पल अगर। बल का क्षण: नियम और आवेदन

बलों की एक जोड़ी का क्षण

किसी बिंदु (केंद्र) के सापेक्ष बल का क्षण संख्यात्मक रूप से बल मापांक और भुजा के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात। निर्दिष्ट बिंदु से बल की कार्रवाई की रेखा तक की सबसे छोटी दूरी, और चुने हुए बिंदु से गुजरने वाले विमान के लंबवत निर्देशित और बल की कार्रवाई की रेखा उस दिशा में जहां से बल द्वारा "रोटेशन" किया जाता है बिंदु वामावर्त घटित होता प्रतीत होता है। बल का क्षण इसकी घूर्णी क्रिया की विशेषता है।

यदि एक हे- वह बिंदु जिसके सापेक्ष बल का क्षण स्थित होता है एफ, तो बल के क्षण को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है एम ओ (एफ). आइए हम दिखाते हैं कि यदि बल के अनुप्रयोग का बिंदु एफत्रिज्या वेक्टर द्वारा निर्धारित आर, फिर संबंध

एम ओ (एफ) = आर × एफ. (3.6)

इस अनुपात के अनुसार बल का क्षण वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के बराबर होता है r वेक्टर F . के लिए.

वास्तव में, क्रॉस उत्पाद का मापांक है

एम ओ ( एफ)=आरएफपाप = एफ एच, (3.7)

कहाँ पे एच- ताकत का हाथ। यह भी ध्यान दें कि वेक्टर एम ओ (एफ)सदिशों से गुजरने वाले तल के लंबवत निर्देशित आरतथा एफ, जिस दिशा में वेक्टर का सबसे छोटा मोड़ है आरवेक्टर की दिशा में एफवामावर्त प्रतीत होता है। इस प्रकार, सूत्र (3.6) बल के क्षण के मापांक और दिशा को पूरी तरह से निर्धारित करता है एफ.

कभी-कभी सूत्र (3.7) को रूप में लिखना उपयोगी होता है

एम ओ ( एफ)=2एस, (3.8)

कहाँ पे एस- त्रिभुज का क्षेत्रफल ओएबी.

होने देना एक्स, आप, जेडबल अनुप्रयोग बिंदु के निर्देशांक हैं, और एफ एक्स, वित्तीय वर्ष, FZनिर्देशांक अक्षों पर बल प्रक्षेपण हैं। फिर अगर बिंदु हेमूल स्थान पर स्थित, बल का क्षण इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

यह इस प्रकार है कि निर्देशांक अक्षों पर बल के क्षण के अनुमान सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

एम ऑक्स(एफ)=वाईएफ जेड -जेडएफ वाई,

एम ओयू(एफ)=जेडएफ एक्स -एक्सएफ जेड ,

एम ओयू(एफ)=एक्सएफ वाई -वाईएफ एक्स. (3.10)

आइए अब हम एक तल पर बल के प्रक्षेपण की अवधारणा का परिचय दें।

शक्ति दी जाए एफऔर कुछ विमान। आइए हम बल वेक्टर की शुरुआत और अंत से इस विमान पर लंबवत छोड़ते हैं।

एक विमान पर बल का प्रक्षेपणबुलाया वेक्टर , जिसका आरंभ और अंत इस तल पर बल के आरंभ और अंत के प्रक्षेपण के प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है।

अगर हम विमान को माना विमान के रूप में लेते हैं बजरा, फिर बल का प्रक्षेपण एफइस विमान पर एक वेक्टर होगा एफहू.

शक्ति का क्षण एफहूबिंदु के सापेक्ष हे(अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु जेडविमान के साथ बजरा) की गणना सूत्र (3.9) द्वारा की जा सकती है यदि हम लेते हैं जेड=0, FZ= 0। प्राप्त

एमहे(एफहू)=(एक्सएफ वाई -वाईएफ एक्स)क.

इस प्रकार, क्षण अक्ष के अनुदिश निर्देशित होता है जेड, और अक्ष पर इसका प्रक्षेपण जेडबल के क्षण के एक ही अक्ष पर प्रक्षेपण के साथ बिल्कुल मेल खाता है एफबिंदु के सापेक्ष हे. दूसरे शब्दों में,

एम ओज़ू(एफ)=एम ओज़ू(एफहू)= एक्सएफ वाई -वाईएफ एक्स. (3.11)

जाहिर है, बल प्रक्षेपित करके वही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है एफके समानांतर किसी अन्य तल पर बजरा. इस मामले में, अक्ष के प्रतिच्छेदन का बिंदु जेडविमान के साथ अलग होगा (हम नए चौराहे बिंदु को निरूपित करते हैं हेएक)। हालाँकि, सभी शामिल हैं दाईं ओरसमानताएं (3.11) मात्राएं एक्स, पर, एफ एक्स, एफअपरिवर्तित रहते हैं, और इसलिए हम लिख सकते हैं

एम ओज़ू(एफ)=एम ओ 1 जेड ( एफहू).

दूसरे शब्दों में, इस बिंदु से गुजरने वाले अक्ष पर एक बिंदु के बारे में बल के क्षण का प्रक्षेपण अक्ष पर एक बिंदु की पसंद पर निर्भर नहीं करता है . अत: प्रतीक के स्थान पर निम्नलिखित में क्या है ? एम ओज़ू(एफ) हम प्रतीक का उपयोग करेंगे मज़ू(एफ) इस क्षण प्रक्षेपण को कहा जाता है अक्ष के बारे में बल का क्षण जेड. एक अक्ष के बारे में बल के क्षण की गणना अक्सर बल प्रक्षेपण द्वारा अधिक आसानी से की जाती है। एफअक्ष के लंबवत समतल पर, और मात्रा की गणना मज़ू(एफहू).

सूत्र (3.7) के अनुसार और प्रक्षेपण के संकेत को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

मज़ू(एफ)=मज़ू(एफहू)=± एफ xy एच*. (3.12)

यहां एच*- ताकत की भुजा एफहूबिंदु के सापेक्ष हे. यदि प्रेक्षक z-अक्ष की धनात्मक दिशा की ओर से देखता है कि बल एफहूएक धुरी के चारों ओर शरीर को घुमाने के लिए जाता है जेडवामावर्त, फिर "+" चिन्ह लिया जाता है, और अन्यथा - "-" चिन्ह।

सूत्र (3.12) सूत्र बनाना संभव बनाता है अगला नियमएक अक्ष के बारे में बल के क्षण की गणना करने के लिए। इसके लिए आपको चाहिए:

धुरी पर एक मनमाना बिंदु चुनें और अक्ष के लंबवत एक विमान का निर्माण करें;

इस तल पर एक बल प्रक्षेपित करें;

बल h* की प्रक्षेपण भुजा ज्ञात कीजिए।

धुरी के चारों ओर बल का क्षण उसके कंधे पर बल प्रक्षेपण के मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर है, जिसे उपयुक्त संकेत के साथ लिया गया है (उपरोक्त नियम देखें)।

सूत्र (3.12) से यह इस प्रकार है कि अक्ष के परितः बल आघूर्ण दो स्थितियों में शून्य होता है:

जब अक्ष के लंबवत समतल पर बल का प्रक्षेपण शून्य के बराबर होता है, अर्थात। जब बल और अक्ष समानांतर होते हैं ;

जब कंधे का प्रक्षेपण एच*शून्य के बराबर है, अर्थात्। जब क्रिया की रेखा अक्ष को पार करती है .

