के आधार कहलाते हैं, समांतर चतुर्भुज \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)- साइड फेस, सेगमेंट \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- पार्श्व पसलियाँ।
इस प्रकार, प्रिज्म के किनारे किनारे समानांतर और एक दूसरे के बराबर होते हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें - एक प्रिज्म \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), जिसका आधार एक उत्तल पंचभुज है।

ऊंचाईएक प्रिज्म एक आधार के किसी भी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर लंबवत होता है।

यदि पार्श्व किनारे आधार के लंबवत नहीं हैं, तो ऐसे प्रिज्म को कहा जाता है परोक्ष(चित्र 1), अन्यथा - सीधा. एक सीधे प्रिज्म के लिए, पार्श्व किनारे ऊँचाई हैं, और पार्श्व फलक समान आयत हैं।

यदि एक सीधे प्रिज्म का आधार है नियमित बहुभुज, तो प्रिज्म कहलाता है सही.

परिभाषा: मात्रा की अवधारणा

आयतन इकाई एक इकाई घन है (आयामों वाला घन \(1\times1\times1\) Units\(^3\), जहां इकाई माप की कुछ इकाई है)।

हम कह सकते हैं कि एक बहुफलक का आयतन उस स्थान की मात्रा है जिसे यह बहुफलक सीमित करता है। अन्यथा: यह एक ऐसा मान है जिसका संख्यात्मक मान इंगित करता है कि कितनी बार यूनिट क्यूब और उसके हिस्से किसी दिए गए पॉलीहेड्रॉन में फिट होते हैं।

आयतन में क्षेत्रफल के समान गुण होते हैं:

1. समान आकृतियों के आयतन समान होते हैं।

2. यदि एक बहुफलक कई गैर-प्रतिच्छेदी बहुफलक से बना है, तो इसका आयतन इन बहुफलक के आयतन के योग के बराबर है।

3. आयतन एक गैर-ऋणात्मक मान है।

4. आयतन सेमी\(^3\) (घन सेंटीमीटर), मी\(^3\) में मापा जाता है ( घन मीटर) वगैरह।

प्रमेय

1. प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
पार्श्व सतह क्षेत्र प्रिज्म के पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों का योग है।

2. प्रिज्म का आयतन आधार क्षेत्र और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है: \

परिभाषा: बॉक्स

समानांतर खातयह एक ऐसा प्रिज्म है जिसका आधार समांतर चतुर्भुज है।

समांतर चतुर्भुज के सभी फलक (उनके \(6\) : \(4\) पार्श्व फलक और \(2\) आधार) समांतर चतुर्भुज हैं, और विपरीत फलक (एक दूसरे के समानांतर) समान समांतर चतुर्भुज हैं (चित्र 2)।

बॉक्स का विकर्णएक समानांतर चतुर्भुज के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही फलक पर स्थित नहीं है (उनके \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\)वगैरह।)।

घनाभइसके आधार पर एक आयत के साथ एक समांतर चतुर्भुज है।
क्योंकि एक समांतर चतुर्भुज है, तो पार्श्व फलक आयत हैं। तो, सामान्य तौर पर, एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी फलक आयत होते हैं।

एक घनाभ के सभी विकर्ण बराबर होते हैं (यह त्रिभुजों की समानता से अनुसरण करता है \(\त्रिकोण ACC_1=\त्रिकोण AA_1C=\त्रिकोण BDD_1=\त्रिकोण BB_1D\)वगैरह।)।

टिप्पणी

इस प्रकार, समांतर चतुर्भुज में प्रिज्म के सभी गुण होते हैं।

प्रमेय

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर होता है \

वर्ग पूरी सतहआयताकार समांतर चतुर्भुज के बराबर है \

प्रमेय

एक घनाभ का आयतन एक शीर्ष से निकलने वाले इसके तीन किनारों के गुणनफल के बराबर होता है (घनाभ के तीन आयाम): \

सबूत

क्योंकि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के लिए, पार्श्व किनारे आधार के लंबवत हैं, फिर वे इसकी ऊंचाई भी हैं, अर्थात \(h=AA_1=c\) आधार एक आयत है \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). यहीं से सूत्र आता है।

प्रमेय

एक घनाभ का विकर्ण \(d\) सूत्र द्वारा खोजा जाता है (जहाँ \(a,b,c\) घनाभ के आयाम हैं)\

सबूत

चित्र पर विचार करें। 3. क्योंकि आधार एक आयत है, तो \(\त्रिकोण ABD\) आयताकार है, इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) द्वारा।

क्योंकि तब सभी पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत होते हैं \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)इस तल में किसी भी रेखा के लम्बवत्, अर्थात \(BB_1\perp BD\) . अतः \(\त्रिकोण BB_1D\) आयताकार है। फिर पाइथागोरस प्रमेय द्वारा \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), टी.डी.

