गतिशील प्रणालियों की मॉडलिंग (लैग्रेंज विधि और बॉन्ड ग्राफ दृष्टिकोण)। सशर्त एक्स्ट्रेमा और लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि

सेलैग्रेंज विधि का सार बिना शर्त चरम समस्या के समाधान के लिए सशर्त चरम समस्या को कम करना है। मॉडल पर विचार करें गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग:

(5.2)

कहाँ पे
प्रसिद्ध कार्य हैं,

एक
गुणांक दिए गए हैं।

ध्यान दें कि समस्या के इस निरूपण में, बाधाओं को समानता द्वारा दिया गया है, और चर के गैर-ऋणात्मक होने की कोई शर्त नहीं है। इसके अलावा, हम मानते हैं कि कार्य
अपने पहले आंशिक डेरिवेटिव के साथ निरंतर हैं।

आइए हम शर्तों (5.2) को इस तरह से रूपांतरित करें कि समानता के बाएँ या दाएँ भाग में शामिल हों शून्य:

(5.3)

आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें। इसमें उद्देश्य फ़ंक्शन (5.1) और बाधाओं के दाहिने हाथ (5.3) शामिल हैं, क्रमशः गुणांक के साथ लिया गया
. समस्या में जितने अवरोध हैं उतने ही लैग्रेंज गुणांक होंगे।

फ़ंक्शन के चरम बिंदु (5.4) मूल समस्या के चरम बिंदु हैं और इसके विपरीत: समस्या की इष्टतम योजना (5.1)-(5.2) लैग्रेंज फ़ंक्शन का वैश्विक चरम बिंदु है।

वास्तव में, समाधान खोजने दो
समस्या (5.1)-(5.2), तो शर्तें (5.3) संतुष्ट हैं। आइए योजना को प्रतिस्थापित करें
फ़ंक्शन (5.4) में और समानता (5.5) की वैधता की पुष्टि करें।

इस प्रकार, मूल समस्या की इष्टतम योजना को खोजने के लिए, एक चरम सीमा के लिए लैग्रेंज फ़ंक्शन की जांच करना आवश्यक है। फ़ंक्शन के उन बिंदुओं पर चरम मान होते हैं जहां इसके आंशिक डेरिवेटिव बराबर होते हैं शून्य. ऐसे बिंदुओं को कहा जाता है स्थावर।

हम फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न को परिभाषित करते हैं (5.4)

,

.

बराबरी के बाद शून्यडेरिवेटिव हमें सिस्टम मिलता है एम+एनके साथ समीकरण एम+एनअनजान

,(5.6)

सामान्य स्थिति में, सिस्टम (5.6)-(5.7) में कई समाधान होंगे, जिसमें लैग्रेंज फ़ंक्शन के सभी मैक्सिमा और मिनिमा शामिल हैं। वैश्विक अधिकतम या न्यूनतम को उजागर करने के लिए, सभी पाए गए बिंदुओं पर उद्देश्य फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना की जाती है। इनमें से सबसे बड़ा मान वैश्विक अधिकतम होगा, और सबसे छोटा वैश्विक न्यूनतम होगा। कुछ मामलों में इसका उपयोग करना संभव है सख्त चरम सीमा के लिए पर्याप्त शर्तेंनिरंतर कार्य (नीचे समस्या 5.2 देखें):

समारोह चलो
अपने स्थिर बिंदु के कुछ पड़ोस में निरंतर और दो बार अवकलनीय है (वे।
))। फिर:

एक ) यदि
, (5.8)

फिर फ़ंक्शन का सख्त अधिकतम बिंदु है
;

बी) यदि
, (5.9)

फिर फ़ंक्शन का सख्त न्यूनतम बिंदु है
;

जी ) यदि
,

तब चरम की उपस्थिति का प्रश्न खुला रहता है।

इसके अलावा, सिस्टम के कुछ समाधान (5.6)-(5.7) नकारात्मक हो सकते हैं। जो चरों के आर्थिक अर्थ के अनुरूप नहीं है। इस मामले में, नकारात्मक मूल्यों को शून्य से बदलने की संभावना का विश्लेषण किया जाना चाहिए।

लैग्रेंज गुणकों का आर्थिक अर्थ।इष्टतम गुणक मूल्य
दिखाता है कि मानदंड का मूल्य कितना बदलेगा जेड संसाधन बढ़ाने या घटाने पर जेप्रति इकाई, क्योंकि

लैग्रेंज विधि को तब भी लागू किया जा सकता है जब बाधाएं असमानताएं हों। तो, फ़ंक्शन के चरम का पता लगाना
शर्तों के अधीन

,

कई चरणों में किया गया प्रदर्शन:

1. उद्देश्य फलन के उन स्थिर बिन्दुओं का निर्धारण करें जिनके लिए वे समीकरणों के निकाय को हल करते हैं

.

