ओपन लाइब्रेरी - शैक्षिक जानकारी का एक खुला पुस्तकालय। पूर्वानुमान। पूर्वानुमान विश्वास अंतराल

सबसे आम पूर्वानुमान विधियों में से एक एक्सट्रपलेशन है, अर्थात। अतीत में देखी गई प्रवृत्ति के भविष्य में विस्तार में। गतिशील श्रृंखला में प्रवृत्तियों का विस्तार अपेक्षाकृत व्यापक रूप से व्यावहारिक अनुसंधान में इसकी सादगी, अपेक्षाकृत कम मात्रा में जानकारी के आधार पर कार्यान्वयन की संभावना, और अंत में, धारणाओं की स्पष्टता के कारण व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। अलग से विचार के अलावा अन्य जानकारी का अभाव गतिशील श्रृंखलाइस पूर्वानुमान पद्धति को चुनते समय अक्सर निर्णायक तर्क बन जाता है।

पूर्वानुमान के इस दृष्टिकोण के साथ, यह माना जाता है कि घटना की विशेषता वाली विशेषता का आकार कई कारकों के प्रभाव में बनता है, और उनके प्रभाव को अलग से अलग करना संभव नहीं है। इस संबंध में, विकास का पाठ्यक्रम किसी विशिष्ट कारक से नहीं, बल्कि समय के साथ जुड़ा हुआ है।

एक्सट्रपलेशन निम्नलिखित मान्यताओं पर आधारित है:

1) घटना के विकास को एक चिकनी (विकासवादी) प्रक्षेपवक्र - एक प्रवृत्ति द्वारा उचित रूप से चित्रित किया जा सकता है;

2) अतीत में विकास की प्रवृत्ति को निर्धारित करने वाली सामान्य स्थितियां नहीं गुजरेंगी महत्वपूर्ण परिवर्तनभविष्य में।

इस प्रकार, एक्सट्रपलेशन पूर्वानुमान की वस्तु के कुछ सामान्य भविष्य के विकास का विवरण देता है। इसके अलावा, यदि अतीत में विकास में स्थायी रूप से स्पस्मोडिक चरित्र था, तो पर्याप्त रूप से लंबी अवलोकन अवधि के साथ, छलांग प्रवृत्ति में ही "निश्चित" हो जाती है, और बाद वाले को फिर से पूर्वानुमान में इस्तेमाल किया जा सकता है।

ऊपर, मुख्य स्थितियां तैयार की गई थीं, जिनकी उपस्थिति से प्रवृत्ति को बाहर निकालना संभव हो जाता है। पूर्वानुमान के अभ्यास में, यह प्रश्न उठ सकता है कि यदि किसी प्रवृत्ति के गठन की स्थितियाँ स्पष्ट रूप से बदल जाती हैं और भविष्य में इसकी अपेक्षा की जानी चाहिए तो क्या करें? इस मामले में, समस्या समाधान के विभिन्न दृष्टिकोण संभव हैं। विशेष रूप से, कई मामलों में अवलोकन अवधि को छोटा करके और स्पष्ट रूप से अलग-अलग परिस्थितियों में गठित श्रृंखला के सदस्यों को काटकर और नई प्रवृत्ति को विकृत करके प्रवृत्ति को "सही" किया जा सकता है। हालांकि, अध्ययन के तहत घटना के विकास के लिए नई और पुरानी स्थितियों को अलग करने के लिए समय में एक स्पष्ट सीमा खींचना हमेशा संभव नहीं होता है। इस मामले में, डेटा की उम्र बढ़ने को ध्यान में रखते हुए, मापदंडों का अनुमान लगाना उचित है। ऐसी तकनीक तब संभव है जब नई परिस्थितियों में संक्रमण की कोई तेज सीमा न हो और साथ ही, इस संक्रमण के प्रभाव को पर्याप्त रूप से प्रभावी मानने के कारण हों। अंत में, प्रवृत्ति की विशेषता वाले समीकरणों के मापदंडों को ठीक करना संभव है। उदाहरण के लिए, एक बहुपद समीकरण में स्थिर पद को बदलने से वक्र के आकार को बदले बिना प्रवृत्ति को y-अक्ष के साथ बदल दिया जाता है। यह तकनीक तब लागू होती है जब यह मान लिया जाता है कि विकास पिछली प्रवृत्ति का अनुसरण करेगा, लेकिन कुछ आधार स्तर पर जाने का कारण है जो प्रवृत्ति समीकरण द्वारा प्राप्त स्तर से भिन्न होता है।

अन्य मापदंडों (स्थिर अवधि के अलावा) को समायोजित किया जा सकता है। इस प्रकार के सुधार प्रवृत्ति के आकार को बदल देते हैं। उदाहरण के लिए, वे एक सीधी रेखा के झुकाव के कोण को बदलते हैं, एक वक्र को खिंचाव या संपीड़ित करते हैं, आदि। इस तरह की प्रवृत्ति विकृतियों के लिए, निश्चित रूप से पर्याप्त आधार होना चाहिए।

जाहिरा तौर पर, एक्सट्रपलेशन को पूर्वानुमान के अंतिम परिणाम के रूप में नहीं, बल्कि कुछ शुरुआती बिंदु के रूप में माना जाना सबसे सही होगा, जिसके आधार पर, की भागीदारी के साथ अतिरिक्त जानकारी, समय श्रृंखला में ही निहित नहीं है, एक पूर्वानुमान विकसित करें। साथ ही, अक्सर इसका परिणाम, उचित समायोजन के साथ या बिना, अंतिम पूर्वानुमान के रूप में भी माना जाता है।

यदि, पूर्वानुमान वस्तु के विकास का विश्लेषण करते समय, ऊपर उल्लिखित दो बुनियादी एक्सट्रपलेशन मान्यताओं को स्वीकार करने के लिए आधार हैं, तो पूर्वानुमान प्रक्रिया में प्रवृत्ति का वर्णन करने वाले सूत्र में लीड अवधि के संबंधित मूल्य को प्रतिस्थापित करना शामिल है।

आइए प्रारंभिक गतिशील श्रृंखला की तीसरी अवधि के लिए सर्वोत्तम प्रवृत्ति फॉर्म (तीसरी डिग्री का बहुपद) के एक्सट्रपलेशन के आधार पर पूर्वानुमान लगाते हैं:

निर्यात के लिए,

आयात के लिए।

तदनुसार, 2006 (t=13) के लिए निर्यात और आयात की अनुमानित मात्रा होगी:

निर्यात: अरब अमेरिकी डॉलर,

आयात: अरब अमेरिकी डॉलर।

तदनुसार, 2007 (t=14) के लिए निर्यात और आयात की पूर्वानुमान मात्रा होगी:

निर्यात: अरब अमेरिकी डॉलर,

आयात: अरब अमेरिकी डॉलर।

एक्सट्रपलेशन पूर्वानुमान का एक बिंदु मूल्य प्राप्त करना संभव बनाता है, जिसे केवल तभी संतोषजनक माना जा सकता है जब कोई कार्यात्मक निर्भरता हो। हालांकि, आर्थिक घटनाएं सहसंबंध द्वारा विशेषता हैं और चर, एक नियम के रूप में, निरंतर हैं। नतीजतन, पूर्वानुमान के बिंदु मूल्यों का संकेत, सख्ती से बोलना, सामग्री से रहित है, क्योंकि "मारने" बिंदु की शून्य संभावना है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि पूर्वानुमान को मूल्यों के अंतराल के रूप में दिया जाना चाहिए, अर्थात। परिभाषा की आवश्यकता विश्वास अंतरालभविष्यवाणी।

6.1. पूर्वानुमान विश्वास अंतराल

एक्सट्रपलेशन का उपयोग करके किसी विशेष घटना के पूर्वानुमान संबंधी मूल्यों का निर्धारण करते समय, सबसे बड़ी रुचि, जाहिरा तौर पर, एक्सट्रपलेशन ही नहीं है - यह कमोबेश एक यांत्रिक तकनीक है, बल्कि पूर्वानुमान के आत्मविश्वास अंतराल का निर्धारण है।