परिभाषा: घन

घनक्षेत्रएक आयताकार समांतर चतुर्भुज है, जिसकी सभी भुजाएँ समान वर्ग हैं।

इस प्रकार, तीन आयाम एक दूसरे के बराबर हैं: \(a=b=c\) । तो निम्नलिखित सत्य हैं

प्रमेयों

1. \(a\) किनारे वाले घन का आयतन \(V_(\text(cube))=a^3\) है।

2. घन विकर्ण को \(d=a\sqrt3\) सूत्र द्वारा खोजा जाता है।

3. एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \(S_(\text(पूर्ण घन पुनरावृत्तियों))=6a^2\).

विषय: रेखाओं और तलों की लम्बवतता

पाठ: घनाभ

चावल। 1 समानांतर

1. समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समांतर और समान होते हैं।

(आंकड़े बराबर हैं, यानी उन्हें ओवरले द्वारा जोड़ा जा सकता है)

उदाहरण के लिए:

एबीसीडी \u003d ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 (परिभाषा के अनुसार समान समानांतर चतुर्भुज),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (चूंकि AA 1 D 1 D और BB 1 C 1 C समांतर चतुर्भुज के विपरीत चेहरे हैं)।

चावल। 3 राइट बॉक्स

समांतर चतुर्भुज АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 आयताकार है (चित्र 4) यदि:

2. ∠BAD = 90°, अर्थात् आधार एक आयत है।

चावल। 4 घनाभ

1. एक घनाभ में, सभी छह फलक आयत होते हैं।

ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 परिभाषा के अनुसार आयत हैं।

3. एक घनाभ के सभी द्वितल कोण समकोण होते हैं।

∠(एबीबी 1, एबीसी) = ∠(एबी) = ∠ए 1 एबीडी = ∠ए 1 एडी = 90 डिग्री।

एक घनाभ के विकर्ण का वर्ग उसकी तीन विमाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

दिया गया है: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज (चित्र 5)।

सिद्ध करना: ।

चावल। 5 घनाभ

सबूत:

एक समकोण त्रिभुज ABC पर विचार कीजिए। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

लेकिन BC और AD आयत की विपरीत भुजाएँ हैं। तो बीसी = एडी। तब:

क्योंकि , ए , वह। चूंकि CC 1 = AA 1, तो सिद्ध करने के लिए क्या आवश्यक था।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।

एक समांतर चतुर्भुज एक चतुष्कोणीय प्रिज्म है जिसका आधार समांतर चतुर्भुज हैं। समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई उसके आधारों के विमानों के बीच की दूरी है। चित्र में ऊँचाई को एक रेखा के रूप में दर्शाया गया है . समांतर चतुर्भुज दो प्रकार के होते हैं: सीधे और तिरछे। एक नियम के रूप में, गणित ट्यूटर पहले प्रिज्म के लिए उपयुक्त परिभाषाएँ देता है, और फिर उन्हें बॉक्स में स्थानांतरित करता है। हम भी ऐसा ही करेंगे।

आपको याद दिला दूं कि एक प्रिज्म को सीधा कहा जाता है यदि उसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत होते हैं, यदि कोई लंबवतता नहीं है, तो प्रिज्म को तिरछा कहा जाता है। यह शब्दावली भी समानांतर चतुर्भुज द्वारा विरासत में मिली है। एक समांतर चतुर्भुज एक प्रकार के सीधे प्रिज्म से ज्यादा कुछ नहीं है, जिसका पार्श्व किनारा ऊंचाई के साथ मेल खाता है। चेहरे, किनारे और शीर्ष जैसी अवधारणाओं की परिभाषाएं, जो पॉलीहेड्रा के पूरे परिवार के लिए आम हैं, को बनाए रखा जाता है। विपरीत चेहरों की अवधारणा प्रकट होती है। एक समांतर चतुर्भुज में विपरीत चेहरों के 3 जोड़े, 8 कोने और 12 किनारे होते हैं।