2. स्थिर बिंदुओं से, वे चुने जाते हैं जिनके निर्देशांक शर्तों को पूरा करते हैं

3. लैग्रेंज विधि का उपयोग समता बाधाओं (5.1)-(5.2) के साथ समस्या को हल करने के लिए किया जाता है।

4. दूसरे और तीसरे चरण में पाए गए वैश्विक अधिकतम बिंदुओं का अन्वेषण करें: मूल्यों की तुलना करें वस्तुनिष्ठ कार्यइन बिंदुओं पर- उच्चतम मूल्यइष्टतम योजना के अनुरूप है।

कार्य 5.1आइए, पहले खंड में मानी गई समस्या 1.3 को लैग्रेंज विधि से हल करें। जल संसाधनों का इष्टतम वितरण गणितीय मॉडल द्वारा वर्णित है

.

लैग्रेंज फ़ंक्शन लिखें

इस फ़ंक्शन का बिना शर्त अधिकतम खोजें। ऐसा करने के लिए, हम आंशिक डेरिवेटिव की गणना करते हैं और उन्हें शून्य के बराबर करते हैं

,

इस प्रकार, हमने फॉर्म के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की है

समीकरणों की प्रणाली का समाधान सिंचित क्षेत्रों में जल संसाधनों के वितरण के लिए इष्टतम योजना है

, .

मात्रा
सैकड़ों हजारों घन मीटर में मापा जाता है।
- प्रति एक लाख घन मीटर सिंचाई जल की शुद्ध आय की राशि। अतः सिंचाई जल के 1 मी 3 का सीमांत मूल्य है
मांद इकाइयों

सिंचाई से अधिकतम अतिरिक्त शुद्ध आय होगी

160 12.26 2 +7600 12.26-130 8.55 2 +5900 8.55-10 16.19 2 +4000 16.19=

172391.02 (माध्यम इकाइयाँ)

कार्य 5.2एक गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या को हल करें

हम बाधा का प्रतिनिधित्व करते हैं:

.

लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें और इसके आंशिक व्युत्पन्न का निर्धारण करें

.

लैग्रेंज फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, इसके आंशिक डेरिवेटिव को शून्य के बराबर करना चाहिए। नतीजतन, हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं

.

पहले समीकरण से निम्नानुसार है

. (5.10)

अभिव्यक्ति दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें

,

जिसके लिए दो समाधान हैं :

तथा
. (5.11)

इन समाधानों को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

,
.

लैग्रेंज गुणक और अज्ञात के मान व्यंजकों द्वारा परिकलित करें (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

इस प्रकार, हमें दो चरम बिंदु मिले:

;
.

यह पता लगाने के लिए कि ये बिंदु अधिकतम या न्यूनतम बिंदु हैं, हम सख्त चरम (5.8)-(5.9) के लिए पर्याप्त शर्तों का उपयोग करते हैं। पूर्व अभिव्यक्ति के लिए , गणितीय मॉडल के प्रतिबंध से प्राप्त, हम उद्देश्य फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं

,

. (5.12)

एक सख्त चरम के लिए शर्तों की जांच करने के लिए, हमें प्राप्त किए गए चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न (5.11) का संकेत निर्धारित करना चाहिए।
तथा
.

,
;

.

इस तरह, (·)
मूल समस्या का न्यूनतम बिंदु है (
), एक (·)
- अधिकतम बिंदु।

इष्टतम योजना:

,
,
,

.

लैग्रेंज विधिकिसी समस्या को हल करने का एक तरीका है सशर्त अनुकूलन, जहां निहित कार्यों के रूप में लिखे गए बाधाओं को एक नए समीकरण के रूप में उद्देश्य फ़ंक्शन के साथ जोड़ा जाता है जिसे कहा जाता है लाग्रंगियन.