कॉन्फिडेंस इंटरवल को दो तरह से परिभाषित किया जा सकता है: औपचारिक और अनौपचारिक रूप से। उत्तरार्द्ध के लिए, यह विशेषज्ञ निर्णय का मामला है, जो कि विशेषज्ञ के लिए उपलब्ध अन्य आंकड़ों के साथ तुलना करते हुए, पूर्वानुमान के परिणामों को गुणात्मक रूप से समझने पर किया जाता है। उसी समय, निश्चित रूप से, विशेषज्ञ को न केवल अतीत में प्रवृत्ति के आसपास के वास्तविक स्तरों के उतार-चढ़ाव की डिग्री को ध्यान में रखना चाहिए, बल्कि भविष्य में प्रवृत्ति विकृति की संभावना को भी ध्यान में रखना चाहिए (तदनुसार, विभिन्न विकल्पभविष्यवाणी)।

औपचारिक विश्वास अंतराल केवल टिप्पणियों की सीमित संख्या से जुड़ी अनिश्चितता और वक्र मापदंडों के पाए गए अनुमानों की संगत अशुद्धि को ध्यान में रखता है। मुख्य प्रश्न - भविष्य में पाया गया रुझान किस हद तक जारी रहेगा - स्वाभाविक रूप से, इस तरह के विश्वास अंतराल का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है। यह सामग्री की बात है आर्थिक विश्लेषणतथा सहकर्मी समीक्षा. इसमें मुख्य फोकस अध्ययन गाइडआइए के आधार पर औपचारिक विश्वास अंतरालों के आकलन पर ध्यान दें सांख्यिकीय विश्लेषण. ध्यान दें कि सभी मामलों में औपचारिक विश्वास अंतराल प्राप्त नहीं किया जा सकता है। विशेष रूप से, जटिल वक्रों के लिए जो बहुपदों से भिन्न होते हैं, यदि उन्हें निर्धारित किया जा सकता है, तो विश्वास अंतराल बल्कि मनमाना हैं। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, वास्तविक डेटा और भविष्य कहनेवाला के बीच एक सटीक मिलान बिंदु अनुमानएक्सट्रपलेशन ट्रेंड कर्व्स द्वारा प्राप्त एक असंभावित घटना है। संबंधित त्रुटि में निम्नलिखित स्रोत हैं:

1) प्रवृत्ति की विशेषता वाले वक्र के आकार की पसंद में व्यक्तिपरकता का एक तत्व होता है। किसी भी मामले में, इस बात पर जोर देने के लिए अक्सर कोई ठोस आधार नहीं होता है कि वक्र का चुना हुआ रूप केवल एक ही संभव है, दी गई विशिष्ट परिस्थितियों में एक्सट्रपलेशन के लिए सबसे अच्छा है;

2) वक्र मापदंडों का अनुमान (दूसरे शब्दों में, प्रवृत्ति अनुमान) टिप्पणियों के एक सीमित सेट पर आधारित होता है, जिनमें से प्रत्येक में एक यादृच्छिक घटक होता है। इस वजह से, वक्र के पैरामीटर, और, परिणामस्वरूप, अंतरिक्ष में इसकी स्थिति, कुछ अनिश्चितता की विशेषता है;

3) प्रवृत्ति समय में प्रत्येक बिंदु पर श्रृंखला के औसत स्तर की विशेषता है। व्यक्तिगत अवलोकन अतीत में इससे विचलित होने की प्रवृत्ति रखते थे। भविष्य में इस तरह के विचलन होने की उम्मीद करना स्वाभाविक है।

यह बहुत संभव है कि प्रवृत्ति का वर्णन करने वाले वक्र के आकार को गलत तरीके से चुना गया हो या जब भविष्य में विकास की प्रवृत्ति महत्वपूर्ण रूप से बदल जाए और उस प्रकार के वक्र का पालन न करें जो संरेखण के दौरान अपनाया गया था। बाद के मामले में, मूल एक्सट्रपलेशन धारणा मामलों की वास्तविक स्थिति के अनुरूप नहीं है। पाया गया वक्र केवल गतिशील श्रृंखला को बराबर करता है और केवल अवलोकन द्वारा कवर की गई अवधि के भीतर ही प्रवृत्ति को दर्शाता है। इस तरह की प्रवृत्ति का विस्तार अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम की ओर ले जाएगा, और इस तरह की त्रुटि का पहले से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है। इस संबंध में, हम केवल यह नोट कर सकते हैं कि, जाहिरा तौर पर, किसी को इस तरह की त्रुटि (या इसके होने की संभावना) में वृद्धि की अवधि में वृद्धि के साथ वृद्धि की उम्मीद करनी चाहिए।

श्रृंखला की संपत्ति के बारे में कुछ धारणाएँ बनाते समय दूसरे और तीसरे स्रोतों से जुड़ी त्रुटि पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल के रूप में परिलक्षित हो सकती है। इस तरह के अंतराल की मदद से, एक बिंदु पूर्वानुमान को अंतराल में बदल दिया जाता है।

यह सहज रूप से स्पष्ट है कि पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल की गणना सुविधा के कई देखे गए मूल्यों के उतार-चढ़ाव के मीटर पर आधारित होनी चाहिए। यह उतार-चढ़ाव जितना अधिक होगा, "स्तर-समय" स्थान में प्रवृत्ति की स्थिति उतनी ही कम निश्चित होगी और पूर्वानुमान विकल्पों के लिए उतना ही व्यापक विश्वास के साथ अंतराल होना चाहिए। परंपरागत रूप से, परिवर्तनशीलता के इस तरह के एक उपाय के रूप में, समय श्रृंखला को बराबर करके प्राप्त की गई गणना से वास्तविक अवलोकनों के औसत वर्ग (मानक) विचलन का उपयोग किया जाता है। पर सामान्य दृष्टि सेऔसत मानक विचलनप्रवृत्ति से के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

,

जहाँ , क्रमशः, श्रृंखला के स्तर के वास्तविक और परिकलित मान;

फूस्वतंत्रता की डिग्री की संख्या, एफ = एन - टी,कहाँ पे टीअनुमानित मापदंडों की संख्या; नहींअवलोकनों की संख्या। इसलिए, यदि संरेखण एक सीधी रेखा में किया जाता है, तो एफ = एन - 2,दूसरी डिग्री परवलय के लिए एफ = एन- 3 आदि

प्रवृत्ति से वर्ग विचलन का योग (आइए सरलता के लिए एक रैखिक प्रवृत्ति लें) स्पष्ट रूप से निम्नानुसार विघटित किया जा सकता है:

इस अभिव्यक्ति को सरल बनाया जा सकता है। मान लें कि समय की उत्पत्ति पंक्ति के मध्य में है, तो S टी = 0. विकल्प एकतथा बी,जैसा कि हमने पहले देखा है, इस मामले में बराबर हैं:

यहाँ से, सरलीकरण के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

इस समानता के दायीं ओर पहले दो पदों का अंतर अंकगणितीय माध्य से वर्ग विचलन के योग के बराबर है, अर्थात। इस तरह,

व्यंजक दर्शाता है कि रैखिक प्रवृत्ति से वर्ग विचलनों का योग अंकगणित माध्य से कम है। इस अभिव्यक्ति का उपयोग उन मामलों में किया जा सकता है जहां एक प्रवृत्ति के आसपास के उतार-चढ़ाव की विशेषता को प्रवृत्ति के निर्धारित होने से पहले ही निर्धारित किया जाता है।

प्रवृत्ति रेखाओं से वर्ग विचलन का योग, अर्थात, और प्रवृत्ति से मानक विचलन एसवाईप्रवृत्ति समीकरण के अलग-अलग मापदंडों और उनके आत्मविश्वास अंतराल के साथ-साथ प्रवृत्ति और पूर्वानुमान की त्रुटि और आत्मविश्वास अंतराल के माध्य वर्ग त्रुटि को निर्धारित करने का आधार हैं।

पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल के निर्धारण के लिए आगे बढ़ने से पहले, नीचे दी गई गणना की कुछ पारंपरिकता के बारे में आरक्षण करना आवश्यक है। कुछ हद तक, नमूना उपायों के प्रतिगमन के लिए समय श्रृंखला विश्लेषण के लिए पाए गए परिणामों का एक मनमाना विस्तार निम्नानुसार है। तथ्य यह है कि प्रतिगमन रेखा के चारों ओर विचलन के सामान्य वितरण के बारे में प्रतिगमन विश्लेषण की धारणा, संक्षेप में, समय श्रृंखला के विश्लेषण में बिना शर्त पुष्टि नहीं की जा सकती है।

सांख्यिकीय अनुमान के दौरान प्राप्त पैरामीटर इस तथ्य से जुड़ी त्रुटि से मुक्त नहीं हैं कि जानकारी की मात्रा जिसके आधार पर अनुमान लगाया गया था, सीमित है, और एक अर्थ में इस जानकारी को एक नमूना माना जा सकता है। किसी भी मामले में, अवलोकन अवधि को केवल एक चरण में स्थानांतरित करना, या श्रृंखला के सदस्यों को जोड़ना या समाप्त करना इस तथ्य के कारण है कि श्रृंखला के प्रत्येक सदस्य में एक यादृच्छिक घटक होता है, जिससे मापदंडों के संख्यात्मक अनुमानों में परिवर्तन होता है। इसलिए, गणना किए गए मान मापदंडों के मूल्य में त्रुटियों से जुड़ी अनिश्चितता का बोझ उठाते हैं।

सामान्य तौर पर, एक प्रवृत्ति के लिए विश्वास अंतराल को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

जहां औसत . है द्विघात त्रुटिरुझान;

गणना मूल्य आप;

¾ अर्थ टी-छात्र सांख्यिकी।

पूर्वानुमान के लिए विश्वास अंतराल, स्पष्ट रूप से, न केवल प्रवृत्ति की स्थिति से जुड़ी अनिश्चितता को ध्यान में रखना चाहिए, बल्कि इस प्रवृत्ति से विचलन की संभावना को भी ध्यान में रखना चाहिए।

व्यवहार में, ऐसे मामले होते हैं जब एक्सट्रपलेशन के लिए कई प्रकार के वक्रों को कम या ज्यादा यथोचित रूप से लागू किया जा सकता है। इस मामले में, तर्क कभी-कभी निम्नलिखित पर आ जाता है। चूंकि प्रत्येक वक्र वैकल्पिक प्रवृत्तियों में से एक की विशेषता है, यह स्पष्ट है कि अनुमानित मूल्य के लिए एक्सट्रपलेटेड प्रवृत्तियों के बीच का स्थान एक निश्चित "प्राकृतिक आत्मविश्वास क्षेत्र" है। इस तरह के बयान से कोई सहमत नहीं हो सकता। सबसे पहले, क्योंकि प्रत्येक संभावित प्रवृत्ति रेखा कुछ पहले से स्वीकृत विकास परिकल्पना से मेल खाती है। रुझानों के बीच का स्थान उनमें से किसी के साथ जुड़ा नहीं है - इसके माध्यम से असीमित संख्या में रुझान खींचे जा सकते हैं। यह भी जोड़ा जाना चाहिए कि आत्मविश्वास अंतराल अपनी सीमाओं से परे जाने की संभावना के एक निश्चित स्तर से जुड़ा हुआ है। प्रवृत्तियों के बीच का स्थान प्रायिकता के किसी भी स्तर से संबंधित नहीं है, लेकिन वक्र प्रकारों की पसंद पर निर्भर करता है। इसके अलावा, पर्याप्त रूप से लंबे समय के साथ, यह स्थान, एक नियम के रूप में, इतना महत्वपूर्ण हो जाता है कि ऐसा "आत्मविश्वास अंतराल" सभी अर्थ खो देता है।

STATISTICA में, पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल की गणना करते समय, मानक विचलन का मान एसवाईतालिका का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है भिन्नता का विश्लेषण. अवशिष्ट माध्य वर्ग सेल में परिकलित मान के सूत्र में मूल व्यंजक के संगत होता है एसवाई, वह है अवशिष्ट फैलाव.यह केवल इसमें से वर्गमूल निकालने के लिए रह जाता है। हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि हमने रैखिककरण का उपयोग किया था, और तदनुसार इस सूचक को भी पुनर्गणना करने की आवश्यकता है।

एक्सट्रपलेशन का उपयोग करके किसी विशेष घटना के भविष्य कहनेवाला मूल्यों का निर्धारण करते समय, सबसे बड़ी रुचि, जाहिरा तौर पर, एक्सट्रपलेशन ही नहीं है - यह कमोबेश एक यांत्रिक तकनीक है, बल्कि पूर्वानुमान के आत्मविश्वास अंतराल का निर्धारण है।

कॉन्फिडेंस इंटरवल को दो तरह से परिभाषित किया जा सकता है: औपचारिक और अनौपचारिक रूप से। उत्तरार्द्ध के लिए, यह विशेषज्ञ निर्णय का मामला है, जो कि विशेषज्ञ के लिए उपलब्ध अन्य आंकड़ों के साथ तुलना करते हुए, पूर्वानुमान के परिणामों को गुणात्मक रूप से समझने पर किया जाता है। उसी समय, निश्चित रूप से, विशेषज्ञ को न केवल अतीत में प्रवृत्ति के आसपास वास्तविक स्तरों के उतार-चढ़ाव की डिग्री को ध्यान में रखना चाहिए, बल्कि भविष्य में प्रवृत्ति विकृति की संभावना (तदनुसार विभिन्न पूर्वानुमान विकल्प प्राप्त किए जा सकते हैं)।

औपचारिक विश्वास अंतराल केवल टिप्पणियों की सीमित संख्या से जुड़ी अनिश्चितता और वक्र मापदंडों के पाए गए अनुमानों की संगत अशुद्धि को ध्यान में रखता है। मुख्य प्रश्न - भविष्य में पाया गया रुझान किस हद तक जारी रहेगा - स्वाभाविक रूप से, इस तरह के विश्वास अंतराल का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है। यह सार्थक आर्थिक विश्लेषण और विशेषज्ञ मूल्यांकन का विषय है।

इस ट्यूटोरियल का फोकस सांख्यिकीय विश्लेषण के आधार पर औपचारिक विश्वास अंतराल के आकलन पर होगा।

संबंधित त्रुटि में निम्नलिखित स्रोत हैं:

1) प्रवृत्ति की विशेषता वाले वक्र के आकार की पसंद में व्यक्तिपरकता का एक तत्व होता है। किसी भी मामले में, इस बात पर जोर देने के लिए अक्सर कोई ठोस आधार नहीं होता है कि वक्र का चुना हुआ रूप केवल एक ही संभव है, दी गई विशिष्ट परिस्थितियों में एक्सट्रपलेशन के लिए सबसे अच्छा है;

2) वक्र मापदंडों का अनुमान (दूसरे शब्दों में, प्रवृत्ति अनुमान) टिप्पणियों के एक सीमित सेट पर आधारित होता है, जिनमें से प्रत्येक में एक यादृच्छिक घटक होता है। इस वजह से, वक्र के पैरामीटर, और, परिणामस्वरूप, अंतरिक्ष में इसकी स्थिति, कुछ अनिश्चितता की विशेषता है;

3) प्रवृत्ति समय में प्रत्येक बिंदु पर श्रृंखला के औसत स्तर की विशेषता है। व्यक्तिगत अवलोकन अतीत में इससे विचलित होने की प्रवृत्ति रखते थे। भविष्य में इस तरह के विचलन होने की उम्मीद करना स्वाभाविक है।