समांतर चतुर्भुज (प्रिज्म का विकर्ण) का विकर्ण एक ऐसा खंड है जो एक बहुफलक के दो शीर्षों को जोड़ता है और इसके किसी भी फलक में स्थित नहीं होता है।

एक विकर्ण खंड एक समानांतर चतुर्भुज का एक खंड है जो उसके विकर्ण और उसके आधार के विकर्ण से गुजरता है।

ओब्लिक बॉक्स गुण:
1) इसके सभी फलक समांतर चतुर्भुज हैं, और विपरीत फलक समान समांतर चतुर्भुज हैं।
2)समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और उस बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
3)प्रत्येक समांतर चतुर्भुज में समान मात्रा के छह त्रिकोणीय पिरामिड होते हैं। उन्हें एक छात्र को दिखाने के लिए, एक गणित ट्यूटर को अपने विकर्ण खंड के साथ समान्तर चतुर्भुज के आधे हिस्से को काटना चाहिए और इसे अलग से 3 पिरामिडों में तोड़ना चाहिए। उनका आधार मूल बॉक्स के विभिन्न चेहरों पर स्थित होना चाहिए। एक गणित शिक्षक को इस संपत्ति के लिए विश्लेषणात्मक ज्यामिति में एक आवेदन मिलेगा। इसका उपयोग वैक्टर के मिश्रित उत्पाद के माध्यम से पिरामिड का आयतन प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

समांतर चतुर्भुज की मात्रा के लिए सूत्र:
1) आधार का क्षेत्रफल कहां है, एच ऊंचाई है।
2) समांतर चतुर्भुज का आयतन पार्श्व किनारे द्वारा अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है।
गणित शिक्षक: जैसा कि आप जानते हैं, सूत्र सभी प्रिज्मों के लिए सामान्य है, और यदि ट्यूटर ने इसे पहले ही सिद्ध कर दिया है, तो समानांतर चतुर्भुज के लिए इसे दोहराने का कोई मतलब नहीं है। हालांकि, एक औसत स्तर के छात्र के साथ काम करते समय (एक कमजोर सूत्र उपयोगी नहीं होता है), शिक्षक के लिए ठीक इसके विपरीत कार्य करने की सलाह दी जाती है। प्रिज्म को अकेला छोड़ दें, और समांतर चतुर्भुज के लिए एक सटीक प्रमाण दें।
3) , छह त्रिकोणीय पिरामिडों में से एक का आयतन कहाँ है जो समानांतर चतुर्भुज बनाते हैं।
4) अगर, तो

समानांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसके सभी चेहरों के क्षेत्रों का योग है:
समांतर चतुर्भुज की कुल सतह उसके सभी चेहरों के क्षेत्रों का योग है, अर्थात क्षेत्रफल + दो आधार क्षेत्र:।

एक झुके हुए समानांतर चतुर्भुज के साथ एक ट्यूटर के काम के बारे में:
गणित में एक ट्यूटर अक्सर एक झुके हुए समानांतर चतुर्भुज पर समस्याओं से नहीं निपटता है। परीक्षा में उनकी उपस्थिति की संभावना काफी कम है, और उपदेशात्मक रूप से खराब है। एक झुके हुए समानांतर चतुर्भुज की मात्रा पर अधिक या कम सभ्य समस्या बिंदु एच के स्थान को निर्धारित करने से जुड़ी गंभीर समस्याओं का कारण बनती है - इसकी ऊंचाई का आधार। इस मामले में, गणित ट्यूटर को सलाह दी जा सकती है कि वह समानांतर चतुर्भुज को उसके छह पिरामिडों में से एक में ट्रिम कर दे (जिसके बारे में प्रश्न मेंसंपत्ति संख्या 3 में), इसका आयतन ज्ञात करने का प्रयास करें और इसे 6 से गुणा करें।

यदि समांतर चतुर्भुज के किनारे के आधार के किनारों के बराबर कोण हैं, तो H आधार ABCD के कोण A के द्विभाजक पर स्थित है। और यदि, उदाहरण के लिए, ABCD एक समचतुर्भुज है, तो