इन दोनों मामलों को एक में जोड़ा जा सकता है: अक्ष के परितः बल का आघूर्ण शून्य होता है यदि और केवल तभी जब बल और अक्ष की क्रिया रेखा एक ही तल में हों .

कार्य 3.1.एक बिंदु के सापेक्ष गणना करें हेशक्ति का क्षण एफबिंदु पर लागू लेकिनऔर भुजा वाले घन का एक तिरछा निर्देशित फलक एक.

ऐसी समस्याओं को हल करते समय, पहले बल के क्षणों की गणना करने की सलाह दी जाती है एफनिर्देशांक अक्षों के सापेक्ष एक्स, आप, जेड. बिंदु निर्देशांक लेकिनबल का प्रयोग एफमर्जी

बल अनुमान एफसमन्वय अक्ष पर:

इन मानों को समानता (3.10) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

, , .

बल के क्षणों के लिए समान भाव एफनिर्देशांक अक्षों के सापेक्ष सूत्र (3.12) का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम एक बल डिजाइन करते हैं एफअक्ष के लंबवत समतल पर एक्सतथा पर. जाहिर सी बात है . उपरोक्त नियम को लागू करने पर, हमें उम्मीद के मुताबिक समान भाव मिलते हैं:

, , .

पल का मापांक समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

आइए अब हम एक जोड़े के क्षण की अवधारणा का परिचय देते हैं। आइए सबसे पहले यह पता लगाएं कि युग्म बनाने वाले बलों के आघूर्णों का योग एक मनमाना बिंदु के सापेक्ष कितना होता है। होने देना हेअंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु है, और एफतथा एफ"-ताकतें जो एक जोड़े को बनाती हैं।

फिर एम ओ (एफ) = ओए × एफ, एम ओ (एफ") = ओवी × एफ",

एम ओ (एफ) + एम ओ (एफ ") = ओए × एफ+ ओवी × एफ",

लेकिन जबसे एफ = -एफ", फिर

एम ओ (एफ) + एम ओ (एफ ") = ओए × एफ- ओवी × एफ=(ओए-ओवी)× एफ.

समानता को ध्यान में रखते हुए ओए-ओवी = वीए , हम अंत में पाते हैं:

एम ओ (एफ) + एम ओ (एफ ") = वीए × एफ.

फलस्वरूप, युग्म बनाने वाले बलों के आघूर्णों का योग उस बिंदु की स्थिति पर निर्भर नहीं करता जिसके सापेक्ष आघूर्ण लिया जाता है .

वेक्टर उत्पाद वीए × एफऔर बुलाया जोड़ी पल . जोड़ी के क्षण को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है एम (एफ, एफ"), तथा

एम (एफ, एफ")=वीए × एफ = अब × एफ",

या, संक्षेप में,

एम=वीए × एफ = अब × एफ". (3.13)

इस समानता के दाहिने पक्ष को ध्यान में रखते हुए, हम देखते हैं कि युग्म का आघूर्ण युग्म के तल के लंबवत सदिश होता है, जो युग्म के बलों में से किसी एक बल और युग्म की भुजा के मापांक के गुणनफल के निरपेक्ष मान के बराबर होता है (अर्थात, रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी युग्म बनाने वाले बलों की क्रिया) और उस दिशा में निर्देशित होती है जिससे जोड़ी का "घूर्णन" घड़ी की विपरीत दिशा में होता हुआ दिखाई देता है। . यदि एक एचजोड़ी का कंधा है, तो एम (एफ, एफ")=एच × एफ.

परिभाषा से ही, यह स्पष्ट है कि बलों की एक जोड़ी का क्षण एक मुक्त वेक्टर है, जिसकी क्रिया की रेखा परिभाषित नहीं है (इस टिप्पणी के लिए अतिरिक्त औचित्य इस अध्याय के प्रमेय 2 और 3 से अनुसरण करता है)।

बलों की एक जोड़ी के लिए एक संतुलित प्रणाली (शून्य के बराबर बलों की एक प्रणाली) बनाने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि जोड़ी का क्षण शून्य के बराबर हो। वास्तव में, यदि युग्म का आघूर्ण शून्य है, एम=एच × एफ, तो कोई एफ= 0, यानी। कोई ताकत नहीं, या एक जोड़े का कंधा एचशून्य के बराबर। लेकिन इस मामले में, युगल की ताकतें एक सीधी रेखा में कार्य करेंगी; चूँकि वे निरपेक्ष मान में समान हैं और विपरीत दिशाओं में निर्देशित हैं, तो, अभिगृहीत 1 के आधार पर, वे एक संतुलित प्रणाली का निर्माण करेंगे। इसके विपरीत, यदि दो बल एफ1तथा F2, जो एक जोड़ी बनाते हैं, संतुलित होते हैं, फिर, उसी स्वयंसिद्ध 1 के आधार पर, वे एक सीधी रेखा के साथ कार्य करते हैं। लेकिन इस मामले में जोड़ी का कंधा एचशून्य के बराबर है और इसलिए एम=एच × एफ=0.

जोड़ी प्रमेय

आइए हम तीन प्रमेयों को सिद्ध करें जिनके द्वारा युग्मों के तुल्य परिवर्तन संभव हो जाते हैं। सभी विचारों में, यह याद रखना चाहिए कि वे किसी एक ठोस शरीर पर कार्य करने वाले जोड़ों को संदर्भित करते हैं।

प्रमेय 1. एक ही तल में पड़े दो युग्मों को एक ही तल में पड़े एक जोड़े से बदला जा सकता है, जिसका आघूर्ण दिए गए दो युग्मों के आघूर्णों के योग के बराबर होता है।

इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, दो युग्मों पर विचार कीजिए ( एफ1,एफ" 1) तथा ( F2,एफ" 2) और सभी बलों के आवेदन के बिंदुओं को उनकी कार्रवाई की तर्ज पर बिंदुओं पर स्थानांतरित करें लेकिनतथा परक्रमश। अभिगृहीत 3 के अनुसार बलों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं

आर = एफ 1+F2तथा आर" = एफ" 1+एफ" 2,

लेकिन एफ1=-एफ" 1तथा F2=-एफ" 2.