एक सामान्य गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या के एक विशेष मामले पर विचार करें:

दी गई प्रणाली अरेखीय समीकरण (1):

(1) जीआई(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

फ़ंक्शन (2) का सबसे छोटा (या सबसे बड़ा) मान ज्ञात करें

(2) च (х1,х2,…,хn),

यदि चरों की गैर-ऋणात्मकता के लिए कोई शर्तें नहीं हैं और f(x1,x2,…,xn) और gi(x1,x2,…,xn) ऐसे फलन हैं जो उनके आंशिक व्युत्पन्न के साथ निरंतर हैं।

इस समस्या का समाधान खोजने के लिए, आप निम्न विधि लागू कर सकते हैं: 1. चर 1, λ2,…, λm का एक सेट दर्ज करें, जिसे लैग्रेंज गुणक कहा जाता है, लैग्रेंज फ़ंक्शन बनाएं (3)

(3) एफ(х1,х2,…,хn , λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi ।

2. चर xi और i के संबंध में लैग्रेंज फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न खोजें और उन्हें शून्य के बराबर करें।

3. समीकरणों की प्रणाली को हल करते हुए, उन बिंदुओं को खोजें, जिन पर समस्या का उद्देश्य कार्य चरम पर हो सकता है।

4. जिन बिंदुओं पर एक चरम नहीं होने का संदेह है, वे उन बिंदुओं को ढूंढते हैं जिन पर चरम पर पहुंच जाता है, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं .

4. फ़ंक्शन f के प्राप्त मानों की तुलना करें और सबसे अच्छा चुनें।

उत्पादन योजना के अनुसार, उद्यम को 180 उत्पादों का उत्पादन करने की आवश्यकता है। इन उत्पादों को दो तकनीकी तरीकों से निर्मित किया जा सकता है। विधि I द्वारा X1 उत्पादों के उत्पादन में, लागत 4 * X1 + X1 ^ 2 रूबल है, और विधि II द्वारा x2 उत्पादों के निर्माण में, वे 8 * x2 + x2 ^ 2 रूबल हैं। निर्धारित करें कि प्रत्येक तरीके से कितने उत्पाद बनाए जाने चाहिए, ताकि उत्पादन की कुल लागत न्यूनतम हो।

समाधान: समस्या के गणितीय सूत्रीकरण में निर्धारित करना शामिल है सबसे छोटा मानदो चर के कार्य:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, बशर्ते x1 +x2 = 180।

आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें:

एफ(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2)।

हम x1, x2, के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न की गणना करते हैं और उन्हें 0 के बराबर करते हैं:

हम पहले दो समीकरण λ को दायीं तरफ स्थानांतरित करते हैं और उनके बाएं हाथ के पक्षों को समान करते हैं, हमें 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, या x1 - x2 = 2 मिलता है।

समीकरण x1 + x2 = 180 के साथ अंतिम समीकरण को हल करने पर, हम x1 = 91, x2 = 89 पाते हैं, अर्थात, हमें एक समाधान मिला जो शर्तों को पूरा करता है:

आइए चर के इन मानों के लिए उद्देश्य फ़ंक्शन f का मान ज्ञात करें:

एफ(x1, x2) = 17278

यह बिंदु एक चरम सीमा के लिए संदिग्ध है। दूसरे आंशिक अवकलज का उपयोग करके, हम यह दिखा सकते हैं कि बिंदु (91.89) पर फलन f का न्यूनतम होता है।

एक बहुपद का अर्थ इसके गुणांक के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए है . ऐसा करने के लिए, प्रक्षेप की स्थिति का उपयोग करके, आप रैखिक की एक प्रणाली बना सकते हैं बीजीय समीकरण(एसएलएयू)।

इस SLAE के निर्धारक को आमतौर पर वेंडरमोंडे निर्धारक कहा जाता है। Vandermonde निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है जब for , यानी उस स्थिति में जब लुकअप तालिका में कोई मेल खाने वाले नोड नहीं होते हैं। यह तर्क दिया जा सकता है कि SLAE के पास एक समाधान है और यह समाधान अद्वितीय है। SLAE को हल करना और अज्ञात गुणांक निर्धारित करना कोई एक प्रक्षेप बहुपद का निर्माण कर सकता है।

एक बहुपद जो प्रक्षेप की शर्तों को संतुष्ट करता है, जब लैग्रेंज विधि द्वारा प्रक्षेपित किया जाता है, तो इसे nth डिग्री के बहुपदों के रैखिक संयोजन के रूप में बनाया जाता है:

बहुपद कहलाते हैं बुनियादीबहुपद प्रति लैग्रेंज बहुपदइंटरपोलेशन शर्तों को संतुष्ट करता है, यह अत्यंत महत्वपूर्ण है कि निम्नलिखित शर्तों को इसके मूल बहुपद के लिए संतुष्ट किया जाए:

के लिये .