गणित ट्यूटर कार्य:
1) एक समांतर चतुर्भुज के फलक 2 सेमी की भुजा के साथ बराबर रोब हैं और तीव्र कोण. समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए।
2) एक आनत समांतर चतुर्भुज में, पार्श्व किनारा 5 सेमी है। इसका लम्बवत खंड एक चतुर्भुज है जिसमें परस्पर लंबवत विकर्णों की लंबाई 6 सेमी और 8 सेमी है। समानांतर चतुर्भुज के आयतन की गणना करें।
3) एक तिरछे समांतर चतुर्भुज में, यह ज्ञात है कि, और ABCD की परिभाषा में 2 सेमी की भुजा और कोण के साथ एक समचतुर्भुज है। समांतर चतुर्भुज की मात्रा निर्धारित करें।

गणित के शिक्षक, अलेक्जेंडर कोलपाकोव

कई प्रकार के समानांतर चतुर्भुज हैं:

· घनाभसभी चेहरों वाला एक समानांतर चतुर्भुज है - आयत;

एक सीधा समांतर चतुर्भुज 4 भुजाओं वाला एक समांतर चतुर्भुज है - समांतर चतुर्भुज;

· झुका हुआ डिब्बाएक समानांतर चतुर्भुज है जिसका पार्श्व फलक आधारों के लंबवत नहीं है।

आवश्यक तत्व

समांतर चतुर्भुज के दो फलक जिनमें एक उभयनिष्ठ किनारा नहीं होता है, विपरीत कहलाते हैं, और जिनके एक उभयनिष्ठ किनारे होते हैं उन्हें आसन्न कहा जाता है। समानांतर चतुर्भुज के दो कोने जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं हैं, विपरीत कहलाते हैं। रेखा खंड,विपरीत शीर्षों को जोड़ने को कहते हैं विकर्णसमानांतर चतुर्भुज। तीन लंबाईएक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले घनाभ के किनारे कहलाते हैं माप।

गुण

· समानांतर चतुर्भुज अपने विकर्ण के मध्यबिंदु के बारे में सममित है|

समांतर चतुर्भुज की सतह से संबंधित और इसके विकर्ण के मध्य से गुजरने वाला कोई भी खंड इसके द्वारा आधे में विभाजित होता है; विशेष रूप से, समांतर चतुर्भुज के सभी विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसे समद्विभाजित करते हैं।

समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समांतर और समान होते हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई का वर्ग इसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर है

मूल सूत्र

सही समानांतर चतुर्भुज

· पार्श्व सतह क्षेत्रएस बी \u003d आर ओ * एच, जहां आर ओ आधार की परिधि है, एच ऊंचाई है

· कुल सतह क्षेत्रफलएस पी \u003d एस बी + 2 एस ओ, जहां एस ओ आधार का क्षेत्र है

· आयतनवी = एस ओ * एच

घनाभ

· पार्श्व सतह क्षेत्र S b \u003d 2c (a + b), जहाँ a, b आधार की भुजाएँ हैं, c आयताकार समानांतर चतुर्भुज का पार्श्व किनारा है

· कुल सतह क्षेत्रफलएस पी \u003d 2 (एबी + बीसी + एसी)

· आयतन V=abc, जहाँ a, b, c घनाभ की विमाएँ हैं।

· पार्श्व सतह क्षेत्र S=6*h 2 , जहाँ h घन के किनारे की ऊँचाई है

34. चतुर्पाश्वीयएक नियमित बहुफलक है, है 4 किनारे जो हैं नियमित त्रिकोण. टेट्राहेड्रॉन पर कार्यक्षेत्र 4 , प्रत्येक शीर्ष पर अभिसरित होता है 3 पसलियां, लेकिन कुल पसलियां 6 . चतुष्फलक भी एक पिरामिड है।

चतुष्फलक बनाने वाले त्रिभुज कहलाते हैं चेहरे (एओसी, ओएसवी, एसीबी, एओबी), उनके पक्ष --- किनारों (एओ, ओसी, ओबी), और शिखर --- कोने (ए, बी, सी, ओ)चतुष्फलक। चतुष्फलक के वे दो किनारे जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते कहलाते हैं विलोम... कभी-कभी टेट्राहेड्रॉन के चेहरों में से एक को बाहर निकाल दिया जाता है और इसे कहा जाता है आधार, और तीन अन्य --- पार्श्व चेहरे.