यह बहुत संभव है कि प्रवृत्ति का वर्णन करने वाले वक्र के आकार को गलत तरीके से चुना गया हो या जब भविष्य में विकास की प्रवृत्ति महत्वपूर्ण रूप से बदल जाए और उस प्रकार के वक्र का पालन न करें जो संरेखण के दौरान अपनाया गया था। बाद के मामले में, मूल एक्सट्रपलेशन धारणा मामलों की वास्तविक स्थिति के अनुरूप नहीं है। पाया गया वक्र केवल गतिशील श्रृंखला को बराबर करता है और केवल अवलोकन द्वारा कवर की गई अवधि के भीतर ही प्रवृत्ति को दर्शाता है। इस तरह की प्रवृत्ति का विस्तार अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम की ओर ले जाएगा, और इस तरह की त्रुटि का पहले से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है। इस संबंध में, हम केवल यह नोट कर सकते हैं कि, जाहिरा तौर पर, किसी को इस तरह की त्रुटि (या इसके होने की संभावना) में वृद्धि की अवधि में वृद्धि के साथ वृद्धि की उम्मीद करनी चाहिए।

श्रृंखला की संपत्ति के बारे में कुछ धारणाएँ बनाते समय दूसरे और तीसरे स्रोतों से जुड़ी त्रुटि पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल के रूप में परिलक्षित हो सकती है। इस तरह के अंतराल की मदद से, एक बिंदु पूर्वानुमान को अंतराल में बदल दिया जाता है।

यह सहज रूप से स्पष्ट है कि पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल की गणना सुविधा के कई देखे गए मूल्यों के उतार-चढ़ाव के मीटर पर आधारित होनी चाहिए। यह उतार-चढ़ाव जितना अधिक होगा, "स्तर-समय" स्थान में प्रवृत्ति की स्थिति उतनी ही कम निश्चित होगी और पूर्वानुमान विकल्पों के लिए उतना ही व्यापक विश्वास के साथ अंतराल होना चाहिए। परंपरागत रूप से, माध्य वर्ग (मानक) विचलन (3.11) का उपयोग ऐसे थरथरानवाला के रूप में किया जाता है।

सांख्यिकीय अनुमान के दौरान प्राप्त पैरामीटर इस तथ्य से जुड़ी त्रुटि से मुक्त नहीं हैं कि जानकारी की मात्रा जिसके आधार पर अनुमान लगाया गया था, सीमित है, और एक अर्थ में इस जानकारी को एक नमूना माना जा सकता है। किसी भी मामले में, अवलोकन अवधि को केवल एक चरण में स्थानांतरित करना, या श्रृंखला के सदस्यों को जोड़ना या समाप्त करना इस तथ्य के कारण है कि श्रृंखला के प्रत्येक सदस्य में एक यादृच्छिक घटक होता है, जिससे मापदंडों के संख्यात्मक अनुमानों में परिवर्तन होता है। इसलिए, गणना किए गए मान मापदंडों के मूल्य में त्रुटियों से जुड़ी अनिश्चितता का बोझ उठाते हैं।

सामान्य तौर पर, एक प्रवृत्ति के लिए विश्वास अंतराल को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

, (4.1)

प्रवृत्ति का मूल माध्य वर्ग त्रुटि कहाँ है; श्रृंखला के स्तर का परिकलित मान है; -अर्थ टी-छात्र सांख्यिकी।

STATISTICA में, पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल की गणना करते समय, मानक विचलन का मान एसवाईविचरण तालिका के विश्लेषण का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है (चित्र 3.17 देखें)। प्रति सेल परिकलित अवशिष्ट माध्य वर्ग मूल्य सूत्र (3.11) में मूल अभिव्यक्ति से मेल खाता है एसवाई, यानी अवशिष्ट विचरण। यह केवल इसमें से वर्गमूल निकालने के लिए रहता है ( हजार लोग)।

सबसे आम पूर्वानुमान विधियों में से एक एक्सट्रपलेशन है, अर्थात। पिछले आंकड़ों के आधार पर भविष्य की भविष्यवाणी करने में।

एक्सट्रपलेशन निम्नलिखित मान्यताओं पर आधारित है:

घटना के विकास को एक सहज प्रक्षेपवक्र - एक प्रवृत्ति द्वारा उचित रूप से चित्रित किया जा सकता है;

अतीत में विकास की प्रवृत्ति को निर्धारित करने वाली सामान्य परिस्थितियों में भविष्य में महत्वपूर्ण परिवर्तन नहीं होंगे।

इस प्रकार, एक्सट्रपलेशन पूर्वानुमान की वस्तु के कुछ सामान्य भविष्य के विकास का विवरण देता है। इसके अलावा, यदि अतीत में विकास स्थायी रूप से स्पस्मोडिक प्रकृति का था, तो पर्याप्त रूप से लंबी अवलोकन अवधि के साथ, छलांग प्रवृत्ति में ही "निश्चित" हो जाती है, और बाद वाले को फिर से पूर्वानुमान में इस्तेमाल किया जा सकता है।

आइए 2001-2007 की अवधि के लिए निर्यात के लिए सर्वोत्तम प्रवृत्ति प्रपत्र (रैखिक) के एक्सट्रपलेशन के आधार पर पूर्वानुमान लगाते हैं:

याद रखें कि वर्तमान चर में पंक्ति के 7 स्तर हैं, जो निरूपित हैं प्राकृतिक संख्या. तदनुसार, 2008 में निर्यात गतिकी का पूर्वानुमान (t=8) होगा:

(अरब डॉलर)

आइए 2001-2007 की अवधि के लिए आयातों के लिए सर्वोत्तम प्रवृत्ति फॉर्म (रैखिक) के एक्सट्रपलेशन के आधार पर पूर्वानुमान लगाते हैं:

याद रखें कि वर्तमान चर में श्रृंखला के 7 स्तर हैं, जिन्हें प्राकृतिक संख्याओं द्वारा दर्शाया गया है। तदनुसार, 2008 में आयात गतिकी का पूर्वानुमान (t=8) होगा:

(अरब डॉलर)

एक्सट्रपलेशन पूर्वानुमान का एक बिंदु मूल्य प्राप्त करना संभव बनाता है, जिसे केवल तभी संतोषजनक माना जा सकता है जब कोई कार्यात्मक निर्भरता हो। हालांकि, आर्थिक घटनाएं सहसंबंध द्वारा विशेषता हैं और चर, एक नियम के रूप में, निरंतर हैं। नतीजतन, पूर्वानुमान के बिंदु मूल्यों का संकेत, सख्ती से बोलना, सामग्री से रहित है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि पूर्वानुमान को मूल्यों के अंतराल के रूप में दिया जाना चाहिए, अर्थात। पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल को निर्धारित करना आवश्यक है।

पूर्वानुमान विश्वास अंतराल

पूर्वानुमान लगाते समय, त्रुटि के निम्नलिखित स्रोत होते हैं:

प्रवृत्ति की विशेषता वाले वक्र के आकार की पसंद में व्यक्तिपरकता का एक तत्व होता है। किसी भी मामले में, इस बात पर जोर देने के लिए अक्सर कोई ठोस आधार नहीं होता है कि वक्र का चुना हुआ रूप केवल एक ही संभव है, दी गई विशिष्ट परिस्थितियों में एक्सट्रपलेशन के लिए सबसे अच्छा है;

वक्र मापदंडों का अनुमान (दूसरे शब्दों में, प्रवृत्ति अनुमान) टिप्पणियों के एक सीमित सेट पर आधारित होता है, जिनमें से प्रत्येक में एक यादृच्छिक घटक होता है। इस वजह से, वक्र के पैरामीटर, और, परिणामस्वरूप, अंतरिक्ष में इसकी स्थिति, कुछ अनिश्चितता की विशेषता है;

प्रवृत्ति प्रत्येक बिंदु पर श्रृंखला के औसत स्तर को दर्शाती है। व्यक्तिगत अवलोकन अतीत में इससे विचलित होने की प्रवृत्ति रखते थे।