फलस्वरूप, आर = -आर", अर्थात। ताकत आरतथा आर"एक युगल बनाओ। आइए सूत्र (3.13) का उपयोग करके इस जोड़ी का क्षण ज्ञात करें:

एम = एम(आर, आर")=वीए ×आर = वीए × (एफ1+F2)=वीए ×एफ1+वीए × F2. (3.14)

जब युग्म बनाने वाले बलों को उनकी क्रिया की तर्ज पर स्थानांतरित किया जाता है, तो न तो भुजा और न ही युग्मों के घूमने की दिशा में परिवर्तन होता है, इसलिए, युग्म का क्षण भी नहीं बदलता है। माध्यम,

वीए × एफ 1 \u003d एम(एफ1,एफ" 1)=एम 1, वीए ×एफ 2 \u003d एम(F2,एफ" 2)=एम 2

और सूत्र (3.14) रूप लेता है

एम \u003d एम 1 + एम 2, (3.15)

जो उपरोक्त प्रमेय की वैधता को सिद्ध करता है।

आइए हम इस प्रमेय पर दो टिप्पणी करें।

1. जोड़े बनाने वाले बलों की कार्रवाई की रेखाएं समानांतर हो सकती हैं। इस मामले में भी प्रमेय मान्य रहता है, लेकिन इसे साबित करने के लिए समानांतर बलों के योग के नियम का उपयोग करना चाहिए।

2. जोड़ने के बाद, यह पता चल सकता है कि एम(आर, आर") = 0; पहले की गई टिप्पणी के आधार पर, इसका तात्पर्य है कि दो युग्मों का समुच्चय ( एफ1,एफ" 1, F2,एफ" 2)=0.

प्रमेय 2। ज्यामितीय रूप से समान क्षण वाले दो जोड़े समतुल्य हैं।

विमान में शरीर पर चलो मैंएक जोड़ा ( एफ1,एफ" 1) पल के साथ एम 1. आइए हम दिखाते हैं कि इस जोड़ी को जोड़ी के साथ दूसरे से बदला जा सकता है ( F2,एफ" 2) विमान में स्थित द्वितीय, यदि केवल इसका क्षण एम 2बराबरी एम 1(परिभाषा के अनुसार (1.1 देखें) इसका अर्थ यह होगा कि जोड़े ( एफ1,एफ" 1) तथा ( F2,एफ" 2) के बराबर हैं)। सबसे पहले, हम ध्यान दें कि विमान मैंतथा द्वितीयसमानांतर होना चाहिए, विशेष रूप से वे मेल खा सकते हैं। दरअसल, पलों की समानता से एम 1तथा एम 2(हमारे मामले में एम 1=एम 2) यह इस प्रकार है कि युग्मों की क्रिया के तल, क्षणों के लंबवत, भी समानांतर हैं।

आइए एक नई जोड़ी का परिचय दें ( F3,एफ" 3) और इसे जोड़ी के साथ एक साथ लागू करें ( F2,एफ" 2) शरीर को, दोनों जोड़ों को समतल में रखकर द्वितीय. ऐसा करने के लिए, अभिगृहीत 2 के अनुसार, हमें एक युग्म चुनने की आवश्यकता है ( F3,एफ" 3) पल के साथ एम 3ताकि बलों की लागू प्रणाली ( F2,एफ" 2, F3,एफ" 3) संतुलित था। यह किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस प्रकार: हम सेट करते हैं F3=-एफ" 1तथा एफ" 3 =-एफ1और आइए इन बलों के आवेदन के बिंदुओं को अनुमानों के साथ जोड़ दें लेकिन 1 और पर 1 अंक लेकिनतथा परविमान के लिए द्वितीय. निर्माण के अनुसार, हमारे पास होगा: एम 3 \u003d -एम 1या उस पर विचार करते हुए एम 1 = एम 2,

एम 2 + एम 3 = 0.

पिछले प्रमेय की दूसरी टिप्पणी को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं ( F2,एफ" 2, F3,एफ" 3) = 0। तो जोड़े ( F2,एफ" 2) तथा ( F3,एफ" 3) परस्पर संतुलित हैं और शरीर के प्रति उनका लगाव उसकी स्थिति (स्वयंसिद्ध 2) का उल्लंघन नहीं करता है, ताकि

(एफ1,एफ" 1)= (एफ1,एफ" 1, F2,एफ" 2, F3,एफ" 3). (3.16)

दूसरी ओर, बल एफ1तथा F3, साथ ही एफ" 1तथा एफ" 3एक दिशा में निर्देशित समानांतर बलों को जोड़ने के नियम के अनुसार जोड़ा जा सकता है। मोडुलो, ये सभी बल एक दूसरे के बराबर हैं, इसलिए उनका परिणामी आरतथा आर"आयत के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर लागू किया जाना चाहिए एबीबी 1 लेकिनएक ; इसके अलावा, वे निरपेक्ष मूल्य में समान हैं और विपरीत दिशाओं में निर्देशित हैं। इसका मतलब है कि वे शून्य के बराबर एक प्रणाली का गठन करते हैं। इसलिए,

(एफ1,एफ" 1, F3,एफ" 3)=(आर, आर")=0.

अब हम लिख सकते हैं

(एफ1,एफ" 1, F2,एफ" 2, F3,एफ" 3)=(F3,एफ" 3). (3.17)

संबंधों (3.16) और (3.17) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं ( एफ1,एफ" 1)=(F2,एफ" 2), जिसे सिद्ध किया जाना था।

यह इस प्रमेय का अनुसरण करता है कि बलों की एक जोड़ी को अपनी क्रिया के तल में स्थानांतरित किया जा सकता है, एक समानांतर विमान में स्थानांतरित किया जा सकता है; अंत में, एक जोड़ी में, आप एक ही समय में बलों और कंधे को बदल सकते हैं, केवल जोड़ी के रोटेशन की दिशा और इसकी गति के मापांक को ध्यान में रखते हुए ( एफ 1 एच 1 =एफ 2 एच 2).

निम्नलिखित में, हम युग्म के ऐसे समतुल्य रूपांतरणों का व्यापक उपयोग करेंगे।

प्रमेय 3. प्रतिच्छेदन तलों में पड़े दो युग्म एक युग्म के तुल्य होते हैं जिनका आघूर्ण योग के बराबर हैदो दिए गए युग्मों के क्षण।

चलो जोड़ों ( एफ1,एफ" 1) तथा ( F2,एफ" 2) प्रतिच्छेद करने वाले विमानों में स्थित हैं मैंतथा द्वितीयक्रमश। प्रमेय 2 के उपफल का उपयोग करते हुए, हम दोनों युग्मों को कंधे तक कम करते हैं अबविमानों के चौराहे की रेखा पर स्थित मैंतथा द्वितीय. रूपांतरित युग्मों को निरूपित करें ( Q1,क्यू" 1) तथा ( Q2,क्यू" 2) इस मामले में, समानताएं

एम 1 = एम(Q1,क्यू" 1)=एम(एफ1,एफ" 1) तथा एम 2 = एम(Q2,क्यू" 2)=एम(F2,एफ" 2).