चतुष्फलक कहा जाता है सहीअगर इसके सभी चेहरे हैं समबाहु त्रिभुज. इसी समय, एक नियमित टेट्राहेड्रॉन और एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड- यह वही बात नहीं है।

पर नियमित टेट्राहेड्रॉनकिनारों पर सभी द्विफलक कोण और शीर्ष पर सभी त्रिफलक कोण बराबर होते हैं।

35. सही प्रिज्म

एक प्रिज्म एक पॉलीहेड्रॉन है जिसमें दो चेहरे (आधार) समानांतर विमानों में होते हैं, और इन चेहरों के बाहर सभी किनारे एक दूसरे के समानांतर होते हैं। आधारों के अलावा अन्य फलकों को पार्श्व फलक कहा जाता है, और उनके किनारों को पार्श्व किनारा कहा जाता है। सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं क्योंकि समानांतर खंड दो समानांतर विमानों से बंधे होते हैं। प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज हैं। प्रिज्म के आधारों की संगत भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं। एक सीधा प्रिज्म कहलाता है, जिसमें पार्श्व किनारा आधार के तल के लंबवत होता है, अन्य प्रिज्म को झुका हुआ कहा जाता है। बेस पर सही प्रिज्मएक नियमित बहुभुज है। ऐसे प्रिज्म में सभी फलक बराबर आयत होते हैं।

एक प्रिज्म की सतह में दो आधार और एक पार्श्व सतह होती है। प्रिज्म की ऊंचाई एक खंड है जो उन विमानों के लिए एक सामान्य लंबवत है जिसमें प्रिज्म के आधार स्थित हैं। प्रिज्म की ऊंचाई दूरी है एचबेस विमानों के बीच।

साइड सतह क्षेत्र एस b प्रिज्म को इसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। पूर्ण सतह क्षेत्र एसकिसी प्रिज्म के n को उसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। एसएन = एसबी + 2 एस,कहाँ एसप्रिज्म का आधार क्षेत्र है, एसबी - पार्श्व सतह क्षेत्र।

36. एक बहुफलक जिसका एक फलक होता है, कहलाता है आधार, एक बहुभुज है,
और अन्य फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज कहलाते हैं पिरामिड .

आधार के अलावा अन्य फलक कहलाते हैं ओर।
पार्श्व फलकों का उभयनिष्ठ शीर्ष कहलाता है पिरामिड के ऊपर।
पिरामिड के शीर्ष को आधार के शीर्ष से जोड़ने वाले किनारों को कहा जाता है ओर।
पिरामिड की ऊँचाई पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार पर खींचा गया लंब कहलाता है।

पिरामिड कहा जाता है सही, यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और इसकी ऊँचाई आधार के केंद्र से होकर गुजरती है।

एपोटेम बगल का चहेरा सही पिरामिडपिरामिड के ऊपर से खींचे गए इस चेहरे की ऊंचाई कहलाती है।

पिरामिड के आधार के समानांतर एक विमान इसे एक समान पिरामिड में काट देता है और कटा हुआ पिरामिड।

नियमित पिरामिड के गुण

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व किनारे बराबर होते हैं।
एक नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे एक दूसरे के बराबर समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

यदि सभी भुजाएँ समान हैं, तो

ऊँचाई परिबद्ध वृत्त के केंद्र की ओर प्रक्षेपित की जाती है;

पार्श्व पसलियां आधार तल के साथ समान कोण बनाती हैं।

यदि साइड फेस एक कोण पर बेस प्लेन से झुके हुए हैं, तो

ऊंचाई उत्कीर्ण सर्कल के केंद्र में अनुमानित है;

पार्श्व फलकों की ऊँचाई बराबर होती है;

पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि के आधे उत्पाद और पार्श्व चेहरे की ऊंचाई के बराबर है

37. फ़ंक्शन y=f(x), जहां x सेट से संबंधित है प्राकृतिक संख्या, प्राकृतिक तर्क का एक कार्य कहा जाता है या संख्यात्मक अनुक्रम. इसे नामित करें y=f(n), या (y n)

अनुक्रम सेट किए जा सकते हैं विभिन्न तरीके, मौखिक रूप से, इस प्रकार अनुक्रम दिया जाता है प्रमुख संख्या:

2, 3, 5, 7, 11 आदि

यह माना जाता है कि अनुक्रम विश्लेषणात्मक रूप से दिया जाता है यदि इसके एन-वें सदस्य का सूत्र दिया जाता है:

1, 4, 9, 16, ..., n2, ...