भविष्य में इस तरह के विचलन होने की उम्मीद करना स्वाभाविक है।

यह बहुत संभव है कि प्रवृत्ति का वर्णन करने वाले वक्र के आकार को गलत तरीके से चुना गया हो या जब भविष्य में विकास की प्रवृत्ति महत्वपूर्ण रूप से बदल जाए और उस प्रकार के वक्र का पालन न करें जो संरेखण के दौरान अपनाया गया था। बाद के मामले में, मूल एक्सट्रपलेशन धारणा मामलों की वास्तविक स्थिति के अनुरूप नहीं है। पाया गया वक्र केवल गतिशील श्रृंखला को बराबर करता है और केवल अवलोकन द्वारा कवर की गई अवधि के भीतर ही प्रवृत्ति को दर्शाता है। इस तरह की प्रवृत्ति का विस्तार अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम की ओर ले जाएगा, और इस तरह की त्रुटि का पहले से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है। इस संबंध में, हम केवल यह नोट कर सकते हैं कि, जाहिरा तौर पर, किसी को इस तरह की त्रुटि (या इसके होने की संभावना) में वृद्धि की अवधि में वृद्धि के साथ वृद्धि की उम्मीद करनी चाहिए।

श्रृंखला की संपत्ति के बारे में कुछ धारणाएँ बनाते समय दूसरे और तीसरे स्रोतों से जुड़ी त्रुटि पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल के रूप में परिलक्षित हो सकती है। इस तरह के अंतराल की मदद से, एक बिंदु पूर्वानुमान को अंतराल में बदल दिया जाता है।

किसी भी मामले में, अवलोकन अवधि को केवल एक चरण में स्थानांतरित करना, या श्रृंखला के सदस्यों को जोड़ना या समाप्त करना इस तथ्य के कारण है कि श्रृंखला के प्रत्येक सदस्य में एक यादृच्छिक घटक होता है, जिससे मापदंडों के संख्यात्मक अनुमानों में परिवर्तन होता है। इसलिए, गणना किए गए मान मापदंडों के मूल्य में त्रुटियों से जुड़ी अनिश्चितता का बोझ उठाते हैं।

सामान्य तौर पर, एक प्रवृत्ति के लिए विश्वास अंतराल को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

प्रवृत्ति का मूल माध्य वर्ग त्रुटि कहाँ है;

अनुमानित मूल्य y t ;

विद्यार्थी का t-सांख्यिकीय मान।

STATISTICA में, पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल की गणना करते समय, मानक विचलन S y का मान विचरण तालिका के विश्लेषण का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। अवशिष्ट माध्य वर्ग सेल में परिकलित मान S y के सूत्र में मूलक व्यंजक से मेल खाता है, जो कि अवशिष्ट प्रसरण है। इसका वर्गमूल लेना ही शेष रह जाता है।

निर्यात के लिए (तालिका 77 देखें), आयात के लिए (तालिका 80 देखें)।

तो, निर्यात के लिए S y = 18.11, आयात के लिए S y = 25.45।

आत्मविश्वास के गुणांक का मान 95% के आत्मविश्वास के स्तर को ध्यान में रखते हुए, छात्र की तालिका के अनुसार पाया जाता है। रैखिक और . का उपयोग करते समय शक्ति कार्यस्वतंत्रता की डिग्री की संख्या क्रमशः 4 है, मानदंड का मूल्य 2.776 है।

इस प्रकार, 2008 के लिए निर्यात के पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

इस पूर्वानुमान की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: 2008 में 95% की संभावना के साथ जापानी निर्यात की मात्रा 704.542 बिलियन डॉलर से 805.089 बिलियन डॉलर तक होगी।

2008 के आयात के पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

इस पूर्वानुमान की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: 2008 में जापान के आयात की मात्रा 95% की संभावना के साथ 596.072 बिलियन डॉलर से 737.371 बिलियन डॉलर तक होगी।

पूर्वानुमान परिणामों का चित्रमय प्रतिनिधित्व

पूर्वानुमान का अंतिम चरण निर्माण है ग्राफिक चित्र, जो पूर्वानुमान की सटीकता का एक विचार देते हैं और विश्वास अंतराल की सीमा को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करते हैं।

तालिका 89. निर्यात के लिए पूर्वानुमान डेटा

चावल। 63.

तालिका 90. निर्यात के लिए पूर्वानुमान डेटा

चावल। 64.

दुर्भाग्य से, हमारे मामले में, वास्तविक मूल्य पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल से आगे निकल गए, जो एक बार फिर एक प्रवृत्ति मॉडल चुनने की कठिनाई पर जोर देता है।

औसत विकास दर और औसत पूर्ण वृद्धि के आधार पर एक्सट्रपलेशन

इस पैराग्राफ में, हम औसत विकास दर के आधार पर पूर्वानुमान पर विचार करते हैं। भविष्य की अवधि के मूल्य सूत्र द्वारा निर्देशित होते हैं:

कहाँ पे - औसत गतिवृद्धि; - एक्सट्रपलेशन के आधार के रूप में लिया गया स्तर।

औसत विकास दर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

जहाँ y n - के लिए डेटा पिछले सालअवधि, और y 1 - विचाराधीन अवधि में पहले वर्ष के लिए डेटा।

आइए निर्यात के लिए गणना करें:

विश्वास अंतराल:

तालिका 91. फॉर्मूला गणना, जापानी निर्यात के लिए औसत वृद्धि दर

आर्थिक पूर्वानुमान का विचार इस धारणा पर आधारित है कि विकास का पैटर्न जो अतीत में (आर्थिक गतिशीलता की एक श्रृंखला के भीतर) संचालित होता है, पूर्वानुमानित भविष्य में भी जारी रहेगा। इस अर्थ में, भविष्यवाणी पर आधारित है एक्सट्रपलेशन।भविष्य के लिए एक्सट्रपलेशन कहलाता है परिप्रेक्ष्य,और अतीत में पूर्वव्यापी।

एक्सट्रपलेशन पूर्वानुमान निम्नलिखित मान्यताओं पर आधारित है:

• ए) समग्र रूप से अध्ययन के तहत घटना के विकास को एक चिकनी वक्र द्वारा वर्णित किया गया है;
• बी) अतीत और वर्तमान में घटना के विकास में सामान्य प्रवृत्ति भविष्य में गंभीर बदलाव का संकेत नहीं देती है;
• ग) यादृच्छिकता को ध्यान में रखते हुए नियमित विकास से विचलन की संभावना का अनुमान लगाना संभव बनाता है।

पूर्वानुमान की विश्वसनीयता और सटीकता इस बात पर निर्भर करती है कि ये धारणाएँ वास्तविकता के कितने करीब हैं और अतीत में सामने आई नियमितता को चिह्नित करना कितना सही था।

निर्मित मॉडल के आधार पर, बिंदु और अंतराल के पूर्वानुमानों की गणना की जाती है।

समय मॉडल के लिए एक बिंदु पूर्वानुमान मॉडल (प्रवृत्ति समीकरण) में समय कारक के संबंधित मूल्य को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात। टी = एन + 1, एन+ 2,..., पी + प्रति,कहाँ पे प्रति -छुटकारे की अवधि।

एक्सट्रपलेशन द्वारा प्राप्त वास्तविक डेटा और भविष्य कहनेवाला बिंदु अनुमानों के बीच एक सटीक मिलान की संभावना नहीं है। संगत विचलन की घटना को निम्नलिखित कारणों से समझाया गया है:

• 1) पूर्वानुमान के लिए चुना गया वक्र प्रवृत्ति का वर्णन करने के लिए एकमात्र संभव नहीं है। आप एक वक्र चुन सकते हैं जो अधिक सटीक परिणाम देता है;
• 2) पूर्वानुमान सीमित संख्या में प्रारंभिक आंकड़ों के आधार पर किया जाता है। इसके अलावा, प्रत्येक प्रारंभिक स्तर में एक यादृच्छिक घटक भी होता है; इसलिए, जिस वक्र के साथ एक्सट्रपलेशन किया जाता है उसमें एक यादृच्छिक घटक भी होगा;
• 3) प्रवृत्ति समय श्रृंखला के औसत स्तर की गति की विशेषता है, इसलिए व्यक्तिगत अवलोकन इससे विचलित हो सकते हैं। यदि इस तरह के विचलन अतीत में देखे गए थे, तो वे भविष्य में देखे जाएंगे।

अंतराल पूर्वानुमान बिंदु पूर्वानुमानों पर आधारित होते हैं। विश्वास अंतरालइस तरह के अंतराल को कहा जाता है, जिसके संबंध में पूर्व-चयनित संभावना के साथ यह दावा करना संभव है कि इसमें अनुमानित संकेतक का मूल्य शामिल है। अंतराल की चौड़ाई मॉडल की गुणवत्ता पर निर्भर करती है (यानी, यह वास्तविक डेटा के कितना करीब है), अवलोकनों की संख्या, पूर्वानुमान क्षितिज, उपयोगकर्ता द्वारा चयनित संभाव्यता स्तर और अन्य कारकों पर निर्भर करता है।

पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल का निर्माण करते समय, मूल्य की गणना की जाती है यू (के),रैखिक मॉडल के लिए कौन सा रूप है

कहाँ पे ओह ई-मानक त्रुटि (प्रवृत्ति रेखा से मानक विचलन); आदि -स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या (एक रैखिक मॉडल के लिए पर = ए क्यू + ए (टीमापदंडों की संख्या आर = 2).