आइए हम अभिगृहीत 3 के अनुसार बिंदुओं पर लगने वाले बलों को जोड़ें लेकिनतथा परक्रमश। तब हमें मिलता है आर \u003d क्यू 1 + क्यू 2तथा आर" = क्यू" 1 + क्यू" 2. मान लें कि क्यू" 1 \u003d -क्यू 1तथा क्यू" 2 \u003d -क्यू 2, हम पाते हैं आर = -आर". इस प्रकार, हमने साबित कर दिया है कि दो जोड़े की प्रणाली एक जोड़ी के बराबर है ( आर,आर").

आइए एक पल ढूंढते हैं एमयह जोड़ा। सूत्र (3.13) के आधार पर, हमारे पास है

एम(आर,आर")=वीए × (Q1+Q2)=वीए × Q1+ वीए × Q2=

=एम(Q1,क्यू" 1)+एम(Q2,क्यू" 2)=एम(एफ1,एफ" 1)+एम(F2,एफ" 2)

एम \u003d एम 1 + एम 2,

वे। प्रमेय सिद्ध होता है।

ध्यान दें कि प्राप्त परिणाम समांतर तलों में पड़े युग्मों के लिए भी मान्य है। प्रमेय 2 द्वारा, ऐसे युग्मों को एकल तल में घटाया जा सकता है, और प्रमेय 1 द्वारा, उन्हें एक एकल युग्म द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसका आघूर्ण घटक युग्मों के आघूर्णों के योग के बराबर होता है।

ऊपर सिद्ध युग्म प्रमेय एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष की ओर ले जाते हैं: जोड़ी का क्षण एक मुक्त वेक्टर है और पूरी तरह से कठोर शरीर पर जोड़ी की क्रिया को पूरी तरह से निर्धारित करता है . वास्तव में, हम पहले ही सिद्ध कर चुके हैं कि यदि दो युग्मों के आघूर्ण समान हों (और इसलिए एक ही तल में या समानांतर तल में हों), तो वे एक दूसरे के तुल्य होते हैं (प्रमेय 2)। दूसरी ओर, प्रतिच्छेदन तलों में पड़े दो जोड़े समतुल्य नहीं हो सकते, क्योंकि इसका अर्थ यह होगा कि उनमें से एक और दूसरे के विपरीत जोड़ी शून्य के बराबर है, जो असंभव है, क्योंकि ऐसे जोड़ों के क्षणों का योग भिन्न होता है। शून्य से।

इस प्रकार, एक जोड़े के क्षण की पेश की गई अवधारणा अत्यंत उपयोगी है, क्योंकि यह एक शरीर पर एक जोड़े की यांत्रिक क्रिया को पूरी तरह से दर्शाती है। इस अर्थ में, हम कह सकते हैं कि क्षण एक कठोर शरीर पर एक जोड़े की क्रिया का संपूर्ण रूप से प्रतिनिधित्व करता है।

विकृत निकायों के लिए, जोड़े का उपरोक्त सिद्धांत लागू नहीं होता है। दो विपरीत जोड़े, उदाहरण के लिए, छड़ के सिरों पर अभिनय, एक कठोर शरीर के स्थैतिक के दृष्टिकोण से शून्य के बराबर हैं। इस बीच, विकृत छड़ पर उनकी कार्रवाई इसके मरोड़ का कारण बनती है, और अधिक, क्षणों के अधिक से अधिक मॉड्यूल।

आइए स्टैटिक्स की पहली और दूसरी समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं, जब केवल जोड़े बल शरीर पर कार्य करते हैं।

शक्ति का क्षण (समानार्थी शब्द: टोक़, टॉर्कः, टोक़, टोक़) एक वेक्टर भौतिक मात्रा है, जो त्रिज्या वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के बराबर है, इस बल के वेक्टर द्वारा रोटेशन के अक्ष से बल के आवेदन के बिंदु तक खींचा जाता है। एक कठोर शरीर पर बल की घूर्णी क्रिया की विशेषता है।

में "घूर्णन" और "टोक़" क्षणों की अवधारणाएं सामान्य मामलासमान नहीं हैं, क्योंकि प्रौद्योगिकी में "घूर्णन" क्षण की अवधारणा को किसी वस्तु पर लागू बाहरी बल के रूप में माना जाता है, और "टोक़" एक आंतरिक बल है जो किसी वस्तु में लागू भार की कार्रवाई के तहत होता है (इस अवधारणा का उपयोग किया जाता है) सामग्री का प्रतिरोध)।

सामान्य जानकारी

विशेष अवसरों

लीवर मोमेंट फॉर्मूला

क्षेत्र में बल के क्षण की परिभाषा के रूप में एक बहुत ही रोचक विशेष मामला प्रस्तुत किया गया है:

$\backslash बाएं|\backslash vec\; एम\backslash दाएं|\; =\; \backslash बाएं|\backslash vec(एम)\_1\backslash दाएं|\; \backslash बाएं|\backslash vec\; एफ\backslash दाएं|$, कहाँ पे: $\backslash बाएं|\backslash vec(एम)\_1\backslash दाएं|$- लीवर का क्षण, $\backslash बाएं|\backslash vec\; एफ\backslash दाएं|$- अभिनय बल का परिमाण।

इस प्रतिनिधित्व के साथ समस्या यह है कि यह बल के क्षण की दिशा नहीं देता है, बल्कि केवल इसकी परिमाण देता है। यदि बल वेक्टर के लंबवत है $\backslash vec\; r$, उत्तोलक का क्षण केंद्र से दूरी के बराबर होगा और बल का क्षण अधिकतम होगा:

$\backslash बाएं|\backslash vec(टी)\backslash दाएं|\; =\; \backslash बाएं|\backslash vec\; r\backslash दाएं|\; \backslash बाएं|\backslash vec\; एफ\backslash दाएं|$

एक कोण पर बल

अगर ताकत $\backslash vec\; एफ$एक कोण पर निर्देशित $\backslash \; थीटा$लीवर आर करने के लिए, फिर $एम\; =\; आर\; एफ\backslash sin\backslash थीटा$.