2) y n = C. इस तरह के अनुक्रम को स्थिर या स्थिर कहा जाता है। उदाहरण के लिए:

2, 2, 2, 2, …, 2, …

3) वाई एन \u003d 2 एन। उदाहरण के लिए,

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , …, 2n , …

एक अनुक्रम को ऊपर से परिबद्ध कहा जाता है यदि इसके सभी सदस्य अधिक से अधिक संख्या में हों। दूसरे शब्दों में, एक अनुक्रम को परिबद्ध कहा जा सकता है यदि ऐसी संख्या M है कि असमानता y n M से कम या उसके बराबर है। संख्या M को अनुक्रम की ऊपरी सीमा कहा जाता है। उदाहरण के लिए, क्रम: -1, -4, -9, -16, ..., - n 2; ऊपर से सीमित।

इसी तरह, एक अनुक्रम को नीचे से परिबद्ध कहा जा सकता है यदि उसके सभी सदस्य किसी संख्या से अधिक हों। यदि कोई क्रम ऊपर और नीचे दोनों तरफ से बंधा हुआ है, तो उसे परिबद्ध कहा जाता है।

एक अनुक्रम को बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि प्रत्येक उत्तरोत्तर पद पिछले वाले से अधिक हो।

एक अनुक्रम को घटता हुआ कहा जाता है यदि प्रत्येक क्रमिक शब्द पिछले एक से कम हो। बढ़ते और घटते क्रम को एक शब्द - मोनोटोनिक अनुक्रम द्वारा परिभाषित किया गया है।

दो क्रमों पर विचार करें:

1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …

2) x n: 1, ½, 1/3, 1/4, ..., 1/n, ...

यदि हम इस क्रम के सदस्यों को एक वास्तविक रेखा पर चित्रित करते हैं, तो हम देखेंगे कि, दूसरे मामले में, अनुक्रम के सदस्य एक बिंदु के आसपास संघनित होते हैं, और पहले मामले में ऐसा नहीं है। ऐसे मामलों में, हम कहते हैं कि अनुक्रम y n विचलन करता है, और अनुक्रम x n अभिसरित होता है।

संख्या b को अनुक्रम y n की सीमा कहा जाता है यदि बिंदु b के किसी भी पूर्व-चयनित पड़ोस में किसी संख्या से शुरू होने वाले अनुक्रम के सभी सदस्य शामिल हैं।

इस मामले में, हम लिख सकते हैं:

यदि प्रगति का मॉड्यूल भागफल एक से कम है, तो इस अनुक्रम की सीमा, जैसा कि x अनंत की ओर जाता है, शून्य के बराबर है।

यदि अनुक्रम अभिसरण करता है, तो केवल एक सीमा तक

यदि अनुक्रम अभिसरण करता है, तो यह बंधा हुआ है।

वेइरस्ट्रास प्रमेय: यदि कोई अनुक्रम नीरस रूप से अभिसरण करता है, तो यह परिबद्ध है।

स्थिर अनुक्रम की सीमा अनुक्रम के किसी भी सदस्य के बराबर होती है।

गुण:

1) योग सीमा सीमाओं के योग के बराबर है

2) उत्पाद की सीमा सीमा के उत्पाद के बराबर है

3) भागफल की सीमा सीमा के भागफल के बराबर है

4) स्थिर गुणक को सीमा के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है

प्रश्न 38
एक अनंत ज्यामितीय प्रगति का योग

ज्यामितीय अनुक्रम- संख्याओं का एक क्रम b 1 , b 2 , b 3 ,.. (प्रगति के सदस्य), जिसमें प्रत्येक बाद की संख्या, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से एक निश्चित संख्या q से गुणा करके प्राप्त की जाती है ( प्रगति का भाजक), जहां b 1 ≠ 0, q ≠ 0।

एक अनंत ज्यामितीय प्रगति का योगवह सीमा संख्या है जिससे प्रगति क्रम अभिसरित होता है।

दूसरे शब्दों में, चाहे कितना भी लंबा क्यों न हो ज्यामितीय अनुक्रम, इसके सदस्यों का योग कुछ से अधिक नहीं है निश्चित संख्याऔर लगभग इस संख्या के बराबर है। इसे ज्यामितीय प्रगति का योग कहा जाता है।

प्रत्येक ज्यामितीय प्रगति में ऐसा सीमित योग नहीं होता है। यह केवल ऐसी श्रेढ़ी में हो सकता है, जिसका हर 1 से कम एक भिन्नात्मक संख्या हो।