गुणांक / दिए गए महत्व के स्तर और प्रेक्षणों की संख्या पर विद्यार्थी के ^-सांख्यिकी का एक सारणीबद्ध मान है। (नोट: टेबल वैल्यू टीका उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है एक्सेल फ़ंक्शनस्टुड्रास्प।)

अन्य मॉडलों के लिए, मान वर्ग)इसी तरह से गणना की जाती है, लेकिन इसका एक अधिक बोझिल रूप है। जैसा कि सूत्र (3.5.21) से देखा जा सकता है, मान यू (के)सीधे मॉडल की सटीकता पर निर्भर करता है आत्मविश्वास गुणांक / , द्वारा भविष्य में गहरा करने की डिग्री प्रतिकदम आगे, अर्थात्। इस समय टी = पी + के,और प्रेक्षणों के आयतन के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

पूर्वानुमान विश्वास अंतरालनिम्नलिखित सीमाएँ होंगी:

यदि निर्मित मॉडल पर्याप्त है, तो उपयोगकर्ता द्वारा चुनी गई संभावना के साथ, यह तर्क दिया जा सकता है कि, विकास के स्थापित पैटर्न को बनाए रखते हुए अनुमानित मूल्य ऊपरी और निचली सीमाओं द्वारा गठित अंतराल के भीतर आता है।

भविष्य कहनेवाला अनुमान प्राप्त करने के बाद, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि वे उचित हैं और एक अलग तरीके से प्राप्त अनुमानों के अनुरूप हैं।

उदाहरण 3.5.4। वेस्टा जेएससी के वित्तीय निदेशक एक निवेश परियोजना के मासिक वित्तपोषण की व्यवहार्यता पर विचार करते हैं, जिसमें निम्नलिखित शुद्ध भुगतान, हजार रूबल हैं:

• 1. शर्तों (समय) पर भुगतान की मात्रा की निर्भरता के रैखिक मॉडल का निर्धारण करें।
• 2. अध्ययन के आधार पर निर्मित मॉडल की गुणवत्ता (अर्थात पर्याप्तता और सटीकता) का मूल्यांकन करें:
  • ए) "चोटियों" की कसौटी के अनुसार अवशिष्ट घटक की यादृच्छिकता;
  • बी) ^w-मानदंड के अनुसार कई अवशेषों के स्तरों की स्वतंत्रता (महत्वपूर्ण मूल्यों के रूप में स्तरों का उपयोग करें डी एक्स= 1.08 और d2= 1.36) और पहले ऑटोसहसंबंध गुणांक के अनुसार, जिसका महत्वपूर्ण स्तर r(1) = 0.36 है;
  • ग) 2.7-3.7 के महत्वपूर्ण स्तरों के साथ टी-मानदंड के अनुसार अवशिष्ट घटक के वितरण की सामान्यता;
  • डी) सापेक्ष त्रुटि औसत मॉड्यूलो।
• 3. अगले तीन महीनों के लिए भुगतान की राशि निर्धारित करें (बिल्ड बिंदु और अंतराल पूर्वानुमान तीन कदम आगे (0.1 के महत्व स्तर पर), वास्तविक डेटा प्रदर्शित करें, चार्ट पर गणना और पूर्वानुमान के परिणाम)।

इस परियोजना के वित्तपोषण की व्यवहार्यता का आकलन करें यदि अगली तिमाही में कंपनी इन उद्देश्यों के लिए केवल 120 हजार रूबल आवंटित कर सकती है।

• 1. मॉडल बिल्डिंग
• 1) ऐड-इन का उपयोग करके मॉडल मापदंडों का आकलन एक्सेल विश्लेषणजानकारी। आइए एक रेखीय प्रतिगमन मॉडल बनाएं यूसे /। प्रतिगमन विश्लेषण करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:
  • ? उपकरण => डेटा विश्लेषण कमांड का चयन करें।
  • ? डेटा विश्लेषण संवाद बॉक्स में, प्रतिगमन उपकरण का चयन करें और फिर ठीक पर क्लिक करें।
  • ? रिग्रेशन डायलॉग बॉक्स में, इनपुट इंटरवल वाई फील्ड में, सेल की एक रेंज का पता दर्ज करें जो आश्रित चर का प्रतिनिधित्व करता है। इनपुट अंतराल क्षेत्र में एक्सउस श्रेणी का पता दर्ज करें जिसमें स्वतंत्र चर के मान हों टी।यदि स्तंभ शीर्षक भी चयनित हैं, तो पहली पंक्ति में लेबल चेक बॉक्स का चयन करें।
  • ? आउटपुट विकल्प चुनें (इस उदाहरण में, नई कार्यपुस्तिका)।
  • ? शेड्यूल फ़ील्ड में चेकबॉक्स चुनें।
  • ? अवशेष फ़ील्ड में, आवश्यक चेकबॉक्स चुनें और ठीक पर क्लिक करें।

प्रतिगमन विश्लेषण का परिणाम अंजीर में दिखाए गए रूप में प्राप्त किया जाएगा। 3.5.11 और 3.5.12।

चावल। 3.5.11.

अंजीर में दूसरा कॉलम। 3.5.11 में समाश्रयण समीकरण के गुणांक शामिल हैं एक 0, एक वी

शर्तों (समय) पर भुगतान की मात्रा की निर्भरता के विकास वक्र का रूप है

2) मॉडल मापदंडों का अनुमान "मैन्युअल रूप से"। तालिका में। 3.5.8 सूत्रों (3.5.16) का उपयोग करके रैखिक मॉडल के मापदंडों की मध्यवर्ती गणना दिखाता है। गणना के परिणामस्वरूप, हम समान मान प्राप्त करते हैं:

चावल। 3.5.12.

तालिका 3.5.8

कभी-कभी गणनाओं की जांच के लिए दर्ज किए गए सूत्रों की जांच करना उपयोगी होता है। ऐसा करने के लिए, कमांड का चयन करें सेवा => विकल्पऔर सूत्र विंडो में बॉक्स को चेक करें (चित्र 3.5.13)।

चावल। 3.5.13.