स्थिर संतुलन

किसी वस्तु के संतुलन में होने के लिए, न केवल सभी बलों का योग शून्य के बराबर होना चाहिए, बल्कि किसी भी बिंदु के चारों ओर बल के सभी क्षणों का योग भी होना चाहिए। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों के साथ द्वि-आयामी मामले के लिए: दो आयामों में बलों का योग ΣH=0, ΣV=0 और तीसरे आयाम M=0 में बल का क्षण।

समय के कार्य के रूप में बल का क्षण

$\backslash vec\; M\; =\; \backslash frac(d\backslash vec\; L)(dt)$,

कहाँ पे $\backslash vec\; L$- कोणीय गति।

चलो एक कठोर शरीर लेते हैं। एक कठोर पिंड की गति को एक विशिष्ट बिंदु की गति और उसके चारों ओर घूमने के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक दृढ़ पिंड के बिंदु O के बारे में कोणीय गति को जड़ता के क्षण और द्रव्यमान के केंद्र के कोणीय वेग और द्रव्यमान के केंद्र की रैखिक गति के उत्पाद के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है।

$\backslash vec(L\_o)\; =\; I\_c\backslash ,\backslash vec\backslash omega\; +$

हम कोएनिग समन्वय प्रणाली में घूर्णन गतियों पर विचार करेंगे, क्योंकि विश्व समन्वय प्रणाली में एक कठोर शरीर की गति का वर्णन करना अधिक कठिन है।

आइए इस अभिव्यक्ति को समय के संदर्भ में अलग करें। और अगर $मैं$समय में एक स्थिर है, तो

$\backslash vec\; M\; =\; I\backslash frac(d\backslash vec\backslash omega)(dt)\; =\; I\backslash vec\backslash alpha$,

बल और कार्य के क्षण के बीच संबंध

$ए\; =\; \backslash int\_(\backslash theta\_1)^(\backslash theta\_2)\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\; \backslash mathrm(डी)\backslash थीटा$

एक स्थिर क्षण के मामले में, हम प्राप्त करते हैं:

$ए\; =\; \backslash बाएं|\backslash vec\; एम\backslash दाएं|\backslash थीटा$

कोणीय वेग आमतौर पर जाना जाता है $\backslash ओमेगा$रेडियन प्रति सेकंड और पल की कार्रवाई का समय $टी$.

तब बल के क्षण द्वारा किए गए कार्य की गणना इस प्रकार की जाती है:

$ए\; =\; \backslash बाएं|\backslash vec\; एम\backslash दाएं|\backslash ओमेगा\; टी$

एक बिंदु के बारे में बल का क्षण

यदि कोई भौतिक बिंदु है $का$जिस पर बल लगाया जाता है $\backslash vec\; एफ$, फिर बिंदु के बारे में बल का क्षण $हे$त्रिज्या वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के बराबर है $\backslash vec\; r$कनेक्टिंग पॉइंट्स $हे$तथा $का$, बल वेक्टर पर $\backslash vec\; एफ$:

$\backslash vec(M\_O)\; =\; \backslash बाएं[\backslash vec\; r\; \backslash times\; \backslash vec\; F\backslash right]$.

अक्ष के परितः बल का आघूर्ण

एक अक्ष के बारे में बल का क्षण इस बल के प्रक्षेपण के बीजगणितीय क्षण के बराबर होता है, जो विमान के साथ अक्ष के चौराहे के बिंदु के सापेक्ष इस अक्ष पर लंबवत होता है, अर्थात $एम\_जेड\; (एफ)\; =\; एम\_ओ\; (एफ")\; =\; एफ\; "एच"$.

इकाइयों

बल के क्षण को में मापा जाता है न्यूटन मीटर. 1 एनएम वह क्षण है जो 1 मीटर लंबे लीवर पर 1 एन के बल द्वारा उत्पन्न होता है, जिसे लीवर के अंत में लगाया जाता है और इसे लंबवत निर्देशित किया जाता है।

टोक़ माप

आज तक, स्ट्रेन गेज, ऑप्टिकल और इंडक्टिव लोड सेल का उपयोग करके बल के क्षण का मापन किया जाता है।

यह सभी देखें

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बल के क्षण की विशेषता वाला एक अंश