यदि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो किसी के लिए हमारे पास है:

मूल बहुपदों के लिए दी गई शर्तों की पूर्ति का अर्थ है कि प्रक्षेप की शर्तें भी संतुष्ट हैं।

आइए हम उन पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर मूल बहुपदों के रूप का निर्धारण करें।

पहली शर्त:पर ।

दूसरी शर्त: .

अंत में, मूल बहुपद के लिए, हम लिख सकते हैं:

फिर, मूल बहुपद के लिए परिणामी व्यंजक को मूल बहुपद में प्रतिस्थापित करते हुए, हम लैग्रेंज बहुपद का अंतिम रूप प्राप्त करते हैं:

लैग्रेंज बहुपद के एक विशेष रूप को आमतौर पर रैखिक प्रक्षेप सूत्र कहा जाता है:

.

लैग्रेंज बहुपद को आमतौर पर द्विघात प्रक्षेप सूत्र कहा जाता है:

लैग्रेंज विधि। - अवधारणा और प्रकार। "लैग्रेंज विधि" श्रेणी का वर्गीकरण और विशेषताएं। 2017, 2018।

लैग्रेंज विधि

वर्ग के योग के लिए एक द्विघात रूप को कम करने की विधि, 1759 में जे। लैग्रेंज द्वारा इंगित की गई। दिया जाए

चर x 0 . से , एक्स 1 ,..., एक्स एन. क्षेत्र से गुणांक के साथ कविशेषताएँ इस प्रपत्र को विहित में लाना आवश्यक है। मन

चर के एक गैर-डीजेनरेट रैखिक परिवर्तन का उपयोग करना। एल.एम. में निम्नलिखित शामिल हैं। हम मान सकते हैं कि फॉर्म (1) के सभी गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं। इसलिए, दो मामले संभव हैं।

1) कुछ के लिए जी,विकर्ण तब

जहाँ प्रपत्र f 1 (x) में कोई चर नहीं है एक्स जी। 2) यदि सभी लेकिन फिर

जहाँ प्रपत्र f 2 (x) में दो चर नहीं हैं XG परतथा एक्स एच।(4) में वर्ग चिन्हों के नीचे के रूप रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। फॉर्म (3) और (4) के रूपांतरों को लागू करके, फॉर्म (1) को चरणों की एक सीमित संख्या के बाद रैखिक रूप से स्वतंत्र रैखिक रूपों के वर्गों के योग में घटा दिया जाता है। आंशिक अवकलजों का प्रयोग करते हुए सूत्र (3) और (4) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

लिट: जी ए एन टी एम ए एच ई आर एफ। आर।,मैट्रिसेस का सिद्धांत, दूसरा संस्करण, मॉस्को, 1966; के उर ओ श ए जी, उच्च बीजगणित का पाठ्यक्रम, 11वां संस्करण, एम., 1975; अलेक्जेंड्रोव पी.एस., विश्लेषणात्मक ज्यामिति पर व्याख्यान ..., एम।, 1968। आई वी प्रोस्कुर्यकोव।

गणितीय विश्वकोश। - एम .: सोवियत विश्वकोश. आई एम विनोग्रादोव। 1977-1985।

देखें कि "LAGRANGE METHOD" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

लैग्रेंज विधि- लैग्रेंज विधि - लैग्रेंज फ़ंक्शन के सैडल पॉइंट (x *, *) को ढूंढकर गणितीय प्रोग्रामिंग समस्याओं के कई वर्गों को हल करने की एक विधि, जो इस फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जाता है। .. ... आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

लैग्रेंज विधि- लैग्रेंज फ़ंक्शन के सैडल पॉइंट (x*, ?*) को ढूंढकर गणितीय प्रोग्रामिंग समस्याओं के कई वर्गों को हल करने की एक विधि, जिसे xi और ?i के संबंध में इस फ़ंक्शन के आंशिक डेरिवेटिव को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जाता है। . लैग्रेंजियन देखें। )