उसके बाद, एक्सेल शीट पर, गणना किए गए मानों को संबंधित सूत्रों और कार्यों (तालिका 3.5.9) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा।

• 2. मॉडल की गुणवत्ता का मूल्यांकन
• 1) के लिए पर्याप्तता मूल्यांकननिर्मित मॉडल, अवशिष्ट घटक के गुणों का अध्ययन किया जाता है, अर्थात। मॉडल द्वारा परिकलित स्तरों और वास्तविक प्रेक्षणों के बीच विसंगतियां (सारणी 3.5.10)।

पर स्वतंत्रता परीक्षण(स्वत:सहसंबंध की कमी) कई अवशेषों में एक व्यवस्थित घटक की अनुपस्थिति निर्धारित की जाती है, उदाहरण के लिए, सूत्र के अनुसार डर्बिन-वाटसन ^w-परीक्षण का उपयोग करके (3.4.8):

इसलिये डीडब्ल्यू" = 1.88 से अंतराल में गिर गया d2 2 तक, तो इस मानदंड के अनुसार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि स्वतंत्रता की संपत्ति संतुष्ट है (तालिका 3.4.1 देखें)। इसका मतलब है कि गतिकी की श्रृंखला में कोई स्वसंबंध नहीं है, इसलिए, इस मानदंड के अनुसार मॉडल पर्याप्त है।

अवशेषों की एक श्रृंखला के स्तरों की यादृच्छिकता की जाँच करनाहम मोड़ के मानदंड के आधार पर कार्य करेंगे [देखें। सूत्र (3.5.18)]। टर्निंग पॉइंट्स की संख्या आर पर पी = 12 5 के बराबर है (चित्र 3.5.14):

असमानता संतुष्ट है (5 > 4)। इसलिए, यादृच्छिकता की संपत्ति संतुष्ट है। मॉडल इस मानदंड के लिए पर्याप्त है।

कई अवशेषों का मिलान सामान्य कानूनवितरणहम मानदंड का उपयोग करके परिभाषित करते हैं:

अवशेषों की एक श्रृंखला का अधिकतम स्तर कहाँ है ई अधिकतम = 4.962, अवशेषों की एक श्रृंखला का न्यूनतम स्तर एम = -5.283 (तालिका 3.5.10 देखें), और मानक विचलन

चावल। 3.5.14.

हम पाते हैं

परिकलित मान अंतराल (2.7-3.7) के भीतर आता है, इसलिए, वितरण सामान्यता गुण पूरा होता है। मॉडल इस मानदंड के लिए पर्याप्त है।

शून्य से समानता के लिए जाँच हो रही है गणितीय अपेक्षाकई अवशेषों का स्तर।हमारे मामले में ई = 0, इसलिए अवशिष्ट श्रृंखला के मूल्यों की गणितीय अपेक्षा की शून्य से समानता के बारे में परिकल्पना पूरी होती है।

कई अवशेषों का डेटा विश्लेषण तालिका में दिया गया है। 3.5.11.

2) के लिए सटीकता अनुमानमॉडल गणना योग्य हैं मध्यम रिश्तेदारों की गलतीसन्निकटन ई (तालिका 3.5.12)।

हम पाते हैं

निष्कर्ष: - अच्छा स्तरमॉडल सटीकता।

तालिका 3.5.12

3. भवन बिंदु और अंतराल पूर्वानुमान तीन कदम आगे

निर्मित मॉडल में एक बिंदु पूर्वानुमान की गणना करने के लिए, हम कारक के संबंधित मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं टी = एन + के:

एक अंतराल पूर्वानुमान बनाने के लिए, हम विश्वास अंतराल की गणना करते हैं। महत्व स्तर पर a = 0.1 आत्मविश्वास का स्तर 90% के बराबर है, और छात्र की कसौटी v = . पर है पी - 2 = 10 1.812 के बराबर है। हम सूत्र (3.5.21) का उपयोग करके विश्वास अंतराल की चौड़ाई की गणना करते हैं:

कहाँ पे (प्रतिगमन विश्लेषण प्रोटोकॉल से लिया जा सकता है), / = 1.812 (फ़ंक्शन का उपयोग करके एक्सेल में तालिका मान प्राप्त किया जा सकता है स्टुड्रास्पोब्र), टी = 6,5,

(हम तालिका 3.5.8 से पाते हैं);

तालिका 3.5.13

उत्तर। मॉडल दिखता है वाई (टी)= 38.23 + 1.81/. भुगतान की राशि 61.77 होगी; 63.58; रगड़ 65.40 हजार नतीजतन, 120 हजार रूबल की राशि में नकद। इस निवेश को वित्तपोषित करने के लिए

चावल। 3.5.15.

परियोजना अगले तीन महीनों के लिए पर्याप्त नहीं होगी, इसलिए आपको या तो अतिरिक्त धन खोजने की जरूरत है या इस परियोजना को छोड़ देना चाहिए।

यदि, पूर्वानुमान वस्तु के विकास का विश्लेषण करते समय, दो बुनियादी एक्सट्रपलेशन मान्यताओं को स्वीकार करने के कारण हैं जिनकी हमने ऊपर चर्चा की है, तो एक्सट्रपलेशन प्रक्रिया में लीड अवधि के संबंधित मूल्य को प्रवृत्ति का वर्णन करने वाले सूत्र में प्रतिस्थापित करना शामिल है।

एक्सट्रपलेशन, आम तौर पर बोल रहा है, एक बिंदु भविष्य कहनेवाला अनुमान देता है। सहज रूप से, इस तरह के मूल्यांकन की अपर्याप्तता और प्राप्त करने की आवश्यकता है अंतराल अनुमानताकि पूर्वानुमानित चर के मूल्यों की एक निश्चित सीमा को कवर करने वाला पूर्वानुमान अधिक विश्वसनीय हो। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक्सट्रपलेशन ट्रेंड कर्व्स द्वारा प्राप्त वास्तविक डेटा और भविष्य कहनेवाला बिंदु अनुमानों के बीच एक सटीक मिलान की संभावना नहीं है। संबंधित त्रुटि में निम्नलिखित स्रोत हैं:

1) प्रवृत्ति की विशेषता वाले वक्र के आकार की पसंद में व्यक्तिपरकता का एक तत्व होता है। किसी भी मामले में, इस बात पर जोर देने के लिए अक्सर कोई ठोस आधार नहीं होता है कि वक्र का चुना हुआ रूप ही एकमात्र संभव है, या दी गई विशिष्ट स्थितियों के तहत एक्सट्रपलेशन के लिए सबसे अच्छा भी है;

2) वक्र मापदंडों का अनुमान (दूसरे शब्दों में, प्रवृत्ति अनुमान) टिप्पणियों के एक सीमित सेट पर आधारित होता है, जिनमें से प्रत्येक में एक यादृच्छिक घटक होता है। इस वजह से, वक्र के पैरामीटर, और फलस्वरूप, अंतरिक्ष में इसकी स्थिति, कुछ अनिश्चितता की विशेषता है;

3) प्रवृत्ति समय के प्रत्येक क्षण के लिए श्रृंखला के कुछ औसत स्तर की विशेषता है। व्यक्तिगत अवलोकन अतीत में इससे विचलित होने की प्रवृत्ति रखते थे। भविष्य में इस तरह के विचलन होने की उम्मीद करना स्वाभाविक है।

श्रृंखला की संपत्ति के बारे में कुछ धारणाएँ बनाते समय इसके दूसरे और तीसरे स्रोतों से जुड़ी त्रुटि पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल के रूप में परिलक्षित हो सकती है। इस तरह के अंतराल की मदद से, एक बिंदु एक्सट्रपलेशन पूर्वानुमान को एक अंतराल में बदल दिया जाता है।

यह बहुत संभव है कि प्रवृत्ति का वर्णन करने वाले वक्र के आकार को गलत तरीके से चुना गया हो या जब भविष्य में विकास की प्रवृत्ति महत्वपूर्ण रूप से बदल जाए और उस प्रकार के वक्र का पालन न करें जो संरेखण के दौरान अपनाया गया था। बाद के मामले में, मूल एक्सट्रपलेशन धारणा मामलों की वास्तविक स्थिति के अनुरूप नहीं है। पाया गया वक्र केवल गतिशील श्रृंखला को बराबर करता है और केवल अवलोकन द्वारा कवर की गई अवधि के भीतर ही प्रवृत्ति को दर्शाता है। इस तरह की प्रवृत्ति का विस्तार अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम की ओर ले जाएगा, और इस तरह की त्रुटि का पहले से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है। इस संबंध में, हम केवल यह नोट कर सकते हैं कि, जाहिरा तौर पर, किसी को इस तरह की त्रुटि (या इसकी घटना की संभावना) में वृद्धि की भविष्यवाणी की अवधि में वृद्धि के साथ वृद्धि की उम्मीद करनी चाहिए।