लेकिन यद्यपि युद्ध के अंत तक लोगों ने अपने कृत्य की पूरी भयावहता को महसूस किया, हालांकि वे रुकने में प्रसन्न होंगे, फिर भी किसी तरह की समझ से बाहर, रहस्यमय शक्ति अभी भी उनका मार्गदर्शन करती रही, और पसीने से तर, बारूद और खून में, शेष एक तीन, तोपखाने, हालांकि और ठोकर खाकर और थकान से घुटते हुए, वे आरोप लाए, आरोपित, निर्देशित, लागू विक्स; और तोप के गोले दोनों तरफ से उतनी ही तेजी से और क्रूरता से उड़े और चपटे मानव शरीर, और वह भयानक काम किया जाता रहा, जो लोगों की इच्छा से नहीं, बल्कि उस की इच्छा से किया जाता है जो लोगों और दुनिया का नेतृत्व करता है।
जो कोई भी रूसी सेना के पीछे की ओर देखता है, वह कहेगा कि फ्रांसीसी को एक और छोटा प्रयास करना चाहिए, और रूसी सेना गायब हो जाएगी; और जो कोई भी फ्रांसीसियों की पीठ को देखता था, वह कहता था कि रूसियों को एक और छोटा प्रयास करना होगा और फ्रांसीसी नष्ट हो जाएंगे। लेकिन न तो फ्रांसीसियों ने और न ही रूसियों ने यह प्रयास किया और युद्ध की लपटें धीरे-धीरे बुझ गईं।
रूसियों ने यह प्रयास नहीं किया क्योंकि उन्होंने फ्रांसीसियों पर आक्रमण नहीं किया। लड़ाई की शुरुआत में, वे केवल मास्को के लिए सड़क पर खड़े थे, इसे अवरुद्ध कर रहे थे, और उसी तरह वे लड़ाई के अंत में खड़े रहे, जैसे वे इसकी शुरुआत में खड़े थे। लेकिन भले ही रूसियों का लक्ष्य फ्रांसीसी को खदेड़ना था, वे यह अंतिम प्रयास नहीं कर सके, क्योंकि सभी रूसी सैनिक हार गए थे, सैनिकों का एक भी हिस्सा युद्ध में पीड़ित नहीं हुआ था, और रूसियों ने अपने स्थान पर शेष अपने आधे सैनिकों को खो दिया।
फ्रांसीसी, पिछले सभी पंद्रह वर्षों की जीत की स्मृति के साथ, नेपोलियन की अजेयता में विश्वास के साथ, इस चेतना के साथ कि उन्होंने युद्ध के मैदान के हिस्से पर कब्जा कर लिया था, कि उन्होंने केवल एक चौथाई लोगों को खो दिया था, और वह उनके पास अभी भी बीस हजार अछूते पहरेदार थे, यह प्रयास करना आसान था। फ्रांसीसी, जिसने रूसी सेना को स्थिति से बाहर करने के उद्देश्य से हमला किया, उसे यह प्रयास करना पड़ा, क्योंकि जब तक रूसियों ने, लड़ाई से ठीक पहले, मास्को के लिए सड़क को अवरुद्ध कर दिया, फ्रांसीसी का लक्ष्य नहीं था हासिल किया और उनके सारे प्रयास और नुकसान बर्बाद हो गए। लेकिन फ्रांसीसियों ने ऐसा कोई प्रयास नहीं किया। कुछ इतिहासकारों का कहना है कि नेपोलियन को युद्ध जीतने के लिए अपने पुराने रक्षक को बरकरार रखना चाहिए था। अगर नेपोलियन ने अपने पहरेदार दे दिए तो क्या होगा, इस बारे में बात करना इस बारे में बात करने जैसा है कि अगर वसंत शरद ऋतु बन गया तो क्या होगा। यह नहीं हो सका। यह नेपोलियन नहीं था जिसने अपना रक्षक नहीं दिया, क्योंकि वह नहीं चाहता था, लेकिन ऐसा नहीं किया जा सकता था। फ्रांसीसी सेना के सभी जनरलों, अधिकारियों, सैनिकों को पता था कि ऐसा नहीं किया जा सकता, क्योंकि सैनिकों के गिरे हुए मनोबल ने इसकी अनुमति नहीं दी।
न केवल नेपोलियन ने उस स्वप्न जैसी भावना का अनुभव किया कि हाथ का भयानक झूला शक्तिहीन हो जाता है, बल्कि सभी जनरलों, फ्रांसीसी सेना के सभी सैनिकों ने भाग लिया और भाग नहीं लिया, पिछली लड़ाइयों के सभी अनुभवों के बाद (जहां, दस गुना कम के बाद) प्रयास, दुश्मन भाग गया), उस दुश्मन के सामने डरावनी भावना का अनुभव किया, जिसने आधी सेना खो दी थी, युद्ध की शुरुआत में अंत में उतनी ही मजबूती से खड़ा था। फ्रांसीसी आक्रमणकारी सेना की नैतिक शक्ति समाप्त हो गई थी। वह जीत नहीं, जो डंडों पर उठाए गए पदार्थ के टुकड़ों से निर्धारित होती है, जिसे बैनर कहा जाता है, और उस स्थान से जहां सैनिक खड़े होते हैं और खड़े होते हैं - लेकिन एक नैतिक जीत, जो दुश्मन को अपने दुश्मन की नैतिक श्रेष्ठता के बारे में आश्वस्त करती है और उनकी नपुंसकता के कारण रूसियों ने बोरोडिन के अधीन जीत हासिल की। फ्रांसीसी आक्रमण, एक क्रोधित जानवर की तरह, जिसे अपनी दौड़ में एक नश्वर घाव मिला, उसकी मृत्यु को महसूस किया; लेकिन यह रुक नहीं सका, जैसे कि सबसे कमजोर रूसी सेना विचलित नहीं हो सकती थी। इस धक्का के बाद, फ्रांसीसी सेना अभी भी मास्को पहुंच सकती है; लेकिन वहां, रूसी सेना के नए प्रयासों के बिना, बोरोडिनो में एक घातक घाव से खून बह रहा था, मरना था। बोरोडिनो की लड़ाई का एक सीधा परिणाम मास्को से नेपोलियन की अनुचित उड़ान थी, पुरानी स्मोलेंस्क सड़क के साथ उसकी वापसी, पांच सौ हजारवें आक्रमण की मृत्यु और नेपोलियन फ्रांस की मृत्यु, जो पहली बार बोरोडिनो के पास रखी गई थी। आत्मा में सबसे मजबूत दुश्मन।

आंदोलन की पूर्ण निरंतरता मानव मन के लिए समझ से बाहर है। किसी भी प्रकार के आंदोलन के नियम किसी व्यक्ति को तभी स्पष्ट होते हैं जब वह इस आंदोलन की मनमाने ढंग से ली गई इकाइयों पर विचार करता है। लेकिन साथ ही, निरंतर गति के इस मनमाने विभाजन से असंतत इकाइयों में, मानव भ्रम का एक बड़ा हिस्सा उत्पन्न होता है।
पूर्वजों के तथाकथित परिष्कार को जाना जाता है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि अकिलीज़ कभी भी सामने वाले कछुए को नहीं पकड़ पाएगा, इस तथ्य के बावजूद कि अकिलीज़ कछुए की तुलना में दस गुना तेज चलता है: जैसे ही अकिलीज़ उसे अलग करने वाले स्थान से गुजरता है कछुआ इस स्थान के दसवें हिस्से से आगे निकल जाएगा; अकिलीस इस दसवें से गुजरेगा, कछुआ एक सौवें हिस्से से गुजरेगा, और इसी तरह एड इनफिनिटम। यह समस्या पूर्वजों के लिए अघुलनशील लग रही थी। निर्णय की संवेदनहीनता (कि अकिलीज़ कभी कछुआ से आगे नहीं निकलेगा) केवल इस तथ्य से उपजी है कि आंदोलन की असंतत इकाइयों को मनमाने ढंग से अनुमति दी गई थी, जबकि अकिलीज़ और कछुआ दोनों का आंदोलन निरंतर था।
गति की छोटी और छोटी इकाइयों को स्वीकार करके, हम समस्या के समाधान के करीब ही पहुंचते हैं, लेकिन हम उस तक कभी नहीं पहुंचते हैं। केवल एक अतिसूक्ष्म परिमाण और एक प्रगति को दसवें भाग तक आरोही मानकर, और इसका योग लेकर ज्यामितीय अनुक्रम, हम समस्या के समाधान तक पहुँचते हैं। गणित की एक नई शाखा, जिसने अतिसूक्ष्म मात्राओं से निपटने की कला हासिल की है, और अन्य में अधिक कठिन प्रश्नआंदोलन अब उन सवालों के जवाब देता है जो अघुलनशील लग रहे थे।
यह नया, पूर्वजों के लिए अज्ञात, गणित की शाखा, गति के प्रश्नों पर विचार करते समय, असीम रूप से छोटी मात्राओं को स्वीकार करते हुए, अर्थात्, जिनके तहत गति की मुख्य स्थिति (पूर्ण निरंतरता) बहाल हो जाती है, जिससे उस अपरिहार्य गलती को ठीक किया जाता है जो मानव मन निरंतर आंदोलन के बजाय, आंदोलन की अलग-अलग इकाइयों पर विचार करते समय, लेकिन नहीं कर सकते।
ऐतिहासिक आंदोलन के नियमों की खोज में ठीक ऐसा ही होता है।
मानव की असंख्य मनमानी से उत्पन्न मानव की गति निरंतर चलती रहती है।
इस आंदोलन के नियमों की समझ इतिहास का लक्ष्य है। लेकिन लोगों की सभी मनमानी के योग के निरंतर आंदोलन के नियमों को समझने के लिए, मानव मन मनमाना, असंतत इकाइयों को स्वीकार करता है। इतिहास की पहली विधि निरंतर घटनाओं की एक मनमानी श्रृंखला लेना और इसे दूसरों से अलग मानना ​​​​है, जबकि किसी भी घटना की शुरुआत नहीं हो सकती है और नहीं हो सकती है, और हमेशा एक घटना लगातार दूसरी से आती है। दूसरी चाल यह है कि एक व्यक्ति, राजा, सेनापति की कार्रवाई को लोगों की मनमानी का योग माना जाए, जबकि लोगों की मनमानी का योग कभी भी एक की गतिविधि में व्यक्त नहीं किया जाता है। ऐतिहासिक व्यक्ति.
ऐतिहासिक विज्ञान अपने आंदोलन में लगातार छोटी और छोटी इकाइयों को विचार के लिए स्वीकार करता है, और इस तरह सत्य तक पहुंचने का प्रयास करता है। लेकिन इतिहास कितनी भी छोटी इकाइयों को स्वीकार करे, हमें लगता है कि एक इकाई की दूसरे से अलग होने की धारणा, किसी घटना की शुरुआत की धारणा, और यह धारणा कि सभी लोगों की मनमानी एक ऐतिहासिक व्यक्ति के कार्यों में व्यक्त की जाती है। , अपने आप में झूठे हैं।
इतिहास का कोई भी निष्कर्ष, आलोचना की ओर से थोड़े से प्रयास के बिना, धूल की तरह अलग हो जाता है, कुछ भी पीछे नहीं छोड़ता है, केवल इस तथ्य के परिणामस्वरूप कि आलोचना अवलोकन की वस्तु के रूप में एक बड़ी या छोटी असंतत इकाई को चुनती है; जिस पर उसका हमेशा अधिकार होता है, क्योंकि ली गई ऐतिहासिक इकाई हमेशा मनमानी होती है।
केवल अवलोकन के लिए एक असीम रूप से छोटी इकाई को अनुमति देकर - इतिहास का अंतर, यानी लोगों की सजातीय ड्राइव, और एकीकरण की कला हासिल करने के बाद (इन अतिसूक्ष्म लोगों के योग लेते हुए), क्या हम इतिहास के नियमों को समझने की उम्मीद कर सकते हैं .
पहले पंद्रह साल 19 वी सदीयूरोप में लाखों लोगों के असाधारण आंदोलन का प्रतिनिधित्व करते हैं। लोग अपने सामान्य व्यवसायों को छोड़ देते हैं, यूरोप के एक तरफ से दूसरी तरफ भागते हैं, लूटते हैं, एक दूसरे को मारते हैं, जीत और निराशा करते हैं, और जीवन का पूरा पाठ्यक्रम कई वर्षों तक बदल जाता है और एक तीव्र आंदोलन का प्रतिनिधित्व करता है, जो पहले बढ़ता जाता है, फिर कमजोर। इस आंदोलन का कारण क्या है या किन कानूनों के अनुसार हुआ? मानव मन पूछता है।
इतिहासकार, इस प्रश्न का उत्तर देते हुए, हमें पेरिस शहर की एक इमारत में कई दर्जन लोगों के कार्यों और भाषणों का वर्णन करते हैं, इन कार्यों और भाषणों को क्रांति शब्द कहते हैं; तब वे देते हैं विस्तृत जीवनीनेपोलियन और कुछ सहानुभूतिपूर्ण और शत्रुतापूर्ण लोग, इनमें से कुछ लोगों के दूसरों पर प्रभाव के बारे में बात करते हैं और कहते हैं: यही कारण है कि यह आंदोलन आया, और ये इसके कानून हैं।
लेकिन मानव मन न केवल इस स्पष्टीकरण पर विश्वास करने से इनकार करता है, बल्कि सीधे कहता है कि व्याख्या की विधि सही नहीं है, क्योंकि इस स्पष्टीकरण में सबसे कमजोर घटना को सबसे मजबूत का कारण माना जाता है। मानवीय मनमानी के योग ने क्रांति और नेपोलियन दोनों को बनाया और इन मनमानी के योग ने ही उन्हें सहन किया और नष्ट कर दिया।

अक्ष के बारे में बल का क्षण या केवल बल का क्षण एक सीधी रेखा पर बल का प्रक्षेपण होता है जो त्रिज्या के लंबवत होता है और इस बिंदु से अक्ष तक की दूरी से गुणा बल के आवेदन के बिंदु पर खींचा जाता है। या इसके आवेदन के कंधे पर बल का उत्पाद। इस मामले में कंधा अक्ष से बल लगाने के बिंदु तक की दूरी है। बल का क्षण शरीर पर बल की घूर्णी क्रिया की विशेषता है। इस मामले में धुरी वह जगह है जहां शरीर जुड़ा हुआ है, जिसके सापेक्ष वह घूम सकता है। यदि पिंड स्थिर नहीं है, तो द्रव्यमान के केंद्र को घूर्णन की धुरी माना जा सकता है।

फॉर्मूला 1 - बल का क्षण।

एफ - शरीर पर कार्य करने वाला बल।

आर - कंधे की ताकत।

चित्र 1 - बल का क्षण।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बल का कंधा अक्ष से बल के अनुप्रयोग के बिंदु तक की दूरी है। लेकिन ऐसा तब होता है जब उनके बीच का कोण 90 डिग्री हो। यदि ऐसा नहीं है, तो बल की क्रिया के साथ एक रेखा खींचना और उस पर अक्ष से लंबवत को कम करना आवश्यक है। इस लंबवत की लंबाई बल की भुजा के बराबर होगी। और बल के अनुप्रयोग बिंदु को बल की दिशा में ले जाने से उसका संवेग नहीं बदलता है।

बल के ऐसे क्षण को सकारात्मक मानने की प्रथा है, जिसके कारण शरीर अवलोकन के बिंदु के सापेक्ष दक्षिणावर्त घूमता है। और नकारात्मक, क्रमशः, इसके खिलाफ रोटेशन का कारण बनता है। बल का क्षण न्यूटन प्रति मीटर में मापा जाता है। एक न्यूटनोमीटर 1 न्यूटन का बल है जो 1 मीटर की भुजा पर कार्य करता है।

यदि पिंड पर कार्य करने वाला बल पिंड के घूर्णन की धुरी या द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली रेखा के साथ गुजरता है, यदि शरीर में घूर्णन की धुरी नहीं है। तब इस मामले में बल का क्षण शून्य के बराबर होगा। चूंकि यह बल शरीर के घूमने का कारण नहीं बनेगा, बल्कि इसे आवेदन की रेखा के साथ आगे बढ़ाएगा।