एक प्रवृत्ति को एक्सट्रपलेशन करते समय उत्पन्न होने वाले मुख्य कार्यों में से एक पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल को निर्धारित करना है। यह सहज रूप से स्पष्ट है कि पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल की गणना सुविधा के कई देखे गए मूल्यों के उतार-चढ़ाव के मीटर पर आधारित होनी चाहिए। यह उतार-चढ़ाव जितना अधिक होगा, "स्तर-समय" स्थान में प्रवृत्ति की स्थिति उतनी ही कम निश्चित होगी और पूर्वानुमान विकल्पों के लिए उतना ही व्यापक विश्वास के साथ अंतराल होना चाहिए। इसलिए, पूर्वानुमान के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण करते समय, श्रृंखला के स्तरों में उतार-चढ़ाव या भिन्नता के आकलन को ध्यान में रखना चाहिए। आमतौर पर ऐसा अनुमान मानक विचलन होता है ( मानक विचलन) समय श्रृंखला को बराबर करके प्राप्त की गई गणनाओं से वास्तविक अवलोकन।

पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल के निर्धारण के लिए आगे बढ़ने से पहले, नीचे दी गई गणना की कुछ पारंपरिकता के बारे में आरक्षण करना आवश्यक है। कुछ हद तक, नमूना उपायों के प्रतिगमन के लिए समय श्रृंखला विश्लेषण के लिए पाए गए परिणामों का एक मनमाना विस्तार निम्नानुसार है। तथ्य यह है कि प्रतिगमन रेखा के चारों ओर विचलन के सामान्य वितरण के बारे में प्रतिगमन विश्लेषण की धारणा, संक्षेप में, समय श्रृंखला के विश्लेषण में बिना शर्त पुष्टि नहीं की जा सकती है।

सांख्यिकीय अनुमान के दौरान प्राप्त पैरामीटर इस तथ्य से जुड़ी त्रुटि से मुक्त नहीं हैं कि जानकारी की मात्रा जिसके आधार पर अनुमान लगाया गया था, सीमित है, और एक अर्थ में इस जानकारी को एक नमूना माना जा सकता है। किसी भी मामले में, अवलोकन अवधि को केवल एक चरण में स्थानांतरित करना, या श्रृंखला के सदस्यों को जोड़ना या समाप्त करना इस तथ्य के कारण है कि श्रृंखला के प्रत्येक सदस्य में एक यादृच्छिक घटक होता है, जिससे मापदंडों के संख्यात्मक अनुमानों में परिवर्तन होता है। इसलिए, गणना किए गए मान मापदंडों के मूल्य में त्रुटियों से जुड़ी अनिश्चितता का बोझ उठाते हैं।

सामान्य तौर पर, किसी प्रवृत्ति के लिए विश्वास अंतराल को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

जहां प्रवृत्ति की मानक त्रुटि;

¾ परिकलित मूल्य yt;

¾ अर्थ टी-छात्र सांख्यिकी।

यदि एक टी = मैं+ लीतो समीकरण द्वारा विस्तारित प्रवृत्ति के लिए विश्वास अंतराल के मूल्य का निर्धारण करेगा लीसमय की इकाइयां।

पूर्वानुमान के लिए विश्वास अंतराल, स्पष्ट रूप से, न केवल प्रवृत्ति की स्थिति से जुड़ी अनिश्चितता को ध्यान में रखना चाहिए, बल्कि इस प्रवृत्ति से विचलन की संभावना को भी ध्यान में रखना चाहिए। व्यवहार में, ऐसे मामले होते हैं जब एक्सट्रपलेशन के लिए कई प्रकार के वक्रों को कम या ज्यादा यथोचित रूप से लागू किया जा सकता है। इस मामले में, तर्क कभी-कभी निम्नलिखित पर आ जाता है। चूंकि प्रत्येक वक्र वैकल्पिक प्रवृत्तियों में से एक की विशेषता है, यह स्पष्ट है कि अनुमानित मूल्य के लिए एक्सट्रपलेटेड प्रवृत्तियों के बीच का स्थान एक निश्चित "प्राकृतिक आत्मविश्वास क्षेत्र" है। इस तरह के बयान से कोई सहमत नहीं हो सकता। सबसे पहले, क्योंकि प्रत्येक संभावित प्रवृत्ति रेखा कुछ पहले से स्वीकृत विकास परिकल्पना से मेल खाती है। रुझानों के बीच का स्थान उनमें से किसी के साथ जुड़ा नहीं है - इसके माध्यम से असीमित संख्या में रुझान खींचे जा सकते हैं। यह भी जोड़ा जाना चाहिए कि आत्मविश्वास अंतराल अपनी सीमाओं से परे जाने की संभावना के एक निश्चित स्तर से जुड़ा हुआ है। प्रवृत्तियों के बीच का स्थान प्रायिकता के किसी भी स्तर से संबंधित नहीं है, लेकिन वक्र प्रकारों की पसंद पर निर्भर करता है। इसके अलावा, पर्याप्त रूप से लंबे समय के साथ, यह स्थान, एक नियम के रूप में, इतना महत्वपूर्ण हो जाता है कि ऐसा "आत्मविश्वास अंतराल" सभी अर्थ खो देता है।

यदि हम प्रवृत्ति समीकरण के मापदंडों के अनुमानों की मानक त्रुटियों को ध्यान में रखते हैं (जो, परिभाषा के अनुसार, चयनात्मक हैं, और इसलिए प्रतिनिधित्व की एक यादृच्छिक त्रुटि के प्रकट होने के कारण अज्ञात सामान्य मापदंडों का अनुमान नहीं हो सकता है), और बिना परिवर्तनों के अनुक्रम पर विचार करते हुए, हम पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त करते हैं।

जहां - t+L . अवधि के लिए प्रवृत्ति समीकरण द्वारा परिकलित पूर्वानुमान का मान

¾ प्रवृत्ति की मानक त्रुटि;

के - गुणांक प्रवृत्ति समीकरण के गुणांक की त्रुटियों को ध्यान में रखते हुए

¾ अर्थ टी-छात्र सांख्यिकी।

गुणक प्रतिगणना इस प्रकार है

n प्रेक्षणों की संख्या (गतिकी की श्रृंखला की लंबाई);

एल भविष्यवाणियों की संख्या है

K का मान केवल n और L पर निर्भर करता है, अर्थात अवलोकन की अवधि और पूर्वानुमान अवधि।

पूर्वानुमान की गणना और पूर्वानुमान के विश्वास अंतराल के निर्माण का एक उदाहरण।

इष्टतम प्रवृत्ति एक रैखिक प्रवृत्ति है . 1996 और 1997 के लिए जर्मनी में आयात की मात्रा के पूर्वानुमान की गणना करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, समय कारक 14 और 15 के मूल्यों के लिए प्रवृत्ति स्तरों के मूल्यों को निर्धारित करना आवश्यक है।

1996 में आयात की मात्रा:

1997 में आयात की मात्रा:

प्रवृत्ति की मानक त्रुटि Sy = 30.727 है। 0.05 के महत्व स्तर पर छात्र के वितरण के आत्मविश्वास का गुणांक और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या 2.16 है। K गुणांक 1.428 है:

इस प्रकार, पहले विश्वास अंतराल की निचली सीमा 378.62: 473.452-30.727*2.16*1.428 है।

ऊपरी सीमा 568.28: 473.452+30.727*2.16*1.428 है।

गणना के परिणाम तालिका के रूप में और रेखांकन के रूप में प्रस्तुत किए जाने चाहिए।

यह ग्राफ इस प्रकार खींचा गया है:

1) एक रैखिक प्रवृत्ति के साथ गतिशील श्रृंखला को चौरसाई करने के पहले से मौजूद ग्राफ की एक प्रति बनाना आवश्यक है

2) लापता मूल्यों को पूरा करें (1996 और 1997 के लिए श्रृंखला के वास्तविक स्तर, 1996 और 1997 के लिए पूर्वानुमान, साथ ही विश्वास अंतराल की सीमाएं)।

अनुसूची कुछ हद तक सशर्त है, क्योंकि इसकी संभावना नहीं है कि सटीक पैमाना निर्धारित किया जा सकता है। आप हाथ से और एक्सेल ड्राइंग टूल्स का उपयोग करके दोनों को आकर्षित कर सकते हैं।