चित्र 2 - बल का आघूर्ण शून्य है।

यदि शरीर पर कई बल कार्य करते हैं, तो बल का क्षण उनके परिणामी द्वारा निर्धारित किया जाएगा। उदाहरण के लिए, परिमाण में समान और विपरीत दिशा में निर्देशित दो बल किसी पिंड पर कार्य कर सकते हैं। इस मामले में, बल का कुल क्षण शून्य के बराबर होगा। चूंकि ये ताकतें एक-दूसरे की भरपाई करेंगी। सरल शब्दों में, बच्चों के हिंडोला की कल्पना करें। यदि एक लड़का इसे दक्षिणावर्त धक्का देता है, और दूसरा इसके खिलाफ समान बल के साथ, तो हिंडोला गतिहीन रहेगा।

अक्सर हम अभिव्यक्ति सुनते हैं: "यह निष्क्रिय है", "जड़ता से आगे बढ़ना", "जड़ता का क्षण"। पर लाक्षणिक अर्थ"जड़ता" शब्द की व्याख्या पहल और कार्रवाई की कमी के रूप में की जा सकती है। हम प्रत्यक्ष अर्थ में रुचि रखते हैं।

जड़ता क्या है

परिभाषा से जड़ताभौतिकी में, यह बाह्य बलों की अनुपस्थिति में निकायों की आराम या गति की स्थिति बनाए रखने की क्षमता है।

यदि सहज स्तर पर जड़ता की अवधारणा के साथ सब कुछ स्पष्ट है, तो निष्क्रियता के पल- एक अलग मुद्दा। सहमत, मन में यह कल्पना करना कठिन है कि यह क्या है। इस लेख में, आप सीखेंगे कि विषय पर बुनियादी समस्याओं को कैसे हल किया जाए "निष्क्रियता के पल".

जड़ता के क्षण का निर्धारण

स्कूली पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि द्रव्यमान एक पिंड की जड़ता का एक उपाय है. यदि हम अलग-अलग द्रव्यमान वाली दो गाड़ियों को धक्का देते हैं, तो जो भारी है उसे रोकना अधिक कठिन होगा। यानी जितना अधिक द्रव्यमान, उतना ही अधिक बाहरी प्रभाव शरीर की गति को बदलने के लिए आवश्यक होता है। माना जाता है कि ट्रांसलेशनल मूवमेंट को संदर्भित करता है, जब उदाहरण से गाड़ी एक सीधी रेखा में चलती है।

द्रव्यमान और अनुवाद गति के अनुरूप, जड़ता का क्षण एक अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति के दौरान शरीर की जड़ता का एक माप है।

निष्क्रियता के पल- अदिश भौतिक मात्रा, शरीर की जड़ता का एक माप है क्योंकि यह एक अक्ष के बारे में घूमता है। पत्र द्वारा निरूपित जे और सिस्टम में एसआई किलोग्राम में एक वर्ग मीटर से गुणा करके मापा जाता है।

जड़ता के क्षण की गणना कैसे करें? एक सामान्य सूत्र है जिसके द्वारा भौतिकी में किसी भी पिंड की जड़ता के क्षण की गणना की जाती है। यदि पिंड द्रव्यमान के असीम रूप से छोटे टुकड़ों में टूट जाता है डी एम , तो जड़त्व का क्षण इन प्राथमिक द्रव्यमानों के उत्पादों के योग और रोटेशन की धुरी की दूरी के वर्ग के बराबर होगा।

यह भौतिकी में जड़ता के क्षण का सामान्य सूत्र है। एक भौतिक द्रव्यमान बिंदु के लिए एम , दूरी पर एक अक्ष के बारे में घूर्णन आर इससे, यह सूत्र रूप लेता है:

स्टेनर का प्रमेय

जड़ता का क्षण किस पर निर्भर करता है? द्रव्यमान से, घूर्णन की धुरी की स्थिति, शरीर का आकार और आकार।

हाइजेन्स-स्टीनर प्रमेय एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रमेय है जिसका प्रयोग अक्सर समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

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ह्यूजेंस-स्टेनर प्रमेय कहता है:

एक मनमानी धुरी के बारे में एक शरीर की जड़ता का क्षण शरीर की जड़ता के क्षण के योग के बराबर होता है जो एक मनमानी धुरी के समानांतर द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है और शरीर के द्रव्यमान के गुणन के वर्ग के बराबर होता है कुल्हाड़ियों के बीच की दूरी।

उन लोगों के लिए जो जड़ता के क्षण को खोजने की समस्याओं को हल करते समय लगातार एकीकृत नहीं करना चाहते हैं, यहां कुछ सजातीय निकायों की जड़ता के क्षणों को दर्शाने वाला एक आंकड़ा है जो अक्सर समस्याओं में पाए जाते हैं:

जड़ता के क्षण को खोजने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण

आइए दो उदाहरणों पर विचार करें। पहला काम जड़ता के क्षण को खोजना है। दूसरा कार्य ह्यूजेन्स-स्टीनर प्रमेय का उपयोग करना है।

समस्या 1. द्रव्यमान m और त्रिज्या R की एक समांगी डिस्क की जड़ता के क्षण का पता लगाएं। रोटेशन की धुरी डिस्क के केंद्र से होकर गुजरती है।

समाधान:

आइए हम डिस्क को असीम रूप से पतले छल्ले में विभाजित करें, जिसकी त्रिज्या से भिन्न होता है 0 इससे पहले आरऔर ऐसी ही एक अंगूठी पर विचार करें। माना इसकी त्रिज्या आर, और द्रव्यमान डी एम. फिर वलय की जड़ता का क्षण:

रिंग के द्रव्यमान को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

यहां dzरिंग की ऊंचाई है। जड़ता के क्षण के लिए द्रव्यमान को सूत्र में बदलें और एकीकृत करें:

परिणाम एक पूर्ण पतली डिस्क या सिलेंडर की जड़ता के क्षण के लिए एक सूत्र था।

समस्या 2. मान लीजिए कि फिर से द्रव्यमान m और त्रिज्या R की एक डिस्क है। अब हमें डिस्क की एक त्रिज्या के मध्य से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता के क्षण को खोजने की आवश्यकता है।

समाधान:

द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में डिस्क की जड़ता का क्षण पिछली समस्या से जाना जाता है। हम स्टीनर प्रमेय लागू करते हैं और पाते हैं:

वैसे, हमारे ब्लॉग में आप भौतिकी और अन्य उपयोगी सामग्री पा सकते हैं।

हमें उम्मीद है कि आपको लेख में कुछ उपयोगी मिलेगा। यदि जड़ता टेंसर की गणना करने की प्रक्रिया में कठिनाइयाँ हैं, तो छात्र सेवा के बारे में मत भूलना। हमारे विशेषज्ञ किसी भी मुद्दे पर सलाह देंगे और कुछ ही मिनटों में समस्या को हल करने में मदद करेंगे।